2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅱ.理)含详解
D. −
12 13
cos A = −
1 1 + tan 2 A
=−
1 5 1 + (− ) 2 12
w.w.w.k.s.5.u. c. o.m
=−
12 13
故选 D.
4.曲线 y =
x 在点 (1,1) 处的 线方程 2x −1
B. x + y − 2 = 0
A. x − y − 2 = 0
C. x + 4 y − 5 = 0
A
1 6
B.
1 4
π
C.
1 3
D.
1 2
解
π 向右 移 6 个单 π π π y = tan ω x + → y = tan[ω ( x − ) + ] = tan ω x + 6 4 6 4
π
4 −
∴
π
6
ω + kπ =
又Q ω > 0 ∴ ωmin 9.
4 V = π R3 3 中 R 表示球的半径
k k Pn ( k ) = Cn P (1 − p )
( k = 0,1, 2...n )
共 60 在 小题给出的四个选项中 只有一个选项是
本卷共 12 小题 符合题目要求的 一选择题 1.
小题 5
10i = 2-i A. -2+4i
B. -2-4i
C. 2+4i
2 2
r
r r
r
r
故选 C
7. 设 a = log 3 π , b = log 2 A. a > b > c 解 Q log 3
3, c = log3 2
B. a > c > b
则
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m
C. b > a > c
D. b > c > a
2 < log 2 2 < log 2 3 ∴ b > c
D. x − 4 y − 5 = 0
解
y ′ |x=1 =
故
2x −1 − 2x 1 | = [ − ] |x =1 = −1, x =1 (2 x − 1) 2 (2 x − 1)2
y − 1 = −( x − 1) ,即 x + y − 2 = 0
故选 B.
线方程
5.
知 四棱柱 ABCD − A1 B1C1 D1 中 AA1 = 2 AB E
CD1 所成的角即 A1 B
故选 C
6.
知向 A.
a = ( 2,1) , a ⋅ b = 10,| a + b |= 5 2
B.
则 | b |= C. 5
w.w.w.k. s.5.u .c. o.m
5
r r
2
10
r
2
D. 25
b + | b | = 5 + 20+ | b | ∴| b |= 5 解 Q 50 =| a + b | =| a | +2a
1 ∴ ω = 6k + ( k ∈ Z ) 6 2 1 = .故选 D 2
抛物线 C : y = 8 x 相交
2
π
知直线 y = k ( x + 2 )( k > 0 ) 于 A B 两点
F 2 3
C 的焦点 2 3
| FA |= 2 | FB | 则 k = 2 2 3 l : x = −2 直 线
AA1 中点 则异面直线 BE
CD1 所
成的角的余弦值 A. 解
10 10
B.
1 5
C.
3 10 10
D.
3 5
AB = 1 则 AA1 = 2 ,连 A1 B Q C1 D ∥ A1 B ∴ 异面直线 BE BE 所成的角 在 ∆A1 BE 中 余弦定理易得 cos ∠A1 BE = 3 10 10
别作 AM ⊥ l 于 M , BN ⊥ l 于
A.
1 3
B.
C.
D.
解
2 设 抛 物 线 C : y = 8x 的 准 线
y = k ( x + 2 )( k > 0 ) 恒过定点 P ( −2,0 ) .如 过 A B
N, | FA |= 2 | FB | ,则 | AM |= 2 | BN | ,点 B
AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |=
1 | AF | , 2
∴| OB |=| BF | 点 B 的横坐标 1 , 故点 B 的坐标
选D 10. 两人 有 A. 6 种 4 门课程中各选修 2 门 则 B. 12 种
P ( A + B ) = P ( A) + ( B )
如果 件 A B 相互独立 那
S =4π R 2
中 R 表示球的半径 球的体 式
P ( A ⋅ B ) = P ( A) ⋅ ( B )
如果 件 A 在一次试验中发生的概率是 p , 那
n 次独立 复试验中 件 A 恰好发生 k 次的概率
n−k
D. 2-4i
解 原式 =
10i(2+i) = −2 + 4i .故选 A. (2-i)(2+i)
x −1 < 0 x−4
则 AI B= C. ( −2,1)
2. 设集合 A = { x | x > 3} , B = x | A. ∅
B.
( 3, 4 )
D.
( 4. + ∞ )
log 2 3 < log 2 2 = log 3 3 < log 3 π ∴ a > b ∴ a > b > c .故选 A.
8.
将 函 数 y = tan ω x +
π
(ω > 0 ) 的 4
合 则 ω 的最小值
向右
移
π
6
个单
长
函数
π y = tan ω x + 的 6
解
x −1 < 0 = { x | ( x − 1)( x − 4) < 0} = { x |1 < x < 4} .∴ A I B = (3, 4) .故选 B. B = x | x−4
3.
知 ∆ABC 中 A.
cot A = −
12 13
知 ∆ABC 中
解
12 则 cos A = 5 5 5 B. C. − 13 13 12 π cot A = − ∴ A ∈ ( ,π ) . 5 2
2009 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
本试卷 第 导 卷 选择题 和第 导导 卷 非选择题 两部 至 4 页 考试结束 将本试卷和答题卡一并交回 满 令5代 第 导 卷 令 至 该 页 第 导导 卷 详 考试用时 令该代 钟
第导卷
选择题
共 6代
注意 项 1. 答题前 考生务必用黑色碳素笔将自 的姓 准考证号 考场号 号在答题卡 填写清楚 并请认真 准条形码 的准考证号 姓 考场号 号及科目 在规定的 置贴好条形码 2 小题选出答案 用 2B 铅笔把答题卡 对 题目标号涂黑 如需改动 用橡皮擦 净 再选题 它答案标号 在试卷 答案无效 参考 式 如果 件互斥 那 球的表面 式
09年高考数学卷江苏含详解
【答案】0.2
【解析】略
6.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1，2，3，4，5 的学生进行投篮练习，每人投 10 次，
投中的次数如下表：
学生
甲班
乙班
1号
6
6
则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2 ★ .
【答案】
【解析】略
2 5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W ★ .
参考公式：
样本数据 x1, x2 ,, xn 的方差 s2
1 n
n
i1
( xi
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置
上.
1.若复数 z1 4 29i, z2 6 9i ，其中 i 是虚数单位，则复数 (z1 z2 )i 的实部为★. 【答案】 20
3号
7
6
f
(m)
4号
8
7
f
5号 7 9
开始
S 0 T 1 S T2 S
S 10
Y
W S T 输出W
结束
(n) ，则 m, n 的大小
T T 2
N
关系为 ★ .
【答案】 m n
【解析】略
11.已知集合 A x | log2 x 2， B (, a) ，若 A B 则实数 a 的取值范围是
【解析】略
2.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ，| a | 2,| b | 3 ，则向量 a 和向量 b 的数量积
aAb ★ .
【答案】3
【解析】 aAb 2 3 3 3。 2
3.函数 f (x) x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)
2009年全国高考数学试题——江苏卷(理科)含答案
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理科）参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.若复数12429,69z i z i=+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||==a b a 和向量b 的数量积= a b ★ .【答案】3 【解析】232== a b 。
3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
4.函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= ★. 【答案】3 【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s =★ .【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ .【答案】22 【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略 10.已知12a-=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 ★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.理)含详解
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
第Ⅰ卷考生注意：答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k k n k n n P k C p p -=- 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或12．函数y =的定义域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-3．已知全集U =A B 中有m 个元素，()()U U A B 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则A B I 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．n m -D ．m n -4．若函数()(1)cos f x x x =，02x π≤<，则()f x 的最大值为A ．1B ．2 C1 D25．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为A ．4B ．14-C ．2D ．12-6．过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为A．2 B． C ．12 D ．137．(1)n ax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则,,a b n 的值可能为A ．2,1,5a b n ==-=B ．2,1,6a b n =-=-=C ．1,2,6a b n =-==D ．1,2,5a b n ===8．数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为A ．470B ．490C ．495D ．5109．如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误的为A ．O ABC -是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45D ．二面角D OB A --为45 10．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种y xz OA B CD。
2009年普通高等学校招生全国统一考试全国卷Ⅱ
2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷H）英语试卷第I卷（选择题）第一部分英语知识运用（共三节，满分50分）第一节语音知识（共5小题；每小题1分，满分5分）从A、B、C、D四个选项中，找出其划线部分与所给单词的划线部分读音相同的选项, 并在答题卡上将该项涂黑。
例：haveA. gaveB. save C . hat D. ,made答案是C o1. JulyA . diaryB . energyC . reply.D .d aily.2 . medici neA . twiceB . medicalC . perfectD .c linic.3 . seizeA . neighbourB . weighC . eightD .r eceive4 . determi neA . remindB . mi nisterC . smileD .t idy5 . existA . experie neeB . exam ineC . exciteD .e xplode第二节语法和词汇知识（共15小题；每小题1分,满分15分）从A、B、C、D四个选项中，选出可以入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
八、、°例: It is gen erally con sidered un wise to give a child _________ he or she wan ts.A. however B . whatever C. whichever D . whenever 答案是B。
6. ________________ It is often that human beings are naturally equipped to speak.A. said B . to say C. saying D . being said7. _________________________________ Charles was alone at home, with looking after him.第三节 完形填空（共20小题；每小题1.5分，满分30 分）Progress ______ so far very good and we are sure that the work will be finished on time.The childre n loved their day trip, and they enjoyed the horse ride ______They use computers to keep the traffic ______ smoothly. A . being run B . run C . to run D . runningMy friend showed me round the town, ____ was very kind of him.8.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.17. 18. 19. 20.A . whichB . thatC . whereD . itIt ' s high time you haobyr hair cut; it ' s getting A . too much long B . much too long C . long too much D . too long muchDo you mind my ope ning the win dow? It s a bit hot i nhere._______ , as a matter of fact A . Go ahead B . Yes, my pleasure C . Yes, I do D . Come onI can ' t leave. She told me tha ______ stay here until she comes back.A . canB . mustC . willD . mayA . some oneB . anyoneC . not oneD . no oneA . wasB . had beenC . has beenD . will beA . mostB . moreC . lessD . littleAll the dishes in this menu, _______ otherwise stated, will serve two to three people. A . asB . ifI ' m sure that your letter will get _______ A . con ti nuedB . immediateThe CDs are on sale! Buy one and you get A . otherB . othersC . thoughD . uni essatte nti on. They know you 're waiting for the reply.C . carefulD . gen eralcompletely free.C . oneD . onesJenny nearly missed the flight ______ doing too much shopping.A . as a result ofB . on top of What I need is book that contains A . a;不填 B . the;不填If you leave the club, you will not be A . receivedB . admittedC . in front ofD . in n eedofABC of oil pain ti ng.C . the; anD . a; theback in.C . turnedD . moved阅读下面短文，从短文后各题所给的四个选项（A、B、C和D）中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(江西.理)含详解.doc
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（江西.理）含详解理科数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，第一卷1至2页，第二卷3至4页，共150分。
第一卷 考生注意：答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
第I 卷每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第二卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
假设在试题卷上作答，答案无效。
考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)kk n kn n P k C p p -=-一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1、假设复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，那么实数x 的值为 A 、1- B 、0 C 、1 D 、1-或12、函数y =的定义域为A 、(4,1)--B 、(4,1)-C 、(1,1)-D 、(1,1]- 3、全集U =A B 中有m 个元素，()()U U A B 痧中有n 个元素、假设A B I 非空，那么A BI 的元素个数为A 、mnB 、m n +C 、n m -D 、m n - 4、假设函数()(1)cos f x x x =+，02x π≤<，那么()f x 的最大值为A 、1B 、2 C1 D25、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，那么曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为A 、4B 、14-C 、2D 、12-6、过椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，假设1260F PF ∠=，那么椭圆的离心率为A、 B、 C 、12 D 、137、(1)nax by ++展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，那么,,a b n 的值可能为A 、2,1,5a b n ==-=B 、2,1,6a b n =-=-=C 、1,2,6a b n =-==D 、1,2,5a b n ===8、数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，那么30S 为A 、470B 、490C 、495D 、510 9、如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，A 、O ABC -是正三棱锥B 、直线OB ∥平面ACDC 、直线AD 与OB 所成的角是45 D 、二面角D OB A --为45yxzOAB CD10、为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为A 、3181B 、3381C 、4881D 、508111、一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域〔阴影部分〕的周率从左到右依次记为1234,,,ττττ，那么以下关系中正确的为A 、143τττ>>B 、312τττ>>C 、423τττ>>D 、341τττ>>12、设函数()0)f x a =<的定义域为D ，假设所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，那么a 的值为A 、2-B 、4-C 、8-D 、不能确定绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试〔江西卷〕 理科数学 第二卷 本卷须知第二卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，假设在试题上作答，答案无效。
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅰ)(含答案解析)
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________则集合二、填空题三、解答题（I）证明：M是侧棱SC的中点；22．设函数()3233f x x bx cx =++在两个极值点（Ⅰ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点区域；参考答案：设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为分别在1Rt A AD 和1Rt A DB V 中，由勾股定理，可知211222A B BD A D =+=，在1A AB △中，由余弦定理，得11cos 2θ+=所以异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为故选：D ．8．A【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解【详解】因函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点于是得(2),6k k Z πϕπ=--∈，显然(k ϕ=而2k =时，6πϕ=-，||6πϕ=，当3k =时，所以|φ|的最小值为6π.故选：A 9．B【详解】设切点00(,)P x y ，则，又00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=，故答案选10．C11．D【详解】[方法一]：(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x --=--，∴函数()f x 关于点2[1(1)]4T =--=的周期函数.(f x ∴--奇函数.故选D.[方法二]：(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，∴(1)(1)f x f x --=--，由(1)f x ∴-+=由(1)(1)f x f x --=--，得()f x f =-进而可得()()4f x f x +=，可见(f 不成立，而D 成立的理由如下：(f【详解】设MN x =，则NC EB ==在RT MEB ∆中， MBE ∠在RT MNE ∆中由2ME NE =解得1x =，从而12MN SD =（Ⅱ）建系如图）得，又，，设分别是平面、的法向量，则且，即且分别令得，即，∴的大小．由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式()知,=而,又是一个典型的错位相减法模型易得=）（（））联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（Ⅱ）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）22．（Ⅰ）（II ）证明见解析．【详解】分析（I ）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力．大部分考生有思路并能够得分．()2363f x x bx c =++'由题意知方程()0f x ¢=有两个根12x x 、1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈则有()10f '-≥，()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，故有下图中阴影部分即是满足这些条件的点(),b c 的区域．(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度．主要原因是含字母较多，不易找到突破口．此。
(284)2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A ．B．2C ．D ．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2B ．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C ．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C ：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A ．B．2C ．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n +．（1）设b n =，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A ．B．2C ．D ．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2B ．﹣2C．﹣1D．1﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos ≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C ．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C ：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（）A ．B．2C ．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B 点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r+1=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC 由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB ，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C 点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB ，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz ，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I ）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B 的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n +．（1）设b n =，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n +，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n ﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n +，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n ﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n =+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y ﹣=•（x﹣x1），y +=（x﹣x1），解得点P 的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t ，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P 的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c 满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= ．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：． 2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C ．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题． 5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O ：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C 51•C 31•C 62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C 52•C 61•C 21=120种选法．故共有345种选法．故选：D ．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！ 6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ﹣240 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r+1=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 20π ．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz ，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z 1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)全解全析
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符．4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．5.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差()2211ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1． 若复数z 1=4+29i ，z 2=6+9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1−z 2)i 的实部为 ▲ ． 2． 已知向量a 和向量b 的夹角为30︒，|a |=2，|b |=3，则向量a和向量b 的数量积a ·b = ▲ ．3． 函数f (x )=x 3−15x 2−33x +6的单调减区间为 ▲ ． 4． 函数y =A sin(ωx +φ)（A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲ ．5． 现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ▲ ．6． 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s 为 ▲ ． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ．8．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 10． 已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲． 11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．14． 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15． （本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)， （1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值； （2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ．16． （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．ABC A1B 1C 1 EF D第16题图17． （本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项．18． （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．19． （本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．20． （本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |． （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集．2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）全解全析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上.1．若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的实部为▲．【答案】−20．【解析】z1−z2=−2+20i，故(z1−z2)i=−20−2i．【说明】考查复数的四则运算．2．已知向量a和向量b的夹角为30︒，|a|=2，|b|=3，则向量a和向量b的数量积a·b= ▲．【答案】3．【解析】cos 23θ===a b a b．【说明】考查向量的数量积（代数）运算．3．函数f (x)=x3−15x2−33x+6的单调减区间为▲．【答案】(1,11)-．【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x=--=-+'，由(11)(1)0x x-+<得单调减区间为(1,11)-．【说明】考查函数的单调性，考查导数在研究函数性质中的应用．4．函数y=A sin(ωx+φ)（A，ω，φ为常数，A>0，ω>0）2π3-在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω= ▲．【答案】3．【解析】如图，2π3T=，所以3ω=．【说明】考查三角函数的图象和性质，考查周期性的概念．5．现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为▲．【答案】0.2【解析】随机抽取2根竹竿的取法有10种，而长度恰好相差0.3m的取法有2种，所以概率为0.2．【说明】考查古典概型．6．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个2s为▲．【答案】25．【解析】第一组数据7x =甲，212(10010)55S =++++=甲；第二组数据7x =乙，245S =乙．【说明】考查总体特征数的估计．实际上，根据数据的分布，知甲班的数据较为集中（甲班极差为2，众数为7，乙班极差为3，众数为6，7）． 7． 右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ▲ ． 【答案】22．W =22．【说明】本题考查算法初步，考查流程图（循环结构）．值得注意的是，本题的循环结构并非是教材中所熟悉的当型或直到型，因此该流程图是一个非结构化的流程图，对学生的识图能力要求较高．8． 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ ． 【答案】1：8 【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方．【说明】本题考查合情推理之类比推理．9． 在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y =x 3−10x +3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ▲ ． 【答案】(2,15)-．【解析】设点P 的横坐标为x 0，由2310y x '=-知203102x -=，又点P 在第二象限，02x =-，所以(2,15)P -．【说明】本题考查导数的几何意义——曲线切线的斜率．10． 已知a =f (x )=a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为 ▲．【答案】m n <【解析】由01<<知01a <<，函数()x f x a =是减函数，由()()f m f n >知m n <．【说明】本题考查函数的单调性，指数函数的性质等概念．11． 已知集合A ={x |log 2x ≤2}，B =(−∞,a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ,+∞)，其中c =▲ ． 【答案】4【解析】由log 2x ≤2得0<x ≤4，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4． 【说明】本题考查对数函数的性质，集合间的基本关系（子集）等概念． 12． 设α 和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α 内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α 平行于β； （2）若α 外一条直线l 与α 内的一条直线平行，则l 和α 平行；（3）设α 和β相交于直线l ，若α 内有一条直线垂直于l ，则α 和β垂直； （4）直线l 与α 垂直的充分必要条件是l 与α 内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号 ▲ ．（写出所有真命题的序号）． 【答案】（1）（2）【解析】由线面平行的判定定理知，（2）正确；相应地（1）可转化为一个平面内有两相交直线分别平行于另一个平面，所以这两个平面平行．【说明】本题考查空间点、线、面的位置关系．具体考查线面、面面平行、垂直间的关系与转化． 13． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1,A 2,B 1,B 2为椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段O T 的中点，则该椭圆的离心率为 ▲ ．【答案】5【解析】直线12A B 的方程为1yx a b+=-，直线1B F 的方程为1y x c b +=-，两方程联立方程组得T 2(,)ac ab bc a c a c+--，则点M (,)2()ac ab bc a c a c +--，由点M 在椭圆上，代入整理得：223100a ac c --=，23100e e --=，又 0e >，所以离心率为5． 【说明】本题考查椭圆的概念、标准方程与几何性质．14． 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n =a n +1（n =1，2，…）若数列{b n }有连续四项在集合{−53,−23,19,37,82}中，则6q = ▲ ． 【答案】9-【解析】由条件知数列{a n }中连续四项在集合{}54,24,18,36,81--中，由||1q >，所以{a n }中连续四项可能为（1）24-，36，54-，81，32q =-，69q =-；（2）18，24-，36，54-，不合；其它情形都不符合．【说明】本题考查等比数列的概念与通项公式．在本题中，如果将集合中的各数均除以3，得到集合{}232323,2,23,32,3-⨯-⨯⨯，再从其中选出四个数进行适当地排列，这样的解法更利于看清问题本质．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15． （本小题满分14分）设向量a =(4cos α ,sin α )，b =(sin β,4cos β)，c =(cos β,−sin β)， （1）若a 与b −2c 垂直，求tan(α +β)的值； （2）求+b c 的最大值；（3）若tan α tan β=16，求证：a ∥b ． 【解析】（1）∵a ⊥b −2c ，∴(2)20⋅-=⋅-⋅=a b c a b a c ．即4sin()8cos()0αβαβ+-+=，∴tan()2αβ+=． （2）(sin cos ,4cos 4sin )ββββ+=+-b c ，()()222sin cos 16cos sin ββββ+=++-b c 1730sin cos ββ=-1715sin 2β=-，∴当sin2β=−1时，2+b c 最大值为32，所以+b c的最大值为（3）∵tan tan 16αβ=，∴sin sin 16cos cos αβαβ=，即4cos 4cos sin sin 0αβαβ⋅-=， 所以a ∥b ．16． （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C ． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．【解析】（1）因为E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，又EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC ； （2）在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，1111BB A BC ⊥面，∵A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，∴11BB AD ⊥． 又11AD BC ⊥，BB 1 B 1C =B 1，∴111AD BC C ⊥面B ． 又11AD AFD ⊂面，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C ．17． （本小题满分14分）设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22225234a a a a +=+，S 7=7． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （2）试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{S n }中的项． 【解析】（1）设公差为d ，则22225243a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由77S =得176772a d ⨯+=，解得15a =-，2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-，前n 项和26n S n n =-． （2）12(27)(25)(23)m m m m m a a a m ++--=-，令23m t -=，12(4)(2)m m m t t a aa t++--=86t t =+-， 因为t 是奇数，所以t 可取的值为1±，当1t =，2m =时，863t t +-=，2573⨯-=，是数列{}n a 中的项；1t =-，1m =时，8615t t +-=-，数列{}n a 中的最小项是5-，不符合．所以满足条件的正整数2m =． 18． （本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1∶AB CA1B 1C1 EF D第16题图(x +3)2+(y −1)2=4和圆C 2∶(x −4)2+(y −5)2=4．（1）若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．【解析】(1) 0y =或7(4)24y x =--，（2）法一）设点P (,)a b ，1l ：()y b k x a -=-，则2l ：1()y b x a k-=--由截得的弦长相等可得1C 到1l 与2C 到2l 的距离相等，即11|4()5()|a b k k ----+=，即 |31||45|k ka b k a kb ---+=--++，整理得：222222(3)2(3)(1)(1)(5)2(4)(5)(4)a k ab k bb k a b k a +++-+-=-+--+- 因为有无数组解，所以对应项系数相等，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-．所以满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．法二）依题意点P 在线段1C 2C 的中垂线上，且与1C 、2C 构成等腰直角三角形，设点P (,)a b ， 则713()42b a -=--，又120PC PC ⋅=，即22670a b a b +---=，解得：32a =-，132b =；或52a =，12b =-． 满足条件的点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-．19． （本小题满分16分）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a +；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h 1和h 2，现假设甲生产A ，B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A ，B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A ，B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．（1）求h 甲和h 乙关于m A ，m B 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙；（2）设35A B m m =，当m A ，m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A ，m B 的值，使得0h h 甲≥和0h h 乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．【解析】h =甲h =乙当35A B m m =时，h =甲，h =乙h 甲=h 乙．当35A B m m =时，h =甲，而520B m ≤≤， 所以当20B m =时，甲、乙两人的综合满意度均最大，此时12A m =．（3≥即31024120A B A B m m m m ≥++ ①且3406120A B A B m m m m ≥++ ②， 由①及520B m ≤≤得：24120310B A B m m m +≥-，又241202008[12,48]310310B B B m m m +=+∈--， 只有当12A m =，20B m =时，不等式①成立． 由②及312A m ≤≤得：4012036A B A m m m +≥-，又4012040200[20,80]36336A A A m m m +=+∈--， 只有当20B m =，12A m =时，不等式②成立．综上，不存在满足条件的A m 、B m 的值．20． （本小题满分16分）设a 为实数，函数f (x )=2x 2+(x −a )|x −a |． （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )=f (x )，x ∈(a ,+∞)，直接写出（不需给出演算步骤）不等式h (x )≥1的解集． 【解析】（1）若(0)1f ≥，即||1a a -≥，则{21a a <≥，所以1a ≤-． （2）当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min(),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ≥≥⎧⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-{{2min 2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a -≥-≥==<<综上22min2,0()2,03a a f x a a -≥⎧⎪=⎨<⎪⎩． （3）x a ≥时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-，①当a a ≤≥时，0∆≤，不等式的解集为(,)a +∞；②当a <<0,∆>得(0x x x a ⎧⎪≥⎨>⎪⎩，i a <<时，不等式的解集为(,)a +∞；ii ）a ≤≤)+∞；iii ）a <<时，不等式的解集为3([)3a a +-+∞.。