【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
高中数学必修四北师大版 正余弦函数的图像性质 学案
正余弦函数的图像性质【学法指导】1.阅读探究课本基础知识（15分钟），并完成课后习题，自主高效预习，提高自己的阅读理解能力；2.完成问题导学，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【学习目标】：1简化正弦、余弦函数的绘制过程，会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图像；2.通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质，培养学生的数形结合的能力；3.能用正弦函数、余弦函数的图像与性质解决一些综合问题。
问题导学：1．下列叙述中正确的个数为（）①作正弦、余弦函数图像时，单位圆的半径长与x轴上的单位可以不一致。
②的图像关于点成中心对称图形。
③的图像关于直线成轴对称图形。
④正弦、余弦函数的图像不超出两直线所夹的范围。
A．1 B．2 C．3 D．42．使成立的x的一个区间是（）A ．B ．C ．D ．3．如果，则函数的定义域为（）A ．B ．C ．D ．合作探究【例1】求函数的最大值和最小值及取最值时的集合【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：（1）y=cosx+1 ，；（2），；（3）（4）．思考：此例若改为求最小值，结果如何？【例3】. 作出函数y x=-12cos的图象，并研究它的性质拓展：已知sin (sin cos )()cos (sin cos )x x x f x x x x ≥⎧=⎨<⎩,求f(x)的最大值和最小值、周期、单调区间规律方法总结： 当堂检测1 函数41cos 3cos 2+-=x x y 的最小值是 2 如果与同时有意义，则 的取值范围应为（ ）A ．B ．C ．D ． 或3与都是增函数的区间是（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ，4函数 的定义域________，值域________，时 的集合为_________．学习总结：（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结。
高中数学必修4北师大版 正切函数 学案2
§6 正切函数知识梳理1.任意角的正切函数 （1）定义如图1-6-1所示，单位圆与角α的终边交于P 点.设P （a ，b ）,则ab是角α的函数，称为正切函数，记为ab=tanα(α∈R ).通常用x,y 表示自变量和因变量，将正切函数表示为y=tanx. （2）正切线如图1-6-1所示，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，过点A 作x 轴的垂线AT ，交角α的终边或反向延长线于T ，则有向线段AT 叫做角α的正切线.当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在.图1-6-1（3）正切线所表示的正切值可如下确定：正切线的方向表示正切值的符号，同y 轴一致，向上为正，向下为负；正切线的长度是正切值的绝对值.（4）任意角的正切函数定义的推广图1-6-2如图1-6-2所示，设P(x,y)是α的终边上任意一点,则tanα=xy . 对于每一个确定的α，都分别有唯一确定的正切值与之对应，所以这个对应法则都是以角α为自变量的函数，叫做正切函数.正切函数值与点P 在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.2.任意角的正切值的符号（1）用图形表示：正切函数值在各象限的符号如图1-6-3所示.图1-6-3 （2）用表格表示3.正切函数的图像和性质(1)图像：如图1-6-4所示.图1-6-4知识导学1.复习初中学过的锐角的正切函数，本节是锐角正切函数的补充和延伸.2.任意角的正切值的符号记忆口诀：“一三正，二四负”.其含义是终边在第一、三象限的任意角正切值为正.3.三角函数值在各象限的符号的记忆方法：三角函数值在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”.其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正、余切值为正，在第四象限只有余弦值为正(这里说的三角函数值不指正割和余割函数）.。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.7 正切函数 Word版含答案
明目标、知重点 1.能依据正弦、余弦函数的定义类比得正切函数的定义.2.了解正切函数图像的画法，理解、把握正切函数的性质.3.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题.4.能依据正弦、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式．1．正切函数的定义在直角坐标系中(如图所示)，假如角α满足：α∈R ，α≠π2＋k π(k ∈Z )，那么，角α的终边与单位圆交于点P (a ，b )，唯一确定比值b a .依据函数的定义，比值ba 是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y ＝tan α，其中α∈R ，α≠π2＋k π，k ∈Z .2．函数y ＝tan x 的性质与图像见下表函数y ＝tan x图像定义域 {x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }值域R周期 最小正周期为π奇偶性 奇函数单调性 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2 (k ∈Z )内递增 对称性对称中心(k π2，0)(k ∈Z )，无对称轴3.正切函数的诱导公式 tan(x ＋k π)＝tan x (k ∈Z )(1.15)； tan(2π＋x )＝tan x (1.16)；tan(－x )＝－tan x (1.17)； tan(2π－x )＝－tan x (1.18)； tan(π－x )＝－tan x (1.19)； tan(π＋x )＝tan x (1.20)．[情境导学] 三角函数包括正弦、余弦函数和正切函数，我们已经争辩了正弦、余弦函数的图像和性质， 因此， 进一步争辩正切函数的性质与图像就成为学习的必定．你能否依据争辩正弦、余弦函数的图像和性质的阅历，以同样的方法争辩正切函数的图像及性质？ 探究点一 正切函数的图像思考1 类比正弦函数图像的作法，可以利用正切线作正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图像，具体应如何操作？ 答 类比正弦函数图像的作法，作正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2图像的步骤： (1)建立平面直角坐标系，在x 轴的负半轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆． (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线．(3)在x 轴上，把⎝⎛⎭⎫－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x 轴上的位置． (4)把角x 的正切线向右平移，使它的起点与x 轴上对应的点x 重合．(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的图像，如图所示．思考2 直线x ＝π2和x ＝－π2与正切函数y ＝tan x 图像的位置关系如何？结合正切函数的周期性， 如何画出正切函数在整个定义域内的图像？答 直线x ＝π2和x ＝－π2是正切函数图像的渐近线．我们作出了正切函数一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图像，依据正切函数的周期性，把图像向左、右延拓，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z )的图像，我们把它叫作“正切曲线”(如下图所示)，它是被很多条直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )所隔开的很多条曲线组成的．思考3 一条平行于x 轴的直线与正切曲线相邻两支曲线的交点的距离为多少？ 答 一条平行于x 轴的直线与相邻两支正切曲线的交点的距离为此函数的一个周期． 探究点二 正切函数的性质思考1 依据相关诱导公式，你能推断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？一般地，函数y ＝tan(ωx ＋φ) (ω>0)的周期是多少？答 由诱导公式tan(x ＋π )＝tan x ，可知正切函数是周期函数，最小正周期是π. ∵y ＝A tan(ωx ＋φ)＝A tan(ωx ＋φ＋π)＝A tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋πω＋φ，∴周期T ＝πω. 思考2 依据相关诱导公式，你能推断正切函数具有奇偶性吗？正切函数图像有何对称性？答 从正切函数的图像来看，正切曲线关于原点对称；从诱导公式来看，tan(－x )＝－tan x ．故正切函数是奇函数．正切函数图像是中心对称图形，对称中心有很多多个，它们的坐标为⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )．思考3 观看下图中的正切线，当角x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？当x 大于－π2且无限接近－π2时，正切值如何变化？当x 小于π2且无限接近π2时，正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么？答 正切函数值随着增加，反映了函数的单调性． 当x →－π2时，tan x →－∞；当x →π2时，tan x →＋∞.所以y ＝tan x 可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为R .思考4 结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？答 正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数． 正切函数在整个定义域内不是增函数，而是在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数，正切函数不会在某一区间内是减函数．例1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥01－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是 ⎣⎡⎭⎫－π4，π4.又y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )． 即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4 (k ∈Z )． 反思与感悟 求定义域时，要留意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图像或三角函数线．跟踪训练1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．解 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠π2＋k π(k ∈Z ).∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π2且x ≠k π－π4，k ∈Z .(2)由3－tan x >0，得tan x < 3.依据正切函数图像，得－π2＋k π<x <π3＋k π (k ∈Z )，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＋k π<x <π3＋k π，k ∈Z .例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2 ，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是 ⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z .最小正周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法即是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 跟踪训练2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调区间． 解 ∵y ＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上是增函数，∴－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z . 即－π12＋k π2<x <5π12＋k π2，k ∈Z .∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是 ⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π2(k ∈Z )．探究点三 正切函数性质的应用例3 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小： (1)tan ⎝⎛⎭⎫－65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π； (2)tan 2与tan 9.解 (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫－65π＝tan ⎝⎛⎭⎫－π－π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－π5， tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π＋π7＝tan π7， 又函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， 而－π2<－π5<π7<π2.∴tan ⎝⎛⎭⎫－π5<tan π7，即tan ⎝⎛⎭⎫－65π<tan ⎝⎛⎭⎫－137π. (2)∵tan 9＝tan(9－2π)，而π2<2<9－2π<π.由于函数y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π上是增函数， ∴tan 2<tan(9－2π)，即tan 2<tan 9.反思与感悟 比较两个函数值的大小，只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个单调区间内，再借助单调性即可．正切函数的单调递增区间为(－π2＋k π，π2＋k π)，k ∈Z .故在⎝⎛⎭⎫－π2，π2和⎝⎛⎭⎫π2，3π2上都是增函数． 跟踪训练3 比较下列两组函数值的大小． (1)tan(－1 280°)与tan 1 680°； (2)tan 1，tan 2，tan 3.解 (1)∵tan(－1 280°)＝tan(－4×360°＋160°) ＝tan(180°－20°)＝tan(－20°)， tan 1 680°＝tan(4×360°＋240°) ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°，而函数y ＝tan x 在()－90°，90°上是增函数， ∴tan(－20°)<tan 60°， 即tan(－1 280°)<tan 1 680°.(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， 又∵π2<2<π，∴－π2<2－π<0，∵π2<3<π，∴－π2<3－π<0， 明显－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是增函数， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 1.1．函数y ＝3tan(2x ＋π4)的定义域是( )A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z }C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z }D ．{x |x ≠k2π，k ∈Z }答案 C2．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间为( )A ．(k π－π2，k π＋π2)，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC ．(k π－3π4，k π＋π4)，k ∈ZD ．(k π－π4，k π＋3π4)，k ∈Z答案 C3．在下列函数中同时满足：①在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan x答案 C4．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心的坐标是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0(k ∈Z )解析 由x ＋π3＝k π2 (k ∈Z )，得x ＝k π2－π3(k ∈Z )．∴对称中心的坐标为⎝⎛⎭⎫k π2－π3，0(k ∈Z )． [呈重点、现规律]1．正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .2．正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.3．正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．一、基础过关1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( ) A ．(0,0) B.⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫45π，0 D ．(π，0)答案 C2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图像是( )答案 A3．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的全部函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ 答案 C解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π.②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的全部函数为①②③. 4．下列各式中正确的是( ) A ．tan 735°>tan 800° B ．tan 1>－tan 2 C ．tan 5π7<tan 4π7D ．tan9π8<tan π7答案 D5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D.π4答案 A解析 由题意，T ＝πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.6．函数y ＝tan x －1的定义域是 ． 答案 [k π＋π4，k π＋π2)，k ∈Z7．求函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域． 解 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1.令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5. ∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4，当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4.故所求函数的值域为[－4,4]． 二、力气提升8．设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b答案 C解析 ∵a ＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°，又0<cos 35°<1，∴c >b >a .9．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图像是( )答案 D解析 当π2<x <π时，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0；当x ＝π时，y ＝0；当π<x <3π2时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D.10．函数y ＝3tan(ωx ＋π6)的最小正周期是π2，则ω＝ .答案 ±2解析 T ＝π|ω|＝π2，∴ω＝±2.11．已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43(x ∈[－1，3])，∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图像的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥ 3. ∴tan θ≥1或tan θ≤－ 3.解得θ的取值范围是[π4，π2)∪(－π2，－π3]．12．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π2)，已知函数y ＝f (x )的图像与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图像关于点M (－π8，0)对称，求f (x )的解析式．解 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图像关于点M (－π8，0)对称，∴2×(－π8)＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4 (k ∈Z )．∵0<φ<π2，∴φ只能取π4.故f (x )＝tan(2x ＋π4)．三、探究与拓展13．(1)函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图像在区间[0,2π]上交点的个数是多少？ (2)求函数y ＝|tan x |的最小正周期． 解 (1)由于当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图像如图所示：观看图像可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]内有3个交点． (2)当k π≤x <k π＋π2，k ∈Z 时，tan x ≥0，则f (x )＝tan x ；当k π－π2<x <k π，k ∈Z 时，tan x <0，则f (x )＝－tan x ，则有f (x )＝⎩⎨⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2，k ∈Z ，－tan x ，k π－π2<x <k π，k ∈Z ，其图像如图所示．由图知函数y ＝|tan x |的最小正周期为π.。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.4.2 单位圆与周期性 Word版含答案
4.2 单位圆与周期性【明目标、知重点】 1.把握正弦、余弦函数的定义域，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数.2.会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为求0°～360°的正弦、余弦值．1．三角函数的定义域正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R . 2．正弦、余弦函数的周期性 sin(α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Z ； cos(α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z . 由此我们可以得到如下结论：终边相同的角的同一三角函数的值相等． 3．周期函数的有关概念 (1)周期函数的定义对于函数f (x )，假如存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就称为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)最小正周期2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．[情境导学] 自然界存在很多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，需引入一个新的数学概念——函数周期性． 探究点一 利用三角函数求函数定义域思考 任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．依据任意角三角函数的定义可知正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；在此基础上，可以求一些简洁的三角函数的定义域．例如：(1)函数y ＝sin x 的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }． (2)函数y ＝lg cos x 的定义域为{x |2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z }．例1 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22的定义域． 解 由题意得，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0.即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x <2k π＋34π，k ∈Z .反思与感悟 求三角函数定义域时，一般应转化为求不等式(组)的解的问题．利用数轴或三角函数线是解三角不等式常用的方法．解多个三角不等式时，先在单位圆中作出访每个不等式成立的角的范围，再取公共部分．跟踪训练1 求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域． 解 ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32. 如图所示．∴x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )． 即x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3 (k ∈Z )． 探究点二 正弦、余弦函数的周期性思考 由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等．由此得到正弦函数和余弦函数的周期性．sin(k ·360°＋α)＝sin α，cos(k ·360°＋α)＝cos α，k ∈Z . 或者：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，k ∈Z .这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值．例如：sin 420°＝32；sin(－2 070)°＝1； cos(－330°)＝32；cos 1 845°＝22.例2 求下列角的三角函数值．(1)cos(－1 050°)；(2)cos 193π；(3)sin(－314π)．解 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°的角与30°的角终边相同， ∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝32； (2)∵193π＝3×2π＋π3，∴角193π与角π3的终边相同，∴cos 193π＝cos π3＝12；(3)∵－314π＝－4×2π＋π4，∴角－314π与角π4的终边相同，∴sin(－314π)＝sin π4＝22.反思与感悟 利用周期性可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值． 跟踪训练2 求下列各式的值． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－154π＋cos 253π＋cos ⎝⎛⎭⎫－103π； (2)sin 810°＋cos 765°－sin 1 125°＋cos 180°＋sin(－2 010°)． 解 (1)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋ cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋23π＝sin π4＋cos π3＋cos 23π ＝22＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＝22. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)－sin(3×360°＋45°)＋cos 180°＋sin(－6×360°＋150°) ＝sin 90°＋cos 45°－sin 45°＋cos 180°＋sin 150° ＝1＋22－22＋(－1)＋12＝12.1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12 B.12C ．－32D.32答案 D解析 sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝32. 2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域是 ． 答案 {x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z }3．5sin 90°＋10cos 180°－3sin 270°＋4cos 420°＝ . 答案 0解析 原式＝5×1＋10×(－1)－3×(－1)＋4×cos 60° ＝5－10＋3＋2＝0. 4．如图所示．(1)点P 的坐标是 ，点F 的坐标是 ；(2)若点Q 的坐标是⎝⎛⎭⎫－12，32，那么∠xOQ ＝ (弧度)，点G 的坐标是 ．答案 ⎝⎛⎭⎫12，32 ⎝⎛⎭⎫－12，32 (2)23π ⎝⎛⎭⎫12，－32[呈重点、现规律]1．正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的三角函数值相等．作用是把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值． 2．求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观看出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出访f (x ＋T )＝f (x )成立的T . (2)图像法，即作出y ＝f (x )的图像，观看图像可求出T .如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.一、基础过关 1．sin 390°等于( ) A.32 B ．－32C ．－12 D.12答案 D2．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 B3．比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 答案 C解析 由于1,1.2,1.5均在⎝⎛⎭⎫0，π2内，画出单位圆即可推断，故sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 4．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2π D.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 答案 D5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝ . 答案 ⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π 6．若α是其次象限角，则点P (sin α，cos α)在第 象限． 答案 四解析 ∵α为其次象限角，sin α>0，cos α<0，∴P 在第四象限．7．函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为 ． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z 解析 如图所示．8．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.解 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，如图所示，由三角函数定义可得：∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )，2k π－π3<x <2k π＋π3 (k ∈Z ).此交集恰好为图形中的阴影重叠部分， 即2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z .故不等式组的解集为{x |2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z }．二、力气提升9．下列命题正确的是( )A ．α、β都是其次象限角，若sin α>sin β，则cos α<cos βB ．α、β都是第三象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βC ．α、β都是第四象限角，若sin α>sin β，则cos α>cos βD ．α、β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin β 答案 C解析 依据单位圆有关学问分别推断即可． 10．已知点P (sin α－cos α，sin αcos α)在第一象限，则在[0,2π)内，α的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π解析 由点P ⎝⎛⎭⎫sin α－cos α，sin αcos α在第一象限， 可得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，sin αcos α>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α>0，sin α>cos α，或⎩⎨⎧sin α<0，cos α<0，sin α>cos α.如图所示：∴π4<α<π2或π<α<54π. 11．求函数f (x )＝log (1－2cos x )(2sin x ＋1)的定义域． 解 依题意， 有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ＋1>0，1－2cos x >0，1－2cos x ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x >－12，cos x <12，cos x ≠0.如图利用单位圆，得函数的定义域是 (2k π＋π3，2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋76π)，k ∈Z .12.已知f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．解 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期． 三、探究与拓展13．设π2>α>β>0，求证：α－β>sin α－sin β.证明 如图所示，设单位圆与角α、β的终边分别交于P 1、P 2，作P 1M 1⊥x 轴于M 1，作P 2M 2⊥x 轴于M 2，作P 2C ⊥P 1M 1于C ，连接P 1P 2，则sin α＝M 1P 1，sin β＝M 2P 2，α－β＝P 1P 2，∴α－β＝P 1P 2>P 1P 2>CP 1＝M 1P 1－M 1C ＝M 1P 1－M 2P 2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：第一章 三角函数 Word版含答案
1 单调不“单调”，应用很“奇异”三角函数的单调性是三角函数的重要性质之一，也是高考常考的内容．利用其可以便利地进行比较值的大小、求单调区间、求解最值和解不等式等．下面举例归纳该性质在解题中的具体应用，期望能对同学们的学习有所挂念．一、信念体验——比较大小 例1 比较cos 5π14，sin 2π7，－cos 8π7的大小． 解 由于sin2π7＝cos(π2－2π7)＝cos 3π14，－cos 8π7＝ cos π7，又0<π7<3π14<5π14<π2，而y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，所以cos π7>cos 3π14>cos 5π14，即－cos 8π7>sin 2π7>cos 5π14.点评 比较三角函数值的大小关键是利用三角函数某区间的单调性，一般按下列步骤进行：(1)将不同名的三角函数化为同名三角函数；(2)用诱导公式将角化到同一单调区间，并比较角的大小；(3)由单调性得出各值的大小关系．二、重拳出击——求解最值例2 已知f (x )＝2sin(2x －π4)，x ∈R .求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值．解 由于当2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )时，函数f (x )＝2sin(2x －π4)单调递增；当2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )时，函数单调递减，所以f (x )＝2sin(2x －π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π4]上为减函数．又f (π8)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝－1.故函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最大值为2，最小值为－1.点评 求三角函数的最值是一类重要的三角函数问题，也是高考中经常毁灭的考点，解题过程中要留意将ωx ＋φ看作一个整体．利用三角函数的单调性求最值是三角函数基础学问的综合运用． 三、触类旁通——解不等式 例3 若0≤α<2π，sin α>33cos α，求α的取值范围． 解 当α＝π2时，不等式成立，当α＝3π2时，不等式不成立．当α∈[0，π2)∪(3π2，2π]时，cos α>0，则原不等式可化为tan α>33，依据正切函数的单调性得，π6<α<π2；同理可得，当α∈(π2，3π2)时，π2<α<7π6.综上，α的取值范围是(π6，7π6)．点评 利用三角函数的单调性解不等式，首先将三角函数化成某角的同一三角函数，然后利用单调性求解．2 善用数学思想——巧解题 一、数形结合思想例1 在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．解析 在同一坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈(0,2π)的图像如图： 由图知，x ∈(π4，5π4)．答案 (π4，5π4)点评 求解三角函数的方程、不等式时，通常利用三角函数的图像使问题变得更简洁． 二、分类争辩思想例2 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．解 角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ， r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |.当t >0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34，综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定，应分类争辩．(2)若三角函数值含有变量，因变量取不同的值会导致不同的结果，需要争辩． 三、函数与方程思想例3 函数f (x )＝3cos x －sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________．解析 f (x )＝3cos x －sin 2x ＝cos 2x ＋3cos x －1 ＝(cos x ＋32)2－74，设cos x ＝t ，由于π6≤x ≤π3，所以由余弦函数的单调性可知，12≤cos x ≤32，即12≤t ≤32，又函数f (t )＝(t ＋32)2－74在[12，32]上单调递增，故f (t )max ＝f (32)＝54，所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评 遇平方关系，可想到构造二次函数，再利用二次函数求解最大值． 四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小．tan(－13 π4)与tan(－17 π5)． 解 tan(－13 π4)＝－tan π4，tan(－17 π5)＝－tan 2π5.由于0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在(0，π2)内单调递增，所以tan π4<tan 2π5.所以－tan π4>－tan 2π5，即tan(－13π4)>tan(－17π5)．点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内，然后利用三角函数的单调性比较大小．另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想.3 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一，应用“巧而活”．要能够机敏地运用性质，必需在脑海中能准时地毁灭出三角函数的图像．下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点，请同学们认真体会． 一、定义域 例1 函数y ＝cos x －12的定义域为______________．解析 由题意得cos x ≥12，所以2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .即函数的定义域是[2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z .答案 [2k π－π3，2k π＋π3]，k ∈Z点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式，然后利用三角函数的图像或者单位圆中三角函数线求解． 二、值域与最值例2 函数y ＝cos(x ＋π3)，x ∈(0，π3]的值域是________．解析 由于0<x ≤π3，所以π3<x ＋π3≤23π，f (x )＝cos x 的图像如图可知：cos 23π≤cos(x ＋π3)<cos π3，即－12≤y <12.故函数的值域是[－12，12)．答案 [－12，12)点评 解本题的关键是从x 的范围入手，先求得ωx ＋φ的范围，再结合余弦函数的图像对应得出cos(ωx ＋φ)的范围，从而可得函数的值域或者最值． 三、单调性例3 已知函数f (x )＝sin(π3－2x )，求：(1)函数f (x )的单调递减区间；(2)函数f (x )在[－π，0]上的单调递减区间． 解 由f (x )＝sin(π3－2x )可化为f (x )＝－sin(2x －π3)．所以原函数的递减区间即为函数y ＝sin(2x －π3)的递增区间．(1)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得：k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以f (x )＝sin(π3－2x )的递减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .(2)在减区间[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z 中，令k ＝－1、0时，可以得到当x ∈[－π，0]时，f (x )＝sin(π3－2x )的递减区间为[－π，－7π12]，[－π12，0]．点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y ＝sin(ωx ＋φ)，ω>0，然后把ωx ＋φ看作一个整体，依据y ＝sin x 的单调性列出不等式，求得递减区间的通解；假如要求某一个区间上的单调区间，再对通解中的k 进行取值，便可求得函数在这个区间上的单调区间． 四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )＝sin(2ωx －π3)(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝5π12D ．x ＝π3解析 由T ＝π＝2π2ω得ω＝1，所以f (x )＝sin(2x －π3)，由2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴为x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，所以x ＝5π12为f (x )的一条对称轴，选C.答案 C点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是依据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决．同样地，求解对称中心也有两种方法． 五、奇偶性例5 若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π))是偶函数，则φ等于( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析 函数是偶函数，所以函数关于x ＝0对称；由x ＋φ3＝π2＋k π可得函数的对称轴方程是x ＝3π2＋3k π－φ，k ∈Z ，令3π2＋3k π－φ＝0，解得：φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又φ∈[0,2π)，故φ＝3π2.答案 C点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决：偶函数⇔函数图像关于y 轴对称；奇函数⇔函数图像关于原点对称．4 数形结合百般好，形象直观烦琐少 ——构建正弦、余弦函数图像解题正弦、余弦函数的图像是本章的重点，也是高考的一个热点，它不仅能直观反映三角函数的性质，而且它还有着广泛的应用，若能依据问题的题设特点机敏构造图像，往往能直观、精确 、快速解题． 一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，例如，1※2＝1，则函数f (x )＝sin x ※cos x 的值域为( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－22，1 C.⎣⎡⎦⎤－1，22 D.⎣⎡⎦⎤－1，－22解析 依据题设中的新定义，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x >cos x ，作出函数f (x )在一个周期内的图像，如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22. 答案 C点评 有关三角函数的值域的确定，经常作出函数的图像，借助于图像直观、精确 求解． 二、确定零点个数例2 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________．解析 在同始终角坐标系内，画出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 及y ＝sin x 的图像，由图像可观看出交点个数为2. 答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定，经常作出函数的图像，借助于图像直观、精确 求解． 三、确定参数的值例3 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________________________________________________________________________. 解析 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3， 又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值、无最大值， 画出函数大致图像，如图所示，∴f (x )在π6＋π32＝π4处取得最小值．∴π4ω＋π3＝2k π－π2(k ∈Z )．∴ω＝8k －103(k ∈Z )． ∵ω>0，∴当k ＝1时，ω＝8－103＝143；当k ＝2时，ω＝16－103＝383，此时在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内已存在最大值．故ω＝143. 答案143点评 本小题考查对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及性质的理解与应用，求解本题应留意两点：一是f (x )在π4处取得最小值；二是在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内只有最小值而无最大值，求解时作出其草图可以挂念解题． 四、推断函数单调性例4 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上是增函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，13π12上是增函数 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π4上是减函数 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数解析 作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像如图所示．由图像可知B 正确． 答案 B点评 形如f (x )＝|A sin(ωx ＋φ)＋k |(A ≠0，ω≠0)的函数性质，可作出其图像，利用数形结合思想求解． 五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时，不等式sin πx2≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是________． 解析 作出函数y ＝sinπx2，y ＝kx 的函数图像，如图所示． 当k ≤0时，明显成立； 当0<k ≤1时，由图像可知：sin πx2≥kx 在x ∈[0,1]上成立．综上所述，k ≤1. 答案 k ≤1点评 数形结合时，函数图像要依据题目需要作得精确可信，必要时应结合计算推断．本题争辩y ＝kx 与y＝sinπx2的图像关系时，不要遗忘k ≤0的状况． 六、争辩方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在0≤x ≤π上有两个实数根x 1，x 2，求实数k 的取值范围，并求x 1＋x 2的值． 解 在同一坐标系内作出函数y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4(0≤x ≤π)与y 2＝k 的图像，如图所示．当x ＝0时，y 1＝2sin ⎝⎛⎭⎫0＋π4＝1. 所以当k ∈[1，2)时，两曲线在[0，π]上有两个交点，即方程有两个实数根x 1、x 2，且x 1、x 2关于x ＝π4对称，x 1＋x 2＝π2.故实数k 的取值范围是[1，2)，且x 1＋x 2＝π2.点评 本题通过函数图像的交点个数推断方程实数根的个数，应重视这种方法．。
高中数学必修四北师大版 4.1 平面向量的坐标表示3 学案
课题第二章 2. 4.1平面向量的坐标表示学习目标1.知识与技能（1）了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.（2）掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.（3）正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．2.过程与方法通过将基底特殊化（向量的正交分解），使向量的表示形式统一，这样就为研究向量之间的运算及其他关系奠定了基础，通过这样的过程，学习研究和处理问题的方法3.情感、态度与价值观通过学习正交分解，让学生进一步体会一般问题往往归结归结为人们熟悉的特殊问题，数学各内容之间的联系时非常密切的，而这种联系是建立在基本概念和基本方法上.学习重点：平面向量的坐标表示学习难点：对平面向量的坐标表示的理解学习方法：以讲学稿为依托的多媒体辅助教学方式学习过程一、课前预习指导：仔细阅读课本86-88页内容，完成以下预习检测平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个_________的向量，叫做把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个________ i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y使得a＝_______，则_______________叫做向量a的坐标，_____________叫做向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则OA→＝________，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝2．平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_______________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝_______________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝__________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．二、新课学习问题探究一问题探究一平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．显然有，i＝_____，j＝_____，0＝_____．问题探究二平面向量的坐标运算已知a＝OA→，b＝OB→，c＝OC→，如下图所示，写出a，b，c的坐标，并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．例1 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，求(1)AB →－AC →；(2)AB →＋2BC →；(3)BC →－12AC →.例2 已知a ＝(－2,3)，b ＝(3,1)，c ＝(10，－4)，试用a ，b 表示c .三、当堂检测、1.已知a ＝(10，－5)，b ＝(3,2)，c ＝(－2,2)，试用b ，c 表示a .2.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．3.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( )A ．(7,3)B ．(7,7)C ．(1,7)D ．(1,3)4．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是5．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)6.已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝ma ＋nb ，则m ＋n ＝________.四、课堂小结：五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：3.2.3 两角和与差的正切函数 Word版含答案
2.3 两角和与差的正切函数明目标、知重点 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.生疏两角和与差的正切公式的常见变形，并能机敏应用．1．两角和与差的正切公式 (1)T α＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(2)T α－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T α＋β的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).(2)T α－β的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)． tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.[情境导学] 某城市的电视放射塔建在市郊的一座小山上．小山的高BC 约为30米，在地平面上有一点A ，测得A 、C 两点间距离约为67米，从点A 处观测电视放射塔的视角(∠CAD )约为45°.求这座电视放射塔的高度． 解 设电视放射塔的高CD ＝x ，∠CAB ＝α， 则sin α＝3067.在Rt △ABD 中， tan(45°＋α)＝x ＋3030tan α， 于是x ＝30tan (45°＋α)tan α－30.如何能由sin α＝3067求得tan(45°＋α)的值呢？或者说能不能用sin α把tan(45°＋α)表示出来呢？虽然我们已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，但是使用这些公式明显不能直接解决上述问题．我们有必要得到两角和与差的正切公式． 探究点一 两角和与差的正切公式的推导思考1 你能依据同角三角函数基本关系式tan α＝sin αcos α，从两角和与差的正弦、余弦公式动身，推导出用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试． 答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β.当cos αcos β≠0时，分子分母同时除以cos αcos β，得 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.依据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得 tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？ 答 在公式T α＋β，T α－β中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式思考 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如： tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.这些变形公式在解决某些问题时是格外便利的．请利用两角和与差的正切公式或变形公式完成以下练习． 练习 直接写出下列式子的结果： (1)tan 12°＋tan 33°1－tan 12°tan 33°＝ ； (2)tan 75°＝ ； (3)1－tan 15°1＋tan 15°＝ . 答案 (1)1 (2)2＋3 (3)33例1 求下列各式的值： (1)3＋tan 15°1－3tan 15°； (2)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°.解 (1)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan(60°＋15°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°＝33＋11－33＝2＋ 3.(2)∵tan 45°＝tan 15°＋tan 30°1－tan 15°tan 30°＝1，∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1.反思与感悟 公式T α＋β，T α－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者知二可表示或求出第三个． 跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°； (2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°. 解 (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan 75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3.例2 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β的值． 解 ∵(1－tan α)(1－tan β)＝2， ∴1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝2，∴tan α＋tan β＝tan αtan β－1， ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1.∴tan(α＋β)＝－1.∵α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋β∈(π，2π)． ∴α＋β＝7π4.反思与感悟 此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值，(2)确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加争辩，范围争辩的程度过大或过小，会产生增解或者漏解． 跟踪训练2 已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，求角α＋β.解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33tan α·tan β＝4，∴tan α、tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∵－π<α＋β<0，∴α＋β＝－2π3. 例3 已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，试推断△ABC 的外形．解 ∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1， ∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33. 又∵0<A ＋B <π， ∴A ＋B ＝5π6，∴C ＝π6，∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰钝角三角形．反思与感悟 三角形中的问题，A ＋B ＋C ＝π确定要用，有时与诱导公式结合，有时利用它查找角之间的关系削减角的个数．跟踪训练3 已知A 、B 、C 为锐角三角形ABC 的内角． 求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C . 证明 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C . ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－tan C .∴tan A ＋tan B ＝－tan C ＋tan A tan B tan C . 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .1．若tan(π4－α)＝3，则tan α的值为( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案 B解析 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α1＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－31＋3＝－12.2．已知A ＋B ＝45°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．不确定答案 B解析 (1＋tan A )·(1＋tan B )＝1＋(tan A ＋tan B )＋tan A tan B＝1＋tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan A tan B ＝1＋1－tan A tan B ＋tan A tan B ＝2.3．已知A ，B 都是锐角，且tan A ＝13，sin B ＝55，则A ＋B ＝ .答案 π4解析 ∵B 为锐角，sin B ＝55， ∴cos B ＝255，∴tan B ＝12，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝13＋121－13×12＝1.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π4.4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 17解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＋tan ⎝⎛⎭⎫β－α21－tan ⎝⎛⎭⎫α－β2tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17.[呈重点、现规律]1．公式T α±β的适用范围、结构特征和符号规律(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．(2)公式T α±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．公式T α±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要留意常值代换． 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．要特殊留意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. 3．公式T α±β的变形应用只要见到tan α±tan β，tan αtan β时，要有机敏应用公式T α±β的意识，就不难想到解题思路．一、基础过关1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7答案 A2．已知tan(α＋β)＝35，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B.1323 C.723 D.16 答案 C解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4＝35－141＋35×14＝723. 3．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4答案 C4．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定答案 A解析 ∵tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角． 5.1＋tan 75°1－tan 75°＝ .答案 －36．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为 ．答案 23解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α ＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23. 7．求下列各式的值：(1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°；(2)(1－tan 59°)(1－tan 76°)． 解 (1)原式＝sin (15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－ 3.(2)原式＝1－tan 59°－tan 76°＋tan 59°tan 76° ＝1－(tan 59°＋tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1－tan 135°(1－tan 59°tan 76°)＋tan 59°tan 76° ＝1＋1－tan 59°tan 76°＋tan 59°tan 76°＝2.二、力气提升8．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．tan 10° D.3tan 20°答案 A解析 原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°) ＝3×33＝1. 9．设θ为其次象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝ . 答案 －105解析 由于tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝12， 所以tan θ＝－13，由于θ为其次象限角， 所以cos θ＝－11＋tan 2θ＝－31010，sin θ＝1－cos 2θ＝1010， 则sin θ＋cos θ＝1010－31010＝－105. 10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝ .答案 1解析 ∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1.11．在△ABC 中，求证：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1.证明 ∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A 2＋B 2＋C2＝90°.∴A ＋B 2＝90°－C 2.∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－C 2＝1tanC 2. ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2·tan C2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫tan A 2＋tan B 2tan C21－tan A 2tanB2＝1，∴tan A 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1－tan A 2tan B 2.即tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A 2＝1.12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. 求：(1)tan(α＋β)的值； (2)α＋2β的大小． 解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210， sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.三、探究与拓展13．已知tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，试求 sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β)的值．解 由已知有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－(－3)＝34.∴sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos 2(α＋β) ＝sin 2(α＋β)－3sin (α＋β)cos (α＋β)－3cos 2(α＋β)sin 2(α＋β)＋cos 2(α＋β)＝tan 2(α＋β)－3tan (α＋β)－3tan 2(α＋β)＋1＝(34)2－3×34－3(34)2＋1＝－3.。
2022-2021学年高一数学北师大版必修4学案：1.6 余弦函数的图像与性质 Word版含答案
明目标、知重点 1.会用“五点法”作余弦函数的图像.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．1．余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图像叫作余弦曲线．y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像上起关键作用的五个点为(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(32π，0)，(2π，1)． 2．余弦函数的性质函数 y ＝cos x 定义域 R 值域 [－1,1] 奇偶性 偶函数 周期性 2π为最小正周期单调性当x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )时，递增； 当x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )时，递减 最大值与最小值当x ＝2k π(k ∈Z )时，最大值为1； 当x ＝2k π＋π(k ∈Z )时，最小值为－1[情境导学] 由于余弦曲线可以看作是由正弦曲线向左平移π2个单位得到，因此余弦函数的性质和正弦函数的性质格外相像．处理余弦函数的问题时留意类比正弦函数的争辩方法． 探究点一 五点法作余弦曲线导引 y ＝cos x ，x ∈[0,2π]可以通过描出(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可以得余弦函数的简图．思考 请你在下面所给的坐标系中画出y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像．答例1 画出y ＝cos x (x ∈R )的简图，并依据图像写出：(1)y ≥12时x 的集合；(2)－12≤y ≤32时x 的集合．解 用“五点法”作出y ＝cos x 的简图．(1)过(0，12)点作x 轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于(－π3，12)，(π3，12)点，在[－π，π]区间内，y ≥12时，x 的集合为{x |－π3≤x ≤π3}．当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为{x |－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．(2)过(0，－12)、(0，32)点分别作x 轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于(－2π3＋2k π，－12)，k ∈Z ，(2π3＋2k π，－12)，k ∈Z 点和(－π6＋2k π，32)，k ∈Z ，(π6＋2k π，32)，k ∈Z 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－12≤y ≤32时x 的集合为：{x |－2π3＋2k π≤x ≤－π6＋2k π或π6＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z }．反思与感悟 利用三角函数的图像或三角函数线，可解简洁的三角函数不等式，但需留意解的完整性． 跟踪训练1 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域． 解 由题意，得x 满足不等式组⎩⎨⎧ cos x >025－x 2≥0，即⎩⎨⎧－5≤x ≤5cos x >0，作出y ＝cos x 的图像，如图所示．结合图像可得：x ∈⎣⎡⎭⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤32π，5. 探究点二 余弦函数的奇偶性、单调性 导引(1)从余弦曲线可以看出余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ，值域是[－1,1]．(2)余弦曲线关于y 轴对称，由诱导公式可知cos(－x )＝cos x ，所以说余弦函数是偶函数．思考1 观看余弦曲线，余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？ 答 余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.思考2 当自变量x 分别取何值时，余弦函数y ＝cos x 取得最大值1和最小值－1? 答 对于余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 有： 当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1； 当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1.思考3 观看余弦曲线，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？答 余弦函数是周期函数，且周期是2π，首先争辩它在一个周期区间上函数值的变化状况，再推广到整个定义域．函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的图像如图所示：观看图像可知：当x ∈[－π，0]时，曲线渐渐上升，是增函数，cos x 的值由－1增大到1； 当x ∈[0，π]时，曲线渐渐下降，是减函数，cos x 的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得：当x ∈[2k π－π，2k π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是增函数，函数值由－1增大到1；当x ∈[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 时，余弦函数y ＝cos x 是减函数，函数值由1减小到－1. 例2 求函数y ＝log 12(cos 2x )的增区间．解 由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 反思与感悟 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪训练2 比较下列各组数的大小．(1)－sin 46°与cos 221°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 解 (1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°， cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°. ∵180°>139°>136°>0°，且y ＝cos x 在[0°，180°]上递减，∴cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π， cos ⎝⎛⎭⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上递减，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝⎛⎭⎫－235π<cos ⎝⎛⎭⎫－174π. 例3 求下列函数的值域．(1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝2－cos x2＋cos x.解 (1)y ＝－⎝⎛⎭⎫cos x －122＋14. ∵－1≤cos x ≤1，∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－2，14. (2)y ＝4－(2＋cos x )2＋cos x ＝42＋cos x －1.∵－1≤cos x ≤1，∴1≤2＋cos x ≤3，∴13≤12＋cos x ≤1，∴43≤42＋cos x ≤4， ∴13≤42＋cos x －1≤3，即13≤y ≤3. ∴函数y ＝2－cos x 2＋cos x的值域为⎣⎡⎦⎤13，3. 反思与感悟 求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：(1)sin x ，cos x 的有界性；(2)sin x ，cos x 的单调性；(3)化为sin x ＝f (y )或cos x ＝f (y )利用|f (y )|≤1来确定；(4)通过换元转化为二次函数．跟踪训练3 求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．(提示：sin 2α＋cos 2α＝1) 解 y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5.∴当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.∴y max ＝4，此时x 的取值集合是{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }；y min ＝－4，此时x 的取值集合是{x |x ＝2k π－π2，k ∈Z }．1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数答案 B解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数．2．方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3答案 C解析 作函数y ＝cos x 与y ＝x 2的图像易知有2个交点．3．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为 ． 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，5π4解析 由题意知sin x －cos x ≥0，即cos x ≤sin x ，在同一坐标系画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像，如图所示：观看图像知x ∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4.4．(1)已知f (x )的定义域为[0,1)，求f (cos x )的定义域； (2)求函数y ＝lg sin(cos x )的定义域．解 (1)0≤cos x <1⇒2k π－π2≤x ≤2k π＋π2，且x ≠2k π(k ∈Z )．∴所求函数的定义域为x ∈[2k π－π2，2k π)∪(2k π，2k π＋π2)，k ∈Z .(2)由sin(cos x )>0⇒2k π<cos x <2k π＋π(k ∈Z )． 又∵－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.故所求函数定义域为x ∈(2k π－π2，2k π＋π2)，k ∈Z .[呈重点、现规律]1．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出推断．2．求三角函数值域或最值的常用求法(1)将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y 的范围．(2)将sin x 或cos x 用所求变量y 来表示，如sin x ＝f (y )，再由|sin x |≤1，构建关于y 的不等式|f (y )|≤1，从而求得y 的取值范围．一、基础过关1．函数f (x )＝cos(2x ＋π4)的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π答案 B解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，32 C.⎣⎡⎦⎤32，1D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴π6≤x ＋π6≤23π.∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤cos π6，∴－12≤y ≤32.故选B. 3．下列不等式中成立的是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π8>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝⎛⎭⎫－25π D ．sin 2>cos 1答案 D解析 ∵sin 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2， 且0<2－π2<1<π，∴cos ⎝⎛⎭⎫2－π2>cos 1， 即sin 2>cos 1.故选D.4．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)答案 A解析 由于函数周期为π，所以排解C 、D.又由于y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.5．函数y ＝2cos x ＋1的定义域是 ．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z 解析 2cos x ＋1≥0，cos x ≥－12，结合图像知x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－23π，2k π＋23π，k ∈Z . 6．函数y ＝cos πx 位于区间(0,3)内的对称中心个数是 ． 答案 3解析 由cos πx ＝0得πx ＝k π＋π2，k ∈Z ，x ＝k ＋12，当k ＝0时，x ＝12；当k ＝1时，x ＝32；当k ＝2时，x ＝52；当k ＝3时，x ＝72>3.∴位于区间(0,3)内的对称中心有⎝⎛⎭⎫12，0，⎝⎛⎭⎫32，0，⎝⎛⎭⎫52，0，共3个． 7．已知0≤x ≤2π，摸索究sin x 与cos x 的大小关系．解 用“五点法”作出y ＝sin x ，y ＝cos x (0≤x ≤2π)的简图．由图像可知①当x ＝π4或x ＝5π4时，sin x ＝cos x ；②当π4<x <5π4时，sin x >cos x ；③当0≤x <π4或5π4<x ≤2π时，sin x <cos x .二、力气提升8．下列函数中，不是周期函数的是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝sin|x | C ．y ＝cos|x | D ．y ＝|cos x |答案 B解析 函数y ＝|sin x |的周期为π；结合函数y ＝sin|x |的图像可知不是周期函数； cos|x |＝cos x 是周期函数；y ＝|cos x |是周期函数，周期为π，故选B. 9．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图像大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排解B.取x ＝π2，排解C ；取x ＝π，排解A ，故选D.10．在(0，π)内使sin x >|cos x |的x 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫π4，3π4 解析 ∵sin x >|cos x |，∴sin x >0，∴x ∈(0，π)，在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)与y ＝|cos x |，x ∈(0，π)的图像，观看图像易得x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4.11．设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值．(提示：sin 2x ＋cos 2x ＝1，x ∈R )解 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54. ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22.12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎡⎦⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值． 解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1，f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎪⎨⎪⎧ －3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.三、探究与拓展13．已知0≤x ≤π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a )．解 设cos x ＝t ，∵0≤x ≤π2，∴0≤t ≤1.∵y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2，∴当a <0时，m (a )＝0，M (a )＝1－2a ；当0≤a<1时，m(a)＝－a2，M(a)＝1－2a；2当12，M(a)＝0；2≤a<1时，m(a)＝－a当a≥1时，m(a)＝1－2a，M(a)＝0.。
高中数学必修四(北师大版)第二章学案 平面向量及线性运算的坐标表示
431【导学案】 平面向量及线性运算的坐标表示（一）
【学习目标】
1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
2、会用坐标表示平面向量的加法、减法以及数乘向量运算。
【学习重点】平面向量的坐标表示。
【学习难点】对平面向量运算坐标表示的理解。
【学习过程】
一、预习自学（自主阅读课本88—90页的内容，完成下列问题） 问题1：向量a
的坐标(x,y)的含义是什么？
问题2：若1122(,),(,),a x y b x y == 则a b += ；a b -=
a λ=
问题3：若平面直角坐标系中已知两点1122(,),(,),A x y B x y 则向量AB 的坐标为
二、合作探究（深化理解）
探究一：书第91页习题A 组第4题
o x y C A B D 探究二：已知a =（3,4），b =（-1,4），求,,23a b a b a b +-- 的坐标。
探究三：已知点A （1,0），B （0,2），C （-1，-2），求平行 四边形ABCD 的顶点D 的坐标。
探究四：若平面直角坐标系中(,)A x y 11，(,)B x y 22，线段AB 中点M （x,y ）试运用向量法证明中点坐标公式：12y +y x=
, y=x y +1122
,
三、达标检测
1、(课本91页练习第2题)
2、(课本91页练习第3题)
3、(课本92页习题第5题)
4、(课本92页习题B组第1题)。
高中数学必修四(北师大版)第二章学案 平面向量基本定理
ADBCEF430【导学案】 平面向量基本定理班级 姓名 组号 编写人：金晓青 审核人：王松涛【学习目标】1、了解平面向量基本定理及意义；2、会用任意一组基底表示指定的向量；3、能应用平面向量基本定理解决一些实际问题。
【学习重点】平面向量基本定理【学习难点】平面向量基本定理的理解与应用【知识链接】1、、向量的加法运算（平行四边形法则） 2、数乘向量a λ的意义3、向量共线的性质定理 【学习过程】一、预习自学（自主阅读课本85—86页的内容，完成下列问题）问题1：什么叫做基底？问题2：平面向量基本定理是什么？二、合作探究（深化理解） 探究一：画出两个不共线的向量→1e ，→2e ，试作出下列向量 （1）→1e +→2e （2）→1e +2→2e （3）→1e -2→2e ？探究二：如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 、F分别是BC 、DC 的中点，,AB a AD b ==用向量→→ba ,表示BF DE 和。
探究三：若将探究二中的“E 、F 分别是BC 和DC 的中点”，改为CF=CD 31,CE=CB 31，其余条件不变，试用向量→→b a ,表示BF DE 和。
ABCD探究四：如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，=a,,AB AC b = （1）试用→→b a ,表示AD ； （2）若点G 是ABC ∆的重心，能否用→→b a ,表示AG ； （3）若点G 是ABC ∆的重心，那么?GA GB GC ++=三、达标检测1、课本86页练习第2题2、课本87页习题A 组第6题3、课本87页习题A 组第7题。