高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
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【必修4】 第二章平面向量
2.1 练习
1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）.
2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？
3、指出图中各向量的长度.
4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
（2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？
2.2.1 练习
1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +.
3、根据图示填空：
（1）________;=+d a
（2）.________
=+b c
4、根据图示填空:
（1）________;=+b a
（2）________;=+d c
（3)________;=++d b a
（4）.________
=++e d c
2.2.2 练习
1、如图，已知b a ，，求作.b a -
2、填空：
________;
=- ________;
=- ________;
=-BA BC ________;
=-OA OD .________=-
3、作图验证：b a b)(a --=+-
2.2。3 练习
1、任画一向量e ，分别求作向量e b e a 44-==，
2、点C 在线段AB 上，且2
5=CB AC ，则.________== 3、把下列各小题中的向量b 表示为实数与向量a 的积:
；，e b e a 63)1(==
；，e b e a 3
132)3(=-= .3
243)4(e b e a -=-=， 4、判断下列各小题中的向量b a 与是否共线：
；
，e b e a 22)1(=-= .22)2(2121e e b e e a +-=-=，
5、化简：
；)32(4)23(5)1(a b b a -+-
；)(2
1)23(41)2(31)2(b a b a b a ----- .)())(3(a a y x y x --+
6、已知向量)(三点不共线、、B A O ，求作下列向量:
);(21)1(OM += );(2
1)2(OB OA ON -= .23)3(+=
2。3 练习
1、已知向量b a 、的坐标，求b a b a -+，的坐标：
；
，，，)83()34()2(-==b a ；
，，，)32()32()3(--==b a ).40()03()4(，，，==b a
2、已知)10()23(-==，，，
b a ，求b a b a 3442++-，的坐标. 3、已知B A 、两点的坐标，求BA AB ，的坐标：
；，，，)96()53()1(B A
；，，，)36()43()2(B A -
；，，，)50()30()3(B A
).08()03()4(，，，B A
4、已知点)12()21()0,1()10(，，，，，，
D C B A ,试判断CD AB 与的位置关系，并给出证明。 5、求线段A 的中点坐标：
；，，，)34()12()1(B A
；，，，)63()21()2(B A -
).63()45()3(--，，，B A
6、已知点)00(，O ,向量)36()32(-==，，，，点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.
7、已知点)34()32(-，，，
B A ，点p 在线段AB =P 的坐标。
2。4。1 练习
1、已知q p q p 和，，68==的夹角是060，求q p ⋅。
2、已知ABC ∆中，b a ==AC AB ，,当00=⋅<⋅b a b a 或时，试判断ABC ∆的形状.
3、已知e a ，6=为单位向量，当e a 、之间的夹角θ分别等于0
001359045，，时,画图表示e a 在方向上的投影，并求出其值.
2.4.2 练习
1、已知.)25()43(b a b a b a ⋅=-=，，，求，，，
2、已知)21()42()32(--=-==，，，，，c b a ，求.)())()(2
b a
c (b a b a b a b a ++⋅-⋅+⋅，，，
3、已知)75()23(-==，，，
b a ,利用计算器，求b a 与的夹角θ（精确到01）.
习题2。1
A 组
1、在如图所示的坐标纸中,用直尺和圆规画出下列向量：
（1）4=OA ，点A 在点O 正南方向；
方向; （2）22=OB ，点B 在点O 北偏西45
o （3）2=OC ,点C 在O 南偏西30o 方向。
（第1题）
2、一人从点A 出发,向东走500米到达点B,接着向北偏东60o
走300米到达点C ，然后在向北偏东45o 走100米到达点D ，试选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移。
3、如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆各边的中点，写出图中与FD EF DE 、、相等的向量。
4、如图，在方格纸上的平行四边形ABCD 和折线MPQRST 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，且
c b a ===AB OB OA ，，，分别写出图中与c b a ，，相等的向量.
5、已知边长为3的等边三角形ABC ，求BC 边上的中线向量AD 的模AD 。
6、判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由。
（1）若b a 、都是单位向量，则b a = （ )
（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 （ ）
（3）方向为南偏西60o 的向量与北偏东60o
的向量是共线向量 （ ） （4）直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量 。 （ ）
B 组
1、有人说，由于海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，所以海拔也是向量，你同意他的看法吗?温度、角度是向量吗？为什么？
2、在矩形ABCD 中，AB=2BC ，M 、N 分别为AB 和CD 的中点，在以A 、B 、C 、D 、M 、N 为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对?
习题2。2
A 组
1、设a 表示“向东走10km",b 表示“向西走5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”,试说明下列向量的意义.
（1）a;a + （2）b;a +
（3）c;a + （4）d;b +
（5)b;c b ++ （6）d a d ++
2、一架飞机向北飞行300km,然后改变方向向西飞行400km ，求飞机飞行的路程及两次位移的合成。
3、一艘船以8km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为2km/h ，求船实际航行的速度的大小和方向（精确到1o
）
4、化简： （1） ++
（2） +++)(
（3） +++
（4） -+-
（5） AD OD OA +-
（6） --
（7） -++
5、作图验证：
（1）a b)(a 21b)(a 21=-++ (2)b
b)(a 21b)(a 21=--+
6、已知向量b a ，，求作向量c ，使0c b a =++,表示c b a ，，的有向线段能构成三角形吗?
7、作图验证：b)(a a b --=-。
8、已知b a ，为两个非零向量：
（1）求作向量b a b a -+及；
（2）向量b a ，成什么位置关系时，b a b a -=+（不要求证明).
9、化简：
(1)3a);4(2b 2b)5(2a -+- （2）c);b a 4(c)3b 6(a -+--+- (3)9b)];(6a 315a 2b)[(3a 21--+-
（4）))(())((b a b a ---+-y x y x
10、已知21212e 3e b ,2e e a -=+=，求2b 3a b,a b,a --+与
11、已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且b a ==,，用向量b a ，分别表示向量
12、ABC ∆中,BC DE //4
1=,且与边AC 相交于点E ，ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N ，设b a ==AC AB ，，用b a,分别表示向量AN DN EC DB DE BC AE 、、、、、、
13、已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：=
B 组
1、飞机从甲地以北偏西15o 的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙地以南偏东75o
的方向飞行1400km 到达丙地，试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向?丙地距甲地
多远？
2、已知b a,是非零向量，b a b a ++与一定相等吗？为什么？
3、如图,AC AN AB AM 31,31==，求证：BC MN 3
1=
4、根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD 的形状，并给出证明：
(1）=; （2）BC AD 3
1=； （3）AD AB DC AB ==且,. 5、已知O 为四边形ABCD 所在平面内的一点,且向量OD OC OB OA 、、、满足等式OD OB OC OA +=+
（1）作图并观察四边形ABCD 的形状；
（2）四边形ABCD 有什么特性？试证明你的猜想.
习题2。3
A 组
1、已知表示向量a 的有向线段始点A 的坐标,求它的终点B 的坐标：
（1）);00()12(，，，
A -=a （2）);51()31(，，，-=A a
（3）).73()52(，，，A --=a
2、已知作用在坐标原点的三个力分别为)13()52()43
(321，，，，，=-==F F F ,求作用在原点的合力321F F F ++的坐标.
3、已知平行四边形ABCD 的顶点)65(),13(),21
(，，，C B A ---，求顶点D 的坐标。 4、已知点)51()11(，，，-B A 及AB AD AB AC 221==，,AB AE 2
1-=，求点C 、D 、E 的坐标。 5、x 为何值时，)6()32(-==，与，x b a 共线？
6、已知)47()41()12()32(----，，，，，，，
D C B A ,试问与是否共线？ 7、已知点)31()21()00(，，，，，
-B A O ,且B O O 3,2='='，求点B A ''、及向量B A ''的坐标。
B 组
1、已知点t B A O +=，，，，)54(),21(),00(,当222
11，，
，-=t 时，分别求点P 的坐标。 2、判断下列各点的位置关系,并给出证明： （1）);5.32(),43(),21(，，，
C B A -- （2）);65(),05.0(),21(--，，，
R Q P (3）)5.08(),31(),19(，，，
G F E -
3、设21e ,e 是平面内一组基底，证明：当0e e 21=+21λλ时，恒有021==λλ
4、如图,设Oy Ox ,是平面内相交成︒60角的两条数轴，21e ,e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单
位向量,若向量21e e y x OP +=，则把有序数对),(y x 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标，假设21e e 23+=OP .
（1）计算OP 的大小；
（2）由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？
习题2.4
A 组
1、已知4,3==b a ，且b a 与的夹角︒=150θ，求b a ,b)(a b,a 2++⋅。
2、已知ABC ∆中，︒===60,8,5C b a ,求⋅
3、已知352-=⋅==b a ,b ,a ,求.b a ，b a -+
4、求证：)()()(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅
5、先作图，观察以A 、B 、C 为顶点的三角形的形状，然后给出证明:
（1）);43(),25(),41(，，，C B A --
（2）);61(),419(),32(----，，，
C B A （3）).710(),25(),52(，，，C B A
6、设254912-=⋅==b a b a ，，，求b a 与的夹角θ.
7、已知61)2()32(34=+⋅-==b a b a b a ，，，求b a 与的夹角θ。
8、已知16108=+==b a b a ，，，求b a 与的夹角θ(精确到︒1）
。(可用计算器） 9、求证：)6,4(),48(),25(),01
(D C B A ，，，-为顶点的四边形是一个矩形. 10、已知)2,1(,3==b a ,且a a//b 求,的坐标.
11、已知)2,4(=a ,求与a 垂直的单位向量的坐标.
B 组
1、已知a 是非零向量，且c b ≠，求证：)(c b a c a b a -⊥⇔⋅=⋅。
2、如图,在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点)sin ,(cos ),sin ,(cos ββααB A ，试用A 、B 两点的坐标表示AOB ∠的余弦值.
3、证明：对于任意的R d c b a ∈、、、,恒有不等式).)(()(22222d c b a bd ac ++≤+
4、如图,在圆C 中，是不是只需知道圆C 的半径或弦AB 的长度，就可以求AC AB ⋅的值？
5、平面向量的数量积b a ⋅是一个非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、长方形对角线相等、正方形的对角线垂直平分等,请你给出具体证明。
你能利用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗？
习题2.5
A 组
1、已知点A(1，0),直线62:-=x y l ,点R 是直线l 上的一点，若2=，求点P 的轨迹方程。
2、ABC ∆中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点,BF 与CD 交于点O,设b a ==,，
（1）证明A 、O 、E 三点在同一直线上，且2===OD
CO OF BO OE AO ; （2）用b a 、表示向量.
3、两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为)102(),34(，，==B A s s
（1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s ；
（2）计算s 在A s 方向上的投影.
4、平面上三个力321F F F 、、作用于一点且处于平衡状态，N F N F 2
26121+==，，21F F 与的夹角为︒45，求：（1）3F 的大小；(2）13F F 与夹角的大小。
B 组
1、以初速度0v ，抛射角θ投掷铅球，求铅球上升的最大速度和最大投掷距离。
2、一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A 处出发到河对岸，已知船的静水速度h km v /101=，水流速度h km v /22=，要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比
值必须最小,此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时,与水流成直角时，所用时间最短。 3、已知对任意平面向量),(y x =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x AP +-=,叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P.
（1）已知平面内点)21(，A ，点)22221(-+，B 。把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转4
π后得到点P ，求点P 的坐标；
（2）设平面内曲线C 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转4
π后得到的点的轨迹是曲线322=-y x ，求原来曲线C 的方程。
复习参考题
A 组
1、判断下列命题是否正确:
0=+BA AB )1( （ ）
AC BC AB =+)2( （ ）
=-)3( ( ）
00)4(=AB （ ）
2、选择题：
（1）如果b a ，是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）。
b a =)(A 1)(=⋅b a B
22b a ≠)(C 2
2)(b a =D
（2）对于任意向量b a ，,下列命题中正确的是（ ). （A ）若b a ，满足b a >，且b a 与同向,则b a >
（B ）b a b a +≤+
（C ）b a b a ≥⋅
（D ）b a b a -≤-
（3）在四边形ABCD 中，若AD AB AC +=,则（ ）。
（A ）ABCD 是矩形 （B ）ABCD 是菱形
(C ）ABCD 是正方形 （D)ABCD 是平行四边形
（4）设a 是非零向量，λ是非零实数,下列结论正确的是（ )
（A ）a a λ-与的方向相反 （B ）a a ≥-λ
（C ）a a 2λ与的方向相同 (D ）a a ⋅=-λλ
（5）设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,O 为任意一点，则+++等于
高中数学第二章平面向量新人教A版必修4
平面向量 一、选择题 1．下列命题中正确的是( ) ( A ) 两个相等的向量的起点，方向，长度必须都相同 ( B) 若a，b是两个单位向量，则a＝ b ( C) 若向量a和b共线，则向量a， b 的方向相同 ( D) 零向量的长度为0，方向是任意的 2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( ) ( A ) ( C) AB DC AB AD BD ( B ) ( D ) AD AB AC AD CB0 3．在四边形ABCD 中，CB AB BA( ) (A) DB (B) CA (C) CD (D) DC 4．已知a，b为非零向量，且｜a＋ b｜＝| a|＋| b|，则一定有( ) ( A ) a＝b ( B ) a∥b，且a，b方向相同 ( C) a＝－b ( D ) a∥b，且a，b方向相反 5．化简下列向量： ( 1) AB BC CA (2) AB AC BD CD (3) FQ QP EF EM (4) OA OB AB，结果为零向量的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题 6．对于下列命题 ①相反向量就是方向相反的向量②不相等的向量一定不平行③相等的向量一定共线 ④共线的单位向量一定相等⑤共线的两个向量一定在同一条直线上 其中真命题的序号为______． 3 3
点A 的位置向量为 ______． 8．一艘船以 5 km 的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成30°，则船的实际速度的大小为______ ，水流速度的大小为______． 9．如图，在□ABCD中，AO a ，DO b ，用向量a， b 表示下列向量CB______ AB =_____. 10．已知平面内有□ABCD和点O，若OA a ，OB b，OC c ，OD d，则a－b＋c －d＝______． 三、解答题 11．化简： (1) AB AC BD(2) AB CD CB DA 12．在单位圆中， B 是 OA 的中点， PQ 过 B 且 PQ∥Ox，MP⊥ Ox，NQ⊥ Ox，则在向量OM，ON，MP，NQ，OP，OQ，OB，OA，PQ 中． ( 1) 找出相等的向量；( 2) 找出单位向量； ( 3) 找出与OM共线的向量；( 4) 向量OM，ON的长度． 13．已知正方形A BCD 的边长为1，若AB a ，BC b ，AC c ，求作向量a－b＋c， 并求出 |a－b＋c｜． 14．已知向量a， b 满足：| a|＝3，| a＋ b|＝5，| a－ b|＝5，求｜ b｜．
(2021年整理)高中数学平面向量习题及答案
高中数学平面向量习题及答案 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学平面向量习题及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学平面向量习题及答案的全部内容。
第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中,AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则（ )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．A D 与A E 相等 D ．AD 与BD 相等 2．下列命题正确的是（ ）． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C , D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点,已知两点A (3，1),B （－1，3），若点C 满足OC ＝ OA ＋ OB ,其中 ，∈R ,且＋＝1，则点C 的轨迹方程为（ ）． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．（x －1）2 ＋（y －1）2 ＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足（a －2b )⊥a ,(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6 π B ．3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C )，则AP ＝（ ）． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0,1) B ．λ（AB ＋B C )，λ∈(0，2 2 ) C ．λ（AB －AD ），λ∈（0，1） D ．λ（AB －BC )，λ∈（0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ,AC 的中点,则DF ＝（ ）． A ．EF ＋ED B ．EF －DE C ．EF ＋AD D ．EF ＋AF 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，｜b |＝4,(a ＋2b ）·（a －3b )＝－72,则向量a 的模为 (第1题)
新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 检测A(1)
第二章检测(A ) (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1若四边形ABCD 是矩形,则下列命题不正确的是( ) A .A B ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 B .A C ⃗⃗⃗⃗⃗ 与B D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等 C .A D ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等,方向相反 D .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 模相等 答案:B 2已知A (1,2),B (3,-1),C (3,4),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.11 B .5 C .-1 D .-2 解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2−3×2=−2. 答案:D 3已知向量a =(1,m ),b =(m ,2),若a ∥b ,则实数m 等于 ( ) A.−√2 B.√2 C.−√2或√2 D.0 解析:由a ∥b 知1×2-m 2=0,即m =√2或−√2. 答案:C
4若向量a =(1,-2)与b 的夹角是180°,且|b |=3√5,则b 等于( ) A.(-3,6) B.(3,-6) C.(6,-3) D.(-6,3) 解析:由于向量a ,b 的夹角为180°,可设b =λa =λ(1,-2)=(λ,-2λ),其中λ<0,又|b |=3√5,则√λ2+4λ2=3√5,解得λ=±3,又λ<0,所以λ=-3,所以b =(-3,6). 答案:A 5在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( ) A .e 1=(0,0),e 2=(1,2) B .e 1=(-1,2),e 2=(5,-2) C .e 1=(3,5),e 2=(6,10) D .e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A 中e 1=0·e 2,B 中e 1,e 2为两个不共线向量,C 中e 2=2e 1,D 中e 2=-e 1.故选B . 答案:B 6已知M 是平行四边形ABCD 对角线的交点,下列四个式子不能化简为AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C .OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ D .MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴选项A 错; ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +0=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项B 错;
高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(2021年整理)
(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)高中数学必修四第二章平面向量课后习题Word版(word版可编辑修改)的全部内容。
【必修4】 第二章平面向量 2.1 练习 1、画有向线段,分别表示一个竖直向上,大小为18N 的力和一个水平向左、大小为28N 的力（1cm 长表示10N ）. 2、非零向量AB 的长度怎样表示？非零向量BA 的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？ 3、指出图中各向量的长度. 4、(1）用有向线段表示两个相等的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？ （2）用有向线段表示两个方向相同但长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？ 2.2.1 练习 1、如图，已知b a ，,用向量加法的三角形法则作出b a 。
2、如图，已知b a ，，用向量加法的平行四边形法则作出b a +. 3、根据图示填空： （1）________;=+d a （2）.________ =+b c 4、根据图示填空: （1）________;=+b a （2）________;=+d c （3)________;=++d b a （4）.________ =++e d c
(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)
一、选择题 1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且 (),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ） ①当0x =时，[]2,3y ∈ ②当P 是线段CE 的中点时，1 2x =-，52 y = ③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若平面向量与的夹角为 ， ， ，则向量的模为 （ ） A ． B ． C ． D ． 3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（ ） A ．30 B ．60︒ C ．90︒ D ．120︒ 4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点 E 位于线段OD 上，若3 4 OE EA ⋅= ，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ． 1 2或32 B ．1 C ．1或 1 2 D ． 32 5．已知1a ，2a ，1b ，2b ，( )* k b k ⋅⋅⋅∈N 是平面内两两互不相等的向量，1 2 1a a -=， 且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝1 3 BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2
新版高中数学人教A版必修4习题：第二章平面向量 检测B(1)
第二章检测(B ) (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1已知向量a =(1,2),b =(3,-1),c =(-2,4),则a (b ·c )=( ) A .(-2,4) B .(-10,-20) C .(2,-4) D .(10,20) 解析:∵a =(1,2),b =(3,-1),c =(-2,4), ∴a (b ·c )=-10a =(-10,-20). 答案:B 2已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A .(35,-4 5) B .(4 5,-3 5) C .(-35,4 5) D .(-45,3 5) 解析:与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =(3,-4) √3+(-4)=(35,-4 5),故选A .
答案:A 3设点A (2,0),B (4,2),若点P 在直线AB 上,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则点P 的坐标为( ) A .(3,1) B .(1,-1) C .(3,1)或(1,-1) D .无数多个 解析:设P (x ,y ),由|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,y), ∴由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(2,2)=2(x-2,y ),x=3,y=1,得P (3,1). 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(2,2)=-2(x-2,y ),x=1,y=-1,得P (1,-1). 答案:C 4若向量α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x ,y ∈R ),则称(x ,y )为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则向量a 在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为( ) A .(2,0) B .(0,-2) C .(-2,0) D .(0,2) 解析:∵a 在基底p ,q 下的坐标为(-2,2),∴a =-2p +2q =(2,4).设a =x m +y n ,则a =(-x+y ,x+2y )=(2,4),即{-x +y =2,x +2y =4, 解得{x =0, y =2, ∴a 在基底m ,n 下的坐标为(0,2). 答案:D 5在平面直角坐标系xOy 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,k),若三角形ABC 是直角三角形,则k 的可能值的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 解析:若∠A=90°,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6+k =0,k =−6; 若∠B=90°,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,6+k −5=0,k =−1;
人教版高中数学必修四第二章平面向量2.3平面向量基本定理及坐标运算(教师版)【个性化辅导含答案】
平面向量基本定理与坐标运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题. 4.了解平面向量的基本定理及其意义. 一、平面向量基本定理： 1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a ，有且只有_一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 特别提醒： (1)我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、平面向量的坐标表示： 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个__单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有 且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○ 1， 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 (,)a x y =…………○ 2
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○ 2式叫做向量的坐标表示 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)= 特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也 就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 三、平面向量的坐标运算： （1） 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++， a b -= 1212(,)x x y y -- 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =()2121,x x y y -- 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 （4）向量平行的充要条件的坐标表示：设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠a a ∥ b (b ≠0)的充要条件是12210x y x y -= 类型一 平面向量基本定理的应用 【1】 如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若 AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. [审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →. 解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM → ＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. 答案 1 2
高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)
高中数学必修四第二章单元测试题 《平面向量》 （时间：120分钟 满分：150分） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量a 与b 的夹角是120?，且5a =， 4b =，则 a b ?=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 2．已知向量312BA ?? = ???? ， ()0,1BC =，则向量BA 与BC 夹角的大小为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π 3 3.已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则() 2a b a +?＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 4．已知向量，若 ，则实数m 的值为 （ ） A. 0 B. 2 C. D. 2或 5．如上图，向量1e ， 2e ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底1e ， 2e 表示为( ) A. 1e ＋2e B. 21e －2e C. －21e ＋2e D. 21e ＋2e 6．若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线，则a 的值为（ ） A. 4 B. 4- C. 2 D. 2- 7．已知平面向量,a b 的夹角为60°，() 1,3a =， 1b =，则a b +=（ ） A. 2 B. D. 4
8．已知向量a 与b 的夹角是120?，且5a =， 4b =，则 a b ?=（ ）． A. 20 B. 10 C. 10- D. 20- 9.已知向量( )()() 3,1,0,1,,3a b c k = =-=，若（2a b -）与c 互相垂直，则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3- 10.已知点()0,1A ， ()1,2B ， ()2,1C --， ()3,4D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ） D. 11．在矩形ABCD 中， 3AB =， BC =， 2BE EC =，点F 在边CD 上，若?3AB AF =，则 ?AE BF 的值为（ ） A. 0 B. 8 C. 4- D. 4 12．已知ABC ?是边长为4的等边三角形， P 为平面ABC 内一点，则() PA PB PC ?+的最小值为 （ ） A. 3- B. 6- C. 2- D. 83 - 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与2a b -共线，则λ=__________． 14.已知单位向量a ， b 满足() 1 ?232 a a b -= ，则向量a 与b 的夹角为__________． 15．在平行四边形ABCD 中， AC 与BD 交于点O ， E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =， BD b =，则AF 等于_______（用a ， b 表示）. 16．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 在线段AB 边上运动（包含线段端点），则DE CB ?的值为__________； DE DB ?的取值范围为__________． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本小题10分）已知四点A （-3，1），B （-1，-2），C （2，0），D （2 3,4m m +）
高中数学第二章平面向量课时作业212.2.3向量数乘运算及其几何意义新人教A版必修4(2021年整
高中数学第二章平面向量课时作业21 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义新人教A版必修4 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量课时作业21 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量课时作业21 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义新人教A版必修4的全部内容。
课时作业(二十一) 2.2。3 向量数乘运算及其几何意 1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于（） A．2a B．－2a C．25a D．－25a 答案B 解析由题知3x－2x＋2a＝0，∴x＝－2a. 2．已知向量a、b不共线,c＝k a＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d,那么（） A．k＝1且c与d同向B．k＝1且d与c反向 C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且d与c反向 答案D 解析由c∥d,得c＝λd，∴k a＋b＝λ(a－b) 即错误!∴错误!即c＝－a＋b且c＝－d. 3．在四边形ABCD中，错误!＝a＋2b,错误!＝－4a－b，错误!＝－5a－3b，其中a，b不共线,则四边形ABCD为( ) A．梯形B．平行四边形 C．菱形D．矩形 答案A 解析错误!＝a＋2b，错误!＝－5a－3b，因为a与b不共线，所以错误!与错误!不共线,所以AB 与CD不平行．又错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－8a－2b，显然错误!＝2错误!，所以AD∥BC，所以四边形ABCD为梯形,故应选A。 4．设e是与向量AB，→共线的单位向量，错误!＝3e，又向量错误!＝－5e，若错误!＝λ错误!，则λ＝( ） A。2 3 B。错误! C．－错误!D．－错误! 答案C 解析错误!＝错误!＋错误!＝3e－5e＝－2e，由错误!＝λ·错误!得3e＝λ·（－2)·e，∴λ＝－错误!. 5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若错误!＝2错误!,错误!＝错误!错误!＋λ错误!，则λ＝( )
高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版 必修4 平面向量同步练习 §2.2. 1 向量加减运算及几何意义 班级___________姓名____________学号____________得分____________ 一、选择题 1．化简PM PN MN所得的结果是（） MPA．B．NP C．0 D．MN 2．设OA a，OB b且|a|=| b|=6，∠AOB=120 ，则|a－b|等于（） 00 13．飞机从甲地按南偏东10方向飞行2022年km到达乙地，再从乙地按北偏西70方向飞行2022年km到达丙 A．36 B．12 C．6 D．6 3．a，b为非零向量，且|a+ b|=| a|+| b|，则（）A．a与b方向相同B．a = b C．a =－4．在平行四边形ABCD中，若| BC BA | | BC AB b D．a与b方向相反 |，则必有（）A．ABCD为菱形B．ABCD为矩形C ．ABCD 为正方形 D．以上皆错
5．已知正方形ABCD边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则|a+b+c|等于（） A．0 B．3 C．22* 6．设( AB CD ) ( BC DA D．2 ) a，而b是一非零向量，则下列个结论：(1) a与b共线；（2）a + b = a；(3) a + b = b；(4)| a + b||a |+|b|中正确的是（）A．(1) (2) B．(3) (4) C．(2) (4) D．(1) (3) 二、填空题 7．在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，则CA __________，BD _______．8．在a =“向北走20km”，b =“向西走20km”，则a + b9．若| AB | 8，| AC | 5，则| BC 表示______________． |的取值范围为_____________． * 10．一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km/h， 则河水的流速的大小为___________．三、解答题 11．如图，O是平行四边形ABCD外一点，用OA 、 OB 、OC 表示OD ． 12．如图，在任意四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求证：AB DC EF EF ． 地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？*
2020-2021学年人教A版必修4第二章平面向量综合测试卷(A)含答案(共3套)
必修4 第二章 向量(一) 一、选择题: 1.下列各量中不是向量的是 （ ） A ．浮力 B ．风速 C ．位移 D ．密度 2．下列命题正确的是 （ ） A ．向量A B 与BA 是两平行向量 B ．若a 、b 都是单位向量,则a =b C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A ．A B 与A C 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．与相等 D ．与相等 6．已知向量e 1、e 2不共线,实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2,则x -y 的值等于( ) A ．3 B ．－3 C ．0 D ．2 7. 设P （3，-6），Q （-5，2），R 的纵坐标为-9，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的 横坐标为 ( ) A ．-9 B ．-6 C ．9 D ．6 8. 已知a 3= ，b 23=,a ⋅b =-3，则a 与b 的夹角是 ( ) A ．150︒ B ．120︒ C ．60︒ D ．30︒ 9.下列命题中，不正确的是 ( ) A ．a =2 a B ．λ(a ⋅b )=a ⋅(λb ) C ．（a -b ）c =a ⋅c -b ⋅c D ．a 与b 共线⇔a ⋅b =a b 10．下列命题正确的个数是 ( ) ①=+0 ②0=⋅0 ③=- ④（a ⋅b ）c =a （b ⋅c ）
高中数学人教A版必修四教学案：2.2 平面向量的线性运算含答案
第1课时向量加法运算及其几何意义 [核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P80～P83的内容，回答下列问题． (1)观察教材P80图2.2－1，思考：某对象从A点经B点到C点，两次位移的结果是什么？与从A点直接到C点的位移有什么关系？ 提示：从A点经B点到C点，两次位移的结果是位移，与从A点直接到C点的位移相等． (2)观察教材P80“探究”的内容，思考： ①力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同产生的效果相同吗？ 提示：产生的效果相同． ②力F与力F1、F2有怎样的关系？ 提示：力F是F1与F2的合力．力F在以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于平行四边形对角线的长． (3)数的加法启发我们，从运算的角度看，F可以认为是F1与F2的什么运算？ 提示：F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法． 2．归纳总结，核心必记 (1)向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． (2)向量加法的运算法则
向 量 求 和 的 法 则 三角形 法则 已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝_. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则. 对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a． 平行四 边形法 则 以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的 对角线_就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法的 平行四边形法则. ①交换律：a＋b＝b＋a； ②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． [问题思考] (1)两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ 提示：因为向量既有大小，又有方向，所以两个向量相加不是模的相加．两个向量相加应满足三角形法则或平行四边形法则． (2)当两非零向量a，b共线时，向量加法的平行四边形法则还能用吗？三角形法则呢？ 提示：平行四边形法则不能用，但三角形法则可用． (3)式子＝0正确吗？ [课前反思] (1)向量加法的定义： ； (2)求向量和的三角形法则： ； (3)求向量和的平行四边形法则： ；
(北师大版)高中数学-必修四-同步习题-第二章平面向量 2.7.1 点到直线的距离公式
§7向量应用举例 7.1点到直线的距离公式 课时过关·能力提升 1.已知点(3,m)到直线x的距离等于则等于 A或 解析:d - 故m或 答案:D 2.若且分别是直线和直线的方向向量则的值可以分别是 A.2,1 B.1,2 C.-1,2 D.-2,1 解析:直线l1的一个法向量为n1=(a,b-a),直线l2的一个法向量为n2=(a,4b).又分别为直线l1,l2的方向向量,则a+2(b-a)=0,-2a+4b=0,即a=2b,令b=1,则a=2.答案:A 3.若点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值是() A 解析:|OP|min即为原点到直线的距离, 故|OP|min -
答案:B 4.已知两条平行直线l1:12x+5y-3=0和l2:12x+5y+m=0的距离为1,则m=() A.10 B.-16 C.10或-16 D.13 解析:在l1上取点则M到l2的距离d解得m=10或-16. 答案:C 5.过点P(1,-3),且与向量m=(5,2)平行的直线方程为. 解析:设M(x,y)是所求直线上任一点,则∥m. 因为 所以2(x-1)-5(y+3)=0,即2x-5y-17=0. 答案:2x-5y-17=0 6.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是. 解析:由题意,得点P(4,a)到直线4x-3y-1=0-- - - ≤3 即|15-3a|≤15 解得0≤a≤10.所以a∈[0,10]. 答案:[0,10] 7.已知直线l1:x+2y+10=0,直线l2:5x+my=0,若l1⊥l2,则实数m=. 解析:分别取直线l1和l2的法向量m=(1,2)和n=(5,m),则m⊥n,所以m·n=0. 所以1×5+2m=0,解得m= 答案: 8.已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m=.
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：2.3.2 平面向量基本定理 Word版含答案
3．2 平面对量基本定理 明目标、知重点 1.理解平面对量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面对量基本定理解决有关平面对量的综合问题． 平面对量基本定理 (1)定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底． [情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？ 探究点一 平面对量基本定理的提出 思考1 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ，a . 答 通过观看，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 思考2 依据上述分析，平面内任一向量a 都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1，e 2表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个定理的内容吗？ 答 若e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 思考3 上述定理称为平面对量基本定理，不共线向量e 1，e 2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a 的表示式是否相同？平面对量的基底唯一吗？ 答 同一平面内可以作基底的向量有很多组，不同基底对应向量a 的表示式不相同． 不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底． 例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c . 解 ∵a ，b 不共线， ∴可设c ＝x a ＋y b ，则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩ ⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝7， －2x ＋y ＝－4. 解得x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b . 反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量．这有时要利用平面几何学问．要留意将平面几何学问中的性质、结论与向量学问有机结合，具体问题具体分析 解决． 跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM → ＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →. 解 设AB →＝a ，AD → ＝b ， 则AM →＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →＝1 2a ＋b ，① AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD → ＝a ＋12 b ，② 由①②得⎩⎨⎧ 1 2 a ＋ b ＝ c ，a ＋1 2b ＝d ， 解得⎩⎨⎧ a ＝－23c ＋43 d ， b ＝43 c －2 3d ， 即AB →＝－23c ＋43d ，AD →＝43c －2 3 d . 探究点二 平面对量基本定理的证明及应用 (1)证明定理中λ1，λ2的存在性． 如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1 ＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系． 答 如图所示，在平面内任取一点O ，作OA →＝e 1，OB →＝e 2，OC → ＝a ， 过点C 分别作平行于OB ，OA 的直线，交直线OA 于点M ，交直线OB 于点N ，有OM →＝λ1OA → ，
2020_2021学年新教材高中数学第二章平面向量及其应用2.4.1平面向量基本定理课时作业含解析北
课时分层作业(十七) 平面向量基本定理 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②DA →与BC → ；③CA →与DC →；④OD →与OB →，其中可作为表示这个平行四边形所在平面内所有向量的基的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④ B [由基的定义知，①③中两向量不共线，可以作为基．] 2．在矩形ABCD 中，O 是其对角线的交点，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC → 等于( ) A ．1 2(5e 1＋3e 2) B ．1 2(5e 1－3e 2) C ．1 2 (3e 2－5e 1) D ．1 2 (5e 2－3e 1) A [OC →＝12AC →＝12(BC →－BA →)＝1 2 (5e 1＋3e 2)．] 3．设一直线上三点A ，B ，P 满足AP →＝mPB →(m ≠－1)，O 是直线所在平面内一点，则OP → 用OA →，OB → 表示为( ) A ．OP →＝OA →＋mO B → B ．OP →＝mOA →＋(1－m )OB → C ．OP → ＝ OA →＋mOB → 1＋m D ．OP → ＝1m OA → ＋1 1－m OB → C [由AP →＝mPB →得OP →－OA →＝m (OB →－OP → )， ∴OP → ＋mOP → ＝OA → ＋mOB → ，∴OP → ＝ OA →＋mOB → 1＋m .]
4．已知AD 是△ABC 的中线，AB →＝a ，AD →＝b ，以a ，b 为基表示AC →，则AC → ＝( ) A ．1 2(a －b ) B ．2b －a C ．1 2 (b －a ) D ．2b ＋a B [如图，AD 是△AB C 的中线，则 D 为线段BC 的中点，从而AD → ＝12 (AB →＋AC →)，则AC →＝2AD →－AB → ＝2b －a .] 5．如图，OC →＝2OP →，AB →＝2AC →，OM →＝mOB →，ON →＝nOA → ，若m ＝38 ，那么n ＝( ) A ．34 B ．23 C ．45 D ．58 A [法一：由OC → ＝2OP → ，AB → ＝2AC → ，知C 是AB 的中点，P 是OC 的中点，所以OC → ＝ 1 2(OA →＋OB →)， 则OP → ＝14(OA →＋OB →)，又OM →＝38OB →，ON →＝nOA → ， 从而MN → ＝ON → －OM → ＝nOA → －38OB → ，MP → ＝OP → －OM → ＝14(OA →＋OB → )－38OB →＝14OA →－ 18 OB → ， 又点M ，P ，N 共线， 所以存在实数λ，使MN → ＝λMP → 成立，即nOA → －38OB → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 14 OA →－18OB →，
第二章 平面向量【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习(人教A版必修4
2020-2021学年高一数学下学期期末专项复习（人教A 版必修四） 第二章 平面向量 考点 (1)正确理解向量的概念，及零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量、平行向量、共线向量的相关概念，准确表示向量. (2)向量的加法、减法、向量的数乘及相关的几何意义是考查向量运算的重点，要求能准确应用向量运算的法则及运算定律进行运算，并能熟练的结合平面几何的相关性质进行相关问题的解决． (3)熟练掌握平面向量的基本定理，能准确的用平面向量的基底表示平面内的任意向量，应用向量的夹角、正交分解、向量的坐标表示、向量加、减、数乘、共线向量的坐标表示．要求会用向量的三种表示法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法表示向量，并要注意到向量的坐标运算是代数运算，其加、减及数乘运算实质是同名坐标之间的运算. (4)要理解与掌握平面向量的数量积的概念、向量的模及夹角的表示、平面向量的数量积运算律的理解及平面向量数量积的应用，理解平面向量的数量积与向量投影的关系，通过数形结合，对平面向量的平行、垂直等位置关系与平面向量的数量积相结合解决与向量有关的综合性问题的处理. 一． 选择题 1.如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC → ，则图中相等的向量是( ) A.AD →与CB → B.OB →与OD → C.AC →与BD → D.AO →与OC → 2.【2018年高考全国I 卷】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ． 31 44AB AC - B ． 13 44AB AC - C ．31 44 AB AC + D ．13 44 AB AC + 3.在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是（ ） A.12(0,0),(1,2)==e e B .12(1,2),(5,2)=-=-e e C.12(3,5),(6,10)==e e D.12(2,3),(2,3)=-=-e e
高中数学人教B版必修四讲义：第二章 2.1 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 Word版含答案
向量的线性运算 2．1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算 预习课本P90～93，思考并完成以下问题 (1)平行向量基本定理是怎样表述的？ (2)轴上向量的坐标是怎样表示的？ (3)轴上向量的坐标运算法则是什么？ [新知初探] 1．平行向量基本定理 (1)平行向量基本定理 如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb. (2)单位向量． 给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于1的向量，叫做向量a的单位向量，如果 a的单位向量记作a0，则a＝|a|a0或a0＝a |a|. [点睛]对定理两个方面的说明
(1)第一个方面“若a＝λb，则a∥b”中没有b≠0的要求，当b＝0时a＝0对任意的实数λ都能使a∥b. (2)第二方面“若a∥b且b≠0，则存在唯一一个实数λ使a＝λb”中必须有b≠0，否则a ＝0时λ不唯一，a≠0时，λ不存在． 2．轴上向量的坐标及其运算 (1)轴上向量的坐标 (2)轴上向量的坐标运算 |AB [点睛]AB是一个向量，既有大小，也有方向．而AB表示AB的坐标，它是一个实数． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行向量基本定理，条件b≠0可以去掉．() (2)若|a|－|b|＝|a－b|，则a与b是共线向量．() (3)若a与b共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa成立． 答案：(1)×(2)√(3)× 2．数轴上三点A，B，C的坐标分别为－1,2,5，则() A．AB＝－3B．BC＝3
C．AC＝6 D．AB＝3 答案：B 3．在四边形ABCD中，若AB＝－1 2 CD，则此四边形是() A．平行四边形B．菱形 C．梯形D．矩形 答案：C 4．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标x B＝3，AB＝5，AC＝2，则点C的坐标为________． 答案：0 轴上向量的坐标运算 [典例]已知数轴上A，B两点的坐标为x1，x2，根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1. (1)x2＝－5，BA＝－3； (2)x2＝－1，|AB|＝2. [解](1)因为BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8. (2)因为|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3. 轴上向量的坐标及长度计算的方法 (1)轴上向量的坐标的求法：先求出(或寻找已知)相应点的坐标，再计算向量的坐标． (2)轴上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度． [活学活用] 已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是－8，－3,7，求AB，BC，CA的坐标和长度． 解：AB＝(－3)－(－8)＝5，|AB|＝|5|＝5； BC＝7－(－3)＝10，|BC|＝|10|＝10； CA＝(－8)－7＝－15，|CA|＝|－15|＝15. 共线向量定理的应用