2020届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第八章 立体几何 课时跟踪训练43 Word版含解析.doc
课时跟踪训练(四十三)
[基础巩固]
一、选择题
1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中()
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
[解析]当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A.
[答案] A
2．(2017·湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是()
A．异面B．平行
C．相交D．以上均有可能
[解析]在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC
交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.
[答案] B
3．(2016·吉林长春二中模拟)在空间中，设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是() A．若m∥n，则α∥β
B．若m，n异面，则α∥β
C．若m，n相交，则α，β相交
D．若m⊥n，则α⊥β
[解析]若m∥n，则α与β平行或相交，故A错误；若m，n 异面，则α，β平行或相交，故B错误；若m，n相交，则α，β一定有公共点，即相交，故C正确；若m⊥n，则α与β可以平行、相交，故D错误．
[答案] C
4．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
[解析]对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．[答案] D
5．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()
[解析]解法一：对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.
解法二：对于选项A，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以
AB 与平面MNQ 有交点，即AB 与平面MNQ 不平行，故选A.
[答案] A
6．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别
为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置
关系是( )
A ．相交
B ．平行
C ．垂直
D ．不能确定
[解析] 连接CD 1、AD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a 3，连接
MP 、NP ，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1∥BC 1，∴MP ∥平面BB 1C 1C ，PN ∥平面BB 1C 1C ，∴平面MNP ∥平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C .
[答案] B
二、填空题
7．(2017·广东顺德质检)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面P AD 的位置关系为________．
[解析] 取PD 的中点F ，连接EF 、AF ，
在△PCD 中，EF 綊12CD .
又∵AB ∥CD 且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，
∴四边形ABEF 是平行四边形，∴EB ∥AF .
又∵EB ⊄平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD .
[答案] 平行
8．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．
[解析] 由面面平行的性质知截面与面AB 1的交线MN 是△AA 1B
的中位线，所以截面是梯形CD 1MN ，易求其面积为92.
[答案] 92
9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是面AA 1D 1D 的中心，点Q 是B 1D 1上一点，且PQ ∥面AB 1，则线段PQ 长为__________．
[解析] 连接AB 1、AD 1，
∵点P 是平面AA 1D 1D 的中心，
∴点P 是AD 1的中点，
∵PQ ∥平面AB 1，
PQ ⊂平面D 1AB 1，
平面D 1AB 1∩平面AB 1＝AB 1，
∴PQ ∥AB 1，
∴PQ ＝12AB 1＝22.
[答案] 22
三、解答题
10．(2017·浙江卷改编)如图，已知四棱锥P －ABCD ，△P AD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，AD ＝2CB ，E 为PD 的中点．证明：CE ∥平面P AB .
[证明] 如图，设P A 中点为F ，连接EF ，FB .因为E ，F 分别为
PD ，P A 中点，所以EF ∥AD 且EF ＝12AD ，
又因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC 且EF ＝BC ，
即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE ∥BF ，因为CE ⊄平面P AB ，BF ⊂平面P AB ，因此CE ∥平面P AB .
[能力提升]
11．(2016·云南检测)如图，在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )
A.452
B.4532 C ．44 D ．45 3
[解析] 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别
为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC
綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．因为AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝
HF ·HD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12SB ＝452.
12．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有
两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是( )
A ．AC ⊥BE
B ．EF ∥平面ABCD
C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值
D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
[解析] 由AC ⊥平面DBB 1D 1可知AC ⊥BE .故A 正确．EF ∥BD ，EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，知EF ∥平面ABCD ，故B 正确．
A 到平面BEF 的距离即为A 到平面DB
B 1D 1的距离为22，且S △
BEF ＝1
2
BB 1×EF ＝定值， 故V A －BEF 为定值，即C 正确．
△AEF 的面积为68，△BEF 的面积为14，两三角形面积不相等，
故D 错误．
13．(2017·湖南十三校联考)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有__________条．[解析]记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条．
[答案] 6
14.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则当M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.
[解析]因为平面NHF∥平面B1BDD1，所以当M点满足在线段FH上，有MN∥平面B1BDD1.
[答案]M∈线段FH
15．如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB ＝CD，∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.
[证明]证法一：
如图1，延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，
所以∠CBD＝30°.
因为△ABD为正三角形，
所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，
因此∠AFB＝30°，
所以AB＝1
2AF.
又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．连接DM，由点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.
又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，
所以DM∥平面BEC.
证法二：如图2，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，
因为M是AE的中点，
所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形，
所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，
因此∠CBD＝30°，
所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，
又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.
16.如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，
点E，F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β.
[证明]若AB与CD共面，如图1所示，
图1
∵AE∶EB＝CF∶FD，
∴AC∥EF∥BD，
又∵EF⊄β，BD⊂β，
∴EF∥β.
若AB与CD异面，如图2所示，
连接AC，BD，AD，过E点作EG∥BD，交AD于G点，连接GF，则AE∶EB＝AG∶GD.
图2
∵EG⊄β，BD⊂β，∴EG∥β.
∵AE∶EB＝CF∶FD，∴AG∶GD＝CF∶FD，
∴GF∥AC，∵GF⊄α，AC⊂α，∴GF∥α，
∵α∥β，∴GF∥β，∵EG、GF⊂平面EFG，EG∩GF＝G，
∴平面EFG∥β，又EF⊂平面EFG，∴EF∥β.
[延伸拓展]
一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M、N分别是AF、BC的中点)．
(1)求证：MN∥平面CDEF；
(2)求多面体ACDEF的体积．
[解](1)证明：
由已知得此多面体为直三棱柱．
取BF的中点G，连接MG、NG，
由M、N分别为AF、BC的中点可得NG∥CF，MG∥EF，∴NG ∥平面CDEF，MG∥平面CDEF，又∵NG∩MG＝G，
∴可得平面MNG∥平面CDEF，
又MN⊂平面MNG，
∴MN∥平面CDEF.
(2)由三视图可知AB＝BC＝BF＝2，
DE＝CF＝22，∠CBF＝π2.
取DE的中点H，连接AH.
∵AD＝AE，∴AH⊥DE，
又∵在直三棱柱ADE－BCF中，
平面ADE⊥平面CDEF，
平面ADE∩平面CDEF＝DE.
∴AH⊥平面CDEF.
∴多面体ACDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥，∵易得AH＝ 2.S矩形CDEF＝DE·EF＝42，
∴棱锥A －CDEF 的体积为
V ＝13·S 矩形CDEF ·AH ＝13×42×2＝83.
2020届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第八章 立体几何 课时跟踪训练43 Word版含解析.doc
课时跟踪训练(四十三) [基础巩固] 一、选择题 1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中() A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线 [解析]当直线a在平面β内且经过B点时，可使a∥平面α，但这时在平面β内过B点的所有直线中，不存在与a平行的直线，而在其他情况下，都可以存在与a平行的直线，故选A. [答案] A 2．(2017·湖南长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是() A．异面B．平行 C．相交D．以上均有可能 [解析]在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵过A1B1的平面与平面ABC
交于DE.∴DE∥A1B1，∴DE∥AB. [答案] B 3．(2016·吉林长春二中模拟)在空间中，设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是() A．若m∥n，则α∥β B．若m，n异面，则α∥β C．若m，n相交，则α，β相交 D．若m⊥n，则α⊥β [解析]若m∥n，则α与β平行或相交，故A错误；若m，n 异面，则α，β平行或相交，故B错误；若m，n相交，则α，β一定有公共点，即相交，故C正确；若m⊥n，则α与β可以平行、相交，故D错误． [答案] C 4．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是() A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α [解析]对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．[答案] D
2020版高中数学(理)一轮复习：第八章 立体几何
第八章立体几何 第37讲空间几何体的表面积和体积 A应知应会 一、选择题 1. 已知A，B为球面上的两点，O为球心，且|AB|＝3，∠AOB＝120°，则球的体积为() A. 9π 2B. 43πC. 36πD. 323π 2. (2018·潍坊期末)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() (第2题) A. 3π B. 4π C. 2π＋4 D. 3π＋4 3. 若体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A. 12π B. 32 3 πC. 8πD. 4π 4. (2018·郑州一调)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A. 32 3B. 16 3C. 8 3D. 4 3 (第4题)
(第5题) 5. (2018·厦门调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A . 73 B . 17 2 C . 1 3 D . 17＋3102 二、 解答题 6. 已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若|AB|＝3，|AC|＝4，AB ⊥AC ，|AA 1|＝12，求球O 的表面积． 7. 已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，求四棱锥C 1 B 1EDF 的体积．
B 巩固提升 一、 填空题 1. 若圆锥底面半径为2，高为5，则其侧面积为________． 2. 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________ cm . 3. 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1的中点，三棱锥OABD 的体积为V 1，四棱锥OADD 1A 1的体积为V 2，则V 1 V 2 的值为________． (第3题) 4. (2018·武汉调研)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________． (第4题) 二、 解答题 5. 如图，在直棱柱ABC A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，|AA′|＝4，M 为AA′的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC′到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC′的交点为N. (1) 求该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2) 求PC 与NC 的长； (3) 求三棱锥CMNP 的体积． (第5题) 6. (2018·济宁期末)如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD.
【2020创新设计一轮复习数学】第八章 立体几何中的翻折及动点的轨迹问题
补上一课立体几何中的翻折及动点的轨迹问题 知识拓展 1.翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材.解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化.解题时我们要依据这些变化的与未变化的量来分析问题和解决问题.而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆向过程，一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试. 2.在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题.对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性. 3.立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题.其一般方法有： (1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；(2)代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值. 题型突破 题型一翻折问题 【例1】(2019·宁波模拟)如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，∠C＝60°，点 E在线段CD上，满足BE⊥CD，且CE＝AB＝1 4CD＝2，现将△ADE沿AE翻折 到△AME位置，使得MC＝210.
(1)证明：AE⊥MB； (2)求直线CM与平面AME所成角的正弦值. 解(1)法一在梯形ABCD中，连接BD交AE于点N， 由条件易得BD＝43， ∴BC2＋BD2＝CD2，故BC⊥BD. 又BC∥AE，∴AE⊥BD， 从而AE⊥BN，AE⊥MN，且BN∩MN＝N， ∴AE⊥平面MNB， 又MB?平面MNB，∴AE⊥MB. 法二由ME＝DE＝6，CE＝2，MC＝210， 得ME2＋CE2＝MC2，故CE⊥ME. 又CE⊥BE，且ME∩BE＝E， ∴CE⊥平面BEM. ∵MB?平面BEM，∴CE⊥MB， 又AB∥CE，∴AB⊥MB. 易得AM＝AD＝27， 则在Rt△ABM中，MB＝26， 又BE＝23，∴ME2＝MB2＋BE2，故BE⊥MB. 又AB∩BE＝B，∴MB⊥平面ABE， 又AE?平面ABE，∴AE⊥MB. (2)法一设直线MC与平面AME所成角为θ，
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第八章 立体几何8.5 含解析
§8.5 空间中的垂直关系 1．直线与平面垂直 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理
概念方法微思考 1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？ 提示 垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面． 2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？ 提示 垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( √ ) (4)若α⊥β，a ⊥β，则a ∥α.( × ) (5)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．( √ ) (6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( × ) 题组二 教材改编 2．下列命题中错误的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案 D 解析 对于D ，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还
2020版高考数学一轮复习第八章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教案理(含解析)新人教A版
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 基础知识整合 1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的□ 01两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内． 公理2：经过□ 02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线． 2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系： 点A 在平面α内记作□05A ∈α，点A 不在平面α内记作□06A ?α. (2)点与线的位置关系 点A 在直线l 上记作□ 07A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作□08A ?l . (3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作□09l ?α，直线l 不在平面α内记作□10l ?α. (4)平面α与平面β相交于直线a ，记作□11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A ，记作□12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A ，记作□13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ????? 共面直线??? □14平行.□15 相交.异面直线：不同在□ 16任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线所成的角 ①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□ 17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角) ． ②范围：□18? ?? ??0，π2. 1．公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理
2020届高考数学(文)一轮复习讲义 第8章 高考专题突破4 高考中的立体几何问题
高考专题突破四高考中的立体几何问题 题型一平行、垂直关系的证明 例1 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D 不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE. 证明(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC. ∵AD?平面ABC， ∴AD⊥CC1. 又∵AD⊥DE，DE∩CC1＝E，DE，CC1?平面BCC1B1， ∴AD⊥平面BCC1B1. ∵AD?平面ADE， ∴平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点， ∴A1F⊥B1C1. ∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1， ∴A1F⊥CC1. 又∵B1C1∩CC1＝C1，B1C1，CC1?平面BCC1B1， ∴A1F⊥平面BCC1B1. 又∵AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD. ∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE， ∴直线A1F∥平面ADE.
思维升华(1)平行问题的转化 利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用． (2)垂直问题的转化 在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题． 跟踪训练1 (2018·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． (1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面P AB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD. 证明(1)因为P A＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD.
2020届高考数学一轮复习单元检测八立体几何提升卷单元检测文含解析新人教A版
单元检测八立体几何(提升卷) 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页． 2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上． 3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整． 第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( ) A．25πB．50πC．125πD．都不对 答案 B 解析长方体的8个顶点都在同一球面上，则这个球是长方体的外接球，所以球直径等于长方体的 体对角线长，即R＝32＋42＋52 2 ＝ 5 2 2，所以球的表面积为4πR2＝4π·? ? ?? ? 5 2 22＝50π，故选B. 2.如图所示的正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( ) A．6cmB．8cmC．(2＋32) cmD．(2＋23) cm 答案 B 解析由斜二测画法知，原图四边形OABC为平行四边形，OB⊥OA，OA＝1 cm，OB＝22cm，所以AB ＝3cm，因此其周长为(3＋1)×2＝8cm. 3．(2018·广东省广州市培正中学模拟)下列命题中，错误的是( ) A．平行于同一平面的两个平面平行 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交
D ．一条直线与两个平行平面所成的角相等 答案 B 解析 选项A 正确，是面面平行的传递性．选项B 错误，比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行，但两侧面所在平面相交．选项C 正确，由反证法，若直线与另一平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，与直线与第一个平面相交矛盾．选项D 正确，由线面角定义可知正确． 4.如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝3 2，且EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( ) A.92B ．5C ．6D.152 答案 D 解析 分别取AB ，CD 的中点G ，H ，连接EG ，GH ，EH ，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为3，三棱柱的体积为92，所以整个多面体的体积为152 . 5．如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为1，那么这个几何体的体积为( ) A.16 B.12 C.1 3D ．1 答案 A 解析 由三视图还原可知，原图形是底面是直角边为1的等腰直角三角形，两侧面也是直角边为1的等腰直角三角形，另一侧面是边长为2的等边三角形的三棱锥． 所以体积为V ＝13×? ?? ??12×1×1×1＝16，选A. 6．设a ，b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C
高中数学第八章立体几何初步基本立体图形第1课时棱柱棱锥棱台的结构特征课后提能训练新人教A版必修第二册
第八章 8.1 第1课时 A级——基础过关练 1．(2021年武汉月考)(多选)观察如下所示的四个几何体,其中判断正确的是( ) A．①是棱柱B．②不是棱锥 C．③不是棱锥D．④是棱台 【答案】ACD 【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱,②是棱锥,④是棱台,③不是棱锥．2．(多选)下列命题中错误的是( ) A．有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 C．用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D．有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 【答案】ACD 【解析】在A中,如图的几何体,有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体不是棱柱,故A错误；在B中,由棱柱的定义知B正确；在C中,用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台,故C错误；在D中,如图的几何体,有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱,故D错误．故选ACD. 3．如图所示,在三棱台A′B′C′－ABC中,截去三棱锥A′－ABC,则剩余部分是( )
A．三棱锥B．四棱锥 C．三棱柱D．组合体 【答案】B 【解析】余下部分是四棱锥A′－BCC′B′. 4．下列三种叙述,正确的有( ) ①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个B．1个 C．2个D．3个 【答案】A 【解析】①中的平面不一定平行于底面,故①错；②③可用如图的反例检验,故②③错．故选A. 5．下列图形中,不能折成三棱柱的是( ) 【答案】C 【解析】C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折成三棱柱． 6．四棱柱有________条侧棱,________个顶点． 【答案】4 8 【解析】四棱柱有4条侧棱,8个顶点(可以结合正方体观察求得)． 7．对如图所示的几何体描述正确的是________(写出正确结论的序号)． ①这是一个六面体； ②这是一个四棱台； ③这是一个四棱柱； ④此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；
备战2024年高考数学总复习第一轮第八章立体几何与空间向量课时规范练35
课时规范练35 《素养分级练》P316 基础巩固组 1.如图所示,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是() A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线BC 答案:C 解析:由题意知,D∈l,l⊂β,∴D∈β.又D∈AB,∴D∈平面ABC,即点D在平面ABC与平面β的交线上.又C∈平面ABC,C∈β,∴点C在平面ABC与平面β的交线上,∴平面ABC∩平面β=CD.故选C. 2.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD上的点,且 CF CB =CG CD =2 3 ,则下列说法正确的是() ①E,F,G,H四点共面②EF与GH异面③EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上④EF与GH的交点M一定在直线AC上 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案:B 解析:在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,则EH∥BD,且EH=1 2 BD,F,G分别是 边BC,CD上的点,且CF CB =CG CD =2 3 ,则FG∥BD,且FG=2 3 BD,因此FG∥EH,点E,F,G,H四点共面,故 ①正确,②错误;FG∥EH,FG>EH,即四边形EFGH是梯形,则EF与GH必相交,令交点为M,点M 在EF上,而EF在平面ACB上,则点M在平面ACB上,同理点M在平面ACD上,则点M是平面ACB与平面ACD的公共点,而AC是平面ACB与平面ACD的交线,所以点M一定在直线AC上,故④正确,③错误.
3.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=60°,M,N分别是A1C1,CC1的中点,BC=CA=CC1,则BN与AM所成角的余弦值为() A.3 5B.4 5 C.2 3D.3 4 答案:A 解析:取BB1的中点Q,AC的中点P,连接C1Q,PQ,C1P,则BN∥C1Q,AM∥C1P,∴∠QC1P为BN与AM所成角.由题可知直三棱柱ABC-A1B1C1为正棱柱,设BC=2,则AM=BN=√5,PQ=2,在△PQC1 中,可得cos∠PC1Q= 2×√5×√5=3 5 ,∴BN与AM所成角的余弦值为3 5 . 4.(多选)(2023·江苏南京一中高三检测)在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别为AB,BC,CD,AD,AC 的中点,则下列说法正确的是() A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME=∠CBD C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形 答案:ABC 解析:对于A,易知MQ∥BD,NP∥BD,则MQ∥NP,所以M,N,P,Q四点共面,故A正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B正确;对于C,由等角定理,知∠QME=∠CBD,∠QEM=∠BCD,
2020版高考数学(理)一轮总复习层级快练：第八章 立体几何 作业52 含解析
题组层级快练(五十二) 1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是() A．平行于同一平面的两个平面一定平行 B．平行于同一直线的两条直线一定平行 C．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D．垂直于同一平面的两条直线一定平行 答案 C 解析垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．2．设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出下列条件： ①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b. 其中能推出α∥β的条件是() A．①②B．②③ C．②④D．③④ 答案 C 3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为() A．10 B．20 C．8 D．4 答案 B 解析设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE ＝6. ∴周长为2×(4＋6)＝20. 4．(2019·安徽毛坦厂中学月考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线() A．有无数条B．有2条 C．有1条D．不存在 答案 A 解析因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条，故选A.
5．(2019·陕西西安模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，H ，G 分别是BC ，CD 的中点，则( ) A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 答案 B 解析 如图，由条件知，EF ∥BD ，EF ＝15BD ，HG ∥BD ，HG ＝1 2 BD ， ∴EF ∥HG ，且EF ＝2 5HG ，∴四边形EFGH 为梯形．∵EF ∥BD ，EF ⊄平面BCD ， BD ⊂平面BCD ，∴EF ∥平面BCD.∵四边形EFGH 为梯形，∴线段EH 与FG 的延长线交于一点，∴EH 不平行于平面ADC.故选B. 6．(2019·衡水中学调研卷)如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当PA ∥平面EBF 时，PF FC ＝( ) A.23 B.1 4 C.13 D.12 答案 D 解析 连接AC 交BE 于G ，连接FG ，因为PA ∥平面EBF ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面BEF ＝FG ，所以PA ∥FG ，所以PF FC ＝AG GC .又AD ∥BC ，E 为AD 的中点，所以AG GC ＝AE BC ＝12，所以PF FC ＝1 2 . 7．(2019·蚌埠联考)过三棱柱ABC －A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有( ) A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．12条 答案 B 解析 作出如图的图形，E ，F ，G ，H 是相应棱的中点， 故符合条件的直线只能出现在平面EFGH 中．
近年高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练54空间向量的应用(一)平行与垂直理(2021年整理)
2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练54 空间向量的应用（一）平行与垂直理 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练54 空间向量的应用（一）平行与垂直理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练54 空间向量的应用（一）平行与垂直理的全部内容。
题组训练54 空间向量的应用（一)平行与垂直 1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝错误!＋错误!＋错误!，向量b＝错误!＋错误!－错误!，则与a，b不能构成空间基底的向量是（) A.错误!B。错误! C.错误! D.错误!或错误! 答案C 解析根据题意得错误!＝错误!(a－b），∴错误!，a，b共面． 2．有4个命题: ①若p＝x a＋y b，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面,则p＝x a＋y b； ③若错误!＝x错误!＋y错误!，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则错误!＝x错误!＋y错误!. 其中真命题的个数是( ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案B 解析①正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝x a＋y b就不成立．③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则错误!＝x错误!＋y错误!不正确． 3．从点A（2,－1，7）沿向量a＝（8,9，－12）的方向取线段长｜AB｜＝34，则B点坐标为( ) A．(18,17，－17）B．(－14，－19，17) C．（6，错误!，1）D．（－2，－错误!，13) 答案A 解析设B点坐标为（x,y，z），则错误!＝λa（λ>0），即(x－2,y＋1，z－7）＝λ(8，9，－12）． 由|错误!｜＝34,即错误!＝34，得λ＝2。 ∴x＝18,y＝17，z＝－17.
高中数学一轮复习：第八章 立体几何(必修2)课后跟踪训练46
课后跟踪训练(四十六) 基础巩固练 一、选择题 1．和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是() A．异面B．相交 C．平行D．异面或相交 [解析]当两条直线无公共点时，可知两直线异面；当两异面直线中的一条直线与两条直线交于一点时，可知两直线相交，故选D. [答案] D 2.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过() A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M [解析]∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ. 又C∈γ，M、C∈β， ∴γ与β的交线必通过点C和点M.故选D. [答案] D 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C 交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是() A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面 C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面
[解析]因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，O也是A1C 的中点，所以点O在直线A1C上，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确．又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．故选D. [答案] D 4．以下四个命题中，正确命题的个数是() ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D 共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]对于①，不共面的四点中，其中任意三点不共线，故①正确；对于②，若A，B，C共线时，A，B，C，D，E不一定共面，故②不正确；对于③，b，c也可异面，故③不正确；④是错误的．故选B. [答案] B 5．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：立体几何(含解析).docx
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练 立体几何 一、填空题 1、（南京市2018高三9月学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体 积为27rtcm3,贝I」该圆柱的侧面积为▲cm'. 2、（南京市2019高三9月学情调研）如图，在正三棱柱ABC—41BG中，AB = 2, /Wj=3,则四棱锥Ai_ B J ACB的体积是▲. 3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）若圆锥底面半径为1,侧面积为屈■，则该圆锥的体积是—▲—■ 4、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）如图，该几何体由底 面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等.若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为____________ . 5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知直线/、加与平面a、0, lua,mu 0 ,则下列命题中正确的是▲・（填写正确命题对应的序号）. ①若Z / /m ,则a II（3②若/丄加，则a丄0 ③若/丄0 ,则a丄0 ④若a丄0 ,则加丄Q 6、（徐州市2019届高三上学期期中）如图，已知正方体ABCD-\B X C X D X的棱长为1,点F为棱轨 上任意一点，则四棱锥P-BDD.B.的体积为▲.
7、（苏州市2018高三上期初调研）如图，正四棱锥P-ABCD的底面一边AB的长为2^cm ,狈0面 积为8A/5C〃2,则它的体积为. 8、（扬州市2019届高三上学期期末）底面半径为1,母线长为3的圆锥的体积是_________ . 9、（镇江市2019届高三上学期期末）已知一个圆锥的底面积为兀，侧面积为2兀，则该圆锥的体积为_______. 10、（常州市2019届高三上学期期末）已知圆锥SO,过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以 截面为上底面作圆柱P0,圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱P0的体积与圆锥SO的体积的比值为____________ . （第g题）* “ 11、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）如图，丄平面ABC, AC±BC, PA=4, AC=£, BC=1, E, F分别为AB, PC的中点，则三棱锥B-EFC的体积为▲. B*-' 12、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末） 已知正三棱柱ABC —月/1C1的各棱长均为2,点D在棱孔41上，则三棱锥D-BB1C1的体 积为.
高考数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第八章立体几何课时跟踪训练41含解析
课时跟踪训练(四十一) [基础巩固] 一、选择题 1．如图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形．则该几何体的表面积是() A．8 B．20＋8 2 C．16 D．24＋8 2 [解析]由题意可知，该几何体是底面为直角三角形的直三棱 柱，其侧棱为4，故其表面积S表＝2×4＋2×4＋22×4＋1 2×2×2×2 ＝20＋8 2. [答案] B 2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为()
A.312 B.34 C.612 D.64 [解析] V B 1－ABC 1＝V C 1－ABB 1＝13×12×1×1×32＝3 12. [答案] A 3．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 ( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛 [解析] 米堆的体积为14×13×π×⎝ ⎛⎭ ⎪⎫8×42π2×5＝320 3π.将π＝3代入上式，得体积为3209立方尺．从而这堆米约有320 9×1.62 ≈22(斛)． [答案] B 4．(2017·河北唐山二模)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为( )
A ．24－π B ．24－3π C ．24＋π D ．24－2π [解析] 由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体挖去右下方1 8球后得到的几何体，该球以顶点为球心，2为半径，则该几何体的表面积为2×2×6－3×14×π×22＋1 8×4×π×22＝24－π，故选A. [答案] A 5．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( ) A.π 2＋1 B.π2＋3
部编版2020高考数学一轮复习第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积练习理
§8.2空间几何体的表面积与体积 考纲解读 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.几何体的表面积 理解球、柱体、锥体、台体 的表面积和体积的计算公 式(不要求记忆公式) 理解 2016课标全国Ⅱ,6; 2016课标全国Ⅲ,9;2016 浙 江,11; 2015课标Ⅰ,11;2015北京,5; 2014大纲全国,8 选择题 填空题 ★★★2.几何体的体积理解 2017课标全国Ⅱ,4;2017课标 全国Ⅲ,8; 2017浙江,3;2017江苏,6; 2017天津,10;2017山东,13; 2016山东,5;2016北京,6; 2015课标Ⅰ,6;2014陕西,5 选择题 填空题 解答题 ★★★ 分析解读 1.理解柱、锥、台、球的侧面积、表面积和体积的概念.2.结合模型,在理解的基础上熟练掌握柱、锥、台、球的表面积公式和体积公式.3.备考时关注以三视图、柱、锥与球的接切问题为命题背景,突出空间几何体的线面位置关系的命题.4.高考对本节内容的考查以计算几何体的表面积和体积为主,分值约为5分,属中档题. 五年高考 考点一几何体的表面积 1.(2016课标全国Ⅱ,6,5分)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A.20π B.24π C.28π D.32π 答案 C 2.(2015课标Ⅰ,11,5分)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 B 3.(2015北京,5,5分)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )
高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量8
高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量 8.2球的切、接问题 题型一特殊几何体的切、接问题 例1(1)已知正方体的棱长为a，则它的外接球半径为________，与它各棱都相切的球的半径为________． 答案 3 2a 2 2a 解析∵正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，为3a， ∴它的外接球的半径为 3 2a， ∵球与正方体的各棱都相切，则球的直径为面对角线，而正方体的面对角线长为2a， ∴与它各棱都相切的球的半径为 2 2a. (2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 答案 2 3π 解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面P AB，如图所示，则△P AB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB中，P A＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝22，△PEO∽△PDB， 故PO PB＝ OE DB，即 22－r 3＝ r 1， 解得r＝ 2 2，
故内切球的体积为43π⎝⎛⎭⎫2 23＝23 π. 思维升华 (1)正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a . (2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球的半径R ＝64a ，内切球的半径r ＝612 a ，其半径R ∶r ＝3∶1(a 为该正四面体的棱长)． 跟踪训练1 (1)(2022·成都模拟)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为32π 3的球O 的球面上， 则该圆柱的侧面积的最大值为( ) A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π 答案 B 解析 如图所示，设球O 的半径为R ，由球的体积公式得 43πR 3＝32π 3 ，解得R ＝2. 设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则r ＝2cos α， 圆柱的高为4sin α， ∴圆柱的侧面积为4πcos α×4sin α＝8πsin 2α， 当且仅当α＝π 4，sin 2α＝1时，圆柱的侧面积最大， ∴圆柱的侧面积的最大值为8π.
高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量8
高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 几何法求空间角 考试要求 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点．理解异面直线所成角、直线和平面所成角和二面角的定义，并会求值． 知识梳理 1．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． (2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π 2. 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 3．二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角
若有①O ∈l ； ②OA ⊂α，OB ⊂β； ③OA ⊥l ，OB ⊥l ，则二面角α－l －β的平面角是∠AOB . (3)二面角的平面角α的范围：[0，π]． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若直线l 1，l 2与同一个平面所成的角相等，则l 1∥l 2.( × ) (2)异面直线所成角的范围为⎣⎡⎦ ⎤0，π 2.( × ) (3)如果平面α∥平面α1，平面β∥平面β1，那么平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补．( √ ) (4)线面角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π 2，二面角的范围为[0，π]．( √ ) 教材改编题 1.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案 C 解析 连接B 1D 1，D 1C (图略)，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 即为所求的角或其补角．又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴△B 1D 1C 为等边三角形，∴∠D 1B 1C ＝60°. 2.如图所示，AB 是⊙O 的直径，P A ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，P A ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．
届高三数学一轮总复习第八章立体几何课时跟踪检测理
第八章立体几何 第一节空间几何体的结构特征 1．简单几何体 (1)简单旋转体的结构特征： ①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到； ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到； ③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到； ④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到． (2)简单多面体的结构特征： ①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形； ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形； ③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．[小题体验] 1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是________(填序号)． ①棱柱的侧棱长都相等；②四棱锥有四个顶点；③三棱台的上、下底面是相似三角形； ④有的棱台的侧棱长都相等． 解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点，故②说法不正确，由棱柱、棱台的结构，知①③④说法正确． 答案：② 2.如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图 形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是________ cm. 解析：将直观图还原为平面图形，如图所示．
可知周长为8 cm. 答案：8 3．(2016·金陵中学检测)下列结论正确的是________(填序号)． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②以三角形的一条边所在直线为轴，旋转一周得到的几何体叫圆锥； ③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥； ④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线． 解析：当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故①错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，则所得的几何体就不是圆锥，故②错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故③错误；由圆锥母线的定义，知④正确． 答案：④ 1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．2．注意斜二测画法中的“三变”与“三不变”： “三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变．“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变．[小题纠偏] 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台； ②多面体至少有3个面； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形． 解析：①说法错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以②说法错误；③说法错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知④说法正确．