高中数学抽屉原理容斥原理
高中数学抽屉原理容斥原理在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。
这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。
在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。
“抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。
这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。
这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。
抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。
（一）抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。
证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。
在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。
同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。
“鸽笼原理”由此得名。
例题讲解1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。
证明：至少有两个点之间的距离不大于2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
3．从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。
4．已给一个由10个互不相等的两位十进制正整数组成的集合。
求证：这个集合必有两个无公共元素的子集合，各子集合中各数之和相等。
5．在坐标平面上任取五个整点（该点的横纵坐标都取整数），证明：其中一定存在两个整点，它们的连线中点仍是整点。
6．在任意给出的100个整数中，都可以找出若干个数来（可以是一个数），它们的和可被100整除。
7．17名科学家中每两名科学家都和其他科学家通信，在他们通信时，只讨论三个题目，而且任意两名科学家通信时只讨论一个题目，证明：其中至少有三名科学家，他们相互通信时讨论的是同一个题目。
例题答案：1．分析：5个点的分布是任意的。
如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于。
以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。
如图2，设BC是△ABC的最大边，P，M是△ABC内（包括边界）任意两点，连接PM，过P分别作AB、BC边的平行线，过M作AC边的平行线，设各平行线交点为P、Q、N，那么∠PQN=∠C，∠QNP=∠A因为BC≥AB，所以∠A≥∠C，则∠QNP≥∠PQN，而∠QMP≥∠Q NP≥∠PQN（三角形的外角大于不相邻的内角），所以PQ≥PM。
显然BC≥PQ，故BC≥PM。
由此我们可以推知，边长为的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于。
说明：（1）这里是用等分三角形的方法来构造“抽屉”。
类似地，还可以利用等分线段、等分正方形的方法来构造“抽屉”。
例如“任取n+1个正数a i，满足0＜a i≤1（i=1,2,…,n+1），试证明：这n+1个数中必存在两个数，其差的绝对值小于”。
又如：“在边长为1的正方形内任意放置五个点，求证：其中必有两点，这两点之间的距离不大于。
（2）例1中，如果把条件（包括边界）去掉，则结论可以修改为：至少有两个点之间的距离小于"，请读者试证之，并比较证明的差别。
（3）用同样的方法可证明以下结论：i）在边长为1的等边三角形中有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离不大于的两点。
ii）在边长为1的等边三角形内有n2+1个点，这n2+1个点中一定有距离小于的两点。
（4）将（3）中两个命题中的等边三角形换成正方形，相应的结论中的换成，命题仍然成立。
（5）读者还可以考虑相反的问题：一般地，“至少需要多少个点，才能够使得边长为1的正三角形内（包括边界）有两点其距离不超过”。
2．分析：本题似乎茫无头绪，从何入手？其关键何在？其实就在“两个数”，其中一个是另一个的整数倍。
我们要构造“抽屉”，使得每个抽屉里任取两个数，都有一个是另一个的整数倍，这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行，这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积，即若m∈N+,K∈N+，n∈N,则m=(2k-1)·2n，并且这种表示方式是唯一的，如1=1×2°，2=1×21，3=3×2°，……证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂，并且这种表示方法是唯一的，所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：（1）{1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26}；（2）{3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25}；（3）{5，5×2，5×22，5×23，5×24}；（4）{7，7×2，7×22，7×23}；（5）{9，9×2，9×22，9×23}；（6）{11，11×2，11×22，11×23}；……（25）{49，49×2}；（26）{51}；……（50）{99}。
这样，1-100的正整数就无重复，无遗漏地放进这50个抽屉内了。
从这100个数中任取51个数，也即从这50个抽屉内任取51个数，根据抽屉原则，其中必定至少有两个数属于同一个抽屉，即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉，显然，在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中，一个是另一个的整数倍。
说明：（1）从上面的证明中可以看出，本题能够推广到一般情形：从1-2n 的自然数中，任意取出n+1个数，则其中必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
想一想，为什么？因为1-2n中共含1，3，…，2n-1这n个奇数，因此可以制造n个抽屉，而n+1＞n，由抽屉原则，结论就是必然的了。
给n以具体值，就可以构造出不同的题目。
例2中的n取值是50，还可以编制相反的题目，如：“从前30个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式地）取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小的数的倍数？”（2）如下两个问题的结论都是否定的（n均为正整数）想一想，为什么？①从2，3，4，…，2n+1中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？②从1，2，3，…，2n+1中任取n+1个数，是否必有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍？你能举出反例，证明上述两个问题的结论都是否定的吗？（3）如果将（2）中两个问题中任取的n+1个数增加1个，都改成任取n+2个数，则它们的结论是肯定的还是否定的？你能判断证明吗？3．证明：把前25个自然数分成下面6组：1；①2，3；②4，5，6；③7，8，9，10；④11，12，13，14，15，16；⑤17，18，19，20，21，22，23，⑥因为从前25个自然数中任意取出7个数，所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组，这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。
说明：（1）本题可以改变叙述如下：在前25个自然数中任意取出7个数，求证其中存在两个数，它们相互的比值在内。
显然，必须找出一种能把前25个自然数分成6（7-1=6）个集合的方法，不过分类时有一个限制条件：同一集合中任两个数的比值在内，故同一集合中元素的数值差不得过大。
这样，我们可以用如上一种特殊的分类法：递推分类法：从1开始，显然1只能单独作为1个集合{1}；否则不满足限制条件。
能与2同属于一个集合的数只有3，于是{2，3}为一集合。
如此依次递推下去，使若干个连续的自然数属于同一集合，其中最大的数不超过最小的数的倍，就可以得到满足条件的六个集合。
（2）如果我们按照（1）中的递推方法依次造“抽屉”，则第7个抽屉为{26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39}；第8个抽屉为：{40，41，42，…，60}；第9个抽屉为：{61，62，63，…，90，91}；……那么我们可以将例3改造为如下一系列题目：（1）从前16个自然数中任取6个自然数；（2）从前39个自然数中任取8个自然数；（3）从前60个自然数中任取9个自然数；（4）从前91个自然数中任取10个自然数；…都可以得到同一个结论：其中存在2个数，它们相互的比值在]内。
上述第（4）个命题，就是前苏联基辅第49届数学竞赛试题。
如果我们改变区间[]（p＞q）端点的值，则又可以构造出一系列的新题目来。
4.分析与解答：一个有着10个元素的集合，它共有多少个可能的子集呢？由于在组成一个子集的时候，每一个元素都有被取过来或者不被取过来两种可能，因此，10个元素的集合就有210=1024个不同的构造子集的方法，也就是，它一共有1024个不同的子集，包括空集和全集在内。
空集与全集显然不是考虑的对象，所以剩下1024-2=1022个非空真子集。
再来看各个真子集中一切数字之和。
用N来记这个和数，很明显：10≤N≤91+92+93+94+95+96+97+98+99=855这表明N至多只有855-9=846种不同的情况。
由于非空真子集的个数是1022，1022＞846，所以一定存在两个子集A与B，使得A中各数之和=B中各数之和。
若A∩B=φ，则命题得证，若A∩B=C≠φ，即A与B有公共元素，这时只要剔除A与B中的一切公有元素，得出两个不相交的子集A1与B1，很显然A1中各元素之和=B1中各元素之和，因此A1与B1就是符合题目要求的子集。
高考数学中的容斥原理知识点总结
高考数学中的容斥原理知识点总结在高中数学中，容斥原理是一个非常重要的知识点，也是数学竞赛、数学建模等数学应用领域常用的思想方法。
在高考数学中也经常出现相关的考题，因此掌握容斥原理的思想和应用是非常有必要的。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是一种计算交集的方法，指的是为了确定若干集合的并集的元素个数，而不必逐一列出其中的元素，而采用计算各个集合的元素个数之和，然后减去交集中的元素个数，再加上交集的元素个数。
即：$|A_1∪A_2∪\cdots∪A_n|=|A_1|+|A_2|+\cdots+|A_n|-\sum\limits_{i<j}|A_i ∩ A_j|+\sum\limits_{i<j<k}|A_i ∩ A_j ∩ A_k|-\cdots+(-1)^{n-1}|A_1 ∩ A_2 ∩\cdots ∩ A_n|$其中，$|A_i|$表示集合$A_i$的元素个数。
以上为容斥原理的基本公式，容斥原理主要用于处理集合的交集问题，在应用时需要将问题转化为若干个集合的交集或并集的形式进行计算。
二、容斥原理的应用1、某种颜色的球某种颜色的球有$x$个，其中有$a$个是带编号的，$b$个是大小不同的，$c$个是重量不同的，$d$个是带编号且大小不同的，$e$个是带编号且重量不同的，$f$个是大小和重量都不同的。
求这种颜色的球有多少个。
解析：根据题目描述，我们可以分别将这种颜色的球分为以下六类：$A$：带编号的球；$B$：大小不同的球；$C$：重量不同的球；$D$：带编号且大小不同的球；$E$：带编号且重量不同的球；$F$：大小和重量都不同的球。
那么根据容斥原理，我们可以得到该颜色球的总个数为：$$x=|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩ B|-|A ∩ C|-|B ∩ C|+|A ∩ B ∩C|$$因为带编号的和大小不同和带编号的和重量不同的球都是带编号的球，因此$A=D∪E$，所以$|A|=|D|+|E|-|D ∩ E|=a+b+e-abde$。
抽屉原理及其应用
抽屉原理及其应用
抽屉原理（也称鸽笼原理、容斥原理）是离散数学中的一个基本原理，它描述了把若干个物体放入若干个容器中时，如果物体数量多于容器数量，那么至少有一个容器必须放多于一个物体。
抽屉原理可以应用在多个领域，包括：
1. 计算概率：假设有n个鸽巢和m个鸽子，如果将m个鸽子平均放入n个鸽巢中，那么至少有一个鸽巢中会放多于一个鸽子。
2. 计算排列组合：假设将n个物品分成m堆，至少有一堆中包含的物品数量不少于⌈n/m⌉（向上取整）。
3. 求解问题：当问题本身的解法很难找到时，可以利用抽屉原理削减解空间，锁定可能的解，减少求解难度。
4. 数据存储：在计算机程序设计中，抽屉原理可以用来优化数据存储和搜索。
将数据划分多个小区域同时进行搜索，可以减少搜索空间，提高效率。
总之，抽屉原理是一种非常实用的思想工具，可以帮助我们解决各种实际问题。
抽屉原理与容斥原理
抽屉原理与容斥原理曹国钧有人说：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；又说：“某校一个年级的400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”，你认为他的说法对吗？你能说明为什么对或为什么不对吗？1947年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。
”这道题看起来与数学没有多大关系，似乎无法用数学知识解决。
但解决时并不要用到多少高深知识，立即引起了许多数学爱好者的关注和兴趣。
以上问题就是数学中的一类与“存在性”有关的问题。
解决以上这几个问题，要用到数学中的抽屉原理。
我们很容易理解这样一个事实：把3只苹果放到两个抽屉中，肯定有一个抽屉中有2只或2只以上的苹果。
用数学语言表达这一事实，就是：将n+1个元素放入n 个集合内，则一定有一个集合内有两个或两个以上的元素（n 为正整数）。
这就是抽屉原理，也称为“鸽笼（巢）”原理。
这一原理最先是由德国数学家狄里克雷明确提出来的，因此，称之为狄里克雷原理。
抽屉原理还有另外的常用形式：抽屉原理2：把m 个元素任意放入n n m ()<个集合里，则一定有一个集合里至少有k 个元素，其中：k m n n m m n n m =⎡⎣⎢⎤⎦⎥+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，（当能整除时）（当不能整除时）1. m n m n m n ⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭表示不大于的最大整数，亦即的整数部分。
抽屉原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
现在你能肯定前面的两种说法是正确的吗？你能说明这两种说法是正确的吗？利用抽屉原理，可以解决一些相当复杂甚至感到无从下手的问题，抽屉原理也是解决存在性问题的常用方法。
例1. 在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。
分析：解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。
计数原理与排列组合知识点总结
计数原理与排列组合知识点总结计数原理和排列组合是高中数学中重要的概念和工具，在各种数学问题的解决过程中起到了重要的作用。
本文将对计数原理和排列组合的相关知识点进行总结和介绍。
一、计数原理计数原理通过分析一个问题中的各个步骤或条件，来确定解决问题的方式和策略。
常用的计数原理有加法原理、乘法原理、容斥原理和抽屉原理等。
1. 加法原理加法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，那么这两个事件发生的总方式数为m+n。
2. 乘法原理乘法原理适用于多个事件发生的情况，它指出如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n种，则这两个事件发生的总方式数为m×n。
3. 容斥原理容斥原理适用于计算多个集合的并集的情况。
它指出如果有n个集合，分别有A1,A2,...,An个元素，那么这n个集合的并集中元素的个数为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| - Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
4. 抽屉原理抽屉原理也称为鸽笼原理，它指出如果有m+1个物体放入m个抽屉中，那么至少会有一个抽屉中放入两个或两个以上的物体。
二、排列组合排列组合是计数原理的一个重要应用，用于解决选择和安排问题。
它包括排列和组合两个不同的概念。
1. 排列排列是指从一组元素中按一定顺序选取若干元素的方式，其中元素的选取不可重复。
常见的排列问题有全排列和有限排列。
- 全排列是指将一组元素全部进行排列，例如3个元素的全排列有3! = 3×2×1 = 6种。
- 有限排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，其中元素的选取数目有限。
例如从3个元素中选取2个进行排列，有3×2 = 6种不同的排列方式。
2. 组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，其中元素的选取不按顺序进行，而是以集合的形式呈现。
容斥原理与鸽巢原理的应用
容斥原理与鸽巢原理的应用1. 容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，常用于解决计数问题。
它利用集合的互斥与包含关系，将复杂的计数问题转化为简单的计数问题。
下面是容斥原理的应用方式：1.基本容斥原理：对于给定的一组事件A1, A2, …, An，它们的概率分别为P(A1), P(A2), …, P(An)，则这些事件的并集的概率P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)可以通过容斥原理计算得到。
2.二项式系数的应用：容斥原理还可以应用于计算二项式系数的求和，通过利用二项式系数性质和容斥原理的结合，可以简化求和式，加快计算速度。
3.容斥原理在组合数学中的应用：容斥原理在组合数学中经常用于计算排列组合问题，例如求解某些集合的大小、某些集合的交集、某些集合的并集等问题。
2. 鸽巢原理鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中一个基本原理。
它的核心思想是：如果有n个物体要分配到m个容器中，且n>m，则至少有一个容器中会有两个或更多的物体。
下面是鸽巢原理的应用方式：1.分配问题：鸽巢原理可以应用于分配问题，例如某考试有n个学生和m个座位，如果n>m，则根据鸽巢原理可以得出至少有一个座位会被两个或者更多的学生占据。
2.概率问题：鸽巢原理可以用于解决概率问题，例如抛掷两个骰子，如果将两个骰子的点数总和视为一个数，那么总有两个骰子的点数总和相等，这是由鸽巢原理保证的。
3.鸽巢原理在密码学中的应用：鸽巢原理在密码学中也有广泛的应用，例如在哈希函数中，将大量的输入映射到有限的输出空间中，根据鸽巢原理，总会存在多个输入被映射到同一个输出。
3. 容斥原理与鸽巢原理的应用案例下面是容斥原理与鸽巢原理的具体应用案例：1.求解集合的大小：假设有两个集合A和B，分别包含n个元素和m个元素，求解它们的并集A ∪ B的大小。
根据容斥原理，可以通过计算A和B的大小以及它们的交集A ∩ B的大小，来求解并集的大小。
具体计算公式为：|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|。
奥数-抽屉原理;容斥原理
奥数教学教案授课时间：年月日备课时间年月日年级五课程类别一对一课时学生姓名授课主题抽屉原理；面积计算授课教师教学目标理解和掌握抽屉原理并会灵活应用；会进行面积计算教学重难点抽屉原理；组合图形面积教学方法讲练结合教学过程1、课程导入/错题讲解：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
点拨教学过程2.知识点讲解定义一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
解题思路（一）、利用公式进行解题苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数＝，结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数＝0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．学习札记容斥原理教学过程3、例题分析：【例1】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为，所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天．有20张写有数的卡片，正面的数分别是1,2,3，……19,20，将卡片背面朝上放在桌上，试问：最少取出几张，才能保证取出的卡片一定有两张上的数相差正好是5？【分析】11张。
要考虑最不利的情况，才能保证符合题目的条件。
将卡片分成10组，每组两张，并且这两张的数的差等于5：（1,6），（2,7）（3,8）（4,9），（5,10），（11,16），（12,17）（13,18）（14,19）（15,20）。
只要其中一组的两张卡片被取出，就可以符合要求。
如果每组取1张，共取10张，取第11张的时候就可以保证取出的11张中有两张上的数差为方法与技巧教学过程4、随堂练习染色中的抽屉原理小提。
高考数学冲刺复习容斥原理考点速记
高考数学冲刺复习容斥原理考点速记在高考数学的复习冲刺阶段，容斥原理是一个不可忽视的重要考点。
它虽然不是高频出现的重难点，但一旦出现，往往能成为区分考生水平的关键。
为了帮助同学们在高考中应对自如，下面我们就来对容斥原理进行一次全面且深入的速记梳理。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是指，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
简单来说，就是在计算多个集合的并集时，要减去它们的交集，以避免重复计算。
举个例子，假设一个班级里有喜欢数学的同学集合 A，喜欢语文的同学集合 B。
那么既喜欢数学又喜欢语文的同学就是 A 和 B 的交集，而喜欢数学或者喜欢语文的同学总数就是 A 和 B 的并集。
但在计算并集时，如果直接把 A 的人数和 B 的人数相加，就会把既喜欢数学又喜欢语文的同学重复计算一次，所以需要减去交集的人数，这就是容斥原理的基本应用。
二、容斥原理的公式1、两个集合的容斥原理公式：｜A∪B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A∩B|其中，｜A|表示集合 A 的元素个数，｜B|表示集合 B 的元素个数，｜A∪B|表示 A 和 B 的并集的元素个数，｜A∩B|表示 A 和 B 的交集的元素个数。
2、三个集合的容斥原理公式：｜A∪B∪C| ＝｜A| ＋｜B| ＋｜C| ｜A∩B| ｜B∩C| ｜C∩A| ＋｜A∩B∩C|这个公式相对复杂一些，但原理是一样的，都是在计算并集时，减去两两集合交集的元素个数，然后再加上三个集合交集的元素个数，以保证计算结果的准确性。
三、容斥原理的应用场景1、计数问题比如计算在一定范围内满足多个条件的元素个数。
例如，在 1 到100 的自然数中，能被 3 整除或者能被 5 整除的数有多少个？2、概率问题在计算某些事件发生的概率时，如果涉及多个条件，可以运用容斥原理来准确计算。
3、图形问题在计算图形的面积或周长等问题时，如果图形之间存在重叠部分，也可以使用容斥原理来求解。
第二讲：抽屉原理
第二讲 抽屉原理，容斥原理，统筹原理，最值原理一、知识运用典型例题例1、有60名同学参加义务植树活动，他们的任务是挖树坑和运树苗，经过上午的劳动实践，60名同学可以分成A 、B 、C 三类人员，每类人员的劳动效率见下表。
下午要求挖树坑90个，运树苗越多越好。
问：最多可以运树苗多少棵？例2、甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用158时间生产上衣，157时间生产裤子，共生产448套衣服；乙厂每月用53时间生产上衣，52时间生产裤子，共生产720套衣服，两厂合并后，每月最多生产多少套衣服？例3、如下图，以直角三角形ABC 的两条直角边为直径作两个半圆，己知这两段半圆弧的长度之和是37．68厘米，那么三角形ABC 的面积最大是多少平方厘米？( 取3．14)．挖坑效率运树效率（棵）人数 A 5 30 30 B 3 12 10 C2 10 20例4、用528、1556、1120分别去除某一个分数，所得的商都是整数，这个分数最小是几？例5、六年级有240人，喜欢语文与不喜欢语文的人数比是5：3，喜欢数学与不喜欢数学的人数比是7：5，两门课都喜欢的有86人，两门课都不喜欢的有多少人？二、知识运用课堂训练1、甲乙丙都在读一本故事书，书中共有100个故事，已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事，那么，甲乙丙三人共读过的故事至少有多少个？2、两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15 cm。
把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（）cm。
（A）6 （B）7 （C）8 （D）93、要往码头运28个同样大小的集装箱，每个集装箱的质量是1560千克，现安排一辆载重量6吨的卡车运送这些集装箱，卡车车厢的大小最多可以容纳5个集装箱，则这辆卡车至少需往返多少趟？4、小明所在班有45名学生，老师至少要准备多少本书，随意发给学生，才能使得至少有一名学生得到5本或5本以上的书？知识运用课后训练1、小红所在学校有61名学生是在6月份出生的，那么其中至少有几名学生的生日是在同一天？2、一家商店有各种糖果18种，如果每人买一种或两种，至少有多少人购买，才能保证有两人购买的种类相同？科学素养：阅读理解题下面的一段话是一种片剂药包装中的部分说明：广州白云山制药厂粤卫药准字(1994)第121122号感冒清每片重0.22g 口服一次3～4片，一日三次生产日期2003603 有效期到2005.06说明：（g就是克）请你回答下面的问题：(1)这种药的名字是_______，一天最多服_____g.(2)这种药剂到______年______月以后就过期不能服用.(3)你还获得了哪些信息（至少写出两条）?。
抽屉原理和容斥原理
I ．抽屉原则10个苹果放入9个抽屉中，无论怎么放，一定有一个抽屉里放了2个或更多个苹果.这个简单的事实就是抽屉原则.由德国数学家狄利克雷首先提出来的.因此，又称为狄利克雷原则.将苹果换成信、鸽子或鞋，把抽屉换成信筒、鸽笼或鞋盒，这个原则又叫做信筒原则、鸽笼原则或鞋盒原则.抽屉原则是离散数学中的一个重要原则，把它推广到一般情形就得到下面几种形式： 原则一：把m 个元素分成n 类（m >n ），不论怎么分，至少有一类中有两个元素. 原则二：把m 个元素分成n 类（m >n ）（1）当n |m 时，至少有一类中含有至少n m个元素； （2）当n |m 时，至少有一类中含有至少[nm]+1个元素.其中n m 表示n 是m 的约数，n m 表示n 不是m 的约数，[n m ]表示不超过nm的最大整数.原则三：把1221+-+++n m m m 个元素分成n 类，则存在一个k ，使得第k 类至少有k m 个元素. 原则四：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素. 以上这些命题用反证法极易得到证明，这里从略.一般来说，适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如10个苹果放入9个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果. 对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题： （1）什么是“苹果”？（2）什么是“抽屉”？ （3）苹果、抽屉各多少？用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确. 用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律. 用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律. 用抽屉原则解题的关键是利用题目中的条件构造出与题设相关的“抽屉”. Ⅱ. 容斥原则 当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择.将整体分解为部分也就是将有限集X 表示成它的一组两两互异的非空真子集A 1，A 2，…A n 的并集，即},,,{.2121n n A A A A A A X ==ϕ集合叫做集合X 的一个覆盖.一个特殊情况是，集族ϕ中的任意两个集合都不相交，这时我们称集族ϕ为集合X 的一个（完全）划分.如ϕ为集合X 的划分，则对集合X 的计数可通过熟知的加法公式||||||||||321n A A A A X ++++= ①进行，但是，要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事. 我们可以考虑通过对任意的集族中的子集的计数来计算|X|，当集族ϕ中至少存在两个集合的交非空时，我们称这个覆盖为集合X 的不完全划分. 对于集合X 的不完全划分，显然有有||||||||21n A A A X +++< ②因为在计算|A i |时出现了对某些元素的重复计数，为了计算|X|，就得将②式右边重复计算的部分减去，如果减得超出了，还得再加上，也就是说我们要做“多退少补”的工作.完成这项工作的准则就是容斥原理. 是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的. 容斥原理有两个公式. 1．容斥公式定理1 设则为有限集,),,2,1(n i A i =∑∑=≤<≤=-=-++-=ni nj i i ni n j i ii ni A A A AA 11111||)1(|||||| ③证明：当,/,/,,1221121B A A B A A B A A n ='='== 设时由加法公式有|||||||||)||(||)||(|||||||||||,||||||,|||||2121212121212211A A A A B B A B A B A A B A A A A A B A A B A -+=+-+-=++'+'=''==+'=+'结论成立.若n =k 时结论成立，则由∑∑∑=≤<≤=+=-+=+=+=+=+=-+-++-=-+=-+=ki kj i ki i k i ki k j i i i i ki k i ki k i ki k i k i i k i A A A A A A A A A A A A A A A 1111111111111111||||)1(|||||)(||||||)(|||||||∑≤<≤+=+++-+-+ki i k i ki kk j k i k A A A A A A A 111111|)(|)1(|)()(||∑∑+=+≤<≤+=-++-=111111||)1(||||k i k j i i k i kj i iA A A A知，1+=k n 时结论成立.由归纳原理知，对任意自然数n ，公式③成立. 公式③称为容斥公式，显然它是公式①的推广.如果将i A 看成具有性质i P 的元素的集合，那么n A A A X 21=就是至少具有n个性质n P P P ,,,21 之一的元素的集合. 因此，容斥公式常用来计算至少具有某几个性质之一的元素的数目.数学是一门非常迷人的学科，久远的历史，勃勃的生机使她发展成为一棵枝叶茂盛的参天大树，人们不禁要问：这根大树到底扎根于何处？为了回答这个问题，在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了一个能够为全部数学提供基础的通用数学框架，他创立的这个学科一直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。
2容斥原理和抽屉原理
抽屉原理Ｉ. 基础知识回顾 一、抽屉原理把八个苹果任意地放进七个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的苹果，这就是抽屉原理最简单的例子.抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。
它是组合数学中一个重要的原理。
把它推广到一般情形有以下几种表现形式。
1. 若有1+n 个元素放进n 个集合，则必存在一个集合至少放2个元素； 2. 若把1+mn 个元素放进n 个集合，则必存在一个集合至少放有1+m 个元素； 3. 把m 个物体，按照任意方式全部放入n 个抽屉中，有两种情况： 当n 能整除m 时，一定存在一个抽屉中至少放入了mn个物体； 当n 不能整除m 时，一定存在一个抽屉中至少放入了1m n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个物体. 二、容斥原理当我们对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，可以考虑将整体分解为几个部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数. 这一方法就是容斥原理.将整体分解为部分，也就是将集合A 表示成它的一组两两互异的非空真子集123,,,n A A A A L 的并集，即12n A A A A =U UL U ，其中i A A ⊆，(1,2,)i A i n ≠∅=L ,则集合12{,,,}n A A A ϕ=L 叫做集合A 的一个覆盖. 当集合ϕ中的任意两个集合都不相交时，称ϕ为集合A 的一个（完全）划分.即ϕ是集合A 的一个覆盖，且()i j A A i j =∅≠I .如ϕ为集合A 的划分，则12n A A A A =+++L (为了方便，我们用A 来表示集合A 的元素个数，即card A A =)，但是，要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事. 我们可以考虑通过对任意的集族中的子集的计数来计算A ，当集族ϕ只是A 的覆盖，而不是划分时，显然有12nA A A A <+++L . 因为在计算iA 时出现了对某些元素的重复计数，为了计算A ，就得将②式右边重复计算的部分减去，如果减得多了，还得再加上，也就是说我们要做“多退少补”的工作.完成上述工作的准则就是容斥原理，是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的，容斥原理有两个公式.1. 容斥公式定理1 设(1,2,,)i A i n =L 为有限集，则11111(1)nnnn i i i j i i i i i j nA A A A A -===≤<≤=-++-∑∑U I L I .容斥公式常用来计算至少具有某几个性质之一的元素的数目. 2. 筛法公式与容斥公式讨论的计数问题相反，有时需要计算不具有某几个性质中的任何一个性质的元素的个数，即()()()21U UU n A A A II L I 痧?.定理2 设(1,2,,)i A i n =L 为有限集U 的子集，则11111(1)nnnnU i i i j i j k i i i i i j ni j k nA U A A A A A A A ===≤<≤≤<<≤=-+-++-∑∑∑I I I I L I ð.II. 典型例题精讲例题１：任意400人中至少有两个人的生日相同.分析：生日从1月1日排到12月31日，共有366个不相同的生日，我们把366个不同的生日看作366个抽屉，400人视为400个苹果，由表现形式1可知，至少有两人在同一个抽屉里，所以这400人中有两人的生日相同.解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个苹果，由抽屉原理可以得知至少有两人的生日相同.例题２：边长为1的正方形中，任意放入9个点，求证这9个点中任取3个点组成的三角形中，至少有一个的面积不超过18. 解：将边长为1的正方形等分成边长为21的四个小正方形，视这四个正方形为抽屉，9个点任意放入这四个正方形中，根据抽屉原理，必有三点落入同一个正方形内.现取出这个正方形来加以讨论.把落在这个正方形中的三点记为.D E F 、、通过这三点中的任意一点（如E ）作平行线，如图可知：111111.222228DEF DEG EFG S S S h h ⎛⎫≤⋅+⋅-= ⎪⎝⎭V V V ＝＋例题３：任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除.证明：任意给一个整数，它被3除，余数可能为0，1，2，我们把被3除余数为0，1，2的整数各归入类12r r r ０，，.至少有一类包含所给５个数中的至少两个.因此可能出现两种情况： １°. 某一类至少包含三个数；２°. 某两类各含两个数，第三类包含一个数.若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和一定能被3整除； 若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被3整除. 综上所述，原命题正确.例题４：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2∶3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点.证明：如图，设PQ 是一条这样的直线，作这两个梯形的中位线MNABMN因为这两个梯形的高相等，所以它们的面积之比等于中位线长的比，即MH NH ∶ ，从而点H 有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，并且MH NH ∶＝２:3 ）.由几何上的对称性，这种点共有四个，即图中的.H J I K 、、、已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H J I K 、、、这四点中的一点.把.H J I K 、、、看成四个抽屉，九条直线当成９个苹果，即可得出必定有３条分割线经过同一点.例题５：某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同.证明：按植树的多少，从50到100株可以构造51个抽屉，则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里.(用反证法)假设无５人或５人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有５人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，所以，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有：4(50＋51＋…＋100)＝15300＜15301得出矛盾.因此，至少有５人植树的株数相同.例题6（2016北京文科高考试题）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店三天售出的商品至少有 种. 解析：设三天销售商品种类的集合分别是,,A B C ，由题已知19,13,18,3,4A B C A B B C =====I I .由容斥原理可得43.A B C A B C A B B C A C A B CA C ABC =++---+=-+U U I I I I I I I I要求A B C U U 的最小值，只需求A C A B C -I I I 即()C A B I ð的最大值.而14C B C B C =-=I ð，当这14个元素均在A 中时，()C A B I ð最大值为14.所以A B C U U 的最小值为431429-=.例题7．设集合{}1,2,,2013S =L ，A 是S 的子集，并且A 的元素或是3的倍数，或是5的倍数，或是7的倍数，试问A 的元素最多有几个？解析：设{}3|B x S x =∈，{}5|C x S x =∈，{}7|D x S x =∈，则max A B C D =U U ．注意到20136713B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，20134025C ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，20132877D ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦， 201313435B C ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I ，20139537B D ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I ，20135757C D ⎡⎤==⎢⎥⨯⎣⎦I ，201319357B C D ⎡⎤==⎢⎥⨯⨯⎣⎦I I ． 由容斥原理，可得max A B C D =U U B C D B C B D C D B C D =++---+I I I I I()()671402287134955719=++-+++1093=．所以A 的元素最多有1093个．例题8．给定正整数n ，某个协会中恰好有n 个人，他们属于6个委员会，每个委员会至少由4n个人组成，证明：必有两个委员会，他们的公共成员数不小于30n . 证明：设621,,,A A A Λ表示6个委员会的成员集合，则61261161632i i j i j i i j i j nn A A A A A A A A =≤<≤≤<≤=≥-≥-∑∑∑U UL U I I , ① 所以162i j i j n A A ≤<≤≥∑I . 如果任意16i j ≤<≤，均有30i j n A A <I ，那么2616302i j i j n n A A C ≤<≤<⨯=∑I ，矛盾. 所以必存在,61≤<≤j i 使得30i j nA A ≥I .练习题：1．边长为1的等边三角形内有5个点，证明：这5个点中一定有距离小于0.5的两点.2．边长为1的等边三角形内，若有21n ＋个点，则至少存在2点距离小于1n.3．求证：任意四个整数中，至少有两个整数的差能够被3整除.4．某校高一某班有50名新生，试说明其中一定有两个人的熟人一样多.5．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有3人得分相同.6. 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。