图论期末复习题(16年)
10.具有5个顶点8条边的连通图有5个不同的基本圈组． 11．连通图G的关联矩阵M的一个大子阵是非奇异的充要条件
是与这个大子阵的列相应的边组成G的一颗生成树.
精选课件
10
12．设是具有n个顶点的图，其邻接矩阵为A， 则
2，…)中的项元素等于从顶点到顶点的长度等于k的途径
25．(6,9)图G的向量空间的维数是______．
26．(5,8)图G的向量空间的维数是______．
27．连通简单图G的关联矩阵的一个大子阵是非奇异的充要 条件为与这个大子阵的列相应的边，组成G的_________．
28.G的________是使得G不连通或成为平凡图所必须删除的 顶点的最小个数．
精选课件
14
3.设G1，G2如图所示，求它们的交、并以及环和。
1
2
1
2
5
3 G1
4
3
精选课件
G2
4
15
4.写出下赋权图的一颗最小生成树
a
19
b
14 12
18
7
16 e 8
5
c
3
g
d
学
21
号f
精选课件
16
5．求下图的最优生成树．
A
9
12
15
C
11
E
15
B
6
7 6D 8
6
F
精选课件
17
6．求下图的最优生成树．
的顶点数相等这三个条件，也不一定同构． 5．在树中至少存在两个度为1的顶点（树叶）．
精选课件
9
6．G是含有56个顶点的无圈图，且对G中任两个不相邻的顶点u,v， G+uv有唯一的圈，则G的边数为55．
7．凡是由奇数点组成的连通图，一定可以一笔画成． 8．凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画
15.若G 是有31个点的连通图且G 中每条边都是割边，则 q(G) 。
16.G 是含有56个顶点的无圈图，且对Ｇ中任两个不相邻 的顶点u,v，Ｇ+uv有唯一的圈，则Ｇ的边数为_____;
精选课件
4
17．G是Euler图G连通且每个点度数均为 ____．
18.e为G的割边 e不在G的任一___中。
的总数．
Ak (k 1,
13．8一定是8—正则图的一个特征值．
14．图的点连通度可能等于图的边连通度．
15．点连通度的数值越小，图的连通性越脆弱．
16．可扩充路的长度必为奇数，且不属于的边比属于的边 少1条．
17．任何简单平面图，均有． G 3
精选课件
11
二、解答题
1.同构的判定及理由
A
9
12
15
C
11
E
15
B
6
7 6D 8
6
F
精选课件
18
7．设T是一棵树，它有两个2度顶点， 两个3度顶点，三个4度顶点，求T的树叶数
精选课件
19
8．设G是无向连通图，则G是一笔画的充分 必要条件是什么？下列各图是否可以一笔画 出？
精选课件
20
9、甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走 遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发， 最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线 路，谁先回到邮局？
19.无向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不 含——顶点。
20．连通图G具有欧拉路而无欧拉圈当且仅当G 恰有—个奇数度顶点．
21.无向图的关联矩阵每一行元素之和等于对应
顶点的——
精选课件
5
22．一个具有6个顶点的连通图G的秩为__．
23．一个具有5个顶点的连通图G的秩____．
24．7阶完全图的边连通度是______．
37．如果一个平面图有一个面的次数为4，则该图______ （填是或不是）极大平面图．
精选课件
8
三、判断题
1．若途径中的所有点互不相同，则称此途径为一条 链．
2．若途径中的所有边互不相同，则称此途径为一条 道路．
3．任何无圈的图均是二部图． 4．两图即使满足顶点数相等、边数相等和度数相同
D● C● B● ● A
E● F●
精选课件
21
10．请陈述无向图的完全关联矩阵M(G)的性质． 11.写出图G的一个生成树以及基本圈组
精选课件
7
32．二部图G中若满足V1= V2，则G必有完美匹配． 33．(G)=2 G是 ．
34.若最大匹配的边数为p(G)/2，则说明该图___（填存在或 不存在）完美匹配．
35.在计算平面图面的次数之和时，每条边边计算了______ 次．
36．一个图是平面图当且仅当它既没有收缩到K5的子图，也 没有收缩到 的子图．
图论期末复习
一、填空题
1. 任意两个顶点都_________的简单图称为完全图．
2．如果G=(V,E)中任何顶点都是连通的，则称图G是 连通的；否则称G为 ．
3. 如果无向图的顶点集V分成两个子集V1, V2,(即满足 V1 ∩ V2 =Φ, V1 ∪ V2 =V),使得G中任意一边的两 个端点分属于V1和V2,则称G为-------
精选课件
1
4．图G是二部图的充分必要条件是G是不含-----
的非平凡图．
5.完全二部图 K m , n 中边的个数为_________． 6.设是具有个p顶点的一棵树，则的边数一定为
___． 7．在任何图中，度数为奇数的顶点个数必为
______．
精选课件
2
8．6阶完全图G的边的个数是___________．
29．设M为G的一个匹配，则M中的任意两条边都___（填是 或不是）邻接的．
精选课件
6
30．设M为G的一个匹配，则M中的任意 两条边都___（填是或不是）邻接的．
31．设M1和M2是图G的两个不同匹配,由 M1M2导出的G的边导出子图记作H,则H 的任意连通分支是下列情况之一：(1)边 在M1和M2中交错出现的偶圈;(2)边在M1 和M2中交错出现的 ．
9. 边数最少的连通图是 。
10. G是有40个点的简单图且G中任两个点之间 有且只有1条路，则 G是 。
11．若G有32个点的连通图，且对G每条边e，Ge非连通，则G的边数为 ．
精选课件
3
12.若G有n个顶点的是 k-正则图，则G的边数为 。
13.简单图 G满足qGpG1 ，则G是 图。
14.如果连通图G的所有顶点的度数均为_________，则称 图G为欧拉图．
精选课件
12
3.左图称作什么图？两图是否同 构？为什么？
x
y
z
x
c
a
a
b
c
z
y b
精选课件
13
2、给定图 ：
(1)给出图 的一个生成树 。 (2)给出图 的顶点的最大度数 。
(3)给出图 的最长链。 (4)给出图 的一个边数最多的割集。
d
f
a
e1 b
e3 e4 e6
e8
e2
e5 e
e7
e9 g
c
图论期末复习题(16年)
2021/5/23
30
五、证明题
1．证明任意六个人中有三个人互相认识，或有三个 人互不认识。
2、证明在8个人的团体中，总有两个人在此团体中 恰好有相同个数的朋友．
3．设G=（V,E）是有限平面图，有f个面，q条边， 则所有面的次数之和等于边数的2倍，即=2|q|．
4．证明：设G是极大平面图，有p(p≥3)个顶点，q条 边，则q=3p–6, f=2p-4．
v1
a
v2
bd
c 4e f
v3
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22
12、写出下图所示无向图的关联矩阵，并 根据大子阵找到一颗生成树
v e 2 2 0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
A0 1 0 0 0
0 0 0 0 1
e1
e5 0 0 0 1 0
v3
1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 A2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
的总数．
Ak (k 1,
13．8一定是8—正则图的一个特征值．
14．图的点连通度可能等于图的边连通度．
15．点连通度的数值越小，图的连通性越脆弱．
16．可扩充路的长度必为奇数，且不属于的边比属于的边 少1条．
17．任何简单平面图，均有． G 3
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二、解答题
1.同构的判定及理由
11．若G有32个点的连通图，且对G每条边e，Ge非连通，则G的边数为 ．
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3
12.若G有n个顶点的是 k-正则图，则G的边数为 。
13.简单图 G满足qGpG1 ，则G是 图。
14.如果连通图G的所有顶点的度数均为_________，则称 图G为欧拉图．
图论期末考试整理复习资料
目录第一章图的基本概念 (1)二路和连通性 (3)第二章树 (3)第三章图的连通度 (4)第四章欧拉图与哈密尔顿图 (5)一，欧拉图 (5)二．哈密尔顿图 (6)第五章匹配与因子分解 (9)一．匹配 (9)二．偶图的覆盖于匹配 (10)三．因子分解 (11)第六章平面图 (14)二．对偶图 (16)三．平面图的判定 (17)四．平面性算法 (20)第七章图的着色 (24)一．边着色 (24)二．顶点着色 (25)第九章有向图 (30)二有向树 (30)第一章图的基本概念1.点集与边集均为有限集合的图称为有限图。
2.只有一个顶点而无边的图称为平凡图。
3.边集为空的图称为空图。
4.既没有环也没有重边的图称为简单图。
5.其他所有的图都称为复合图。
6.具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。
7.完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即），则n = 0, 1（mod 4）9. 图G 的顶点的最小度。
10. 图G 的顶点的最大度。
11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。
例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。
12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。
13.14. 频序列：定理4 一个简单图G 的n 个点的度数不能互不相同。
15. 定理5 一个n 阶图G 相和它的补图有相同的频序列。
16.17.18. 对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1)19. 定义： 联图 在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G220. 积图：积图 设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u =(u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2积图。
图论复习题
一、选择题1设图G= <V, E >, v V,则下列结论成立的是(C ). A . deg(v )=2 E B . deg(v )二 EC.deg(v) 2 E [PPT 23]D.deg(v) Ev Vv V定理1 图G=(V, E )中，所有点的次之和为边数的两倍 2. 设无向图G 的邻接矩阵为0 10 0 1 0 10 10则G 的边数为(B ). A . 6B. 53、设完全图K n 有n 个结点(n 2) , m 条边，当(C )时，K n中存在 欧拉回路.解释：K n 每个结点的度都为n — 1所以若存在欧拉回路则n —1必为偶数。
n 必 为奇数。
4. 欧拉回路是(B )A.路径B.简单回路[PPT 40]C.既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路 5 .哈密尔顿回路是(C ) A.路径 B.简单回路 C.既是基本回路也是简单回路 D.既非基本回路也非简单回路A. m 为奇数 B . n 为偶数 C. n 为奇数 D . m 为偶数0 1 1 01 0 1 0[PPT 40] ：哈密尔顿回路要求走遍所有的点，即是基本回路的点不重复，也可以是简单回路的边不重复。
6. 设G是简单有向图，可达矩阵P（G）刻划下列关系中的是（C ）A、点与边B、边与点C、点与点D、边与边7. 下列哪一种图不一定是树（C）。
A.无简单回路的连通图B. 有n个顶点n-1条边的连通图C. 每对顶点间都有通路的图D. 连通但删去一条边便不连通的图8. 在有n 个结点的连通图中，其边数（B）A. 最多有n-1 条B. 至少有n-1 条C. 最多有n 条D. 至少有n9. 下列图为树的是（C）。
A、G1{a,b,c,d},{a,a ,a,b ,c,d B、G2{a,b,c,d},{a,b ,b,d, c,d C、G3{a,b,c,d}, {a,b ,a,d, c,a D、G4{a,b,c,d},{a,b ,a,c ,d,d } } } }10、面的图7-22 是（C）。
电大离散数学图论部分期末复习辅导Word版
离散数学图论部分期末复习辅导一、单项选择题 1．设图G ＝<V , E >，v V ，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．deg(v )=2EB ．deg(v )=EC ．deg()2||v Vv E ∈=∑ D ．deg()||v Vv E ∈=∑解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C 成立。
答 C2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110， 则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．3解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有102=5条边。
答 B3．已知无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111110101110001000111010，则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G 有5个结点，矩阵元素有14个1，14÷2=7，图G 有7条边。
答 D4．如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d, e)}是边割集定义3.2.9 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1ÌE ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若边割集为单元集{e }，则称边e 为割边（或桥）．解 割边首先是一条边，因为答案A 中的是边集，不可能是割边，因此答案A 是错误的．删除答案B 或C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B 、C 也是错误的．在图一中，删去(d , e )边，图就不连通了，所以答案D 正确． 答 D注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做．如：若图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , e ) , (b , c ) , (b , e ) , (c , e ) , (e , d )}，则该图中的割边是什么？5．图G 如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．a 是割点 B ．{b, c}是点割集 C ．{b , d }是点割集 D ．{c }是点割集定义3.2.7 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1ÌV ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若点割集为单元集{v }，则称结点v 为割点．οοο ο a bc d图一 οe ο οο a b c d图二ο解 在图二中，删去结点a 或删去结点c 或删去结点b 和d 图还是连通的，所以答案A 、C 、D 是错误的．在图二中删除结点b 和c ，得到的子图是不连通图，而只删除结点b 或结点c ，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c }是点割集．所以答案B 是正确的． 答 B6．图G 如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, d )}是割边 B ．{(a, d )}是边割集C ．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D ．{(b , d )}是边割集解 割边首先是一条边，{(a, d )}是边集，不可能是割边．在图三中，删除答案B 或D 中的边后，得到的图是还是连通图．因此答案A 、B 、D 是错误的．在图三中，删去(a,d )边和(b, d )边，图就不连通了，而只是删除(a, d )边或(b, d )边，图还是连通的，所以答案C 正确．7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G 是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G 是强连通的；若图G 的底图，即在图G 中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G 是弱连ο ο ο a bcd图三ο通的．显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真．定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。
图论复习题
图论复习题（二）图论复习题一、选择题1．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( C ) ． A ．deg(v )=2∣E ∣ B ． deg(v )=∣E ∣ C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ [PPT 23] D ．Ev Vv =∑∈)deg(定理1 图G=（V ，E ）中，所有点的次之和为边数的两倍 2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( B )．A ．6B ．5C ．4D ．33、 设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ C ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数解释：K n 每个结点的度都为n －1，所以若存在欧拉回路则n －1必为偶数。
n 必为奇数。
4．欧拉回路是（ B ）A. 路径B. 简单回路[PPT 40]C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路5．哈密尔顿回路是（ C ）A. 路径B. 简单回路C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路[PPT 40]：哈密尔顿回路要求走遍所有的点，即是基本回路的点不重复，也可以是简单回路的边不重复。
6．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列关系中的是（ C ） A 、点与边 B 、边与点 C 、点与点 D 、边与边7．下列哪一种图不一定是树（C ）。
A.无简单回路的连通图B. 有n 个顶点n-1条边的连通图C. 每对顶点间都有通路的图D. 连通但删去一条边便不连通的图8．在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）A.最多有n-1条B.至少有n-1条C.最多有n 条D.至少有n 条9．下列图为树的是（C ）。
A 、>><><><=<},,,,,{},,,,{1d c b a a a d c b a GB 、>><><><=<},,,,,{},,,,{2d c d b b a d c b a GC 、>><><><=<},,,,,{},,,,{3a c d a b a d c b a GD 、>><><><=<},,,,,{},,,,{4d d c a b a d c b a G 10、下面的图7-22是（C ）。
图论 期末复习
图论及其应用总复习第1章图的基本概念•§1.1 图论发展史•§1.2 图的定义•§1.3 顶点的度•§1.4 子图与图的运算•§1.5一些特殊的图•§1.6 图的矩阵表示•§1.7 有向图1、图的定义图--图G=<V(G)，E(G)，ψ)>是有序三元组，其中V(G)是一个非空有限集合，E(G)与是V(G)不相交的有限集合，ψ)使E(G)中每一个元素对应于V(G)中的一个无序元素对.顶点--V(G)中的元素称为G的顶点，p(G)=|V(G)|称为G的点数.边--E(G)中的元素称为G的边，q(G)=|E(G)|称为G的边数.环--两个端点重合为一个顶点的边。
重边（平行边)--关联于同一对顶点的若干条边。
关联--如果ψ)e =uv ，则称边e 连接顶点u 和v ，u 和v 是e 的端点，u (或v )与e 关联。
相邻--点的相邻：两点间有边边的相邻：两条边有公共端点简单图--不含环和重边的图.有限图--一个图的顶点集和边集都是有限集的图.平凡图--只有一个顶点所构成的图称为平凡图.2、图的同构3、顶点的度最大度Δ(G)=max{d(v)|v∈V}最小度δ(G)=min{d(v)|v∈V}孤立顶点--度为0的顶点。
k-正则图--如果一个图中每个顶点的度是某一个固定整数k，则称该图是k-正则图。
握手定理顶点的度序列4、子图完全图--若图G 中的每一对不同顶点之间恰有一条边连接，则称图G 为完全图，记作K ;.4K 5K 3K 2K 1K 5、特殊图二分图−−G=(V>,V@;E)通常写出G=(X,Y;E),即它的点集可以分解为两个(非空)子集X和Y，使得每条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中。
完全二分图--是指具有二分类（X,Y）的简单二部图，其中X 的每个顶点与Y的每个顶点相连，若|X|=p，|Y|=q，则这样的偶图记为K p,q.关联矩阵设图G=(V,E),V=v>,v@,⋯,v;,E=e>,e@,⋯,e G，则称B(G)=(b JK);×G为G的关联矩阵，其中b JK=0v J与e K不关联1v J与e K关联1次2v J与e K关联2次(即e K是以v J为端点的环)6、矩阵表示邻接矩阵设图G=(V,E),V=v>,v@,⋯,v;,用a JK表示G中顶点v J与v K之间的边数，则称M(G)=(a JK);×;为G的邻接矩阵。
电大离散数学图论部分期末复习辅导Word版
离散数学图论部分期末复习辅导一、单项选择题 1．设图G ＝<V , E >，v V ，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．deg(v )=2EB ．deg(v )=EC ．deg()2||v Vv E ∈=∑ D ．deg()||v Vv E ∈=∑解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C 成立。
答 C2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110， 则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．3解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有102=5条边。
答 B3．已知无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111110101110001000111010，则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G 有5个结点，矩阵元素有14个1，14÷2=7，图G 有7条边。
答 D4．如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d, e)}是边割集定义3.2.9 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1ÌE ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若边割集为单元集{e }，则称边e 为割边（或桥）．解 割边首先是一条边，因为答案A 中的是边集，不可能是割边，因此答案A 是错误的．删除答案B 或C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B 、C 也是错误的．在图一中，删去(d , e )边，图就不连通了，所以答案D 正确． 答 D注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做．如：若图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , e ) , (b , c ) , (b , e ) , (c , e ) , (e , d )}，则该图中的割边是什么？5．图G 如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．a 是割点 B ．{b, c}是点割集 C ．{b , d }是点割集 D ．{c }是点割集定义3.2.7 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1ÌV ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若点割集为单元集{v }，则称结点v 为割点．οοο ο a bc d图一 οe ο οο a b c d图二ο解 在图二中，删去结点a 或删去结点c 或删去结点b 和d 图还是连通的，所以答案A 、C 、D 是错误的．在图二中删除结点b 和c ，得到的子图是不连通图，而只删除结点b 或结点c ，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c }是点割集．所以答案B 是正确的． 答 B6．图G 如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, d )}是割边 B ．{(a, d )}是边割集C ．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D ．{(b , d )}是边割集解 割边首先是一条边，{(a, d )}是边集，不可能是割边．在图三中，删除答案B 或D 中的边后，得到的图是还是连通图．因此答案A 、B 、D 是错误的．在图三中，删去(a,d )边和(b, d )边，图就不连通了，而只是删除(a, d )边或(b, d )边，图还是连通的，所以答案C 正确．7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G 是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G 是强连通的；若图G 的底图，即在图G 中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G 是弱连ο ο ο a bcd图三ο通的．显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真．定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。
图论练习题——精选推荐
图论练习题一、基本题1、设G 是由5个顶点构成的完全图，则从G 中删去（A ）边可以得到树。
A ．6 B ．5 C ．8 D ．4 2、下面哪几种图不一定是树（A ）。
A ．无回路的连通图B ．有n 个结点，n-1条边的连通图C ．对每对结点间都有通路的图D ．连通但删去任意一条边则不连通的图3、5阶无向完全图的边数为（B ）。
A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 4、设图G 有n 个结点，m 条边，且G 中每个结点的度数不是k ，就是k+1，则G 中度数为k 的节点数是（）A ．n/2 B ．n(n+1) C ．nk-2m D ．n(k+1)-2m 5、设G=<V ，E>为有向图，V={a,b,c,d,e,f}，E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是（B ）。
A ．强连通图B ．单向连通图C ．弱连通图D ．不连通图6、在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）A ．最多有n-1条B ．至少有n-1条C ．最多有n 条D ．至少有n 条7、设无向简单图的顶点个数为n ，则该图最多有（，则该图最多有（C C ）条边。
A ．n-1 B n-1 B．．n(n-1)/2 C n(n-1)/2 C．． n(n+1)/2 D n(n+1)/2 D．．n28、要连通具有n 个顶点的有向图，至少需要（个顶点的有向图，至少需要（A A ）条边。
A ．n-lB n-l B．．nC n C．．n+lD n+l D．．2n9、n 个结点的完全有向图含有边的数目（个结点的完全有向图含有边的数目（B B ）。
A ．n*n n*n Ｂ．Ｂ．Ｂ．n n （n ＋１）＋１） C C C．．n ／2 D 2 D．．n*n*（（n －l ）1010、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（、在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（B B ）倍。
图论复习题
图论及网络总复习题一、选择题1、设G是由5个顶点构成的完全图，则从G中删去（）边可以得到树。
A．6 B．5 C．8 D．42、下面哪几种图不一定是树（）。
A．无回路的连通图B．有n个结点，n-1条边的连通图C．对每对结点间都有通路的图D．连通但删去任意一条边则不连通的图。
3、5阶无向完全图的边数为（）。
A．5 B．10 C．15 D．204、把平面分成x个区域，每两个区域都相邻，问x最大为（）A．6 B．4 C．5 D．35、设图G有n个结点，m条边，且G中每个结点的度数不是k，就是k+1，则G中度数为k的节点数是（）A．n/2 B．n(n+1) C．nk-2m D．n(k+1)-2m 6、图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的（）。
A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7、设G=<V，E>为有向图，V={a,b,c,d,e,f}，E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是（）。
A．强连通图B．单向连通图C．弱连通图D．不连通图8、无向图G中的边e是G的割边（桥）的充分必要条件是（）。
A．e是重边B．e不是重边C．e不包含在G的任一简单回路中D．e不包含在G的某一简单回路中9、在有n个结点的连通图中，其边数（）A．最多有n-1条B．至少有n-1条C．最多有n条D．至少有n条10．设无向简单图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。
A．n-1 B．n(n-1)/2 C． n(n+1)/2 D．n211．n个结点的完全有向图含有边的数目（）。
A．n*n Ｂ．n（n＋１） C．n／2 D．n*（n－l）12．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（）倍。
A．1/2 B．2 C．1 D．413．连通图G是一棵树，当且仅当G中（）A．有些边不是割边B．所有边都是割边C．无割边集D．每条边都不是割边14．4个顶点的完全图G，其生成树个数是（）。
图论习题
2 2 1 4 A 4 1 1 2 3 9 B 8
）
6
2
．已知在传输中，a、b、c、d、e、f 、g、h 出现的频率分别为 25%、15%、15%、10%、10%、9%、6%、10%， 编一个传输它们的最佳前缀码。
3
．有向图 D 如下图所示，用邻接矩阵法求 D 中长度为 3 的通路数和长度为 3 的回路数。
5. D=<V,E>
1 2 3 4 + 1 4 2 4 n n,m n
设图
三．判断题 1. 任一图 G 的△(G)必小于其结点数。 （ ） 2. 在 n 个结点的简单图 G 中，若 n 为奇数，则 G 与 G 的度为奇数的结点数相同。 （ ） 3. K 有 10 个生成子图。 （ ） 4. 图 G 和 G’同构当且仅当 G 和 G’的结点和边分别存在一一对应关系。 （ ） 5. 具有 3 个结点的有向完全图，含 4 条边的不同构的子图有 4 个。 （ ） 6. 3 个(4,2)无向简单图中，至少有 2 个同构。 （ ） 7. 若无向图中恰有 2 个度为奇数的结点，则这两个结点必连通。 （ ） 8. 在有向图中，结点间的可达关系是等价的。 （ ） （ ） 9. 若图 G 不连通，则 G 必连通。 10. 若图 G 的边 e 不包含在图 G 的某简单回路中，则 e 是 G 的割边。 （ ） 11. 若无向连通图中无回路，则其每条边均为割边。 （ ） 12. 若有向图 D 强连通，则 D 必为欧拉图。 （ ） 13. 若有向图 D 是欧拉图，则 D 必为强连通图。 （ ） 14. K 是哈密尔顿图。 （ ） 15. 任一(n,m)平面图，若 n≥3，则 m≤3n-6。 （ ） 16. 设 G=<V,E>，|V|≥11，则 G 或 G 是非平面图。 （ ） 17. 极大平面图必连通。 （ ） 18. 设 G=<V,E>为连通的简单平面图，若|V|≥3，则所有结点 v，有 deg(v) ≤5。 （ ） 19. 任何树都至少有两片树叶。 （ ） 20. 任何图 G=<V,E>都至少有一颗生成树。 （ ） 21. 图 G 是（m，n）连通图，要求 G 的一颗生成树，则要删去 G 中的 m-n 条边。 （ ） 22. 一个有向图 G 若仅有一个节点入度为 0，其余节点的入度全为 1，则 G 一定是有向树。 （ 23.{000,001,01,10,11}是一个前缀码。 （ ） （ ） 24.T 为完全 m 元树，有 t 片树叶，i 个分支点，则有关系式(m-1)i=t-1。 四．综合题 1. 求下面带权图中从 A 到 B 的最短路径，要求用图示给出求解过程，并计算它们的权值。