山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)文科数学(含答案)z
山西太原市2020年高三年级模拟试题（一）
数学试卷（文科）
注意事项：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若全集{}4,3,2,1,0=U ，集合{
}3,2,1=A ，{}4,2=B ，则A C B U Y =（ ） A.{}4,2,0 B.{
}4,3,1 C.{}4,3,2 D.{}4,3,2,0 2.已知i 是虚数单位，复数i m m )2(1-++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）
A.)1,(--∞
B.)21
(，- C.),2(+∞ D.)1,(--∞),2(+∞Y 3.已知等差数列{}n a 中，前5项和3,2525==a S ，则=9a （ ）
A.16
B.17
C.18
D.19
4.已知平面向量)3,1(),2,4(-=-=，若λ+与垂直，则=λ（ ）
A.2-
B.2
C.1-
D.1
5.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A.
16
5
B.
32
11
C.
16
7
D.
32
13
6.某程序框图如图所示，若4
=
a,则该程序运行后输出的结果是（）
A.
4
7
B.
5
9
C.
6
11
D.
7
13
7.函数
x
x
x
f
1
)
(
2-
=的图象大致为（）
8.已知变量x，y满足约束条件
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
-
≤
-
≤
+
1
2
3
6
x
y
x
y
x
，若目标函数y
x
z2
+
=的最大值为（）A.3 B.5 C.8 D.11
9.设)2,0[,π∈∈b R a ，若对任意实数x 都有)sin()33sin(b ax x +=-π
，则满足条件的有序实数对
),(b a 的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
10．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ）
A.3
B.3
C.
23 D.4 11.过抛物线x y 42=上点)2,1(P 作三条斜率分别为321k k k 、、的直线321l l l 、、，与抛物线分别交于
不同与P 的点A ，B ，C.若1-03221=⋅=+k k k k ，，则下列结论正确的是（ ）
A.直线AB 过定点
B.直线AB 斜率一定
C.直线BC 斜率一定
D.直线AC 斜率一定
12.函数)(x f 的定义域为)(),2,(x f '-∞为其导函数.若x e
x x f x f x -=+'-1)()()2(且0)0(=f ，则0)(<x f 的解集为（ ）
A.)0,(-∞
B.)1,0(
C.)2,1(
D.)2,0(
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.双曲线822
2=-y x 的实轴长是 .
14.已知函数)()14(log )(4R k kx x f x ∈++=是偶函数，则k =
15.在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子
M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是 .
16.我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，)(,1,1*1221N n a a a a a n n n ∈+===++.用n S 表示它的前n 项和，若已知m S =2020，那么=2020a
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题；共60分．
17．（本小题满分12分）
手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；
（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间]170,150(的概率.
18.（本小题满分12分）
已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，21cos )6sin(32cos
2-=++C c C ππ. （Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若ABC c ∆=,3的面积为233，求b
a 11+的值.
19.（本小题满分12分）
如图（1），在等腰直角△ABC 中，4,90==∠AB ACB ο
，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥BCD A -1，如图（2），其中ο601=∠DB A ，点M ，N ，G 分别为B A BC C A 11、、的中点.
（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；
（Ⅱ）求三棱锥DC A G 1-的体积.
20.（本小题满分12分）
已知函数x e x f x cos )(-=
（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；
（Ⅱ）证明：)(x f 在),2(+∞-
π上有且仅有2个零点.
21.（本小题满分12分）
椭圆E 的焦点为)0,1(1-F 和)0,1(2F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点)0,2(H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C.设F AF 22λ=，已知当2=λ时，1BF AB =.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θ
θsin 3cos 3y x （θ为参数），已知点Q （6，0），
点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（I ）求点M 的轨迹2C 2C 的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线kx y l =:与曲线2C 交于A ，B 两点，若AB OA 4=，求k 的值
23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲] 已知函数1)(,2)(-=-=x x g a x x f .
（I ）若)(2)(x g x f +的最小值为1，求实数a 的值；
（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）<1的解集包含]1,2
1[，求实数a 的取值范围.
·11·。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1,2,3,4,5},若集合A={1,2,3,5}，B={2,3,4}则(C U A)∪B为()．A. {1,2,4}B. {4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2.已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则x的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,0)C. (−∞,0)D. (0,1)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13=26，a11=10，则a20=()A. 26B. 28C. 30D. 324.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=()A. 1B. 2C. 3D. 45.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.6.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是()A. 101102B. 100101C. 99100D. 98997.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.设变量x，y满足约束条件{2x+y≤2x+2y≤2x≥0 y≥0，则目标函数z=−2x+y的最大值是()A. 4B. 2C. 1D. −239.若对任意x∈R，都有cos(2x−5π6)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω,φ)的对数为A. 0B. 1C. 2D. 310.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，已知某“堑堵”和“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 5√36B. 7√36C. √36D. 3√3611.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=√3(x−1)，l与C交于A，B两点，若|AB|=163，则p=()A. 8B. 4C. 2D. 112.函数f(x)是定义域在R的可导函数，满足：f(x)<f′(x)且f(0)=2，则f(x)e x>2的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x24−y23=1的渐近线方程是______，实轴长为______．14.已知函数f(x)=ax−log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数，则a=________________．15.如图，四边形ABCD和ABEF均是边长为1的正方形，且平面ABCD⊥平面ABEF.M，N分别为对角线AC，BF上两点，则MN的最小值为________．16.已知首项为1的数列{a n}，满足a n+1=11+a n(n∈N∗)，则a3=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．等级不及格及格良好优秀得分[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频数6a24b(Ⅰ)求a、b、c的值；(Ⅱ)试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；(Ⅲ)已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现在再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中恰有1人为“优秀”的概率．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若sin(A+π)=2cos A，求A的值；6(2)若cos A=1，b=3c，求sin C的值.319.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D−BCG的体积．20. 已知函数f(x)=(x −a −1)e x−1，a >0．(1)当a =1时，求y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)+alnx −x ，求g(x)的极值点．21. 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4√2y 的焦点，离心率等于√63.椭圆E 的左焦点为F ，过点M(−3,0)任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)求△MBC 面积的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x −1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，且2a +b =m(a >0,b >0)，求2a +1b 的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B即可．解：全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={1,2，3，5}，B={2,3，4}，则∁U A={0,3，4}，所以(∁U A)∪B={0,2，3，4}．故选D．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．由题意，可得1+x<0，即可得解．解：∵复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x<0，解得x<−1，∴x的取值范围是(−∞,−1)．故选A．3.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．利用等差数列的性质求解即可．=13a7=26，所以a7=2，解：S13=13(a1+a13)2所以4d=a11−a7=8，解得d=2，所以a20=a11+9d=10+9×2=28．故选B．4.答案：B解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．6.答案：B解析：本题考查的知识要点：程序框图在数列中的应用，利用裂项相消法求数列的和的应用．属于基础题型．直接利用程序框图的循环结构，数列的求和和利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．解：根据程序框图：S=S+1i −1i+1，执行第一次循环时：S=0+1−12=12，执行第二次循环时，S =1−12+12−13=23，当n =100时，输出结果为：S =1−12+12−13+⋯−1101=1−1101=100101．故选：B ． 7.答案：B解析：本题主要考查函数图像的识别，考查学生思考推理的过程．解：因为f(−1)=|2−1−2|2−1+2=35，f(1)=|21−2|21+2=0，所以f (−1)≠f (1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ，又f (0)=13，排除D ．故选B ． 8.答案：C解析：本题考查利用简单线性规划求最值.由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z =y −2x 的最大值的位置，即可求出其最值．解：由题意，作出可行域，如图所示：由{x +2y =2x =0，得A(0,1)，由z=−2x+y得y=2x+z，平行移动直线y=2x+z，当直线过点A时，截距最大，则z的值最大，∴目标函数z=−2x+y的最大值是1.故选C．9.答案：C解析：本题考查诱导公式及三角函数的性质，属于中档题．由诱导公式可得，cos (2x−5π6)=sin (2x−π3)，即可得ω=±2，从而可得ω=2时φ=−π3；ω=−2时，φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，即可得结果．解：cos(2x−5π6)=cos(2x−π3−π2)=sin(2x−π3)，由条件知ω=±2，若ω=2，由φ=−π3+2kπ(k∈Z)且|φ|<π，得φ=−π3；若ω=−2，sin(−2x+φ)=sin(2x+π−φ)，则π−φ=−π3+2kπ(k∈Z)，所以φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，又|φ|<π，则φ=−2π3．故选C．10.答案：A解析：解：由三视图知：几何体右边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和√3，高为1，其体积V1=13×√3×1=√33左边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是√3和1的直角三角形，高为1，其体积V2=12×1×√3=√32∴该几何体的体积V=V1+V2=√33+√32=5√36．故选：A．由已知中的三视图，可知该几何体右边是四棱锥，即“阳马”，左边是直三棱柱，即“堑堵”，该几何体的体积只需把“阳马”，和“堑堵”体积分别计算相加即可．本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：直线l：y=√3(x−1)与抛物线y2=2px联立，可得3x2+(−6−2p)x+3=0，Δ=(6+2p)2−36>0，x1+x2=6+2p3,x1x2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=2|x1−x2|，∴2√(6+2p3)2−4=163，∴p=2，故选：C．直线与抛物线联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求出p．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：设F(x)=f(x)e x，则F′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵f(x)<f′(x)，∴F′(x)>0，即函数F(x)在定义域上单调递增；∵f(0)=2，∴不等式f(x)e x>2等价为F(x)>F(0)，解得x>0，所求不等式的解集为(0,+∞)．故选：B．根据条件构造函数F(x)=f(x)e x，求函数F(x)的导数，利用函数的单调性即可求出不等式的解集．本题主要考查了函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．13.答案：√3x±2y=0 4解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可．解：双曲线x24−y23=1，可得a=2，b=√3，所以双曲线的渐近线方程是：√3x±2y=0，实轴长为：4．故答案为：√3x±2y=0；4．14.答案：12解析：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．根据偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，即可得−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+ 1)+cos x，整理即可求得a．解：因为f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，即−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cos x，∴2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=log22x+12−x+1=x，由x的任意性2a=1，可得a=12．故答案为12．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33． 16.答案：23解析：本题主要考查数列项的求解，属于基础题，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据数列的递推关系即可得到结论．解：∵首项为1，满足a n+1=11+a n ∴a 2=11+1=12，a 3=11+12=23，故答案为：2317.答案：解：(Ⅰ)由频率和为1，得(0.005+c +0.02+0.01)×20=1，解得c =0.015，由a 6=0.0150.005，解得a =18，由b 6=0.010.005，解得b =12；(Ⅱ)该校安全意识测试评定为“优秀”的频率是0.01×20=0.2，估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数为3000×0.2=600；(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人，抽取比例为12：24=1：2；“优秀”人数选2人，记为A、B，“良好”人数选4人，记为C、D、E、F，现再从这6人中任选2人，基本事件数是AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种，选取的2人中有1人为“优秀”的基本事件数是AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF共8种，故所求的概率为P=815．解析：本题考查了列举法计算基本事件数和发生的概率，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．利用列举法写出基本事件数，求出对应的概率值．(Ⅰ)由频率和为1求出c的值，根据频率与频数的比例关系求出a、b的值；(Ⅱ)计算评定为“优秀”的频率，求出对应的频数即可；(Ⅲ)采用分层抽样法，抽取优秀和良好的学生分别为2人和4人，18.答案：解：(1)由题意知sin Acosπ6+cos Asinπ6=2cos A，即sin A=√3cos A，且cos A≠0，所以tan A=√3，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由cos A=13，b=3c，及a2=b2+c2−2bccos A，可得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，所以sin C=cos A=13．解析：本题考查三角形的余弦定理、考查两角和的正弦公式，属于基础题．(1)利用两角和的正弦公式，即可求出角A的正弦，从而求出角A;(2)利用余弦定理得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，即可求解．19.答案：证明：(1)∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG=G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF//AD，∴EF⊥平面BCG．解：(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO=AB⋅sin60°=2√3，∴三棱锥D−BCG的体积：V D−BCG=V G−BCD=13×12×BD×BC×sin120°×√3=4．解析：(1)推导出△ABC≌△DBC，CG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面BGC，推导出EF//AD，由此能证明EF⊥平面BCG．(2)作AO⊥BC，交CB的延长线于O，推导出AO⊥平面BDC，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，三棱锥D−BCG的体积V D−BCG=V G−BCD．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=(x−2)e x−1，∴f′(x)=(x−1)e x−1，∴k=f′(2)=e，∵f(2)=0，∴y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=e(x−2)；(2)g(x)=f(x)+alnx−x=(x−a−1)e x−1+alnx−x，x>0，∴g′(x)=(x−a)e x−1+ax−1，x>0，由g′(x)=(x−a)e x−1−x−ax=(x −a)(e x−1−1x )=0，可得x =1或x =a ，当0<a <1时，可得g(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得g(x)在x =a 处取得极大值，在x =1处取得极小值；当a =1处，g(x)单调递增，无极值；当a >1时，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，可得g(x)在x =1处取得极大值，在x =a 处取得极小值．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的极值，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；(2)求得g(x)的解析式，求得导数，令g ′(x)=0，解方程可得x =1，x =a ，讨论0<a <1，a =1，a >1，可得单调性，即可得到极值点．21.答案：解：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，抛物线x 2=4√2y 的焦点为(0,√2)，由题意可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2， 解得a =√6，b =√2，c =2，∴椭圆E 的方程为x 26+y 22=1；(Ⅱ)证明：点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3)，联立{y =k(x +3)x 2+3y 2=6得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6=0， △=(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k ，x 1x 2=27k 2−61+3k ，y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)，∵F(−2,0)，C(x 1,−y 1).∴FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)， ∵(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)=(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)=k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[2⋅27k 2−61+3k 2+5⋅(−18k 21+3k 2)+12]=0，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：k 2<23，由题意可知：S =12|MF||y 1|+12|MF||y 2|=12|MF||y 1+y 2|=12|k(x 1+x 2)+6k|=3|k|1+3k 2=31|k|+3|k|≤2√3=√32． 当且仅当k 2=13<23，“=”成立，∴k 2=13时，△MBC 面积S 取得最大值√32．解析：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题意可知可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2，解方程即可得到所求；(Ⅱ)点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3).设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F(−2,0)，C(x 1,−y 1)，FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)，利用向量共线定理即可判断出； (Ⅲ)利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2,因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1),解得：x无解或1≤x≤2或2<x≤4，故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]；(2)由(1)可知f(x)在(−∞,2]时单调递增，在[2,+∞)时单调递减，则f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13(2√2ab·2ba+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以2a +1b的最小值为3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)f(x)≥13(x−1)转化为{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，先求出每个不等式组的解集，再求它们的并集即可；(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，再由基本不等式即可求出．。
2020届山西省太原市一模数学(文科)试卷及答案
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．194．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+ 与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．15．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13326．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．1377．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为()A ．3B ．5C ．8D ．119．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．410．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A 3B ．3C 3D ．411．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()x xx f x f x e-'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是．14．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆，求11a b+的值．19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1．（5分）已知全集{0U =，1，2，3，4}，集合{1A =，2，3}，{2B =，4}，则()U A B ð为()A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，3，4}D ．{0，2，4}【解答】解：{0U A = ð，4}，(){0U A B ∴= ð，2，4}；故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是()A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(2,)+∞D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞【解答】解： 复数1(2)m m i ++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1020m m +<⎧⎨->⎩，解得1m <-．∴实数m 的取值范围是(,1)-∞-．故选：A ．3．（5分）已知等差数列{}n a 中，前5项和525S =，23a =，则9(a =)A ．16B ．17C ．18D ．19【解答】解：525S = ，23a =，53255S a ∴==，则35a =，则公差322d a a =-=，11a =，则918217a =+⨯=．故选：B ．4．（5分）已知平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，则(λ=)A ．2-B ．2C ．1-D ．1【解答】解： 平面向量(4,2),(1,3)a b =-=- ，若a b λ+与b 垂直，(∴2)46100a b b a b b λλλ+=+=++=，求得1λ=-，故选：C ．5．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为222222232=，故概率716P =．故选：C ．6．（5分）某程序框图如图所示，若4a =，则该程序运行后输出的结果是()A ．74B ．95C ．116D ．137【解答】解：由题意知，该程序计算的是数列1{}(1)n n +前四项的和再加上1．111(1)1n n n n =-++，11111111(1)()()(2233445S ∴=+-+-+-+-95=．故选：B ．7．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B ．C．D ．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数2z x y=+的最大值为()A．3B．5C．8D．11【解答】解：作出可行域如图，由2z x y=+知，1122y x z =-+，所以动直线1122y x z=-+的纵截距12z取得最大值时，目标函数取得最大值．由16xx y=⎧⎨+=⎩得(1,5)A．结合可行域可知当动直线经过点(1,5)A 时，目标函数取得最大值12511z =+⨯=．故选：D ．9．（5分）设a R ∈，[0b ∈，2)π，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3x ax b π-=+，则满足条件的有序实数对(,)a b 的对数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解： 对于任意实数x 都有sin(3sin()3x ax b π-=+，则函数的周期相同，若3a =，此时sin(3sin(3)3x x b π-=+，此时5233b πππ=-+=，若3a =-，则方程等价为sin(3)sin(3)sin(3)sin(3)3x x b x b x b ππ-=-+=--=-+，则3b ππ-=-+，则43b π=，综上满足条件的有序实数组(,)a b 为5(3,3π，4(3,)3π-，共有2组，故选：B ．10．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为()A B ．3C ．2D ．4【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以r ==．故选：C ．11．（5分）过抛物线24y x =上点(1,2)P 作三条斜率分别为1k 、2k 、3k 的直线1l 、2l 、3l ，与抛物线分别交于不同与P 的点A ，B ，C ．若120k k +=，231k k =- ，则下列结论正确的是()A ．直线AB 过定点B ．直线AB 斜率一定C ．直线BC 斜率一定D ．直线AC 斜率一定【解答】解：120k k +=，231k k =- 可得设1l d 的斜率为k ，则2l ，3l 的斜率分别为：k -，1k，设直线1l 的方程为：(1)2y k x =-+，则2l 的方程为(1)2y k x =--+，3l 的方程为1(1)2y x k=-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，联立直线1l 与抛物线的方程：2(1)24y k x y x=-+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4](2)0k x k k x k +--+-=，所以22(2)1A k x k -=，所以22(2)A k x k -=，代入直线1l 中可得22(2)44(1)2[1]2A k k y k x k k k --=-+=-+=，即22(2)(k A k -，42kk -；联立直线2l 与抛物线的方程可得2(1)24y k x y x =--+⎧⎨=⎩，整理可得222[2(2)4(2)0k x k k x k -++++=，所以22(2)1B k x k +=，可得22(2)B k x k +=，代入2l 中可得22(2)24(1)2[1]2B k k y k x k k k ++=--+=--+=-，即22(2)(k B k +，24k k +-；联立直线3l 与抛物线的方程：21(1)24y x k y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理可得24840y ky k -+-=，284C y k =- ，所以42C y k =-，代入抛物线的方程可得2(21)C x k =-，可得2((21)C k -，42)k -；所以222224224818(2)(2)ABk k k k k k k k k k k k -++===---+-为定值；故选：B ．12．（5分）函数()f x 的定义域为(,2)-∞，()f x '为其导函数．若1(2)()()xxx f x f x e -'-+=且(0)0f =，则()0f x <的解集为()A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(0,2)【解答】解：令()(2)()g x x f x =-，2x <，由题意可得，1()xxg x e -'=，当1x >时，()0g x '<，函数单调递减，当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，又(0)0g =，2x →时，()0g x →，由()0f x <可得()02g x x <-即()0g x >，结合函数图象可知，02x <<．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）双曲线2228x y -=的实轴长是4．【解答】解：双曲线2228x y -=化为标准方程为22148x y -=24a ∴=2a ∴=24a ∴=即双曲线2228x y -=的实轴长是4故答案为：414．（5分）已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，则k 的值为12-．【解答】解：（1）由函数()f x 是偶函数，可知()()f x f x =-44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+-即441log 241x xkx -+=-+，4log 42x kx=-2x kx ∴=-对一切x R ∈恒成立，12k ∴=-故答案为12-．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+= ，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||3min MN ==．MN ∴．故答案为：3．16．（5分）我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =1m +．【解答】解：11a = ，21a =，*21()n n n a a a n N ++=+∈，123a a a ∴+=，234a a a +=，345a a a +=，⋯⋯201920202021a a a +=，202020212022a a a +=，以上累加得：12342020202134202120222222a a a a a a a a a a ++++⋯⋯++=++⋯⋯++，123202020222a a a a a a m ∴+++⋯⋯+=-=，20221a m ∴=+，故答案为：1m +．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：（Ⅰ）求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150，170]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：0.002200.00620200.002200.002201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，解得0.008a =，设中位数是110x +，则0.002200.006200.008200.0120.5x ⨯+⨯+⨯+=，解得15x =，∴中位数是125．（Ⅱ）由175(0.002200.006200.00820)98⨯⨯+⨯+⨯=，∴估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．（Ⅲ）在区间(150，170]中有28人，在区间(170，190]中有7人，在区间(190，210]中有7人，按分层抽样抽取6人，则从(150，170]中抽取4人，(170，190]和(190，210]中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数2615n C ==，这两人均来自区间(150，170]包含的基本事件个数246m C ==，∴这两人均来自区间(150，170]的概率62155m p n ===．18．（12分）已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，212cossin()cos 362C C ππ++=-．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若3c =，ABC ∆的面积为2，求11a b+的值．【解答】解：（Ⅰ）212cos sin()cos 362C c C ππ++=-，1sin()cos 62C C π∴+-=，∴11cos cos 222C C C +-=，∴11cos 222C C -=，1sin(62C π∴-=，而C 为三角形的内角，3C π∴=；（Ⅱ）ABC ∆，及3C π=，得1sin 23ab π=化简可得6ab =，又3c =，由余弦定理，得222cos 9a b ab C +-=，化简得2215a b +=，a b ∴+=，∴11a b a b ab ++==19．（12分）如图（1）在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AB =，点D 为AB 中点，将ADC ∆沿DC 折叠得到三棱锥1A BCD -，如图（2），其中160A DB ∠=︒，点M ，N ，G 分别为1A C ，BC ，1A B 的中点．（Ⅰ）求证：MN ⊥平面DCG ；（Ⅱ）求三棱锥1G A DC -的体积．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，在图（1）中，AC BC ==，2AD BD CD ===，∴在三棱锥1A BCD -中，1A D BD =，1A C BC =，G 是1A B 的中点，1DG A B ∴⊥，1CG A B ⊥，DG CG G = ，1A B ∴⊥平面DGC ，点M ，N ，分别为1A C ，BC 的中点．1//MN A B ∴，MN ∴⊥平面DCG ．（Ⅱ）解：由图（1）知1CD A D ⊥，CD BD ⊥，1A D BD D = ，CD ∴⊥平面1A DG ，又160A DB ∠=︒，∴△1A DB 是等边三角形，1DG A B ∴⊥，12A B =，11112A G AB ==，DG =，∴11111222A DG S A G DG =⨯⨯=⨯⨯=，∴三棱锥1G A DC -的体积：1111123323G A DC C A DG A DG V V S CD --==⨯==．20．（12分）已知函数()cos x f x e x =-．（1）求()f x 在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求证：()f x 在(2π-，)+∞上仅有两个零点．【解答】解：（1）(0)0f =．∴切点为(0,0)．()sin x f x e x '=+．(0)1f ∴'=，()f x ∴在点(0，(0))f 处的切线方程为：00y x -=-，化为：0x y -=．证明：（2）()sin x f x e x '=+．0x 时，1x e ，()0f x ∴' ，∴函数()f x 在[0，)+∞上单调递增，而(0)0f =，∴函数()f x 在[0，)+∞上只有一个零点0．(2x π∈-，0)时，()cos 0x f x e x ''=+>．∴函数()f x '在(2x π∈-，0)上单调递增，而21(102f eππ'-=-<，(0)10f '=>，∴存在唯一实数0(2x π∈-，0)，使得000()sin 0x f x e x '=+=，且函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上单调递减，0(x x ∈，0)上单调递增．又21()02f eππ-=>，00000()cos sin cos 0x f x e x x x =-=--<，(0)0f =．∴函数()f x 在(2x π∈-，0)x 上存在唯一零点，而在0[x x ∈，0)上无零点．综上可得：()f x 在(2π-，)+∞上仅有2个零点．21．（12分）椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线1l 交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线2l ，又知点(2,0)H ，直线BH 记为3l ，2l 与3l 交于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆方程为22221x y a b+=，其中221b a =-，由已知当2λ=时，不妨设2||BF m =，则2||2AF m =，1||||AB BF = ，1||3BF m ∴=，由椭圆定义得24a m =，从而12||||2AF AF m ==，故此时点A 在y 轴上，不妨设(0,)A b -，从而由已知条件可得3(2B ，)2b，代入椭圆方程，解得23a =，所以2212b a =-=，故所求椭圆方程为：22132x y +=；（Ⅱ）证明：如图所示：，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线AB 的方程为：1x my =+，代入椭圆22236x y +=中，得：22(23)440m y my ++-=，∴122423m y y m -+=+，122423y y m -=+，∴1212y y m y y +=，由题设知(2,0)H ，直线BH 斜率222112221211BH y y y k y y y x my y ====+---，∴直线BH 的方程为：1(2)y y x =-，而直线2l 方程为：1y y =，代入1(2)y y x =-，得3x =，故点C 的横坐标是定值3．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos 16θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan k θ==．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a-<且1a->，∴312a-<<-．实数a的取值范围：3(2-，1)-．。
山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)文科数学试题(解析版)
A．{0，2，4}
B．{1，3，4}
C．{2，3，4}
D．{0，2，3，4}
2．已知 i 是虚数单位，复数 m+1+（2﹣m）i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 m 的
取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣1，2）
C．（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
3．已知等差数列{an}中，前 5 项和 S5＝25，a2＝3，则 a9＝ （
A．ឡ
B．
hh C．
ht D．
h
分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列{
}前四项的和再加上 1．利用
ឡ㍈ឡ hឡ
裂项法求和可求解．
h
由题意知，该程序计算的是数列{
}前四项的和再加上 1．
ឡ㍈ឡ hឡ
h
hh
∵
，
ឡ㍈ឡ hឡ ឡ ឡ h
∴S＝1+（1
h㍈）
㍈
h ㍈
h t
ឡ
㍈
h t
h ឡ
ឡ
㍈
h ឡ
hឡ
以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任
取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．h
hh B．t㍈
C．h
ht D．t㍈
先设大正方形的边长为 4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为 2 ㍈，另外一
部分为梯形，上底为 ㍈，下底为 2 ㍈，高 ㍈，然后分别求出面积，根据与面积有关的几
作与 y 轴垂直的直线 l2，又知点 H（2，0），直线 BH 记为 l3，l2 与 l3 交于点 C．设 ㍈ 已知当 ＝2 时，|AB|＝|BF1|． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）求证：无论 如何变化，点 C 的横坐标是定值，并求出这个定值．
2020届山西省太原市高三下学期模拟(一)数学(文)试题(解析版)
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，2）
C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
【答案】A
【解析】根据复数对应的点在第二象限,可得 ,然后解不等式组得到m的取值范围.
【详解】
解:因为复数m+1+(2﹣m)i在复平面内对应的点在第二象限,
将其置入到长方体中，如图所示
易得 ，所以 ，
所以 .
故选：C
【点睛】
本题考查三视图及几何体外接球的问题，比较特殊的锥体，通常要考虑是否能够置入到长方体或正方体中来解决，查学生的空间想象能力，是一道容易题.
11．过抛物线 上点 作三条斜率分别为 ， ， 的直线 ， ， ，与抛物线分别交于不同于 的点 ．若 ， ，则以下结论正确的是（）
又 ， 为等边三角形，
.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积，属于中档题.
20．已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： 在区间 上有且仅有 个零点.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可.
【答案】
【解析】由已知， ， ，利用累加法即可得到答案.
【详解】
由已知， ， ，各式相加得
，即 ，又 ， ，
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：
2020年山西省高考数学模拟试卷(文科)(A卷)(3月份)(含答案解析)
2020年山西省高考数学模拟试卷(文科)(A 卷)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集U ={2,3,4,5,6,7}，集合A ={4,5,7}，B ={4,6}，则A ∩(∁U B)=( )A. {5}B. {2}C. {2,5}D. {5,7}2. 复数(i −1−i)3的虚部为( )A. 8iB. −8iC. 8D. −83. 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )A. y =(12)xB. y =1xC. y =−x 3D. y =log 3(−x)4. 在对两个变量x,y 进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释；②收集数据(x i ,y i ),i =1,2,⋯,n ；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图． 若根据实际情况能够判定变量x,y 具有线性相关性，则在下列操作顺序中正确的是( )A. ①②⑤③④B. ③②④⑤①C. ②④③①⑤D. ②⑤④③①5. 设a =ln3,b =log 312,c =0.21.1，则( )A. b <c <aB. b <a <cC. a <b <cD. c <b <a6. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为40，则侧视图中的a =( )A. 5B. 6C. 12D. 187. 现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为( )A. 15B. 310C. 25D. 128. 在如图所示的程序框图中，若输出的S =2048，则判断框内可以填入的条件是( )A. i ≥11B. i ≥10C. i ≤10D. i >99. 下列四个点位于不等式组{y >x,3x −y +2>0,x +y −2<0所表示的平面区域内的是( )A. (1,0)B. (0,−1)C. (−1,0)D. (0,1)10. 如果函数f(x)=sin(x +π3)+a 在区间[−π3,5π6]的最小值为√3，则a 的值为( )A. √3+12B. √32C. 2+√32D. √3−1211. 如图所示，A 1，A 2是椭圆C:x 218+y 29=1的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1，A 2重合，点N 满足NA 1⊥MA 1，NA 2⊥MA 2，则S △MA 1A 2S△NA 1A 2=( )A. 2B. 3C. 4D. 5212. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面内BCC 1B 1的动点，且A 1F//平面D 1AE ，给出下列命题： ①点F 的轨迹是一条线段； ②A 1F 与D 1E 不可能平行； ③A 1F 与BE 是异面直线；④平面A 1FC 1不可能与平面AED 1平行． 其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.在等差数列{a n}中，若a3=5，则a1+2a4=________．14.已知函数f(x)=x+4x ，g(x)=2x+a，若∃x1∈[12,3]，∀x2∈[2,3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围______．15.设双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=4PF2，则此双曲线离心率的最大值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）16.在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且cosAcosB =ba=34．(1)判断△ABC的形状；(2)若c=15，则△ABC的面积是多少？17.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，点M为棱A1B1的中点．(1)求证：AB⊥平面CC1M；(2)若AC=BC=CC1=2，∠ACB=120°，求三棱锥A1−C1B1B的体积．18. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，过点F ，斜率为1的直线与抛物线C 交于点A ，B ，且|AB|=8．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点Q(1,1)作直线交抛物线C 于不同于R(1,2)的两点D 、E ，若直线DR ，ER 分别交直线l ：y =2x +2于M ，N 两点，求|MN|取最小值时直线DE 的方程．19. 某单位有车牌尾号分别为0、5、6的汽车各一辆，分别记为A 、B 、C ，已知在非限行日，根据工作需要每辆车可能出车或不出车，A 、B 、C 三辆车每天出车的概率依次为23、23、12，且A 、B 、C 三车出车相互独立，在限行日，不能出车，该地区汽车限行规定如下：(Ⅰ)求该单位在星期四恰好出车两台的概率；(Ⅱ)设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望E(X)．20. 已知函数f(x)=e x+a −lnx ．(1)若函数f(x)在x =1处取得极值，求实数a 的值； (2)当a ≥−2时，证明：f(x)>0．21. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−4ρsinθ=12，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点． (1)求点Q 的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，点M(−1,2)恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程．22. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +1|，记不等式f(x)<4的解集为M ．(1)求M ；(2)设a,b ∈M ，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题．根据题意，求解即可．解：全集U={2,3,4,5,6,7}，B={4,6}，所以∁U B={2,3,5,7}，因为集合A={4,5,7}，所以A∩(∁U B)={5,7}；故选D．2.答案：C解析：解：∵(i−1−i)3=(1i −i)3=(1−i2i)3=(2i)3=8−i=8i，∴复数(i−1−i)3的虚部为8．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：本题考查函数单调性、奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=(12)x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；A错误；对于B，y=1x是奇函数，但在在定义域内不是减函数不符合题意；B错误；对于C，y=−x3，既是奇函数，又在定义域内为减函数，符合题意；C正确；对于D，y=log3(−x)，不是奇函数，不符合题意，D错误；故选：C．4.答案：D解析：若变量x,y具有线性相关性，则可由已知给定的变量数据求出变量间的回归方程，进而估算当变量取其他值得时候的估计值.5.答案：A解析：解：∵a=ln3>1，b=log312<log31=0，0<c=0.21.1<0.20=1．∴b<c<a．故选：A．利用有理指数幂与对数的运算性质比较a，b，c与0和1的大小得答案．本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题．6.答案：B解析：本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱锥，根据三视图，求得底面积和体积，即可计算a．解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个四棱锥，由俯视图得底面积S=5×a=5a，由正视图得ℎ=4，体积V=13Sℎ=203a，则203a=40，所以a=6故选B．7.答案：B解析：解：两对情侣的所有选择方案为：(巴黎、厦门)，(巴黎、马尔代夫)，(巴黎、三亚)，(巴黎、泰国)，(厦门，马尔代夫)，(厦门，三亚)，(厦门，泰国)，(马尔代夫，三亚)，(马列尔代夫，泰国)，(三亚，泰国)，共有10种选择，这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件有：(巴黎、马尔代夫)，(巴黎、泰国)，(马列尔代夫，泰国)，共3种， ∴这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率P =310． 故选：B ．利用列举法求出两对情侣的所有选择方案为10种选择，这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件有3种，由此能求出这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率．本题考查概率的求法，考查概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：A解析：解：根据程序框图的循环结构， 循环前：i =1，S =2 第一次循环时：S =4，i =2， 第二次循环时：S =8，i =3， …当i ≥11时，输出的S =2048， 故选：A ．直接利用程序框图的循环结构求出结果． 本题考查的知识要点：程序框图的应用．9.答案：D解析：本题主要考查的是不等式组表示的平面区域，属于基础题． 可结合选项依次代入不等式组检验判断即可． 解：选项A ，不满足不等式y >x ，故排除； 选项B ，不满足不等式y >x ，故排除；选项C ，不满足不等式3x −y +2>0，故排除； 选项D ，满足不等式组{y >x3x −y +2>0x +y −2<0,故选D ．10.答案：A解析：本题根据正弦函数的单调性求最值，难度适中． 解：由，当时，f (x )min =−12+a =√3，a =√3+12．故选A ．11.答案：A解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 解：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则直线MA 1的斜率为k MA 1=y 1−3x 1，由NA 1⊥MA 1，所以直线NA 1的斜率为k NA 1=−x1y 1−3．于是直线NA 1的方程为：y =−x1y 1−3x +3．同理，NA 2的方程为：y =−x 1y1+3x −3．联立两直线方程，消去y ，得x 1=y 12−9x 2．因为M 在椭圆x 218+y 29=1上，所以x 1218+y 129=1，从而y 12−9=−12x 12． 所以x 2=−12x 1． 所以S △MA 1A 2S△NA 1A 2=|x 1||x 2|=2．故选A ．12.答案：D。
【附加15套高考模拟试卷】山西省太原市2020届高三模拟考试(一)数学(文)试卷含答案
山西省太原市2020届高三模拟考试（一）数学（文）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()22,?52,x x a f x x x x a+>⎧=⎨++≤⎩，若函数()()2g x f x x =-恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A ．[)1,1-B ．[)1,2-C ．[)2,2-D ．[]0,22．数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ）A ．20B ．21C ．26D ．273．已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．36π+B ．66π+C ．312π+D ．124．阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马P ABCD -中，PC 为阳马P ABCD -中最长的棱，1,2,3AB AD PC ===，若在阳马P ABCD-的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）A ．127πB ．427πC ．827πD ．49π5．已知集合{}(){}2|0,|lg 21A x x x B x y x =-≥==-，则集合A B =I （ ）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[]0,1C ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 6．运行程序框图，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．已知函数()()f x x R ∈满足()()=f x f a x -，若函数25y x ax =--与()y f x =的图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，且12mi i x m ==∑，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且150S >，890a a +<，则使得0nn s a n+<最小的n 为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．139．已知函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+，将函数()f x 的图象向左平移(0)φφ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则φ的最小值是（ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π10．已知角a 的终边经过点(,1)A a ，若点A 在抛物线23y x =的准线上，则cos α=（ ）A ．3B ．3C ．12D ．12-11．函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，若其图象向左平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点(0)12，π对称 B ．关于直线12x π=对称C ．关于点(0)6π，对称 D ．关于直线6x π=对称 12．已知等比数列{}n a 的前n 项和3nn S a =+（a 为常数），则数列2{}n a 的前n 项和为（ ）A ．1(91)2n- B ．1(91)4n-C ．1(9)8na + D ．3(91)8na +-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年6月10日山西省太原市第五中学2020届高三6月一模考试文数参考答案
i 1
i 1
6
2
又由已知计算得： (x x)( yi y)
r
i 1
=
13.56
13.56 0.998
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
17.5 10.55 4.18 3.25
i 1
i 1
所以：由 R2 r 2 0.996 0.89 ，因此，回归方程 y ketx 的拟合效果要更好.
利用VB1 ABC
VABB1C
得：
1 3
SABC
d
1 3
S BB1C
AO ，
d
21 ，
7
sin d 21 BB1 7
19. 解：（1）由 y ketx 得： ln y tx ln k ，由上表中可得： x 3.5 ， u 3.13 ，
6
6
(ui u)2 10.55 ， (xi x)(ui u) 13.56 ，
6
（2）
①
由题知： t b
i 1
( xi
6
x)(ui (xi x)2
u)
=
13.56 17.5
0.77
i 1
因此有： ln k u b x =3.13-0.775×3.5=0.418
故 ln y 0.775x 0.418 ,
故回归方程为： y e0.775x0.418 ， 即： y 1.520e0.775x
要证： ln x x2 x ，只作差函数即可，余略
22. （1） 点 P 到直线 l 距离的最大值为 2 2
（2） t 的取值范围为 (0, 3) 23. （1） ( 8 ,2) ； （2） (0,8]
3
4
，即
2020年山西省太原市第三十四中学高三数学文模拟试题含解析
2020年山西省太原市第三十四中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线的左、右顶点分别为，点P是双曲线C上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A. B. C. 4 D. 2参考答案：D【分析】设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．2. 若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间(－∞,1)上递减,则实数a的取值范围为（）A. [1,2)B. [1,2]C.[1,+∞)D. [2,+∞)参考答案：B【分析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在上的最小值大于0，由此联立不等式组求解．【详解】解：令，其对称轴方程为，外函数对数函数是增函数，要使函数在上递减，则，即：．实数的取值范围是．故选：．【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．3. 使命题“对任意的”为真命题的一个充分不必要条件为（）A．B． C． D．参考答案：C略4. 如果实数x、y满足那么z =2x+y的范围为( )A．B．C．D．参考答案：B略5. 设复数，，则在复平面内对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D对应的点在第四象限6. 若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A. 0B.C.D.参考答案：D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0，虚部不为0可得a的值.【详解】解：由题意得：，由复数是纯虚数，可得，可得，故选D.【点睛】本题考查了复数代数形式的运算，含有分式时需要分子分母同时乘以分母的共轭复数，对分母进行实数化再化简.7. 已知集合，B={0,1,2}，则A∩B=（）A. {0}B. {0,1}C. {0,2}D. {0,1,2}参考答案：C试题分析：集合，所以，故选C.考点：交集的运算，容易题.8. 若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S15=10π，则tana8的值为( )A．B．﹣C．±D．﹣参考答案：B考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列{a n}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．解答：解：由等差数列{a n}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，∴∴，故选B．点评：由等差数列{a n}的前n项和的性质，n为奇数时，，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．9. 已知：不等式的解集为，：，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A10. 已知函数f（x）=，若函数y=f2（x）﹣2bf（x）+b﹣有6个零点，则b的取值范围是( )A．B．（，+∞）∪（﹣∞，）C．（0，）∪（，1）D．（，）参考答案：A考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为关于t的一元二次函数，作出函数f（x）的图象，利用一元二次方程根的分布，建立不等式关系即可得到结论．解答：解：设t=f（x），则函数等价为y=g（t）=t2﹣2bt+b﹣．作出函数f（x）的图象如图：当t＞1或t＜0时，t=f（x）有1个零点，当t=1或t=0时，t=f（x）有2个零点，当0＜t＜1时，t=f（x）有3个零点，若函数y=f2（x）﹣2bf（x）+b﹣有6个零点，等价为方程t2﹣2bt+b﹣=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，0＜t2＜1，则，即，解得≤b＜或＜b≤，故选：A点评：本题主要考查分段函数的应用，利用换元法，结合一元二次函数图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 定义一种运算，令，且，则函数的最大值是______.参考答案：令，则∴由运算定义可知，∴当，即时，该函数取得最大值. 由图象变换可知，所求函数的最大值与函数在区间上的最大值相同.12. 已知，则的最小值为 ▲ ；参考答案：12 略13. 函数y=tan （2x ﹣）的单调区间为．参考答案：（﹣+，+），（k∈Z）【考点】正切函数的图象．【专题】函数思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据正切函数的性质，列出不等式即可求出f （x ）的单调区间． 【解答】解：函数y=tan （2x ﹣），令﹣+kπ＜2x ﹣＜+kπ，k∈Z，解得﹣+＜x ＜+，k∈Z；所以函数f （x ）的单调增区间为（﹣+，+），（k∈Z）．故答案为：（﹣+，+），（k∈Z）．【点评】本题考查了正切函数的性质与应用问题，属于基础题．14. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是圆心角为直角的扇形，则该几何体的体积为．参考答案：考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆锥的一部分，结合三视图中的数据，求出几何体的体积．解答： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆锥的一部分，且底面是半径为2的圆面，高为2， ∴该几何体的体积为：V 几何体=×π?22×2=．故答案为：．点评：本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，解题的根据是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．15. 已知双曲线的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率___________．参考答案：如图所示渐近线OM的方程为右焦点为，因此，过点向ON作垂线，垂足为P，则.又因为，所以，在直角三角形中，，所以，故在三角形OMN中，，所以,所以，即所以双曲线的离心率为 .16. 在数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，（n∈N*），则a4= ．参考答案：54【考点】等比数列的通项公式．【分析】推导出数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，由此能求出a4．【解答】解：∵数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n，（n∈N*），∴=3，∴数列{a n}是首项为2，公比为3的等比数列，∴a4=a1q3=2×33=54．故答案为：54．17. 若函数，则的定义域是 .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020届山西省太原五中高三(文科)数学模拟试卷3月(解析版)
2020年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，e）B．（﹣1，2）C．（﹣1，e）D．（0，2）2．已知复数，则|z|＝（）A．1B．2C．D．3．已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A．1B．﹣1C．D．4．若过椭圆内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A．8x+9y﹣25＝0B．3x﹣4y﹣5＝0C．4x+3y﹣15＝0D．4x﹣3y﹣9＝0 5．已知函数f（x）＝x3+x+1+sin x，若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）7．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）A．B．C．D．8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（，），则输入的n 的值为（）A．7B．6C．5D．49．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A．98πB．196πC．784πD．11．若，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]内，有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则有（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值是．14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝．15．在△ABC中，内角A、，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，，△ABC的面积记为S，则当取最小值时，ab＝16．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD 的中点，抛物线y2＝2px（p＞0）经过C，F两点，则．三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sin A+sin C＝2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．18．如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）若PB＝3BF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：全额分组[1，5）[5，9）[9，13）[13，17）[17，21）[21，25]频数39171182（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．20．已知椭圆C：的离心率为，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（，1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4­4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．[选修4­5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项）1．已知集合A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，e）B．（﹣1，2）C．（﹣1，e）D．（0，2）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0＜x＜e}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝（0，2）．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．1B．2C．D．【分析】利用复数模的运算性质即可得出．解：复数，则|z|1．故选：A．【点评】本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知向量，向量，则向量在方向上的投影为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】根据向量在方向上的投影，带入数值即可．解：∵向量，向量；∴•（﹣1）×（﹣3）+（﹣2）×4＝3﹣8＝﹣5；∴向量在方向上的投影．故选：B．【点评】本题主要考查向量的投影，熟记公式是解决本题的关键，属于简单题．4．若过椭圆内一点P（2，1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A．8x+9y﹣25＝0B．3x﹣4y﹣5＝0C．4x+3y﹣15＝0D．4x﹣3y﹣9＝0【分析】设出A、B坐标，利用平方差法，求解直线的斜率，然后求解直线方程．解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），P为AB中点，A，B在椭圆上，，，两式相减得：，x1+x2＝4，y1+y2＝2，可得：，则k，且过点P（2，1），有y﹣1（x﹣2），整理得8x+9y﹣25＝0．故选：A．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．5．已知函数f（x）＝x3+x+1+sin x，若f（a﹣1）+f（2a2）≤2，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】令g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x+sin x，x∈R．利用函数的定义判断奇偶性，利用导数判断函数的单调性即可转化求解实数a的取值范围．解：令g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x+sin x，x∈R．则g（﹣x）＝﹣g（x），∴g（x）在R上为奇函数．g′（x）＝3x2+1+cos x≥0，∴函数g（x）在R上单调递增．f（a﹣1）+f（2a2）≤2，化为：f（a﹣1）﹣1+f（2a2）﹣1≤0，即g（a﹣1）+g（2a2）≤0，化为：g（2a2）≤﹣g（a﹣1）＝g（1﹣a），∴2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得﹣1≤a．∴实数a的取值范围是[﹣1，]．故选：C．【点评】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）【分析】分别判断命题p，q的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断．解：命题p：∀x∈R，x2＞0，为假命题，故￢p为真命题；命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）＝tanα+tanβ，当α＝﹣β成立，所以命题q为真命题，￢q为假命题，则p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，￢p∧q为真命题，p∧￢q为假命题，故选：C．【点评】本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系7．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论．解：设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p＝3p＝1，解得p，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为，②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为，则概率为，故选：A．【点评】本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键．8．庄子说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n后，输出的S∈（，），则输入的n 的值为（）A．7B．6C．5D．4【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S，k的值，由题意，说明当算出的值S∈（，）后进行判断时判断框中的条件满足，即可求出此时的n值．解：框图首先给累加变量S赋值0，给循环变量k赋值1，输入n的值后，执行循环体，S，k＝1+1＝2；判断2＞n不成立，执行循环体，S，k＝2+1＝3；判断3＞n不成立，执行循环体，S，k＝3+1＝4；判断4＞n不成立，执行循环体，S，k＝4+1＝5．判断5＞n不成立，执行循环体，S，k＝4+1＝6．判断6＞n不成立，执行循环体，S，k＝4+1＝7．…由于输出的S∈（，），可得：当S，k＝6时，应该满足条件6＞n，即：5≤n ＜6，可得输入的正整数n的值为5．故选：C．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，是直到型循环，即先执行后判断，不满足条件继续执行循环，直到条件满足跳出循环，算法结束，是基础题．9．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．解：∵，∴函数f（x）为奇函数，又∵，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运用排除法求解，属于基础题．10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A．98πB．196πC．784πD．【分析】由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴DD1为z轴，D为坐标原点，由题意知A（6，0，0），B（6，8，0），D（0，0，0），设D（0，0，a），则C1（0，8，a），∴（6，8，0），（﹣6，8，a），∴cos，由题意可得：，解得：a2＝96，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，设外接球的半径为R，则（2R）2＝82+62+a2＝196，所以该长方体的外接球的表面积S＝4πR2＝196π，故选：B．【点评】考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题．11．若，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若在区间（﹣1，1]内，有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1，所以f （x），故f（x），题目问题等价于函数y＝f（x）与函数y＝m（x）在区间（﹣1，1]内有两个交点，在同一坐标系内画出两个函数的图象，根据图象，利用数形结合法即可求出m的取值范围．解：依题意，，又当x∈[0，1]时，f（x）＝x，故当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），则f（x）+1，所以f（x），故f（x），由在区间（﹣1，1]内有两个零点，得方程f（x）＝m（x）在区间（﹣1，1]内有两个根，等价于函数y＝f（x）与函数y＝m（x）在区间（﹣1，1]内有两个交点，而函数y＝m（x）恒过定点（，0），在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示：，当y＝m（x）过点（1，1）时，斜率m，当y＝m（x）过点（1，0）时，斜率m＝0，由图象可知，当0＜m时，两个函数图象有两个交点，即有两个零点，故选：B．【点评】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及直线过定点问题，是中档题．12．已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则有（）A．B．C．D．【分析】依题意，的两根为x1，x2，设，利用导数可知0＜x1＜1，x2＞1，则可得，．解：f′（x）＝x﹣ae x，则f′（x）＝0的两根为x1，x2，即的两根为x1，x2，设，则，令g′（x）＝0，解得x＝1，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，函数g（x）的图象如下，由图可知，0＜x1＜1，x2＞1，且当x∈（﹣∞，x1）∪（x2，+∞）时，，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，x2）时，，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）极小值，又x1∈（0，1），故，f（x）极大值，又x2∈（1，+∞），故．故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查转化思想及数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．已知实数x，y满足，则z＝3x+y的最小值是﹣8．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过M时，z取得最小值．解：画出不等式组表示的可行域如图阴影区域所示．⇒M（﹣3，1）平移直线3x+y＝0，易知当直线z＝3x+y经过点M（﹣3，1）时，目标函数z＝3x+y取得最小值，且z min＝3×（﹣3）+1＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．是中档题．14．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝3．【分析】画出数轴，利用x满足|x|≤m的概率为，直接求出m的值即可．解：如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，所以m＝3．故答案为：3．【点评】本题考查几何概型的求解，画出数轴是解题的关键．15．在△ABC中，内角A、，B，C的对边分别为a，b，c，若（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，，△ABC的面积记为S，则当取最小值时，ab＝【分析】由正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，利用余弦定理可求cos C，结合范围C∈（0，π），可求C，进而由题意，利用三角形的面积公式，基本不等式即可求解．解：∵（a+b）sin B＝c sin C﹣a sin A，∴（a+b）b＝c2﹣a2，可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，∴cos C，∵C∈（0，π），∴C，∵△ABC的面积记为S，2，当且仅当S，即S ab sin C ab时等号成立，解得此时ab．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a，b（a＜b），原点O为AD 的中点，抛物线y2＝2px（p＞0）经过C，F两点，则．【分析】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C，F两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p后，得到a，b的关系式，再寻求的值．解：由题意可得，，将C，F两点的坐标分别代入抛物线方程y2＝2px中，得∵a＞0，b＞0，p＞0，两式相比消去p得，化简整理得a2+2ab﹣b2＝0，此式可看作是关于a的一元二次方程，由求根公式得，取，从而，故答案为：．【点评】本题关键是弄清两个正方形与抛物线的位置关系，这样才能顺利写出C，F的坐标，接下来是消参，得到了一个关于a，b的齐次式，应注意根的取舍与细心的计算．三、解答题（本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sin A+sin C＝2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cos B，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cos B的最小值．解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a+c，利用正弦定理化简得：2sin B＝sin A+sin C，∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C），∴sin A+sin C＝2sin B＝2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴cos B，当且仅当a＝c时等号成立，∴cos B的最小值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．18．如图所示的多面体中，AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．（Ⅰ）试确定点F的位置，使得直线EF∥平面PDC；（Ⅱ）若PB＝3BF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，推导出GF∥AB ∥CD，EG∥DP，从而平面GEF∥平面PDC，进而当点F为BP中点时，使得直线EF ∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面PBC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）设F为BP中点，取AP中点G，连结EF、EG、FG，∵AD⊥平面PDC，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，∴GF∥AB∥CD，EG∥DP，∵EG∩FG＝G，DP∩CD＝D，∴平面GEF∥平面PDC，∵EF⊂平面GEF，∴当点F为BP中点时，使得直线EF∥平面PDC．（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，∵为AD的中点，F为线段PB上的一点，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．∴cos120°，解得CD＝6，A（0，0，3），B（6，0，3），P（﹣2，2，0），C（6，0，0），设F（a，b，c），由PB＝3BF，得，即（a﹣6，b，c﹣3）（﹣8，2，﹣3），解得a，b，c＝2，∴F（，，2），（，﹣1），（0，0，3），（﹣8，2，0），设平面PBC的法向量（x，y，z），则，取x＝1，得（1，，0），设直线AF与平面PBC所成角为θ，则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：sinθ．【点评】本题考查满足面面平行的点的位置位置的确定，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．2016年春节期间全国流行在微信群里发、抢红包，现假设某人将688元发成手气红包50个，产生的手气红包频数分布表如表：全额分组[1，5）[5，9）[9，13）[13，17）[17，21）[21，25]频数39171182（I）求产生的手气红包的金额不小于9元的频率；（Ⅱ）估计手气红包金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）在这50个红包组成的样本中，将频率视为概率．（i）若红包金额在区间[21，25]内为最佳运气手，求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率；（ii）随机抽取手气红包金额在[1，5）∪[﹣21，25]内的两名幸运者，设其手气金额分别为m，n，求事件“|m﹣n|＞16”的概率．【分析】（Ⅰ）由题意利用互斥事件概率加法公式能求出产生的手气红包的金额不小于9元的频率．（Ⅱ）先求出手气红包在[1，5）、[5，9）、[9，13）、[13，17）、[17，21）、[21，25]内的频率，由此能求了出手气红包金额的平均数．（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，由此能求出抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率．（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，在[21，25]内有2人，由此能求出事件“|m﹣n|＞16“的概率P（|m﹣n|＞16）．解：（Ⅰ）由题意得产生的手气红包的金额不小于9元的频率：p，∴产生的手气红包的金额不小于9元的频率为．（Ⅱ）手气红包在[1，5）内的频率为0.06，手气红包在[5，9）内的频率为0.18，手气红包在[9，13）内的频率为0.34，手气红包在[13，17）内的频率为0.22，手气红包在[17，21）内的频率为0.16，手气红包在[21，25]内的频率为0.04，则手气红包金额的平均数为：3×0.06+7×0.18+11÷0.34+15×0.22+19×0.16+23×0.04＝12.44．（Ⅲ）（i）由题可知红包金额在区间[21，25]内有两人，∴抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率p．（ii）由频率分布表可知，红包金额在[1，5）内有3人，设红包金额分别为a，b，c，在[21，25]内有2人，设红包金额分别为x，y，若m，n均在[1，5）内，有3种情况：（a，b），（a，c），（b，c），若m，n均在[21，25]内只有一种情况：（x，y），若m，n分别在[1，5）和[21，25）内，有6种情况，即（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），∴基本事件总数n＝10，而事件“|m﹣n|＞16“所包含的基本事件有6种，∴P（|m﹣n|＞16）．【点评】本题考查频率的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的性质的合理运用．20．已知椭圆C：的离心率为，与坐标轴分别交于A，B两点，且经过点Q（，1）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若P（m，n）为椭圆C外一动点，过点P作椭圆C的两条互相垂直的切线l1、l2，求动点P的轨迹方程，并求△ABP面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由离心率及椭圆过的点的坐标，及a，b，c之间的关系可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）过P的两条切线分斜率存在和不存在两种情况讨论，当斜率不存在时，直接由椭圆的方程可得切点A，B的坐标，当切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线方程，与椭圆联立．由判别式等于0可得参数的关系，进而可得PA，PB的斜率之积，由直线PA，PB互相垂直可得斜率之积等于﹣1，进而可得m，n之间的关系，即P的轨迹方程，显然切线斜率不存在时的点P也在轨迹方程上；因为PA，PB互相垂直，所以三角形PAB 的面积为S△ABP|PA|•|PB|，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，可得球切线PA的斜率为1，求出直线PA的方程，与椭圆联立求出A的坐标，进而求出|PA|的值，再求|AB|的值，即求出三角形PAB面积的最大值．解：（Ⅰ）由题意可得e，1，c2＝a2﹣b2，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆的方程为：1；（Ⅱ）设两个切点分别为A，B，①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A，B两点分别位于椭圆的长轴和短轴的端点，此时P的坐标为：（±2，±），②当两条切线的斜率存在且不为0时，设过P的切线的方程为：y﹣n＝k（x﹣m），联立直线y﹣n＝k（x﹣m）和椭圆的方程，整理可得（1+2k2）x2﹣4k （km﹣n）x+2（km﹣n）2﹣4＝0，由题意可得△＝16k2（km﹣n）2﹣4（1+2k2）[2（km﹣n）2﹣4]＝0，整理可得（m2﹣4）k2﹣2kmn+n2﹣2＝0，所以k1•k2，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则k1•k2，而PA，PB互相垂直，所以1，即m2+n2＝6，（m≠±2），又因为P（±2，）在m2+n2＝6上，所以点P在圆x2+y2＝6上．因为l1⊥l2，所以S△ABP|PA|•|PB|，当且仅当|PA|＝|PB|时取等号，即P在椭圆的短轴所在的直线上时即P（0，），由圆及椭圆的对称性设P（0，），则直线PA的斜率为1，可得直线PA的方程为：y ＝x，代入椭圆的方程可得3x2+4x+8＝0，解得x，y，即A（，），所以|PA|，所以AB2＝2|PA|2，所以（S△ABP）max．【点评】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合，和求轨迹方程，属于中难题．21．已知函数f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈一、选择题）在定义域内有两个不同的极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）设两个极值点分别为x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论，确定导数正负即可求解函数单调性，结合单调性即可求解；（2）分析要证明不等式特点，进行合理的变形，然后构造函数，结合导数及函数性质可证．解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，令g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），则函数f（x）在定义域内有两个不同的极值点等价于g（x）在区间（0，+∞）内至少有两个不同的零点，由可知，当a≤0时，g'（x）＜0恒成立，即函数g（x）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去．当a＞0时，由g'（x）＞0得，，即函数g（x）在区间上单调递增；由g'（x）＜0得，，即函数g（x）在区间上单调递减；故要满足题意，必有，解得：a＞2e；（2）证明：由（1）可知，，故要证：，只需证明：，即证：不妨设0＜x1＜x2，即证，构造函数：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中，由，所以函数h（t）在区间（1，+∞）内单调递减，所以h（t）＜h （1）＝0得证，或证：即证：，只需证明：，而由（1）可知，故上式成立，即可得：．【点评】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，考查了考试逻辑推理的能力．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4­4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．【分析】（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．解：（1），消去参数可得x﹣y＝1直线l的极坐标方程为．由．得ρcos2θ＝sinθ⇒ρ2cos2θ＝ρsinθ得y＝x2（x≠0）…..（2）设P（x0，y0），则点P到直线l的距离为当..当P到直线l的距离最小，最小．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．[选修4­5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|﹣|x﹣2|．（1）解不等式f（x）≥2；（2）当x∈R，0＜y＜1时，证明：|x+2|﹣|x﹣2|．【分析】（Ⅰ）运用绝对值的定义，去掉绝对值，得到分段函数，再由各段求范围，最后求并集即可；（II）由分段函数可得f（x）的最大值，再由基本不等式求得的最小值，即可得证．解：（Ⅰ）由已知可得：，由x≥2时，4＞2成立；﹣2＜x＜2时，2x≥2，即有x≥1，则为1≤x＜2．知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
2020届山西省高考3月联考数学模拟试题(文)有答案(加精)
山西省下学期高三级联考数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知{}[]2|20,0,4A x x x B =->=，则A B =IA. [)4,1--B. (]2,4C. [)(]4,12,4--UD.[]2,42.已知2sin7a π=，22cos ,tan 77b c ππ==，则 A. b a c << B. c b a << C. b c a << D.a b c <<3.若复数z 满足1ziz i=-，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为A. 2222 D.424. 过双曲线()22210y x b b-=>的右焦点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为E,O 为坐标原点，若2OFE EOF ∠=∠，则b =A. 123335.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x -=，当10x -≤<时，()()2log 31f x x =-+，则()2017f 的值为A. -1B. -2C. 1D. 26.将函数()()1sin 04,f x x z ωωω=+<<∈的图象向右平移3π个单位后得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的一条对称轴方程为2x π=，则()f x 的最小正周期为A.6π B. 3πC. 23πD.56π7.如图，网格上小正方形边长为1，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，切削该毛坯得到一个表面积最大的长方体，则该长方体的表面积为 A. 24 B. 16322+1682+8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A. 12 B. 11 C. 10 D. 99. 已知实数,x y 满足2001x y x y y k +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，且z x y =+的最大值为6，则()225x y ++的最小值为5310. 已知ABC ∆所在平面内有两点P,Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若24,2,3APQ AB AC S ∆===u u u r u u u r ,则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为A. 4B. 4±C. 433±11.已知抛物线24y x =，过其焦点F 的直线l 与抛物线分别交于A,B 两点（A 在第一象限内），3AF FB =u u u r u u u r,过AB 中点且垂直于l 的直线交x 轴于点G ，则三角形ABG 的面积为8316332364312.已知函数()2ln f x x x =-与()()()()21222g x x m m R x =-+-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，则实数m 的取值范围是A.(),1ln 2-∞-B.(],1ln 2-∞-C. ()1ln 2,-+∞D.[)1ln 2,-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知[]0,6a ∈，使得函数()()2lg !f x ax ax =-+的定义域为R 的概率为 .14.古代数学家杨辉在沈括的瞭积术的基础上想到，若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a a ⨯各球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n 层，最下层（即下底）由b b ⨯各球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下2232n b a S a b ab -⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，根据以上材料，我们可以得到22212n +++=L .15. 设函数()21cos ,12,01x x f x x x π⎧+>⎪=⎨⎪<≤⎩，函数()()10g x x a x x =++>，若存在唯一的0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的最小值为()0h x ，则实数a 的取值范围是 .16. 已知ABC ∆中，2223sin 7sin 2sin sin sin 2sin B C A B C A +=+则sin 4A π⎛⎫+⎪⎝⎭. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，且355,9a a ==，数列{}n b 的前项和为21.33n n S b =+ （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，为纪念著名京剧表演艺术家京剧艺术大师梅兰芳先生，某市电视台举办《我爱京剧》的比赛，并随机抽取100名参与《我爱京剧》比赛节目的票友年龄作为样本进行分析研究（全部票友的年龄都在[]30.80内），样本数据分组为[)[)[)[)[]30,40,40,50,50,60,60,70,70,80，由此得到如图所示的频率分布直方图.（1）若抽取的这100位参加节目的票友的平均年龄为53，据此估计表中,a b 的值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）在（1）的条件下，若按分层抽样的方式从中再抽取20人参加有关京剧知识的回答，分别求抽取的年龄在[)60,70和[]70,80的票友的人数；（3）根据（2）中抽取的人数，从年龄在[]60,80的票友中任选2人，求这两人的年龄都在[)60,70内的概率.19.（本题满分12分）如图，平面ABEF⊥平面CBED，四边形ABEF为直角梯形，90AFE FEB∠=∠=o,四边形CBED为等腰梯形，//CD BE,且2222 4.BE AF CD BC EF=====，（1）若梯形CBED内有一点G，使得//FG平面ABC，求点G的轨迹；（2）求多面体ABCDEF的体积.20.（本题满分12分）已知O为坐标原点，椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为12,F F，上顶点为P,右顶点为Q,以12F F为直径的圆O与椭圆C相切，，直线PQ与圆O23.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与以12F F为直径的圆O相切,并且与椭圆C交于不同的两点A,B，求OAB∆面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()21ln.2f x x a x bx=+-（1）若曲线()y f x=在点31,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线平行与x轴，求()f x；（2）若()f x存在极大值点x，且()3 2.71828a e e<=L，求证：()00.f x<请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。