纠错码课件1
2018/10/21
11
纠错码的基本原理
译码失败：译码器根据接收到的信号无法作出明 确判断,不完备译码; 译码错误：译码器根据接收到的信号作出错误判 断; 完备译码：根据接收信号，译码器一定能作出是 哪一组信息的判断
纠错码的基本原理：
在信息序列之后按照一定的规则添加一定长度的保护 比特(校验比特或监督比特)
1
2018/10/21
1-p
1
4
信道模型
离散输入连续Βιβλιοθήκη 出信道 假定信道编码器的输出符号取自 X {x0 , x1 , , xq 1} ，译码器输入为 连续值Y=R，我们称这类信道为离散输入连续输出信道，典型的有： 二元输入高斯白噪声信道（BIAWGN）和二元拉普拉斯(Laplace)信 道 BIAWGN输入输出可表示为 Y=X+N 2 。给定一个输 其中，N为加性高斯白噪声，其均值为零，方差为 2 入 X xk ， k 0,1, , q 1 ，则Y是均值为xk，方差为 的 高斯变量 1 p( y | X xk ) exp{( y xk ) / 2 2} 2
在先验等概的情况下，MAP简化为ML
2018/10/21
18
信道编码定理
信道编码定理
任意离散输入无记忆平稳有噪信道都有一个被称为信道容量的值C， 它标志着信道传输能力的上限，只要信息传输速率R≤C，就存在 一种编码方式，当平均码长足够大时，译码错误概率可以做到任 意小；反之，则无论采用何种编码方式也不可能保证错误概率任 意小。
2018/10/21
15
编码增益
重复码不存在编码增益
引理：假定N维格用Λ表示，格的最小距离表示为 dmin(Λ),格中每个点的体积表示为Vol(Λ)。则格Λ的编 码增益为
2 d min ( ) ( ) Vol( ) 2 N
将(n,1)重复码看作一维格Λ ，则有dmin(Λ)=2n-1， Vol(Λ)= 2n-1, 因此
17
基本译码方法
最大似然 (ML: Maximum Likelihood)译码
P(Ci , R) P(Ci ) PR Ci PCi R P( R) P( R) MaxP Ci R MaxP R Ci
if P Ci P C j , for all i j
2018/10/21
19
信道容量
BSC
对转移概率为p的二进制对称信道而言，当输入等概时， 互信息取得最大值，信道容量为
C 1 p log2 p (1 p)log2 (1 p) 1 H ( p)
其中 H ( p) 是二元熵函数。
BEC BIAWGN
C=1-p
1 p ( y | Es ) C p ( y | Es )log 2 dy 2 p( y) 1 p ( y | Es ) p( y | Es )log 2 dy 2 p( y)
2018/10/21
21
1990
Turbo码（Berrou） SISO Chase算法（Pyndiah） Log-MAP算法（Robertson等） 重新发现LDPC码（Mackay等） Sudan算法 分组空时码（Alamouti） Guruswami-Sudan算法 2000 TTCM（Robertson） 格图空时码（Tarokh等） 删余Turbo码（Acikel）
2018/10/21
13
码纠错能力
任一(n, k)分组码，若要在码字内：
1) 检测e个随机错误，则要求码的最小汉明距离 d0>=e+1 2) 纠正t个随机错误，则要求d0>=2t+1 3) 纠正t个随机错误，同时检测e (e>=t)个错误，则要求 d0>=e+t+1 4) 纠正t个随机错误和ρ 个删除，则要求 d0>=2t+ρ +1
信道容量
信道容量定义为信道输入与信道输出的互信息，它表征了信道可 靠传输的最大速率。最常见的信道容量计算式就是带宽、功率受 限下的加性高斯白噪声（AWGN）信道容量计算式。设AWGN信 道带宽受限于[-W, W]，噪声双边功率谱密度为N0/2，信号功率为 P，则 P C W log(1 ) bits / s N0W 这个容量仅在输入服从高斯分布的情况下可以达到。如果输入信 号调制受限，那么容量将会小于上面这个值。
离散无记忆（随机）信道（DMC），有记忆（突发）信道， 组合信道
2018/10/21
5
错误图样
例子
发送序列C: (1111011000) 错误图样E: (1001001110) 接收序列R: (0110010110) R=C+E or E=C+R 突发图样: (100100111)；突发长度：9
2018/10/21
7
纠错码的分类
信道编码
分组码
卷积码
线性分组码
非线性分组码
线性卷积码
非线性卷积码
汉明码
循环码
2018/10/21
8
纠错码发展历程
分组码 Hamming码 Hamming限 Golay码
Shannon信息论 （1948）
1950
卷积码
Gilbert-Varshamov限 Reed-Muller码 卷积码（Elias） 表单译码（Elias） BCH码 Reed-Solomon码 PGZ算法 Plotkin限 LDPC码（Gallager） MacWillams恒等式 Singleton限 Berlekamp-Massey算法 级联码、GMD算法（Forney）
2018/10/21
14
性能的衡量——编码增益
在一个码率为R的编码通信系统中，为传输每个 信息比特需要传输符号的数目为1/R，若每个传输 符号的能量为Es，则每个信息比特对应的能量Eb 为：Eb=Es/R 编码阈值
给定性能前提下， 编码增益=未编码时需要的信噪比(dB) – 编码时需 要的信噪比(dB)
2018/10/21
2
数字通信系统模型
信源
信源编码 （有效性）
信道编码 （可靠性） 噪声
调制
信道
编码 信道
信宿
信源译码
信道译码
解调
2018/10/21
3
信道模型
二进制对称信道(BSC)与Z信道
0 1-p p p 1-p 0 0 1 p 1 1 0
1
1-p
1
二进制删除信道（BEC）
0 p p 1-p 0 e
2018/10/21
20
Claude E. Shannon
著名信息论和编码学者 Dr. Richard Blahut 在 Shannon塑像的落成典 礼上这样评价Shannon：
C. E. Shannon
在我看来，两三百年之后，当人们回过头来看我们这 个时代的时候，他们可能不会记得谁曾是美国总统， 他们也不会记得谁曾是影星或摇滚歌星，但是仍然会 知晓Shannon的名字，学校里仍然会讲授信息论。
2 d min () () 1 2 N Vol()
2018/10/21
16
基本译码方法
译码问题
MC R；如何根据接收信号R估计发送序列C’,进 而估计信息序列M’ 设计译码算法的原则：使译码错误概率最小
PE
PE RPR
R
PE R PC C' R
2018/10/21
10
纠错码的基本原理
n=3 许用码组：000, 111 禁用码组：001, 010, 100, 101, 110, 011 可能接收码字： 000, 001, 010, 100, 101, 110, 011, 111 能够发现两个错误，纠正一个错误 n=4 许用码组：0000，1111 假定发送码字为：00000 译码正确 禁用码组：0001, 0010, 0100, 1000, 0011, 0101, 0110, 1100, 1001, 1010, 译码失败 译码错误 0111, 1101, 1110, 1011 能够纠正一个错误同时发现两个错误；或发现三个错误
内容
数字通信系统模型 信道模型与错误图样 纠错码的分类与发展历程 纠错码的基本原理 纠错码的纠错能力 纠错码的编码增益 基本译码方法 信道编码定理 信道容量
2018/10/21
1
数字通信系统模型
多址复用: 多用户共享
信道编码: 传输可靠性
调制: 信道匹配 无线传输： 噪声与干扰！
信息处理：时间空间性能！
二进制运算规则 ⊕
0 1
2018/10/21
模2加 0 1 0 1 1 0
模2乘 ⊙ 0 1 0 1 0 0 0 1
6
差错控制的基本方式
发
FEC ARQ IRQ 发 HEC
应答信号
可纠正错误的码
收 收 收 收
发 能够发现错误的码
发
应答信号 信息信号 信息信号
能够发现和纠正错误的码
FEC: Forward Error Control；ARQ: Automatic Retransmission Request HEC: Hybrid Error Control; IRQ: Information Retransmission Request
Koetter-Vardy算法
2018/10/21
9
纠错码的基本原理
以重复码为例
00…00 许用码组(字) 11…11 其他所有二进制组合为禁用码组(字) 若将每个比特重复n次，则构成一个码长为n，信息位 长度为1的(n,1)重复码,且编码效率(码率) R=1/n n=2时 许用码组：00, 11 禁用码组：01, 10 可能接收码字：00, 01, 10, 11 能够发现一个错误，但不能纠正错误
11
纠错码的基本原理
译码失败：译码器根据接收到的信号无法作出明 确判断,不完备译码; 译码错误：译码器根据接收到的信号作出错误判 断; 完备译码：根据接收信号，译码器一定能作出是 哪一组信息的判断
纠错码的基本原理：
在信息序列之后按照一定的规则添加一定长度的保护 比特(校验比特或监督比特)
1
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1-p
1
4
信道模型
离散输入连续Βιβλιοθήκη 出信道 假定信道编码器的输出符号取自 X {x0 , x1 , , xq 1} ，译码器输入为 连续值Y=R，我们称这类信道为离散输入连续输出信道，典型的有： 二元输入高斯白噪声信道（BIAWGN）和二元拉普拉斯(Laplace)信 道 BIAWGN输入输出可表示为 Y=X+N 2 。给定一个输 其中，N为加性高斯白噪声，其均值为零，方差为 2 入 X xk ， k 0,1, , q 1 ，则Y是均值为xk，方差为 的 高斯变量 1 p( y | X xk ) exp{( y xk ) / 2 2} 2
在先验等概的情况下，MAP简化为ML
2018/10/21
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信道编码定理
信道编码定理
任意离散输入无记忆平稳有噪信道都有一个被称为信道容量的值C， 它标志着信道传输能力的上限，只要信息传输速率R≤C，就存在 一种编码方式，当平均码长足够大时，译码错误概率可以做到任 意小；反之，则无论采用何种编码方式也不可能保证错误概率任 意小。
2018/10/21
15
编码增益
重复码不存在编码增益
引理：假定N维格用Λ表示，格的最小距离表示为 dmin(Λ),格中每个点的体积表示为Vol(Λ)。则格Λ的编 码增益为
2 d min ( ) ( ) Vol( ) 2 N
将(n,1)重复码看作一维格Λ ，则有dmin(Λ)=2n-1， Vol(Λ)= 2n-1, 因此
17
基本译码方法
最大似然 (ML: Maximum Likelihood)译码
P(Ci , R) P(Ci ) PR Ci PCi R P( R) P( R) MaxP Ci R MaxP R Ci
if P Ci P C j , for all i j
2018/10/21
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信道容量
BSC
对转移概率为p的二进制对称信道而言，当输入等概时， 互信息取得最大值，信道容量为
C 1 p log2 p (1 p)log2 (1 p) 1 H ( p)
其中 H ( p) 是二元熵函数。
BEC BIAWGN
C=1-p
1 p ( y | Es ) C p ( y | Es )log 2 dy 2 p( y) 1 p ( y | Es ) p( y | Es )log 2 dy 2 p( y)
2018/10/21
21
1990
Turbo码（Berrou） SISO Chase算法（Pyndiah） Log-MAP算法（Robertson等） 重新发现LDPC码（Mackay等） Sudan算法 分组空时码（Alamouti） Guruswami-Sudan算法 2000 TTCM（Robertson） 格图空时码（Tarokh等） 删余Turbo码（Acikel）
2018/10/21
13
码纠错能力
任一(n, k)分组码，若要在码字内：
1) 检测e个随机错误，则要求码的最小汉明距离 d0>=e+1 2) 纠正t个随机错误，则要求d0>=2t+1 3) 纠正t个随机错误，同时检测e (e>=t)个错误，则要求 d0>=e+t+1 4) 纠正t个随机错误和ρ 个删除，则要求 d0>=2t+ρ +1
信道容量
信道容量定义为信道输入与信道输出的互信息，它表征了信道可 靠传输的最大速率。最常见的信道容量计算式就是带宽、功率受 限下的加性高斯白噪声（AWGN）信道容量计算式。设AWGN信 道带宽受限于[-W, W]，噪声双边功率谱密度为N0/2，信号功率为 P，则 P C W log(1 ) bits / s N0W 这个容量仅在输入服从高斯分布的情况下可以达到。如果输入信 号调制受限，那么容量将会小于上面这个值。
离散无记忆（随机）信道（DMC），有记忆（突发）信道， 组合信道
2018/10/21
5
错误图样
例子
发送序列C: (1111011000) 错误图样E: (1001001110) 接收序列R: (0110010110) R=C+E or E=C+R 突发图样: (100100111)；突发长度：9
2018/10/21
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纠错码的分类
信道编码
分组码
卷积码
线性分组码
非线性分组码
线性卷积码
非线性卷积码
汉明码
循环码
2018/10/21
8
纠错码发展历程
分组码 Hamming码 Hamming限 Golay码
Shannon信息论 （1948）
1950
卷积码
Gilbert-Varshamov限 Reed-Muller码 卷积码（Elias） 表单译码（Elias） BCH码 Reed-Solomon码 PGZ算法 Plotkin限 LDPC码（Gallager） MacWillams恒等式 Singleton限 Berlekamp-Massey算法 级联码、GMD算法（Forney）
2018/10/21
14
性能的衡量——编码增益
在一个码率为R的编码通信系统中，为传输每个 信息比特需要传输符号的数目为1/R，若每个传输 符号的能量为Es，则每个信息比特对应的能量Eb 为：Eb=Es/R 编码阈值
给定性能前提下， 编码增益=未编码时需要的信噪比(dB) – 编码时需 要的信噪比(dB)
2018/10/21
2
数字通信系统模型
信源
信源编码 （有效性）
信道编码 （可靠性） 噪声
调制
信道
编码 信道
信宿
信源译码
信道译码
解调
2018/10/21
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信道模型
二进制对称信道(BSC)与Z信道
0 1-p p p 1-p 0 0 1 p 1 1 0
1
1-p
1
二进制删除信道（BEC）
0 p p 1-p 0 e
2018/10/21
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Claude E. Shannon
著名信息论和编码学者 Dr. Richard Blahut 在 Shannon塑像的落成典 礼上这样评价Shannon：
C. E. Shannon
在我看来，两三百年之后，当人们回过头来看我们这 个时代的时候，他们可能不会记得谁曾是美国总统， 他们也不会记得谁曾是影星或摇滚歌星，但是仍然会 知晓Shannon的名字，学校里仍然会讲授信息论。
2 d min () () 1 2 N Vol()
2018/10/21
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基本译码方法
译码问题
MC R；如何根据接收信号R估计发送序列C’,进 而估计信息序列M’ 设计译码算法的原则：使译码错误概率最小
PE
PE RPR
R
PE R PC C' R
2018/10/21
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纠错码的基本原理
n=3 许用码组：000, 111 禁用码组：001, 010, 100, 101, 110, 011 可能接收码字： 000, 001, 010, 100, 101, 110, 011, 111 能够发现两个错误，纠正一个错误 n=4 许用码组：0000，1111 假定发送码字为：00000 译码正确 禁用码组：0001, 0010, 0100, 1000, 0011, 0101, 0110, 1100, 1001, 1010, 译码失败 译码错误 0111, 1101, 1110, 1011 能够纠正一个错误同时发现两个错误；或发现三个错误
内容
数字通信系统模型 信道模型与错误图样 纠错码的分类与发展历程 纠错码的基本原理 纠错码的纠错能力 纠错码的编码增益 基本译码方法 信道编码定理 信道容量
2018/10/21
1
数字通信系统模型
多址复用: 多用户共享
信道编码: 传输可靠性
调制: 信道匹配 无线传输： 噪声与干扰！
信息处理：时间空间性能！
二进制运算规则 ⊕
0 1
2018/10/21
模2加 0 1 0 1 1 0
模2乘 ⊙ 0 1 0 1 0 0 0 1
6
差错控制的基本方式
发
FEC ARQ IRQ 发 HEC
应答信号
可纠正错误的码
收 收 收 收
发 能够发现错误的码
发
应答信号 信息信号 信息信号
能够发现和纠正错误的码
FEC: Forward Error Control；ARQ: Automatic Retransmission Request HEC: Hybrid Error Control; IRQ: Information Retransmission Request
Koetter-Vardy算法
2018/10/21
9
纠错码的基本原理
以重复码为例
00…00 许用码组(字) 11…11 其他所有二进制组合为禁用码组(字) 若将每个比特重复n次，则构成一个码长为n，信息位 长度为1的(n,1)重复码,且编码效率(码率) R=1/n n=2时 许用码组：00, 11 禁用码组：01, 10 可能接收码字：00, 01, 10, 11 能够发现一个错误，但不能纠正错误
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《纠错码概述》课件
03
常见的纠错码技术
奇偶校验码
总结词
简单但可靠性较低
详细描述
奇偶校验码是一种简单的错误检测和纠正方法，通过在数据中添加校验位，使得整个数据（包括校验位）中1的 个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。这种方法简单易行，但只能检测到一位错误，且无法纠正错误。
海明码
总结词
具有中等可靠性和实现复杂度
详细描述
词
度。
优化解码算法，降低其
详 细
计算复杂度和实现难度
描
，提高解码速度。
述
在解码过程中，采用多 径传播抑制技术，减少 多径干扰对解码的影响
。
1. 降低 复杂
度
解码算法的优化主要包 括以下几个方面
2. 改进 迭代 算法
通过改进迭代算法的收 敛速度和稳定性，提高
解码准确率。
3. 多径 传播 抑制
硬件实现优化
常见的纠错码编码方式有奇偶校验、 海明码、循环冗余校验（CRC）等。
纠错码的解码原理
纠错码解码是在接收端收到编码数据后，根据预先设定的解码算法，对接收到的 数据进行解码，以检测和纠正传输过程中产生的错误。
解码算法通常基于一定的数学原理，如代数、概率统计等，通过特定的计算方法 实现错误检测和纠正。
纠错码的性能指标
软件实现方式
通用软件实现
使用通用的编程语言（如C、C、Python等 ）来实现纠错码的编码和解码过程。这种方 式具有较低的成本和较好的跨平台性，适用 于对成本和灵活性要求较高的场景。
专用软件实现
针对特定的纠错码算法，使用专用的软件库 或工具来实现编码和解码过程。这种方式具 有较高的性能和效率，适用于对性能要求较
纠错能力
编码效率
用于单向信道的简单纠错码.ppt
元
编
例如 将信息序列 10110100 逐位重复 3 次，
码
即得编码序列：111 000 111 111 000 111 000 000 .
注 (1) 逐位重复码可以抗独立错误。 (2) 重复次数一般取奇数。
2
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 一、简单重复码
四 章
最简单的纠正错误方法，就是将信息多次重复传输。
干
信息元
码字
扰
二
5
元 生成方法 (2) 奇一致监督 x5 j xi 1, j 1, 2, 3, 4, 5.
编
i 1 i j
码
例如 10100 10100 01011 ; (反重复)
10110 10110 10 110 . (正重复)
注 下面提到的正反码均采用偶一致监督。
6
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
注 分段重复码可以抗突发错误。
简单重复码的纠错能力强，但编码效率低。 3
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 二、正反码
四 章
正反码最初由马可尼电报公司提出，并应用于前向纠错
设备中，称为自动单路纠错系统。
抗
(马可尼)
干 1. 构成原理与生成方法
扰
二 构成原理 正反码是将每 5 位信息元按一定的监督关系扩充为
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 四
§4.3
用于单向信道的简单纠错码
章
一、简单重复码
抗 干
二、正反码
扰
二
元
编
码
1
§4.3 用于单向信道的简单纠错码
第 一、简单重复码
四 章
纠错码PPT
da min d, dmin(1Ci), i1,2,L,2k
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
线性码是同距离分布码
2k
n
pud pj Aipei(1pe)ni
j1 i1
若码字等概发送
n
pud Ai pei (1pe)ni i1
平均不可检 错误概率
p u d2 (n k)(1 (1 p e)k)
20
译码错误与译码失败概率
teD译码器正确译码的概率
pwc it0nipei(1pe)ni
➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
13
修正的线性码
改变线性码参数n, k, n-k的任意两个 ➢ Shorten: 删除信息符号 nkfixed,k n ➢ lengthen: 增加信息符号 nkfixed,k n ➢ Puncture: 删除校验符号 kfixed,nk n ➢ Expand :增加校验符号 kfixed,nk n ➢ Expurgate: 删除码字，增加校验符号 nfixed,k nk ➢ Augment: 增加码字，删除校验符号 nfixed,k nk
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
线性码是同距离分布码
2k
n
pud pj Aipei(1pe)ni
j1 i1
若码字等概发送
n
pud Ai pei (1pe)ni i1
平均不可检 错误概率
p u d2 (n k)(1 (1 p e)k)
20
译码错误与译码失败概率
teD译码器正确译码的概率
pwc it0nipei(1pe)ni
➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
13
修正的线性码
改变线性码参数n, k, n-k的任意两个 ➢ Shorten: 删除信息符号 nkfixed,k n ➢ lengthen: 增加信息符号 nkfixed,k n ➢ Puncture: 删除校验符号 kfixed,nk n ➢ Expand :增加校验符号 kfixed,nk n ➢ Expurgate: 删除码字，增加校验符号 nfixed,k nk ➢ Augment: 增加码字，删除校验符号 nfixed,k nk
纠错码
[ d 1 ] 2 位错误。
证明 设发出码字x C ，信息发生错误 Fqn ,从而收到的向量为 y x 。
如果发生小于等于d-1位错误，即 1 w( ) d 1 。则1 d ( x, y) w( y x) w( ) d 1 ，
由于不同码字之间的汉明距离都大于等于d，而 x C ，可知 y C 。 从而收方可发现出了错。
6.1 什么是纠错码
例1 （重复码）把每个信息
( a0 a1a2 a3 ) F24 重复三次而传送成
12 (a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) F2
F212 中只有 所以
2
4
个向量才表示有意义的信息，它们形成F212 的一个子集合
C {(a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) : ai F2}
n 定义6.1.3 设C是码长为n的q元纠错码（即C为 Fq 的一个子集合）。
定义C的最小距离
即
d d (C ) 为C中不同码字之间汉明距离的最小值，
d (C ) min{d (c, c C, c c}
定理6.1.4 设纠错码C的最小距离为d，则此码可检查 d 1 位错误，也可纠正
的一组基，从而生成阵可取为
1 I G n 1 1
码的参数为[n,n-1,2]（易知C的最小距离为2）。当q=2时，此码即是 F2 中 汉明重量为偶数的全部向量组成的线性码
n
q元线性码C=[n,k]是 Fq 的一个k维向量子空间。由线性代数知C必是某个 线性齐次方程组
证明 零向量0是线性码C中的码字，并且任何两个码字之差仍是码字。 可知C中不同码字之差所形成的集合就是C中非零码字形成的集合。 由此及
证明 设发出码字x C ，信息发生错误 Fqn ,从而收到的向量为 y x 。
如果发生小于等于d-1位错误，即 1 w( ) d 1 。则1 d ( x, y) w( y x) w( ) d 1 ，
由于不同码字之间的汉明距离都大于等于d，而 x C ，可知 y C 。 从而收方可发现出了错。
6.1 什么是纠错码
例1 （重复码）把每个信息
( a0 a1a2 a3 ) F24 重复三次而传送成
12 (a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) F2
F212 中只有 所以
2
4
个向量才表示有意义的信息，它们形成F212 的一个子集合
C {(a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) : ai F2}
n 定义6.1.3 设C是码长为n的q元纠错码（即C为 Fq 的一个子集合）。
定义C的最小距离
即
d d (C ) 为C中不同码字之间汉明距离的最小值，
d (C ) min{d (c, c C, c c}
定理6.1.4 设纠错码C的最小距离为d，则此码可检查 d 1 位错误，也可纠正
的一组基，从而生成阵可取为
1 I G n 1 1
码的参数为[n,n-1,2]（易知C的最小距离为2）。当q=2时，此码即是 F2 中 汉明重量为偶数的全部向量组成的线性码
n
q元线性码C=[n,k]是 Fq 的一个k维向量子空间。由线性代数知C必是某个 线性齐次方程组
证明 零向量0是线性码C中的码字，并且任何两个码字之差仍是码字。 可知C中不同码字之差所形成的集合就是C中非零码字形成的集合。 由此及
纠错码课件---第一章 绪论
TCM(1976)
电话Modem IS-95, 3G
3G,DVB, 802.16
CDMA(1980s）
Turbo码(1993) MIMO (1995) 合作与网络编码 (2000)
B3G/4G
新一代无线系统
编码调制技术贯穿整个 移动通信系统的设计
• 现代无线通信系统的设计是以Shannon理论为指导，以 编码为主线，通过（迭代式）编译码将各功能模块联成一 个有机的整体 网络编码与多用户协作编码 Shannon 信息理论 多用户预编码与多址编码 MIMO编码 信道编码 现代 无线 通信 系统
数字通信系统模型（5）
信道译码器：将接收序列{R}变换为二进制序列 估计信息序列。 译码策略根据信道编码规则和信道的噪声特性设计。
ˆ ，称之为 m
本课程的另一主要内容，就是设计和实现使译码错误概率最小的
信道译码器。
数字通信系统模型（6）
纠错码的发展概况
• • • • • • • • • • 通信的数学理论，Shannon(1948) 汉明码，Hamming (1950) 级连码，Forney(1966) 卷积码及有效译码, (60年代) RS码及BCH码的有效译码(60年代) TCM，Ungerboeck(1982),Forney(1984) Turbo码，Berrou(1993) LDPC 码，Gallager(1963),Macky(1996) 空时编码,Tarokh(2000) 协作与网络编码(2000;2002)
汉明重量：n重x中非零码元的个数，称为它的汉明重量， 简称
重量，用w(x)表示。
例如，若x： (10101)，则w(x)＝3。若y： (01111)，则w(y)
＝4，等等。
《纠错码原理与方法》课件
纠错码的实际应用
纠错码广泛应用于各个领域，包 括通信、存储、数字广播等，对 提高数据的可靠性和可用性起着 重要作用。
纠错码的意义和作用
纠错码保障了数据的完整性和准 确性，确保数据的正确传输和存 储，对保护数据的安全起着重要 作用。
RS码
1
RS码的定义
RS码是一种高效的纠错码，可以在数据中检测和纠正多个比特错误，具有较好的 纠错性能。
2
RS码的构造方法
通过选择适当的编码参数和生成多项式，构造出具有良好纠错能力的RS码。
3
RS码的纠错能力
RS码可以同时纠正多个比特错误，纠错能力与编码长度和生成多项式有关。
码块编码
1
码块编码的定义
BCH码
1
BCH码的定义
BCH码是一种广泛应用于数字通信和数据
BCH码的构造方法
2
存储的纠错码，具有较高的纠错能力。
通过选择合适的生成多项式和生成矩阵，
构造出具有良好性质的BCH码。
3
BCH码的纠错能力
BCH码可以检测和修复多个比特错误，纠
错能力取决于编码长度和纠错码的设计
BCH码的应用
4
参数。
BCH码广泛应用于数字通信领域，如无线 通信、卫星通信等，以及数据存储介质。
3
奇偶校验码的优缺点
奇偶校验码简单易实现，但只能检测和修复单个比特错误，纠错能力有限。
海明码
1
海明码的定义
海明码是一种多位错误检测和纠正的编码技术，能够检测、定位和修复多个比特 错误。
2
海明码的构造方法
通过增加冗余位到数据中，形成海明码矩阵，利用冗余位进行错误检测和纠正。
3
海明码的纠错原理
纠错码入门 - Lecture-1
Introduction to Error Correction Codes
Another toy example: fixed rate
• K=2,N=4 • Encoding：
000000; 010111; 101001; 111110
• Decoding：Assume that the third bit is always right, decoding according to the minimum Hamming distance • Probability of successfully decoding: Pc (1 p) (1 p)3 3 p(1 p) 2 0.999
基于LDPC码的HARQ技术研究 Introduction to Error Correction Codes
Introduction to Error Correction Codes
How Error Correction Codes Work?
• From k bits to n bits – Adding Redundancy Repetition is the simplest way • A code defined as a mapping: from k information bits to n bits. The resulting length‐n sequence is a codeword. • A table with 2k item should be used store the code. • Impractical for large k.
Introduction to Error Correction Codes
Source: waveform or digits