7年级春季班07-平行线判定及性质-教师版

初一数学春季班（教师版）平行线的性质定理知识结构模块一：平行线的性质定理知识精讲平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．【例1】 如图，AC //DB ，56DBC ∠=o ，则ACB ∠=__________． 【难度】★ 【答案】124度．【解析】因为AC //DB （已知），所以180DBC ACB ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补），因为56DBC ∠=o （已知），所以18056124ACB ︒︒︒∠=-=（等式性质） 【总结】考察平行线的性质的运用．【例2】 （1）如图，已知DE //BC ，A C ∠=∠，则与AED ∠相等的角（不包含AED ∠）有______个；（2）如图，若AB //FD ，则B ∠=____________，若AC //ED ，则DFC ∠=__________．【难度】★【答案】（1）2个；（2）3∠；∠2．【解析】（1）因为DE //BC （已知）， 所以AED C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）， 又因为A C ∠=∠（已知），所以A C AED ∠=∠=∠（等量代换）；（2）B ∠=3∠（两直线平行，同位角相等）；2∠=∠DFC （两直线平行，内错角角相等）．【总结】考察平行线的性质的运用．【例3】 如图，直线//a b ，则x y -的值等于（ ）A ．20B ．80C ．120D ．180【难度】★ 【答案】A【解析】因为//a b ，所以ο30=x例题解析321ABCDE ABCDEFABCDO3y°30°xa b又因为3180y x +=，解得ο50=y ，故305020x y ︒-=-=． 【总结】考察平行线的性质及等式性质的综合运用．【例4】 如图，直线//a b ，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=o ，则2∠的度数是（ ） A ．35oB ．45oC ．55oD ．125o【难度】★ 【答案】A【解析】因为AB BC ⊥（已知），所以90ABC ∠=︒（垂直的意义）因为//a b （已知），所以 1CBD ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 因为155∠=o （已知）， 所以55CBD ∠=o （等量代换） 因为2180ABC CBD ∠+∠+∠=o （平角的意义） 所以2180559035︒︒︒︒∠=--=（等式性质）【总结】本题考查平行线的性质及垂直的意义的综合运用．【例5】 如图，直线//a b ，c d ⊥，则下列说法中正确的个数有（）（1）2490∠+∠=o ；（2）1490∠+∠=o ；（3）13∠=∠；（4）3490∠+∠=o ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）正确：因为//a b ，所以2∠与3∠互为同位角， 又因为c d ⊥，所以3490∠+∠=︒，所以2490∠+∠=︒；（2）错误：14∠=∠（两直线平行，同位角相等）； （3）错误1390∠+∠=︒； （4）正确．所以本题选B【总结】本题考查平行线的性质以及两直线垂直的意义．【例6】 如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（ ）A ．相等或互补B ．互补C ．相等D ．相等且互余【难度】★★ 【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A ．4321a bc d21ABC a bD【总结】本题考查平行线的基本应用，注意分类讨论． 【例7】 如图，已知//AB CD ，x ∠等于（ ）A ．75oB ．80oC ．85oD ．95o【难度】★★ 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角； 所以易知(180120)2585x ︒︒︒︒∠=-+=．【总结】本题考查平行线的基本应用，老师可以让学生自己动手添加辅助线．【例8】 如图，////AB CD MP AB MN ，，平分4030AMD A D ∠∠=∠=o o ，，，则NMP ∠等于（ ） A ．10oB ．15oC ．5oD ．7.5o【难度】★★ 【答案】C【解析】因为//AB MP （已知）所以A AM P ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为//AB CD （已知）， 所以//MP CD （平行的传递性） 所以D DMP ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为AMD AMP DMP ∠=∠+∠（角的和差），4030A D ∠=∠=o o ，（已知） 所以304070AMD ∠=+=o o o （等式性质）因为MN AMD ∠平分（已知）， 所以ο35=∠=∠NMD AMN （角平分线的意义） 所以40355NMP ∠=︒-︒=︒（等式性质）【总结】本题考查平行线的基本应用，以及角平分线的性质的综合运用．【例9】 如图，//AB CD ，1(220)x ∠=+o ，2(840)x ∠=-o ，求1∠及2∠的度数． 【难度】★★【答案】140240∠=︒∠=︒，．【解析】因为//AB CD （已知），所以12∠=∠（两直线平行，同位角相等）即οο)408()202(-=+x xA BCDMNPx 25°120°ABCD21ABC DEF解得：ο10=x所以140240∠=︒∠=︒，（等式性质） 【总结】本题考查平行线的基本性质．【例10】 如图，已知140∠=o ，2140∠=o ，340∠=o ，能推断出////AB CD EF 吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】能；见解析．【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：2118023180∠+∠=︒∠+∠=︒，所以AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行） 所以AB //EF ，即AB //CD //EF ，即证． 【总结】本题考查平行线的判定定理的综合运用．【例11】 已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的2倍少30°，求∠A 与∠B 的度数． 【难度】★★【答案】3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒，．【解析】由题意可知，180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的2倍少30°， 所以230A B ∠=∠-︒，即3030B A ∠=︒∠=︒，或70110B A ∠=︒∠=︒， 【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例12】 已知：如图，123//B AC DE ∠=∠∠=∠，，，且B 、C 、D 在一条直线上． 试说明//AE BD ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为//AC DE （已知），所以24∠=∠（两直线平行，内错角相等） 因为12∠=∠（已知），所以14∠=∠（等量代换）所以//AB CE （内错角相等，两直线平行） 所以B ECD ∠=∠（两直线平行，同位角相等）因为3B ∠=∠（已知），所以3ECD ∠=∠（等量代换） 所以//AE BD （内错角相等，两直线平行）4321A BC DE A B C D EF321NM【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．【例13】 已知：如图，E 、F 分别是AB 和CD 上的点，DE 、AF 分别交BC 于G 、H ，∠A =∠D ，∠1=∠2，试说明：∠B =∠C ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为121AHB ∠=∠∠=∠（已知），（对顶角相等）所以2AHB ∠=∠（等量代换）， 所以//AF ED （同位角相等，两直线平行） 所以D AFC ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 因为A D ∠=∠（已知）， 所以A AFC ∠=∠（等量代换） 所以//AB CD （内错角相等，两直线平行） 所以B C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）【总结】本题主要考察平行线的性质定理和判定定理的综合运用．【例14】 如图，直线GC 截两条直线AB 、CD ，AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线，且//AE CF ，那么AB CD ∥吗？为什么？ 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为AE 是GAB ∠的平分线，CF 是ACD ∠的平分线（已知）所以GAE EAB ACF FCD ∠=∠∠=∠，（角平分线的性质）因为//AE CF （已知），所以GAE ACF ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 所以EAB FCD∠=∠（等量代换） 所以//(AB CD 同位角相等，两直线平行)【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【例15】 如图12∠=∠，//DC OA ，//AB OD ，那么C B ∠=∠，为什么？ 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为//DC OA （已知），所以COA C ∠=∠（两直线平行，内错角相等）， 即1COB C ∠+∠=∠21ABCDOABCDEFG21ABCDEFGH因为//AB OD （已知）， 所以DOB B ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 即2COB B ∠+∠=∠， 又因为12∠=∠（已知），所以B C ∠=∠（等量代换） 【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】 如图，已知AD 平分BAC ∠，12∠=∠，试说明1F ∠=∠的理由．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为AD 平分BAC ∠（已知），所以2BAD ∠=∠（角平分线的意义）因为12∠=∠（已知）， 所以1BAD ∠=∠（等量代换） 所以//EF AD （同位角相等，两直线平行） 所以2F ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 所以1F ∠=∠（等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】 已知：如图，AGH B CGH BEF ∠=∠∠=∠，，EF ⊥AB 于F ，试说明CG ⊥AB ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】因为AGH B ∠=∠（已知）所以//HG CB （同位角相等，两直线平行） 所以CGH BCG ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为CGH BEF ∠=∠（已知），所以BEF BCG ∠=∠（等量代换） 所以//EF CG （同位角相等，两直线平行） 因为EF ⊥AB （已知）， 所以CG ⊥AB ．【总结】本题主要考察平行线的判定定理、性质定理及垂直的判定的综合运用．【例18】 已知，正方形ABCD 的边长为4cm ，求三角形EBC 的面积．【难度】★★ 【答案】8平方厘米．【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC ，且其高即是 正方形的边DC ，故三角形面积为正方形面积的一半：24428cm ⨯÷= 【总结】本题考查三角形的面积的计算，注意三角形与正方形同底等高．ABCDEABCGE FH21ABCDEF【例19】 如图，AD //BC ，52BC AD =，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比． 【难度】★★★ 【答案】5:2．【解析】因为//AD BC （已知）所以三角形ABC 与三角形ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等） 所以::52ABC ACD S S BC AD ∆∆==：（两三角形高相等，面积比等于底之比） 【总结】本题考查平行线距离处处相等及三角形的面积比问题．【例20】 如图，//AB GE ，//CD FG ，BE =EF =FC ，三角形AEG 的面积等于7，求四边形AEFD 的面积． 【难度】★★★ 【答案】21【解析】联结BG 、CG ．因为//AB GE （已知）所以BEG AEG S S ∆∆=（同底等高的两个三角形面积相等）因为BE =EF （已知）， 所以BEG GEF S S ∆∆=（等底等高的两个三角形面积相等） 所以AEG GEF S S ∆∆==7（等量代换）， 同理7GEF DFG S S ∆∆==． 所以77721AEG GEF DFG AEFD S S S S ∆∆∆=++=++=四边形． 【总结】本题主要考查平行线间的距离处处相等．【例21】 已知E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，DE 延长线交AB 延长线于F ，试说明ABE CEF S S ∆∆与相等的理由．【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】因为12ADE DCF ABCD S S S ==△△四边形，所以12CEF DCF DCEDCE ABCD S S S S S ∆∆∆=-=-△四边形， AB CDEFA BCDABCDEFG所以1122ABE ADE DCE DCE DCE ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆=--=--=-四边形四边形四边形四边形所以ABE CEF S S ∆∆=【总结】本题综合性较强，主要考查几何图形的面积关系，注意认真观察图形特征．【例22】 如图，已知AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】过点C 作AB 的平行线CF ，因为AB ∥ED （已知）所以////AB CF ED （平行的传递性）所以B BCF D DCF ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等） 所以B D BCF DCF BCD ∠+∠=∠+∠=∠（等式性质） 【总结】本题考查平行线的性质及辅助线的添加．【例23】 如图所示，已知，++360A B C ︒∠∠∠=，试说明AE ∥CD ． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】过点B 向右作BF //AE ，所以180A ABF ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）因为++360A B C ︒∠∠∠=（已知） 所以180FBC C ∠+∠=︒（等式性质） 所以//BF CD （同旁内角互补，两直线平行） 所以//AE CD （平行的传递性）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意简单的辅助线的添加方法．【例24】 如图，已知：AB //CD ，试说明：∠B +∠D +∠BED =360︒（至少用三种方法）． 【难度】★★ 【答案】见解析例题解析模块二：辅助线的添加ABCD EFE CBDA F AEB【解析】方法一：连接BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于180°）因为AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点E 作EF //CD ，因为//AB CD （已知）， 所以//EF AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质） 即∠B +∠D +∠BED =360°； 方法三：过点E 作//EF BA因为//AB CD （已知）， 所以//EF AB （平行的传递性）所以180180ABE BEF FED EDC ∠+∠=︒∠+∠=︒，（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠B +∠D +∠BED =360︒（等式性质）；方法四：过点E 作EF ⊥CD 的延长线与F ，EG 垂直于AB 的延长线于G ， 则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用，注意多种方法的归纳总结．【例25】 如图所示，在六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明BC ∥EF 的理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】连接AD 、BE因为AF ∥CD （已知）所以FAD ADC ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为BAF CDE ∠=∠（已知）， 所以BAD ADE ∠=∠（等式性质） 所以AB ∥DE （内错角相等，两直线平行） 所以ABE BED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为ABC FED ∠=∠（已知）， 所以EBC BEF ∠=∠（等式性质） 所以BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【总结】本题主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．A BCDEF【例26】 如图已知，AB //CD ，∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系． 【难度】★★★【答案】:32E F ∠∠=：．【解析】过点E 、点F 分别作AB 的平行线EG 、FH ．因为////EG AB FH AB ，所以/////(AB EG FH CD 等量代换)所以ABF BFH ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 所以CDF DFH ∠=∠（两直线平行，内错角相等）所以BFD DFH BFH CDF ABF ∠=∠+∠=∠+∠（等量代换） 同理：BED DEG BEG ABE CDE ∠=∠+∠=∠+∠（等量代换） 因为∠ABF =23∠ABE ，∠CDF =23∠CDE 所以22()33BFD DFH BFH CDF ABF ABE CDE BED ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠所以:32E F ∠∠=：【总结】本题考查平行线的性质定理及角的和差的综合运用，注意辅助线的添加．【例27】 如图，已知：AC //BD ，联结AB ，则AC 、BD 及线段AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点P 落在某个部分时，联结P A 、PB ，构成∠P AC 、∠APB 、∠PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1） 当点P 落在第①部分时，试说明：∠P AC +∠PBD =∠APB ； （2） 当点P 落在第②部分时，试说明：∠P AC +∠PBD =∠APB 是否成立?（3）当点P 落在第③部分时，全面探究∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系是__________，并写出动点P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．321321321321A CP A CA CA CABCD E F【难度】★★★ 【答案】略．【解析】（1）过点P 作PE // AC ．//////AC BD AC PE BD 因为，所以（平行的传递性）所以PAC APE BPE PBD ∠=∠∠=∠，（两直线平行，内错角相等） 因为APB APE BPE ∠=∠+∠（角的和差） 所以APB PAC PBD ∠=∠+∠（等量代换） （2）不成立，过点P 作AC 的平行线即可证明． （3）分类讨论如下：①当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是PBD PAC APB ∠=∠+∠； ②当动点P 在射线BA 上时，结论是0PBD PAC APB PAC PBD APB APB PAC PBD ∠=∠+∠∠=∠+∠∠=︒∠=∠或或，（任写一个即可）③当动点P 在射线BA 的左侧时，结论是APB PAC PBD ∠+∠=∠．【总结】本题综合性较强，一方面要通过添加平行线来寻找角度之间的关系，另一方面要从多个角度去讨论题目中的条件及结论．【习题1】 填空：（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分ACD ∠，120A ∠=o ，则ECD ∠________； （2） 如图（2），已知AB //CD ，100B ∠=o ，EF 平分BEC ∠，EG EF ⊥， 则DEG ∠=__________．【难度】★【答案】（1）30°； （2）50°．随堂检测ABCDEFGE ABCD图（1）图（2）【解析】（1）因为AB ∥CD （已知），所以180A ACD ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补）因为120A ∠=o （已知）， 所以18012060ACD ∠=-=o o o （等式性质） 又因为CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为AB ∥CD （已知）， 所以180B BEC ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补）因为100B ∠=o （已知）， 所以18010080BEC ∠=-=o o o （等式性质） 又因为EF 平分BEC ∠（已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义） 因为EG ⊥EF （已知）， 所以90GEF ∠=o （垂直的意义） 因为180DEG GEF CEF ∠+∠+∠=（平角的意义） 所以180904050DEG ∠=--=o o o o （等式性质） 【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】 填空：（1）如图，直线//a b ，三角形ABC 的面积是422cm ，AB =6cm ，则a 、b 间的距离 为_________；（2）如图，在三角形ABC 中，点D 是AB 的中点，则三角形ACD 和三角形ABC 的面 积之比为____________． 【难度】★【答案】（1）14厘米 ；（2）12．【解析】（1）三角形ABC 的高为：422614⨯÷=，所以a 、b 间的距离为14厘米； （2）因为三角形ACD 和三角形ABC 高相等， 所以面积之比等于底之比，21==∆∆AB AD S S ABC ACD 即． 【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．【习题3】 如图，已知FC //AB //DE ，::2:3:4D B α∠∠∠=,则α∠、D ∠、B ∠的度数分别为______________． 【难度】★【答案】72α∠=︒，108D ∠=︒，144B ∠=︒．aCA bABCDBABC F【解析】因为FC //AB //DE （已知），所以互补）两直线平行，同旁内角(180ο=∠+∠CFB B D CFD ∠=∠（两直线平行，内错角相等）设234x D x B x α∠=∠=∠=，，，则可列方程：180423x x x -+=，解得：36x =︒ 则72α∠=︒，108D ∠=︒，144B ∠=︒．【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍多12°，则这两个角是()．A ．42°和138°B ．都是10°C ．42°和138°或都是10°D ．以上都不对【难度】★★ 【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为A 、B ，则有：180A B A B ∠=∠∠+∠=︒或，又因为∠A 是∠B 的3倍多12°，则有：312A B ∠=∠+︒， 即180********B B B A ︒-∠=∠+︒∠=︒∠=︒，解得：，． 【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】 如图，已知QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线PQ 、MN 的位置关系． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知）所以21PQN ∠=∠，22MNQ ∠=∠（角平分线的意义） 因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 所以PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】 如图，已知：AB ∥CD ，EF 和AB 、CD 相交于G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】//AB CD Q （已知）BGH DHF ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等）Q 又MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF21NM RQ P G21AB CDEMNH111,222BGH DHF ∴∠=∠∠=∠12∴∠=∠（等量代换） //GM HN ∴（同位角相等，两直线平行） 【总结】本题考查平行线的判定【习题7】 如图所示，在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点O 到各边的距离相等，求这个距离是多少． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】设这个距离是x ，则有：()1662ABC S AC BC AB x x ∆==++⨯=， 解得：1x =．【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】 如图，已知AB ，CD 分别垂直EF 于B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明：//BM AF ． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为CD ⊥EF ， 所以90CDF ∠=o（垂直的意义）因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角和等于180°）因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换） 所以BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】 如图，已知直线12//l l ；（1）若1(2)x y ∠=+o ，2x ∠=o ，4(30)y ∠=+o 求1∠，2∠，4∠的度数； （2）若2x ∠=o，3y ∠=o，[]42(2)x y ∠=-o，求x 、y 的值．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以2180x y x ++=︒，即x +y =90° 因为12l l ∥ （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）ABCO 1ABCDEFM4321l 1 l 2即x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°； （2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以x +y =180°， 因为12l l ∥ （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等） 即42x x y =-， 解得：x =72°，y =108°． 【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】 如图，∠ADC =∠ABC ，∠1+∠FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明BC 为∠DBE 的平分线． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】因为∠1+∠FDB =180°（已知），又因为1ABD ∠=∠（对顶角相等） 所以180ABD BDF ∠+∠=o （等量代换） 所以//AB FD （同旁内角互补，两直线平行） 所以2ABD ∠=∠（两直线平行，内错角相等）因为ADC ABC ∠=∠（已知）， 所以ADB CBD ∠=∠（等式性质） 因为//AE FC （已证）， 所以EBD FDB ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 即ADB ADF CBD CBE ∠+∠=∠+∠（角的和差）因为AD FDB ∠是平分线， 所以ADB ADF CBD EBC ∠=∠=∠=∠（角平分线的意义） 即BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】 如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么?【难度】★★★ 【答案】相等，证明见解析．【解析】因为180DAE EAC BAC ∠+∠+∠=o （平角的意义）又180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=o（三角形内角和等于180°） 所以DAE EAC ABC ACB ∠+∠=∠+∠（等式性质） 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知） 所以ABC ACB DAE CAE ∠=∠=∠=∠所以//AE BC （内错角相等，两直线平行）所以AE 与BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等） 所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．21AB CDEFA BCDE F【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．【作业1】 如图，AB //CD ，直线l 分别交AB 、CD 于E 、F ，EG 平分BEF ∠，若40EFG ∠=o ，则EGF ∠的度数是（）A ．60oB ．70oC ．80oD ．90o 【难度】★ 【答案】B【解析】因为AB //CD （已知），所以180BEF EFG ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） 因为40EFG ∠=o （已知）， 所以∠BEF =140°（等式性质）因为 EG 平分BEF ∠（已知），所以1702BEG BEF ∠=∠=o（角平分线的意义）因为AB //CD （已知）， 所以BEG EGF ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】 如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（ ）A ．123180∠+∠+∠=oB ．12390∠+∠-∠=oC ．231180∠+∠-∠=oD ．23190∠+∠-∠=o【难度】★ 【答案】C【解析】由题意可得：(1803)(1802)1180︒-∠+︒-∠+∠=︒， 解得：231180∠+∠-∠=︒ 【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】 若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（ ）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行， （3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【难度】★ 【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；课后作业A BCDEF Gl 213ABCD321FEDCBA（3）×； （4）只有当这对同旁内角互补时才成立，× 【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】 直线a c ∥，且直线a 到直线c 的距离是3；直线//b c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线a 到直线b 的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．8 D ．2或8【难度】★★ 【答案】D【解析】当直线a 和直线b 在直线c 的两侧时，距离为8； 当直线a 和直线b 在直线c 的同一侧时，距离为2． 【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】 已知：如图5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为1B ∠=∠（已知）所以//DE BC （同位角相等，两直线平行） 所以2C ∠=∠（两直线平行，同位角相等）又因为//EF AB （已知）， 所以3B ∠=∠ （两直线平行，同位角相等） 所以3C ∠=∠（等量代换）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】 已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】设∠2的对顶角为∠3，因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换） 所以AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）又因为AB ∥CD （已知） 所以CD ∥EF （平行的传递性） 【总结】本题主要考查平行线的判定．21A B C DEFl【作业7】 如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ． 【难度】★★ 【答案】略．【解析】因为∠4=∠B （已知）所以CD ∥AB （同位角相等，两直线平行） 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）又因为∠1=∠3（已知）， 所以∠1=∠2（等量代换）， 所以AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】 如图，//AD BC ，BD 平分ABC ∠，且:2:1A ABC ∠∠=，求DBC ∠的度数．【难度】★★ 【答案】30°．【解析】因为AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） 又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知）， 所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为BD 平分ABC ∠（已知）， 所以∠DBC =30°（角平分线的意义） 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则C FB '∠的度数为___________． 【难度】★★ 【答案】65°【解析】因为翻折， 所以D EF DEF '∠=∠（翻折的性质）因为180AED D EF DEF ''∠+∠+∠=o（平角的意义） 又∠AED ′＝65°（已知）， 所以ο5.572180='∠-=∠='∠D AE DEF EF D （等式性质） 因为//AD BC （已知）， 所以180DEF EFC ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补）EFB DEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等）所以EFB ∠57.5=o ，18057.5122.5EFC ∠=-=o o o （等式性质）因为EFC EFC '∠=∠（翻折的性质） 所以65C FB EFC EFB ''∠=∠-∠=︒．EDBC′F CD ′ A2431ABCDABCD【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】 如图，已知AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分FEG ∠，110A D ∠=∠=o ，试说明线段EH 的长是AD 、BC 间的距离． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为AD //BC （已知）所以180A B ∠+∠=o ，180C D ∠+∠=o（两直线平行，同旁内角互补） 因为110A D ∠=∠=o （已知）， 所以∠B =∠C =70°（等式性质）因为AB //EF ，DC //EG （已知），所以∠EFG =∠B ，∠EGF =∠C （两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换）， 所以∠FEG =40°因为EH 平分FEG ∠（已知）， 所以1202FEH FEG ∠=∠=o（角平分线的意义）所以18090FHE FEH EFH ∠=-∠=∠=o o （三角形内角和等于180°） 即EH 的长是AD 、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】 如图，AB l ⊥，CD l ⊥（点B 、D 是垂足），直线EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ．如果EGB m ∠=o ，FGB n ∠=o ，且(3)EHD m n ∠=-o o ，试求出EGB ∠、BGF ∠、EHD ∠的度数． 【难度】★★★【答案】60EGB ∠=︒，120BGF ∠=︒，60EHD ∠=︒． 【解析】因为AB l ⊥，CD l ⊥（已知）所以//AB CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以180FGB EHD ∠+∠=o （两直线平行，同旁内角互补） EGB EHD ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 即3180n m n +-=，3m m n =-， 解得：60m =︒，120n =︒．所以60EGB ∠=︒，120BGF ∠=︒，60EHD ∠=︒． 【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．A B C D EFGHlA BCD E F GH【作业12】 如图，已知//AB CD ，EG 、FH 分别平分AEF ∠、DFN ∠，那么90GEF DFH ∠+∠=o ，试说明理由．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为//AB CD （已知）所以AEF CFN ∠=∠（两直线平行，同位角相等） 因为180CFN DFN ∠+∠=︒（平角的性质） 又因为EG 、FH 分别平分AEF ∠、DFN ∠（已知）所以180AEG GEF DFH NFH ∠+∠+∠+∠=︒（角的和差） 即2180GEF DFH ∠+∠=︒， 所以90GEF DFH ∠+∠=o ． 【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】 如图，已知AB ∥EF ，∠B =45°，∠C =x °，∠D =y °，∠E =z °，试说明x 、y 、z之间的关系． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意，过C 、D 两点分别作AB 的平行线CM 、DN因为AB ∥EF （已知）所以//////AB CM DN EF （平行的传递性）所以B BCM ∠=∠，MCD CDN ∠=∠，EDN E ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 因为∠B =45°，∠C =x °，∠D =y °，∠E =z °（已知） 所以45x y z -=-（等式性质） 即45x y z -+=．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．ABCDEFG HNABCDEF MN。