3向量组与矩阵的秩

解 α1是α1，α2，α3，α4的一个线性无关的部分组，显然α2不能由α1线性表示，所以α1可以扩充为一个线性无关的部分组α1，α2，容易证明α3＝α1+α2 , 但α4不能由α1，α2线性表出，
可以经向量组
线性表出。
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向量组的等价具有下述性质：
(1)自反性：向量组
(2)对称性: 如果向量组
等价，那么
也与
与它自己等价；
与等价；
(3)传递性: 如果向量组
等价，而向量组
又与
与等价, 那么
向量组
与
等价。
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§3 线性相关性的判别定理
称一个向量组中的一个部分向量组为原向量组的部分组。
α１＝（１，１，１），α２＝（０，２，５），α3＝（１，３，６）
的线性相关性.
解对任意的常数k１，k２， k3都有
k１α１+k２α２+ k3α3=( k１+k3，k１+2k２+3k3，k１+5k２+6k3 ).
所以
当且仅当
k１α１+k２α２+ k3α3=0
kk11
2k2
k3 3k3

0 0
(1) (2)
k1 5k2 6k3 0
(3)
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由(1)得
kk11
2k2
k3 3k3

0 0
(1) (2)
k1 5k2 6k3 0
(3)
k1 k3,
将其分别代入(2)和(3)得 k2 k3.
取定
k3 1,
得方程组的一组解为:
练习讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性：
1 2 3
1 3 2
B 2
2
1 ;
C

0
2 1.
3 4 3
2 0 1
由于｜Ｂ｜＝２≠０，因此Ｂ的行(列)向量组线性无
关；
由于｜Ｃ｜＝０，所以C的行(列)向量组线性相关.
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定理8 如果向量组线性表出且 s > t ，那么
定理3 有一个部分组线性相关的向量组线性相关。
证设向量组
有一个部分组线性相关。
设这个部分组为
，则有不全为零的数
k1 , k2 , … , kr，使
因此
也线性相关。
推论含有零向量的向量组必线性相关。
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定理4 设p1 , p2 , …, pn为1，2，…，n的一个排列，
和
为两向量组，其中
所以
线性无关。
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α
例设α １=(1,1,1,1),α ２=(1,1,-1,-1),α 4=(1,-1,-1,1),β =(1,2,1,1).试问β 能否由α
3=(1,-1,1,-1), １,α ２,α 3,
α 4线性表出？若能，写出具体表达式.
解令
β =k１α １+k２α ２+k3α 3+k4α 4 于是得线性方程组
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数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称
为实向量；分量都是复数的向量称为复向量。
n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常看成n×1矩阵。
设k和l为两个任意的常数，维向量，其中
为任意的n
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定义3 如果和对应的分量都相等，即
在上式两端取行列式，得
12 22
n2
1n

2
n

n n

|A|2=|A’||A|=D
故|A|≠0
D≠0,
所以α１，α２，…，αn线性无关
D≠0.
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定理7 n+1个n维向量组
必线性相关。
推论当m>n时, m个n维向量组线性相关。
n维列向量组
可以排成一个n×s矩阵
其中为由B的第j列形成的子块，
称为B的列向量组。
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定义6 向量组
称为线性相关的，如果
有P中不全为零的数k1,k2,…,ks，使
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就
称
线性无关。
当
是行向量组时，它们线性相关就是指
有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
在三维的情形，这就表示向量α１与α２共线. 三个向量α１，α２，α3线性相关的几何意义就是它们共面.
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定理2 设向量组
线性无关，而向量组
线性相关，则能由向量组
线性表出，且表示式是唯一的。
证由于
线性相关，就有不全为
零的数k1 , k2 ,…, kt , k，使
由
线性无关有k≠0。（否则，
能由向量组的极大线性无关组可
由
的极大线性无关组线性表出。
因此
的秩不超过
的秩。
定理9 向量组的任意线性无关的部分组都可
扩充为一个极大线性无关组。
推论秩为r的向量组中任意含r个向量的线
性无关的部分组都是极大线性无关组。
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例求向量组α1＝(1，-1，0，3) ，α2＝(0,1,-1,2) , α3 ＝(1,0,-1,5),α4＝(0,0,0,2)的一个极大线性无关组及秩.
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当
为列向量时，它们线性相关就是
指有非零的s×1矩阵
，使
.
定义7 向量α称为向量组β １,β ２，…，β t的一个
线性组合，或者说α
可由向量组β
１，β
２，…，β
线
t
性表出(示)，如果有P中（经常省略P中）常数k１，k ２,…，kt使
α ＝k１β １＋k２β ２+…＋ktβ t.
此时，也记
向量组的极大线性无关组具有的性质：
性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。
性质2 一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。
性质3 一向量组的极大线性无关组都含有相同
个数的向量。
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定义10 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
如果向量组线性表出，那么
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也可用矩阵形式表示：若所给向量均为行向量，则有
若所给向量均为列向量，则有
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例判断向量组
的线性相关性。
解假设存在一组常数k1 ,k2 ,…,kn 使得
所以
即因此
k1= k2 =…= kn= 0 线性无关。
称为基本单位向量. 返回
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例判断向量组
的话），所得的部分组都线性相关。
例在向量组
中，为它的一个极大线性无关组。
首先，由组线
性相关，不难验证
也为一个极大线性无关组。
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定义9' 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。
线
性相关）因此
即可由
线性表出。
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设为任意两个表达式。由
和
线性无关
得到
l1=h1 , l2=h2 , …，lt=ht
因此表示式是唯一的。
定理 2′ 若α 可由向量组β１，β２，…，βt 线性表出,
且表示式是唯一的, 则β１，β２，…，βt 线性无关.
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定义8 如果向量组
所以
k1

5 4
,
k2

1 4
,
k3

k4

1 4

5 4
1

1 4

2

1 4
3

1 4

4
,
即β 能由α １，α ２，α 3 , α 4线性表出.
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例设α =(2,-3,0),β =(0,-1,2),γ =(0,-7,-4),试问γ 能否由α ,β 线性表出?
解设于是得方程组
引理1 n阶方阵A的行列式等于零的充分必要条件是A的行(列)向量组线性相关。
定理6 n维向量组件是矩阵
线性无关的充要条
的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也线性无关。
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例试证明n维列向量组α１，α２，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式
11 12 D 21 22
中每个向量都
可以由
线性表出，就称向量组
可由
线性表出，如果两个向量组互相
可以线性表出，就称它们等价。
每一个向量组都可以经它自身线性表出。
如果向量组线性表出，向量组线性表出，那么向量组
线性表出。
可以经向量组可以经向量组可以经向量组
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如果
有
向量组
中每一个向量都可以经向量组
线性表出。因而，向量组
γ =k１α +k２β

2k1 3k1

k2

0 7

2k2 4
由第一个方程得k１=0，代入第二个方程得k２=7，但k２不满足第三个方程，故方程组无解.
所以γ 不能由α ,β 线性表出.

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第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩

第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。

在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。

但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。

例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z yxv vv t z y x ,,,,,,称为七维向量。

更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。

这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。

§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。

数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。

向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。

向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛na a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。

行向量、列向量都表示同一个n 维向量。

设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。

分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。

下面讨论n 维向量的运算。

定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。

线性代数第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩

第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。

2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。

3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。

3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。

4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。

（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。

第四节向量组的秩和矩阵的秩

2 1 0 α1 −3 1 α 0 −4 1α2 −2α1 0 −4 0α3 0 0 0α4 −α3 +α2 +α1
由最后的阶梯形矩阵，得r (A)=3。因此向量组 α1,α2 ,α3,α4 的秩也是3。
由阶梯形矩阵的最后一行，得 α4 −α3 +α2 +α1 = 0 由此可知
α4 = −α1 −α2 +α3
r( A+ B) ≤ r( A) + r(B)
证设矩阵 A, B的列向量组分别为 α1,α2 ,⋯,αn和 1, β2 ,⋯, βn， β 则要证
A+ B = (α1 + β1,α2 + β2 ,⋯,αn + βn ) r( A+ B) ≤ r( A) + r(B)
例2 设向量组 a = (1,0,0), a = (0,1,0), a = (0,0,1). 1 2 3 不难看出，部分组a1, a 2是线性无关的，且 a1, a 2 , a3中的任一向量都可以由此部分组线性表示：
a1 = a1 + 0ia 2 , a 2 = 0ia1 + a 2 , a3 = a1 + a 2
向量用此极大无关组线性表示。
解把向量 α1,α2 ,α3,α4看作一个矩阵的行向量组，得矩阵
1 −1 2 −2 A= 3 0 0 3
2 1 0 α1 4 −2 0α2 6 −1 1α3 0 0 1α4
对A仅施以初等行变换，并在矩阵右侧标注所作的变换，把A化为阶梯形矩阵：
所以部分组a1, a 2是向量组a1, a 2 , a3的一个极大无关组。例3 设向量组 a1, a 2 ,⋯, a s线性无关，其极大无关组就是自身。如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组。

第四章-向量组与矩阵的秩

…,
e n 线性无关. 证毕.
例4
维向量组必定线性相关. 含有零向量的 n 维向量组必定线性相关
证若向量组 a1, a2, …, as 含有零向量，不妨设 a1= 0，则有 1⋅a1+0⋅a2+ …+ 0⋅as = 0,
其系数不全为0，按定义此向量组线性相关。证毕。
定理2 定理2 当 s ≥2 时，向量组 a1, a2, …, as 线性相关的充要条件是其中至少充要条件是其中至少有一个向量能由其余向量线性是其中至少有一个向量能由其余向量线性表2+ …+xn an = b,
⇒
定理 1 对于方程组Ax=b，，对于方程组 (1) Ax=b有解有解性表示；性表示向量b能由向量组向量能由向量组a1, a2, …,an 线能由向量组
(2) Ax=b有唯一解向量能由向量组 1, a2, …,an 能由向量组a 有唯一解向量b能由向量组并且表示方法唯一. 并且表示方法唯一线性表，线性表，
关高( 亦无关；相关矮( 亦相关. 矮(短)无关高(长)亦无关；高(长)相关矮(短)亦相关.
例6 证明：对于矩阵满足B=PA, 如果的列如果A的列证明：对于矩阵A, B, P满足满足向量组线性相关，的列向量组也线性相关。向量组线性相关，则B的列向量组也线性相关。的列向量组也线性相关证由已知，方程Ax=0有非零解，设u为其一个非零解，则有Au=0. 则Bu=PAu=0, 则u也是Bx=0的非零解，从而u也是Bx=0的一个非零解，因此B的列向量组线性相关。证毕。
推论5 推论5 向量组a 线性无关，向量b不能由不能由a 向量组 1,…ar 线性无关，向量不能由 1,…ar 线性表示，则向量组a 线性无关。线性表示，则向量组 1,…ar , b线性无关。线性无关

§3向量组的秩

x1 3 4 x 2 2 c c 3 x3 1 1 2 0 0 1 x4
试求全体解向量构成的向量组 S 的秩．
2 1 1 1 1 1 2 1 例：求矩阵 A 4 6 2 2 3 6 9 7
1 1 2 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 6 7 0 3
1 1 0 0
1 1 B0 1 0
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
2 1
2 1 1 1 1 1 2 1 例：求矩阵 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 的秩，并求 A 的一个 4 9
最高阶非零子式．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
1 2 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 6 9 7 3 2 1 4 r 0 ~ 4 0 9 0 1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ．第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一个非零元所在的列二、四列． 1 1 1 1 2 1 r 0 1 1 1 1 1 B ~ A0 (a1 , a2 , a4 ) 0 4 6 2 0 0 1 6 7 0 0 0 3
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ．第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、的第一个非零元所在的列二、四列． 1 1 1 1 2 1 r 0 1 1 1 1 1 B ~ A0 (a1 , a2 , a4 ) 0 4 6 2 0 0 1 6 7 0 0 0 3

向量组的秩与矩阵秩的关系

向量组1
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
A的列向量组为1,2 ,,n ； A的行向量组为 1T , 2T ,, mT.
➢ 称A的列向量组的秩为A的列秩;
➢ 称A的行向量组的秩为A的行秩.
向量组的秩与矩阵秩的关系
设矩阵A
1 0
1 1
1 2
，试确定矩阵的秩，行秩，列秩.
0 0 0
➢ 矩阵A的秩为 2；
➢ A的行向量组为：1T 1 1 1, 2T 0 1 2, 3T 0 0 0.
➢
1T
,
T 2
是
A 的行向量组的一个极大无关组，A 的行秩是2.
向量组的秩与矩阵秩的关系
1
1
1
A的列向量组为 1 0,2 1,3 2.
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向量组的秩与矩阵秩的关系
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01
向量组的秩与矩阵秩的关系
向量组的秩与矩阵秩的关系
含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应
Amn 1 2 n
向量组的秩与对应的矩阵的秩具有什么联系？
0
0
0
由于 1，2线性无关，3 22 1 ，故 1，2是A的列向量
组的一个极大无关组，因而A的列秩为2.
在本例中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩！这一结论是否具有普遍意义呢？
向量组的秩与矩阵秩的关系
回顾
1 0
0 1
0 0
c11 c21
c1,nr c2,nr
A B 0 0 1 cr1 cr,nr

线性代数--第三章向量线性关系秩

若l =0, 则k11+k22+ …+krr=0, 矛盾. 所以l 0, 于是
β
k1 l
α1
k2 l
α2
kr l
αr
若有: =k11+k22+ …+krr=l11+l22+ …+lrr
则有: 所以:
(k1 l1)1+(k2 l2)2+ …+(krl1)r=0 k1 l1=k2 l2= …=krl1=0
(1, 0, 0, 1)的线性相关性.
解设 k11+k22+k33=0 , 即 (k1k3, k1+k2, 0,k2+k3)=(0,0,0,0)
k1 k1
k3 k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0. 所以1, 2, 3线性无关.
例3 讨论向量组 1T=(1,1,2), 2T=(0,1, 1), 3T= (2, 3, 3)的线性相关性.
解设 k11+k22+k33=0 , 即 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0
就是
(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0
所以
k1 +k3 k1 +k2
0 0
k2 k3 0
解得: k1=k2=k3=0
所以向量组1, 2, 3线性无关.
定理3.1 若向量组有一个部分组线性相关, 则此向量组线性相关.
前面加长向量组的概念中只加了一个分量, 而且加在
了最后一个分量. 也可以加多个分量, 分量也可以加在任

第3.3节向量组的秩

例2 证明
(1) n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是Rn的极大无关组； (2) Rn中任意n个线性无关的向量都是Rn的极大无关组. 证 (1) 1 , 2 , , n 显然线性无关；又 ( a1 , a2 , , an ) R n , 有
( a1 , a2 , , an ) a1 1 a2 2 an n ,
因此，1 , 2 , 4 是向量组A的极大无关组，且
3 1 2 0 4 1 2 .
例7 设向量组 (I) 1 (1, 1, 0, 0)T， 2 (1, 0, 1, 1) T , (II) 1 (2, 1, 3, 3)T， 2 (0, 1, 1, 1) T . 证明向量组(I)与向量组(II)等价. 证方法1 考虑向量组 (III)
例1 考察下列向量组的极大无关组.
(1) 1 (0, 0, 0);
不存在
(2) 1 (0, 0, 0)， 2 (1, 0, 0)， 3 (0,1, 0); (3) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (0, 0,1); (4) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (1,1, 0).
不难归纳
2 , 3
1,2,3
1,2； 1,3；2,3
(1)只含零向量的向量组不存在极大无关组； (2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组； (3)线性无关向量组的极大无关组是其本身； (4)线性相关组的极大无关组所含向量个数少于原向量组所含向量个数； (5)向量组的极大无关组可能不唯一.
故而r1 r2 .
(2)略.
例4
已知向量组 1 , 2 , , s ( s 1) 的秩为r ，且

向量组与矩阵

am1xm 0
利用矩阵乘法，方程变形为
x1
1,
2
,,
m
x2
0
xm
这样由上一章线性方程组有解的条件可得如下结论：
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定理 1 若列向量组 1,2 , ,所m 构造的矩阵A，则
行向量组 1,2 , ,线m 性相关的充要条件是线性无关的充要条件是 r( A) m.
推论 m n时, m个n维向量总是线性相关的.
中对应
因此，我们不仅可以利用矩阵的初等行变换求出列向量的秩，还可以进一步确定其中某个部分组的线性相关性，并求出出它的极大线性无关组。
第11页/共16页
例 4 求下面向量组的秩和一个极大无关组，并把不属于该极大无关组的向量用该极大无关组线性表示：
T1 (1, 4,1, 0, 2) T2 (2,5, 1, 3,2)
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
设矩阵 A
ai1
ai2
ain
am1 am 2 amn
则矩阵A可以看作由m个n维行向量或n个m维列向量构成，从而可以得到一个行向量组和列向量组。矩阵A行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为列秩。
第10页/共16页
定理 5 矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩。
例 3 基本向量组 1, 2 , 是n Rn 的极大无关组。
解由上一节，基本向量组是线性无关的，且任何一个n维向量都可以由它线性表示（即坐标表示）。
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定理 4 如果向量组
能由向量组
线Байду номын сангаас
性表出，且向量组A线性无关，那么
。
证明不妨设所给向量都是列向量，记矩阵

3-3向量组的秩与矩阵的秩

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例如 3维行向量组A :
1 1, 2, 1 , 2 2, 3,1 , 3 4,1, 1
易知向量组A是线性相关的. 但向量组1 , 2 或 2 , 3或 3 , 1都是线性无关的, 因而都是 A 的极大无关组.
说明：极大无关组不唯一.
Ir 例如矩阵 A 0
0 0
不难看出矩阵A的行秩为 r, A的列秩也为 r ， A的行秩等于列秩且等于矩阵A的秩. 下面说明任何矩阵A的行秩与列秩都是相等的,它们都等于A的秩.
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引理1 两个n维列向量组 α1 ,α2 ,..., αs 与 β1 , β2 ,..., βs ，若存在可逆的 n n 矩阵P , 使得
T能由A线性表示，而A能由T线性表示显然，因此
极大无关组A与向量组T等价.
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定理3.9 向量组的极大无关组所含向量个数相同.
证明因向量组的极大无关组都与向量组本身等价，由等价的传递性知, 任意两个极大无关组也等价，故所含向量个数相同.
定理说明向量组的极大无关组所含向量个数与极大无关组的选取无关，反映了向量组的性质.
定义3.16 向量组T的极大无关组所含向量个数称
为向量组的秩.记为 r(T).
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定理3.10 等价的向量组具有相同的秩. 定理3.11 如果向量组(I)能由向量组(II)线性表示，则向量组(I)的秩小于或等于向量组(II)的秩. 证因为向量组（I）可以由向量组（II）线性表示，利用定理3.1，所以向量组（I）的极大线性无关组可以由向量组（II）的极大线性无关组线性表示. 进而由推论3可知，向量组（I）的秩不超过向量组（II）的秩.

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