函数的极值及其应用
第1页（共10页） 函数的极值及其应用 作 者：xxxxx 指导老师：xx
摘要：论述了函数的极值问题，讨论了求函数极值的必要条件和充分条件，通过例题分析了求函数的极值问题的具体步骤，并用实例展现了函数的极值在解决实际问题中的重要作用． 关键词：函数的极值;函数极值的必要条件;函数极值的充分条件
在日常生活、工程实践和生产技术中，常会碰到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能用料最少而所生产的产品最多，或者成本最低等．企业生产成本是影响企业利润的一个重要因素，因此企业经营者为了获得较高的利润，必须在企业经营中考虑如何最大限度地降低生产成本．通常这类问题最后都归结为一个数学问题，有些通过初等方法就能得到解决．例如，初等数学中的求极值的方法在这类问题的解决中就有着极其广泛的应用．这些都是数学中的极值问题．同样，高等数学函数问题中，函数极值的求法与应用也是一个值得深思的问题．那么从哪些方面对高等数学中函数的极值问题进行研究呢？
1 一元函数的极值问题及其应用 1.1 一元函数极值的定义 设函数fx在0x的一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于0x的x恒有：0fxfx，则称0fx为函数的极大值，称0x为函数的极大值点．0fxfx，则0fx称为函数的极小值，称0x为极小值点．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．极大值点、极小值点统称为函数的极值点[1]． 1.2 函数极值存在的条件 1.2.1 函数极值存在的必要条件 设函数fx在点0x处可导，且在0x处取得极值，那么'0fx[2]． 第2页（共10页）
由费马定理]1[知：'0fx只是可导函数存在极值的必要条件．但不是充分条件，原因在于，如果00fx，0x并不一定是极值点．例如，对于函数3fxx来说，00f，但是由于当0x时有0fx，当0x时，0fx，而00f，所以0x不是它的极值点．使导数等于零的点（即方程0fx的实根）叫做函数fx的驻点．据此可知，导函数的极值点必定是它的驻点，而函数的驻点却不一定是极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数()fxx在点0x处不可导，但函数在该点取得极小值． 应该注意的是：极值反映函数的局部性态，是一个局部概念．极大值不一定大于极小值，极大（小）值不一定是区间上的最大（小）值，但就极值点附近的范围来说极大（小）值就是最大（小）值；区间上的极值点可能有若干个． 怎样判定函数在驻点或不可导点处究竟是否取得极值？如果是，究竟取得极大值还是极小值？下面给出两个判定极值的充分条件． 1.2.2函数极值存在的充分条件 函数极值的第一充分条件 设函数fx在0x的一个邻域内可导，或者在点0x处不可导但必须连续．若当在该邻域内x由小于0x连续地变为大于0x时，其导数fx
改变符号，则0fx为函数的极值，0x为函数的极值点．若导函数fx
由正值变为负值，则0x为极大值点，0fx为极大值；若导函数fx由负值变为正值，则0fx为极小值，0x为极小值点[2]． 由此可知：如果fx在0x处可导且00fx但fx在0x的两侧同号，则0x不是函数的极值点，fx在0x处不取得极值． 函数极值的第二充分条件 设函数fx在0x处的二阶导数存在，若00fx，且00fx，则0x是函数fx的极值点，0fx为函数fx的极值，并且当00fx
时，0x为极小值点，0fx为极小值；当00fx时，0x为极大值点，0fx为极大值[3]．
这表明，如果函数fx在驻点0x处的二阶导数00fx，那么该驻点一定是极值点，并且可以按二阶导数0"()fx的符号来判定0fx是极大值还是极小值．但如果0"()0fx，上述结论就不能应用．事实上， 第3页（共10页）
当00fx且0"()0fx时，fx在0x处可能有极大值，也可能有极小值，也可能没有极值．例如，443123(),(),(=fxxfxxfxx）这三个函数在0x处就分别属于这三种情况．因此，如果函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定． 1.3 用微分法求函数极值的理论依据 定理1 （极值的必要条件）如果函数fx在点0x处可导，而且在点0x处有极值（极大值或极小值）则必有00fx[1]． 由定理1可知：可导函数有极值点，则其极值点必是使其导函数值等于零的点（即方程'0fx的实根）；但反过来能使导函数值为零的点不一定是极值点． 1.4 例题 例1 当x为何值时函数2481fxxx有极值，其极值如何？ 解 由题设条件知88fxx，令880fxx知01x，当1x 时，0fx；当1x时，0fx．故01x是函数2481fxxx的极小值点，且10f． 例2 求3229123fxxxx的极值． 解 对原函数求导数可得：261812,1218,fxxxfxx令0fx，则由2618120xx，得到11x，22x．由于当0fx时
原函数在x处取得极小值，当0fx时原函数在x处取极大值．将
11x代入得1121860f，所以函数在11x处取得极大值，其值为12f；将22x代入得2241860f，所以函数在22x处取得极小值，其值为21f． 例3 在厨房屋角有一个八尺深的方窖，现要利用窖的两壁拦一角来做一个长方体形状的煤仓，其容量是288立方尺，问如何做能最省材料． 解 设仓库宽为x尺(0)x，长为y尺(0)y，则容量是8288xy，因为0x，0y，这是一个关于两个正数的函数问题，且36xy，两正数之积为一定数，故当xy时，其和有极值，即6x，6y 时，yx
最小．如果用S代表所用材料的面积，则S=8x+y，当6x，6y时，S最小最省材料．
2 二元函数的极值问题及其应用 第4页（共10页）
2.1 二元函数极值的定义 设函数,zfxy在点0,0xy的邻域内有定义，对于该邻域内异于0,0xy的点，如果都有0,0,fxyfxy，则称0,0fxy为函数
,zfxy
的极大值；如果都有0,0,fxyfxy，则称0,0fxy为函数,zfxy的极小值；极大值和极小值统称为二元函数,zfxy的极值；使二元函数,zfxy取得极大值的点或者极小值的点0,0xy，称为极大值点或者极小值点；极大值点和极小值点统称为极值点[3]． 2.2 二元函数极值存在的实例分析 例4 二元函数2234zxy在点0,0处存在极小值． 解 因为点0,0的任一邻域内异于0,0的点的函数值都为正，而且在点0,0处的函数值为零．另外，从几何图形上看这是显然的，因为点0,0,0是开口向上的椭圆抛物面2234zxy的顶点． 例5 二元函数22zxy在点0,0处存在极大值． 解 因为点0,0是位于xoy面下方的锥面22zxy的顶点，所以二元函数22zxy在点0,0处存在极大值． 例６ 二元函数zxy在点0,0处不存在极值． 解 因为在点0,0处的函数值为零，而在点0,0的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点，所以函数zxy在点(0,0)处既不存在极大值也不存在极小值． 2.3 二元函数极值存在的条件 二元函数极值存在的必要条件 设二元函数,zfxy在点0,0xy处有极值，且两个偏导数存在，
则在该点的偏导数必为零，即0,00xfxy且0,00yfxy[4]． 凡是能使0,00xfxy且0,00yfxy的点0,0xy称为二元函数的驻点．极值存在的必要条件说明，如果二元函数的两个偏导数存在，则二元函数的极值点一定是驻点．但是二元函数的驻点不一定是极值点．例如，点0,0是函数xyz的驻点，因为0,00xf且0,00yf，但是函数,zfxy在点0,0不存在极值． 第5页（共10页）
与一元函数的情形相同，二元函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值．例如，22(,)fxyxy在原点没有偏导数，但(0,0)0f是f的极小值． 二元函数极值存在的充分条件 设函数,zfxy在点0,0xy的某个邻域内连续且有二阶连续的
偏导数，有0,00xfxy且0,00yfxy，记二阶偏导数为0,0xxfxyA，0,0xyfxyB，0,0yyfxyC，2BAC，则函数,zfxy在点0,0xy
处是否取得极值的条件如下[5]： (1) 当0且0A时，函数,zfxy在点0,0xy处取得极大值； (2) 当0且0A时，函数,zfxy在点0,0xy处取得极小值； (3) 当0时，函数,zfxy在点0,0xy处不取得极值； (4) 当0时，函数,zfxy在点0,0xy处可能取得极值，也可能不取得极值]6[． 2.4 二元函数极值的实例分析及应用 例７ 求二元函数322,421fxyxxxyy的极值． 解 根据题意： (1) 首先求出二元函数,fxy的偏导：2',382xfxyxxy， ',22yfxyxy，",68xxfxyx，",2xyfxy，",2yyfxy．
(2) 然后解方程组：2,3820,220xyfxyxxyfxyxy，可得到驻点0,0和
2,2．
(3) 分析2BAC的符号：当0,00,0xy时，有8A，2B，2C，20BAC；而当0,02,2xy时有，4A，2B，2C，20BAC
．
(4) 求二元函数的极值：综合以上得出的结果可知二元函数在点0,0处取得极大值，在点2,2处不存在极值，即二元函数的极大值是
0,01f．
例8 求二元函数3322,3+39fxyxyxyx的极值． 解 根据题意：
5.2.3函数的极值课件(人教版)
新知学习
例1
新教材《选择性必修二》
函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数 y＝f(x)在区间(3,5)内单调递增；
②函数
1
y＝f(x)在区间－2，3内单调递减；
③函数 y＝f(x)在区间(－2,2)内单调递增；
1
3
2 3
3
2 3
f(x)在 x＝－ 3 处取得极大值 9 ，在 x＝ 3 处取得极小值－ 9 .
跟踪训练
(2)f(x)＝x2e－x.
解 函数f(x)的定义域为R，
新教材《选择性必修二》
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
④当 x＝－2时，函数 y＝f(x)有极大值；
⑤当 x＝2 时，函数 y＝f(x)有极大值.
③⑤
则上述判断中正确的序号是________.
新知学习
解析
新教材《选择性必修二》
对于①，当x∈(3,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(4,5)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误；
例2 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
解 函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝3x2－6x－9，
新教材《选择性必修二》
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
二元函数的偏导数和极值的应用
L40 ，24 2 402 64 40 4 40 24 4 242 32 24 14
1 650. 即该企业生产甲、乙两种商品的产量分别为40和24单位时，利润最大，最大利润为1650单位.
结论:
如果在区域D上的连续函数z f (x，y)，在D去掉边界的开区域D0内偏导数存在，而且
二元函数的偏导数和极值的应用
3.边际需求
设有A、B两种相关的商品，它们的价格分别为p1和p2，而需求量分别为q1和q2. 需求量
q1和q2随着价格p1和p2的变动而变动，因此需求函数可表示为
q1 q1 p1，p2 ，q2 q2 p1，p2
则A、B两种商品的边际需求即为需求量q1和q2关于价格p1和p2的偏导数.
Cx (x，y)
300
1 2
x2
4 xy
3 2
y2
x
x
4 y，
总成本C对产量y的边际成本函数为
Cy (x，y)
300
1 2
x2
4xy
3 2
y
2
y
4x
3y；
二元函数的偏导数和极值的应用
（2）当x 50，y 40时，C(x，y)对x的边际成本为
Cx50 ，40 50 4 40 210.
偏导数Cx (x，y)表示总成本C(x，y)对产量x的边际成本，它近似等于在两种产品的产 量为( x，y )的基础上，再多生产一个单位的A产品所需增加的成本.
偏导数Cy (x，y)表示总成本C(x，y)对产量y的边际成本，它近似等于在两种产品的产 量为( x，y )的基础上，再多生产一个单位的B产品所需增加的成本.
其余的49万元用于电视广告费用时可使收入最大.
经济数学
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
论文函数的极值问题在实际中的应用.
函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。
用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。
正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。
一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。
1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。
使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。
当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。
定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。
（1）若当时，当时，则在点取得最小值。
（2）若当时，当时，则在点取得最大值。
定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。
（1）若，则在取得极大值。
（2）若，则在取得极小值。
由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。
这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。
在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。
因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。
下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。
数学人教A版选择性必修第二册5.3.2函数的极值课件
若 a＞0，f′(x)＝5ax2(x2－1).
新知探究
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′
(－∞，－1)
－1
(－1，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
＋
0
－
0
－
0
＋
(x)
f(x)
极大值
无极值
极小值
由上表可知，当 x＝－1 时，f(x)有极大值，当 x＝1 时，f(x)有极小值，
都大， ’ () = 0；
④在点 = 附近的左侧 ’ () > 0，右侧 ’ () < 0.
新知探究
极值点与极值
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f (a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数
y=f(x)的极大值点， f (b)叫做函数y=f (x)的极大值；
极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极(extremum).
a
c
O
b
d e
x
新知探究
以 = ，两点为例，可以发现，
①函数 = ()在点 = 的函数值()比它在点 = 附近其他点的函数值都小，
’ () = 0；
②在点 = 附近的左侧 ’ () < 0，右侧 ’ () > 0.
③类似地，函数 = ()在点 = 的函数值()比它在点 = 附近其他点的函数值
∈ (0，2) ∪ (4， + ∞)时， ’ () < 0，
因此()在(−∞，0)，(2，4)上为增函数，在(0，2)，(4， + ∞)上为减函数，
∴函数()在 = 0处取得极大值， = 2处取得极小值， = 4处取得极大值
《函数极值与最值》课件
在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。
最新毕业论文《多元函数条件极值的解法与应用》
多元函数条件极值的解法与应用数学与计算机科学系 信息与计算科学专业118632007049 罗永滨 指导教师：陈丽华【摘要】 多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，本文研究的是代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等方法在解多元函数条件极值问题上的运用，以及探讨多元函数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等问题上的应用. 【关键词】 极值；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法；应用1.引言多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少.如文[1]讨论了方向导数法在求解多元函数条件极值上应用，文[2]讨论了柯西不等式在求解一些特殊的多元函数条件极值问题时的应用.本文首先对多元函数条件极值的解题方法进行了归纳与总结，通过具体实例对各种解法进行分析类比，从中可以看到不同的条件极值问题可以有不同的解题方法，其中最常用的是拉格朗日乘数法，但对有些问题若能用一些特殊解法可以更简单.面对不同的极值问题如何采用最佳的解决方法是快速解题的关键.文章最后讨论了如何通过条件极值解决不等式证明、物理学、生产销售等实际应用问题.2.简单介绍多元函数极值与条件极值的有关概念2.1函数的极值定义2.1.1设n (2)n ≥元函数[3]12(,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 的某个邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x <(或0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点.2.2函数的条件极值定义 2.2.1[3]函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ϕ= (1,2,,;)i m m n =<下的极值称为条件极值.3. 多元函数普通极值存在的条件定理3.1（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,,,)n x x x 存在偏导数，且在该点取得极值，则有0012(,,,)0i x n f x x x = (1,2,,)i n =备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点.定理3.2[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,,,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型00012,1()(,,,)i j nx x n i j i j g fx x x ζζζ==∑正定时，00012(,,,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,,,)n f x x x 为极大值；当()g ζ不定时，00012(,,,)n f x x x 不是极值.记00012(,,,)i j ij x x n a f x x x =，并记11121321222312k k k kk a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理：定理3.3[3]若det 0k A > (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2,,)k n =，则二次型()g ζ是负定的，此时00012(,,,)n f x x x 为极大值.特殊地，当2n =时，有如下推论：推论 3.1若二元函数00(,)(,)z f x y x y =在点的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数，且0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==令 000000(,),(,),(,)xx xy yy A f x y B f x y C f x y ===则 ①当20AC B ->时，0,0,A A <⎧⎨>⎩取极大值取极小值.②当20AC B -<时，没有极值.③当20AC B -=时，不能确定，需另行讨论.4．介绍多元函数条件极值的若干解法4.1代入消元法通过一个量用其它量代替的方法达到降元效果，将条件极值化为无条件极值问题来解决一些较为简单的条件极值问题，这种方法适用于约束函数较为简单的条件极值求解，有些条件极值很难化为无条件极值来解决.例4.1.1求函数(,,)f x y z xyz =在0x y z -+=条件下的极值. 解 由0x y z -+= 解得，2z x y =-+将上式代入函数(,,)f x y z ，得 g(x,y)=xy(2-x+y)解方程组 22'2y 20220x yg xy y g x xy x ⎧=-+=⎪⎨'=+-=⎪⎩ 得驻点 1222P P =33（0，0），（，-） 2xx y ''=-g ，222xy g x y ''=-+，2yy g x ''=在点1P 处，0,2,0A B C ===22=0240AC B ∆-=-=-<，所以1P 不是极值点从而函数(,,)f x y z 在相应点(0,0,2)处无极值；在点2P 处，44,2,33A B C === 224424()03333AC B ∆=-=⨯⨯-=>，又403A =>，所以2P 为极小值点因而，函数(,,)f x y z 在相应点222(,,)333-处有极小值极小值为2228(,,)33327f -=-.4.2拉格朗日乘数法[3]拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种常用方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数12(,,)0,(1,2,,,)k n x x x k m m n ϕ==≤组限制下的极值，若12(,,)n f x x x 及12(,,)k n x x x ϕ有连续的偏导数，且Jacobi 矩阵111122221212n n m m m n x x x x x x J x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭的秩为m ，则可以用拉格朗日乘数法求极值.首先，构造拉格朗日函数12112121(,,,,,,)(,,)(,,)mn m n k k n k L x x x f x x x x x x λλλϕ==-∑然后，解方程组0,1,2,,0,,2,ikLi n x L k i m λ∂⎧==⎪∂⎪⎨∂⎪==⎪∂⎩从此方程组中解出驻点的坐标00012(,,)i n P x x x (1,2,,)i k =，所得驻点是函数极值的可疑点，需进一步判断得出函数的极值.定理4.2.1（充分条件） 设点000012(,,,)n x x x x =及m 个常数12,,,m λλλ满足方程组 100mi i i k k k lL fx x x ϕλϕ=∂∂∂⎧=-=⎪∂∂∂⎨⎪=⎩∑ (1,2,,;1,2,,)k n l m ==，则当方阵 20,12(,,,)m k l n nLx x x λλλ⨯⎛⎫∂ ⎪∂∂⎝⎭为正定（负定）矩阵时，0x 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此0()f x 为满足约束条件的条件极小（大）值.例4.2.1求椭球2222221x y z a b c++=在第一卦限内的切平面与三坐标面所围成的四面体的最小体积.解 此椭球在点000(,,)P x y z 处的切平面为000000222222()()()0x y z x x y y z z a b c-+-+-=化简,得0002221x y z x y z a b c ++= 此平面在三个坐标轴上的截距分别为：222000,,a b c x y z则此切平面与三坐标面所围成的四面体的体积 2220006a b c V x y z =由题意可知，体积存在最小值，要使V 最小，则需000x y z 最大；即求目标函数(,,)f x y z xyz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值，其中0,0,0x y z >>>，拉格朗日函数为222222(,,,)(1)x y z L x y z xyz a b cλλ=-++-由 22222222220;20;20;1L x yz x a L y xz yb L z xy zc x y z ab c λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎪⎪++=⎪⎩解得x y z ===min 2V V ==说明：以上介绍的两种方法为解多元函数条件极值的常用方法，但在实际解题过程中，我们还可以根据多元函数的一些特点选择其它一些特殊解法来快速解题，如标准量代换法、不等式法、二次方程判别式法、梯度法、数形结合法.4.3 标准量代换法求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量. 例4.3.1[4]设x y z a ++=,求222u x y z =++的最小值.解 取33x y z a++= 为标准量, 令 ,33a ax y αβ=-=-,则 3az αβ=++(,αβ为任意实数),从而有 222()()()333a a a u αβαβ=-+-+++2222223a αβαβ=+++ 22222()33a a αβαβ=++++≥ 等号当且仅当0αβ==, 即3ax y z ===时成立， 所以u 的最小值为23a .4.4 不等式法[4]4.4.1利用均值不等式12na a a n+++≤，这里0,1,2k a k n ≥=，且等号成立的充分条件是12n a a a ===.例4.4.1.1 已知11112x y z ++=，(0,0,0)x y z >>>，求(,,)222f x y z x y z =++的极小值. 解0,0,0,x y z >>>(,,)222f x y z x y z ∴=++14()2x y z =++ 1114()()x y z xy z=++++ 4(3)x y y z x z y x z y z x=++++++ 4(3222)36≥+++=当且仅当6x y z ===时，等号成立. 4.4.2利用柯西不等式柯西不等式：对于任意实数12,,,n a a a 和12,,n b b b ，总有 21122()n n a b a b a b +++≤2222221212()()n n a a a b b b ++++++ ,i i a R b R ∈∈,当且仅当实数12,,,n a a a 与1,2,n b b b 对应成比例时，等号成立.运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配、凑”成柯西不等式的左边或者右边的形式，最终求得极大值或极小值. 例4.4.2.1已知222(2)(1)(4)9x y z -+++-=，求(,,)22f x y z x y z =-+的最值. 解 首先将 (,,)22f x y z x y z =-+ 变形为(,,)f x y z =2(2)2(1)(4)10x y z --++-+；再设 (,,)2(2)2(1)(4)g x y z x y z =--++-， 于是，根据柯西不等式及已知条件，有[]22(2)2(1)(4)x y z --++-≤2222222(2)1(2)(1)(4)81x y z ⎡⎤⎡⎤+-+⨯-+++-=⎣⎦⎣⎦即： 92(2)2(1)(4)9x y z -≤--++-≤当且仅当 222214221(2)(1)(4)9x y z k x y z -+-⎧===⎪-⎨⎪-+++-=⎩时，等号成立；即当 1435k x y z =⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩时，max (,,)9g x y z =；当 1013k x y z =-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩时，min (,,)9g x y z =-，所以，max (,,)19f x y z =，min (,,)1f x y z =.4.5 二次方程判别式符号法例4.5.1[5]若2221x y z ++=,试求22f x y z =-+的极值.解 因为 1(2)2y x z f =+-, 代入 2221x y z ++= 得2221(2)104x x z f z ++-+-=即 2225(42)(844)0x z f x z f zf +-++--= (1) 这个关于x 的二次方程要有实数解, 必须222(42)20(844)0z f z f zf ∆=--+--≥即 224950f zf z -+-≤ 解关于f 的二次不等式,得:2211z f z z ≤≤-≤≤显然,求函数f 的极值, 相当于求211f z z ≤-≤≤ (2)或211f z z ≥-≤≤ (3)的极值.由(2)得 229450z fz f -+-= (4) 这个关于z 的二次方程要有实数解,必须221636(5)0f f ∆=--≥,即 290f -≥解此关于f 的二次不等式,得 33f -≤≤. 所以 max 3f =,min 3f =-. 把 3f =代入(4),得23z = 再把3f =,23z =代入(1),得13x =, 最后把3f =,23z =,13x =代入1(2)2y x z f =+-,得23y =-.所以,当13x =,23y =-,23z =时,函数f 达到极大值3.同理可得,当13x =,23y =,23z =-时,函数f 达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出f 的极大值3和极小值-3.4.6 梯度法[6]用梯度法求目标函数12(,,)n f x x x 在条件函数时12(,,,)0i n x x x ϕ=(1,2,,,)i m m n =≤组限制下的极值，方程组1212112(,,,)(,,,)(,,,)0,(1,2,,)mn i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i m λϕϕ=⎧=⎪⎨⎪==⎩∑的解,就是所求极值问题的可能极值点. 其中gradf 表示目标函数12(,,)n f x x x 的梯度向量12(,,,)nf ffx x x ∂∂∂∂∂∂， i grad ϕ表示条件函数12(,,,)i n x x x ϕ的梯度向量12(,,,)i iinx x x ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂ 例4.6.1 从斜边之长为l 的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形. 解:设两条直角边为,x y ,本题的实质是求(,)f x y x y l =++在条件222x y l +=下的极值问题.根据梯度法,列出方程组 222222()()grad x y l grad x y l x y lλ⎧++=+-⎪⎨+=⎪⎩ 进一步求解得 {}{}2221,12,2x y x y lλ⎧=⎪⎨+=⎪⎩容易解出2x y ==根据题意,22⎪⎝⎭是唯一的极大值点,也是最大值点. 所以，当两条直角边都为2时,直角三角形的周长最大. 4.7 数形结合法数形结合法是根据目标函数的几何意义，如直线的截距，点到直线的距离，圆的半径等几何性质决定目标的条件极值.例4.7.1 设2219x xy y ++=，求22x y +的最值.解法一 数形结合法[7]解 设,,x u v y u v =+=-则222319x xy y u v ++=+=，即2222119(19)()3+= 22222()x y u v +=+表示坐标原点到椭圆上的点的距离的平方的2倍显然最大值为长轴的长38，最小值为383解法二 消元法解 设 cos x r θ=，sin y r θ=，则 2221(1sin 2)192x xy y r θ++=+= 2221911sin 22x y r θ+==+故当sin 21θ=，即193x y ==时，22383x y +=达到最小值.当sin 21θ=-，即19x y =-=±时，2238x y +=达到最大值. 解法三 均值不等式法解 （1）若0,0,x y >>注意到 222x y xy +≤当且仅当x y =时等号成立因此：222222019192x y x xy y x y +=++-≤++-， 当且仅当x y =时等号成立 即223()192x y +≥ 故 22383x y +≥，此时x y ==（2）若0,0x y ><，设y u =-，则问题变为2219x xu u -+=求22x u +的最值由于222x u xu +≤，所以2222222222x u x u x xu u x u ++-+≥-+= 因此22222()38x u x xu u +≤-+= 即最大值为38（3）若0,0x y <<，做变换,x u y v =-=-，则问题转化为（1） （4）若0,0x y <>，则问题转化为（2） 解法四 拉格朗日乘数法解 设 2222(,,)(19)F x y x y x xy y λλ=++++-令 222(2)02(2)0190Fx x y x Fy y x y Fx xy y λλλ⎧∂=++=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪⎪∂=++-=⎪∂⎩ 则 22x y =若 x y =，则2319x =，x y ==此时 22383x y +=； 若 x y =-，则219x =，x y =-=或x y =-=此时2238x y +=从该题可以看出，用拉格朗日乘数法和均值不等式法解题过程都比较繁琐，但通过数形结合法和消元法法都可以简捷地求得结果.所以在解条件极值问题时，我们可以先分析题目的特点再选择最合适的解题方法，从而提高解题效率. 5. 多元函数条件极值在理论和实际中的应用举例多元函数条件极值在不等式证明、物理、生产销售、证券投资分析、多元统计分析学里判别分析和主成分分析等问题上都有广泛的应用.由于本人其余学科知识和时间上的限制，不能很好地展开条件极值在证券投资分析和多元统计分析上的应用问题，具体内容可以参考文献[8]和文献[9]，下面只讨论条件极值在不等式证明、物理学、生产销售上的应用.5.1 不等式证明例5.1.1证明不等式：ln 0,(1,0)y e x x x xy x y +--≥≥≥.证 令(,)ln y f x y e x x x xy =+--，则只需证明函数(,)f x y 在区域{(,)|1,0}D x y x y =≥≥上存在最小值0，对于1x ≥，令(,)0y y f x y e x =-=，得ln y x =，且当0ln y x ≤<时，(,)0y f x y <当ln y x >时，(,)0y f x y >.由一元函数取极值的第一充分判断法，ln y x =为最小值点，即在曲线ln y x =上(,)f x y 取得最小值，最小值ln (,ln )ln ln 0x f x x e x x x x x =+--=.故在D 上(,)0f x y ≥，即ln 0y e x x x xy +--≥.5.2 物理学中光的折射定律证明例5.2.1设定点A 和B 位于以平面分开的不同光介质中，从A 点射出的光线折射后到达B 点，已知光在两介质中的传播速度分别为1v ，2v ，求需时最短的传播方式.解 设A 到平面的距离为a ，B 到平面的距离为b ，（如图）， CD d =，光线从A 点射到M 点所需时间为1cos a v α， 光线从M 点射到B 点所需时间为2cos b v β 且CM MD d +=，即tan tan a b d αβ+=问题转化为函数12(,)cos cos a b f v v αβαβ=+在条件 tan tan b d αβ+=下的最小值. 作拉格朗日函数112(,,)(tan tan )cos cos a b L a b d v v αβλλαβαβ=+++- 令 112211222sin 0,cos cos sin 0,cos cos tan tan 0.a a L v b b L v L a b d αβλαλααβλββαβ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎨⎪⎪'=+-=⎪⎩由此解得112sin sin v v αβλ-==，即光线的入射角与折射角应满足： 12sin sin v v αβ=（光的折射定律）时光线传播时间最短. 5.3 生产销售在生产和销售商品的过程中，销售价格上涨将使厂家在单位商品上获得的利润增加，但同时也使消费者的购买欲望下降，造成销售量下降，导致厂家消减产量.但在规模生产中，单位商品的生产成本是随着产量的增加而降低的，因此销售量、成本与售价是相互影响的.厂家要选择合理的销售价格才能获得最大利润.5.3.1 用条件极值得出生产成本最小化方案例5.3.1.1[10]设生产某产品需要原料A 和B ，它们的单价分别为10元、15元，用x 单位原料A 和y 单位原料B 可生产22208x xy y -+-单位的该产品，现要以最低成本生产112单位的该产品，问需要多少原料A 和B ？【分析】由题意可知，成本函数(,)1015C x y x y =+.该问题是求成本函数在条件22208112x xy y -+-=下的条件极值问题，利用拉格朗日常数法计算.解 令22(,)1015(208112),F x y x y x xy y λ=++-+-- 解方程组 2210220015162002081120f x y x f y x yx xy y λλλλ∂⎧=-+=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪⎪-+--=⎪⎩2,2()4,y y x ⇒==-⇒=舍去这是实际应用问题，所以当原料A 和B 的用量分别为4单位，2单位时，成本最低.5.3.2利用条件极值得出利润最大化方案例5.3.2.1[10]为销售产品作两种方式广告宣传，当宣传费分别为,x y 时，销售量是200100510x y S x y =+++，若销售产品所得利润是销量的15减去广告费，现要使用广告费25万元，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解 依题意，利润函数为 1402025255510x y S x yπ=-=+-++ 且 25x y += 设 402025(25)510x y F x y x yλ=+-++-++ 令 222000(5)2000(10)25x y F x F y x y λλ⎧'=+=⎪+⎪⎪'=+=⎨+⎪⎪+=⎪⎩得 15100.5x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩依题设，存在最大利润，又驻点唯一，因此两广告分别投入15万元和10万元利润最大.例5.3.2.2[3] 一家电视机厂在对某种型号电视机的销售价格决策时面对如下数据：（1）根据市场调查，当地对该种电视机的年需求量为100万台；（2）去年该厂共售出10万台，每台售价为4000元；（3）仅生产1台电视机的成本为4000元；但在批量生产后，生产1万台时成本降低为每台3000元. 问：在生产方式不变的情况下，每年的最优销售价格是多少？数学模型建立如下：设这种电视机的总销售量为x ，每台生产成本为c ，销售价格为v ，那么厂家的利润为 (,,)()u c v x v c x =-根据市场预测，销售量与销售价格之间有下面的关系：,0,0,av x Me M α-=>>这里M 为市场的最大需求量，α是价格系数（这个公式也反映出，售价越高，销售量越少）.同时，生产部门对每台电视机的成本有如下测算：00ln ,,,0,c c k x c k x =->这里0c 是只生产1台电视机时的成本，k 是规模系数（这也反映出，产量越大即销售量越大，成本越低）.于是，问题化为求利润函数 (,,)()u c v x v c x =-在约束条件 0ln avx Me c c k x-⎧=⎨=-⎩ 下的极值问题.作Lagrange 函数0(,,,,)()()(ln ),av L c v x v c x x Mec c k x λμλμ-=-----+就得到最优化条件 00,(1)0,(2)0,(3)0,(4)ln 0.(5)c av v x av L x L x M e k L v c x x Me c c k x μλαλμ--=--=⎧⎪=-=⎪⎪⎪=---=⎨⎪⎪-=⎪-+=⎪⎩ 由方程组中第二和第四式得到=1λα，即1=λα将第四式代入第五式得到 0(ln )c c k M v α=--再由第一式知 x μ=-.将所得的这三个式子代入方程组中第三式，得到 01((ln ))0,v c k M v k αα----+=由此解得最优价格为 0*1ln 1c k M k v k αα-+-=-。
函数的极值与拐点
函数的极值与拐点函数的极值与拐点是数学中常见的概念，它们与函数的变化趋势密切相关。
通过研究函数在某个区间上的增减性、单调性以及二阶导数的符号等，我们可以确定函数的极值点和拐点。
本文将详细讨论函数的极值与拐点的定义、判定方法及其在实际问题中的应用。
一、函数的极值首先，我们来定义函数的极值。
对于函数f(x)，如果在某个点x=a 处，存在一个邻域，使得在这个邻域内，函数值f(x)小于或大于f(a)，那么我们称f(a)为函数的极大值或极小值，简称极值。
极大值和极小值的统称为极值。
那么如何判定函数的极值呢？我们给出以下定理：定理1：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且在(x=a)和(x=b)处的导数值不为0，则：1. 当导数恒大于0时，函数在[a,b]上单调递增，且在x=a处取得极小值，x=b处取得极大值；2. 当导数恒小于0时，函数在[a,b]上单调递减，且在x=a处取得极大值，x=b处取得极小值。
以上定理提供了一种判定函数极值的方法，但并不是所有函数的极值都可以通过导数来求解。
对于二次函数、三次函数等特殊函数，可以通过求解导数为0的方程来找到极值点。
二、函数的拐点接下来，我们来定义函数的拐点。
对于函数f(x)，如果在某个点x=a处，左极限f(a-)和右极限f(a+)存在且相等，且在该点左右两侧函数的凹凸性改变，那么我们称a为函数的拐点。
如何判定函数的拐点呢？我们给出以下定理：定理2：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，则：1. 当二阶导数f''(x)恒大于0时，函数在[a,b]上凹，且拐点位于(a,b)内；2. 当二阶导数f''(x)恒小于0时，函数在[a,b]上凸，且拐点位于(a,b)内；3. 当二阶导数f''(x)为0时，函数存在可能的拐点。
以上定理意味着，函数的凹凸性与二阶导数的符号有直接关系。
通过求解二阶导数为0的方程，我们可以找到可能的拐点，然后进一步确定拐点是否存在。
三角函数的极值
三角函数的极值三角函数是高中数学中重要的一部分，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
其中一项重要的概念是极值，用于描述函数在某一区间内的最大值和最小值。
本文将详细介绍三角函数的极值及其相关概念、性质和求解方法。
一、三角函数简介在介绍三角函数的极值之前，我们首先来了解一下三角函数的基本概念。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等，它们是以角度或弧度为自变量，返回一个比值作为函数值的数学函数。
二、三角函数的周期性我们知道，三角函数都是周期函数，这意味着它们的函数值在一定的区间内重复出现。
以正弦函数为例，它的最小正周期是360度或2π弧度。
也就是说，当自变量增加或减小一个周期，函数值会回到原来的位置。
三、三角函数的极大值和极小值在三角函数的周期内，它们都会有极大值和极小值。
极大值是指函数在某一区间内取得的最大值，极小值则是指函数在某一区间内取得的最小值。
以正弦函数为例，它的极大值为1，极小值为-1。
四、三角函数的极值点在某一区间内，三角函数的极大值和极小值点通常称为极值点。
这些点具有特殊的性质，它们是函数值由正向变为负向或由负向变为正向的转折点。
五、求解三角函数的极值求解三角函数的极值需要应用一些数学方法和技巧。
其中一种常用的方法是利用导数来求解。
我们可以对三角函数进行求导，然后找到导数为零的点，即可确定极值点的位置。
同时，我们还需要根据函数的周期性来确定极值在整个定义域内的重复性。
六、常见三角函数的极值在实际应用中，有一些常见的三角函数的极值我们需要特别注意。
比如正弦函数在0度和180度（或0弧度和π弧度）时取得极小值-1，在90度和270度（或π/2弧度和3π/2弧度）时取得极大值1。
同样地，余弦函数在0度和360度（或0弧度和2π弧度）时取得极大值1，在180度时取得极小值-1。
七、三角函数极值的应用三角函数的极值在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
它们可以用于描述物体的周期性运动、波的传播以及信号的变化等现象。