波利亚怎样解题实例分析报告
怎样解题一、熟悉问题1、未知是什么？2、已知是什么？3、你能复述它吗？二、寻找解题方法1、以前做过类似的题吗？可以仿照以前的解题过程写出此题吗？2、与未知已知相关的定理、公式、法则、概念都有什么？这道题是相关的定理、公式、法则、概念的直接应用吗？3、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？4、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？5、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？若不能解题，可考虑：1、已知条件都用上了吗？2、能不能得到一个比较特殊的情况？三、书写过程1、你能按步骤写出你的分析过程吗？2、你所写的步骤都正确吗？四、总结与回顾1、以前做过同类型的题吗？它与同类型的其它题有什么异同？2、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？3、解题过程能简化吗？例1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C分析：问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：∠B=∠C问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在三角形ABC中，AB=AC问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：似乎没有。
不能直接用定理解出此题。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：此题条件只有一个，似乎不能直接重新分组。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：似乎不能。
问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求∠B=∠C，在以前学过的定理中有根据平行线证角相等、利用角平分线证角相等、利用度数证角相等、利用全等三角形证角相等。
由于这些都没有出现，是不是能引入辅助元素？观察∠B、∠C所处的位置，平行线、角平分线都不合适、角的度数没有出现，考虑运用全等三角形来解此题。
但此题中∠B、∠C处在同一个三角形中，需要将此两角放入到两个不同的三角形中，需引入一条线将此三角形分成两个三角形，并将∠B、∠C分别处于两个三角形中，可在A 点引下一条线与BC相交。
2、新问题出现了：如何证明⊿ABD≌⊿ACD？答：已知中含有AB=AC，从图中可得AD=AD，尚缺少一个条件。
3、新问题：加入什么条件就可以了？答：∠BAD=∠CAD，可利用角边角进行判定。
或BD=CD，可利用边边边进行判定。
或AD⊥BC，可利用直角三角形的全等的判定进行判定。
4、新问题：如何实现？答：在做线的时候可以利用做图做出其中的某一个条件。
如做角A的角平分线，或做BC边上的中线，或做BC的垂线。
到此，此题可解。
问题8、如何书写过程？答：先写线的做法，然后写全等证明，最后得到未知求证。
问题9、解题过程能简化吗？答：尚无更简化方法。
问题10、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此题条件少，没有直接出现三角形，需要构造出三角形求解。
可得到一个结论：利用三角形全等证明一个图形中的两角相等进可行的。
要求是要将此两角放到两个三角形中，然后找全等的条件。
例2、求二次函数y=-3x 2-6x+5的图象的顶点坐标。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：二次函数图象的顶点坐标。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：二次函数解析式y=-3x 2-6x+5问题3、以前做过类似的题吗？答：做过。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答： 能直接运用公式（—ab 2，a b ac 442 ）求解。
问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：此类题型主要考查对二次函数的顶点坐标的掌握情况，以及准确的计算能力。
例3、已知：如图，在△ABC 中， AB=5，AC=3，D 为BC 中点，求AD 取值范围。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求AD 的取值范围。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：在△ABC 中， AB=5，AC=3，D 为BC 中点问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：我知道三角形三边关系：三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：条件中两条边的边长分别是AB、AC，所属三角形为△ABC，而所求AD边长所属是△ACD或△ADC。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：已知中的边长为 AB、AC，要想使用三角形三边关系，需将AB、AC和AD边联合到一个三角形中。
考虑：需移动AB或AC并到AC或AB与AD或包含AD的线段构成一角三角形。
移动的方法考虑使用全等三角形的方法。
延长AD至E，使AD=AE，则可出现△ACD≌△EBD，可得AC=BE，则2<AE<8,可得1<AD<4。
问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有三角形的中线，可构造全等三角形。
2、当条件分散时，可向定理集中。
例4、已知：如图，△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，ED∥BC，求证：DE=BE+CD问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：线段DE的长等于EF与FD的和。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：角平分线BF和CF，平行线DE平行于BC。
问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：角分线定理，平行线性质。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：从图中可得，此题角平分线与平行线有重合部分。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据角平分线性质，可得∠CBF=∠EBF，根据平行线性质可得∠CBF=∠EFB，进而可得∠EFB=∠CBF，可以得到等腰三角形EBF，可得BE=EF。
根椐对称原则可得CD=FD。
进而此题可解。
问题7、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、有角平分线和平行线，可得等腰三角形。
2、求证线段和可以用分段相等的形式得到结论。
例6、已知x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：代数式m2+2mn+n2的值。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：x = 1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根。
问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：不能直接运用公式求解。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：不能。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？答：根据方程根的含义可知12+1×m+ n = 0，进而可得m+n=0。
问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：根据因式分解的公式可将未知变形为 m 2+2mn+n 2=（m+n ）2，即若知m+n 的值可得未知。
到此，此题可解。
例7、如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD ，BC 的中点，∠BDC=700，cos ∠ABD=23 ，求∠NMP 的度数。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求∠NMP 的度数。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：AB ＝CD ，M 、N 、P 分别是AD ，BC 的中点，∠BDC=700，cos ∠ABD=23。
问题3、以前做过类似的题吗？答：没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答： 相关的定理有中点现的中位线，由三角函数可求出相应的角的值；不能直接运用公式求解。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：1、由中位线定理可知，AB=2MP ；cos ∠ABD=23可知∠ABD=300；进而可得∠MPD=300；2、由中位线定理可知DC=2NP ；由∠BDC=700，可知∠BPN=700；进而可得∠NPD=1100；进而可得∠MPN=1400；3、由中位线定理和已知AB=CD 可知MP=NP ；进而可知MP=NP ；进而可得∠PMN=∠PNM。
综合以上因素，可得∠NMP=∠MNP=200。
到此，此题可解。
问题5、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：1、利用一切机会将已知重新分组与组合，可得新的结论，将新结论与其它已知相结合可得更新的结论，可能能到达终点。
2、有中位线，可寻找相等的线段。
例8、如图所示：已知∠xOy＝900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，∠OAB 的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C，求∠ACB的度数。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求∠ACB的度数问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：∠xOy＝900，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，∠OAB的内角平分线与∠OBA的外角平分线交于C问题3、以前做过类似的题吗？答：似乎没有。
问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：三角形内角和定理，三角形外角定理，角平分线定理。
不能直接用定理解出此题。
问题5、你能对条件按所属类型重新分组和组合吗？答：∠ABO的外角的度数与∠BAO是有关联的，但这中间似乎很乱。
清理一下：1∠ABO的外角∠ABE在度数上等于（900+∠OAB），则外角的一半∠EDB应等于2（900+∠OAB ），而∠ABO 应等于（900-∠OAB ），则∠ABC 应等于二者之和：∠ABC=21（900+∠OAB ）+（900-∠OAB ）=（1350-21∠OAB ）。
问题6、你能利用已知和所属的定理、公式、法则、概念向未知转化吗？问题7、根据与未知相关的定理、公式、法则、概念，你能发现得到未知的方法吗？有必要引入辅助元素或定理、公式、法则、概念吗？答：1、未知是求∠ACB 的度数，利用三角形内角和定理，将未知转化成求式子1800—∠CBA —∠BAC 的度数。
2、根据以上所得，则有∠ACB=1800—∠CBA —∠BAC=1800—（1350-21∠OAB ）—21∠OAB=450。
原题得解。
即无论A 、B 如何运动，只要角平线不改，∠ACB 永远等于450。
问题8、以前没有解过同类型的题，这种类型的题有什么特点呢？答：例9、如图，△ABC 为正三角形，BD 是中线，延长BC 至E ，使CE=CD 。
求证：DB=DE 。
问题1、未知是什么？你能复述它吗？答：求证：DB=DE 。
问题2、已知是什么？你能复述它吗？答：△ABC 为正三角形，BD 是中线，CE=CD 。
问题3、以前做过类似的题吗？问题4、与已知相关的定理有什么？能不能直接用公式？答：等腰三角形性质和判定。
波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例
波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例摘要：数学解题教学，重在教会学生解题的方法，帮助学生养成良好的解题习惯。
本文通过波利亚的“怎样解题表”的解题的四个步骤: 阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思，演绎解决一道圆锥曲线压轴题的具体过程，并给出一些解题教学建议。
关键词：波利亚解题表；解题方法；圆锥曲线《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出“让学生在现实情境中体验什么是数学”。
初中数学教学注重培养学生的问题解决能力。
数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务是加强问题解决的训练。
”这种“解题”不同于“题海战术”。
他认为，问题解决应该作为培养学生数学能力和教他们思考的一种手段，方法。
[1]波利亚《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律，也有利于数学教师探索解题教学的一般规律。
笔者结合2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题论述“怎样解题表”在数学解题教学中的应用。
一、问题的由来——2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题案例：已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(1/3m,m)，延长线段OM与C交与点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
二、寻觅依据——波利亚解题“解题四部曲”本研究通过圆锥曲线问题来激发学生对数学问题解决的兴趣，转变学生对待数学解题的态度，培养学生的解题思维。
为了提高学生解决问题的能力，波利亚把解决数学问题的过程分为四个阶段：阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思。
[2]对每个阶段要考虑的问题，思维活动，具体要做什么，有什么建议，都进行了很详细的叙述，多方面地考虑到了学生在解题过程中会面临的问题。
“弄清问题”是我们拿到一道题首先要考虑的问题，理解题目，找出未知量，分析已知条件，找出已知条件与未知量之间的联系，需要的话还可引进相关符号，让学生充分理解题目的含义。
波利亚“怎样解题”表在解题中的应用
波利亚“怎样解题”表在解题中的应用著名数学家波利亚认为中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径．他专门研究解题的思维过程，分解解题的思维过程得到一张“怎样解题”表 ：第一步：理解题目 1．已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？2．画张图，将已知标上．3．引入适当的符号．4．把条件的各个部分分开．第二步：拟定方案 1．你能否转化成相似的、熟悉的问题？ 2．你能用自己的语言重新叙述问题？ 3．回到定义去． 4．你能否解决问题的一部分？ 5．你是否利用了所有的条件？ 第三步：执行方案 1．勇敢地写出你的方法． 2．你能否说出你写的每一步的理由？ 第四步：回顾 1．你能否一眼就看出结论？ 2．你能否用别的方法导出这个结论？ 3．你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？ 下面，我们就按“怎样解题”中的步骤来分析两个例题的解题过程：例1：已知函数f (x )=mx 3－x 的图象上，以N (1，n )为切点的切线的倾斜角为4π，(1)求m ，n 的值；(2)是否存在最小的正整数k ，使得不等式f (x )≤k －1991对于x ∈[－1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；(3)求证：|f (sin x )＋f (cos x )|≤2f (t ＋t21)(x ∈R ，t >0)． 理解题目：函数f (x )=mx 3－x ，以点N (1，n )为切点的切线的倾斜角为4π． 解：(1) f ′(x )=3mx 2－1，依题意，得tan4π，即1=3m －1，m =32，n =31．拟定方案：①对f (x )求导，由x =1处的导数等于1，算 出m ，再根据n =f ′(1)算出n ．②先求出f ′(x )于[－1，3] 上的最大值，k 就易得到．③由求证的不等式知，只要证明|f (sin x )＋f (cos x )|的最大值小于2f (t ＋t 21)（t >0）的最小值即可．(2)令f ′(x )=2x 2－1=0，得x =±22．当－1<x <－22时，f ′(x )=2x 2－1>0；当22<x <3时，f ′(x )=2x 2－1>0． f (－1)=31，f (－22)=32，f (22)=－32，f (3)=15．因此，当x ∈[－1，3]时－32≤f (x )≤15；要使不等式f (x )≤k －1991对于x ∈[－1，3]恒成立，使不得等式f (x )≤k －1991对于x ∈[－1，3]恒成立．必须：k ≥2006．所以，存在最小的正整数k =2006，执行方案：对|f (sin x )＋f (cos x )|的最大值，有两种方法：（a ）将x=sin x 和x=cos x 代入f (x )，整理得出|f (sin x )＋f (cos x )| 的表达式，再 利用三角 函数的性质求最大值．（b ）由绝对值不等式得：|f (sin x )＋f (cos x )|≤|f (sin x )|＋|f (cos x )|，再利用f （x ）的单调性得：|f (sin x )| ≤23，|f (cos x )|≤23，最大值容易算出．2f (t ＋t21)（t>0）的最小值也有两种方法：（a ）t >0，∴t ＋t21≥.tt ,141222≥+2f (t ＋12t )=2(t ＋t 21)[32(t 2＋241t＋1)－1]≥223 （b ）利用t ＋,t1221>≥ 及f (x )于[1，＋∞]上递增，也能求出最小值．(3)（法一）|f (sin x )＋f (cos x )|=|(32sin 3x －sin x )＋(32cos 3x －cos x )|=|32(sin 3x ＋cos 3x )－(sin x ＋cos x )|=|(sin x ＋cos x )[32(sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x )－1]|=|sin x ＋cos|x |－32sin x cos x －31|=31|sin x +cos x |3=31)4π+|3≤322．综上可得，|f (sin x )＋f (cos x )|≤2f (t ＋t21)(x ∈R ，t >0)． ∴2f(t ＋12t )=2(t ＋t 21)[32(t 2＋241t＋1)－1]≥223．又∵t >0，∴t ＋t 21≥.t t ,141222≥+(法2)由(2)知，函数f (x )在[－1，－22]上是增函数；在[－22，22]上是减函数；在[22，1]上是增函数；综上可得，|f (sin x )＋f (cos x )|≤2f (t ＋t21)(x ∈R ，t >0)．所以，当x ∈[－1，1]时，－23≤f (x )≤23，即|f (x )|≤23．∵sin x ，cos x ∈[－1，1]，∴|f (sin x )| ≤23，|f (cos x )|≤23． ∴|f (sin x )＋f (cos x )| ≤|f (sin x )|＋|f (cos x )| ≤23＋23≤322．又∵t >0．∴t ＋,t 1221>≥且函数f (x )在上是增函数， ∴2f (t ＋t21)≥2f (2)=2[32(2)3－2]=322．又f (－1)=31，f f ⎛== ⎝⎭⎝⎭()11.3f =回顾：检验每一步的正确性及所得结果，有没其它解法？仔细分析波利亚的怎样解题表，不难发现：将解题的思维过程的分解为四个过程，把它们告诉学生，引导学生按照这五个思维过程，在解题过程中，有意识地调控他们自己的思维活动，这是提高学生的思维品质的一个有效途径．学生这种对自身学习活动和思维过程的认知和调控能力，实际上就是心理学上的元认知能力．简单的说，元认知是对认知的认知．教师在教学过程中，引导学生了解元认知知识，经历元认知体验，学会元认知监控，对学生数学思维能力的发展是十分重要的．从元认知的角度来讲，波利亚“怎样解题”表至少有以下价值：（1）发展学生的数学思维能力，提高学生的思维品质，或通俗一点，就是教会学生去思考．（2）向学生传授元认知的知识，发展元认知策略．（3）给学生提供元认知体验的机会，激发学生的学习动机和兴趣，增强学生的自信，并体验成功的喜悦．（4）培养学生的元认知监控能力，如对自己思维过程的控制、反思和调节等．（5）挖掘学生的非智力因素，给学生自身潜能的充分发挥提供支撑．。
用波利亚思想教学生解题案例及反思
45。得到的. 师:以前做过类似的题吗？ 生:似乎没有. 师:对于要求的" 0 ) * 的面积，你会什么？ 生 ：已知三角形的三个顶点的坐标时，会求三角形
的面积！现在不知道点）、* 的坐标. 师 :好 ，前进了一步！现在问题转化为求点）、* 的坐
著 名 数 学 教 育 家 波 利 亚 在 《怎 样 解 题 》一 书 中 指 出 ： “一 个 好 的 教 师 应 该 懂 得 并 且 传 授 给 学 生 下 述 看 法 :没 有 任 何 问 题 是 可 以 解 决 得 十 全 十 美 的 ，总 剩 下 些 工 作 要 做 .经 过 充 分 的 探 讨 与 钻 研 ，我 们 能 够 改 进 这 个 解 答 ，而 且 在 任 何 情 况 下 ，我 们 总 能 提 高 自 己 对 这 个 解 答 的 理 解
2. 罗增儒.数学解题学引论[M].西安 ：陕西师范大学 出版社，1997.
3. 刘 春 书 . 寻 思 维 起 点 揭 问 题 本 质 — 对一道中 考题变式分析及探索[J ].中学数学（下），2017(4).
初中 版 十 •？农 *? 9 3
1 解法探究
2017年 9 月
2 ! T )的直线与曲线湘交于点" 、# ，其中曲线!是由函
一 、教 学 实 录 师:题目需要求什么问题？ 生:题目要求$ 0 * + 的面积. 师:题目已知什么条件？你能复述吗？ 生 ：题 目 已 知 过 点 '（- 4 % 1 ，4 " 1 ) 、）（2 " 2 ,
解题的前提是观察和分析题目，关键是联想和类比，而基 本的数学结构形式是联想和类比的基础.在解决本文问 题 时 构 造 的 基 本 几 何 图 形 有 圆 、直 角 三 角 形 、相似三角 形.初中数学中常用的构造方法有:构造方程，构造恒等 式 ，构造函数，构造几何图形，构造对偶式，构造不等式， 构 造 数 学 模 型 等 .构 造 法 是 一 种 灵 活 的 、创 造 性 的 解 题 方 法 ，它没有固定的程序和模式，构造法解题贵在创新， 这非常有利于培养学生的创新意识和创新精神，值得我 们重视.
波利亚解题
波利亚解题法之数列班级：学好：姓名：摘要：一道题，自己百思不得其解，而老师却给出了一个绝妙的解法。
波利亚提供的“怎样解题”表，这张包括了“了解问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过程的解题表，根据波利亚的解题思想，解决有关数列的问题。
关键字：等差数列；等比数列；求解题目：已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=-10，求数列{a n}的前n项和。
2n−1讲解第一，了解问题。
问题1：你要求的是什么？}的前n项和。
要求解的是数列{a n2n−1问题2：你有些是什么？一方面从题目中知道数列{a n}是等差数列，且有a2=0,a6+a8=-10；另一方面我们已经学过等差数列与等比数列的定义及其性质，并积累有求数列前n项和的经验。
第二，拟定计划。
}的前n项和?问题3：怎样才能求得数列{a n2n−1我们要求数列{a n}的前n项和，首先要求等差数列{a n}的通项公式。
如果知道2n−1}的前n项和S n 了等差数列{a n}的通项公式，我们就能求出数列{a n2n−1问题4：怎样才能求得等差数列{a n}的通项公式？依据等差数列的通项公式（a n=a1+nd）,是未知的，所以要求等差数列{a n}的通项公式，就的先求出a1与d，关键是如何求出a1与d。
由等差数列的性质知：a2=a1+d；a6=a1+5d；a8=a1+7d.则有a6+a8=2a1+12d.得{a1+d=0;2a1+12d=−10.这样就能求出a1与d,进而得出等差数列{a n}的通项公式。
第三，实现计划。
由已知知{a1+d=0;2a1+12d=−10.解得{a1=1;d=−1.故数列{a n}的通项公式为a n=2−n(1)进而得S n=a1+a22+a322+⋯+a n2n−1(2)故S1=1，所以当n>1时，S n 2=a12+a222+⋯+a n2n−1(3)(2)-(3),得，S n 2=a1+a2−a12+a3−a222+⋯+a n−a n−12n−1−a n2n，又因为a n−a n−1=−1，所以S n 2=a1−(12+122+⋯+12n−1)−a n2n=1−12[1−(12)n−1]1−12−2−n2n=n2n.所以S n=n2n−1.第四，回顾。
波利亚的解题过程
波利亚的解题过程 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题,弄清问题,培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。
对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。
讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。
2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗可以画张图吗答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。
（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长答：满足上述条件（1）能成立。
但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。
6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。
波利亚解题方法1
例:如果一条直线平行于一个平面,那么垂直于这条直线的
平面必垂直于这个平面.
讲解
第一步、弄清问题:
你要求证的是什么?
要求证的是平面与平面垂直.
已知些什么?
一条直线平行于一个平面,另一个平面垂直于这条直线. 可以用数学语言来叙述题意吗?可以画张图吗?
已知: 直线a∥平面α,直线a⊥平面β.求证:平面α⊥平面β.
第二步、拟定计划:
怎样证明两个平面垂直?
要证明平面α⊥平面β,只要在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可。
怎样找到另一个平面的垂线呢？
由直线a⊥平面β,根据直线和直线平行的性质定理,只要在平面α内找到一条和直线a平行的直线,这直线必定垂直于平面β。
怎样在平面α内找到这条直线呢？
而由直线和平面平行的性质定理可知,只须过直线a任意作一个平面γ和平面α相交于直线b,则交线b⊥平面β, 由此可证明结论成
立.
解题计划：直线a∥平面α，可找平面α内的直线b，a∥b 可得直线b⊥平面β，b⊥平面β且平面α经过直线b结论可得证。
第三步、实现计划:
证明:过直线a任作一个平面γ,和平面α相交于直b,
因为直线a∥平面α,a∥b,直线a⊥平面β,所以b⊥平面β而平面α过直线b，则平面α⊥平面β.
第四步、回顾:
回顾解题过程可以看到,解题首先要弄清题意,从中捕捉有用的信息,同时又要及时提取记忆中的有关识,来拟定出
一个成功的计划。
此题我们在思维策略上是二层次解决问题,首先根据直线和平面平行的性质定理找到直线b,然后根据
直线和直线平行的性质定理及平面与平面垂直的判定定理
得证。
波利亚的解题过程
波利亚解题“怎样解题”思路剖析例题例题：如图11所示，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．(1)求证：BC与⊙O相切．(2)若OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4，求AD的长．(一)通过审题,弄清问题,培养学生分析已知条件的习惯审题过程就是要审清题目数量关系，知道该道题讲的是什么，并能找出已知条件，使题目的条件、问题及其关系在学生头脑中建立起完整的印象，为正确分析数量关系和解答问题创造良好的前提条件。
对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义，对题中揭示数量关系的关键句要反复推敲，理解它的真实含义。
讲解第一步、弄清问题：1．（1）问中求证的是什么？（2）中未知数是什么你能复述它吗？答：（1）中求证BC与⊙O相切，（2）中要求我们求AD的长。
2．已知数据是什么？你能复述它吗？可以用数学语言来叙述题意吗可以画张图吗答：已知：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A．则我们由图可知∠ADB是⊙O的圆周角，等于90°，那么∠A+∠ABD=90°。
（2）中已知OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝43．条件是什么？答：AB是⊙O的直径（如上图11），AD是弦，∠DBC＝∠A4．满足上述条件（1）是否可能成立？能否求出AD的长答：满足上述条件（1）能成立。
但不能求出AD的长，如果要求出AD的长那么我们还有加上一下条件即可：OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝45．要确定未知数，条件是否充分？答：要确定未知数，如上所述是充分的。
6．是否需要引入适当的符号？如果需要，分别有哪些？有什么含义答：一般情况下做这些几何类型的题目为了方便书写和理解我们都会适当引入符号，但这题相对比较简单易懂，就不需要引入了，如果在很多线，很复杂的图形中就必须得引入。
7．把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？答：能。
AB是⊙O的直径AD是弦，∠DBC＝∠AOC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4（1）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．求证：BC与⊙O相切．（2）已知：AB是⊙O的直径，AD是弦，∠DBC＝∠A．BC与⊙O相切，OC是BD的垂直平分线，垂足为E，BD＝6，CE＝4求解：AD的长效果：通过以上的审题和分析已知条件，使学生弄清了题意并数学化，同时大脑中有了一个平面模型，更清晰地了解题目。
波利亚解题——案例分析
波利亚解题——案例分析⏹ 例题：给定正四棱台的高h ，上底的一条边长a 和下底的一条边长b ，求正四棱台的体积V ．(学生已学过棱柱、棱锥的体积)⏹ 波利亚解题：一、弄清问题〔理解题目的未知和条件〕此题的条件有哪些？ 此题的未知是什么？①正四棱台的高h ；②上底边长a ； V ．③下底边长b二、拟定方案〔找到条件和未知之间的联系〕1〕怎样才能求得V ？由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何构造〔棱台的定义〕告诉我们，棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥〞，从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的．如果知道了相应两棱锥的体积1V 和2V ，我们就能求出棱台的体积21V V V -=。
①这样我们就引入两个新的符号1V 和2V ，同时也找到了V 、1V 、2V 三个量之间的联系，这就把求V 转化为求1V 和2V ．2）怎样才能求得1V 和2V ？ 据棱锥的体积公式〔Sh V 31=〕，底面积可由条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的高。
并且，一旦求出小棱锥的高x ，大棱锥的高也就求出，为h x +．我们再次引入了一个新符号x ， 于是根据棱锥的体积公式就有x a V 2231=，)(3121h x b V +=， 这样，问题就由求1V 和2V 转化为了求x 。
3）怎样才能求得x ？为了使未知数x 与数a 、b 、h 联系起来，建立起一个等量关系．我们调动处理立体几何问题的根本经历，进展“平面化〞的思考．用一个通过高线以及底面一边上中点〔如下列图蓝色线条所示〕的平面去截两个棱锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a 、b 、h 、x 联系起来〔转化为平面几何问题〕，由三角形相似的性质得：hx x b a +=②这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解．解上述方程，便可由a 、b 、h 表示x ，至此，我们已在V 与数a 、b 、h 之间建立起了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通．三、实现方案〔利用找到的联系进展解题〕 作辅助线，由相似三角形的性质可得，hx x b a +=， 解得a b ah x -=。
例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用-2019年精选文档
例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用本文从波利亚的“怎样解题表”出发,结合具体的例子,在具体的例子中一步一步地讲解波利亚的“怎样解题表”在解数学题时的步骤和思想,来回答一个好的解法是如何想出来的.下面是实践波利亚解题表的一个示例.例已知点P(3,4) 是椭圆+ = 1 (a > b > 0)上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求椭圆方程.讲解第一,弄清问题.问题1 你要求解的是什么?要求解的是椭圆方程,在思维中的位置用一个单点F象征地表示出来(图1-1).问题2 有哪些已知条件?一方面是题目条件中给出的点P(3,4) ,椭圆上PF1⊥PF2;另一个方面是已经在平面几何中学习过的直角三角形的一些性质和椭圆中半焦距c和长半轴a,短半轴b之间的关系,即a2 - b2 = c2. 把已知的两个量添到图示处(图1-1)就得到了新添的两个点P ,Q(其中Q表示PF1⊥PF2);它们与F之间有条鸿沟,表示要求解的问题和已知的量没有直接的联系,我们的任务就是要将要求解的量F和已知的量联系起来.第二,拟定计划.问题3 怎样才能求出F?我们已经知道了椭圆经过点P和一个Rt△PF1F2 ,如果能够确定椭圆方程中的两个参数a和b,那么我们就能够求解椭圆的方程了,于是问题转化成求a和b.(1) 我们在图示上添加进两个新的点a和b,用斜线把它们和F连接起来,以此来表示a,b这两个量和F之间的联系(图1-2即式(1)的几何图示),这样我们就把问题转化为确定a和b的值了.问题4 怎样求得a和b?我们根据已知条件Rt△PF1F2,再结合整个图形,我们可以知道直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,也就是说坐标原点到点P的距离等于半焦距c. 我们在图示上(图1-2)再添加两个点半焦距c,和L(L表示线段OP的长度,其中O表示坐标原点),连接c和L,表示c和L有相等的关系. 连接Q和c,Q和L,表示c和L相等的关系是由Q推出来的. 连接P和L,表示L的长度是由点P的坐标确定的,从而c = L = = 5. 我们要求解的是a和b 的值,因此很自然地想到在椭圆中还隐藏着这样的关系:a2 - b2 = c2,于是我们连接a和c,b和c(图1-3),表示c和a,b有 a2 - b2 = c2的关系,再连接a和b表示b可以用a表示,即b2 = a2 - 25. 这时椭圆方程可以写成:+ = 1. 同时我们还应注意到点P在椭圆上还没有用到,因此我们连接P和a(图1-3),表示把P点的坐标代入椭圆方程 + = 1. 一个未知数,一个方程恰好可以解出a,从而椭圆的方程就确定了.至此,我们已在F与P ,Q之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.第三,实现计划.连接OP(图1-3).∵ PF1⊥PF2∴ PF1F2 是直角三角形,∴|OP| =|F1F2| = c.又|OP| = = 5.∴ c = 5,∴椭圆的方程为: + = 1.∵点P(3,4) 在椭圆上,∴ += 1,解得a2 = 45或 a2 = 5(舍去),故所求的椭圆方程为+ = 1.第四,回顾.(1) 正面校验每一步,推理是合理的,有效的,计算是精确的. 本题也可作特殊性检验,即按照两点之间的距离公式分别求解出线段PF1和 PF2的长度,再验证△PF1F2能否成为直角三角形;同时验证|PF1| + |PF2|是否等于 2a.(2) 还能用其他的方法得到这个结果吗?,条条大道路罗马,万事都不是绝对的,我们应该在信念上坚信每道题目都是有多种解法的,那么本例有没有其他解法呢?有,下面是本例的另解.如图1-1所示,令F1(-c,0), F2(c,0).∵ PF1⊥PF2∴ k ∪k =-1,即∪= -1,解得c = 5.∴椭圆的方程为: + = 1(以下步骤同上述解答).(3) “能将本例的方法用于其他的问题吗?能,我们看到解决本例的关键在于分析已知条件后得到:|OP| = |F1F2| = c,或者k ∪k =-1. 可见,这是解决本例的“泉眼”,勤于分析已知条件,对于培养解数学题的“灵感”是非常有必要的.小结回顾这个解题过程,“怎样解题表”包含四部分内容:弄清问题､拟订计划､实现计划､回顾.波利亚说:“ 弄清问题是为好念头的出现做准备;制订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.” 解题的过程实际上是一个不断地变更问题的过程(如上文中分析的将求F转化成求a和b,再将求a和b转化为求c),通过不断地变更问题,引入新的量,从而在未知量和已知量之间建立起“桥梁”,使得未知量和已知量最终处于“通路”的状态.注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”。
波利亚怎样解题数学思维的新方法
波利亚怎样解题数学思维的新方法波利亚怎样解题数学思维的新方法引言波利亚（Pólya）是一位杰出的数学家，他在解决数学问题的方法上提出了一些有趣且有效的思维方式。
这些方法不仅适用于数学问题，还可以应用于各个领域的解决方案。
在本文中，我们将详细介绍波利亚的解题思维方法。
1. 理解问题在解决任何问题之前，首先要确保我们对问题有清晰的理解。
这包括理解问题陈述，确定问题类型，识别已知和未知条件。
•阅读问题陈述多次，确保理解所有细节。
•确定问题属于哪个领域，例如代数、几何、概率等。
•找出已知的条件和要求解的未知量。
2. 制定计划制定解决问题的计划非常重要，它有助于我们避免陷入困境和迷失方向。
•问自己：“是否已遇到类似的问题？”回顾过去的经验可能提供启示。
•尝试将问题分解为更简单的子问题。
•使用图表、模型、假设等工具来组织思维。
3. 执行计划一旦我们制定了计划，就可以开始执行。
•逐步执行计划的每个步骤，确保逻辑正确。
•需要时可以反复尝试和修改计划。
•在解决问题的过程中保持耐心和专注。
4. 回顾与扩展在解决问题之后，我们需要回顾整个过程，并思考如何进一步扩展解决方案。
•检查解决方案的正确性。
是否满足所有条件和要求？•思考是否有其他方法可以解决同样的问题。
•探索是否可以将所学的经验应用到其他领域或问题中。
结论通过波利亚的数学思维方法，我们能够更有条理地解决问题，并培养出创造性和灵活性的思维能力。
这种方法不仅适用于数学，还可以应用于科学、工程、计算机科学等领域。
通过理解问题、制定计划、执行计划以及回顾与扩展，我们可以成为更有效的问题解决者。
希望本文对读者能有所启发，使大家在解决问题时能够运用波利亚的数学思维方法取得更好的效果。
5. 实例分析现在让我们通过一个具体的例子来演示波利亚的解题思路。
问题：在一张长方形的草坪上，有一条长36英尺的围栏围成了一个边长为9英尺的正方形花坛。
我们需要在花坛内部种植花卉，计划使用正方形花坛边长为x英尺的石头砌成围墙。