八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质练习人教版
第十六章二次根式
16.1 二次根式
第2课时二次根式的性质
一、选择题
1．下列计算正确的有( )．
①②③④
A．①②B．③④C．①③D．②④
2.的值等于（）
A. B.
C.1
D. -1
3.已知二次根式的值为3，那么x的值是（）
A.3
B.9
C.-3
D.3或-3
4．已知那么a的取值范围是( )．
A．B．C．D．
二、填空题
5．直接写出下列各式的结果：
(1)＝_______；(2)_______；(3)_______；
(4)_______；(5)_______；(6) _______．
6.已知2<x<5，化简：= .
7.如果是二次根式，那么点的坐标为 .
8.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 .
9.李东和赵梅在解答题目:“先化简，再求值:，其中a=10”时得出不同的答案. 李东的解答过程如下：
.
赵梅的解答过程如下：
(1) ___的解答是错误的；
(2) 错误的原因是 .
三、解答题
10.利用，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式；（1）16；（2）7；（3）1.5；（4）
11．计算下列各式：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）。
16.1二次根式培优训练人教版2024—2025学年八年级下册
16.1二次根式培优训练人教版2024—2025学年八年级下册一、知识点梳理： 1、二次根式的定义.一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。
两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥02、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数 ； （2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()⎪⎩⎪⎨⎧〈=〉==0_______0_______0_______2a a a a a二、典型例题：例1：x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）；（2）；（3）；（4）．（5）xx -+2)1(0小结：代数式有意义应考虑以下三个方面：（1）二次根式的被开方数为非负数。
（2）分式的分母不为0.（3）零指数幂、负整数指数幂的底数不能为0 例2.（1）化简：＝ ，＝ ；（2）若＝2﹣x ，则x 的取值范围为 ；（3）已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简﹣|c ﹣a |+．变式1.若x 为实数，求的值．变式2.若实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示， 试化简：﹣|b +c |﹣﹣．变式3.有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：．变式4.在△ABC 中，a,b,c 是三角形的三边长，试化简()b a c c b a ---+-22。
变式5.已知：x ，y 为实数，且，化简：．例3.（1）已知，则a +b 的值为 ；（2）若x ，y 为实数，且，求x +y 的值；（3）已知01442=-+++-y x y y ，求xy 的值．二次根式的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果小结：（1）常见的非负数有：a,2a,a（2）几个非负数之和等于 0，则这几个非负数都为0.变式1.如果成立，则xy＝．变式2.已知x，y为实数，且，则＝．变式3已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足a＝2+6，求此三角形的周长．变式4.若x，y为有理数，．则求xy的平方根．变式5.已知x、y是实数，且，求的值．变式6.若，求4（x+y）的立方根．变式7.若x、y满足．（1）求出x和y的值；（2）求：（x+y）（x﹣y）的值．例 4.已知实数a 满足，那么a ﹣20242的值是 ．变式1.若实数a 满足，求a +99的值．变式2.已知|1﹣x |+＝x ，求x 的值．变式3已知|99﹣a |．求a ﹣992的值．例5.已知：11a a +=+221a a+的值。
16.1二次根式第2课时用
16.1二次根式的性质
复习回忆
二次根式的定义:
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式 .
二次根式的性质:
a 0, a 0 （双重非负性 .
1.要使下列式子有意义，x需要满足什么 条件？
(1) 3 x
1 (3) 2x 5
( 2) x 3 8 x ( 4) x 2 2 x
4.真正理解：
a a
2
a
2
a(a 0)
a(a 0) 0(a 0) a(a 0)
这两个性质的概念，
我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。
5. a 0, a 0 （双重非负性） .
解决二次根式类问题时特别注意条件， 有时还得挖掘隐含条件。
( 5) x 2 2 x 1
(
4 )2 4
( 0 )2
0
( 0.01) 2 0.01
a a
2
1 1 2 ( ) 3 3
(a≥0)
一般地,二次根式有下面的性质:
a
快 速 判 断
2
a
2(Βιβλιοθήκη 0)21 2 1 2 1 2 3 2 ______, 3 2 ________, 3 ______, 7 3 7 3
代数式 我们称这样的式子为 .
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？ 分母不为0 被开方数大于等于0 结合数轴,写出解集来
2020届人教版八年级数学下册 16.1二次根式(2)同步练习(含解析)
１６．１ 二次根式(2)同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点 1.二次根式的性质及应用 (１))２＝a( a≥０ ),反过来可得到a ＝)２(a≥０)．(２)＝|a|＝ ,2.用基本的运算符号将数或表示数的字母连接起来的式子,叫做代数式 基础知识和能力拓展训练 一、选择题 1()23-的结果是（）A.9B.3C.-3D.±3 238（） 2436322316（ ） A.8B.﹣8C.﹣4D.44．下列运算正确的是（ ）163-8﹣2(-2)﹣19+4=3+125．下列式子正确的是（）2(9)9-=-255=±2(1)1-= D.2(2)2-=-6．化简（1-x 11x - ） 1x --1x -1x -1x -7．在数轴上实数a ，b 的位置如上图所示，化简|a+b|+2a-b （）的结果是（ ）A.﹣2a ﹣bB.﹣2a+bC.﹣2bD.﹣2a8．若5n +是整数，则正整数n 的最小值是（ ） A.2B.3C.4D.59．实数32-的绝对值是（ ） A.32- B.23- C.32+ D.1 10．若()424A a =+，则A =（）A.24a + B.22a + C.()222a + D.()224a + 二、填空题 11．若a ＜1，化简()211a --＝_________．12．已知xy ＜0，化简二次根式x 2yx -的正确结果为 ． 13．能够说明“2x =x 不成立”的x 的值是__（写出一个即可）． 14．当__________x 时，()21x -是二次根式．15．化简：a= ．16．()22130,a b c a b c ++-+-=++=则_______________。
三、解答题 17.计算：18.阅读下面的文字后,回答问题．小军和小红在解答题目“先化简,再求值:a ＋,其中a ＝９”时给出了不同的解答,你知道小军和小红的解答谁的是错误的吗?错在哪里?19．已知实数在数轴上如图，化简()22a ab ac b c -++-+-的值20．(1)当15a =，求211a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值．(2)当0<x<3时，化简()()223211x x x --+++．21．计算：= ，= ，= ，= ，= ，（1）根据计算结果，回答：一定等于a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算：．22．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a ＋b＝(m ＋n)2(其中a 、b 、m 、n 均为整数)，则有a ＋b＝m 2＋2n 2＋2mn.∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn .这样小明就找到了一种把部分a ＋b 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a ＋b ＝(m ＋n)2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得a ＝________，b ＝________； (2)试着把7+4化成一个完全平方式.（3）请化简：．23．选取二次三项式()20ax bx c a ++≠中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：①选取二次项和一次项配方：()224925x x x -+=-+；②选取二次项和常数项配方：()224932x x x x -+=-+，或()2249310x x x x -+=+-③选取一次项和常数项配方：2222549339x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭根据上述材料，解决下面问题：（1）写出2616x x ++的两种不同形式的配方；（2）已知2245-4-840x y xy y ++=，求参考答案 1．B3==，故选B ．2．C=故选：C.点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是明确最简二次根式的条件，被开方数中不含有开方开不尽的数，分母中不含有二次根号，根号中不含有分母. 3．D4=，故选D. 4．B【解析】试题解析：=4，故原选项错误；﹣2，故该选项正确；，故原选项错误；，故原选项错误. 故选B. 5．C【解析】9=，故A 选项错误；5=，故B 选项错误；1=，正确；D.2(2=，故D 选项错误，故选C. 6．B【解析】解：（1﹣x B ． 点睛：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出二次根式整体的符号是解题关键．7．D【解析】如图所示：可得，a+b<0，a −b<0， 故原式=−(a+b)−(a −b)=−2a. 故选：D.点睛：此题考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确得出各项符号是解题的关键. 8．Cn 为正整数，∴n ≥0，∴n+5≥5，5+n 为9，16等等，即n 的值为4，11等等，∴正整数n 的最小值是4，故选C ．点睛：本题考查了二次根式的定义和性质，注意：n 是正整数可以得出n ≥0，n +5是一个完全平方数． 9．B【解析】2|2=选B. 10．A【解析】()224A a ==+24a ==+.故选A ．11．-a【解析】∵a ＜1， ∴a -1<0,1=-(a -1)-1=-a +1-1=-a12．【解析】∵xy ＜0， ∴y ＜0，x ＞0，∴原式．． 13．-1x =，∴x x =不成立，则x ≤0．故答案不唯一，只要x ≤0即可，如：-1．故答案为：答案不唯一，只要x ≤0即可，如：-1． 14．为任意实数【解析】解：﹙1－x ﹚2是恒大于等于0的，不论x 的取值，都恒大于等于0，所以x 为任意实数．故答案为：为任意实数． 15．-a -【解析】试题解析：由题意可得：0.a <211.a a a a a ⎛⎫∴-=-⨯-=-- ⎪⎝⎭故答案为：.a -- 16．2【解析】试题分析：几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零．根据题意可得：a+2=0，b-1=0，3-c=0，解得：a=-2，b=1，c=3，则a+b+c=-2+1+3=2．点睛：本题主要考查的就是非负数的性质的应用，几个非负数的和为零，则每一个非负数都是零．在初中阶段我们所学的运算结果为非负数有以下几种：①、平方；②、绝对值；③、算术平方根．非负数性质的应用我们也经常会运用在判定三角形形状的题目中，我们都会采用完全平方公式进行配方转化为非负数的和的形式，然后进行解答．17.（1）解：原式＝４－３＋３×－６＝－４（2）解：原式＝×５－×－４＝１18. 解：小军的解答错误． ∵a ＝９,１－a ＜０, ∴＝a －１19．2c-a.【解析】试题分析：由图可知：0b a c <<<，从而可得：000a b a c b c +<-<-<，，，然后根据“绝对值的意义”化简即可. 试题解析：∵从数轴可知：0b a c <<<，∴000a b a c b c +<-<-<，，， ∴()22a ab ac b c -++-+-=()()()a a b a c b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---++--+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ =a a b c a c b -+++-+- =2c a -.点睛：解这类时，首先要从数轴上获取所涉及的数的大小和正、负信息；若绝对值符号里（或被开方数中）涉及到异号两数和的还要从数轴上获取两数绝对值的大小关系；然后根据所获取的信息确定好绝对值符号里各个式子的符号，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号化简. 20．(1)495； (2)-2x+3．【解析】试题分析：(1)先根据二次根式的性质进行化简，然后再代入求值即可； （2）根据二次根式的性质得出|x-3|-|2x+1|+|x+1|，去掉绝对值符号，合并即可． 试题解析：(1)当15a =时，11454055a a -=-=>． 所以21111112a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-=+-=+-=- ⎪⎝⎭.当15a =时，原式=1449109555-=＝． (2)当0<x<3时,x-3<0,2x+1>0,x+1>0，()()223211x x x --+++=|x-3|-|2x+1|+|x+1| =-（x-3）-(2x+1)+(x+1) =-2x+3．21．3；0.7；0；6；，（1）|a|（2）-3.14 【解析】原式各项计算得到结果；（1）不一定等于a ，=|a|；（2）原式利用得出规律计算即可得到结果．解：=3，=0.7，=0，=6，=，（1）=|a|；（2）原式=|3.14-π|=π-3.14．故答案为：3；0.7；0；6；．“点睛”此题考查了算术平方根，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键． 22．(1)m 2+3n 2；2mn ；（2）（2+）2；（3）3+【解析】试题分析：（1）利用已知直接去括号进而得出a ，b 的值； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可． 试题解析： （1）∵a+b =（m+n）2，∴a+b=（m+n）2=m 2+3n 2+2mn ，∴a=m 2+3n 2，b=2mn ； 故答案为：m 2+3n 2；2mn ； （2）7+4=（2+）2；故答案为：（2+）2； （3）∵12+6=（3+）2，∴＝＝3+．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式化简是解题关键．23．（1）23)7x ++（（22【解析】试题分析：（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次项和常数项在一起进行配方即可．（2）根据配方法的步骤把2245-4-840x y xy y ++=变形为()222)410x y y -+-=（，再根据2x-y=0，y-1=0，求出x ，y 化简后代入求值即可． （1）答案不唯一．如23)7x ++（，24)2x x +-（，()2414x x -+,22374416x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． （2）∵2245-4-840x y xy y ++=，∴()222)410x y y -+-=（．∴1,12x y ==．∴． 点睛：本题考查了配方法的应用，根据配方法的步骤和完全平方公式：a 2±2ab+b 2=（a±b）2进行配方是解题的关键，是一道基础题．。
人教版数学八年级下册第16章 二次根式 随堂测试题含答案
word 版 学初中数16.1《二次根式》一、选择题1.已知 是二次根式，则 x、y 应满足的条件是（）A.x≥0 且 y≥0B.C.x≥0 且 y>0D.2.当 a＜3 时，化简的结果是（ ）A.-1B.1C.2a-7D.7-2a3.化简的结果是（ ）A.y-2xB.yC.2x-y4.下列根式中属最简二次根式的是（ ）D.-yA.B.C.D.5.在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ）A.B.C.D.6.给出下列各式：；其中成立的是( )A.①③④B.①②④7.下列式子中，二次根式的个数是（C.②③④ ）D.①②③⑴ ；⑵ ；⑶；⑷ ；⑸；⑹；⑺.A.2B.3C.4D.58.在根式①，② ，③，④中最简二次根式是（ ）A.①②B.③④C.①③D.①④9.若 a＜0，则的值为（ ）A.3B.﹣3C.3﹣2aD.2a﹣310.若代数式有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）A.x≥1B.x≥2C.x＞1D.x＞211.已知, 则 2xy 的值为( )A.-15 12.若 y2+4y+4+A.﹣6B.15C.-7.5＝0，则 yx 的值为（B.﹣8C.6D.7.5 ）D.81 / 14word 版 学二、填空题 13.若是二次根式，则点 A(x,6)的坐标为_____.14.要使等式成立，则 x=________.15.当____时,式子有意义.16.已知 n 是正整数， 189 n 是整数，则 n 的最小值是.17.如图，数轴上点 A 表示的数为 a，化简：.初中数18.已知，当分别取 1，2，3，……，2020 时，所对应 y 值总和是_______.三、解答题 19.比较大小：与.20.已知互为相反数，求 ab 的值.21.已知：实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a﹣b|.22.已知：=0，求实数 a，b 的值. 2 / 14word 版 学23.已知 a、b 满足等式.（1）求出 a、b 的值分别是多少？（2）试求的值.初中数24.已知 x，y 为实数，且满足，求 x -y 2020 2020 的值.3 / 14word 版 学初中数1.答案为：D 2.答案为：D 3.答案为：B 4.答案为：A 5.答案为：B 6.答案为：A 7.答案为：C 8.答案为：C 9.答案为：A. 10.答案为：B. 11.答案为：A 12.答案为：B 13.答案为（-3，6）. 14.答案为：4. 15.答案为：3≤x＜5. 16.答案为：21. 17.答案为：2. 18.答案为：2032.19.解：参考答案.因为所以，所以.20.原式=7 21.解：由数轴上点的位置关系，得﹣1＜a＜0＜b＜1.﹣|a﹣b|=a+1+2（1﹣b）﹣（b﹣a） =a+1+2﹣2b﹣b+a =2a﹣3b+3. 22.解：由题意得，3a﹣b=0，a2﹣49=0，a+7≠0，解得，a=7，b=21. 23.解：（1）由题意得，2a﹣6≥0 且 9﹣3a≥0， 解得 a≥3 且 a≤3，所以，a=3，b=﹣9；（2） ﹣ + =﹣+=6﹣9﹣3=﹣6.24.解：∵∴+=0∴1+x=0,1-y=0,解得 x=-1,y=1, X2018-y2018=(-1)2018-12018=1-1=0.人教版八年级下册 16.2 《二次根式的乘除》一．选择题1．将 化简后的结果是（ ）4 / 14word 版 学A．2B．C．22．计算（﹣ ）2 的结果是（ ）A．﹣6B．6C．±63．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A．B．C．4．+（）2 的值为（ ）A．0B．2a﹣4C．4﹣2a5．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简D．4 D．36 D．初中数D．2a﹣4 或 4﹣2a 的结果为（ ）A．b﹣aB．a+bC．ab6．已知 x＝ +1，y＝ ﹣1，则 xy 的值为（ ）A．8B．48C．27．化简的结果是（ ）A．B．C．二．填空题8．计算：的结果是．9．化简 ＝．10．将 化成最简二次根式为．11．化简：＝．12．计算：• （x＞0）＝．三．解答题（共 6 小题） 13．把下列二次根式化成最简二次根式（1）（2）D．2a﹣b D．6 D．（3）5 / 14word 版 学14．计算： ×4 ÷ ．15．计算：•．16．计算：•（﹣）÷（a＞0）．17．化简：．18．实数在数轴上的位置如图所示，化简：|a﹣b|﹣ ．参考答案 一．选择题 1．解： ＝故选：C．＝2 ，6 / 14初中数word 版 学2．解：（﹣ ）2＝6，故选：B 3．解：A、． ＝5，故此选项错误；B、 是最简二次根式，故此选项正确；C、 ＝ ，故此选项错误；D、 ＝2 故选：B．，故此选项错误；4．解：要使有意义，必须 2﹣a≥0，解得，a≤2，则原式＝2﹣a+2﹣a＝4﹣2a，故选：C．5．解：由数轴得 a＜﹣1，b＞0，所以原式＝|a|+|b|＝﹣a+b．故选：A．6．解：当 x＝ +1，y＝ ﹣1 时，xy＝（ +1）（ ﹣1）＝（ ）2﹣12＝7﹣1 ＝6， 故选：D．7．解：∵ ＞0，∴b＜0， b ＝﹣＝﹣ ．故选：D． 二．填空题 8．解：原式＝ × ＝6 ．故答案为：6 ．7 / 14初中数word 版 学9．解：原式＝＝ ＝2 ，故答案为：2 ． 10．解： ＝ ，故答案为： ．11．解：因为 ＞1，所以＝ ﹣1故答案为： ﹣1．12．解：•（x＞0）＝＝＝4xy2． 故答案为：4xy2． 三．解答题（共 6 小题）13．解：（1）＝；（2） ＝4 ；（3）＝＝．14．解：原式＝2 ×4× ÷4 ＝8 ÷4 ＝2．15．解：原式＝ × ×2＝ ＝x2． 16．解：原式＝＝8 / 14初中数word 版 学＝＝．初中数17．解：原式＝＝+．18．解：由数轴可知：a＜0，b＞0，a﹣b＜0 所以|a﹣b|﹣ ＝|a﹣b|﹣|b|＝b﹣a﹣b＝﹣a．16.3 二次根式的加减一．选择题1．下列二次根式与 2 可以合并的是（A．3B．2．下列计算中，正确的是（ ）） C．A． + ＝B．＝﹣3 C． ＝3．计算： ﹣ ＝（ ）D．12 D．3 ﹣ ＝2A．﹣B．0C．D．4．已知 是整数，则 n 的值不可能是（ ）A．2B．8C．32D．405．如图，从一个大正方形中裁去面积为 16cm2 和 24cm2 的两个小正方形，则余下的面积为（ ）A．16 cm2 6．计算 ÷ •B．40 cm2C．8 cm2（a＞0，b＞0）的结果是（ ）A．B．C．7．已知 a＝2+ A．12，b＝2﹣ ，则 a2+b2 的值为（ ）B．14C．16 9 / 14D．（2 +4）cm2 D．b D．18word 版 学8．计算的结果是（ ）A．0B．C．9．如果与A．0二．填空题10．化简：11．计算：的和等于 3 ，那么 a 的值是（ ）B．1C．2的结果为．＝．12．计算（5 ）（ 2）＝．三．解答题13．（1）2 ﹣6 ；（2）（）﹣（ ﹣ ）．14．计算． （1） ﹣ + ． （2） × ﹣ +（ ﹣1）0．（3） ÷ ﹣4 +．（4）（ ﹣2）2+（ ）﹣1﹣（ ）2．15．已知 a＝ ﹣ ，b＝ + ，求值：（1） + ；（2）a2b+ab2．16．已知长方形的长为 a，宽为 b，且 a＝，b＝．（1）求长方形的周长； （2）当 S 长方形＝S 正方形时，求正方形的周长．D． D．3初中数10 / 14word 版 学初中数参考答案一．选择题1．解：A、3 与 2 被开方数不相等，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、 ＝2 与 2 被开方数不相等，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、 与 2 被开方数不相等，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、12 与 2 被开方数相等，是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D．2．解：A、 + ＝ +2，无法合并，故此选项错误；B、＝3，故此选项错误；C、 ＝1，故此选项错误；D、3 ﹣ ＝2 ，正确．故选：D．3．解：原式＝ ﹣ ＝0．故选：B．4．解：A、当 n＝2 时， ＝2，是整数；B、当 n＝8 时， ＝4，是整数；C、当 n＝32 时， ＝8，是整数；D、当 n＝40 时， ＝ ＝4 ，不是整数；故选：D．5．解：从一个大正方形中裁去面积为 16cm2 和 24cm2 的两个小正方形，大正方形的边长是 + ＝4+2 ， 留下部分（即阴影部分）的面积是（4+2 ）2﹣16﹣24＝16+16+24﹣16﹣24＝16 （cm2）．故选：A ．6．解：原式＝×＝11 / 14word 版 学＝．故选：A． 7．解：∵a＝2+ ，b＝2﹣ ，∴a+b＝4，ab＝4﹣3＝1， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×1＝14． 故选：B． 8．解：原式＝＝＝．故选：B．9．解：∵与 ＝2 的和等于 3 ，∴＝3 ﹣2 ＝ ，故 a+1＝3，则 a＝2．故选：C．二．填空题10．解：原式＝3 ﹣4 + ＝0．故答案为：0．11．解：原式＝[（ +2）（ ﹣2）]2020•（ ＝（3﹣4）2020•（ ﹣2）﹣2）＝ ﹣2．故答案为 ﹣2．12．解：原式＝5 +10﹣3﹣2 ＝7+3 ，故答案为：7+3 ． 三．解答题13．解：（1）原式＝﹣4 ；12 / 14初中数word 版 学初中数（2）原式＝2 + ﹣ +＝3 + ．14．解：（1）原式＝ ﹣2 +3＝2 ；（2）原式＝﹣ +1＝2 ﹣ +1 ＝ +1； （3）原式＝﹣2 +2＝2 ﹣2 +2 ＝2；（4）原式＝5﹣4 +4+5﹣5 ＝9﹣4 ． 15．解：∵a＝ ﹣ ，b＝ + ， ∴a+b＝（ ﹣ ）+（ + ）＝2 ，ab＝（ ﹣ ）（ + ）＝2，（1） +＝＝＝＝＝12； （2）a2b+ab2 ＝ab（a+b） ＝2×2 ＝4 ．13 / 14word 版 学16．解：（1）∵a＝＝ ，b＝＝2 ，∴长方形的周长是：2（a+b）＝2（ +2 ）＝；（2）设正方形的边长为 x，则有 x2＝ab，∴x＝ ＝＝＝ ，∴正方形的周长是 4x＝12 ．初中数14 / 14。
人教版】八年级数学下册课后习题参考答案
教材练习答案95枷一答案全解全析一一教材练习答案第十六章二次根式16.1 二次根式当V'-20过.,=J 尽.fi .I 案长方形的长为3打a m,宽为2.ff CIII. 3 16.2 二次根式的乘除；线习I ， 案(l )a ,;,:l.(2)a 云－一.(3).,=e:0.(4)吓至52 : I . 答案(I) ./io.(2)6.(3)2/3.(4)2. 2 !2答案(1)77.(2)15.(3)2尔(4)41,c尽案(1)3.(2)18.I I !3答案长方形的面积为./iox2.fi =2 ,/20 =4./5. 案(I )0.3.(2)一.(3)-1r.(4)一．7 10 ；讼习2r 16.1 .fJ ; L答案(1)3.(2)打.(3)—.(4)2a . 巩囚3 t : 岛2./3累(1)(1;.,-2,(2)咚3.(3)心0.(4)u,"-一·,: 2, 答案(I)4./i , (2) 2 ./i飞(3)一.(4)一一．2 :2 3 2 案(1)5.(2)0.2.(3)一.(4)125.(5) 10, . : 3答案8项7 a =一·2 2 ) 14. (7)一.(8)一一；习题16.23 5 ：妇邓民(I)设圆的半径为r,r=乒'TT 1 1. 答案(I) 18./f. (2)-3项(3)30顶.(4)24./5.3 2 ）长方形的两条邻边长分别为2Jf 和3ff .: : 2-答案(I )一.(2)2打(3).fi .(4)一石．2 3 ； 3. 答案(1)./4可可=14.(2)./3丙=10扛足(1)9=(./9)2.(2)5=(苏忱i 刊行），(6)0•(而）! 4答案：'.,�(2)二'.;,)五""石(6).../i 心＝（平）'.(4)0.25=(./o.2汀．白m 乒2..(4)工王运川 2 30·3 4+, 斥良r =邓.J 5. 答案(I)2 /i 百(2)一一．2 尽AB=./6.良(I ).t'取任恁实数(2)人，取任戏实数．！综合运）”I心0.(4)"">一I.! 6. 答案(l )S丑尽(2)S=240.! 7. 答案(l )a =S 丘(2)ri =l l ./i 尽l "J了，当I 户10和h =25时，小球格地所用的时间； 6 3 I ; ＆答案(I)一.(2)一.(3)一.(4)IS. 5 2 3 111为汇，汇深索l?. 答案乒=-E... 旦旦=0.707售良(l )自然数I I 的位为2或9或14或17或J S.: 2 2 2 正整数n的记小伉应处6.: ./8 = 2.fi•2x 1.414立2.828.厂．＂丐10石案,=-; 10答案当S=4.ff ,": ./IT时心=-.5尸/1'＝玩时户一＝一·JO'!T 2' 哼: 11答案当V=4打.I,=3.fi 时S =-.2./6 , 3 i 拓广探索=I 阮时，r ='I 尼心l ;; 12.答案彷下部分的面积为12.Ji万c ni '.-.. ＿．一,,.I --C 令迈颈拐嘈吝JJ i./事2二S J 1J【人教版】八年级数学下册课后习题参考答案式加S0%+75x 30%+45x 20%寸6.5,=SOxS0%+60心0%+85X20%:60,；问5甲云乙,:.应该录取乙．案(I )这个月中午]2时的平均气温约是2尸C .）频数分布表如下·气温x划记驳数12云王<16正T ？ !6�s <20if 4 叨!!f,x<:24正下s 凶云.1:<28订： 4 28-. 工<32正T 7 合汁30 30 据柲数分布x7+!8x4+22X8立6x4+30X730=22('C). 个结果与(1)中的结果相差不大．平均数反映的是一组数据平均水平，是一个统计估计扯案(1)出售时这些鸡的平均质址约是1.5挫g.,）质让在1.5k g 的鸡朵牛）中间的应址是1.5kg.案平均速度为52千米I时多数车以笠千米I时的速度行驶：速的中位数:IJ:52于米I吐探索案平均数为4.6;众数为4.9;中位数为4.位从20.2 数据的波动程度I d 案条形图略．）平均数为6,方差为O;4 ）平均数为6,方差为-;7 44 ）平均数为6,方差为一飞7 54 ）平均数为6,方必为一．7 疫越大，数据的波动起大．方差越小．数据的波动越小案方必心大．'·2 案甲运动员的成绩更栳定，应该选择甲运动员参赛．i 20.2 巩冈案(l )甲lO 天中平均每天出的次品数为I.S,10天中平均每天出的次品数为1立10天内次品数的方这为斗..1.65, 10天内次品数的方边为立..0. 76. ）在10天中．乙机床出次品的早均数较小｀且出次品的波 较小谝案 (1)甲包装机包装的佣果平均每袋的顶从为沁t 8 g , 包装机包装的糖果平均每袋的职址为5凶8 g. 教材练习答案105 甲包装机包装的捎果屈111:的方差斗=15.76,乙包装机包装的糖果屈址的方差斗=S .56.(2)由斗>&1.可知乙台包装机包装的IO袋耕果的质批比较稳定．！综合运川!3. 答案(L )甲种小安的平均苗环为"ll t n l ,｝ 乙种小友的平均苗科为13cm. r <2)甲种小麦苗高的方必：心=3.6.｝ 乙种小麦苗商的方差：心=15.8.: ,It : 2 5平<.1乙可知甲种小麦的长势比较整齐．1 l 4答案(l):i =一cM+S .9+s.s+s .9+S.6+s . 7) ... s .s s,, 6 i =一[{9.4-8.88,)'-t (8.9-8.88),><21-(8.8-8.88)1 + (8.6-6 8.88:)'+(8. 7-8心8)')... 0.06圈I (2)云.,,_一(8暮9+8.8+8.9+8妯7)-S.83.4 i =一((8.9-8.83)'+(&.8一8.83)1 + (8, 9一8,83)'书·(:B.7一4 8.83)'] .... 0.01. (3)去掉一个朵祁分和一个见低分统计平均分的方法更合理拓广探索5路．复习题20红习巩固L 答案样本平均数约为1.17k g , 估计水库中这种鱼的平均攸址为1.17k g . 2答案这四个小组平均正确回答约12道题目．3答案在该时段中，平均约有195辆汽车通过这个路口．4, 答案(,))平均数为6003.S;中位数为4300; 众数为2550.(2)14名员工的月平均工资足6003.5元；有一半员工的月饼在4300元以下．月薪为2550元的员工攸多s . 答案(l )A城市的年平均气温为4'C ;B城市的年平均气温为20'C .('2) ,\城市四季平均气沮的方差为s;= 127.5;B城市四季平均气温的方差为$�.,53,25.由$!>.斗可知B 城市四季的平均气温较为接近良坎合运用6答案A股菜某周收盘价格的平均数为11.53;B 股栗某周收盘价柲的平均数为13.95;A股踝某周收盘价格的方必为0.07.l B 股栗某周收盘价格的方差为0.23.！ 由＄：心；可知在这段时间内B 种股票的涨跌幅度较大i 1答案(I)甲炮所发射的炮弹落点与目标的距离的平均数为3.2 Iii ； 乙炮所发射的炮评路点与目标的距离的平均数为4皿: (2)斗=45. 76,51 = 92. 因为斗＜主，所以甲炮射击的准确！ 性好；拓广探索; 8略．�9. 略．。
16.1二次根式2课时
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0
用a (a≥0)表示.
求下列各数的平方根和算术平方根. 9的平方根 3 ，算术平方根
方法构想
X ≠－ 1
3 2
一个式子中： 若含有几个二次根式，则要求所有被开方数大于等于0； 若含有分式，则要求分母的值不等于0； 若含有零指数或负指数次幂，则要求其底数不为0.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 (a≥0) 2 3 a 3 （a取任意实数）
方法构想
1 1 2 (a ) 1 2a 2
0.64的平方根 0.8 ，算术平方根
3
0.8 0
0的平方根
0 ，算术平方根
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2
2
x 2 x 1，其中x=- 3
2
m4 思考：若 ( m 4 ) 2 m 4, 则 m 的取值范围是 _________ m4 思考：若 ( m 4 ) 2 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
想一想： 甲、乙两人计算当a = - 1.5时 a -
1 ）也 3, 2
且根号内含有字母的代数式叫做二次根式，为了方便起
见，我们把一个数的算术平方根（如其中 叫做二次根式，
2023-2024学年人教版八年级数学下册课件16.1 二次根式第2课时 算术平方根及化简
=____=
ቊ
− < 0 .
典例分享
例 实数，，在数轴上的位置如图16.1-1所示，化简：
2 − − +
+ 2.
图16.1-1
[答案] 解 由图16.1-1可知， < −1， > 1，−1 < < 0，所以
+ > 0， − < 0.
所以 2 = −，− − = − ，
2−
2
+
−4
2
= 2，求的取值.
解：原式= − 2 + − 4 ，
当 < 2时，原式= 2 − + 4 − = 6 − 2 = 2，解得 = 2
（舍去）；
当2 ≤ < 4时，原式= − 2 + 4 − = 2，等式恒成立；
当 ≥ 4时，原式= − 2 + − 4 = 2 − 6 = 2，解得 = 4.
8.计算：
6
（1） 36 =___.
（2）
5
2
5
=___.
（3） −
2
0.5
=____.
1
−
=____.
3
（5）
（6）
（7）
（8）
2
3
2
−5
2
=__.
9
2
5
=___.
2−3
2− 3
2
3− 2
=_______.
2 023
2+ 3
2 024
− 2− 3
=__________.
人教版八年级数学下册课件
第十六章 二次根式
最新人教版八年级下册数学培优训练第十六章二次根式第一节第二课时 二次根式的性质
新知基本功
8．【教材P5习题T2变式】计算： (1)【2021·柳州】|－3|－ 9 ＋1；
解：原式＝3－3＋1＝1.
(2)－12
22＋
－122；
原式＝14×2＋12＝1.
(3) （π－4）2＋ （π－3）2.
原式＝4－π＋π－3＝1.
新知基本功
9．用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和 开方)把_数__或__表__示__数__的__字__母___连接起来的式子，我们称 这样的式子为代数式．
新知基本功
10．下列式子中，属于代数式的有( A )
①0； ②x； ③x＋2； ④2x；
⑤x＝2; ⑥x＞2; ⑦
x2；＋1⑧x≠2.
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
新知基本功
11．【2021·自贡】已知x2－3x－12＝0，则代数式－3x2＋9x
＋5的值是( B )
A．31
B．－31
C．41
D．－41
人教版 八年级下
第十六章 二次根式
16.1 二次根式 第2课时 二次根式的性质
习题链接
提示：点击 进入习题
1 本身；平方 2B
3D 4 ≥0；≤0；－a；|a| 5A
6B
答案显示
7A 8 见习题
9 数或表示数的字母
10 A
习题链接ห้องสมุดไป่ตู้
11 B 12 2n＋1 13 见习题 14 D 15 D
16 见习题 17 见习题
精彩一题
解： （x＋1）2＝|x＋1|， （x－2）2＝|x－2|， 令 x＋1＝0，得 x＝－1， 令 x－2＝0，得 x＝2， ∴ （x＋1）2的零点值为－1， （x－2）2的零点值为 2.
最新 练习16.1 二次根式 课后练习 2021—2022学年人教版八年级数学下册
第十六章二次根式 16.1 二次根式课后练习一、选择题1．在平面直角坐标系内有一点P （x ，y ），已知x ，y|3y ＋5|＝0，则点P 所在的象限是（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列式子一定是二次根式的是（） ABCD3．已知下列各式：，其中二次根式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若a=5，则下列各式是二次根式的是( ) A BC ．D ．5是整数，则n 的值不可能是（） A ．2B ．8C ．32D ．406A ．对于任意实数，它表示的算术平方根B ．对于正实数，它表示的算术平方根C ．对于正实数，它表示的平方根D ．对于非负实数，它表示的算术平方根7．马大哈做题很快，但经常不仔细思考，所以往往错误率很高，有一次做了四个题，但只做对了一个，他做对的是（） A ．a 8÷a 4=a 2B ．a 3a 4=a 12C 2D ．2x 3x 2=2x 58．若最简二次根式a 、b 的值分别是（ ） A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和19．下列各式中，正确的是（）A 3-B ．3=-C 3=±D 3±10．实数a ，b a b a b -++的结果是（）A ．21a b -+B ．21a b -+C ．21a b -+-D ．21a b +-二、填空题11．若实数a ，b 满足关系式24a b +=，则ab =______．12．如果二次根式与是同类二次根式，那么满足条件的中最小正整数是________．13．已知，则x= __________ ．14．要使式子有意义，则a 的取值范围是___．15．已知y ＝12x ＋3y 的算术平方根为_____． 三、解答题16．观察下列各等式：a 52-2a 32-⎛⎫ ⎪⎝⎭a a a a a a a a 3a①x 1311212==+⨯；②x 2711623=+⨯；③x 313111234==+⨯，……． （1）根据以上规律，请写出第4个等式：；（2）请利用你所发现的规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 90﹣91．17．实数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x ，求代数式2x18．已知a 、b 、c a ﹣c +1|a +b +c 的平方根．19．已知x ，y 为实数，是否存在实数m 55x y --求出m 的值；如果不存在，说明理由． 20．先观察下列等式，再回答问题111111112+-=+；111112216+-=+；1111133112=+-=+．（1． （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式（n 为正整数）． 21．已知方程组的解满足x 为负数，y 为非正数（1）求m 的取值范围； （2）化简（3）在第（1）小题的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2mx-x<2m-1的解集为x>1? 22．根据要求，解答问题． （1）观察下列各式：，，，……根据以上规律，你所发现的结论为（n 为正整数）；（2）当时，由你发现的结论可得，并验证时结论的正确性；（3）计算：．23．观察下列各式及其验证过程：，验证：．，验证：．（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且）表示的等式，并进行验证；（3）用a（a为任意自然数，且）写出三次根式的类似规律，并进行验证．【参考答案】1．D2．C3．D4．B5．D6．D7．D8．D9．B10．C11．12．413．714．a≥﹣3且a≠±1．15．216．（1）42111 2045x===+⨯；（2）191-17．818．．19．存在，720．（1）111441+-+，1120，11119191+-+，11380；（2）11(1)n n++21．（1）；（2）1-2m；（3）0 22．（1）1+；（2）；（3）8 23．（1）；（2）；（3）.勾股定理的逆定理一、选择题1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A.三个内角比为1∶2∶1B.三边之比为1∶2∶5C.三边之比为3∶2∶5D. 三个内角比为1∶2∶32.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是 a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠B=∠C-∠AB.a2 = (b+c) (b-c)C.∠A：∠B：∠C=5 ：4 ：3D.a : b : c=5 : 4 : 33.已知四个三角形分别满足下列条件：①三角形的三边之比为1：1：；②三角形的三边分别是9、40、41；③三角形三内角之比为1：2：3；④三角形一边上的中线等于这边的一半。
16.1+二次根式+课件+2024-2025学年人教版数学八年级下册
0.01
4
9
0
a a(a 0)
2
2
算术平方根
…
观察两者有什么关系？
a
2
0.1
1
3
0
…
思考：当a＜0时，问题3中的结论还成立吗？
a(a＜0)
﹣2
﹣0.1
2
3
﹣3
…
平方运算
a2
4
0.01
4
9
3
2
算术平方根
…
a 2 a(a 0)
a
2
0.1
1
3
3
…
归纳小结
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
有“=”“>”或“<”等.
当堂检测
1. 求出下列各式中字母 a 的取值范围：
（1） − 1
解：（1） a ≥ 1.
3−2
+1
（2） a ≤ 1.
2
（3）a为任意实数.
（4）a
≤ 且a
≠-1.
2.已知a，b 为实数，且满足a= − + − +1,
（2）x4-4x2+4=(x2-2)2=[x2-( 2 )2]2=(x+ 2 )2(x- 2 )2
这里逆用了( a )2=a(a≥0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解
因式时，原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.
问题3：填一填，你发现了什么？
a(a≥0)
2
0.1
2
3
0
…
平方运算
a2
平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)