求函数值域的十种常用方法 ppt课件
2.3 函数的值域与.最值课件(北师大版必修一)
(2)由
⇒ab>0.
①0<a<b时，由(1)可知：x∈(0，＋∞)时，
f(x)max＝f(1)＝2，所以
≤2⇒a≥1，
即1≤a<b，由(1)可知：x∈[a，b]时f(x)递 减，
3x－x3＝ ⇒x4－3x2＋2＝0⇒x1＝1；x2 ＝ ，所以a＝1，b＝ .
②a<b<0时，由(1)可知：x∈(－∞，0)时 f(x)递增，
5 2
使用此法求解，该函数的值域为[ , ＋
∞) ．
8．求导法——当一个函数在定义域上可 导时，可根据其导数求最值，如y＝x3－
x，x∈[0,2]的值域为
．
9．数形结合法——当一个函数图象可作 [0，＋∞)
时，通过图象可求其值域和最值；或利 用函数所表示的几何意义，借助于几何
解析：本小题主要考 查正六棱柱的概念与 性质，以及函数的相 关知识，考查考生运 用导数知识解决实际 问题的能力． 设被切去的全等四边 形的一边为x，如图 所示，则正六棱柱的 底面边长为1－2x， 高为 x，
所以正六棱柱的体积
V＝6×
(1－2x)2×
x(0<x<
)，
化简得V＝ (4x3－4x2＋x)． 又V′＝ (12x2－8x＋1)， 或 x＝ .
3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数 的值域由函数的定义域及其对应法则唯 一确定． 4．当函数由实际问题给出时，函数的值 域由问题的实际意义确定．
四、求函数的值域是高中数学的难点， 它没有固定的方法和模式．常用的方法 有： [2，＋∞) 1．直接法——从自变量x的范围出发，推 出y＝f(x)的取值范围，如y＝(x≥3)的值域 为 ． (0，＋∞) 2．配方法——配方法是求“二次函数类” 值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋ bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配 方法，如y＝4x＋2x的值域为 ．
高一求函数的值域的常用方法
函数的值域
奎屯 新疆
题型精讲 例4 求函数
5x 2 y x
5 5x 2
的最大值；
解法2： (不等式方法)
y 5x 2 1 [(5 x 2) 2] 5
2 当x 时， 5
2 5x 2 5 2 4 2 2 5
4 4 当且仅当 x 时等号成立 ， 且x 适合题意 。 5 5
1 1 7 （x ） （x ） 5 5x 1 7 5 ＝5 2 10 5 解(1):由y 1 4 x 2 （x 1 ） 4 （x 1 ） 4 4 8 x 2 2 2 由此知y f ( x)在[3, 1] 上为增函数
f ( 3) y f (1)
2
王新敞
奎屯
新疆
四、巩固与提高
3.y 2 x 2 4 x的值域是 C ( A)[2, 2];( B)[1, 2];(C )[0, 2);( D)[ 2, 2]. 2 x 3, 4.函数y x 3, x 5, x0 0 x 1的最大值为 4 x 1
王新敞
奎屯
新疆
五、小结 求函数的值域和最值常用方法： 配方法、判别式法、不等式法、换元法、 反函数法、利用函数的单调性和有界性、数形 结合、导数法等. 求函数最大、最小值问题历来是高考热点， 这类问题的出现率很高，应用很广. 因此应注意 总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提 高高考应变能力. 因为函数的最大、最小值求出 来了，值域也就知道了，反之，若求出的函数的 值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求 出来了 .
题型精讲
1 5 5 x x 1 x ,0 (0, ) 2 4 4
例说求函数值域的十种基本方法
例说求函数值域的十种基本方法1、利用非负数的性质根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。
例1、(1)求函数216x y -=的值域。
(2)求函数1322+-=x x y 的值域。
解析：(1)161602≤-≤x ， 41602≤-≤∴x故 所求函数的值域为 []40，∈y 。
(2)012>+x ，∴原函数可化为 3)1(22-=+x x y ，即 3)1(2+=-y y x ， 当1≠y 时，y y x -+=132， 02≥x ，013≥-+∴yy ，解得13≤≤-y 又 1≠y ， 所以 13<≤-y ，故 所求函数的值域为 ），13[-∈y 。
2、利用函数的图象对于含有绝对值（或分段）函数，若函数图象比较易作出，则利用函数图象能较快的求出其值域。
例2、求函数|1||2|+--=x x y 的值域。
解析：去掉绝对值符号得 ：⎪⎩⎪⎨⎧-<=++-≤≤-+-=+-->=+--=)1(3)1(2)21(12)1(2)2(3)1(2x x x x x x x x x x y 。
画出函数的图象（如图）：由函数的图象可得，原函数的值域为]33[，-∈y 。
3、利用二次函数的性质对于二次函数或与二次函数相关的函数，在求其值域时常用此法。
例3、(1)求函数]22[2，，-∈+-=x x x y 的值域。
(2)求函数]231[27，，∈-=x x x y 的值域。
解析：(1)41)21(22+--=+-=x x x y ，]22[，-∈x ，416≤≤-∴y 故 所求函数的值域为 ]416[，-∈y(2)849)471(2722727222+--=+-=-=-=x x xx x x x y ， ]231[，∈x ，4273≤≤∴y 解得：, 故 所求函数的值域为 ]4273[，∈y 。
4、利用互为反函数的性质因为原函数的值域与其反函数的定义域相同，所以可由求其反函数的定义域来确定原函数的值域。
函数的定义域和值域课件新人教A版
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
练习巩固
1．(2011·台州一模)函数 f(x)＝ 2x－2 x－lg(x－1)的定义域
是
()
A．(0,2)
B．(1,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，1)
4．(教材习题改编)函数f(x)＝ |xx|－－54的定义域为________． 解析：由|xx－|－45≥≠00， ∴x≥4且x≠5.
答案：{x|x≥4且x≠5}
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
整理得xx22－ －xx≥ －01， ≤0
x≤0或x≥1，
⇒1－ 2
5≤x≤1＋2
5，
∴所求函数的定义域为1－2 5，0∪1，1＋2 5. (2)用换元思想，令3－2x＝t，
形如 y＝cx2a＋x＋dxb＋e或 y＝cx2a＋x＋dxb＋e(a·c≠0)的值 域常用基本不等式或判别式法求解(判别式要慎用)．
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
求函数的值域：
y＝x＋4x
[归纳领悟]
1．函数有解析式时，其定义域是使解析式有 意义的自变量的取值构虑解析式 的意义，还要看其实际意义．
3．抽象函数的定义域要弄清所给函数间有何 关系，进而求解．
高中数学《求二次分式型函数的值域》精品PPT课件
点评 转化成二次方程是否有解去解决。
典例
变式. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2(－1≤x≤2)的值域为_____________．
方法二、令 t＝x＋1，x∈[－1，2]，则 x＝t－1，且 t∈[0，3]， 得 y＝(t－1)2－t(t－1)＋2＝t2－3tt＋4，t∈R，
典例
变式. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2(－1≤x≤2)的值域为_____________．
方法二、令 t＝x＋1，x∈[－1，2]，则 x＝t－1，且 t∈[0，3]， 得 y＝(t－1)2－t(t－1)＋2＝t2－3tt＋4，t∈R， （1）当 t＝0，y＝0；
（2）当 t∈(0，3]，y＝t＋4t1－3，t＋4t ∈[4，＋∞)，
t＋4t －3∈[1，＋∞)， t＋41t －3∈ (0,1]．所以函数 y＝x2－x＋x＋1 2的值域为[0，1]．
典例
变式. 函数 y＝x2－x＋x＋1 2(－1≤x≤2)的值域为_____________． 点评 若定义域范围有新的限定，转化成二次方程是否有解较困难。
典例
3. 函数 y＝2xx22－ －3x＋x＋23的值域为_____________．
求二次分式型函数的值域
What —求二次分式型函数的值域
形如 y＝ax2＋dbx＋c、y＝ax2d＋x＋bxe＋c、 y＝ax2d＋x＋bxe＋c、y＝adxx22＋＋bexx＋＋cf 的结构令 t＝x2－x＋2＝(x－12)2＋74，x∈R，则 t∈[74，＋∞)， 得 y＝2t ，t∈[74，＋∞)，
所以 Δ＝y2－4y(2y－2)≥0，解得 0＜y≤87，
所以函数 y＝x2－2x＋2的值域为(0，87]．
《函数的定义域和值域》中职数学拓展模块5.1ppt课件2【语文版】
温馨提醒：函数表达式有意义的准则一般有：①分式中 的 分
母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；
④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R____． (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
4ac－b2
【解析】(1)函数有意义需满足2x－ －x1＞ ＞00， ， 即 1＜x＜2，所以，函数的定义域为(1，2)．
0≤x2≤2
(2)由x＋1>0
，得
1＋lg（x＋1）≠0
－ 2≤x≤ x>－1 x≠－190
2 ，∴－1<x<－190或
－190<x≤ 2.故函数 g(x)的定义域为(－1，－190)∪(－190， 2]．
【解析】由 22xx－ －－＋xx11>≠≠≥1000，， ，，得xxx≥≠<－ 12，，1，
则－ x≠11≤，x<2，所以定义域是{x|－1≤x<1 或 1<x<2}．
2．(2014·山东济南模拟)若函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为
R，则实数 a 的取值范围是__[0_，__3_)__．
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
【解析】因为函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为 R， 所以 ax2＋2ax＋3＝0 无实数解， 即函数 y＝ax2＋2ax＋3 的图象与 x 轴无交点． 当 a＝0 时，函数 y＝3 的图象与 x 轴无交点； 当 a≠0 时，则 Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得 0<a<3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3)．
高中数学--函数值域求法十一种(详解).docx
函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1y1. 求函数x 的值域。
解：∵x01∴x显然函数的值域是：(,0)(0,)2. 求函数y3x的值域。
解：∵x 0x 0,3x 3故函数的值域是：[,3]2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
3.求函数yx 22x5, x[ 1,2] 的值域。
解：将函数配方得：y(x1) 24∵ x [1,2]由二次函数的性质可知：当 x=1时，ymin4，当 x1时， y max 8故函数的值域是：[4，8]3.判别式法y1 x x 24.1x 2求函数的值域。
解：原函数化为关于 x 的一元二次方程( y 1)x2( y 1) x 0 （1）当 y 1时，x R( 1) 2 4( y 1)( y1)解得：1y3 22（2）当 y=1时， x 0 ，而11 , 3 故函数的值域为 1,3222 25. 求函数 y xx( 2 x )的值域。
解：两边平方整理得：2x22(y 1) x y2（1）∵ x R∴4(y 1) 28y解得：12 y 1 2但此时的函数的定义域由x( 2x)0 ，得0x 2由0 ，仅保证关于 x 的方程：2x22(y 1) x y 2在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 1 ,3。
求值域常用的七种方法
2、换元法
• 此法特点：函数的解析式含有根式或者三角函数 模型的.
• 求下列函数的值域
x 1 (1) y 2 (2) y x x 1 x 1 (3) y cos 2 x cos x 1
2
(4) y 9 3 2( x [0,1])
x x
3、基本不等式法
( x [0,3])
求值域常用的七种方法
1、二次函数配方法（图像法） 2、换元法 3、基本不等式法 4、利用函数的单调性法 5、分离常数法 6、数形结合法 7、导数法
1、配方法
• 求下列函数的值域
(1) y x 2 x
2
( 2) y x 2 x ( x [0,3])
2
(3) y x 4 x 1( x [ 4,4])
2
(2) y | x 2 | | x 8 | (3) y | x 1 | | x 3 | (4) y | x 3 | | x 1 |
(5) y x 6 x 13 x 4 x 5
2 2
(6) y x 6 x 13 x 4 x 5
2 2
注：求两距离之和时，要函数式变 形，使A、B在x轴的两侧，而求两 距离之差时，则使A、B两点在x轴 的同侧。
sin x (7 ) y cos x 2
7、导数法
• 求下列函数的值域
x (1) y x ( x [0,4]) e
3 2
(2) f ( x) 2 x 3 x 12 x 5
• 求下列函数的值域
1 (1) y x 1 x 2 x 2x 2 (2) y ( x 1) x 1 (3) y log 3 x log x 3 1