2020年陕西高三一模数学试卷(理科)
2020年陕西高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1.设，则在复平面内 对应的点位于（ ）．A. B. C. D.2.已知集合，，则（ ）．3.已知函数，则（ ）．A.是奇函数，在区间上单调递减B.是非奇非偶函数，在区间上单调递减C.是偶函数，在区间上单调递增D.是偶函数，在区间上单调递减4.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是中国古代数学名著，程大位著．书中有如下问题：“今有五人均银四两，甲得十两四钱，戊得五两六钱，问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有人分两银子，甲得两钱，戊得两钱，且甲、乙、丙、丁、戊相邻两人分得银子的差额相等，则乙、丙、丁各分几两几钱？（注：两等于钱）（ ）．A.乙得两，丙得两，丁得两B.乙得两钱，丙得两，丁得两钱C.乙得两钱，丙得两，丁得两钱D.乙得两，丙得两，丁得两开始输入输出结束是否5.执行如图所示的程序框图，则（ ）．A.B.C.D.6.某校的书法绘画，乐器演奏，武术爱好三个兴趣小组的人数分别为，，，若用分层抽样方法抽取名学生参加某项活动，已知从武术小组中抽取了名学生，则的值为（ ）．A.B.C.D.7.设，，，则，，的大小关系是（ ）．A.B.C.D.8.在的展开式中，令的系数为，则含项的系数为（ ）．A.B.C.D.9.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，直线与，的延长线交于，两点，则（ ）．A.B.C.D.10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列四种说法正确的有（ ）．①函数的图象关于直线对称；②函数的图象关于点对称；③函数的图象在区间上单调递减；④函数的图象在区间上单调递增．A.①④B.②③C.①③D.②④11.正视图侧视图俯视图某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则棱长为的正方体的外接球的表面积为（）．A.B.C.D.12.已知函数在处有极值，设函数，且在区间内不单调，则的取值范围为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，，若，则．14.函数的图象在处的切线被圆截得弦长为，则实数的值为 ．15.已知双曲线：上存在两点，关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为 ．16.已知数列满足，，当时，，且点是直线上的点，则数列的通项公式为 ；令，则当在区间内时，使的值为正整数的所有值之和为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，在中，，，，，在边上，连接．求角的大小．求的面积．（1）（2）18.年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手，，，，依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是，，，，，并且比赛胜负相互独立．赛会采用局胜制，先赢局者获得胜利．在决赛中，中国队以获胜的概率是多少？求比赛局数的分布列及数学期望．（1）（2）19.如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，为直角， 平面，，且．BCD AP求证：．若，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知函数，．证明：当时，．存在，使得当时恒有成立，试确定的取值范围．（1）12（2）21.设椭圆的方程为，为坐标原点，为椭圆的上顶点，为其右焦点，是线段的中点，且．求椭圆的方程．过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆于，两点，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，并延长交椭圆于点，两点．判断的形状．求四边形面积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求的普通方程和曲线的直角坐标方程．求上点到距离的最大值及该点坐标．【答案】解析:本题考查复数的运算，由题可知，所以，则在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限．故选．解析:本题考查集合及不等式的运算．因为，所以集合．又集合，所以．故选．解析:因为，定义域为，，所以，所以为偶函数，当时，，单调递减，故在上单调递增．故选．（1）（2）23.设函数．当时，求不等式的解集．若的最大值为，求的值．D1.C2.C3.解析:本题考查等差数列的通项公式．根据题意，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，其公差为，则，，所以，即，解得．可得，；，所以乙得两钱，丙得两，丁得两钱．故选．解析:本题考查程序框图．根据程序框图得其程序功能为分段函数的函数值计算，输出，所以，，所以，故选．解析:由分层抽样的定义可得，解得．故选．解析:∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故选．C 4.D 5.D 6.B 7.解析:本题考查二项式定理．由题意可知，即，解得，所以含项的系数为，故选．解析:当直线垂直于轴时，与相似，所以，当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，设，，，，联立得，，所以，所以，综上，．故选．解析:由题意得，所以函数的对称轴为直线，，对称中心为点，．在，上单调递减，，上单调递增，B 8.D 9.C 10.所以①③正确，故选．解析:由题意可知该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积，解得，则正方体的棱长为，则其外接球的直径，所以棱长为的正方体外接球的表面积．故选．解析:∵，且在处有极值，∴，即，解得，∴，，∴，∵在内不单调，∴有①或②或③，解①得，解②得无解，解③得无解，∴的取值范围为，故选．A 11.B 12.或解析:由得，解得，所以，，所以．解析:由题可知切线的斜率．又，所以切点坐标为，所以函数的图象在处的切线方程为．又因为圆的圆心坐标为，半径为，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆截得弦长为，则，解得实数的值是或．解析:设，，线段的中点的坐标为，则有，由②①得，∵，∴，∴，∵，∴，13.或14.15.①②③④（1）又，∴又点在直线上，∴，∴，，∴，．即双曲线的离心率为．故答案为：．解析:因为当时，，且点是直线上的点，所以当时，有，所以，所以 ，令得，所以，所以当在内时，即，得，，所以使的值为正整数的所有值之和为 ，故答案为：；．解析:∵，，;16.（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，∴，由题图可知，∴．在中，由余弦定理得：，，解得，∴．解析:若中国队以获胜，则前三局中赢两局输一局，第四局比赛胜利．设中国队以获胜为事件，则：．设比赛局数为，则的取值分别为，，，则，，，则的分布列为：（1）．（2）的的分布列为：．18.（1）（2）．解析:∵平面，平面，∴，∵，且，∴，，∴，，∴，即．又，∵平面，又平面，∴．如图，过点作垂直于点，BCD A PF由知，，又，，∴，，两两垂直，∴以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，，，设平面的法向量，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）由，得，∴取，设平面的法向量，由，得，∴取，设二面角的平面角为，则，由图可知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．故答案为：．解析:证明：由题意知的定义域为，的定义域为，令，所以，当时，，所以在上单调递减，故当时，，即当时，成立．由知，当时，，所以当时，不存在满足题意；当时，令，所以，令得，（1）证明见解析．（2）．20.（1）1（2）所以（舍去），，因为，所以，所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，，即成立．综上，的取值范围为．解析:设椭圆的半焦距为，由题意可得，为的中点，∴，，∴，∴，∴椭圆的方程为．设直线的方程为，且点在第一象限，联立，消去得，显然，∴，，又∵轴，∴，∴，∴直线的方程为，（1）．12（2）直角三角形．．21.2联立，消去得，，∴，∵，∴，，∴，∴，即为直角三角形．根据图形的对称性可知，四边形面积是面积的倍，由（）知为直角三角形，且，∴，又，，∴（1）（2）令，∵，∴，∴，即当时，最大，此时的面积也达到最大，由对称性可知，故当时，最大，．解析:由（为参数），可得，消去参数，得的普通方程为．将去分母得，将，代入，得，所以曲线的直角坐标方程为．由可设的参数方程为（为参数），上点到的距离，当，即，时，，此时，所以上点到距离的最大值为，该点坐标为．（1），．（2），．22.（1）23.（1）（2）解析:当时，，解得；解得，解得，所以原不等式的解集为或．当时，，所以，解得，当时，，所以，解得，所以的值为或．或．（2）或．。
【2020届咸阳一模】理科数学试题及答案解析
咸阳市2020年高考模拟检测（一）数学（理科）试题注意事项：1.本试卷共6页，满分150分，时间120分钟；2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第Ⅰ卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第Ⅱ卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设z ∙i =2i +1，则z =（ ）A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i2.已知集合A ={(x ，y)|y =2x }， B ={(x ，y)|y =x +1}，则A ∩B 中元素的个数为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 03.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（√32，12），若OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.（0，1） B.（1，0） C.（√32，−12） D.（12，−√32） 4.已知b >a >0，则（ ）A. |1−a | >|1−b |B. ( 12)a <( 12)bC. lga <lgbD. 1a< 1b5.椭圆2x 2−my 2=1的一个焦点坐标为(0，−√2)，则实数m =（ ）A.23B.25C. −23D. −256.∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c既是等差数列又是等比数列，则角B的值为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.直三棱柱 ABC−A1B1C1中， AA1=AB=AC=BC，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（）A. −12B.12C. −14D.148.函数 y=sinx，在[0，π]中随机取一个数x，使y∈[0，12]的概率为（）A.16B.14C.13D.129.已知x+2y=xy(x>0，y>0)，则2x+y的最小值为（）A. 10B. 9C. 8D. 710.已知曲线C1：y=sinx, C2：y=cos(12x−π3)，则下面结论正确的是（）A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2.B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线C2.C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向（第7题图）左平移π3个单位长度，得到曲线C2.D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线C2.11.设f(x)为R上的奇函数，满足f(2−x)=f(2+x),且当0≤x≤2时，f(x)=xe x，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(100)=（）A．2e+2e2B．50e+50e2C．100e+100e2D．−2e−2e212.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交双曲线C于P，Q，M，N四点，且四边形PQMN为正方形，则双曲线C的离心率为( )A.√2+√2B. 2+√2C. 2−√2D.√2−√2第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线y=x∙lnx在点（1，0）处的切线方程为.14.已知cos2x−sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)，则A=, b=. （本题第一空3分，第二空2分.）15.如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.试写出 y=√x−1−√2−x 的一个“同域函数”的解析式为.16．秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就．秦九韶算法是一种将一元n次多项式的求值问题转化为n个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.f (x )=a n x n +a n−1x n−1+a n−2x n−2+⋯+a 1x +a 0. 改写成以下形式：f (x )=a n x n +a n−1x n−1+a n−2x n−2+⋯+a 1x +a 0 =（a n x n−1+a n−1x n−2+a n−2x n−3+⋯+a 1）x +a 0 =（（a n x n−2+a n−1x n−3+⋯+a 3x +a 2）x +a 1）x +a 0⋮=(⋯((a n x +a n−1)x +a n−2)x +⋯+a 1)x +a 0若f (x )=(2+√3)x 5+(1+√3)x 4+(1+√3)x 3+(1+√3)x 2 +(1+√3)x −1.则f(2−√3)= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17.（本小题满分12分）如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， E 是棱D 1C 1的中点，AB =2，BC =BB 1=1.（1）求证：平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1． （2）求二面角D −EB 1−C 1的余弦值.BADCD 1C 1B 1A 1E（第17题图）18.（本小题满分12分）甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为34，且各人是否答对每道题互不影响.（1）用X 表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. （2）设A 为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件A 发生的概率. 19.（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n −2n −1，(n ∈N +). （1）求证：数列{a n +2}是等比数列. （2）求数列{n ∙(a n +2)}的前n 项和.20.（本小题满分12分）已知f (x )=e x ，g (x )=ln(x +2).（1） f (x )和g (x )的导函数分别为f′(x )和g′(x )，令h (x )=f′(x )−g′(x ),判断h (x )在（−2，+∞）上零点个数. （2）当x >−2时，证明：f (x )>g (x ). 21.（本小题满分12分）如图，过抛物线C ：y 2=8x 的焦点F 的直线交抛物线C 于不同两点A ，B ，P 为抛物线上任意一点（与A 、B 不重合），直线PA ，PB 分别交抛物线准线l 于点M ，N. （1）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程； （2）求证：MF ⊥NF .(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.OlPyxABN MF（第21题图）22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程{x =2√3cosβ，y =2sinβ (β为参数).直线l 的参数方程{x =√3+tcosα，y =1+tsinα (t 为参数).（1）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程;（2）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为（2，π6）时，求直线 l 的倾斜角.23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )=|x −a |(x −2)+|x −2|(x −a ). （1）当a =2时，求不等式f (x )<0的解集；（2）若x ∈(0，2)时， f(x)≥0，求a 的取值范围．咸阳市2020年高考模拟检测（一）数学（理科）答案一、 选择题： 题号12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B BACDCDCBDAA二、 填空题：13. y =x −1 14. A= √52b= 1215. y =2x −3，x ∈[1，2] 或y =2x −3，x ∈[1，2]或 y =3x−1−2，x ∈[1，2]或 y =log √2x −1，x ∈[1，2]… 16. 0 三、解答题：17、解：（1）证明：∵ABCD −A 1B 1C 1D 1是长方体∴B 1C 1⊥平面DCC 1D 1 ----------------------------------3分 又 ∵ B 1 C 1 平面DB 1C 1∴平面DB 1C 1⊥平面DCC 1D 1 ------------------------6分 （2）方法一：取G 、M 、H 分别是AB 、EB 1、A 1B 1的中点，连接DG 、GM 、MH 、GH 、A 1E.∵AB =2，BC =BB 1=1A 1E ⊥EB 1，即HM ⊥EB 1, 又∵GH ⊥EB 1 ----------8分 ∴∠GMH 或其补角是二面角D −EB 1−C 1的平面角. 又∵MH =12A 1E =√22∴cos ∠GMH =MH MG=√22√12+(√22)2=√33-----------------------10分∴二面角D −EB 1−C 1的余弦值为−√33--------------------12分方法二：HGMz BADCD 1C 1B 1A 1E DC以D 1为坐标原点，以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示；D(0，0，1)，B 1(1，2，0)，E(0，1，0)DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，−1)，EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0) --------------8分 设n⃗ =(x 0，y 0，z 0)是平面DEB 1的一个法向量. {DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙n ⃗ =0，∴{y 0−z 0=0x 0+y 0=0令z 0=1则x 0=−1，y 0=1n⃗ =(−1，1，1) 平面EB 1C 1的一个法向量D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1)cos <n ⃗ ，D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗ ∙D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗ |∙|D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3×1=√33--------10分显然，二面角D −EB 1−C 1是钝角. 所以，二面角D −EB 1−C 1的余弦值为−√33----------12分18、解：（1）X 的取值为0，1，2，3 -------------------1分P (X =0)=(14)3=164P (X =1)=C 31(34)(14)2=964P (X =2)=C 32(3)2(1)=27xP(X=3)=(34)3=2764-----------------4分因此，X的分布列为EX=0×164+1×964+2×2764+3×2764=94---------------6分(2)由题意得：事件A“甲比乙答对题目数恰好多2”发生即：“甲答对2道，乙答对题0道”和“甲答对3道，乙答对题1道”两种情况；--------------------------8分P(A)=2764×164+2764×964=1352048-------12分19、（1）证明：令n=1则a1=3-------------1分∵S n=2a n−2n−1，(n∈N+)−−−①∴S n−1=2a n−1−2(n−1)−1，(n≥2，n∈N+)−−−②①-②得：a n=2a n−2a n−1−2a n=2a n−1+2∴a n+2a n−1+2=2(a n−1+2)a n−1+2=2∴{a n+2}是等比数列--------------6分（2）由（1）知：数列{a n+2}是首项为：a1+2=5，公比为2的等比数列.∴a n+2=5×2n−1-----------------------8分∴n∙(a n+2）=5∙n∙2nX0123P16496427642764设数列{n∙(a n+2)}的前n项和为T n，则T n=52(1∙2+2∙22+3∙23+⋯+n∙2n)−−−③∴2T n=5（1∙22+2∙23+3∙24+⋯+n∙2n+1）−−−④③-④得:−T n=52（2+22+23+⋯+2n−n∙2n+1）=52[2(1−2n)1−2−n∙2n+1]∴T n=5(n−1)2n+5---------------12分20、解：（1）∵f′(x)=e x，g′(x)=1x+2(x>−2)∴h(x)=e x−1x+2(x>−2)-------------3分∵h(x)在（−2，+∞）内单调递增又 h(−1)=1e −1<0，h(0)=1−12>0∴h(x)在（−2，+∞）内有且只有一个零点-----------6分（2）令H(x)=f(x)−g(x)=e x−ln(x+2)H′(x)=e x−1x+2--------------------8分由（1）可知：存在x0∈（−1，0）使得H′(x0)=e x0−1x0+2=0即：e x0=1x0+2当x∈（−2，x0）时，H′(x)<0当x ∈（x0，+∞）时，H′(x)>0------------------10分H(x)min=H(x0)=e x0−ln(x0+2)=e x0+x0=1x0+2+x0=(x0+1)2x0+2>0∴f(x)>g(x)-----------------------12分21、解：由题意得：（1）抛物线的焦点为F(2，0)，准线l 的方程为：x =−2. ----2分（2）由（1）知，设直线AB 的方程为：x −2=my (m ∈R) 令P(x 0，y 0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)由{x −2=my y 2=8x消去x 得：y 2−8my −16=0由根与系数的关系得：y 1y 2=−16------------------4分直线PB 方程为：y−y 0y 2−y 0=x−x 0x 2−x 0y =y 2−y 0x 2−x 0(x −x 0)+y 0=y 2−y 0y 228−y 028(x −y 028)+y 0=8y 2+y 0(x −y 028)+y 0=y 2y 0+8x y 2+y 0当x =−2时，y =y 2y 0−16y 2+y 0 ∴N(−2，y 2y 0−16y 2+y 0)O l P y x A B N M F （第21题图）同理得：M(−2，y 1y 0−16y 1+y 0) ----------------------8分∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，y 2y 0−16y 2+y 0)，FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4，y 1y 0−16y 1+y 0) ∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+y 2y 0−16y 2+y 0×y 1y 0−16y 1+y 0=16(y 2+y 0)(y 1+y 0)+(y 2y 0−16)(y 1y 0−16)(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16y 1y 2+16y 02+y 1y 2y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=16(−16)+16y 02+(−16)y 02+256(y 2+y 0)(y 1+y 0)=0 ------------------10分∴FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以，MF ⊥NF ------------------12分22、解：（1）由曲线C 的参数方程{x =2√3cosβ，y =2sinβ(β为参数). 得：{cosβ=2√3sinβ=y 2∴曲线C 的参数方程化为普通方程为：x 212+y 24=1 ----------4分 （2）解法一：中点极坐标（2，π6）化成直角坐标为（√3，1）设直线l 与曲线C 相交于A(x 1，y 1)，B （x 2，y 2）两点x 1+x 22=√3，y 1+y 22=1 则{x 1212+y 124=1−−−−①x 2212+y 224=1−−−−②-------------6分 ②-①得：x 22−x 1212+y 22−y 124=0 化简得：y 2−y 1x 2−x 1=−x 1+x 23(y 1+y 2)=−2√33×2=−√33 -------------8分 即：k l =−√33=tanα又∵α∈（0，π） 所以，直线l 倾斜角为5π6. -----------------------10分 解法二：中点极坐标（2，π6）化成直角坐标为（√3，1）将{x=√3+tcosαy=1+tsinα 分别代入x212+y24=1得（√3+tcosα）212+(1+tsinα)24=1∴（cos2α+3sin2α）t2+(6sinα+2√3cosα)t−6=0 ∴t1+t2=−6sinα−2√3 cosαcos2α+3sin2α=0-------------8分∴sinα=−√3即：tanα=−√3又∵α∈（0，π）所以，直线l倾斜角为5π6. -----------------------10分23、解：（1）当a=2时，f(x)=|x−2|(x−2)+|x−2|(x−2)由f(x)<0得|x−2|(x−2)+|x−2|(x−2)<0--------------1分①当x≥2时，原不等式可化为：2（x−2)2<0解之得：x∈∅--------------------3分②当x<2时，原不等式可化为：−2(x−2)2<0解之得：x∈R且x≠2∴x<2因此，f(x)<0的解集为：{x|x<2}--------------------5分（2）当x∈(0,2)时，f(x)=|x−a|(x−2)+|x−2|(x−a)=(x−2)[|x−a|−(x−a)]--------------7分由f(x)≥0得(x−2)[|x−a|−(x−a)]≥0∴|x−a|≤x−a∴x−a≥0∴a≤x，x∈(0，2)∴a≤0所以， a的取值范围为(−∞，0]------------------10分。
陕西省2020版高考数学一模试卷(I)卷
陕西省2020版高考数学一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·宜昌月考) 定义一种集合运算，且 }，设，，则所表示的集合是________.2. （1分） (2018高二上·江苏月考) 过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作一条直线交抛物线于A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则 =________3. （1分） (2015高二下·沈丘期中) 已知m∈R，并且的实部和虚部相等，则m的值为________．4. （1分） (2016高一下·丰台期末) 设α是第二象限角，sinα= ，则cosα=________．5. （1分） (2016高二上·云龙期中) 已知点A（1，）在圆C：x2+y2=4上，则过点A的圆C的切线方程________．6. （1分）已知．若数列a1 ， a2 ， a3 ，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是________7. （1分） (2017高一下·温州期末) 设向量 =（2，1）， =（3，2），则| |=________．8. （1分） (2019高一下·静安期末) 类比反正切函数的定义，我们将函数的反函数定义为反余切函数，记为，则 ________．9. （1分）设常数a＞0，展开式中x3的系数为，则=________10. （1分） (2019高一下·北海期中) 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中1名女生1名男生的概率为________．11. （1分） (2018高二上·长安期末) 设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交C 于A, B两点，则 ________.12. （1分） (2016高一上·上海期中) 若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）“x=0”是“x=0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件14. （2分）给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，则；④若，，，，，则.其中为假命题的是（）A . ①B . ②C . ④D . ③15. （2分）长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，，则点C的轨迹是（）A . 线段B . 圆C . 椭圆D . 双曲线16. （2分）下列结论中，正确的是（）A . 幂函数的图象都通过点（0，0），（1，1）B . 幂函数的图象可以出现在第四象限C . 当幂指数α取1，3，时，幂函数y=xa在定义域上是增函数D . 当幂指数α=﹣1时，幂函数y=xa在定义域上是减函数三、解答题 (共5题；共55分)17. （5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，若E为棱AB的中点，①求四棱锥B1﹣BCDE的体积②求证：面B1DC⊥面B1DE．18. （10分） (2019高二下·金华期末) 已知椭圆的离心率为，抛物线与椭圆在第一线象限的交点为．（1）求曲线、的方程；（2）在抛物线上任取一点P，在点P处作抛物线的切线l，若椭圆上存在两点关于直线l对称，求点P的纵坐标的取值范围．19. （15分） (2020高三上·四川月考) 某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]＞300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（ω）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？P（K2≥kc）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001Kc 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828K2=非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计10020. （15分）已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），满足条件：①f（2）=1，②f（xy）=f （x）+f（y），③当x＞1时，f（x）＞0．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）求不等式f（x）+f（x+3）≤2的解集．21. （10分） (2016高二上·赣州期中) 已知n∈N* ，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1= 且S2+a2 ， S4+a4 ， S3+a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{nan}的前n项和为Tn ，求证：对于任意正整数n，．参考答案一、填空题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。
2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科数学试卷(3月)-学生用卷
2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科数学试卷（3月）-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第1题5分设集合A ={x |−2<x ⩽2,x ∈Z }，B ={x |log 2x <1}，则A ∩B =（ ）．A. (0,2)B. (−2,2]C. {1}D. {−1,0,1,2}2、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第2题5分在复平面内，复数z =a +bi(a,b ∈R)对应向量 OZ →（O 为坐标原点），设|OZ →|=r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则z =r(cosθ+isinθ)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z 1=r 1(cosθ1+isinθ1)，z 2=r 2(cosθ2+isinθ2)，则z 1z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：[r(cosθ+isinθ)]n =r n (cosnθ+isinnθ)，已知 z =(√3+i)4，则|z →|=（ ）．A. 2√3B. 4C. 8√3D. 163、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第3题5分2019~2020学年5月广东深圳龙华区深圳市第二外国语学校高三下学期周测C 卷文科第3题5分 为比较甲，乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）．A. 甲的数据分析素养优于乙B. 乙的数据分析素养优于数学建模素养C. 甲的六大素养整体水平优于乙D. 甲的六大素养中数学运算最强4、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第4题5分已知sinα−2cosα=1，α∈(π,3π2)，则1−tanα21+tanα2=（）．A. −12B. −2 C. 12D. 25、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第5题5分在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，2AM→=AD→，BM→=λAB→+μAC→，则λ+μ=（）．A. −12B. −2 C. 12D. 26、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第6题5分设椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（）．A. 23B. 12C. 13D. 147、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第7题5分《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：n =2及n =3时，如图：记S n 为每个序列中最后一列数之和，则S 6为（ ）．A. 147B. 294C. 882D. 17648、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第8题5分已知函数f(x)=x 3+sinx(1+x)(m−x)+e x +e −x 为奇函数，则m =（ ）．A. 12B. 1C. 2D. 39、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第9题5分已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则V v =（ ）．A. 4B. 8C. 9D. 2710、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第10题5分要得到函数f (x )=sin(3x +π3)的导函数f ′(x )的图象，只需将f (x )的图象（）．A. 向右平移π3个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B. 向右平移π6个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍C. 向左平移π3个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍D. 向左平移π6个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍11、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第11题5分已知平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，且AB =3，AD =CD =6，ADEF 是正方形，在正方形ADEF 内部有一点M ，满足MB ，MC 与平面ADEF 所成的角相等，则点M 的轨迹长度为（ ）．A. 43B. 16C. 43πD. 8π12、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第12题5分已知y =ax +b 与函数f(x)=2lnx +5和g(x)=x 2+4都相切，则不等式组{x −ay +3⩾0x +by −2⩾0所确定的平面区域在x 2+y 2+2x −2y −22=0内的面积为 （ ）．A. 2πB. 3πC. 6πD. 12π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第13题5分设x 1、x 2、x 3、x 4为互不相等的正实数，随机变量X 和Y 的分布列如下表，若记DX ，DY 分别为X ，Y 的方差，则DX DY ．（填>，<，=）14、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第14题5分△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知2bcosA =2c +√3a ，则∠B = ．15、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第15题5分若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的顶点到渐近线的距离为b2，则2√3a的最小值为．16、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第16题5分若奇函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，g(x)为R上的单调函数，对任意实数x∈R都有g[g(x)−2x+2]=1，当x∈[0,1]时，f(x)=g(x)，则f(log212)=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第17题12分(5分,7分)已知数列{a n}为公差为d的等差数列，d>0，a4=4，且a1，a3，a9依次成等比数列，b n=2a n．(1) 求数列{b n}的前n项和S n．(2) 若c n=2b nS n⋅S n+1，求数列{c n}的前n项和为T n．18、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第18题12分(5分,7分)在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，AB=√5，sin∠ABD=√55．(1) 证明：PA⊥BD．(2) 求二面角A−PB−C的正弦值．19、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第19题12分(每题6分)已知动圆过定点F(0,1)，且与直线l：y=−1相切，动圆圆心的轨迹为C，过F作斜率为k(k≠0)的直线l与C交于两点A，B，过A，B分别作C的切线，两切线的交点为P，直线PF与C交于两点M，N．(1) 证明：点P始终在直线l上且PF⊥AB．(2) 求四边形AMBN的面积的最小值．20、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第20题12分(2分,4分,6分)2019~2020学年陕西西安雁塔区唐南中学高二下学期期中理科第19题12分2019年12月以来，湖北省武汉市持续开展流感及相关疾病监测，发现多起病毒性肺炎病例，均诊断为病毒性肺炎肺部感染，后被命名为新型冠状病毒肺炎(CoronavirusDisease2019,COVID−19)，简称“新冠肺炎”，下图是2020年1月15日至1月24日累计确诊人数随时间变化的散点图．为了预测在未采取强力措施下，后期的累计确诊人数，建立了累计确诊人数y与时间变量t的两个回归模型，根据1月15日至1月24日的数据（时间变量t的值依次1，2，⋯，10）建立模型y=c+dt和y=a+b⋅1.5t．(1) 根据散点图判断，y=c+dt与y=a+b⋅1.5t哪一个适宜作为累计确诊人数y与时间变量t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2) 根据(1)的判断结果及附表中数据，建立y关于t的回归方程．(3) 以下是1月25日至1月29日累计确诊人数的真实数据，根据(2)的结果回答下列问题:① 当1月25日至1月27日这3天的误差（模型预测数据与真实数据差值的绝对值与真实数据的比值）都小于0.1则认为模型可靠，请判断(2)的回归方程是否可靠？② 2020年1月24日在人民政府的强力领导下，全国人民共同采取了强力的预防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真实数据明显低于预测数据，则认为防护措施有效，请判断预防措施是否有效？附；对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，⋯⋯，(u n ,v n )，其回归直线v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=∑(u 1−u )(v i −v )n i=1∑(u i −u )2n i=1=∑u i v i −nu⋅v n i=1∑u i 2−nu 2n i=1，α=v −βu ． 参考数据：其中：ωi =1.5i ，ω=110∑ωi10i=1． （温馨提示： 解题过程中请利用参考数据进行计算．．．．．．．．．．．．．．．．）21、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第21题12分(5分,7分) 已知函数f (x )=lnx −ax +a ，其中a >0．(1) 讨论函数f (x )的零点个数．(2) 求证：e x +sinx >xlnx +1．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第22题10分(每题5分) 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知C 1:x 2+y 2−2y =0，C 2:√3x +y =6，C 3:kx −y =0(k >0)．(1) 求C 1与C 2的极坐标方程．(2) 若C 1与C 3交于点A ，C 2与C 3交于点B ，|OA |=λ|OB |，求λ的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2020年陕西榆林高三下学期高考模拟理科（3月）第23题10分(每题5分)已知函数f(x)=2|x|+|x−4|，设f(x)的最小值为m．(1) 求m的值．(2) 是否存在实数a，b，使得a+2b=2，1a +2b=m？并说明理由．1 、【答案】 C;2 、【答案】 D;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 C;7 、【答案】 A;8 、【答案】 B;9 、【答案】 D;10 、【答案】 D;11 、【答案】 C;12 、【答案】 B;13 、【答案】>;14 、【答案】150°;15 、【答案】2;16 、【答案】−13;17 、【答案】 (1) S n=2n+1−2．;(2) S n=12−12n+2−2;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 23．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 32．;20 、【答案】 (1) y=a+b⋅1.5t适宜．;(2) y=10+20×1.5t．;(3)①(2)的回归方程可靠，证明见解析．②措施有效，证明见解析．;21 、【答案】 (1) a=1时，f(x)有一个零点；当a>0且a≠1时，f(x)有两个零点．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) ρ=2sinθ，√3ρcosθ+ρsinθ=6．;(2) 12．;23 、【答案】 (1) m=4．;(2) 不存在，理由证明见解析．;。
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷
2020年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题 :本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设z ＝﹣3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合A ＝{x |x 2﹣5x +6＞0}，B ＝{x |x 2﹣1＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣∞，1] B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（ ）A ．45B ．50C ．55D ．604．若0＜m ＜n ，则下列结论正确的是（ ） A ．2m ＞2n B ．0.5m ＜0.5n C ．log 2m ＞log 2nD ．log 0.5m ＞log 0.5n5．关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断：①若甲未被录取，则乙、丙都被录取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者甲未被录取，或者乙被录取．则三人中被录取的是（ ） A ．甲B ．丙C ．甲与丙D ．甲与乙6．已知向量m →=(λ+1，1)，n →=(λ+2，2)，若(m →+n →)⊥(m →−n →)，则λ＝（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣17．已知α∈（0，π），2sin2α＝cos2α﹣1，则sin α＝（ ） A ．15B ．√55C ．−√55D ．2√558．定义函数f(x)={sinx ，sinx ≥cosxcosx ，sinx ＜cosx ，给出下列四个命题：（1）该函数的值域为[﹣1，1]；（2）当且仅当x =2kπ+π2(k ∈Z)时，该函数取得最大值； （3）该函数是以π为最小正周期的周期函数； （4）当且仅当2kπ+π＜x ＜2kπ+3π2(k ∈Z)时，f （x ）＜0． 上述命题中正确的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．已知偶函数f(x +π2)，当x ∈(−π2，π2)时，f(x)=x 13+sinx ，设a ＝f （1），b ＝f （2），c ＝f （3），则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b10．若m ＞0，n ＞0，且直线（m +1）x +（n +1）y ﹣2＝0与圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1＝0相切，则m +n 的取值范围是（ ） A ．[2+√2，+∞）B ．[2+2√2，+∞）C ．（0，2+√2]D ．（0，2+2√2]11．设F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M ，N 两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为（ ） A ．√213B ．√193C ．23D ．7√3312．定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +2）＝2f （x ），当x ∈[0，2）时，f （x ）={x 2−x ，x ∈[0，1)−(12)|x−32|x ∈[1，2)，若当x ∈[﹣4，﹣2）时，不等式f （x ）≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[2，3]B ．[1，3]C ．[1，4]D ．[2，4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．曲线C ：y ＝xlnx 在点M （e ，e ）处的切线方程为 ．14．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于 ．15．如图，抛物线C 1：y 2＝4x 和圆C 2：（x ﹣1）2+y 2＝1，直线l 经过C 1的焦点F ，依次交C 1，C 2于A ，B ，C ，D 四点，则AB →•CD →的值是 ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a +c 的最小值为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AM ⊥PD 于点M ，连接BM ． （1）求证：PD ⊥BM ；（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值．18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足c ＝2b ＝2，2b cos A +a cos C +c cos A ＝0，又点D 满足AD →=13AB →+23AC →．（1）求a 及角A 的大小； （2）求|AD →|的值．19．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1=12，2a n+1=a n +12b n ，2b n+1=12a n +b n ． （1）证明：数列{a n +b n }，{a n ﹣b n }为等比数列； （2）记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＜103． 20．函数f （x ）＝2（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+4x ．（Ⅰ）求f （x ）在x ＝e 处的切线方程（e 为自然对数的底数）；（Ⅱ）设g （x ）＝x 3﹣3x 2+3x +f （x ），若x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，满足g （x 1）+g （x 2）＝8，求证：x 1x 2＜1． 21．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且2F 1F 2→+F 2Q →=0，若过A ，Q ，F 2三点的圆恰好与直线l ：x −√3y −3=0相切．过定点M （0，2）的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 1的斜率k ＞0，在x 轴上是否存在点P （m ，0），使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）若实数λ满足MG →=λMH →，求λ的取值范围．22．以平面直角坐标系原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为{x =2−3ty =−1+2t （t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ（Ⅰ） 求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ） 设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |． [不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +12|+|x −32|． （1）求不等式f （x ）≤3的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）＜12|1﹣a |的解集是空集，求实数a 的取值范围．。
陕西省咸阳市武功县2020届高三数学一模试题理含解析
，
，
，
.
此时旧球个数 的概率分布பைடு நூலகம்为
3
4
5
6
P
【点睛】本题考查排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出 取某个值时对应的事件的概率．
20.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，一条渐近线方程为 ，且过点 ．
（Ⅰ）求双曲线方程；
【点睛】本题考查垂径定理，考查基本转化求解能力，属基础题.
11.椭圆长轴上的两端点 ， ，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意， ，且 ，可得 且 ，再根据椭圆中 、 、 的平方关系得到 的值，结合椭圆焦点在 轴，得到此椭圆的标准方程．
A.①④②③B.①④③②C.④①②③D.③④②①
【答案】A
【解析】
【分析】
根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．
【详解】解：① 为偶函数，它的图象关于 轴对称，故第一个图象即是；
② 为奇函数，它的图象关于原点对称，它在 上的值为正数，
在 上的值为负数，故第三个图象满足；
③ 为奇函数，当 时， ，故第四个图象满足；
④ ，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，
故选A．
【点睛】本题主要考查函数 图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题．
9.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：
考点：同角间三角函数关系
【此处有视频，请去附件查看】
10.直线 过点（0，2），被圆 截得的弦长为2 则直线l的方程是（）
陕西省咸阳市武功县2020届高三数学一模试题理(含解析)
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果，
再从余下的 5 对夫妇中选两对，每一对中选一位有 C52C12C21 40 种结果，
根据分步计数原理得到结果是 6×40＝240，
故答案为 240．
【点睛】本题是一个带有约束条件的排列组合问题，解题时排列与组合问题要区分开，解题
的关键是利用分步计数原理，把握好分类的原则．
9.已知 tan 2 ，则 sin2 sin cos 2 cos2 （ ）
A. 4 3
【答案】D
B. 5 4
C. 3 4
【解析】
试
题
分
析
4
D.
5
：
5
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sin 2＋sin cos －2cos 2
sin 2＋sin cos －2cos 2 sin2 cos2
tan2 tan tan2 1
垂直，
从而
平面
，C 正确；由
知 与 所成角为 45°，D 错．故选 D．
8.现有四个函数：① y x sin x ；② y x cos x ；③ y x cos x ；④ y x 2x 的图象
（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）
4
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陕西省咸阳市武功县 2020 届高三数学一模试题 理（含解析）
第Ⅰ卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 A x R x 1 ， B x R x 2 4 ， A B ＝（ ）
A. [－2，1]
B. [－2，2]
（因为 c b 舍去）或
.
2020年高考模拟陕西省汉中市部分学校高考(理科)数学(3月份)模拟测试试卷 解析版
2020年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设集合A＝{y|y＝5x+1}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，+∞）C．（1，2]D．[1，2]2．已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．13．已知m＞1，，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．5．我国古代数学家对圆周率π的近似值做出过杰出的贡献，魏晋时期的数学家刘徽首创用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，称为“割圆术”．在割圆术求π的方法中，若使用正三十二边形，则圆周率的近似值为（）（附：）A．3.13B．3.12C．3.064D．3.1826．已知双曲线C的一个焦点为（0，5），且与双曲线的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．7．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，3）到焦点F的距离为4，直线l过M（0，3）且与C交于A，B两点，|BF|＝5，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝（）A．B．C．D．8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．1439．在边长为3的等边△ABC中，点E满足，则＝（）A．9B．C．6D．10．在古装电视剧《知否》中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1，若函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，2log73）B．（﹣2，﹣2log53）C．（﹣2log53，﹣1）D．（﹣log73，﹣）12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF不平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等二、填空题13．设a1＝2，a n+1＝，b n＝||，n∈N*，则数列{b n}的通项公式b n＝．14．函数f（x）＝的定义域为．15．函数f（x）＝在x＝处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，则该切线在y轴上的截距为．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题17．数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，且b1＝2，（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若c n＝a n•b n，且数列{c n}的前n项和为T n，证明：T n＜9．18．2019年12月以来，发现多起病毒性病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P（0＜p＜1），某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X（0≤X≤a），假设每位密切接触者不再接触其他患者．（Ⅰ）求一天内被感染人数为X的概率P（X）与a、p的关系式和X的数学期望；（Ⅱ）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E n（n≥2）．（i）求数列{E n}的通项公式，并证明数列{E n}为等比数列；（ⅱ）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln（1+p）﹣．当p取最大值时，计算此时p'所对应的E6'值和此时p对应的E6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a＝10）（结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，E 为PA的中点，点F在PD上，EF⊥平面PCD，M在DC的延长线上，且（1）证明：EF∥平面PBM；（2）过点C作BD的平行线，与直线AB相交于点G，当点Q在线段CG上运动时，二面角E﹣DQ﹣A能否等于60°？请说明理由．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P为W的上顶点，点Q在W上，＝7，且•＝﹣．（1）求W的方程；（2）已知过原点的直线l1与椭圆W交于C，D两点，垂直于l1的直线l2过F1且与椭圆W交于M，N两点，若|CD|2＝6|MN|，求．21．已知，g（x）＝a（x+1）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＞0时，若关于x的方程f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2），证明：a＞e2且x1x2＜x1+x2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（β为参数），将曲线C1上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C2的极坐标方程和l的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与l，C2分别交于A，B两点（异于极点），定点M（14，0），求△MAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（Ⅰ）ab+bc+ac≤；（Ⅱ）（a+）+（b+）+（c+）≥10．参考答案一、选择题1．设集合A＝{y|y＝5x+1}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，+∞）C．（1，2]D．[1，2]解：∵A＝（1，+∞），B＝（﹣1，2]，∴A∩B＝（1，2]．故选：C．2．已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1【分析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a＝0，b＝1，∴a+b＝1，故选：D．3．已知m＞1，，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用指数函数、对数函数幂函数的单调性即可得出．解：当m＞1时，由对应函数的性质可知a＜0，0＜b＜1，c＞1，则a＜b＜c成立．故选：A．4．函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用f（1）的值的符号是否对应进行排除即可．解：＝•sin x，则f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，由f（x）＝0，得1﹣e x＝0或sin x＝0，得x＝kπ，k∈Z，即当x＞0时，第一个零点为π，当x＝1时，f（1）＝•sin1＜0，排除A，故选：C．5．我国古代数学家对圆周率π的近似值做出过杰出的贡献，魏晋时期的数学家刘徽首创用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，称为“割圆术”．在割圆术求π的方法中，若使用正三十二边形，则圆周率的近似值为（）（附：）A．3.13B．3.12C．3.064D．3.182【分析】圆的内接正多边形的面来逼近圆面积，由，得，解：设正三十二边形的外接圆半径为r，三十二个小等腰三角形顶角为，，圆的内接正多边形的面来逼近圆面积由，得，故选：B．6．已知双曲线C的一个焦点为（0，5），且与双曲线的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】由已知是双曲线的方程可得渐近线的方程，设双曲线C的方程可得渐近线的方程，由题意可得a，b的关系，再由焦点的坐标可得a，b的值即求出双曲线C的方程．解：双曲线的渐近线方程为：y＝x，由题意设双曲线C的方程为：﹣＝1，由焦点坐标（0，5）可得a2+b2＝25，①渐近线的方程为：y＝x再由C与双曲线的渐近线相同，所以＝，②，由①②可得a2＝5，b2＝20，所以双曲线C的方程为：﹣＝1，故选：D．7．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，3）到焦点F的距离为4，直线l过M（0，3）且与C交于A，B两点，|BF|＝5，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝（）A．B．C．D．解：由题可知3+＝4，得＝1，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y．∵|BF|＝5，∴B点的坐标为（±4，4），当B点的坐标为（4，4）时，直线l的方程为y＝，与x2＝4y联立可得x2﹣x﹣12＝0，解得x＝4 或x＝﹣3，∴A点的坐标为（﹣3，），∴，∴，同理，当B点的坐标为（﹣4，4）时，，故选：B．8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．143【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i＝﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为48．解：初始值n＝3，x＝3，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2，v＝1×3+2＝5i＝1，v＝5×3+1＝16i＝0，v＝16×3+0＝48i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．9．在边长为3的等边△ABC中，点E满足，则＝（）A．9B．C．6D．【分析】由得＝2（﹣），即＝+，代入即可求解解：由得＝2（﹣），即＝+，则＝+•＝×3×3+×3×3×cos60°＝6．故选：C．10．在古装电视剧《知否》中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（）A．B．C．D．解：由题可知：筹数2456100P甲要想贏得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹．甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢，此种情况发生的概率；甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率；甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率；甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”、“四筹”、“五筹”、“六筹”，甲都可蠃，此种情况发生的概率，故甲获胜的概率，故选：D．11．已知函数f（x）＝log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1，若函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，2log73）B．（﹣2，﹣2log53）C．（﹣2log53，﹣1）D．（﹣log73，﹣）【分析】把函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，转化为k log3x＝﹣h（x）有3个不同根，画出函数y＝k log3x与y＝﹣h（x）的图象，转化为关于k的不等式组求解．解：由函数f（x）＝log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称，得g（x）＝3x，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1＝3x﹣1，函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，即k log3x＝﹣h（x）有3个不同根，画出函数y＝k log3x与y＝﹣h（x）的图象如图：要使函数y＝k log3x与y＝﹣h（x）的图象有3个交点，则k＜0，且，即﹣2＜k＜﹣2log53．∴实数k的取值范围是（﹣2，﹣2log53）．故选：B．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF不平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等【分析】在A中，若D1D⊥AF，则DD1⊥平面AEF，从而CC1⊥EF，不成立；在B中，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，推导出平面A1GO∥平面AEF，从而A1G∥平面AEF；在C中，连接D1F，D1A，延长D1F，AE交于点S，则EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，从而截面即为梯形AEFD1，进而；在D中，记点C 与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，由，，得以h1≠h2．解：在A中，若D1D⊥AF，又因为D1D⊥AE且AE∩AF＝A，所以DD1⊥平面AEF，所以DD1⊥EF，所以CC1⊥EF，不成立，故A错误；在B中，如图所示，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，由条件可知：GQ∥EF，A1Q∥AE，且GQ∩A1Q＝Q，EF∩AE＝E，所以平面A1GO∥平面AEF，又因为A1G⊂平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，故B错误；在C中，如图所示，连接D1F，D1A，延长D1F，AE交于点S，因为E，F为C1C，BC的中点，所以EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，所以截面即为梯形AEFD1，又因为，，所以，所以，故C正确；在D中，记点C与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，因为，又因为，所以h1≠h2，故D错误．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分.13．设a1＝2，a n+1＝，b n＝||，n∈N*，则数列{b n}的通项公式b n＝2n+1，n∈N*．解：a1＝2，a n+1＝，b n＝||，n∈N，当n＝1时，b1＝＝4＝22，a2＝＝，当n＝2时，b2＝＝8＝23，a3＝＝，当n＝3时，b3＝||＝16＝24，a4＝＝，则b3＝32＝24，由此猜想b n＝2n+1，用数学归纳法证明，①当n＝1时，成立，②假设当n＝k时成立，即b k+1＝2k+2，∵a k+1＝，b k＝||，∴b k+1＝||＝||＝||＝2b k＝2k+2，故当n＝k+1时猜想成立，由①②可知，b n＝2n+1，n∈N*．故答案为：2n+1，n∈N*．14．函数f（x）＝的定义域为（0，4]．解：由2﹣log2x≥0，得log2x≤2，解得0＜x≤4．∴函数f（x）＝的定义域为（0，4]．故答案为：（0，4]．15．函数f（x）＝在x＝处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，则该切线在y轴上的截距为﹣1．解：因f′（x）＝cos（x﹣）﹣a sin x，由题意得f′（）＝1﹣a＝﹣1，解得a＝2，又f（）＝1﹣a＝﹣1，则f（x）在x＝处的切线方程为y+1＝﹣（x﹣），令x＝0得y＝﹣1，则该切线在y轴上的截距为﹣1．故答案为：﹣1．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为260π．【分析】由已知利用正弦定理可求△ABC的外接圆的半径r，设三棱锥P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距离为d，设外接球的半径为R，则△O1OB中，82+d2＝R2，直角梯形O1ODP中，PD2＝42+（8﹣d）2＝R2，解得d＝1，R2＝65，即可得解三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积．解：在△ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，所以△ABC的外接圆的半径，结合图形分析：圆心到D点的距离为4，另设三棱锥P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距离为d，设外接球的半径为R，则△O1OB中，82+d2＝R2，直角梯形O1ODP中，PD2＝42+（8﹣d）2＝R2，解得d＝1，R2＝65，所以S＝4πR2＝260π，故答案为：260π．三、解答题：共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，且b1＝2，（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若c n＝a n•b n，且数列{c n}的前n项和为T n，证明：T n＜9．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知列式求得d，则等差数列的通项公式可求．再由数列递推式求得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，然后利用错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n，即可证明T n＜9．【解答】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），由a1，a2，a5成等比数列，得（1+d）2＝1×（1+4d），解得d＝0（舍去）或d＝2．则a n＝2n﹣1．∵b1＝2，，当n＝1时，，解得；当n≥2时，，有，即（n≥2），又，则；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．则，两边乘以，得．两式相减得＝＝．∴＜9得证．18．2019年12月以来，发现多起病毒性病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P（0＜p＜1），某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X（0≤X≤a），假设每位密切接触者不再接触其他患者．（Ⅰ）求一天内被感染人数为X的概率P（X）与a、p的关系式和X的数学期望；（Ⅱ）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E n（n≥2）．（i）求数列{E n}的通项公式，并证明数列{E n}为等比数列；（ⅱ）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln（1+p）﹣．当p取最大值时，计算此时p'所对应的E6'值和此时p对应的E6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a＝10）（结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7）【分析】（Ⅰ）由题意X～B（a，p），由此能求出一天内被感染人数为X的概率P（X）与a、p的关系式和X的数学期望．（Ⅱ）（i）第n天被感染人数为（1+ap）n﹣1，第n﹣1天被感染人数为（1+ap）n﹣2，从而E n＝（1+ap）n﹣1﹣（1+ap）n﹣2＝ap（1+ap）n﹣2．由此能证明{E n}是以ap为首项，1+ap为公比的等比数列．（ii）令f（p）＝ln（1+p）﹣，则f′（p）＝，f（p）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，推导出E6＞E6'，从而戴口罩很有必要．解：（Ⅰ）由题意X～B（a，p），则P（X）＝，EX＝ap．（Ⅱ）（i）第n天被感染人数为（1+ap）n﹣1，第n﹣1天被感染人数为（1+ap）n﹣2，由题目中均值定义得：E n＝（1+ap）n﹣1﹣（1+ap）n﹣2＝ap（1+ap）n﹣2．∴＝1+ap，且E1＝ap，∴{E n}是以ap为首项，1+ap为公比的等比数列．（ii）令f（p）＝ln（1+p）﹣，则f′（p）＝，∴f（p）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，f（p）max＝f（）＝ln＝ln3﹣ln2﹣≈1.1﹣0.7﹣0.3＝0.1．则当a＝10，E n＝10p（1+10p）n﹣2，E6'＝10×0.1（1+10×0.1）4≈1.46，E6＝10×0.5（1+10×0.5）4≈25.31，∵E6＞E6'，∴戴口罩很有必要．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，E 为PA的中点，点F在PD上，EF⊥平面PCD，M在DC的延长线上，且（1）证明：EF∥平面PBM；（2）过点C作BD的平行线，与直线AB相交于点G，当点Q在线段CG上运动时，二面角E﹣DQ﹣A能否等于60°？请说明理由．【分析】（1）记PB的中点为H，连接EH，过F作FK∥DM交PM于K，连接HK，由已知结合求解三角形可得四边形EFKH是平行四边形，得EF∥HK，再由线面平行的判定可得EF∥平面PBM；（2）由已知证明证明PO⊥平面ABCD并求得PO＝4．以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面EDQ与平面ABCD的一个法向量，由两法向量求出二面角E﹣DQ﹣A的余弦值，由余弦值大于即可得到二面角E﹣DQ﹣A不可能为60°．【解答】（1）证明：记PB的中点为H，连接EH，过F作FK∥DM交PM于K，连接HK，则EH∥AB，且．∵EF⊥平面PCD，∴EF⊥PD．在△PAD中，，AD＝2，求得，，又，则，∵，∴KF＝1，∵EH＝FK，且AB∥EH∥CD∥FK，∴四边形EFKH是平行四边形，得EF∥HK，又HK⊂平面PBM，EF⊄平面PBM，∴EF∥平面PBM；（2）解：EF⊥平面PCD，∴EF⊥CD，而ABCD是正方形，∴CD⊥AD．∵EF与AD显然是相交直线，∴CD⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．记AD的中点为O，则PO⊥平面ABCD，且PO＝4．以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则，D（0，1，0），设Q（a，3﹣a，0），2≤a≤4，∴，．设平面EDQ的一个法向量为，则，令y＝4，得．平面ABCD的一个法向量为，设二面角E﹣DQ﹣A的大小是φ，则cosφ＝|cos＜＞|＝．∵2≤a≤4，∴，则，∴，∵，∴φ＜60°，即二面角E﹣DQ﹣A不可能为60°．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P为W的上顶点，点Q在W上，＝7，且•＝﹣．（1）求W的方程；（2）已知过原点的直线l1与椭圆W交于C，D两点，垂直于l1的直线l2过F1且与椭圆W交于M，N两点，若|CD|2＝6|MN|，求．【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得Q点坐标，代入椭圆方程，再由•＝﹣．即可求得a和b的值，求得W的方程；（2）根据题意可知，直线l2存在且不为0，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|MN|，同理求得|CD|，根据题意，即可求得直线l2的斜率，因此可以求得△F2CD的面积．解：（1）设椭圆W的焦距为2c，因为＝7，所以Q的坐标为．因为Q在W上，将代入，得．又因为•＝﹣，所以，所以c2﹣b2＝2．又因为a2＝b2+c2，所以a2＝4，b2＝1，因此W的方程为；（2）当直线l2的斜率不存在时，|CD|＝2，|MN|＝4，不符合题意；当直线l2的斜率为0时，|CD|＝4，|MN|＝1，也不符合题意．可设直线l2的方程为，联立方程组，消去y，整理得，则，．所以．由得或所以．又因为|CD|2＝6|MN|，所以，解得k2＝2，所以，因为F2到直线CD的距离，所以．21．已知，g（x）＝a（x+1）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＞0时，若关于x的方程f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2），证明：a＞e2且x1x2＜x1+x2．【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据关于x的方程f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根可得e x＝a（x﹣1）（x≠1）得方程存在两个正实数根x1，x2，构造函数h（x）＝e x﹣ax+a，利用导数求出函数的零点，再令α＝x1﹣1，β＝x2﹣1，则，变形整理得．要证x1x2＜x1+x2，则只需证αβ＜1，根据斜率的意义结合导数和函数最值的关系即可证明．【解答】（1）解：∵，∴f（0）＝1，f'（0）＝3，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为3x﹣y+1＝0．（2）证明：由f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2），整理e x＝a（x﹣1）（x≠1）得方程存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2）．由a＞0，知x2＞x1＞1，令h（x）＝e x﹣ax+a，则h'（x）＝e x﹣a，当x＞lna时，h'（x）＞0，h（x）在（lna，+∞）上单调递增；当x＜lna时，h'（x）＜0，h（x）在（0，lna）上单调递减．所以h（x）min＝h（lna）＝2a﹣alna．因为h（x）＝e x﹣ax+a有两个零点，即2a﹣alna＜0，得a＞e2．因为实数x1，x2是e x＝a（x﹣1）的两个根，从而．令α＝x1﹣1，β＝x2﹣1，则，变形整理得．要证x1x2＜x1+x2，则只需证αβ＜1，即只要证（0＜α＜1＜β），结合对数函数y＝lnx的图象可知，只需要证（α，lnα），两点连线的斜率要比（α，lnα），（β，lnβ）两点连线的斜率小即可．因为，所以只要证，整理得（0＜α＜1）．令（0＜x＜1），则，所以g（x）在（0，1）上单调递减，即g（x）＞g（1）＝0，所以（0＜α＜1）成立，故x1x2＜x1+x2成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（β为参数），将曲线C1上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C2的极坐标方程和l的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与l，C2分别交于A，B两点（异于极点），定点M（14，0），求△MAB的面积．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）将曲线C1：（β为参数），消去β得x2+y2＝9，后得曲线C2：，化为极坐标方程为．直线l的极坐标方程为，即ρcosθ+ρsinθ﹣6＝0，所以l的直角坐标方程为x+y﹣6＝0．（2）M到射线的距离．因为，，所以，[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（Ⅰ）ab+bc+ac≤；（Ⅱ）（a+）+（b+）+（c+）≥10．【分析】（Ⅰ）运用重要不等式和三个数的完全平方公式，可得证明；（Ⅱ）由1＝a+b+c代入，结合基本不等式，以及累加法，结合不等式的性质可得证明．【解答】证明：（Ⅰ）a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，则（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，又由均值不等式得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，即有3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ac≤得证．（Ⅱ）a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，可得＞0，＞0，＞0，则（a+）+（b+）+（c+）＝1+++＝4+（+）+（+）+（+），又由均值不等式得+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，则（a+）+（b+）+（c+）≥4+6＝10得证．（当且仅当a＝b＝c＝时等号成立）．。