北师大版初中数学八年级上册教案：7.2定义与命题

课题：定义与命题
●教学目标：
知识与技能目标：
1．让学生了解定义的含义并了解给一些名称下定义的常用方法；
2．让学生了解命题的含义．
过程与方法目标：
1．让学生经历术语定义产生的过程，在通过类比、完成填空的过程中培养自学的能力；
2．让学生经历“命题”这个名词的定义产生过程，进一步了解命题的含义.
情感态度与价值观目标：
1．通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系.
●重点：
1．了解命题的含义，能够区分“命题”与“正确的命题（真命题）”；
2．理解命题的结构，把命题改写成“如果……，那么……”的形式.
难点：
命题的概念的理解.
●教学流程：
一、情境引入
创设“一对父子的谈话”场景让学生发现有关的数学问题.
在老师的描述中抢答出这是什么数学名词。

师总结：可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行.
设计说明：用这种形式引入，让学生及早融入课堂，积极思考，也作为本节课的一个贯穿的背景。

更重要的是，希望学生初步明白下定义的重要性.
二、自主探究
探究1：
证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义.
解：设赤道的周长为x m，则铁丝与赤道的间隙为：
如：1、“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义.
大家还能举出一些例子吗？
2、“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”是“”的定义;
解：两点之间的距离
3、“无限不循环小数称为无理数”是“”的定义;
解：无理数
4、“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形”是“”的定义;
解：多边形
5、“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形”是“”的定义;
解：等腰三角形
目的：
鼓励学生自己动脑思考并与小组的其他同学相互讨论，对学生的答案进行肯定，激发他们学习数学的兴趣.为了真正做到有效的合作学习，让学生在进行讨论之前先进行独立思考，有了自己的想法，然后再与别人交换意见，产生思维的碰撞，以真正达到讨论的目的.
考考你
请说出下列名词的定义：
（1）有理数（2）直角三角形（3）一次函数（4）一元二次方程（5）压强
探究2：
你认为线段a与线段b哪个比较长？
线段a比线段b长.
线段b比线段a长.
线段a与线段b一样长.
判断一件事情的句子，叫做命题.
下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2－n+11的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB=CD.
解：（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题.
（5）（6）没有对事情做出判断，不是命题.
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴进行交流.
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a=b，那么a²=b²；
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.
一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
命题通常可以写成“如果‥‥‥那么‥‥‥”的形式，
其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
做一做：
下列句子中哪些是命题？
（1）动物都需要水；（2）猴子是动物的一种；
（3）玫瑰花是动物；（4）美丽的天空；
（5）相等的角是对顶角；（6）负数都小于零；
（7）你的作业做完了吗？（8）所有的质数都是奇数；
（9）过直线l 外一点作l 的平行线；
（10）如果a=b，a=c，那么b=c.
解:（1）（2）（3）（4）（5）（6）（8）（10）是命题.
三、合作探究
探究3：
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是任何判断的？与同伴进行交流.
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a≠b，b≠c，那么a≠c；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）如果室外气温低于0℃，那么地面上的水一定会结冰.
解：（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.
（2）条件：a≠b，b≠c ，结论：a≠c.
（3）条件：两个三角形全等，结论：它们的面积相等.
（4）条件：室外气温低于0℃，结论：地面上的水一定会结冰.
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
说明假命题的方法：举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.
做一做：
四个命题：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；②有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等；③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2）；
④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的是（）
解①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，错误；
③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（﹣1,﹣2），正确；
④对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故错误．
综上所述，正确的是①③．
四、合作探究
探究4：
公理：公认的真命题称为公理.
证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明.
定理：经过证明的真命题称为定理.
本套教科书选用九条基本事实中已认识的其中八条是：
1.两点确定一条直线。

2.两点之间线段最短。

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
8.三边对应相等的两个三角形全等．
例已知：如图7-5，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD
解：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD补角（补角的定义）
∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）
做一做：
写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．
解：命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题为直角三角形的两锐角互余．已知：△ABC中，∠C=90°．
求证：∠A+∠B=90°．
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，而∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°即∠A与∠B互余．
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1、命题都是由条件和结论两部分组成,“如果……那么……”
2、说明一个命题是假命题的方法：举反例
3、说明一个命题是真命题的方法：证明
证明的依据:公理（等式的性质）定义、已证明的定理
六、达标测评
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（）
A、定理
B、公理
C、定义
D、只是命题
解：B
2、下列命题中，属于定义的是（）
A、两点确定一条直线
B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等
D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长
解：D
3、x=3是方程
21
0 3
x x -
=
-
的解，这个命题是真命题还是假命题？请说明理由.
解：真命题.理由如下：将x=3代入方程，方程的左右两边相等.
4、若x是实数，则x 2>0.这个命题是真命题还是假命题？请说明理由.
解：假命题.因为若x=0，则x 2>0.
七、拓展延伸
1.说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题．
解：“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上”．此逆命题为真命题．
已知：如图，CA=CB，
求证：点C在线段AB的垂直平分线上．
证明：作CD⊥AB，如图1，
∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴Rt△ADC≌△Rt△BDC，∴AD=BD，∴CD垂直平分AB，
即点C在线段AB的垂直平分线上.
八、布置作业
教材171页习题第1、2题.。