数列极限定义的等价定义及其作用
然数 N， 使得当 n>N 时， 有x
,反之， 如果{xn}满足 1)， 那么对
1 = e k
k
使得 任意正数总可以找到自然数 k，
1
， 而对 k 总存在自然数
x
- a < e, x
- a < e, x
- a < e, L， Nhomakorabea直观又会把人引入歧途。
e
n
0; n
e
科技论坛
·45·
科教文化
（广东环境保护工程职业学院， 广东 佛山 528216 ） 摘 要： 在数学分析中， 数列极限的定义是最基础的内容， 而它的等价定义以及其在教学中的作用对学生在学习数学分析和常微分 阐述了数列极限的等价定义， 在讨论了数列极限等价定义的基础上研究其在教学 等都起到了非常重要的作用．本文从数列极限定义出发， 中作用．并说明运用等价定义证明教材中有关极限性质的定理以及极限不存在问题较之传统的方法， 都有较大的优势。 关键词： 数列极限； 收敛； 正整数 1 概述 数列的极限， 是有限与无限、 定性与定量、 任意与确定等辩证思 想在数学中的一个具体体现,数列极限的概念是高等数学中一个非 常重要的概念， 通过数列极限的学习， 将使我们对变量数学的认识 步入新的层次。 2 数列极限定义的等价定义 在数学分析中， 数列极限的定义是最基础的内容， 它的等价定 义以及等价定义在教学中的作用对以后的学习都是非常重要的， 甚 至在整个大学的数学学习也都是非常重要的， 下面给出数列极限定 义。 2.1 数列极限定义 a 是常数， 如果对任意 e > 0， 总存在自然数 N， 使 设 {xn}是数列， 有 x - a<e， 则称数列[xn]存在极限， 极限为 a， 或称数列 得 n>N 时， 收敛于 a， 记为 lim x = a 。
1 n + (1) , 2n n , 1 100 + (- 1) 99 n
1， 0， 它们是上述所说的每一种情形的例子[3]。 的极限分别是 0， 2.2 数列极限定义的两个等价描述 1 1)对任意的自然数 k， 总存在自然数 N， 使得当 n>N 时， 有x - a< 。 k 2)对任意的r > 0， 只有有限个 xn 位于 (a - r , a + r ) 之外[2]。 证明 1)设 lim x = a ， 对任意的自然数 k， 取e = 1 ， 则存在自
Á Â Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Â Á Á Á Á Á Ã Â Ã Â Á Á Ä Á Â Ä ÃÁ Â Á
· 195 ·
数列极限定义的等价定义及其作用
王 芳
当 n 无限增大时， 数列中各项可以从单侧， 也可以从两侧趋于 a， 也可能时而接近于 a， 时而远离 a， 而趋于 a 不一定是 “ 一项比一 项接近 a” 。例如下述数列
如当我们说 a - a < + = e 时， ） ， 常表示 an 与a a ® a（a 为常数 e 越小， N 的选取， 完全取决于e， 一般来说， N 越大[6]。 2 2 的距离 “ 越来越小 ” ； 与此同时， 我们必发现， 当 a 与 a 的距离 “越来越 (4) N 的多值性 n 小 ” 时， a 与另一个不等于 a 的常数 a' 的距离也是 “ 越来越小 ” （如 N 虽然与 e 有关， 但又不是唯一的， 即不表示 N 是 e 的函数， 实 n 1 际对给定的e， 如果存在一个满足要求的 N， 就必然有无限多个满足 n “越来越小” ） 。 时， 与 - 1 的距离也可以说 n 要求的 N， 换句话说， N 就有无穷多个了。 （下转 45 页 ） 为了避免这种直观带来得不确定性 （教学 (5)趋于极限的多样性
辽宁电视台新播出总控系统简介
刘志平 ） （辽宁广播电视台技术发展管理中心播出部， 辽宁 沈阳 110820 摘 要： 总控系统是台内外节目信号交换的中心， 矩阵是其核心设备。Trnix 数字视频矩阵由输入板、 交叉点板及输出板组成， 交叉点 板支持 SD 和 HD 标准， 配备 Trinix Broadlinx Board 板卡可实现矩阵的输出监视和矩阵的状态监测告警。 关键词:总控系统;Trinix 数字视频矩阵;监看;源名跟随 辽宁电视台播出总控系统建立在计算机技术及网络技术上， 是 审核、 播出、 管理等功能于一体，并具备与 一个集视音频节目上载、 台内已有或将建的新闻网、 制作网、 媒资网、 收录网等直接连接的完 整 8 频道视频播出系统。新播出总控系统于 2009 年年末正式投入 使用， 使用至今， 系统运行稳定， 满足了节目部门的各项需求， 同时 由于采用了具有前瞻性的全新设计，系统的冗余备份手段完备， 系 统安全性大大提高， 极大地减轻了播出值班的工作强度， 保证了安 全优质播出。 辽台播控系统是全数字化的系统，总控的核心是 Trinix 256× 256 数字视频矩阵。台外信号通过收录矩阵、 卫星接收设备、 微波接 收设备、 网络接收设备、 SDH 设备经过端子板上跳线盘， 接入调度系 交叉点板及输出板组成， 交叉 统， 用于播出。该矩阵系统由输入板、 点板支持 SD 和 HD 标准， 输入、 输出板为标清板卡， 支持嵌入格式， 配备 Trinix Broadlinx Board 板卡可实现矩阵的输出监视和矩阵的 状态监测告警。 矩阵使用先进的 ENCORE 控制系统， 有主备两块板卡， 可以实 现自动切换， 增强了安全性。 ENCORE 控制系统基于网络化运行， 支 持远程进行矩阵的调度和控制， 配置简单灵活， 同时易于扩展升级， 使得系统的生命周期大大提高 。 系统的周边设备主要采用荷兰 AXON 公司的各种板卡， 这些板卡支持通过网络调控， 使用起来非 常方便， 还减少了机房空间占用， 支持热插拔， 免去了一些传统设备 拆卸的麻烦。 总控监看系统采用美国 AVITECH 公司 MCC- 8004 分画器投射 到等离子屏， 没有了传统电视墙的笨重， 而且音频电平， 源名都可以 显示， 音频还可以实现报警， 提示外来信号异常。 总控矩阵和收录矩 阵、 上载矩阵均有输入输出母线连接， 方便各矩阵间信号的调度。 总控监看系统另外一个最主要的特色是实现动态监看。 传统的 电视墙监看的目标都是接死的， 没有灵活性可言。新监视系统将信 号源接到矩阵的目的输出上， 再由矩阵将所需要监看的信号调度到 分画器上， 分画器再将 12 路信号整合到一个 50 寸等离子屏幕上进 行监看， 每一个分画器中的信号不再是固定的， 而是动态分配的， 这 样有两个好处， 一方面利用矩阵的分配功能将信号复用， 不在信号 流程上增加多余环节， 大大的提高了播出的安全性； 另一方面由矩 阵调度所需要监看的信号， 不再需要将所有的信号都接到监视器上 监看， 而是根据不同的情况进行自由的组合， 极大的提高了系统的 灵活性， 工作人员可以将当前需要重点监看的信号集中放到一块屏 上， 在紧张的多频道多路直播中， 可以极大地减轻总控值班人员的 负担， 提高安全播出水平。 由于实现了动态调度的监看， 伴随着出现了新的问题。传统的
N， 使得当 n>N 时， 有 x - a < < e， 即 lim x = a 。 k lim x = a 2)设 ， 那么对任意 r > 0， 存在自然数 N， 使得当 n>N 不等式 x - a < e 与不等式 a - e < x < a + e 是等价的， 所以数列 a - r < x < a + r,可见至多只有 N 个 xn 在(a- r , a + r ) x a < r 时， 有 ， 即 {xn}以 a 为极限， 也可以这样说， 对任给的 e > 0 ， 数列 {xn}中恒存在 如果{xn}满足 2)， 则对任意 r > 0 ， 令e= r ， 则只有有限个 一项 xN， 在 xN 以后的所有 xN+1,xN+2,xN+3…， 都要在数 a- e 与a+ e 之间[1]。 之外,反之， ( a e , a + e ) x 在 之外 , 设它们的最大下标为 N ， 则当 n>N 时， 有 xn Î n 为了从直观上理解数列极限的定义， 我们来看一下定义的几何 x - a < e ,可见 lim x = a 。 ( a - e, a + e ) ， 即有 意义。 2.3 几个似是而非的问题 式子 x - a 表示数轴上动点 Xn 与定点 a 之间的距离， “ 当 n>N 1)如果对任意e > 0 ， 存在自然数 N， 使当 n>N 时， 有x - a < e， 是 x - a < e 恒成立” 时， 是说 xN 项以后各项 lim x = a ? 否 xN + 1 , xN + 2 , xN + 3 ,L 2)如果对无穷多个 e > 0 ， 存在自然数 N， 使当 n>N 时， 有 x - a < e， 对应的点都落在开区间 ( a - e , a + e ) 内， 由此可见， 在区间 lim x = a ? 是否 ( a - e , a + e ) 内有数列的无穷多项， 而在此区间外只有数列的有限项 3)如果 lim x = a ， 是否必有某个 x = a ? （至多可有 N 项 ） ， 因为e > 0可以任意小， 则开区间 ( a - e , a + e ) 的 lim x = a 4)如果 ， 是否必有 x - a ? x a ? 这就是 limxn=a 的 长度 2e 也任意小， 可见点 xn 凝聚在点 a 的近旁， 几何意义。 对上述问题的回答都是否定的， 逐一举例如下: 为了对定义的本质有所认识， 我们做如下的几点说明: n=1， 2， 3， …， a=0， 则对任意e> 0 ， 只需取 N=1， 当 n>N 1)令 xn=- n， (1)正数 e 的任意性 时， 都有 x - a = - n< e ， 但是 x - a =n， 显见 lim x ¹ 0 。 1 1 1 正数 e 的作用是控制 x - a 的大小即点列 {xn}与点 a 的接近程 2)令 x = ， n=1， 2， 3， … a=0， 则对于满足 3 < e < 2 的所有无穷多 4 可见， 当 e 足够小时， xn 与 a 就足够接近。 由于 e 可以任意小， 那 度。 1 0。 都有 x - a = 1 < e ， 但显然 lim x 么 xn 与 a 就可以接近到任意需要的程度， 也即 “要多近有多近” 。这 个e， 4 4 1 lim x = 0， lim x = a 3)令 x = ， n=1， 2， 3， …， a=0， 则有 但任意x ¹ 0 。 就从数量上刻划了极限的本质特征。如果将数列极限 描 n 述为当 n 充分大后， xn 越来越接近于 a 是不对的，不能保证 a 是数 1 4)令x = ， n=1， 2， 3， …， 不难验证 lim x = 0， 可是却有 n + 2 (- 1) 列{xn}的极限。 1 1 x = > = x ，x - 0 > x - 0 ， k=1， 2， 3， …． (2) e 的确定性 2k - 1 2k + 2 正数 e 虽然可以任意小， 就是说它是一个变量， 但一经给出， 它 可见lim x = 0 ， 不意味着 “ 随着 n 的增大， xn 越来越接近于 a” ， 又是一个确定的值 （如同 0.01>0.001 等） ， 应视为一个常数， 以便从 这一点往往被忽略[4]。 不等式 x - a < e 中求出 N, e 的这种任意与确定两种性， 反映了极限 3 数列极限等价定义在教学中的作用 概念的近似与精确的辨证关系。 历史上， 人们研究的数列极限问题， 其实就是研究一给定的数 (3) N 与e 的相关性 ) 时， 列{an}当 n 变化 (n 其相应项的变化趋势。而这一趋势， 当然 正整数 N 表示数列中的某一项数，其作用就是给出一个极限， 是一个动态的过程。在通常的情况下， 这一动态的过程人们在直观 都满足 x - a < e ， 即 使得数列{xn}中 xN 项以后的各项， 上又往往觉得是 “显然” 的 （如 1 时 ） 。但仔细分析， 这样的
2.1数列的极限
xn a
a
a
故 lim n
xn
a.
较难的题目
证明 lim n n 1 n
记住结论
证 对任意给定的 ε > 0, 要使不等式 n n 1 成立.
令 un n n 1 0 适当扩大
n
(1
un )n
1
nun
n(n 1) 2
un2
n(n 1) 2
un2
un2
2 n1
un
2
n1
2
n 2 1
取
N
2
2
1
1
则当n > N时, 恒有
n n 1
故 lim n n 1. n
类似地证明: 当 a 1是给定的实数时, lim n a 1 n
简证 令 un n a 1 0
xn1 , xn2 ,, xnk ,
注 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，而 xnk 在原
数列 xn中却是第 nk 项，显然，nk k.
定理4 收敛数列的任一子数列也收敛, 且极限相同．
正数 N ,使得对于 n N 时的一切 xn,不等式 xn a
都成立,那么就称常数 a 是数列 xn的极限,或者称数列 xn 收敛于 a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限, 就说数列是发散的.
N定义 :
lim
n
xn
a
0,N 0,使n N时, 恒有 xn a
2.1.数列极限概念
lim an a 或 → a (n →∞) na
n
注: 上述定义称为“ε义
lim an a 0,
n
N N＋ , n N , 有
| an a | .
？
求实
创新
团结
奉献
n 1 例1：证明 lim . n n 1
奉献
三、数列极限 -N定义
分析： 数列{an}的极限为a ⇔ 随着n的无限增大，通项an无限接近于a ⇔ 当n充分大时，an与a的距离|an − a|可以任意小
求实
创新
团结
奉献
定义: 设 {an}为数列，a为定数，若对任给的ε >0，总存在
正整数N，使得当n>N时，有 |an − a|< ε，则称数列{an}收敛 于a，a称为{an}的极限. 记作
求实
创新
团结
奉献
例如, 当 n >N 时, 有
| an a | ,
则当 n > N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有
| an a | .
也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追求 N 的 “ 最佳性 ” .
求实
创新
团结
奉献
xn
A
A
越来越 ，N越来越大！
an U (a ; ) , 即 lim an a .
n
求实
创新
团结
奉献
2
a x2 x1 x N 1
a
a
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
求实
数列的极限
n 2 2n 2. lim 2 n 2n - n 3
n
n n - n 1 3. lim n n
4 3 4
6. lim 2
n
n 2 1
4. lim( n2 n 1 - n)
n
19
当 n , 此数列的极限为 0 . 由于 -1
n 1
1 1 -0 n n
1 要使 多么小, 只需 n 增大到一定程度即可. n 1 1 n 1 1 10 如要使 - 1 只需 n - 0 0.1 0 .1 n n 1 1 n 1 1 要使 - 1 - 0 0.01 只需 n 0.01 100 n n
1.3 数列的极限
一、数列的概念
数列、 数列的几何意义
二、数列的极限
极限的定义、 数列极限的几何意义
三、收敛数列的性质
极限的唯一性、有界性、有序性和保号性 收敛数列与其子数列间的关系
四、计算数列的极限
1
一、数列的概念
一个实际问题 用渐近的方法求圆的面积：
用圆内接正多边形的面积近似（逼近）圆的面积：
n n n
16
讨论：
1 ．对某一正 e 0 ， 如果存在正整数N ， 使当 n>N 时，有 |xn- a|< e0． 是否有 lim xn a
n
?
2．如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．发散的数 列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
3．数列的子数列如果发散， 原数列是否发散 数列的两
个子数列收敛，但其极限不同， 原数列的收敛性如何 发散的 数列的子数列都发散吗？ 4．如何判断数列 1，-1，1，-1， … ，(-1)n+1， … 是发散的？
02——数列极限
第二章 数列极限第一节 数列极限概念一、数列的概念定义：设f 定义在+上，则称:f +→ ，或(),f n n +∈ 为数列，写作12,,,,,n a a a 或简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。
例：1111,,,,,23n二、收敛数列的概念考虑数列1{}n ，不难看出10n a n=→（当n 足够大时），即随着n 的无限增大，n a 无限的接近某一常数0a =。
下面给出收敛数列及其极限的精确定义。
1、 收敛数列的定义定义1：设n a 为数列，a 为一定数，若0,N ε+∀>∃∈ ，使得n N >时，有||n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为{}n a 的极限，记为lim n n a a →∞=，或()n a a n →→∞，如：1{}n收敛于0()n →∞。
2、 发散数列的定义若{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列。
例：①{(1)}n -发散，②{},(||1)nq q <收敛。
3、 应注意的几个问题 （1）ε的任意性 （2）N 的相应性（3）定义1的几何意义“当n N >时有||n a a ε-<” ⇔当n N >时，有(,)n a U a ε∈。
定义'1（等价于定义1）0ε∀>，若在(,)U a ε之外{}n a 中的项只有有限个，则称{}n a 收敛于极限a 。
注：若00ε∃>，使得无穷多0(,){}n n a U a a ε∉⇒一定不以a 为极限。
4、例子24P 例3，25P 例5，28P 习题5（2）。
三、无穷小数列定义2：若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列。
如：1{},{}(||1)nq q n<。
定理2.1：lim lim()0n n n n a a a a →∞→∞=⇔-=。
四、课堂练习1、证明定理2.1，2、27P 习题1，3、27P 习题3，4、28P 习题7。
数列极限知识点归纳总结
数列极限知识点归纳总结数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。
在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。
本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。
一、数列的定义和性质1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。
2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。
3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。
二、数列的极限1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。
2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。
3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。
如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。
三、数列极限的计算方法1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式进行计算，得到数列的极限。
2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。
3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。
夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。
四、数列极限的性质1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。
2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。
3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。
五、数列极限的应用1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。
2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。
高等数学第2章第1节数列极限的概念
第二章 数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势．例如有这么一个变量，它开始是１，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零．我们就说，这个变量的极限为０．在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位．例如求圆的面积和圆周长（已知：2,2S r l r ππ==），但这两个公式从何而来？要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度．然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破．问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形．而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面．在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾．在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化．恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”．整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧．执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n 个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n 边形．易知，正n 边形周长为2sinn l nR nπ=显然，这个n l 不会等于l ．然而，从几何直观上可以看出，只要正n 边形的边数不断增加．这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长．N 越大，近似程度越高．但是，不论n 多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长．无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值．问题并没有最后解决．为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n 无限地增大，记为n →∞．直观上很明显，当n →∞时，n l l →，记成lim n n l l →∞=．——极限思想．即圆周长是其内接正多边形周长的极限．这种方法是我国刘微（张晋）早在第３世纪就提出来了，称为“割圆术”．其方法就是——无限分割．以直代曲；其思想在于“极限”．除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想．所以，我们有必要对极限作深入研究．§１ 数列极限的概念一 什么是数列１ 数列的定义数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→为数列．注：１）根据函数的记号，数列也可记为(),f n n N +∈；２）记()n f n a =，则数列()f n 就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a ，即{}{}()|n f n n N a +∈=；３）不严格的说法：说()f n 是一个数列．２ 数列的例子（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭；（2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭ （3）{}2:1,4,9,16,25,n ；（4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-二、什么是数列极限１．引言对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12， 第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，第n 天截下1111222n n -⋅=，得到一个数列：231111,,,,,2222n 不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零． 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列．据此可以说，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是收敛数列，０是它的极限． 数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列．需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来．还有待进一步分析．以11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，11n a n =+无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n+与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1|11|n+-会任意小，只要n 充分大． 如：要使1|11|0.1n +-<，只要10n >即可； 要使1|11|0.01n+-<，只要100n >即可；任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n ε>，取1[]1N ε=+即可．这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭．综上所述，数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项11n +随n 的无限增大，11n+无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．此即11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭以１为极限的精确定义，记作1lim 11n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1,11n n →∞+→． 2.数列极限的定义定义1 设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a)． 由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列． [问题]：如何表述{}n a 没有极限？ ３．举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限 要证,lim a a n n =∞→关键是：对任正数ε，解不等式ε<-a a n找出n 的范围，进而确定． （1） 直接解不等式 ε<-a a n例１ 证明1(1)lim 0(0)n n nαα+→∞-=> 同理可证：12(1)lim 0n n n +→∞-=，13(1)lim 0,n n n+→∞-= . （2）适当放大),)((k n nAn a a =≤-ϕ转化为解不等式εϕ<)(n ． 例２ 证明 lim 0(||1)nn q q →∞=<．同理可证：1lim 02n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，12lim 0,lim(1)0,,23n nn n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .例３．证明 321lim097n n n →∞-=+.例４．证明 223lim 33n n n →∞=-. 例５．证明1n =，其中0a >.４ 关于数列的极限的N ε-定义的几点说明 （１） 关于ε：①ε的任意性．定义１中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度，ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意小，说明n a 与常数a 可以接近到任何程度；②ε的暂时固定性．尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③ε的多值性．ε既是任意小的正数，那么2,3,2εεε等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε等来代替．从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数．（２） 关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随ε的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N ε，来强调Ｎ是依赖于ε的；ε一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性．Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由ε唯一确定的，因为对给定的ε，若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立．所以Ｎ不是唯一的．事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大．基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“n N >”改为“n N ≥”也无妨．（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当n N >时有||n a a ε-<”⇔“当n N >时有n a a a εε-<<+” ⇔“当n N >时有(),(;)n a a a U a εεε∈-+=” ⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(;)U a ε内；而在(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）．反之，任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当n N >时有(;)n a U a ε∈，即当n N >时有||n a a ε-<，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义1' 任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00ε>，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在0(;)U a ε之外，则{}n a 一定不以a 为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关． 所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响．例１ 证明{}2n 和{}(1)n-都是发散数列．例２．设lim lim n n n n x y a →∞→∞==，作数列如下：{}1122:,,,,,,,n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a →∞=.例３．设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{}n b 与{}n a 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．三、无穷小数列在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２ 若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列．如1211(1)1,,,2n n n n n +⎧⎫-⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭都是无穷小数列．数列{}n a 收敛于a 的充要条件：定理２.１ 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是{}n a a -为无穷小数列． 作业 P27 2（2）（3），3（1）（4）（6），4，5（1），6。
数列极限的7个等价性质
am1 (k 1).
矛盾！
有上(下)界则必有上(下)确界
1
有限覆盖定理
单调有界必收敛
6
2
5 Cauchy收敛准则
4 Bolzano定理
3 区间套定理
邻域 点 x0 的 邻域是指与点 x0 距离小
于 的点的集合 N (x0, ) {x | | x x0 | }, 即 开区间 (x0 , x0 ).
否则令 a2 c1, b2 b1. 令
c2
a2
b2 2
.
如此我们得到一个数列 {bn}, 其每一项都是A 的
一个上界， 数列 {bn} 单调减少、 有下界 a1,
所以收敛。 记
lim
n
bn
s.
易知
lim
n
an
s.
x A n x bn. 由保序性, x A x s.
这些项组成的子列是常数列,收敛.
2) A 是无限集. 此时A有聚点, 记 a 是 A 的
一个聚点. 任取 xn 的一项, 记作 xn1.
令
2
min( 1 2
,|
a
xn1
|).
在a的
2
邻域中取
xn 中标号大于n1的一项, 记作 xn2 .
令
3
min(1 , 3
|
a
xn2
|).
在 a 的 3 邻域中取
必至少有一半不能被 中有限个开区间覆盖，
将这样的一半记作 [a1, b1]. （如果两半都如此，
任取其一）. 再将 [a1, b1] 等分为两半，其中至少
数列的等价无穷小与等价无穷大总结
数列的等价无穷小与等价无穷大总结数列是数学中重要的研究对象，其中等价无穷小与等价无穷大是数列理论中的重要概念。
本文将对数列的等价无穷小与等价无穷大进行总结，并探讨其在数学中的应用。
一、等价无穷小的概念等价无穷小是指在极限过程中，两个无穷小之间的关系。
设an和bn是两个数列，若极限lim（an/bn）=1，则称an和bn是等价无穷小。
在等价无穷小的定义中，我们可以得到以下结论：1. 若an为等价无穷小，则k*an (k为常数)也是等价无穷小。
2. 若an为等价无穷小，而bn为有界数列，则an*bn也是等价无穷小。
3. 若an为等价无穷小，而bn为另一个等价无穷小，则an+bn也是等价无穷小。
二、等价无穷小的性质等价无穷小具有以下性质：1. 等价无穷小是传递性的。
即如果an是等价无穷小，而bn是等价无穷小，那么cn=an*bn也是等价无穷小。
2. 如果an是等价无穷小，那么|an|也是等价无穷小。
3. 如果an是等价无穷小，bn是有界数列，那么an*bn也是等价无穷小。
三、等价无穷大的概念等价无穷大是指在极限过程中，无穷大之间的关系。
设an和bn是两个数列，如果对于任意正数M，存在正数N，使得当n>N时，|an/bn|>M，则称an和bn是等价无穷大。
等价无穷大具有以下性质：1. 若an是等价无穷大，则k*an（k为非零常数）也是等价无穷大。
2. 若an是等价无穷大，bn是等价无穷小，则an*bn是等价无穷大。
3. 若an是等价无穷大，而bn是另一个等价无穷大，则an+bn也是等价无穷大。
四、数列的应用等价无穷小与等价无穷大在数学中有广泛的应用，特别是在极限求解和数列近似分析中。
1. 在极限求解中，等价无穷小可以简化复杂的极限运算，使得计算更加方便快捷。
通过找到一个与原数列等价的无穷小数列进行替代，可以大大简化极限求解的过程。
2. 在数列近似分析中，等价无穷小和等价无穷大能够帮助我们更好地理解数列的变化趋势。
数列极限定义的等价定义及其作用
1， 0， 它们是上述所说的每一种情形的例子[3]。 的极限分别是 0， 2.2 数列极限定义的两个等价描述 1 1)对任意的自然数 k， 总存在自然数 N， 使得当 n>N 时， 有x - a< 。 k 2)对任意的r > 0， 只有有限个 xn 位于 (a - r , a + r ) 之外[2]。 证明 1)设 lim x = a ， 对任意的自然数 k， 取e = 1 ， 则存在自
例如下述数列的极限分别是010它们是上述所说的每一种情形的例子22数列极限定义的两个等价描述1对任意的自然数k总存在自然数n使得当nn时有2对任意的只有有限个x位于之外对任意的自然数k取则存在自然数n使得当nn时有反之如果x满足1那么对任意正数总可以找到自然数k使得而对k总存在自然数n使得当nn时有那么对任意存在自然数n使得当即有可见23几个似是而非的问题1如果对任意存在自然数n使当nn时有2如果对无穷多个存在自然数n使当nn时有3如果是否必有某个4如果是否必有时都有但是n显见n123
Á Â Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Â Á Á Á Á Á Ã Â Ã Â Á Á Ä Á Â Ä ÃÁ Â Á
· 195 ·
数列极限定义的等价定义及其作用
王 芳
当 n 无限增大时， 数列中各项可以从单侧， 也可以从两侧趋于 a， 也可能时而接近于 a， 时而远离 a， 而趋于 a 不一定是 “ 一项比一 项接近 a” 。例如下述数列
N， 使得当 n>N 时， 有 x - a < < e， 即 lim x = a 。 k lim x = a 2)设 ， 那么对任意 r > 0， 存在自然数 N， 使得当 n>N 不等式 x - a < e 与不等式 a - e < x < a + e 是等价的， 所以数列 a - r < x < a + r,可见至多只有 N 个 xn 在(a- r , a + r ) x a < r 时， 有 ， 即 {xn}以 a 为极限， 也可以这样说， 对任给的 e > 0 ， 数列 {xn}中恒存在 如果{xn}满足 2)， 则对任意 r > 0 ， 令e= r ， 则只有有限个 一项 xN， 在 xN 以后的所有 xN+1,xN+2,xN+3…， 都要在数 a- e 与a+ e 之间[1]。 之外,反之， ( a e , a + e ) x 在 之外 , 设它们的最大下标为 N ， 则当 n>N 时， 有 xn Î n 为了从直观上理解数列极限的定义， 我们来看一下定义的几何 x - a < e ,可见 lim x = a 。 ( a - e, a + e ) ， 即有 意义。 2.3 几个似是而非的问题 式子 x - a 表示数轴上动点 Xn 与定点 a 之间的距离， “ 当 n>N 1)如果对任意e > 0 ， 存在自然数 N， 使当 n>N 时， 有x - a < e， 是 x - a < e 恒成立” 时， 是说 xN 项以后各项 lim x = a ? 否 xN + 1 , xN + 2 , xN + 3 ,L 2)如果对无穷多个 e > 0 ， 存在自然数 N， 使当 n>N 时， 有 x - a < e， 对应的点都落在开区间 ( a - e , a + e ) 内， 由此可见， 在区间 lim x = a ? 是否 ( a - e , a + e ) 内有数列的无穷多项， 而在此区间外只有数列的有限项 3)如果 lim x = a ， 是否必有某个 x = a ? （至多可有 N 项 ） ， 因为e > 0可以任意小， 则开区间 ( a - e , a + e ) 的 lim x = a 4)如果 ， 是否必有 x - a ? x a ? 这就是 limxn=a 的 长度 2e 也任意小， 可见点 xn 凝聚在点 a 的近旁， 几何意义。 对上述问题的回答都是否定的， 逐一举例如下: 为了对定义的本质有所认识， 我们做如下的几点说明: n=1， 2， 3， …， a=0， 则对任意e> 0 ， 只需取 N=1， 当 n>N 1)令 xn=- n， (1)正数 e 的任意性 时， 都有 x - a = - n< e ， 但是 x - a =n， 显见 lim x ¹ 0 。 1 1 1 正数 e 的作用是控制 x - a 的大小即点列 {xn}与点 a 的接近程 2)令 x = ， n=1， 2， 3， … a=0， 则对于满足 3 < e < 2 的所有无穷多 4 可见， 当 e 足够小时， xn 与 a 就足够接近。 由于 e 可以任意小， 那 度。 1 0。 都有 x - a = 1 < e ， 但显然 lim x 么 xn 与 a 就可以接近到任意需要的程度， 也即 “要多近有多近” 。这 个e， 4 4 1 lim x = 0， lim x = a 3)令 x = ， n=1， 2， 3， …， a=0， 则有 但任意x ¹ 0 。 就从数量上刻划了极限的本质特征。如果将数列极限 描 n 述为当 n 充分大后， xn 越来越接近于 a 是不对的，不能保证 a 是数 1 4)令x = ， n=1， 2， 3， …， 不难验证 lim x = 0， 可是却有 n + 2 (- 1) 列{xn}的极限。 1 1 x = > = x ，x - 0 > x - 0 ， k=1， 2， 3， …． (2) e 的确定性 2k - 1 2k + 2 正数 e 虽然可以任意小， 就是说它是一个变量， 但一经给出， 它 可见lim x = 0 ， 不意味着 “ 随着 n 的增大， xn 越来越接近于 a” ， 又是一个确定的值 （如同 0.01>0.001 等） ， 应视为一个常数， 以便从 这一点往往被忽略[4]。 不等式 x - a < e 中求出 N, e 的这种任意与确定两种性， 反映了极限 3 数列极限等价定义在教学中的作用 概念的近似与精确的辨证关系。 历史上， 人们研究的数列极限问题， 其实就是研究一给定的数 (3) N 与e 的相关性 ) 时， 列{an}当 n 变化 (n 其相应项的变化趋势。而这一趋势， 当然 正整数 N 表示数列中的某一项数，其作用就是给出一个极限， 是一个动态的过程。在通常的情况下， 这一动态的过程人们在直观 都满足 x - a < e ， 即 使得数列{xn}中 xN 项以后的各项， 上又往往觉得是 “显然” 的 （如 1 时 ） 。但仔细分析， 这样的
极限概念的等价性原理及应用
极限概念的等价性原理及应用1. 引言在数学领域中，极限是一种重要的概念，它在各个数学分支中都有广泛的应用。
然而，在研究极限相关问题时，我们常常会遇到复杂的表达式或无法直接计算的问题。
为了解决这些问题，我们可以借助极限的等价性原理来简化计算。
2. 等价性原理的定义极限的等价性原理是指，当两个函数在某点附近的行为趋于一致时，它们的极限也会趋于相同的值。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)满足以下条件： - 在点a的某个邻域内，f(x)和g(x)的表达式可以互相替代； - 当x趋于a时，f(x)和g(x)的极限存在且相等。
则可推断出：$$ \\lim_{x\\to a} f(x) = \\lim_{x\\to a} g(x)$$3. 等价性原理的应用极限的等价性原理在求解复杂极限的过程中有着重要的应用价值，下面将介绍一些常见的应用场景。
3.1. 极限的近似计算对于一些难以求解的极限问题，我们可以寻找与之等价的函数，并计算其极限来近似求解原问题。
例如，在计算$\\lim_{x\\to 0}\\frac{\\sin{x}}{x}$时，我们可以将其等价转换为$\\lim_{x\\to 0}\\frac{x}{\\sin{x}}$来简化计算。
3.2. 函数曲线的刻画通过寻找与原函数等价的函数，我们可以更好地刻画函数曲线的行为。
例如，在研究函数$f(x)=\\frac{x^3+x^2+2x+1}{x^2+x}$的极限时，我们可以将其等价转换为$g(x)=\\frac{x^3}{x^2}$来更直观地理解函数的增长趋势。
3.3. 极限的证明在进行极限的证明过程中，等价性原理可以显著简化证明过程。
通过找到与原函数等价的函数，我们可以将复杂的极限问题转换为相对简单的形式，从而更容易进行证明。
3.4. 极限的应用领域极限的等价性原理不仅仅应用于纯数学领域，还广泛应用于物理学、工程学、经济学等学科。
在这些学科中，复杂的问题常常可以通过等价性原理进行简化处理，从而得到更精确的结果。