判断三角形的个数问题
正余弦定理的应用——三角形的个数问题
题组一： 1.满足5,6,7ABBCCA的ABC的个数为______.
2.满足3,50,2ABAAC的ABC的个数为______.
3.满足45,10,70AACC的ABC的个数为______.
4.满足30,50,2ABAC的ABC的个数为______.
5.满足3,2,150ABACA的ABC的个数为______.
6.满足7,8,98ACBCA的ABC的个数为______.
7.满足16,14,45ACBCB的ABC的个数为______.
8.满足16,14,45ACBCA的ABC的个数为______.
9.满足27AC,6BC,3B的ABC的个数为______. 10.满足2AC,23BC,6B的ABC的个数为______. 题组二： 11.满足4cos5A,12cos13B,6BC的ABC的个数为______. 12.满足3sin5A,5cos13B,6BC的ABC的个数为______. 13.满足4sin5A,5sin13B,6BC的ABC的个数为______. 14.满足4sin5A,8tan15B,6BC的ABC的个数为______. 15.满足6AB,10AC,24ABCS的ABC的个数为______. 题组三：16.若满足33AC,6BC的ABC有两个,则A的取值范围为______. 17.若满足2AC,BCx,45B的ABC有两个,则x的取值范围为______. 18.若满足ACx,2BC,45B的ABC有两个,则x的取值范围为______. 19.在凸四边形ABCD中,若75ABC,2BC,则AB的取值范围是______. 20.在凸四边形ABCD中,若60,90ABC,2BC,则AB的取值范围是______.
最新小学二年级奥数精选例题加习题编排(1)
1
下图是用大小一样 的三角形搭成的“宝塔”。仔细观察后请完成下面的问题。
⑴“宝塔”每层所包含的小三角形的个数。
⑵每个“宝塔”所包含的小三角形的个数。
⑶列式计算 6 层“宝塔”小三角形的个数 。
⑷列式计算 7 层“宝塔”小三角形的个数 。
用“配对”的思考方法，在□中填入合适的数。让下面的算式中的数组成一个等差数列。
⑴□＋□＋12＋□＋□＝60
⑵12＋□＋□＋□＋□＝40
⑶□＋□＋42＋58＋□＋□＝300
绝对差减法——退位减法的另一种算法！
速算与巧算 2
下面的算式，你能口算吗？
⑴300×5＝
308×5＝
348×5＝
⑵700×8＝
706×8＝
736×8＝
⑶900×4＝
902×4＝
932×4＝
下面的算式，你能口算吗？
⑴3746×11＝
8472×11＝
93741×11＝
⑵45×45＝
19×11＝
67×63＝
84×86＝
学习内容回顾
1. 配对求和
2. 等差数列求和
3. 减法退位巧算
4. 乘法巧算 1 我会数一数
请问摩比在多少个正方形里呢？
图形计数问题：
1. 分类
2. 有序
你会做吗？
在下图的八个点中，任意取四个点画出长方形，能画出多少个不同的长方形？
【拓展】
下图有六个点，连接其中任意三点组成三角形，能组成多少个不同的三角形？
我会做一做！
新学期开始了，老师对大家说，每个同学都要互相握手，摩比一个同 19 位同学握了手，请问班上一共有多少名学生，所有同学一共握了多少次手？ 2
握手问题其实就是数线段的问题：
1．数出基本线段数为 n。 (基本线段也就是相邻两个端点组成的线段。)
2．线段总数：n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1
请你观察下面的图形，然后回答问题。
如果都按照下面的搭法，能搭几组呢？
立体图形的计数方法：
1. 从上往下数
2. 每层的个数＝上层数＋多余数
请问下图中一共有多少个正方形？
§1.1.1正弦定理(2)
1 第一章 1.1.1正弦定理（2）
学习目标：加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用。
1．正弦定理有哪几种变形？
问题探究：探究问题（一）画图判断三角形的解的个数
（1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ）
A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
（2）已知△ABC中,A=30°, a= 2，b=2，则 （ ）
A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 21，b=2，则 （ ）
A、有一解 B、有两解 C、无解 D、不能确定
总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?
探究问题（一）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:
（1）若A为锐角时:
)( ba) ,( babsinA)( bsinA a sin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba
babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinA
（2）若A为直角或钝角时:)( ba
锐角一解无解ba
说明：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法：
①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数； ②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数。
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o
(3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o
正弦定理1.1.1(二)
1.1.1 正弦定理(二)
学习目标 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题(重点)；2.能根据条件，判断三角形解的个数(难点)；3.能利用正弦定理、三角恒等变换解决较为复杂的三角形问题(难点).
知识点1 对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：
(1)代数角度
由正弦定理得sin B＝bsin
Aa，
①若bsin Aa＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解.
②若bsin Aa＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解.
③若bsin Aa＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.
(2)几何角度
图形 关系式 解的个数
A为
锐角 ①a＝bsin A；
②a≥b 一解
bsin A＜a＜b 两解
a＜bsin A 无解 A为
钝角
或直
角 a＞b 一解
a≤b 无解
【预习评价】
1.已知三角形的两边及其中一边的对角往往得出不同情形的解，有时需舍去一解，有时又不能舍.那么我们怎么把握舍不舍的问题？
提示 例如在△ABC中，已知a，b及A的值.由正弦定理asin A＝bsin B，可求得sin B＝bsin Aa.在由sin B求B时，如果a＞b，则有A＞B，所以B为锐角，此时B的值唯一；如果a＜b，则有A＜B，所以B为锐角或钝角，此时B的值有两个.
2.已知三角形的两边及其夹角，为什么不必考虑解的个数？
提示 如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等.即三角形的两边及其夹角确定时，三角形的六个元素即可完全确定，故不必考虑解的个数的问题.
知识点2 三角形面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝12bcsin__A＝12acsin__B＝12absin__C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.
三角形三边关系应用的六种常见题型
三角形三边关系应用的六种常见题型
1. 判断三角形类型的题型：
判断题型是三角形三边关系应用中常见的题目类型之一。在这类题目中，通常会给出三条边的长度，要求判断这三条边能否组成一个三角形，并根据三边的关系确定三角形的类型。
例如，给定三条边长为3、4和5的线段，我们需要判断这三条线段能否组成一个三角形。根据三角形的综合定理，任意两边之和大于第三边，则它们可以组成一个三角形。因此，由3、4和5这三个数字可以构成一个三角形。
2. 求三角形周长的题型：
求三角形周长是另一个常见的三边关系应用题型。在这类题目中，通常会给出三角形的边长，并要求计算三角形的周长。
例如，给定一个三角形的边长分别为5、7和9，我们需要计算这个三角形的周长。根据三角形的定义，三角形的周长等于三条边的长度之和。因此，这个三角形的周长为5 + 7 + 9 = 21。
3. 求三角形的面积的题型：
求三角形的面积是三角形三边关系应用中常见的题目类型之一。在这类题目中，通常会给出三角形的边长，并要求计算三角形的面积。
例如，给定三角形的边长分别为3、4和5，我们需要计算这个三角形的面积。可以使用海伦公式来计算三角形的面积，公式为：面积 = √[p * (p - a) * (p - b) * (p -
c)]，其中p为三角形的半周长，a、b和c为三角形的边长。计算得到半周长p=(3+4+5)/2=6，代入公式中可以得到面积 = √[6 * (6 - 3) * (6 - 4) * (6 - 5)] = √[6 * 3
* 2 * 1] = √36 = 6。 4. 判断三角形的相似性的题型：
判断三角形的相似性是三角形三边关系应用中另一个常见的题目类型。在这类题目中，通常会给出两个三角形的边长，并要求判断是否相似。
例如，给定两个三角形的边长分别为3、4和5以及6、8和10，我们需要判断这两个三角形是否相似。根据相似三角形的性质，如果两个三角形的对应边长成比例，则它们是相似的。因此，通过计算可知，两个三角形的对应边长比值均为1:2，因此它们是相似的。
解三角形题型分类讲解
解三角形知识点总结及题型分类讲解
一、 知识点复习
1、正弦定理及其变形
2、正弦定理适用情况：
1已知两角及任一边
2已知两边和一边的对角需要判断三角形解的情况
已知a,b和A,求B时的解的情况:
如果BAsinsin,则B有唯一解；如果1sinsinBA,则B有两解；
如果1sinB,则B有唯一解；如果1sinB,则B无解.
3、余弦定理及其推论
4、余弦定理适用情况：
1已知两边及夹角；2已知三边.
5、常用的三角形面积公式
1高底21ABCS；
2BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21两边夹一角.
6、三角形中常用结论
1,,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；
2sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）.
3在△ABC中,CBA,所以CBAsin)sin(；CBAcos)cos(；CBAtan)tan(.
42sin2cos,2cos2sinCBACBA.
二、典型例题
题型1、计算问题边角互换
例1、在ABC中,若7:5:3sin:sin:sinCBA,则角C的度数为
答案：C23
例2、已知ABC中,A60,3a,则sinsinsinabcABC=．
答案：2
例3、在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=b．
求角A的大小；
答案：𝜋3 题型2、三角形解的个数
例1.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60。,则此三角形的解的情况是
A. 有一解 B. 两解 C. 无解 D.有解但个数不确定
例2.在ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是
A、7a,14b,30A； B、25b,30c,150C；
正弦定理与余弦定理-讲义(学生版)
正弦定理与余弦定理
一、课堂目标
1．理解正弦定理与余弦定理并熟记公式，能够利用其公式解决三角形边角问题．
2．熟练掌握利用正余弦定理判断三角形解的个数问题．
3．能够利用边角关系判断三角形的形状．
4．熟记三角形面积公式，并能解决相关的面积问题．
二、知识讲解
1. 三角形中的常用关系式
知识精讲
（1）角的关系
①CBA
②CBCBCBAsincoscossin)sin(sin
③)sinsincos(cos)cos(cosCBCBCBA
④CBCBCBAtantan1tantan)tan(tan
（2）边的关系
①两边之和大于第三边
②两边之差小于第三边
（3）边角的关系
大边对大角，大角对大边
2. 正弦定理
知识精讲
（1）正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin(R为三角形外接圆半径）
（2）正弦定理变形式：
①CBAcbasin:sin:sin::
②CRcBRbARasin2,sin2,sin2
③RcCRbBRaA2sin;2sin;2sin ④RCBAcba2sinsinsin
（3）正弦定理的应用：
①已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求其他的角和边.
经典例题
1. 在ABC△中，内角CBA，，所对的边长分别为bABcCBacba21cossincossin,,,且,ba则B（ ）．
A.6 B.3 C. 32 D.65
巩固练习
2. 在ABC△中，角CBA，，所对的边长分别为cba，，，bAbBAa2cossinsin2则ab等于（ ）．
A.32 B.22 C. 3 D.2
经典例题
3. 在ABC△中，已知134ABBA，，则BC为（ ）
A.13 B.13 C. 36 D.2
分类数三角形个数
分类数三角形个数
数三角形个数的具体方法如下：
1. 暴力枚举法：通过枚举每一个三角形的顶点，判断是否能够构成三角形，从而统计个数。这种方法适用于小规模的三角形计数，但对于大规模的三角形计数则不太实用。
2. 组合计数法：利用组合数学的知识，将三角形的计数问题转化为选取一定数量的点，然后从中选出三个点构成三角形的问题。具体来说，假设有n个顶点，选取3个顶点构成三角形的个数为C(n,3)。但需要注意的是，这种方法只适用于顶点数量比较少的情况，因为顶点数量一旦增加，组合数就会非常大，计算难度也会增加。
3. 利用类型分类计数：将三角形分成不同的类型进行分类计数，然后将不同类型的三角形个数相加即可。常见的分类包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。这种方法需要对三角形的性质和构成规律有比较深入的了解，同时需要注意分类的准确性和完备性。
4. 利用图形转化：将原始图形转化为另一种具有更易于计数的形式，然后再进行计数。例如，将正方形分成若干个小三角形、小正方形和小菱形，然后计算各种小图形的个数，最后将其相加即可得到三角形的个数。这种方法需要灵活运用图形转化的思想，找到适合的转化方法。
以上方法仅供参考，具体应用时需根据实际情况选择合适的方法。
判断三角形解的个数的方法
判断三角形解的个数的方法
判断三角形解的个数的方法
判断三角形解的个数是数学中一个重要的问题，在实际应用中也经常涉及到。一般来说，有两种方法可以用来判断三角形解的个数：
方法一：三角不等式法
三角不等式法是判断三角形解个数的经典方法，也是一种比较直观的方法。根据三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边，即a +
b > c，b + c > a，a + c > b，其中a、b、c分别为三角形的三条边。如果已知一组三角形边长，只需将这组数据代入三角不等式，判断是否成立即可。
例如，若已知一组三角形边长为a=3 cm，b=4 cm，c=7 cm，则：
a + b > c，即3 + 4 > 7，成立。
b + c > a，即4 + 7 > 3，成立。
a + c > b，即3 + 7 > 4，成立。
因此，该组数据满足三角不等式，故可构成一个三角形。
如果三边的长度难以直接比较，则可以取出其中最大的一边，判断其余两边之和是否大于最大边，以此来判断是否能构成三角形。
方法二：海龙公式法
海龙公式法是利用三条边的长度求出用海龙公式求出面积，然后根据海龙公式，面积S=max{p(p-a)(p-b)(p-c)}^{1/2}，其中p=(a+b+c)/2，判断是否能构成三角形的方法。海龙公式法比三角不等式法更精准，适用于各种情况。若a,b,c都是正数，且满足a+b>c,b+c>a,a+c>b，则S>0，这说明这三条边可以构成一个三角形。若S=0，则说明这三条边不能构成一个三角形。
例如，若已知一组三角形边长为a=3 cm，b=4 cm，c=7 cm，则：
p=(a+b+c)/2=14/2=7。
S=max{p(p-a)(p-b)(p-c)}^{1/2}=max{7*4*3*0}/2=0。
因此，该组数据不能构成一个三角形。
总的来说，三角不等式法适用于求三角形是否存在、没有求边长的时候判断是否存在三角形；而海龙公式法适用于求三角形的面积、判别三个给定边是否能构成三角形。无论采用何种方法，判断三角形解的个数都是一个基础的数学问题，对于学习和应用都有着至关重要的作用。
解三角形中解的个数问题知识点与练习(解析版)-2021年高考数学必考知识专练(解三角形)
1 专题5：解三角形中解的个数问题知识点与练习（解析版）
解三角形个数问题
1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角；
2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
例如：已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:（多解情况）
○1若A为锐角时:
)( ba) ,( babsinA)( bsinA a sin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba
babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinA ○2若A为直角或钝角时:)( ba 锐角一解无解ba 一、单选题 1．在ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且3a，6b，45B，则A等于（ ） A．60° B．120° C．60°或120° D．135° 【答案】C 【分析】 利用正弦定理求得sinA，根据大边对大角确定A的范围，得到A的值. 【详解】 3a，6b，45B， 由正弦定理得2332sin26asinBAb,
三年级数三角形个数技巧口诀
三年级数三角形个数技巧口诀
三年级学习数学时，我们经常会遇到关于三角形的问题。掌握数三角形个数的技巧可以帮助我们更好地解决这类问题。下面我将给大家介绍一些技巧和口诀，希望能帮助大家更好地理解和记忆。
我们来看一下如何判断一个图形是否为三角形。在数学中，三角形是由三条边组成的，而且任意两边之和大于第三边。所以，当我们遇到一个图形时，首先要看它是否满足这两个条件。如果满足，那么这个图形就是一个三角形。
接下来，我们来看一下如何计算三角形的个数。在三年级时，通常我们遇到的问题是给定一些线段，让我们计算可以组成多少个不同的三角形。这时，我们可以通过计算任意三条线段是否满足构成三角形的条件，来确定三角形的个数。
我们可以选择其中的一条线段作为固定边，然后再选择另外两条线段。这样，我们可以通过计算固定边与其他两条线段之和是否大于第三条边，来确定是否可以构成一个三角形。如果可以构成三角形，那么就可以计数一个三角形。
接下来，我们可以选择另外一条线段作为固定边，再次计算其他两条线段是否可以构成三角形。通过这样的方法，我们可以计算出所有可能的三角形个数。
除了通过计算确定三角形的个数外，我们还可以通过观察线段的长度来判断三角形的形态。当一条线段的长度大于另外两条线段之和时，这三条线段无法构成一个三角形。当一条线段的长度等于另外两条线段之和时，这三条线段构成一个等边三角形。当一条线段的长度小于另外两条线段之和时，这三条线段构成一个普通三角形。
我们还可以通过计算线段的斜率来判断三角形的形态。斜率是一个线段在坐标系中的倾斜程度。当一条线段的斜率大于0时，这条线段是向上倾斜的。当一条线段的斜率小于0时，这条线段是向下倾斜的。当一条线段的斜率等于0时，这条线段是水平的。通过观察线段的斜率，我们可以判断三角形的形态。
总结一下，掌握数三角形个数的技巧可以帮助我们更好地解决有关三角形的问题。通过计算线段之间的关系、观察线段的长度和斜率，我们可以判断三角形的形态和个数。希望通过这些技巧和口诀，大家能够更好地理解和记忆三角形的相关知识，提高解题的能力。