研究生矩阵论总复习重点公式
高斯—塞德尔迭代法的矩阵形式
x ( k 1) ( D L) 1Ux ( k ) ( D L) 1 b
3. 迭代法收敛的条件
⑴ 收敛的充分必要条件:
定理1
1） x(k+1) = Bx(k) + f 收敛 2） x(k+1) = Bx(k) + f 收敛
lim B k =O; ( B )<1。
三、 差商与导数的关系：
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] n!
[ a, b]
四、三次埃尔米特插值多项式
x x0 x x1 2 0 ( x ) [1 2 ]( ) , 0 ( x ) ( x x0 )( x x1 ) 2 x 1 x0 x0 x1 x0 x1 x x1 x x0 2 x x0 2 1 ( x ) [1 2 ]( ) , 1 ( x ) ( x x1 )( ) x 0 x1 x1 x0 x1 x0
第三章 一、消元法
1. Gauss顺序消元法
求解系数矩阵 A 的各
阶顺序主子式均不为零。 2. 主元素消元法（det A0）
3. 高斯—约当消元法（det A0） 二、三角分解 1. LU分解法 LU分解法的条件 追赶法 正定矩阵
2. LDLT (Cholesky) 分解法
3. 平方根法（LLT 分解法）
超定方程组 Ax=b的正规方程组
AT Ax AT b
三、向量与矩阵的范数
1. 常用的向量范数
x 1 x1 x2 xn
2 2 2 x 2 x1 x2 xn
x max xi
1 i n
2. 常用的矩阵范数
4. A max | i ( A) | 谱半径
（矩阵的列范数）
（矩阵的行范数） （矩阵的谱范数）
x x0 x x1 2 x x1 x x0 2 H 3 ( x ) y0 [1 2 ]( ) y1[1 2 ]( ) x 1 x0 x0 x1 x 0 x1 x1 x0 x x1 2 x x0 2 m0 ( x x0 )( ) m1 ( x x1 )( ) x0 x1 x1 x0
二、牛顿插值多项式
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 ) ( x xn 1 )
N n ( x ) N n1 ( x ) f [ x0 ,, xn ]( x x0 )( x xn1 )
雅可比迭代法的矩阵形式
x ( k 1 ) D 1 ( L U ) x ( k ) D 1 b
2. Gauss — Seidel 迭代格式为
( k 1 ) 1 (k) (k) (k) x ( a x a x a x 12 2 13 3 1n n b1 ) 1 a 11 (k) (k) x ( k 1 ) 1 ( a x ( k 1 ) a x a x 21 1 23 3 2n n b2 ) 2 a 22 ( k 1 ) x ( k 1 ) 1 ( a x ( k 1 ) a x bn ) n n1 1 n n 1 n 1 a nn
二、 反幂法的迭代公式为
yk A1 xk 1 mk max yk x y /m k k k
( k 1, 2, )
其中 mk 是 yk 绝对值最大的第一个分量. 反幂法的实用迭代公式为
解Lzk xk 1 , 求出zk 解Uy z , 求出y k k k mk max yk xk yk / mk
第 一、1. 画出y=f(x)或其等价方程φ(x)=ψ(x)中 y=φ(x)与y=ψ(x)的图形,确定根的大概位置 二 章 2. 根的存在唯一性
二、二分法 三、迭代法
1 1 * * x xn ( b a ) , x ( bn an ) 2 2n 1 1. xk 1 ( xk ) ( k 0,1, 2,)
第四章
一、 幂法
1. 定义: 计算主特征值及其对应的特征向量的方法。
yk Axk 1 2. 实用计算公式 mk max yk x y /m k k k
当 k 充分大时,有
( k 1, 2, )
1 mk v1 xk ( yk )
其中 mk 是 yk 绝对值最大的第一个分量.
1 (4) 2 2 R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) f ( )( x x0 ) ( x x1 ) 4!
第七章
m 1 m xi i 0 m n xi i 0
一、多项式拟合的正规方程组
i 0 m
2 x i
( a, b )
M n 1 n Rn ( x ) ( x xi ) , ( n 1)! i 0
n M n 1 Rn ( x ) max ( x xi ) , ( n 1)! a x b i 0
x ( a, b ) x ( a, b )
2. 迭代法的收敛条件 f ( xk ) ( k 0,1, ) 四、牛顿切线法 xk 1 xk f ( xk ) 五、 割线法 f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ) ( k 1, 2, ) f ( xk ) f ( xk 1 )
第一章
一、误差的来源
1. 模型误差 2. 观测误差 3. 截断误差 4. 舍入误差 二、误差的基本概念 1. 绝对误差(简称误差) e(x*) 和误差限 (x*) . 2. 相对误差 er(x*) 和相对差限 r(x*) . 三、有效数字 误差限与有效数字的关系 设近似值x*有n位有效数 设近似值x*的相对误差限为 字, 则其相对误差限为 1 er ( x*) 10 n1 2( a1 1) 1 e r ( x*) 10 n1 x*至少有n位有效数字。 2a1
⑵ 收敛的充分条件: 定理2 若迭代矩阵||B ||<1, 则x(k+1) = Bx(k) + f 收敛。 定理3 若矩阵A严格对角占优,则解方程组 Ax=b 的
Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法均收敛 。
定理4 若 A 为正定矩阵, 则解线性方程组 Ax=b 的
Gauss- Seidel 迭代法收敛。
A max aij
n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A 1 max aij
1 j n i 1
1 i n j 1 n
A 2 max ( AT A)
3. cond A A A1
（矩阵的条件数）
四、1. Jacobi 迭代格式为 ( k 1) 1 (k) (k) (k) x ( a x a x a x 12 2 13 3 1n n b1 ) 1 a11 x ( k 1) 1 ( a x ( k ) (k) (k) a x a x 2 21 1 23 3 2 n n b2 ) a22 x ( k 1) 1 ( a x ( k ) a (k) xn 1 bn ) n n 1 1 n n 1 ann
i 0 m
xi
m
i 0 n 1 x i
i 0 m xin 1 i 0 m 2n xi i 0
m
xin
a0 a 1 an
m yi i 0 m xi yi i 0 m n xi yi i 0
k 1, 2,
1 n , mk vn x k
第五章
一、拉格朗日插值多项式 Ln ( x )
i 0
yi li ( x )
n
( x x0 )( x xi 1 )( x xi 1 )( x xn ) 基函数 li ( x ) ( xi x0 )( xi xi 1 )( xi xi 1 )( xi xn )
f [ x0 , , xn 2 , xn1 ] f [ x1 , , xn1 , xn ] f [ x0 , x1 , , xn ] x0 x n
误差 Rn ( x ) f [ x, x0 , x1 , , xn ]( x x0 )( x xn )
f ( n 1) ( ) ( x x0 )( x xn ) ( n 1)!
研究生矩阵论总复习重点公式
第四章
一、 幂法
1. 定义: 计算主特征值及其对应的特征向量的方法。
yk Axk 1 2. 实用计算公式 mk max yk x y /m k k k
当 k 充分大时,有
( k 1, 2, )
1 mk v1 xk ( yk )
其中 mk 是 yk 绝对值最大的第一个分量.
三、向量与矩阵的范数
1. 常用的向量范数
x 1 x1 x2 xn
2 2 2 x 2 x1 x2 xn
x max xi
1 i n
2. 常用的矩阵范数
4. A max | i ( A) | 谱半径
（矩阵的列范数）
（矩阵的行范数） （矩阵的谱范数）
2. 迭代法的收敛条件 f ( xk ) ( k 0,1, ) 四、牛顿切线法 xk 1 xk f ( xk ) 五、 割线法 f ( xk ) xk 1 xk ( xk xk 1 ) ( k 1, 2, ) f ( xk ) f ( xk 1 )
1 (4) 2 2 R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) f ( )( x x0 ) ( x x1 ) 4!
第七章
m 1 m xi i 0 m n xi i 0
一、多项式拟合的正规方程组
矩阵论公式定理总结
定理 2.2.1 数域 P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有
相同的维数。
子空间（略） 定理 2.3.2 两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。 定理 2.3.3 dim L(1 , 2 ,, r ) rank (1 , 2 ,, r ) （其中
L(1 , 2 ,, r ) 是由 1 , 2 ,, r 生成的空间）
定理 2.3.4 设 W 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，
1 , 2 ,, m 是 W 的一个基， 则这组基向量必定可扩充为线性空间 V 的
基， 即在 V 中必定可找到 n m 个向量 m1 , m 2 ,, n ， 使得 1 , 2 ,, n 是 V 的一个基。此定理通称为基的扩充定理。
行列式的降阶定理 定理 1.6.1 设 A 和 D 分别为 n 阶及 m 阶的方阵，则有
A C A D CA1B ,当A可逆时; D D A BD 1C ,当D可逆时. B
定理 1.6.2 设 A，B，C，D 皆为 n 阶方阵，且满足 AC=CA，则
A C B D AD CB
的系数矩阵
a11 a A 21 a s1 a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
的秩 r<n,则方程组必有非有非零解。
定理 1.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 的充要条件 rank(A)<n 定理 1.1.3 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A 中至少有一个 r 阶子式
有解的充要条件为 rank ( A) rank ( B) 。其中
a11 a21 A as1 a11 a21 B as1
2021考研数学线性代数公式详解-矩阵
B
＝
l l I
．．．
l l －
BS
R叮 E
···
』 E 』
E
BE SE
则
B A 「
I
土
A
＋－
B
I
－－
l l
···
B A －
±
－
i
B R A A S r l ，， ＋····E寸－ V S F －BEll－－l
(2) 数与分块矩阵的乘法
II A11 A=I :
IIAsl
… AIr II
Il λ’＂A ·－11
k个
矩阵的事满足下列运算规律
AkAt=Ak+t ,(Ak)1=A*1
5. 矩阵的转盟
(1 ）定义 6
设
A
、EF＝ ，，．飞 G HYH m x n
r
t
t
－t t
t
nm向 ． ．．
12 a22 …
t t
am
am2 …
称
α 1 「
B I
n 叫
1
叫
2
－A Ta
，．‘、 a Hf－ 、‘，， n x m
＝t t t
(2）运算规律
1)结合律 λ（µ｝A=（λµ. ）A
2）分配律（λ ＋µ）A ＝ λA+µA ，λ（A+B）＝λA＋λB
3.矩阵与矩阵的乘法 (1）定义
设 A＝（马）时’B=(bij txn 则矩阵 A. B的乘积为AB=C=(cij)mxn ， 其
中cij=ail bli+ai2b2i ＋ … ＋%鸟 （i=I,2,··,m;j=1,2,···,n)
A n E’
1 I
考研数学线性代数的知识点怎么复习范本三份
考研数学线性代数的知识点怎么复习范本三份知识点一：矩阵1.矩阵的定义：矩阵是一个由数域中的元素排列成的矩形阵列。
2.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法等。
3.矩阵的类型：包括列矩阵、行矩阵、方阵、行满秩矩阵、列满秩矩阵等。
4.矩阵的转置：行变为列，列变为行。
5.矩阵的逆：满足矩阵乘法交换律的方阵，存在逆矩阵。
6.矩阵的秩：线性无关行（列）向量的最大个数。
知识点二：行列式1.行列式的概念：一个由n*n个元素构成的方阵，与其他方阵不同的一个特殊数。
2.行列式的性质：包括行互换、列互换、其中一行（列）乘以一个非零常数、其中一行（列）加上另外一行（列）的k倍等运算。
3.行列式的计算：包括按定义计算、按行（列）展开、按行列式的性质计算等方法。
4.行列式的性质与结论：含有零行（列）的行列式为零、对调两行（列）行列式变号、行列式与其转置行列式相等等。
知识点三：向量空间1.向量空间的定义：满足一定条件的集合，其中的元素可以进行向量运算。
2.向量空间的性质：包括封闭性、线性组合、线性无关、向量子空间等性质。
3.线性相关与线性无关：一组向量之间的线性组合关系。
4.基、维数与坐标：向量空间的基、维数与坐标之间的关系。
5.线性映射：保持向量空间的线性性质的映射。
6.矩阵的秩与线性方程组的解：矩阵的秩与方程组解的个数及解的性质之间的关系。
知识点四：特征值与特征向量1.特征值与特征向量的定义：对于一个n*n矩阵A，如果存在常数λ和非零向量x，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的特征向量。
2.特征值与特征向量的计算：包括求解特征方程、求解特征向量的过程。
3.特征值与特征向量的性质：特征值的和等于矩阵的迹，特征向量对应不同特征值的特征向量线性无关等。
知识点五：二次型1.二次型的定义：一个含有二次项和线性项的多项式。
2.二次型的矩阵表示：用矩阵表示二次型。
3.二次型的规范化：将二次型化为标准形，即去除二次项的干涉项。
研究生矩阵论复习提纲(全)
1矩阵的基本知识正规矩阵：实对称阵，实反对称阵，实正交矩阵，hermite 矩阵，反hermite 矩阵，酉矩阵2.1矩阵的特征值与特征向量2.2矩阵的相似对角化2.3矩阵的Jordan 标准型1、不变因子、初等因子、行列式因子的定义2、Jordan 标准型的求法：初等变换法、行列式因子法3、相似变换矩阵的求法：J=P-1AP→AP=PJ，k i j 的形式、二项式系数4、相似对角化的条件：r 重根需对应r 特征向量，否则不能对角化2.4hamilton-cayley 定理()()()0,det =-=A A I n ϕλλϕ则,用此公式简化矩阵运算2.5矩阵的酉相似1、smit 正交化，shur 分解2、酉矩阵的定义，正规矩阵的定义，酉相似定义，酉相似对角化及充要条件3、酉对角化步骤4、正定hermite 的性质A=GG H3.1矩阵的三个基本分解1、满秩分解：只能是行变换A=FG2、方阵的Jordan 分解、shur 分解3.2矩阵的三角分解1、三角分解的定义及可逆矩阵的三角分解条件，不可逆矩阵也是可以三角分解的2、Doolittle、crout、LDR 分解的形式、正定hermite 矩阵的cholesky 分解3.3矩阵的QR 分解1、householder 变换（1）取记住复数向量的模为sqrt(x hx)αe1Hx 则,2uu 1H 令(3)αe1x αe1x u 取2x α1H=-=--==）（）（2、利用householder 变换求矩阵的QR 分解Q=H1H2H3...Hn-13、矩阵奇异值分解的一般步骤4.1向量范数和矩阵范数的定义∑==ni ix x 115.0122⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=ni i x x pni p i px x11⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ix xmax =∞∑∑===ni nj ijm a A 111()AA a A H n i n j ij Ftr 5.0112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==ijm a n A max ⋅=∞∑=≤≤=ni ij nj a A 111max 最大列模和∑=≤≤∞=nj ij ni a A 11max 最大行模和H AA A ==12σA 的最大奇异值谱半径与范数的关系：()AA ≤ρ4.2矩阵级数，矩阵幂级数，收敛性()1-∞=-=∑A I A k k,当级数∑∞=0k kA收敛时即()1<A ρ4.3矩阵函数：几个常用的矩阵函数∑∞==0!k kAk A e ()()120!121sin +∞=∑+-=k k kAk A ()()kk k Ak A 20!21cos ∑∞=-=()()()10111ln +∞=∑+-=+k K kAk A 矩阵函数值的计算方法：1、Hamilton-cayley 定理或零化多项式进行求解2、Jordan 分解：()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P J a P A a A f k k k k kk ()()()100-∞=∞=⎪⎭⎫⎝⎛==∑∑P Jt a P At a At f K k k k kk 3、待定系数法矩阵函数()A f 的特征值对应()i f λ5、矩阵的特征值界的估计∞≤m A λ()∞+≤m HA A 5.0ReλHA A -≤5.0Im λ矩阵特征值的分布区域：圆盘定理，行和列盖尔圆特征值的隔离()~1ii ii R R a z αα-+≤-()x R max 1=λ，()x R n min =λ6、广义逆矩阵P l l l I Q X r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222112{1}广义逆的求法⎥⎦⎤⎢⎣⎡0nm I I A 初等变换→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000Q P I r。
重庆市考研数学复习资料常用公式速查表及解题技巧
重庆市考研数学复习资料常用公式速查表及解题技巧一、线性代数部分1. 行列式性质行列式的性质包括：行列式的元素互换、有两行元素相等、有一行元素为零、一行元素倍乘一个数以及两行元素成比例，行列式的值也会发生相应的变化。
2. 矩阵运算矩阵的基本运算包括：加法、乘法以及数乘等。
在考研数学中，常用到的矩阵运算法则有：矩阵的转置、矩阵的逆以及矩阵的秩等。
3. 特殊矩阵特殊矩阵是指具有特定性质的矩阵，例如：对称矩阵、反对称矩阵、对角矩阵等。
这些特殊矩阵在解题过程中常常会有一些特殊的性质和运算法则。
4. 矩阵的行列式矩阵行列式的求解对于解决线性方程组和判断矩阵特性具有重要作用，考生需要掌握行列式的计算方法以及性质。
二、高等代数部分1. 多元函数的求导多元函数的求导是考研数学中的重点内容之一。
考生需要掌握多元函数求导的基本方法，包括：偏导数、全微分、隐函数求导等。
2. 常见函数的导数对于常见的函数，考生需要掌握其导数的计算方法。
常见函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
3. 极限与连续性极限与连续性是分析学中的重要概念，对于解析几何等问题的求解具有重要意义。
考生需要掌握极限的定义、计算方法以及连续性的判断方法。
三、概率统计部分1. 概率基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学理论。
考生需要掌握概率的基本概念，包括：样本空间、随机事件、概率等。
2. 条件概率与独立性条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
考生需要掌握条件概率与独立性的计算方法及其应用。
3. 随机变量及其分布随机变量是描述随机事件结果的数量特征。
考生需要了解随机变量的分类及其分布概率密度函数，包括：离散型随机变量、连续型随机变量等。
4. 数理统计的基本方法数理统计是利用概率论对统计数据进行收集、整理、分析和推断的一门学科。
考生需要掌握数理统计的基本方法，包括：抽样、估计、检验等。
四、数学分析部分1. 一元函数的连续性一元函数的连续性是数学分析的基础概念之一。
矩阵考研知识点总结
矩阵考研知识点总结一、矩阵的定义矩阵是由 m×n 个数排成的矩形阵列。
这 m×n 个数称为矩阵的元素，通常用aij (i=1,2,…,m；j=1,2,…,n) 表示矩阵的元素。
当 m=n 时，矩阵称为方阵，特别地，当 m=1 或 n=1 时，矩阵称为行矩阵或列矩阵。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法定义：设 A=(aij) 和 B=(bij) 是同型矩阵，那么 A+B 和 A-B 分别定义为A+B = (aij+bij) 和 A-B = (aij-bij) 。
性质：（1）交换律：A+B = B+A；A-B ≠ B-A（2）结合律：A+(B+C) = (A+B)+C；A-(B-C) ≠ (A-B)-C（3）0 矩阵：对任意矩阵 A 有 A+0=A 和 A-0=A2. 矩阵的数乘定义：数 k 与一个 m×n 阶矩阵 A=(aij) 相乘，得到一个 m×n 阶矩阵 kA=(kaij)。
性质：（1）k(A+B)=kA+kB（2）(k+l)A=kA+lA（3）k(lA)=(kl)A3. 矩阵的乘法定义：设 A 是一个 m×s 阶的矩阵，B 是一个 s×n 阶的矩阵，那么称 C=AB 为 A 和 B 的乘积，其中C=(cij) (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n) 且cij=a(i1)b(1j)+a(i2)b(2j)+…+a(is)b(sj)。
性质：（1）乘法不交换：一般情况下，AB≠BA。
（2）结合律：A(BC)=(AB)C（3）单位矩阵：对于任意 n 阶方阵 A，有IA=AI=A（4）分配律：A(B+C)=AB+AC4. 矩阵的转置定义：设 A=(aij) 是一个 m×n 阶矩阵，把它的行和列互换得到一个 n×m 阶矩阵，这个矩阵称为 A 的转置矩阵，记做 A^T。
性质：（1）(A^T)^T=A（2）(kA)^T=kA^T（3）(A+B)^T=A^T+B^T5. 矩阵的逆定义：设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B 使得 AB=BA=I，那么称 B 为 A 的逆矩阵，记做 A^{-1}。
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲Chapter1 线性空间和内积空间内容总结：z 线性空间的定义、基和维数；z 一个向量在一组基下的坐标；z 线性子空间的定义与判断；z 子空间的交z 内积的定义；z 内积空间的定义；z 向量的长度、距离和正交的概念；z Gram-Schmidt 标准正交化过程；z 标准正交基。
习题选讲：1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。
（1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下的坐标；3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义3]x [R ， ∫−=11)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基；3][x R （3）求与之间的距离；221x x ++2x 2x 1+−（4）证明：是的子空间；2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。
（1） 求22R ×的维数，并写出其一组基；（2） 在(1)所取基下的坐标； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基；（4） 在W 中定义内积， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈求出W 的一组标准正交基；（5）求与之间的距离； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0331⎥⎦⎤⎢⎣⎡−1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法）。
证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基；（7）写出子空间的一组基和维数。
矩阵论复习(南航)
H i =1 n
6.常见内积空间
(1) V = C n , 内积 ( x , y ) = y H x = ∑ xi yi ;
i =1 n
(2) V = C[a, b], 内积 ( f , g) = ∫ f ( x)g( x)dx；
b a
( 3) V = C m×n , 内积 ( A, B ) = tr( B H A).
T
其中 Σ = diag (σ 1 , L , σ r ), 且 σ 1 , L , σ r 是 A 的正奇异值 .
6.正规矩阵的性质
（1）n 阶矩阵 A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为 A 是正规矩阵.
（2）设 A, B 均为 n 阶正规矩阵且 AB = BA，则存在 n 阶酉矩阵 U，使得 UHAU 与 UHBU 同时为对角矩阵. （3）若 A 是正规矩阵，则 A 的属于不同特征值的特征 向量正交. （4）若 A 是正规矩阵，则 A 的奇异值是 A 的特征值的 模.
3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法 （1）化 λI - A 为 Smith 标准形：
λ I − A ≅ diag ( d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ))
则 d 1 ( λ ), d 2 ( λ ), L , d n ( λ ) 是 A 的 n 个不变因子． （2）令
5.标准正交基的性质 (1)有限维内积空间 V 的标准正交基一定存在. (2)有限维内积空间 V 的任意一组标准正交向量可扩充为 V 的一组标准正交基. (3)设 ε 1 , ε 2 , L , ε n 是内积空间 V 的一组标准正交基,且 α = x1ε1 +L+ xnε n , β = y1ε1 +L+ ynε n , 则
矩阵论知识点
矩阵论知识点最近考试不断，今天终于告一段落了。
矩阵论我花了将近两个礼拜复习，多少有点感悟，所以赶紧写下来，不然估计到时候又还给老师了，也希望自己的见解对你们也有帮助！！总的来说矩阵论就讲了如下6个知识点：（1）线性空间与线性变换（2）范数理论及其应用（3）矩阵分析及其应用（4）矩阵分解（5）特征值的估计（6）广义逆矩阵1.线性空间与线性变换1.1线性空间首先我们需要知道什么是空间？？空间其实就是向量的集合，而什么是线性空间呢？？线性空间就是满足8条性质的向量集合，这8条性质分别如下:所以矩阵论考试里面如果要你证明一个向量集合是线性空间？？只需要证明集合满足上述8条性质就可以了，该证明的难度在于怎么表示该集合中的向量。
然后对于线性空间中的元素（元素很多），我们肯定不可能通过枚举法将每个元素枚举出来的吧，这样不太现实。
最好的方法就是找到线性空间中的基，通过这些基和坐标我们就可以表示出线性空间中所有的向量。
针对上述想法，我们就应该考虑满足条件基的存在性和唯一性，得到的结果是这样的基是存在的但是不唯一！！当时这里就牵涉到另一个问题，线性空间的基是不唯一的，对于同一个元素在不同基下坐标肯定是不同的！！如果我们知道基与基之间的关系，我们是否可以知道坐标与坐标的关系，这就推导出了下面公式：之后的一个概念就是线性子空间，这个名词我们可以拆开进行理解，子空间说明了该空间是一个线性空间的子集，线性说明这个子空间满足齐次性和叠加性，具体形式如下：最后一个概念是线性子空间的交与和，这和集合的交与和性质差不多，这里我需要重点介绍的直和的概念，直和的概念和集合的并类似，不同的是直和中并的两个集合是不相交的，即两个集合中没有共同元素。
以上就是线性空间中所有的知识点。
1.2线性变换及其矩阵这一节出现一个概念叫做线性变换，记为T，出现线性变换的原因就是对于一个向量我们希望通过某种变换将该向量转变成我希望的目标向量，换句话说线性变换就相当于函数，自变量就相当于我们已知的向量，因变量就是我们的目标向量，这样应该好理解点。