双曲线教学讲义
双曲线教学讲义ZHI SHI SHU LI
知识梳理
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F
1
F2|)___的点的轨迹叫做双
曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点___，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距___.注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0；
(1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线___；
(2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线___；
(3)当a＞c时，集合P是__空集___.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2－
y2
b2＝1
(a＞0，b＞0)
y2
a2－
x2
b2＝1
(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1__(－a,0)___，
A2__(a,0)___
顶点坐标：
A1__(0，－a)___，
A2__(0，a)___渐近线y＝__±
b
a x___y＝__±
a
b x___
离心率e＝
c
a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的__实轴___，它的长|A1A2|＝__2a___；线段
B1B2叫做双曲线的__虚轴___，它的长|B1B2|＝__2b___；__a___叫做双
曲线的__实半轴长___，b叫做双曲线的__虚半轴长___
a、b、c
的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
ZHONG YAO JIE LUN
重要结论
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b .
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线?双曲线的离心率e ＝2?双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2
a
，
(5)过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.
(6)双曲线的离心率公式可表示为e ＝
1＋b 2a
2.
SHUANG JI ZI CE
双基自测
) 1．(2019·河北邢台模底)双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0
D ．y ±4x ＝0
[解析] 依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2
＝0，即x ±2y ＝0，
选A ．
2．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1、F 2、P (0,2b )是正三角形的
三个顶点，则双曲线的离心率( B ) A ．3
2
B ．2
C ．5
2
D ．3
[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 由△PF 1F 2为正三角形，得2c ＝
c 2＋4b 2.
∴3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)．∴c 2＝4a 2，e 2＝4，e ＝2.
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( D )
A ．2
B ．
6
2
C ．
5
2
D ．1
[解析] 因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3
a
2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D ．
4．(2019·天津模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线
与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( A ) A ．x 24－y 2
＝1
B ．x 2
－y 2
4
＝1
C ．3x 220－3y 2
5
＝1
D ．3x 25－3y 2
20
＝1
[解析] 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2
＝1.
5．(2019·福州质检)设F 1、F 2分别是双曲线x 2－
y 2
9
＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( D ) A ．5 B ．3 C ．7
D ．3或7 [解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝2，∴|PF 2|＝7或3.
6．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)
到一条渐近线的距离为
3
2
c ，则其离心率的值是__2___. [解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c,0)到这条渐近线的距离为
|bc |b 2＋(－a )2
＝
32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝c
a
＝2.
考点1 双曲线的定义——师生共研
例1 (1)(2019·西安模拟)设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左、右焦点，若双曲线
上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°，且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( B ) A ．5
2 B ．
10
2
C ．
15
2
D ．5
(2)已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的
最小值为__9___.
[解析] (1)因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，故10a 2＝4c 2，即e ＝c a ＝102
.故选B ．
(2)设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|，所以当|PF 1|＋|P A |最小
时满足|PF |＋|P A |最小．由双曲线的图像，可知当点A ，P ，F 1共线时，满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|即|PF 1|＋|P A |的最小值．又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 名师点拨 ?
应用双曲线的定义，可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而求出曲线方程；可在“焦点三角形”中，利用正弦定理、余弦定理，并结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用配方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．应用双曲线的定义时，若去掉绝对值，则点的轨迹是双曲线的一支． 〔变式训练1〕
(1)(2019·云南曲靖模拟)已知P 是双曲线x 225－y 2
16＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、
右焦点，O 为坐标原点，若|OP →＋OF 1→
|＝8，则点P 到该双曲线左焦点的距离为( D ) A ．1 B ．2 C ．16
D ．18
(2)(2019·哈尔滨质检)已知双曲线
x 2－
y 2
24
＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|＝4
3|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( B )
A ．48
B ．24
C ．12
D ．6
[解析] 如图，取线段PF 1的中点M ，
则|OP →＋OF 1→|＝|2OM →
|＝8，所以|PF 2|＝8. 由|PF 1|－|PF 2|＝10，得|PF 1|＝18，故选D ． (2)由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝1
3
|PF 2|＝2a ＝2，
解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝1
2
|PF 1|×|PF 2|＝24.
考点2 求双曲线的方程——自主练透
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)与已知双曲线x 2－4y 2＝4有共同渐近线且经过点(2,2)； (2)渐近线方程为y ＝±1
2x ，焦距为10；
(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)；
(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． [解析] (1)设所求双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)， 将(2,2)代入上述方程，得22－4·22＝λ，∴λ＝－12. ∴所求双曲线方程为y 23－x 2
12
＝1.
(2)设所求双曲线方程为x 24－y 2
＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，双曲线标准方程为x 24λ－y 2
λ＝1，
∴c ＝5λ.∴5λ＝5，λ＝5；
当λ<0时，双曲线标准方程为y 2－λ－x 2
－4λ＝1，
∴c ＝
－5λ.∴
－5λ＝5，λ＝－5.
∴所求双曲线方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 2
20＝1.
(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1.(mn >0)
∴?
??
??
9m －28n ＝1，
72m －49n ＝1，解之得???
m ＝－1
75，
n ＝－1
25.
∴双曲线方程为y 225－x 2
75
＝1.
(4)依题意，e ＝2?a ＝b .设方程为x 2m －y 2
m ＝1，
则16m －10m ＝1，解得m ＝6.∴x 26－y 2
6
＝1. [答案] (1)y 23－x 212＝1 (2)x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1 (3)y 225－x 275＝1 (4)x 26－y 2
6＝1
名师点拨 ?
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b 或2c ，从而求出a 2，b 2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x 轴还是y 轴，设出标准方程，再由条件确定a 2，b 2的值，即
双曲线讲义(教师版)
一、双曲线知识点总结: 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, 的轨迹不存在; 当时, 的轨迹为以为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义 平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为双曲线 与双曲线共渐近线的双曲线系方程为： 与双曲线共轭的双曲线为 等轴双曲线的渐近线方程为 ，离心率为.； 1.注意定义中“陷阱 问题1：已知，一曲线上的动点 到距离之差为6，则双曲线的方程为 2.注意焦点的位置 问题2：双曲线的渐近线为，则离心率为 二、双曲线经典题型: 1.定义题： P P 21212||F F a PF PF ==-P 21F F 、F l F l e 1>e 12222=-b y a x )0(22 22≠=-λλb y a x 122 22=-b y a x 22221y x b a -=222a y x ±=-x y ±=2=e 12(5,0),(5,0)F F -P 21,F F x y 2 3 ± =
1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 上， 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x 代入上式，得，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处. 2. 设P 为双曲线上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ． B ．12 C ． D ．24 解析： ① 又② 由①、②解得直角三角形故选B 。 3.如图2所示，为双曲线的左 焦点，双曲线上的点与关于轴对称， 则的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27 122 22=-b y a x 1 3405680340568010202 2 22222222=?-?=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为5680±=x 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即m 10680112 2 2 =-y x 363122:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由,22||||21==-a PF PF .4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2212221==+F F PF PF 为21F PF ∴.12462 1 ||||212121=??=?= ∴?PF PF S F PF F 116 9: 2 2=-y x C C i P ()3,2,17=-i P i y F P F P F P F P F P F P 654321---++
(完整word版)双曲线讲义
圆锥曲线第二讲 双曲线 一 双曲线的定义 平面内到两个定点12,F F 的距离之差的绝对值等于常数2a （小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距. 注：（1）定义中的限制条件1202a F F <<.当122a F F =时，点的轨迹是分别以12,F F 为端点的两条射线；当122a F F >时，轨迹不存在；当20a =时，点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线. （2）定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的一支. 例 1 已知1(5,0)F -，2(5,0)F ，动点P 满足122PF PF a -=，当a 为3和5时，P 的 轨迹分别是_________.双曲线的一支和一条射线. 例2 已知点(,)P x y 的坐标满足下列条件，是判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形： （16=； （26= 练习1 已知平面上定点1F ，2F 及动点M ，命题甲：22()MF MF a a -=为常数，命题乙：M 点轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，则甲是乙的____条件.必要不充分条件 练习2 若平面内一动点(,)P x y 到两定点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之差的绝对值为定值(0)a a ≥，讨论点P 的轨迹方程.
二 双曲线的标准方程 （1）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(,0)c -，(,0)c ， M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程 为 ：22 221(0,0)x y a b a b -=>> 其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确 （2）设(,)M x y 是双曲线上任意一点，焦点1F ，2F 的坐标分别为(0,)c ，(0,)c -， M 与1F 和2F 的距离之差的绝对值等于常数2(0)a c a >>，则双曲线的标准方程为 ：22 221(0,0)y x a b a b -=>> 其中：①222c a b =+； ②a c b c <<且，a 和b 大小关系不明确 例1 若方程22 123 x y m m +=--表示双曲线，则实数m 的取值范围为______. (3,2)(3,)-+∞U 例2 若1k >，则关于,x y 的方程222(1)1k x y k -+=-所表示的曲线是____.焦点在 y 轴上的双曲线. 例3 方程22 1cos 2010sin 2010 x y ?? -=所表示的曲线为_______.焦点在y 轴上的双曲线. 练习1 若方程 22 21523 x y m m m +=---表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为_____.(5,)+∞ 练习2 已知双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k =_____.-1 三 双曲线的定义及其标准方程的应用 例1 若12,F F 是双曲线22 1916 x y - =的两个焦点，若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，则点M 到另一个焦点的距离为____（4或28），若P 是双曲线左支上 的点，且1232PF PF =g ，则12F PF V 的面积为_____.16
双曲线专题复习讲义及练习
双曲线专题复习讲义 ★知识梳理★ 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义 平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22 22≠=-λλb y a x 与双曲线122 22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -= 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； ★重难点突破★ 1.注意定义中“陷阱” 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支 12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116 92 2>=- x y x 2.注意焦点的位置
问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时， 23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，2 3 =b a ，313=e ★热点考点题型探析★ 考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义 [例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同 时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上， 依题意得a=680, c=1020， 用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF 为21F PF ∴直角三角形，
双曲线高考标准化讲义(解析版)
双曲线标准化讲义 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)___的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点___，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距___. 注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线___； (2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线___； (3)当a＞c时，集合P是__空集___. 2．双曲线的标准方程和几何性质 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 考点一：定义与基本量 1.已知两点1(5,0) F-，2(5,0) F，则与它们的距离差的绝对值等于6的动点的轨迹方程_________. 解：设动点(,) M x y满足 126 MF MF -=
6= 移项后两边平方并整理得：59x -=两边再平方并整理得：2 2 169144x y -=两边同时/144得：至22 1916 x y -= 2.已知动园M 与圆221;(3)9C x y +÷=外切且与圆222,(3)1C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是_________. 解： 设动圆M 的半径为r .因为动圆M 与圆1C 外切且与圆2C 内切， 所以123,1MC r MC r =+=-，两式相减得124MC MC -= 又因为点12(3,0),(3,0)C C -，并且1264C C =>，所以点M 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的双曲线的右支，且有2,3a c ==.. 所以2 5b =，所以所求的机迹方程为22 1(2)45 x y x -=… 3.已知双曲线方程为28832x y -=，则（ ）. A.实轴长为，虚轴长为2 B.实轴长为4 C.实轴长为2，虚轴长为 D.实轴长为4，虚轴长为 解：双曲线方程2 8 832x y -=化为标准方程为22 1324 x y -=，可得2a b ==，所以双曲线 的实轴长为 4. 4.双曲线22 1916x y -=-的焦点坐标为（ ）. A.(3,0)± B.(5,0)± C.(0,5)± D.(0, 解：双曲线221916x y -=-即为221169 y x -=，焦点在y 轴上， 且4,35a b c ===,，可得焦点为(0,5)± 所以C 选项是正确的. 5．(2019·福州质检)设F 1、F 2分别是双曲线x 2 －y 2 9 ＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上， 且|PF 1|＝5，则|PF 2|＝( D )
双曲线讲义
第 1 页 共 8 页 You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。 双曲线复习讲义 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹 （21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当 2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2. 第二定义： 动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线
第 2 页 共 8 页 You'll never find the right person, if you can't let go of the wrong one ——告别错的，方可遇见对的。 二、 双曲线的标准方程： 122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)； 122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 注意：如果2 x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2 y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b. 直线与双曲线： 设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 联立解得 02)(222 222222=----b a m a mkx a x k a b 1) 0m =时，b b k a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； b k a ≥，b k a ≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m ≠时， k 存在时， 若02 22=-k a b a b k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若222 0b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ?=----- 22 2 2 2 2 4()a b m b a k =+- 0?>时，2 2 2 2 0m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0?<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点； 0?=时2222 0m b a k +-=，2222 m b k a += 直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 三、 双曲线与渐近线的关系： 1. 若双曲线方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>> ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±= 2. 若双曲线方程为122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）
高二数学 双曲线讲义
高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲） 学生姓名： 授课教师： 授课时间： 11.23 一、知识点讲解 （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：
（3）双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线122 22=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b y a x ； （4）等轴双曲线为2 22t y x =-，其离心率为2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12 222 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、例题讲解。 例1、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心， 以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3 （B ）5 （C ） 2 5 （D ）31+ 例2、设P 为双曲线2 2 112 y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ） A ． B ．12 C. D ．
高考数学讲义双曲线.知识框架
双曲线的定义与性 质 要求层次 重难点 双曲线的定义及标准方 程 A 由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质 双曲线的简单几何性质 A 直线与双曲线的位置关系 要求层次 重难点 双曲线的定义与性 质 A 判别式和韦达定理的应用；直线与双曲线相交截得的弦长 直线与双曲线的位置关系 A （一） 知识内容 1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小 于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程： ①22 221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为(0)c -， ，(0)c ，，222c a b =+； ②22 221(00)y x a b a b -=>>，，焦点坐标为1(0)F c -， ，2(0)F c ，，222c a b =+； 3．双曲线的几何性质（用标准方程22 221(00)x y a b a b -=>>，来研究） ： 知识内容 高考要求 模块框架 双曲线.知识框架
⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图． ⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心． ⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点． ⑷实轴与虚轴： 两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A ，2A 为顶点，线段12A A 为双曲线的实轴． 在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴． ⑸渐近线：直线b y x a =±； ⑹离心率：c e a =叫做双曲线的离心率，1e >． 双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔． B 1 x=-a x=a P M A 1 A 2 B 2 F 2 F 1O y x <教师备案>1．渐近线的理解： 过双曲线上的一点()M x y ，（考虑对称性，不妨设M 是第一象限内的点） 作平行于y 轴的直线，设它与直线b y x a =相交于点P ，（见上页图） 则2 2||b b PM x x a a a =-2222()b x x a a x x a =-= +- 当x a >时，22x x a -随着x 的增大而增大，从而||PM 越来越接近于0． 这说明，当点M 以双曲线C 的顶点2A 开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点2A 时，点M 和直线b y x a =就越来越接近，而且 22b b x x a a a >-故双曲线始终在直线的下方，且与直线越来越接近，不会相交． 其它象限内的情况与此类似． 2．双曲线的开口大小： 渐近线的斜率的绝对值2221b c a e a -=-e 越大，b a 也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．
双曲线标准讲义
双曲线 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0， c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．标准方程 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0， b>0)； (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0， b>0)． 双曲线定义的应用 [例1] (1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C 上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( ) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________． [方法技巧] 双曲线定义的主要应用方面 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系． 双曲线的标准方程 双曲线的标准方程的求法 1．定义法 根据双曲线定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：
①c2＝a2＋b2； ②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a. 2．待定系数法 (1)其一般步骤为： (2)待定系数法求双曲线方程的五种类型 类型一与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝ λ(λ≠0) 类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0) 类型三与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2 1. 双曲线的定义 平面内与两个定点 F1,F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于| FF 2 |）的点的轨迹叫做 双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距 2. 双曲线的标准方程及简单几何性质 （1）定义：实轴和虚轴长相等的双曲线，叫做等轴双曲线 .其方程的一般形式 x 2 y 2 ⑵ 性质：① 渐近线方程：y x :② 离心率e 、2 . 4.有共同渐近线的双曲线方程 2 2 x y （2）与双曲线 — -1有相同的渐近线的双曲线方程可设为 a b 双曲线 （1）当已知双曲线的渐近线方程 y b —x,可设双曲线方程为 a 2 x 2 a b 2 (0). 2 y b 2 (0). 基础巩固： 2 2 x y 1. 双曲线16 - 6=1的左、右焦点分别为 F I ,F 2,P 在双曲线上，且|PF i |=2,则|PF 2|等于 2. 已知点F i (-4,0)和冃(4,0), —曲线上的动点 P 到F I ,F 2距离之差为6,该曲线方程是 3. 已知方程 k 3 + k 5 =i 表示双曲线，则k 的取值范围为 2 2 x y 4. 双曲线4 - 5 =1的离心率e 等于 ______________ . 匸 _5 ~2- b =1(a>0,b>0)的离心率为 2 ,则C 的渐近线方程为 1 6. 已知双曲线过点(4, 3 ),且渐近线方程为y= ± 2 X ,则该双曲线的标准方程为 _____________ . 2 2 2 2 x y x y 2 2 7. 椭圆4 + m =1与双曲线m - 2 =1有相同的焦点，则m 的值是 __________________ . 2 2 x y 8. 已知双曲线25 - 9 =1的左、右焦点分别为 F 1,F 2,若双曲线的左支上有一点 M 到右焦点F 2 的距离为18,N 是MF 的中点，0为坐标原点，则|N0|等于 ____________ . 例题讲解： 2 2 例1双曲线x +my=1的虚轴长是实轴长的 2倍，求双曲线的渐近线方程 变式训练： 2 2 x y 2 2 设双曲线a - b =1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是 AA,过F 作AA 的垂线 与双曲线交于B,C 两点.若AB 丄A 2C,求双曲线的渐近线的斜率 例2已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为 3 x-y=0,求双曲线 2 x 2 5.已知双曲线C: a 双曲线教学讲义ZHI SHI SHU LI 知识梳理 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1、F2的__距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1 F2|)___的点的轨迹叫做双 曲线．这两个定点叫做双曲线的__焦点___，两焦点间的距离叫做双曲线的__焦距___.注：设集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数，且a＞0，c＞0； (1)当a＜c时，P点的轨迹是__双曲线___； (2)当a＝c时，P点的轨迹是__两条射线___； (3)当a＞c时，集合P是__空集___. 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2－ y2 b2＝1 (a＞0，b＞0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a＞0，b＞0) 图形 性质 范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 顶点坐标： A1__(－a,0)___， A2__(a,0)___ 顶点坐标： A1__(0，－a)___， A2__(0，a)___渐近线y＝__± b a x___y＝__± a b x___ 离心率e＝ c a，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的__实轴___，它的长|A1A2|＝__2a___；线段 B1B2叫做双曲线的__虚轴___，它的长|B1B2|＝__2b___；__a___叫做双 曲线的__实半轴长___，b叫做双曲线的__虚半轴长___ a、b、c 的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) ZHONG YAO JIE LUN 重要结论 双曲线中的几个常用结论 双曲线及抛物线（讲义） 知识点睛 一、双曲线 1. 双曲线的标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12||F F )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 设()M x y ，是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为(0)c -，，(0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数2a ． 12{|||||||2}P M MF MF a =-=． 因为12|| ||MF MF == 所以 2a =±． ① 类比建立椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 22222222()()c a x a y a c a --=-， 两边同除以222()a c a -，得 22 2221x y a c a -=-． 由双曲线的定义可知，22220c a c a c a >>->，即，所以． 类比椭圆标准方程的建立过程，我们令222c a b -=，其中0b >，代入上式，得 22 221(00)x y a b a b -=>>，． 双曲线的标准方程：22 221(0 0)x y a b a b ， -=>>． 2.双曲线的几何性质 R R 对称轴 二、抛物线 1.抛物线的标准方程 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的 轨迹叫做抛物线． 点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 设||(0)KF p p =>，那么焦点F 的坐标为(0)2p ，，准线l 的方程为2 p x =-． 设()M x y ，d ． 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 {|||}P M MF d ==． 因为||||2 p MF d x == +，所以 ||2 p x =+． 将上式两边平方并化简，得 22(0)y px p =>． 抛物线的标准方程：22(0)y px p =>． 2. 抛物线的几何性质 2013届高三数学第一轮复习《双曲线 》讲义 要点梳理 1．双曲线的概念 平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a <2c )，则点P 的轨迹叫__双曲线______．这两个定点叫双曲线的__焦点______，两焦点间的距离叫___焦距_____． 集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a >0，c >0； (1)当___ a 第二节 双曲线 考点一 用双曲线的定义解决相关问题 1.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2 -y 2 =2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( ) (A) 14 (B)35 (C)34 (D)4 5 2.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2 -y 2 =1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则P 到x 轴的距离为( ) (A) 2 (B)2 3.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2 -y 2 =1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|=( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 4.已知F 是双曲线24x -2 12 y =1的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .? 考点二 双曲线标准方程的求法 1.已知双曲线C:22x a -2 2y b =1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为( ) (A) 220x -25y =1 (B) 25x -220y =1 (C) 280x -2 20 y =1 (D) 220x -280y =1 2.已知双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x 2+y 2 -6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心, 则该双曲线的方程为( ) (A) 25x -24y =1 (B) 24x -25y =1 (C) 23x -26y =1 (D) 26x -2 3 y =1 3.(2010年新课标全国卷,理12)已知双曲线E 的中心为原点,F(3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点,且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为( ) 双曲线 一、双曲线知识点总结: 1. 双曲线的定义 （1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在; 当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义 平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨 迹为双曲线 与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(22 22≠=-λλb y a x 与双曲线122 22=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a -= 等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .； 1.注意定义中“陷阱 问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点 P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 2.注意焦点的位置 问题2：双曲线的渐近线为x y 2 3 ± =，则离心率为 二、双曲线经典题型: 1.定义题： 1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上) 【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线 122 22=-b y a x 上， 依题意得a=680, c=1020， 1 3405680340568010202 2 22222222=?-?=-=-=∴y x a c b 故双曲线方程为 用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 10680),5680,5680(,5680,5680=-=-=∴PO P y x 故即 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 2. 设P 为双曲线112 2 2 =-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ① 又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF ,52||,52||||2212221==+F F PF PF 为21F PF ∴直角三角形.12462 1 ||||212121=??=?= ∴?PF PF S F PF 故选B 。 3.如图2所示，F 为双曲线116 9: 2 2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，选修1-1-选修2-1双曲线(讲义)
双曲线教学讲义
双曲线及抛物线(讲义)
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