晶体中的电子波
晶体中的电子波——能带和Brillouin区
2010-05-29 11:25:45| 分类：微电子物理| 标签：|字号大中小订阅
（晶体中只能存在哪些电子波？晶体电子的能量为什么出现禁带？
什么是等能面和Fermi面？什么是Brillouin区？）
因为晶体电子处于周期性势场中，所以其状态很复杂：波函数具有Bloch函数的形式，能量具有能带的形式。
这里就从近自由电子概念出发来说明一下晶体电子的运动状态以及能带和禁带的产生原理。
（1）电子波的干涉：
为了简单，假定晶体电子是完全自由的（如金属电子），则其波函数是行波——平面波：ψk(x,t) = A exp(jkx)·exp(-jωt) = A exp[j(kx-ωt)]
式中的波矢k=2π/λ，ω=E/?，E=(?k)2/2m*；并不是所有的行波都能够在晶体中传播，只有波长λ（或者波矢k）满足晶体边界条件（例如周期性边界条件）的那些电子波才能存在于晶体中（数目有限，k起着晶体电子的量子数的作用中）。
但是在晶体中传播的行波，不管是电子波还是光波，都将会受到晶面的反射，而且在一定的条件下，入射波和反射波还有可能产生干涉。
见图1，对于沿着x方向传播的一个电子波：
ψk(x) = A exp(jkx)
在每一个原子处将受到反射；若反射波A’、B’和C’之间的波程差是nλ（n=1,2,3,4,…），则它们将相互加强，并产生一个沿着相反方向传播的全反射波。
对于反射波A’和B’，波B’比波A’多传播了2a的距离，则其间的波程差为2a，因此A’和B’相互加强的条件是：
2a = nλ，即k = nπ/a
于是，每一个满足该条件的波长λ（或波矢k）的电子波，被各个原子面（晶面间距为a）所产生的反射波都将相互加强、而产生一个反向传播的全反射波ψ-k(x)：
ψ-k(x) = A exp(-jkx)
这个全反射波也将要受到各个原子面的反射、并加强，从而，这种电子波的不断反射，即造成在晶体中只存在两种分别是向前和向后传播的行波形式的电子波，并且这两种传播方向相反的电子波又相互干涉，最后就形成了两种不能在晶体中传播的驻波——稳定状态：
ψc(x) = A exp(jkx) + A exp(-jkx) = A c cos(nπx/a)
ψs(x) = A exp(jkx)-A exp(-jkx) = A s sin(nπx/a)
显然，这两个驻波都是晶体Schr?dinger方程的解。
总之，波矢为k=nπ/a的电子波因为要受到晶面反射而形成驻波，则不能在晶体中传播；只有那些k≠nπ/a的电子，作为行波而不会受到反射，才能在晶体中传播。
值得注意，在晶体中k=nπ/a的电子波——两个驻波所表征的电子状态的能量将有所不同。
见图2，ψc(x)状态的几率密度|ψc(x)|2的分布在原子实处为最大值，而ψs(x)状态的几率密度|ψs(x)|2的分布在原子实之间处为最大值。
因为电子的静电势能与离原子实的距离r成反比（-q2/4πεo r），即电子越靠近原子实，静电势能就越低，所以在原子实处几率密度最大的状态（ψc(x)状态）即对应于静电势能E c较低的状态，而在原子实处几率密度最小的状态（ψs(x)状态）即对应于静电势能E s较高的状态，即有E s>E c。
这就是说，对于k = nπ/a的电子，具有高低不同的两个可能的能量值，在其间没有允许的能量，即晶体电子的能量在k = nπ/a处发生了分裂，亦即产生了能隙——禁带。
（2）能隙宽度：
晶体电子的禁带宽度也就是E s与E c的能量差，即E g=E s-E c。
若V(x)是晶体电子在x处的静电势能，则ψc(x)状态和ψs(x)状态的电子势能分别为V c 和V s：
V c = (1/L)∫V(x) |ψc(x)|2 dx =-V n（积分限：0~L）
V s = (1/L)∫V(x) |ψs(x)|2 dx = +V n（积分限：0~L）
于是，ψc(x)状态和ψs(x)状态在k=nπ/a时的能量为：
E s = (?k)2/2m* + V n
E c= (?k)2/2m*-V n
从而禁带宽度为：
E g=E s-E c = 2 V n
（3）能带图：
在近自由电子近似下，晶体中k≠nπ/a的电子波能够传播，即电子可自由运动，这时电子能量与波矢k的关系是抛物线。
而对于k=nπ/a的电子，能量不连续，即偏离了抛物线；不过实际上是在k=nπ/a附近就已经偏离了抛物线。
所以，在k空间中描绘出E～k关系，即为图3所示，这就是常见的能带图。
价电子所处的较高能量的能带称为价带。
对于半导体，在0K时价带是填满了的，故有时也称为满带；比价带更高的能带即称为导带；导带与价带之间的能隙称为禁带，所谓禁带宽度（E g）也就是导带底（E c）与价带顶（E v）之间的能量差，即E g = E c-E v。
对于金属，价带与导带相互重叠，即禁带宽度为0。
这时能量最高的能带是不满带，则其中的电子能够导电，故金属是导体。
在0K时，Fermi能级以下所有状态都被价电子填满，Fermi能级以上的能级则空着；在k空间中，具有Fermi能级能量的等能面称为Fermi面。
如果电子完全是自由的，则等能面为球面（因为E = (?k)2/2m*∝k2）；否则将偏离球面。
（4）Brillouin区概念：
对于图3所示的一维晶体的能带图，在波矢k=-π/a～π/a之间的电子波是能够在晶体中传播的；在k=-2π/a～-π/a和π/a～2π/a之间的电子波也是能够在晶体中传播的；……。
这些能够传播的电子波的波矢在k空间中的范围就是Brillouin区。
k=-π/a～π/a区域就是第一Brillouin区；k=-2π/a～-π/a和π/a～2π/a区域就是第一Brillouin区；……。
实际上，Brillouin区也就是表征晶体电子状态的k空间中一个区域，因为k的取值是分立的（每一个状态占据一定的k空间体积，即[∆k x×∆k y×∆k z]，由测不准关系决定），而且k的个数有限，只要一个Brillouin区中的所有k，即可代表所有电子的状态。
因此，一个能带也就对应于一个Brillouin区。
在一个Brillouin区中，低能量的电子处于Brillouin区中心附近，高能量的则处于Brillouin 区边缘附近。
而Brillouin区中心附近即相应于能带底附近，这里电子的E～k关系近似为抛物线，则等能面为球面，在二维k空间中即为圆形，如图4所示；但由于Brillouin区边缘附近相应于能带顶附近，这时电子的E～k关系偏离了抛物线（能量有所降低），因此等能面也不再是球面，如图4所示。
这就是说，在Brillouin区中心附近的电子可看成是自由电子，而在Brillouin区边缘附近的电子则否。
能带理论(3)(紧束缚近似)
• 因J > 0，能带的最小值在 k 0,0,0
• 能带底的值为 • 能带的最大值在，
Emin s J 0 6J1
k 1, 1, 1
a
• 能带顶的值为
Emax s J0 6J1
• 能带宽度为 E Emax Emin 12J1
谢谢观看！ 2020
i*(r Rm) 左乘，积分得到
ian i*(r Rm )U (r) V (r Rm )i (r Rm )dr
Ean
am i*(r Rm )U (r) V (r Rm )i (r Rm )dr m
引入变量
r Rm
(E i )an
考虑到U(r)为周期函数，即 上面方程中的积分式变为
m
s
在紧束缚态近似下，
E(k) i J0
J (Rs )eik.Rs
Rs 近邻
分裂的原子能级过渡成能带
• N个相同孤立 原子的分裂能 级，N重简并
• 原子靠近形成 晶体，简并能 级相互作用， 分裂形成能带
• 能带图上，不 同的N个k的 能级形成能带
comments
• 带宽取决于J，J积分取决于波函数交叠的多少 • 波函数交叠？波函数分布形状？ • 内层电子分布区域大还是小？组成晶体后，能带宽
能带计算方法物理思想
• 各种能带计算方法基本上可分为
* 对晶体势场V(r)的不同近似 * 对组成晶体电子波函数的基函数的不同选取
• 根据不同的研究对象、根据计算条件作取舍 • 能带计算方法从构成晶体波函数的基函数上可
分成两大类：
* 紧束缚近似 * 近自由电子近似
• 两类近似的物理思想不同
近自由电子近似
把孤立原子的势场看成零级近似，而原子间相互作用看成微扰， 这种微扰是N重简并微扰，微扰后的状态是N个简并态的线性 组合。
《固体物理基础》晶格振动与晶体的热学性质
一、三维简单格子
二、三维复式格子
三、第一布里渊区
四、周期性边界条件
◇一个原胞内有P
个不同原子，则
有3P个不同的振
动模式，其中3支 声学波。
◇具有N个原胞的 晶体中共有3PN个
振动模式，其中
3N个声学波， 3N(P-1)个光学波。
四、周期性边界条件 总结
§ 3.4 声子
声子：晶格振动中格波的能量量子
二、一维单原子链的振动
格波
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
色散关系
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
第一布里渊区
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
玻恩—卡曼边界条件
二、一维单原子链的振动
周期性边界条件
即q有N个独立的取值—晶格中的原胞数第一布
◇非弹性X射线散射、非弹性中子散射、可见光 的非弹性散射。
§ 3.4 声子
§ 3.4 声子
90K下钠晶体沿三个方向的色散关系
§ 3.5 晶格热容
一、晶格振动的平均能量
热力学中，固体定容热容：
根据经典理论，每一个自由度的平均能量是kBT， kBT/2为平均动能，kBT/2为平均势能，若固体有
N个原子，总平均能量： 取N=1摩尔原子数,摩尔热容是：
二、一维单原子链的振动
一维单原子链的振动
二、一维单原子链的振动
简谐近似下的运动方程
二、一维单Hale Waihona Puke 子链的振动简谐近似下的运动方程
在简谐近似下，原子的相互作用像一个弹 簧振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波。
半导体物理-第1章-半导体中的电子态
金刚石结构的(111) 面层包含了套构的原 子，形成了双原子层 的A层。以双原子层的 形式按ABCABC层排 列
金刚石结构的[100]面的投 影。0和1/2表示面心立方 晶格上的原子，1/4，3/4 表示沿晶体对角线位移1/4 的另一个面心立方晶格上的 原子。
2.每个原子最外层价电子为一个s态电子和三个p态电 子。在与相邻四个原子结合时，四个共用的电子对完全 等价，难以区分出s与p态电子，因而人们提出了“杂 化轨道”的概念：一个s和三个p轨道形成了能量相同 的sp3杂化轨道。之间的夹角均为109°28 ’。
3. 结晶学元胞为立方对 称的晶胞，可看作是两 个面心立方晶胞沿立方 体的空间对角线互相位 移了1/4对角线长度套 构而成。
Ψ(r,t) = Aexp[i2π(k ·r – v t)]
(3)
其中k 为波矢，大小等于波长倒数1/λ ，方
向与波面法线平行，即波的传播方向。得
能量：E = hν
动量：p = hk
（4） （5）
对自由电子，势能为零，故薛定谔方程为：
2
2m0
d 2 (x)
dx2
E (x)
(6)
由于无边界条件限制，故k取值可连续变化。即：与经 典物理（粒子性）得出相同结论。
能带形成的另一种情况
硅、锗外壳层有4个价电子，形成晶体时，产生SP杂化 轨道。原子间可能先进行轨道杂化（形成成键态和反键 态），再分裂成能带。
原子能级
反成键态
成键态
半导体（硅、锗）能带的特点
存在轨道杂化，失去能带与孤立原子能级的对应关系。 杂化后能带重新分开为上能带和下能带，上能带称为导 带，下能带称为价带。
第9章 电子衍射
由实验证明，衍射可解释为晶面对入射波的反射，如图所示。 下面求几何解 设入射束和反射束的单位矢量分别为 s0和 s 那么，
又可写为
令
有
（9-2）
k/，k分别为衍射线与入射线的波数矢量。 （9-1）（9-2）分别为布拉格定律的标量与矢量表达式。
由（9-1）布拉格方程变换可得
一般情况下，金属和合金的面间距大都在0.2～0.4nm范围， 而电子波长≤0.005nm(60kv)。因此，金属和合金极易满足条 件产生衍射。且sinθ值很小，从而有特别小的衍射角。通常 θ<1° 那么，布拉格方程如何在几何上表达呢？这就是下面要讲 的厄瓦尔德球作图法。 9.3.2 厄瓦尔德球作图法 在电子衍射的分析过程中，常常要用到厄瓦尔德球作图法， 利用这种方法可以比较直观地观察衍射晶面、入射束和衍射束 之间的几何关系。它实际上是布拉格方程的几何表示。 厄瓦尔德球是位于倒易空间中的一个球面，球之半径等于 入射电子波波长的倒数1/λ。
束和衍射晶面之间的相对关系。这个方法成为分析衍射的有效工具。
前面的做图分析过程中，取爱瓦尔德球半径为1/λ，且 ghkl=1/dhkl,因此，爱瓦尔德球本身就置于倒空间。 而且倒空间的任一ghkl矢量就是正空间(hkl)晶面的代表， 如果知道了ghkl矢量的排列方式，就可推得正空间对应的衍 射晶面的方位了，这就是电子衍射分析要解决的主要问题。
具体作法如下： 1) 在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵； 2) 以倒易原点0*为端点，作入射波的波矢量k(oo*)，该矢量 平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即 k=1/λ ； 3) 以o为中心，1/λ 为半径作一个球，这就是厄互尔德球。 4) 若有倒易阵点g（hkl）正好落在 厄瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组 （hkl）与入射束的位向必满足布拉格 条件，而衍射束的方向就是og或者衍 射波矢量k’，其长度等于反射球的半径。
电子衍射原理
衍射几何
B. 倒易点阵的性质 倒易点阵的基矢量：根据倒易点阵定义式，可得出 a*⋅ b=a*⋅ c=b*⋅ a=b*⋅ c=c*⋅ a=c*⋅ b=0 由此可确定倒易点阵基本矢量的方向； 而由 a*⋅ a=b*⋅ b=c*⋅ c=1 可确定倒易点阵基矢的大小。
1 1 a = = * a cos(a , a ) d100
= f 2 [1 + cos π ( K + L) + cos π ( H + K ) + cos π ( H + L)]2
（1）当H、K、L全为奇数或全为偶数时，|FHKL|2=f2（1+1+1+1）2=16f2， 表明这样的晶面可产生衍射。如：111，200，220，311，222，400 …. （2）当H、K、L奇偶混杂时，|FHKL|2=f2（1-1+1-1）2=0，表明这种晶面 的衍射强度为零，禁止产生衍射。
取晶胞顶点O为坐标原点，A为单 胞内任意原子j，其坐标矢量表示为： OA = rj=Xja + Yjb + Zjc Xj, Yj, Zj为A原子的坐标。
O k k A k′ rj k′
A原子与O原子间散射波的波程差为：
r r r r r r r δ j = rj ⋅ k ′ − rj ⋅ k = rj ⋅ (k ′ − k )
衍射几何 一、布拉格方程
2dsin θ = n λ 其中，d为晶面间距 θ为衍射半角 衍射产生的必要条件：反射受λ、 θ 、d的制约。反射线实质是各原 子面反射方向上散射线干涉加强的结果，即衍射。此处“反射”与“衍 射”可不作区别。 干涉指数和干涉面：将布拉格方程改写成 2dHKLsin θ = λ 其中，dHKL＝d/n， H=nh，K=nk，L=nl。即把 (hkl)晶面的n级反射看 成是与之平行、面间距为d/n的晶面(HKL)的一级反射。(HKL)不一定是 真实的原子面，通常称为干涉面，而将 (HKL)称为干涉指数。
第一章-半导体中的电子态
36
1、自由电子波函数和能量
E 2k2 2m0
自由电子能量与波矢的关系图
37
2、晶体中电子的波函数和能量
2、晶体中电子的波函数和能量
3、布里渊区和能带
E-k关系 晶体中电子处在不同的k状态,具有不同的能量E(k) 由于周期势场的微扰,在布里渊区边界处,能量出现不连
续,形成能带.
1.1.2 闪锌矿型结构与混合键
思考: 左图的一个晶胞包含几个原子?几个第III族原子?几个第V族原子?
14
1.1.3 纤锌矿结构 （Wurtzite structure）
II-VI族化合物、电负性差异较大的III-V化合物通常属于纤锌矿结构。 属六方晶系，AB型共价键晶体，其中A原子作六方密堆积（堆
d＝内d找xd到yd粒z子
的概率，则：
dW x, y, z,t CΨ x, y, z,t2 d
32
薛定谔方程
薛定谔方程
i
(r,t) [
2
2 V (r )] (r ,t)
t
2
拉普拉斯算符
2＝ 2 2 2 x2 y 2 z 2
薛定谔方程描述在势场 U(r)中粒子状态随时间的变化，也称微观粒子 波动方程。只要知道势场的具体形式就可求解该方程得到粒子波函数的 具体形式，从而得出粒子的运动状态和能量状态。
m m 由于价带顶的 * 0,因此 * 0
n
p
61
未满导带
对于不满带，只有部 分电子状态电子占据， 电子可以在电场的作 用跃迁到能量较高的 空状态，导致电子在 布里渊区状态中的分 布不再对称，形成宏 观电流。
62
有电场时导带电子能量和速度分布
导体
有未被填满的价带。
倒格矢与正格矢的表达式
倒格矢与正格矢的表达式倒格矢与正格矢是固体物理学中常用的概念，用于描述晶体中的电子结构。
倒格矢是晶体中的布拉格平面的法向量，而正格矢则是晶体的晶格向量。
在本文中，将详细介绍倒格矢与正格矢的表达式及其在固体物理学中的应用。
我们来看倒格矢的表达式。
在布拉格衍射理论中，倒格矢用来描述晶体中的衍射现象。
倒格矢的表达式为：G = h*a* + k*b* + l*c*其中，G为倒格矢，h、k、l为整数，a*、b*、c*为正格矢的倒数，即与晶格向量相互垂直的向量。
倒格矢G的方向与晶格平面的法向量相同。
接下来，我们来看正格矢的表达式。
正格矢用来描述晶体的晶格结构，表达式为：R = h*a + k*b + l*c其中，R为正格矢，h、k、l为整数，a、b、c为晶格向量。
正格矢R的方向与晶格平面平行。
倒格矢与正格矢之间存在一种重要的关系，即布拉格定理。
布拉格定理表明，倒格矢和正格矢之间的内积等于一个常数，即：G·R = 2πn其中，n为整数。
这个定理揭示了倒格矢和正格矢之间的对偶性。
在固体物理学中，倒格矢和正格矢的概念广泛应用于描述晶体中的电子结构。
根据布洛赫定理，晶体中的电子波函数可以表示为平面波和周期函数的乘积形式。
在这个表达式中，平面波的波矢k可以用倒格矢G来表示，即：k = G + k'其中，k'为倒格矢的一个平移矢量。
这个表达式说明了倒格矢G和电子波矢k之间的关系。
利用倒格矢和正格矢的概念，可以方便地描述晶体中的电子结构和晶格结构。
例如，在固体能带理论中，可以通过计算倒格矢和正格矢之间的内积来得到电子能带结构。
倒格矢和正格矢的选择对于能带结构的计算结果具有重要影响。
倒格矢和正格矢还广泛应用于X射线衍射和中子衍射等实验技术中。
通过测量衍射角度和晶格常数，可以确定倒格矢和正格矢之间的关系，从而得到晶体结构的信息。
在总结一下，倒格矢和正格矢是固体物理学中重要的概念，用于描述晶体中的电子结构和晶格结构。
电子衍射和中子衍射110315(2024版)
单晶电子衍射谱，可以视为由某一特征平行四边形 (斑点为平行四边形的四个顶点)，按一定周期扩展而成。 可以找出许多平行四边形，作为一个衍射谱的基本单元， 我们选择与中心斑点最邻近的几个斑点为顶点构成的四 边形为基础，按下列定义的平行四边形为基本特征平行 四边形——约化平行四边形。
约化平行四边形
在底片透射斑点附近，取距透射斑点O最近的两个不共 线的班点A、B。由此构成的四边形, 如满足下列约化条件： 1) 如R1、R2夹角为锐角
L=f0MiMp f0为物镜的焦距，Mi中间镜放大倍数，Mp投影镜的放大倍数，在透射电 镜的工作中，有效的相机长度L，一般在照相底板中直接标出，各种类 型的透射电镜标注方法不同，λ为电子波长，由工作电压决定，工作电 压一般可由底板标注确定，对没有标注的早期透射电镜在拍摄电子衍射 花样时，记录工作时的加速电压，由电压与波长对应表中查出λ。
此时要求相对误差为
i
dEi dTi dTi
<3%～5%。
例一
• 试标定γ-Fe电子衍射图(图6-10a) • 1、选约化四边形OADB(图6-10b)，
测得 • R1=9.3mm,R2=21.0mm,R3=21.0mm,Ф
=75°，计算边长比得 • R2/R1=21.0/9.3=2.258 • R3/R1=21.0/9.3=2.258 • 2、已知γ-Fe是面心立方点阵，故
衍射花样
NiFe多晶纳米薄膜的电子衍射
La3Cu2VO9晶体的电子衍射图
•
非晶态材料电子衍射图的特征
由于电子束穿过结晶物质时表现得和X射线相似，所以 衍射最强点的位置由布拉格定律所确定:
2d sin n
式中是波长，d 是晶体的晶面间距， 是入射电子束和晶 面间的夹角，n 是整数，称为衍射级次。
第10章 电子衍射
四. 结构因子——倒易阵条件：
⑴ 布拉格方程；
⑵ 结构因子︱F︱ ≠0，才有衍射线出现（I∝︱F︱ ） Fhkl为（hkl）晶面族的结构振幅，表示晶体的正点阵 晶胞内所有原子对电子波的散射波在衍射方向上的合成 振幅。
2 2
︱F︱ =0时产生结构消光。
2
ghkl ha kb lc
两点性质：a.倒易矢量垂直于正点阵中相应的（hkl) 晶面； b.倒易点阵中的一个阵点代表正点阵中的 一组晶面。如图10-3。 3).倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒 数：
g hkl
1 d hkl
4）. 对正交点阵（立方、正方）
a 正点阵
2、 倒易点阵的性质
1）.
a a bb cc 1
a b=a c b a b c c a c b 0
由此可见，正点阵与倒易点阵异名基矢点 乘为0，同名基矢点乘为1。
2）. 在倒易点阵中由原点指向任意坐标为hkl的阵点 的矢量 g hkl 称为倒易矢量，有：
由于α=β=γ=90°
a*∥a
b*∥b
a*⊥bc决定的平面
c*∥c
a a a a cos a，a
1
∴
1 1 b a b a 1 c c
5）.只有在立方点阵中，晶面法向与同指
数的晶向重合（平行），因此，倒易 矢量ghkl与相应指数的晶向[hkl]平行。
（hkl）衍射晶面的特性，故又称作衍射晶面 矢量。
总结：
⑴ 爱瓦尔德球图解法直观地用几何图形表达了布拉格方 程。爱瓦尔德球内的三个矢量 K 、 '、 g hkl，清楚地描 K 述了入射束、衍射束和衍射晶面之间的相对关系。
能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。
本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。