专题解三角形大题(含答案)

专题解三角形大题(含答案)
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今天，你，做数学题了吗？
1.在△ABC中，已知bcosA+a=c，求B的大小和△ABC
的面积。

根据正弦定理和余弦定理，可以得到
sinBcosA+sinA=sinC和cosB=（c-a2-b2）/2ab。

代入已知条件，解得B=π/3，S△ABC=absinB=√3/4.
2.在△ABC中，已知（b-a）sinB+asinA=csinC，且c=2，
求角C的度数和△ABC面积的最大值。

同样利用正弦定理和
余弦定理，可以得到a2+b2-c2=ab和cosB=(c-a2-b2)/2ab。

解得C=π/3，S△ABC=absinC=√3.
3.在△ABC中，已知a+b+c=2，求sinC和如果△ABC是
钝角三角形，求其面积。

根据余弦定理，可以得到
cosC=(a2+b2-c2)/2ab。

代入已知条件，解得sinC=√3/2，若
△ABC是钝角三角形，面积为0.
4.在△ABC中，已知2cosC（acosB+bcosA）=c，求角C
和如果c=2，求△ABC面积的最大值。

根据余弦定理，可以
得到cosC=(a2+b2-c2)/2ab。

代入已知条件，解得C=π/3，
S△ABC=absinC=√3.当c=2时，代入面积公式，解得
S△ABC=√3.
5.在四边形ABCD中，已知∠D=2∠B，且AD=2，CD=6，cosB=1/3，求△ACD的面积和AB的长。

根据余弦定理，可以得到AC2=40-24cosB=32，再根据海龙公式和正弦定理，可以
解得S△ACD=8√3和AB=2√7.
6.在△ABC中，已知bsin（A+C）=asinC，且a=2c，求sinB和△ABC的周长。

代入正弦定理和已知条件，解得
sinB=1/2，周长为3c。

1.由$a^2+b^2-c^2=ab$，得到$ab+4=a^2+b^2$。

由不等式$a^2+b^2\geq 2ab$，得到$ab+4\geq 2ab$，因此$ab\leq 4$。

从而，当且仅当$a=b=2$时取等号。

所以$\triangle ABC$面积的
最大值为$3$。

2.在$\triangle ABC$中，根据正弦定理得$\frac{a}{\sin
A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，即$c=2R\sin C$。

因为$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，所以$\cos A=\frac{b^2+c^2-
a^2}{2bc}$。

如果$\cos A\leq 0$，则$A\geq 90^\circ$，
$\triangle ABC$不存在。

所以$\cos A>0$，即$\frac{b^2+c^2-
a^2}{2bc}>0$，即$b^2+c^2>a^2$。

因为$a^2+b^2=c^2+4$，所
以$b^2+c^2>4$，即$b^2+c^2\geq 5$。

又因为$a^2+b^2\geq
2ab$，所以$c^2+4\geq 2ab$，即$ab\leq \frac{c^2+4}{2}\leq 5$。

因此，$a,b$的取值范围为$2\leq a,b\leq \sqrt{5}$。

当$b=2$时，$a^2=8-c^2$，由$a,b$的取值范围可知$a=\sqrt{5}$，此时$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{5+4-c^2}{4\sqrt{5}}=\frac{9-
c^2}{4\sqrt{5}}$，因此$c=\sqrt{5}$。

$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\sqrt{5}\cdot 2\cdot \frac{9-
c^2}{4\sqrt{5}}=\frac{9-c^2}{4}=1$。

4.在$\triangle ABC$中，由余弦定理可得$4=c^2=a^2+b^2-
2ab\cos C\geq 2ab-ab=ab$，因此$ab\leq 4$，当且仅当
$a=b=2$时取等号。

因此，$\triangle ABC$面积的最大值为
$\frac{1}{2}ab\sin C\leq \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=2$。

5.（1）因为$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{1}{2}$，$0<B<\pi$，所以$\sin B=\sqrt{1-\cos^2 B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

因此，$\sin D=\sin 2B=2\sin B\cos B=\sqrt{3}$。

$\triangle
ACD$的面积为$\frac{1}{2}AD\cdot CD\cdot \sin D=4$。

2）因为$\cos D=2\cos^2 B-1=-\frac{1}{2}$，所以$\sin^2
D=1-\cos^2 D=\frac{3}{4}$。

由余弦定理可得
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2-2AD\cdot CD\cos D}=2\sqrt{5}$。

因为$BC=6$，所以$AB=\sqrt{AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cos
B}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。

$\triangle ABC$的面积为
$\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot
2\sqrt{7}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}=2\sqrt{35}$。

$\triangle
ABC$的周长为$a+b+c=2\sqrt{5}+2\sqrt{7}+6$。

6.（1）因为$bsin(A+C)=asinC$，可得$bsinB=asinC$，所
以$b^2=ac$。

因为$a=2c$，所以$\cos B=\frac{a^2+c^2-
b^2}{2ac}=\frac{3}{4}$，$\sin B=\sqrt{1-\cos^2
B}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

2）因为$\triangle ABC$的面积为$ac\sin
B=\frac{1}{2}b^2\sin B=2$，所以$c=\frac{4}{a}$，代入
$b^2=ac$可得$b=4$，代入$a=2c$可得$a=8$。

$\triangle ABC$的周长为$a+b+c=16+4\sqrt{7}$。