相似三角形的性质(一)
练习
巩固新知
例题
巩固新知，规范书写
四、练习：
1.两个相似五边形的面积比为9:16,其中较大的五边形的
周长为64cm,则较小的五边形的周长为_______cm.
2.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O,则△DOE与
△BOC的周长之比是_________,面积比是________.
快速独立完成
基础题
给基础差的学生机会和信心。
五、课堂小结：1、基础知识：
2、方法：
六、作业：
授后小记：
2、如图:在△ABC中,M、N分别是AB、AC的中点,
(1)△AMN与△ABC的面积比是____;
(2)△AMN与四边形MNCB的面积比是_________;
三、例题讲解
1.在比例尺为1:500的地图上,测得一个三角形地块ABC的周长为12cm,面积为6 ,求这个地块的实际周长和面积.
2.四边形ABCD是平行四边形,点E是BC的延长线上的一点,而CE:BC=1:3,试求:
教学课题
10.5相似三角形的性质（1）
教学目标：1、探索相似三角形 的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线 段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。3、发展学生合情推理，和有条理的表达能力。
3.已知两个相似多边形的相似比是4:5,周长的和是18cm,则两个
多边形的周长分别是___________.
证明：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比。
画图，写清已知、求证，再证明
探究相似三角形的面积之比与相似比的关系。
结论：相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
相似多边形的面积的比等于.
练习：1、给形状相同且对应边的比为1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标ADG和△EBG的周长比和面积比.
(2)若△DFG的面积为9,求△ABG的面积.
根据“相似三角形的对应边成比例”和比例的基本性质证明，并归纳出性质一：相似三角形的周长的比等于相似比。
连接对角线
把多边形相似转化为三角形相似
练习巩固新知
把高换成中线
换成角平分线
证明推广
读题，弄清比例尺的意思
根据旧知探究新知
教学重点：相似三角形的性质
教学难点：有条理的表达与推理
教学过程：
教学过程：教师活动
学生活动
设计意图
一、知识回顾
1.什么样的三角形叫做相似三角形？
2.由相似三角形的概念,相似三角形具有哪些性质?
相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
复习回顾，引入新课
二、探究新知
若△ABC∽△A'B'C',相似比是k,
也就是 ，你能得到等式
成立吗？
结论：相似三角形的周长的比等于相似比。
思考：相似多边形的周长的比等于
证明：
练习：
1.已知△ABC∽△A'B'C'其相似比是2,△ABC的周长是36,
则A'B'C'的周长是________.
2.小明把1米长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形且相似比为3：5，那么截成的两段铜丝的长度差是_______.
相似三角形的性质(1)
A
P
F
B
E
EC 1 = ∵ BC= D ∴ BC C 2 ∴ EC=1 ∴ CD=ED-EC=BC-EC= 2 -1
2
建湖县实验初中
拓展与延伸
1.两个相似五边形的面积比为9:16,其中较大 的五边形的周长为64cm,则较小的五边形的 48 周长为_______cm.
相似三角形的性质(1)
建湖县实验初中
知识回顾
1.什么叫相似三角形? 各角对应相等,各边对应成比例的三角形,叫做
相似三角形.
2.由相似三角形的定义,相似三角形具有哪些性质? 对应角相等,对应边成比例
建湖县实验初中
在比例尺为1:500的地图上,测得一个三 角形地块ABC的周长为12cm,面积为6cm2 , 求这个地块的实际周长和面积.
A M B 图上,测得一个 例题分析 三角形地块ABC的周长为12cm,面积为 6cm2 ,求这个地块的实际周长和面积. 解： 设实际三角形地块A′B′C′
1 ∵ △ABC∽△A′B′C′，且相似比 k = , 500 S ABC 1 2 C ABC 1 ∴ =( ). = , C A ' B 'C ' 500 S A ' B 'C ' 500
2.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 1:3 则△DOE与△BOC的周长之比是_________,面 1:9 积比是________.
A D O B C
建湖县实验初中
E
拓展与延伸
3. 四边形ABCD是平行四边形,点E是BC的延 长线上的一点,而且CE:BC=1:3,若△DFG的 面积为9, 试求:(1) △ADG和△BGE的面积的周长比和 面积比. (2) △ABG的面积.
相似三角形性质1
2相似三角形有什么性质？
对应角相等，对应边成比例；
3相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 4ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为k,则ΔA/B/C/ 与ΔABC的 相似比是多少？1
k
例ΔABC∽ΔA/B/C/
A D E C D
A E G C
B
F
B
6如图□ABCD中，AE：EB=1：2， （1）求△AEF与△CDF周长的比。 （2）如果S△AEF =6 cm2,求S△CDF？ S△ADF 7如图，S□ABCD =2008cm2，点E是平行四边形ABCD的边AB的延 长线上一点，且 BE 1 AB ， 求S△BEF
80–x x = 因此 ， 80 120 得 x=48（毫米）。答：----。
Q
D M
C
9如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上， 且AD⊥BC于D，交NH于E，AD=80cm,BC=24cm, (1) △ABC∽△ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形 FGHN 的面积y与x的关系式。 (３)你能求出矩形FGHN的面积y的最大值吗？ A E
AD AB k 的相似比为k，求证： A' D ' A' B '
相似三角形对应高的比等于相似比
（1）若AD、A/D/是高
（2）若AD、A/D/是角平分线 相似三角形对应角平分线的比等于相似比
（3）若AD、A/D/是中线 相似三角形对应中线的比等于相似比
例ΔABC∽ΔA/B/C/
lABC 的相似比为k，求： lA`B `C `
N
三角形的相似性质
中考备考•相似三角形（一）∠A=∠BA = ∠B= ∠2、如图，△ABC中，DE//BC，若AD:DB=3:2,回答①AE:AC= ;②△ABC与△ADE的周长比是；③若△ABC的面积为25，则△ADE的面积是。
3、如图，⊙○中，DE=2,CE=4,BE=6,求AC的长度.4、如图，△ABC中，CD⊥AB，CD2=AD·BD,求∠ACB的度数.5、如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，AE是⊙O 的直径，求证：AB·AC= AD·AE6、如图，在△ABC中，AB=AC, ∠1= ∠B. 求证：AC·CD= CE·BE7、如图，平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点D ，E 为OD 上一点(不与O 、D 重合)，连接AE 并延长交DC 于点F.若要证明ABDFEB ED =, 则需要证明下列哪一对三角形相似？（ ） A 、△EDF ∽△EBA B 、△EDF ∽△DBA8、如图，在△APM 中， AM//NB ，CM//ND.若要证明CACMDB DN =，则需要证明下列哪一对三角形相似？（ ） A 、△PDN ∽△PCM B 、△BDN ∽△ACM C 、△AMC ∽△APM9、如图，在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，求证CD ·BC=AE ·DF. ①若将CD ·BC=AE ·DF 转化为比例式，下列转化正确的是（ ） BC AE DF CD A =、 DF BCAE CD B =、②将CD ·BC=AE ·DF 中的线段进行等量代换，下列等量代换最有助于解决问题的是（ ）A 、把CD 换成AB B 、把BC 换成ADC 、把CD 换成AB ，把BC 换成AD③请写出CD ·BC=AE ·DF 的证明过程.10、如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，O 为斜边AB 的中点，D 是BC 上的一点，连接OC 、AD ，如果OC ⊥AD ，求证： AB ·CD=AC ·AD.11、如图，已知EC//AB ，∠1=∠2.①求证： 四边形ABCD 是平行四边形； ②求证： OA 2=OE ·OF.。
相似三角形的性质_课件1(1)
A
D
A′ B
D′
B′
C C′
（4）CC'DD' 等于多少？你是怎么做的？
CA C' A'
CD C'D'
3 4
相似三角形对应高的比等于相似比。
A′
D′
B′
AD
B
EC
E′ C′
议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′相
似比为k。如果CD和C′D′分别是它们的对应角平
分线，那么 CD 等于多少？
CD
A′
D′
B′
A
D
B
C C′
已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′
相似比为k。如果AD和A′D′分别是它们的对应中
线，那么 AD 等于多少？
AD
A′
A
B
D C
B′
D′ C′
相似三角形的性质
定理1：相似三角形对应高的比、对应 中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
练习
3.已知△ABC∽△A’B’C’，S△ABC∶S△A’B’C’=9:25， △ABC的周长是36，则△ABC的周长是 60。
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上， DE平行于BC，AD∶DB=3∶2，求四边形DBCE与 △ADE的面积比。
解：∵DE∥BC ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC S△ADE:S△ABC=(AD:AB)2 ∵AD∶DB=3∶2 ∴AD∶AB=3∶5 ∴S△ADE∶S△ABC=9∶25 ∴S△ADE∶S四边形DBCE=9∶16 所以四边形DBCE与△ADE的面积比为16∶9。
相似三角形的性质1
D B
性质应用 分析：
例3
如假图如，PQ△MNA为BC加是工一成块的锐正角方三形角零形件余，料那，么边 ABEC⊥=1P2N0．mm这，样高△ADA=8P0Nm的m，高要可把写它成们: 加工成正 A方D－形E零D=件AD，－使PN正．方再形由的△一AP边N∽在△BCA上BC，即其余 可两找个到顶P点N与分已别知在条AC件上的，关这系个。正方形零件的 边长是多少？
学生练习:P199 T
1.两个相似三角形对应边的比为7:5,第一个 三角形的周长为14, 则另一个三角形的周长 为___10__.
2.点D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中
点,则S△ABC=__4__ S△DEF C
分析:
DE DF EF 1 E
AB AC BC 2
A
F
SDEF 1 2 1 SABC 2 4
B`
K •K
K2
D`
C`
2
性质应用 例1
如图,已知△ABC∽△A`B`C`,它们的周长分 别是60cm和72cm且AB=15cm,B`C`=24cm．
求BC、AC、A`B` 、A`C`的长.
解:△ABC∽△A`B`C`
B
AB BC 60 (定理2)
A' B' B'C' 72
A
C
把AB=15cm，B`C`=24cm代入上式. B`
A
设正方形的边长为 x (mm)
PN ∥BC △APN∽ △ABC
P
EN
80㎜
AE PN AD BC
80 x x 80 120
(定理1)
解得x=48(mm)
B
Q
DM
C
3.3.1_相似三角形的性质和判定定理(1)
对应角相等即∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C
对应边成比例 相似三角形具有传递性
AD AE DE = = AB AC BC
练习
1.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为 AB=3cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC 4︰3 的相似比是____; 2.若△ABC的三条边长为3cm、5cm、6cm,与其相似 的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么 24cm △A′B′C′的最大边长是_____; 3.若△ABC 的三条边长 3cm,4cm,5cm,且 △ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的形状是直角三角形 .
3.3.1 相似三角形的性质 （一）
说一说 1.什么叫做全等三角形？ 2.全等三角形的对应边、对应角之间各有什么关系？
3.怎样判定两Байду номын сангаас三角形全等？
4.一组三角形还存在其他关系吗？
说一说
A
B′
A′
C′
B
C
把 △ABC的边AB,AC分别缩小到原来的一半得到 △A′B′C′
想一想？
同学们想一想这两个三角形的边，角都有什么 关系？以及三角形之间存在怎样的关系？
顶点的对应性：对应顶点一定要写在对应位 置，这样可以准确地找出相似三角形的对应 角和对应边.
E
B D C
F
探究
1.如图所示如果△ADE∽△ABC，那么 哪些角是对应角？哪些边是对应边？对C 应角有什么关系？对应边呢？ E
2.如果△ABC∽△A1B1C1， △ 2，那 A A1B1C1∽△ D A2B2CB 么△ABC与△A2B2C2相似吗？为什么？由此可得相 似三角形有什么性质？
探究
A
相似三角形的性质(1)
4.7相似三角形的性质（1）学习目标：1、探索、理解相似三角形的性质2、利用相似三角形的性质解决一些实际问题.重点：探索相似三角形的性质。
难点：针对不同的题型选择恰当的性质解决一些实际问题学习过程：一、回顾复习：1、什么样的两个三角形相似？相似三角形的相似比指的是什么？2、当两个相似三角形的相似比为1时，这两个三角形有何特殊的关系？3、全等三角形有哪些性质？三条主要的线段：对应高、对应中线、对应角平分线有何关系？二、新知探究：探究（1）：在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A/B/C/，CD和C/D/分别是它们的立柱。
1、试写出△ABC与△A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。
2、△ACD与△A/C/D/相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。
3、如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？探究（2）：如图：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，AD 平分∠BAC ，A /D /平分∠B /A /C /；E 、E /分别为BC 、B /C /的中点。
试探究AD 与 A /D /的比值关系，AE 与A /E /呢？（要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论）据此，你可以发现相似三角形怎样的性质？探究（3）：我们已经得到了相似三角形中特殊线段的关系，如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n 等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线，那么它们也具有特殊关系吗？下面请同学们独立探索以下问题：A BC D E A / / C /D /E /（3）你能得到哪些结论？达标练习：1．若△ABC ∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于( )A ．2∶3B ．3∶2C ．4∶9D ．9∶42．两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应中线之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶83．用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1 cm 变为5 cm ，那么看到的图形的高是原来的( )A ．5倍B ．15倍C ．25倍D ．1倍4．如图，△ABC ∽△A ′B′C′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD ＝4，A ′D ′＝3，BE ＝6，则B′E′的长为( )A.32B.52C.72D.925．两个相似三角形的相似比为1∶4，其中较小三角形某一条边上的中线为3，则较大三角形对应边上的中线为__ __．6．已知△ABC ∽△A′B′C′，AB ＝4 cm ，A ′B ′＝3 cm ，AD ，A ′D ′分别为△ABC 与△A′B′C′的中线，下列结论中：①AD ∶A ′D ′＝4∶3；②△ABD ∽△A′B′D′；③△ABD ∽△A′B′C′；④△ABC 与△A′B′C′对应边上的高之比为4∶3.其中结论正确的序号是__ __．7．我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员把食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm ，食指的长约为8 cm ，根据上述条件计算出敌方建筑物的高度．8．已知如图，△A′B′C′∽△ABC，且A′E′，AE是角平分线，A′D′，AD是中线．求证：△A′D′E′∽△ADE.9．(2014·绍兴改编)如图，有一块斜料△ABC，BC＝120 mm，高AD＝80 mm，将它加工成一个矩形的零件，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成，此时这个矩形零件的两边长又分别是多少mm?课后反思：。
4.7相似三角形的性质(1,2)
k 从上面可以看出当相似比＝k时，周长比＝____.
归纳：相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积
有什么关系呢？ 右图（ 1 ）（ 2 ）（ 3 ）分 别是边长为 1 、 2 、 3 的等 边三角形，它们都相似．
（2）与（1）的相似比＝________ 2:1 ， （2）与（1）的面积比＝________; 4:1 （3）与（1）的相似比＝________ 3:1 ， 9:1 （3）与（1）的面积比＝________. 从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝____ k2 .
课堂练习
5、已知，在△A B C 中，DE||BC, DE:BC=3:5 则(1)AD:DB= 3:2
(2)△ADE的面积:梯形DECB的面积= 9:16
(3)△A B C的面积为25，则 △A DE的面积= 9 。
例3：已知△ABC∽ △A´B ´C ´，BD和B ´D ´ 分别是△ABC和△A´B´C´中线，且AB＝10， A´B´＝2，BD＝6。求B´D´的长。
相似三角形的周长
有什么关系呢？ 右图（1）（2）（3）分 别是边长为1、2、3的等 边三角形，它们都相似． 2:1 ， （2）与（1）的相似比＝_________ 2:1 （2）与（1）的周长比＝_________; 3:1 ， （3）与（1）的相似比＝_________ 3:1 （3）与（1）的周长比＝_________.
AH k 求证： A1 H1
A
A1
B
H
C
B1
H1
C1
已知： 如图，△ABC∽△A1B1C1， 相似比
是k，AE、A1E1分别是△ABC、△A1B1C1 的中线 。
AE 求证： k A1 E1
相似三角形的性质 (1)(2)
2:1 （2）与（1）的相似比＝________________， 4:1 （2）与（1）的面积比＝________________; 3:1 （3）与（1）的相似比＝________________， （3）与（1）的面积比＝________________. 9:1 从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝______ k2
面积比为4:1
←→
BACK
课堂练习(2)
3、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则如 果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原 来的_____________倍； 10000 如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为 原来的_______________倍。 10
4、已知△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。 （1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为 18 cm； （2）若△ABC的面积为32 cm2 ，则△A′B′C′的面积 18 2。 为 cm
边：对应边成比例
角：对应角相等
问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值= BACK
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得 △A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 B′ △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD 与A′ D′有什么关系？ B (2)如右图两个相似三角形相似比 为k，则对应边上的高有什么关系 呢？__________ 说说你判断的理由是什么？ △A D C ∽△A′D′C′ ___________ D′
A′
C′
说说你判断的理由是什么？ ___________ △A E C ∽△A′E′C′
相似三角形的性质1
′ A 又 ∠AHB=∠A′H′B′= 90°
H
C
∴ △ABH∽△A′B′H′
AH AB ∴A H A B .
B′
H′
C′
类似地，我们可以得到其余两组对应边上的高的 比也等于相似比.
结论
由此我们得到：
相似三角形对应高的比等于相似比。
如图,△ABC∽△A′B′C′,AT和A′T′分别为对应 角∠BAC，∠ B′A′C′的角平分线，AD、A′D′ AT AB 分别△ABC、 △A′B′C′为的中线，那么 AT AB AD AB 成立吗？由此你能得出什么结论？ A D A B A A′ B′ C′
AD AB 求证： A D A B
A
A′ B′ C′
B
D
C
D′
相似三角形的性质：
相似三角形对应三角形对应边上的中线的比等 于相似比。
1.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么 它们的对应中线之比是（ ） A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 2.如果两个相似三角形对应高之比是9：16，那么 它们的相似比是（ ） A.3:4 B.4:3 C.16:9 D.9:16 3.如果两个相似三角形对应角平分线的比是2：3， 那么它们对应高的比是 .
A′ C′
B
T
C
A
T′
B
C
B′
D′
AT、 AT 分别为 已知，如图，已知△ABC∽△ ABC， 对应角∠BAC，∠ BAC 的角平分线.
AT AB . 求证： AT A B
A
A′ B′ C′
B
T
C
T′
已知如图△ABC∽△ ABC ， 若AD、 A D 分别为 △ABC ， △ ABC 的中线。