高考一轮复习函数的单调性与最值
2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
2021年新高考数学一轮专题复习
第05讲-函数的单调性与最值
一、考情分析
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意
义．
二、知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任
意两个值x
1，x
2，改变量Δx＝x
2－x
1>0，则当
Δy＝f(x
2)－f(x
1)>0时，就称
函数y＝f(x)在区间M上是增
函数Δy＝f(x
2)－f(x
1)<0时，就称函数y
＝f(x)在区间M上是减函数
图象
描述自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调
性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x
0∈I，使得f(x
0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x
0∈I，使得f(x
0)＝M
结论M为最大值M为最小值
[方法技巧]
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处
取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1
f（x）的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋a
x(a>0)的增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，
(0，a].
三、经典例题
考点一确定函数的单调性(区间)
【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的x
1，x
2∈[a，b](x
1≠x
2)，下列结论不正确的是()
A．
12
12fxfx
xx
>0
B．f(a)
1)
2)
C．(x
1－x
2)[f(x
1)－f(x
2)]>0
D．
21
21xx
fxfx
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值【含答案】
2021届高三高考数学理科一轮复习知识点
专题2.2 函数的单调性与最值
【核心素养分析】
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。
【重点知识梳理】
知识点一 函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
知识点二 函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
【特别提醒】
1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.
2.“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].
【典型题分析】
高频考点一
确定不含参函数的单调性(区间)
例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln|21|ln|21|fxxx，则f(x)（ ）
A. 是偶函数，且在1(,)2单调递增 B. 是奇函数，且在11(,)22单调递减
C. 是偶函数，且在1(,)2单调递增 D. 是奇函数，且在1(,)2单调递减
【答案】D
【解析】由ln21ln21fxxx得fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，
2020年高考数学一轮复习(新课改)第1课时系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性
第二节函数的性质
第1课时 系统知识一一函数的单调性与最值、奇偶性、周期性
函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为1 ,如果对于定义域1内某个区间D
上的任意两个自变量 x1, x2
定义 当 X1f(X2),那
么就说函数f(x)在区间D上是增 么就说函数f(x)在区间D上是减
函数 函数
图象描述
| r | *1
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 y= f(x)在这一区间上具有(严
格的)单调性，区间 D叫做函数y= f(x)的单调区间.
［点拨］(1)函数单调性定义中的 Xi , X2具有以下三个特征：一是任意性，即 任意两数
Xi, D ”，任意”两字决不能丢；二是有大小，即 XiVX2(或X1>X2)；三是同属一个单调区
间，三者缺一不可.
⑵若函数在区间D上单调递增(或递减),则对D内任意的两个不等自变量 X1, X2的值,
都有fXL二竺 或fXk 4竺<。.
X1 — X2 X1— X2 /
(3)函数f(X)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整 个定义域上有此性质.
［谨记常用结论］
(1) 函数f(X)与f(x)+ c(c为常数)具有相同的单调性.
(2) k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反.
1
⑶若f(x)恒为正值或恒为负值，贝y f(x)与具有相反的单调性.
⑷若f(x), g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时， f(x) •(x)是增(减)函数；当两
者都恒小于零时，f(x) g(x)是减(增)函数.
(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减.
［小题练通］
1. ［人教A版教材P39B组T1］函数f(x)= x2— 2x的单调递增区间是 ______ .
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值
专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）
【考情分析】
1.了解函数的单调性与导数的关系；
2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
4.会用导数求函数的极大值、极小值；
5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】
知识点一函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
知识点二函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
知识点三函数的极值与导数
条件 f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
知识点四函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【特别提醒】
1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.
2015届高考数学(理)一轮复习单元卷：函数的单调性与最值(苏教版)
第 1 页 共 4 页 函数的单调性与最值
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·苏北四市三调)已知函数f(x)＝ x2＋x， x≤0，ax2＋bx， x>0为奇函数，则a＋b＝________.
2．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝________.
3.创新题定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a
4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
5．(2014·苏中三市、宿迁调研)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x＋ex(e为自然对数的底数)，则f(ln 6)的值为________．
6．已知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)，若f(x)在12，2上的值域为12，2，则a＝__________.
7．设函数f(x)＝ 1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
8．使函数y＝2x＋kx－2与y＝log3(x－2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k的取值范围是________．
9．已知f(x)＝xx－a(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
10．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
第 2 页 共 4 页
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2013·南通二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|.下列不等关系：
2020届高考高中理科数学一轮专题复习第二章 2.2函数的单调性与最值
§2.2 函数的单调性与最值
最新考纲
考情考向分析
1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 以基本初等函数为载体，考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的考查，题型既有选择、填空题，又有解答题.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A
当x1f(x2)，那么，就称函数f(x)在区间A上是减少的
图像描述
自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么就称A为单调区间.
2.函数的最值
前提 函数y＝f(x)的定义域为D
条件 (1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(2)对于任意x∈D，都有f(x)≤M. (3)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；
(4)对于任意x∈D，都有f(x)≥M.
结论 M为最大值 M为最小值 概念方法微思考
1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？
提示 对任意x1，x2∈D，fx1－fx2x1－x2>0⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似.
2.写出对勾函数y＝x＋ax(a>0)的递增区间.
提示 (－∞，－a]和[a，＋∞).
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)
(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞).( × )
(3)函数y＝1x的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )
(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.
( × )
(5)所有的单调函数都有最值.( × )
题组二 教材改编
第三高考数学一轮复习 函数的单调性与最值教案
城东蜊市阳光实验学校第三中学高考数学一轮复习函数的单调性与最值教案
学习内容 学习指导、
即时感悟
学习目的：1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2、会用函数图象理解和研究函数的性质．
学习重点：函数的单调性、最大值、最小值及其应用
学习难点：函数的单调性、最大值、最小值及其应用
学习方法：自主探究
学习方向
引入：利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求参数的取值范围是历年高考考察的热点，题型多以选择题和填空题为主，与导数交汇命题会以解答题的形式出现。
回忆﹒预习
知识梳理：
1、单调函数的定义
设函数f(x)的定义域为I，假设对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值1x，2x，当1x＜2x时，
①假设，那么f(x)在上是增函数．
②假设，那么f(x)在上是减函数．
2、单调区间的定义
假设函数f(x)在区间D上是或者者，那么称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间．
3、用定义证明函数单调性的一般步骤
①取值：即设1x，2x是该区间内的任意两个值，且1x＜2x.
②作差：即f(2x)－f(1x)(或者者f(1x)－f(2x))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：根据给定的区间和2x－1x的符号，确定差f(2x)－f(1x)(或者者f(1x)－f(2x))的符号．当符号不确定时，可以进展分类讨论．
④判断：根据定义得出结论
4、求函数的单调性或者者单调区间的方法
自主学习
①利用函数的单调性．
②定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
③图象法：假设f(x)是以图象形式给出的，或者者者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．
5.函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，假设存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有．
函数单调性与最值的综合(一轮复习教案)
函数的单调性与
适用学科 数学 适用年级 高二年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 120
知识点 求函数的值域
学习目标 1 理解和掌握函数的值域是，研究函数的最值问题。
2 能应用常用的方法来正确求函数的定义域,来培养学生应用数学分析、解
决实际函数的能力.
3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，
合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动
脑和动手的良好品质
学习重点 函数值域就是求函数最值的问题。
学习难点 求函数的值域解决函数的取值范围
学习过程
一、复习预习
1.函数的值域
1．定义：在函数()yfx中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则
①当函数()yfx用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；
②当函数()yfx用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；
③当函数()yfx用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
④当函数()yfx由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
二、知识讲解
常见函数的值域：
1 一次函数的)0(abaxy的定义域为R，值域为R，对于一个R中的任意一个数，对R中都有为唯一的数与它相对应。
2 二次函数)0(2acbxaxy的定义域为R，值域为B。当0a时，}44{2abacyyB，当0a时，}44{2abacyyB，对R中都有为唯一的数与它相对应。
3反比例函数0kykx的值域为0yRy.
4求函数值域的方法：观察法，配方法，换元法，分离常数法,反解法，判别式法等。
单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
【步步高】高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)2.2函数的单调性与最值文档专练 文
§2.2 函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M ；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
结论 M为最大值 M为最小值
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( × )
(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数． ( √ ) (3)函数y＝|x|是R上的增函数． ( × )
(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)． ( × )
(5)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是(0，＋∞)． ( × )
(6)函数y＝1－x21＋x2的最大值为1. ( √ )
2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2,4)上是 ( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
答案 C
解析 作出函数y＝x2－6x＋10的图象(图略)，
2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第4节 第1课时 三角函数的图象与性质
第四节三角函数的图象与性质课标解读考向预测
1.能画出三角函数(正弦、余弦、正切)的图象.
2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最
大(小)值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]
上，正切函数在－π
2，π2上的性质.从近几年的高考来看，三角函数的图象与性
质是高考的重点，预计2025年高考对于三
角函数图象与性质的考查会与三角恒等变
换结合，以选择题或填空题为主，难度中等.
必备知识——强基础1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，0)，π
2，1
，(π，0)，3π
2，－1
，
(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是(0，1)，π
2，0
，(π，－1)，3π
2，0
，
(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx
图象
定义域RR01x|
x≠kπ＋π
2(k
∈Z)
值域02[－1，1]03[－1，1]R
周期性2π042π05π
奇偶性06奇函数07
偶函数奇函数
单调递增区间2kπ－π
2，2kπ＋π
2(k
∈Z)08[2kπ－π，2kπ](k
∈Z)kπ－π
2，kπ＋π
2(k∈
Z)
单调递减区间2kπ＋π
2，2kπ
＋3π
2(k∈Z)09[2kπ，2kπ＋π](k
∈Z)—
对称中心(kπ，0)(k∈Z)kπ＋π
2，0
(k∈Z)kπ
2，0
(k∈Z)
对称轴方程x＝kπ＋π
2(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)—
1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是1
2个周期，相邻的对称
中心与对称轴之间的距离是1
4个周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝
Acosωx＋b的形式．
(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋π
2(k∈Z)；若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝