高中数学课件精选--随机变量的方差
高中数学必修2-3第二章2.3 2.3.2离散型随机变量的方差
2．3.2 离散型随机变量的方差1．问题导航(1)离散型随机变量的方差及标准差的定义是什么？(2)方差具有哪些性质？两点分布与二项分布的方差分别是什么？ (3)如何计算简单离散型随机变量的方差？ 2．例题导读(1)例4求随机变量的均值和方差、标准差，请试做教材P 68练习1题． (2)例5是均值和方差的实际应用，请试做教材P 68练习3题．1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X 的分布列为①方差D (X )＝∑n i ＝1(x i －E (X ))2p i . ②标准差为________D （X ）．(2)方差的性质：D (aX ＋b )＝________a 2D (X )． 2．两个常见分布的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝________p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝________np (1－p )．1．判断(对的打“√”，错的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为( )A.43B.83C.89D ．1答案：C3．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是( )A ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝1B ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝1C ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝2 D ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝2 答案：D4．已知随机变量X ________.答案：3.561．方差与标准差的作用随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散程度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中，稳定性越差，波动性越大．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差；[解] 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120，P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320，P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[互动探究] 在本例条件下，若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解：由D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)＝11，E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1，及E (ξ)＝1.5，D (ξ)＝2.75，得2.75a 2＝11，1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.1．求离散型随机变量X 的均值、方差的步骤： (1)理解X 的意义，写出X 的所有可能的取值； (2)求X 取每一个值的概率； (3)写出随机变量X 的分布列；(4)由均值、方差的定义求E (X )，D (X )．2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了1．(1)已知随机变量ξ若E (ξ)＝23，则D (ξ)的值为________．解析：由分布列的性质，得 12＋13＋p ＝1，解得p ＝16. ∵E (ξ)＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－232×12＋⎝⎛⎭⎫1－232×13＋⎝⎛⎭⎫2－232×16＝1527＝59. 答案：59(2)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望．解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718.P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324.两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s ，求司机总共等待时间η的期望与方差． [解] (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B (6，13)，故E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，故E (η)＝30E (ξ)＝60(s)，D (η)＝900D (ξ)＝1 200.解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )；若ξ服从二项分布，即ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．2．(1)(2015·高考广东卷)已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.答案：13(2)在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．解：用ξ表示小李击中目标的次数，η表示他的得分，则由题意知ξ～B(10，0.8)，η＝3ξ＋2.因为E(ξ)＝10×0.8＝8，D(ξ)＝10×0.8×0.2＝1.6，所以E(η)＝E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝3×8＋2＝26(分)，D(η)＝D(3ξ＋2)＝32×D(ξ)＝9×1.6＝14.4.均值、方差的综合应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y 的分布列如下：(1)求a，b的值；(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(X)＞E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)＞D(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．因此在实际决策问题中，需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定．3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数ξ的数学期望和方差分别为E (ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D (ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数η的数学期望和方差分别为E (η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； D (η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动性大，乙保护区的违规事件次数更集中和稳定，说明乙保护区的管理水平较好．试求D (X )和D (2X －1)．[解] E (X )＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8，所以D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.所以D (2X －1)＝4D (X )＝4×1.56＝6.24.[错因与防范] (1)解答本例易将方差的性质用错，即D (aZ ＋b )＝aD (Z )＋b . (2)解决此类问题方法，应利用公式E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )，将求E (aX ＋b )，D (aX ＋b )的问题转化为求E (X )，D (X )的问题，从而可以避免求aX ＋b 的分布列的繁琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算．4．已知随机变量X ～B (100，0.2)，那么D (4X ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．320解析：选B.由X ～B (100，0.2)知n ＝100，p ＝0.2， 由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16， 因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256.1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( )A ．mB ．2m (1－m )C ．m (m －1)D ．m (1－m ) 解析：选D.随机变量ξ∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6 D ．6和5.6解析：选B.由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X . 因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，则自动包装机________的质量较好．解析：因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定． 答案：乙4．若随机变量X 的分布列为：(1)求m 的值；(2)求E (X )和D (X )．解：(1)由随机变量分布列的性质，得0.1＋0.2＋0.4＋m ＋0.1＝1，解得m ＝0.2.(2)E (X )＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0，D (X )＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.[A.基础达标]1．下列说法正确的是( )A ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值解析：选C.由离散型随机变量的数学期望与方差的定义可知，C 正确．故选C. 2．设X ～B (n ，p )，若D (X )＝4，E (X )＝12，则n 和p 分别为( ) A ．18和23B ．16和12C ．20和13D ．15和14解析：选A.∵X ～B (n ，p )，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12，np （1－p ）＝4，解得p ＝23，n ＝18.3．已知X 的分布列如下表所示，则下列式子：①E (X )＝－13；②D (X )＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的有( )A.0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选C.E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59，故只有①③正确． 4．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k ·(13)n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8B ．12 C.29D ．16解析：选A.由题意可知ξ～B (n ，23)，∴23n ＝E (ξ)＝24.∴n ＝36. ∴D (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.5．(2015·滨州高二期末检测)若随机变量X 的分布列为：P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则D (X )的最小值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．无法计算解析：选A.依题意有a ＝1－13＝23，所以E (X )＝13m ＋23n ＝2，即m ＋2n ＝6.又D (X )＝13(m－2)2＋23(n －2)2＝2n 2－8n ＋8＝2(n －2)2，所以当n ＝2时，D (X )有最小值为0.6．(2014·高考浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.答案：257．(2015·扬州高二检测)设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．解析：由独立重复试验的方差公式可以得到 D (ξ)＝np (1－p )≤n (p ＋1－p 2)2＝n4，等号在p ＝1－p ＝12时成立，所以D (ξ)max ＝100×12×12＝25,D （ξ）max ＝25＝5.答案：1258．随机变量ξ的分布列如下，其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝53，则D (ξ)的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .又因为a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.又因为E (ξ)＝a ＋2b ＋3c ＝53，所以a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以ξ的分布列为所以D (ξ)＝(1－53)2×12＋(2－53)2×13＋(3－53)2×16＝59.答案：599．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取1个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数，求ξ的分布列、期望值及方差．解：ξ的可能值为0，1，2，P (ξ＝0)＝C 02C 310C 312＝611；P (ξ＝1)＝C 12C 210C 312＝922；P (ξ＝2)＝C 22C 110C 312＝122.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×611＋1×922＋2×122＝12，D (ξ)＝(0－12)2×611＋(1－12)2×922＋(2－12)2×122＝322＋988＋988＝1544.10．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D （ξ）＝62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：因为每一株沙柳成活率均为p ，种植了n 株沙柳，相当于做n 次独立重复试验，因此ξ服从二项分布ξ～B (n ，p )．(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为：(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)， 得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132.[B.能力提升]1．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布列大致如下表所示：甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解：∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， ∵E (X )＝E (Y )，D (X )＜D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．2．如表，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者的连线游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花．假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随机地连线，试求该学生得到小红花数X 的分布列及其均值、方差．解：可能为0个，1个，2个，4个．P (X ＝0)＝9A 44＝924，P (X ＝1)＝C 14×2A 44＝824， P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝624，P (X ＝4)＝1A 44＝124. 故X 的分布列为：∴E (X )＝0×924＋1×824＋2×624＋4×124＝1， D (X )＝924×(0－1)2＋824×(1－1)2＋624×(2－1)2＋124×(4－1)2＝9＋0＋6＋924＝1. 3．某学校为高二年级开展第二外语选修课，要求每位同学最多可以选报两门课程．已知有75%的同学选报法语课，有60%的同学选报日语课．假设每个人对课程的选报是相互独立的，且各人的选报相互之间没有影响．(1)任选1名同学，求其选报过第二外语的概率；(2)任选3名同学，记ξ为3人中选报过第二外语的人数，求ξ的分布列、期望和方差． 解：设事件A ：选报法语课；事件B ：选报日语课．由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A )＝0.75，P (B )＝0.6.(1)法一：任选1名同学，该同学一门课程都没选报的概率是P 1＝P (A －B －)＝P (A )·P (B )＝0.25×0.4＝0.1.所以该人选报过第二外语的概率是P 2＝1－P 1＝1－0.1＝0.9.法二：任选1名同学，该同学只选报一门课程的概率是P 3＝P (AB )＋P (AB )＝0.75×0.4＋0.25×0.6＝0.45，该人选报两门课程的概率是P 4＝P (AB )＝0.75×0.6＝0.45.所以该同学选报过第二外语的概率是P 5＝P 3＋P 4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选报是相互独立的，所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B (3，0.9)，P (ξ＝k )＝C k 3×0.9k ×0.13－k ，k ＝0，1，2，3， 即ξ的分布列是ξ的期望是E(ξ)＝(或ξ的期望是E(ξ)＝3×0.9＝2.7)，ξ的方差是D(ξ)＝3×0.9×(1－0.9)＝0.27.。
湖北省华中师大一附中2020年高二网课课件——离散型随机变量的均值与方差(上)(共32张PPT)
四 均值的应用
解:用X1 , X2 和 X3 分别表示方案 1, 2, 3 的损失费用
采用第1种方案,则 E(X1)= 3800 采用第2种方案,遇到大洪水时，损失2000+60000 =62000（元）；没有大洪水时，损失2000元.
∴E(X2) =62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600
4.若X ～ B(n，p)，则E( X )＝ np
证明：Q kCnk pk qnk npCnk11 p q , k1 (n1)(k1) k N *
n
n
E( X )
kCnk pk qnk np
C p q k 1 k 1 (n1)(k 1) n1
k 0
k 1
np(q p)n1 np
若X ～ B(n，p)，则E( X )＝ np
学击中目标靶的环数 X1 的分布列为
X1 5
6
7
8
9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数 X 2的分布列为
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
请问应该派哪名同学参赛？
E(X1) 8 , E(X2) 8
五 方差的定义
五 方差的定义
怎样定量刻画随机变量的稳定性？
样本的方差或标准差能反映样本数据与样本平均值的 偏离程度，能否用一个与样本的方差类似的量来刻画随 机变量的稳定性呢？
五 方差的定义
设离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
北师大版数学-选择性必修第一册-第六章概率-3.2离散型随机变量的方差
10
5
即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品
件数相同，可以认为他们的技术水平相当.
又因为 D (0 0.7) 2 3 (1 0.7) 2 1 (2 0.7) 2 3 0.81
5
10
10
1
3
1
2
2
2
D (0 0.7) (1 0.7) (2 0.7) 0.61
D(X+b)= D(X)
而离散型随机变量X乘以一个常数a,其方差变为原方差的a2倍，即
D(aX)=a2D(X)
因此，D(aX+b)=a2D(X)
1. 若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为( B )
A．无法求
B．0
C．EX
D．2EX
解析 ∵EX是一个常数，
∴E(X－EX)＝EX－EX＝0．
2. 已知随机变量X的散布列是
2
n
( xi E ( X ))2 pi
i 1
2
2
上式为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX
的平均偏离程度.我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根
DX
为随机变量X 的标准差，记作 X .
随机变量的方差DX和标准差
X
都反应了随机变量的取值偏离
于均值的平均程度.方差(标准差) 越小,则随机变量偏离于均值的平
i 1
数学期望是反应离散型随机变量的平均水平
2.数学期望的性质
E(aX+b)=aE(X)+b
3.样本方差
设在一组数据x1,x2,…,xn中,是它们是它们的平均数,那么
ҧ
1
s [(x1 x) 2 (x 2 x) 2
随机变量与期望方差
0.1 b=
0.4 .
归纳求离散型随机变量期望的步骤： ①、确定离散型随机变量可能的取值。
②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。
③、求出期望。
例1、随机抛掷一个骰子，设随机变量ξ 为所得骰子的点数，
(1)求随机变量ξ 的概率分布律； (2)求Eξ 。 解：（1）随机变量ξ的概率分布律为： x P(ξ =x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
解：(1) X～B（3，0.7）
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0.7
k
…
pqk-1 …
q D 2 p
例4 有一批数量很大的产品,其次品率是 15%,对这批产品进行抽查,每次抽出1件, 如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查, 直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10 次.求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有 效数字）.
分析： （1）P（ξ=k）=0.85 k-1×0.15,（ k=1,2,…,9） k=10时,前9次取出的都是正品,第10次可能取出次品,也 可能取出正品, 所以P（ξ=10）=0.859×（0.15+0.85）=0.859 （2）写出ξ的分布列,由概率分布可得
x 6 7 8 9 10 上海队员： P ( x ) 0 0.3 0.4 0.2 0.1
x 6 7 8 9 10 辽宁队员： P( x) 0.04 0.24 0.44 0.22 0.06
2016-2017学年高中数学人教A版选修2-3课件：2.3.2离散型随机变量的方差
7.错用公式DaX＋b＝a2DX
[典例] X P 已知随机变量 X 的分布列如下表： －2 0.1 －1 0.2 0 0.4 1 0.1 2 0.2
且 Y＝3X＋1，求 E(Y)，D(Y)．
[解] 因 为 E(X) ＝ － 2×0.1 ＋ ( － 1)×0.2 ＋ 0×0.4 ＋
1×0.1＋2×0.2＝0.1， 所以 E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝1.3.
刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度． 称 D(X)为随机
算术平方根 DX 为随机变量 X 的标准差． 变量 X 的方差，其__________________
2．意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离平均值 的平均程度．方差或标准差 越小 ，则随机变量偏离于均值的平均 程度 越小 ． 3．性质
若 E(X)＝0，D(X)＝1，则 a＝______，b＝______.
解析：由题意得 a＋b＋c＋ 1 ＝1， 12 1 －1×a＋0×b＋1×c＋2× ＝0， 12 1 2 2 2 2 －1－0 ×a＋0－0 ×b＋1－0 ×c＋2－0 ×12＝1， 5 1 解得 a＝12，b＝c＝4. 5 答案：12 1 4
2
答案：A
2．已知 ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则 n 与 p 的值分别 为 A．100 和 0.08 C．10 和 0.2 B．20 和 0.4 D．10 和 0.8 ( )
解析：由于
np＝8， ξ～B(n，p)，所以 np1－p＝1.6，
解得 n＝10，p＝0.8. 答案：D
[类题通法] 解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然 后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方 差为 p(1－p)； 若其服从二项分布， 则其方差为 np(1－p)(其 中 p 为成功概率)．
(广东专用)高考数学总复习 第十章第九节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件 理
【思路点拨】 (1)获奖则摸出2个白球或摸出3个白球，
利用互斥事件概率加法不难求解；(2)在2次游戏中，获奖的次
数X服从二项分布，进而可求分布列与数学期望．
【尝试解答】 (1)设 Ai 表示“在 1 次游戏摸出 i 个白 球”(i＝0,1,2,3)．
①摸出 3 个白球的概率 P(A3)＝CC3225·CC1223＝15， ②设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 B＝A2∪A3， ∵P(A2)＝CC5322··CC2322＋CC31C25 12·CC1223＝21，又 A2 与 A3 互斥， ∴P(B)＝P(A2＋ A3)＝ P(A2)＋P(A3)＝15＋12＝170， 因此，在一次游戏中获奖的概率为170.
【解析】 设 P(ξ＝1)＝x，则 P(ξ＝3)＝x， 由分布列性质，∴P(ξ＝2)＝1－2x， 因此 Eξ＝1·x＋2·(1－2x)＋3·x＝2.
【答案】 2
正态分布下的概率
(2011·湖北高考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2， σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝( )
A．0.6
【解】 ∵随机变量 ξ～μ(3,1)， ∴正态曲线关于直线 x＝3 对称， 由 P(2≤ξ≤4)＝0.682 6，得 P(ξ＞4)＝12[1－P(2≤ξ≤4)]＝12(1 －0.682 6)＝0.158 7.
离散型随机变量的均值与方差
(2011·天津高考)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲 箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑 球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随 机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏 结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率；②获奖的概率． (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
高考数学总复习 11.1离散型随机变量的分布列、期望与方差课件 人教版
2．设离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ P
1 a
2 1 2 )
b 1 6
11 若 Eξ＝ ，则 3a＋b＝( 6 A．2 B．4
C．5
D．6
1 1 1 解析：由分布列的性质得 a＋ ＋ ＝1，解得 a＝ ， 2 6 3 1 1 1 11 所以 Eξ＝1×3＋2×2＋b×6＝ 6 ， 解得 b＝3， 所以 3a＋b ＝4，故选 B.
答案：D
4．一射手对靶射击，直到第一次命中或子弹打完终止射
击，若该射手每次射击命中的概率为 0.6 ，现有 4 颗子弹，则 剩余子弹数目的ξ的期望为______． 解析：由题意知ξ可取0,1,2,3，此时P(ξ＝0)＝0.43， P(ξ＝1)＝0.6×0.42
P(ξ＝2)＝0.6×0.4，P(ξ＝3)＝0.6
注意： (1)随机变量实际上是用变量对试验结果的一种刻画，是 试验结果(即样本点)与实数之间的一个对应关系，这与函数概 念本质上是相同的．不同的是，在函数概念中，函数f(x)的自
变量是实数 x ，但在随机变量的概念中，随机变量的自变量 ξ
所取的值代表的不是数，而是试验结果(即样本点)．
(2)概率论是以随机现象为研究对象的，相应地，不论自 变量ξ还是因变量P(ξ＝xi)，它们取到某个“值”都是带有偶 然性的，是不确定的．在试验之前不能断言随机变量取什么 值，即具有随机性．但在大量重复试验中随机变量又能按一
第一讲 离散型随机变量的分布列、期
望与方差
考点
考纲要求 1.了解随机变量的意义；明确 什么是离散型随机变量 2.理解离散型随机变量及其分 布列的概念；了解分布列、均 值对于刻画随机现象的重要性 3.理解二项分布、几何分布及 其推导过程，并能进行简单应 用4.能计算简单的离散型随机 变量的概率，分布列以及均值
高考数学一轮总复习课件：离散型随机变量的分布列、均值与方差
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次
CMkCN－Mn－k
品，则P(X＝k)＝________C_N_n __，k＝0，1，2，…，m，其中m
＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列：
X
0
P
CM0CN－Mn－0 CNn
为超几何分布列．
1
…
m
CM1CN－Mn－1 CNn
…
CMmCN－Mn－m CNn
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，那么称随机变量
X服从超几何分布，记作X～H(N，M，n)．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量． (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概 率之和可以小于1. (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥 的．
思考题2 (1)(2021·吉林省汪清县高三月考)已知随机变 量ξ的分布列如下表，则x＝____12____．
ξ01 2
P x2 x
1 4
【解析】
由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋
1 4
＝1，且0≤x≤1，解得x＝12.
(2)(2021·青铜峡市高三期末)设随机变量ξ的概率分布列如下
表，则P(|ξ－3|＝1)＝( A )
3．设ξ是一个离散型随机变量，则下列不一定能成为ξ的概
率分布列的一组数是( C )
A．0，0，0，1，0
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，1－p(p为实数)
D.1×1 2，2×1 3，…，（n－11）·n，1n(n∈N*，n≥2)
解析
显然A、B满足分布列的两个性质；对于D，有
【高中数学】随机变量及其分布课件2022-2023学年高二下学期数学人教A版2019选择性必修第三册
解：设事件A “甲袋中取到红球”，B “从乙袋中取到红球”.
则从甲乙两袋中取到的都是红球即为事件AB
其中P（A） 1 ，P（B） 1 ； 又事件A、B相互独立
2 所以P（AB）
2 P（A）P（B）
1
1
1
.
22 4
[规律总结]
规律总结：一般地，若事件A、B相互独立，则积事件AB的概率满足 P（AB） P（A）P（B）.
A. 1
B. 7
C. 11
D. 1
2
36
48
6
[提炼升华]
条件概率与全概率公式
随机变量
离散型随机变量 连续型随机变量
条件概率公式
P（B |
A）
P（AB） P（A）
概率的乘法公式 P（AB） P（A）P（B | A）
全概率公式
n
P（B) P(A i）P（B | Ai）. i 1
贝叶斯公式 分布列
由条件概率的定义知，对任意两个事件A与B，若P（A） 0, 则P（AB） P（A）P（B | A）.我们称上式为概率的乘法公式.
当且仅当事件 A与B相互独立时，有 P（B | A） P（B），此时P（AB） P（A）P（B）.
[典型例题]
例：甲袋中装有3个红球和3个白球，乙袋中装有2个红球和2个白球. 问题3：从甲袋中任取一球放 入乙袋中，再从乙袋中 任取一球，则两次 取到的都是红球的概率 是多少？
P（Ai
|
B）
P(A i）P（B | P（B）
A
） i
P(A
i）P（B
|
A
）
i
n
.
P(A
k）P（B
|
A
）
高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课件北师大版选修2_3
x(0≤x≤0.29)．
依题意，EX≥4.73，即 4.76－x≥4.73，
解得 x≤0.03，所以三等品率最多为 3%.
1．实际问题中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测， 消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等 方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
0.2
Eη＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
1．求随机变量的数学期望的方法步骤： (1)写出随机变量所有可能的取值． (2)计算随机变量取每一个值对应的概率． (3)写出分布列，求出数学期望．
2．离散型随机变量均值的性质 (1)Ec＝c(c 为常数)； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b 为常数)； (3)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b 为常数).
4．已知 X～B100，12，则 E(2X＋3)＝________. 103 [EX＝100×12＝50，E(2X＋3)＝2EX＋3＝103.]
5．某运动员投篮投中的概率 P＝0.6.
(1)求一次投篮时投中次数 ξ 的均值；
(2)求重复 5 次投篮时投中次数 η 的均值．
[解] (1)ξ 的分布列为：
2．均值的性质 (1)若 X 为常数 C，则 EX＝_C_. (2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 EY ＝E(aX＋b)＝__a_E_X_＋__b___.
(3)常见的离散型随机变量的均值
分布名称
参数
超几何分布
N，M，n
二项分布
n，p
均值 M nN
_n_p__
思考：两点分布与二项分布有什么关系？
[母题探究 1] 本例条件不变，若 Y＝2X－3, 求 EY.