运筹学 06-线性规划运输问题
产销平衡表
门市部 B1 B2 B3 B4 加工厂
A1 A2 A3 销量
3656
单位：吨
产量
7 4 9 20
门市部 B1 B2 B3 B4
加工厂
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
单位运价表 单位：元/吨
解：1.确定初始方案:
(最小元素法基本思想：从单位运价表上最小的运价开始 确定产销关系，以此类推，直到给出初始方案为止)
①从运价表上找出最小运价C21=1， A2 先保证供应B1 ，X21=3，
划去运价表上B1 列；
②再从运价表上其余元素中找到最小的运价C23=2，加工厂A2
应供给B3， X23=1，划去A2行；
③再从运价表上其余
门市部
B1 B2 B3 B4
元素中找到最小的运价
加工厂
C13=3，所以A1先保证供 应B3 ， B3 尚缺4单位， 因此X13=4，划去B3 列。
1
（ⅰ）门有市部数格是B1基变B2量，B共3 B4 加工厂 m+n-1=3+4-1=6个
空格是A1非基变3量，1共1划去3m+1n0=7条
线；A2
1 92 8
（ⅱ）A3如果填7上一个4 运量10之后5能同
A3
6
3
时划去两条线（一行与一列），就 须在所划单去位运的价该表行或单该位列：元任/意吨 位置
初始方案运费
A3
B2 B3 B4 43
1
6
3
门市部 加工厂
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
单位运价表 单位：元/吨
②计算出空格的检验数—等于闭回路上由此空格起奇数 顶点运价减去偶数顶点运价。
如σ11＝c11-c13+c23-c21=3-3+2-1
③计算出所有空格的检验数σij,若σij ≥０，则该方案为最优 方案，否则进行调整；
x14
x21 x22 x23 x24
x31 x32 x33 x34
8 1124需求约束 14
xij
0(i
1, 2,3;
j
1, 2,3, 4)
1.产销平衡问题
已知:m个产地A1，，A
，
m
产量分别是 : a1，，am，
n个销售地B1，，Bn，销量分别是: b1，，bn，
m
n
产销平衡,即 ai bj ,由Ai B j的运价为cij。
3.方案调整，从当前方案出发寻找更好方案， 常采用闭回路法。
（Ⅰ）运输问题的常用解法：
➢ 最小元素法（确定初始方案）→闭回路法或者位 势法（检验当前方案）→闭回路法（方案调整）
以下面例题说明这种方法的具体步骤： 例12：某食品公司下设3个加工厂A1， A2，A3， 和4个门市部B1， B2，B3，B4。各加工厂每天的 产量、各门市部每天的销售量以及从各加工厂 到各门市部的运价如下表所示。 问：该公司应如何调运，在满足各门市部销售 需要的情况下，使得运费支出为最少？
min z 4x11 12x12 4x13 11x14 2x21 10x22 3x23 9x24 8x31 5x32 11x33 6x34
x11 x12 x13 x14 16
x21
x22
x23
x24
10供应约束
x31
x32
x33
x34
22
s.t
x11 x12
x13
二.运输问题的模型 产销平衡问题模型
容易看出，产销平衡运输模型 具有以下特点：
（1）它包含m×n个变量， m+n个约束条件
（2）因为有， 所以系数矩阵中线性独立 的列向量的最大个数为 （m＋n－1）个，即产销 平衡运输问题的解中基变 量的个数为(m＋n－1)个。
将约束方程式展开可得
x11
x1n x21
A1
3 11 3 10
A2
1 92 8
A3
7 4 10 5
单位运价表 单位：元/吨
以此类推，得到一初始方案（如下图）：
X21=3，X32=6，X13=4，X23=1，X14=3，X34=3（有数格）
X11=X31=X12=X22=X33=X24=0（空格）
注：
B1 A1 A2 3
B2 B3 B4 43
因此可以用更方便的特殊方法处理。下面 介绍表上作业法。
表上作业法，实质上还是单纯形法。其步骤 如下：
1.确定一个初始可行调运方案。可以通过最小 元素法、西北角法、Vogel 法来完成；
2.检验当前可行方案是否最优，常用的方法有 闭回路法和位势法，用这两种方法计算出检 验数，从而判别方案是否最优；
x2n
x11
x21
xm1 xm1
xmn
x12
x22
xm2
x1n
x2n
xmn
a1 a2
am b1 b2
bn
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下：
1 1
11
A=
1 1
1 1 1
1 1 1
2.产销不平衡问题
填一个0，此0格当有数格对待。
Z0=3×1+6×4+4×3+1×2+3×10+3×5=86(元)
2.检验---空格检验数的计算方法之一：闭回路法
①找出任意空格的闭回路—除此空格外，其余顶点均为有数格。 如（ A1 B1 ）→ （ A1 B3 ） → （ A2 B3 ） → （ A2 B1 ）；
B1 A1 A2 3
➢ 此时分为两种情形来考虑： 供不应求：即产量小于销量时有 供过于求：即产量大于销量时有
这
两
种
情
形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
都
可
以
化
为
ai
b
的
j
形
式
来
求
解
三.运输问题的解法
运输问题仍然是线性规划问题，可以用线 性规划法中的单纯形法来解决。但是： ➢ 运输问题所涉及的变量多，造成单纯形表 太大； ➢ 它的系数矩阵中每列只有两个元素为1， 其余均为零。
i 1
j 1
问:应如何调运使总费用最省 ?
即求Ai B j的运量xij，使运费可达极小化。
销
产地
地
B1
B2 ……
Bn 产地产量
A1 C11 C12 …… C1n a1
A2 C21 C22 …… C2n a2
… ………………… …
Am Cm1 Cm2 …… Cmn am
需求量 b1 b2 …… bn
第四节 运输问题
一.运输问题的一般提法
在经济建设中，经常碰到物资调拨中的运输问题。 例如: 煤、钢材、粮食、木材A1，等， 物资，在全国都有若 干生产基地，分别将这些物资调到各消费基地去， 应如何制定调运方案，使总的运输费用最少？
导入案例——配送问 题
设xij为从配送中心Ai向城市Bj配送 货物数量，z为总运费，则由表可 知这个问题的数学模型如下：
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运筹学中的线性规划算法
运筹学中的线性规划算法运筹学是运筹学家在解决一些管理决策问题（通常是最优化问题）时开发出来的一类数学方法。
运筹学与现代计算机科学和算法理论密切相关。
这里我们主要讲述一种在运筹学中被广泛使用的算法——线性规划算法。
一、线性规划的定义及特点线性规划是运筹学中应用最广泛的一类优化问题，它是在一组线性等式和不等式的约束条件下，最小化或最大化某一线性函数的优化问题。
形式化地，一个线性规划（LP）问题可以表示为$$\begin{aligned}& \text{maximize } c^Tx \\& \text{subject to } Ax \le b \\& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \ge 0\end{aligned}$$其中 $c \in \mathbb{R}^n$ 和 $b \in \mathbb{R}^m$，矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$。
注意到这里的不等式约束均为“小于等于”形式，并且 $x$ 的每一个分量都不可以为负数。
线性规划具有如下重要特点：1. 线性规划问题必须有线性约束，即线性规划问题只考虑目标函数和约束条件都是线性函数的情况。
2. 一般情况下，线性规划问题的最优解必须满足最优性约束，即必须取到目标函数的最大（小）值的点必须满足所有的约束条件。
3. 线性规划问题的最优解只能出现在可行点集的顶点处，这样的点集被称为线性规划问题的基本可行解集。
二、线性规划求解的基本思路及方法线性规划求解的基本思路是：先将可行域化为一个凸多面体，找到其顶点（基本可行解集），然后逐一检查这些顶点，直到找到最优解。
线性规划算法有多种，常见的有单纯形法、内点法、分支定界法等。
其中最广泛应用的是单纯形法。
1. 单纯形法单纯形法是由美国运筹学家乔治·丹尼尔（George Dantzig）在20世纪40年代发明的。
其主要思想是：从一个初始可行点开始，对于不满足约束条件的变量（非基变量），通过一些变换（如高斯消元）寻找到下一个可行解（即将一个非基变量变成基变量），如果找到更优解，则继续上述寻找过程，直至无法找到更优解。
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
x11 x12 x1n x21 x22 x2n xm1 xm2 xmn
u1 1 1 1
u2
um
1
1
1
1
1
1
m行
v1 1
1
1
v2 1
vn
1
1
1
1
1
n行
5
第1节 运输问题的数学模型
该系数矩阵中对应于变量xij的系数向量Pij，其分量中除第i个和 第m+j个为1以外，其余的都为零。即
21
2.2 最优解的判别
判别的方法是计算空格(非基变量)的检验数cij−CBB-1Pij， i,j∈N。因运输问题的目标函数是要求实现最小化，故当 所有的cij−CBB-1Pij≥0时，为最优解。下面介绍两种求空格 检验数的方法。 1.闭回路法； 2.位势法
22
2.2 最优解的判别
1.闭回路法
2.1 确定初始基可行解
第二步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列 中的最小元素。在表3-10中B2列是最大差额所在列。B2列 中最小元素为4，可确定A3的产品先供应B2的需要。得表311
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
7
A2
4
A3
6
9
销量 3 6 5 6
18
2.1 确定初始基可行解
销 地 B1 B2 B3 B4 产
加工厂
量
A1
A2
3
43 7
1
4
A3
6
39
销量
36 56
12
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为： (1) 用最小元素法给出的初始解，是从单位运价表中逐次地
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学线性规划
主要解决以下两类问题： 1、任务确定后，如何统筹安排，做到应用尽量少的人 力和物力资源来完成任务； 2、在一定量的人力、物力资源的条件下，如何安排、 使用他们，使完成的任务最多。
4
例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油 提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购 的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该 如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下， 使购买成本最小。 油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30
4
例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油 提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购 的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该 如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下， 使购买成本最小。 油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30
运输问题的线性规划29页PPT
运输问题的线性规划
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Than
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Than
运筹学 线性规划
运筹学线性规划运筹学是一门研究如何进行最优决策的学科。
它包括了多个数学分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划等。
其中，线性规划在运筹学中占有重要地位。
线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定结构的最优化问题。
它的基本思想是在给定的约束条件下，通过构建目标函数和决策变量之间的线性关系，寻找使目标函数达到最优值的决策变量取值。
线性规划的数学模型可以表示为以下形式：最大化（或最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... +cₙxₙ所有的约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ... , xₙ ≥ 0其中，c₁、c₂、...、cₙ表示目标函数中的系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件中的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件右侧的常数。
线性规划的解法有多种，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法通过逐步进行基变量的选择和替换，不断改进目标函数值，从而找到最优解。
它的基本思想是通过基变量的变换，使目标函数值不断减小，直到达到最小值或者无法继续改进为止。
线性规划的应用十分广泛。
它可以用于生产计划、资源分配、物流管理、投资组合等多个领域。
例如，在生产计划中，线性规划可以帮助企业合理分配生产资源，降低成本，提高效益。
在物流管理中，线性规划可以优化货物的调度方案，减少运输成本。
在投资组合中，线性规划可以帮助投资者选择合适的投资组合，以获得最大的收益。
总之，运筹学中的线性规划是一种重要的决策优化方法。
通过构建数学模型，并应用单纯形法等求解方法，可以在给定的约束条件下寻找最优解，从而提高决策的效果。
随着计算机技术的发展，线性规划的应用领域和规模将会进一步扩大，为各行各业提供更好的决策支持。
《运筹学》第三章 运输问题
二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案。 （表上闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
－ B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 －3
σij
B1 ＝ A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 －1 12 0
表中还有负数，说明 还未得到最优解，应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数？ 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 上例： min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构： A ij ( 0， 0， 0 ，， 0， 0 ) 1， 0 1，
第 i个
第 ( m j )个
管理运筹学讲义 第3章 运输问题(6学时)
m行 n行
... 1
其系数列向量的结构是：
A ij (0,..., 0,1, 0,..., 0,1, 0,..., 0) T , 除第i个和第（m j）个分量为 1外，其他分量全等于零。因此，运输问题具有以下特点： 约束条件系数矩阵的元素为0或1； 约束矩阵每一列都有两个非零元素，这对应于每一个变量在 前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中出现一次。
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
运价表（元/吨） B4 产量
A3
需要量
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
解:设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地 运往第j个需求地的运量，这样得到下列运输问题的数 学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34 x11 x12 x13 x14 10 x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x x x x 8 21 22 23 24 x13 x23 x33 8 x x x x 5 31 32 33 34 x14 x24 x34 3
下表中填有数字的格为基变量，它们对应的约束 方程组的系数列向量线型无关：
B1
4
B2
12
... 1
其系数列向量的结构是：
A ij (0,..., 0,1, 0,..., 0,1, 0,..., 0) T , 除第i个和第（m j）个分量为 1外，其他分量全等于零。因此，运输问题具有以下特点： 约束条件系数矩阵的元素为0或1； 约束矩阵每一列都有两个非零元素，这对应于每一个变量在 前m个约束方程中出现一次，在后n个约束方程中出现一次。
Ai
Bj
表 3－ 5
B1 x11 C11 x21
B2 x12 C12 x22 C22 x31 x32 C32 b2
运价表（元/吨） B4 产量
A3
需要量
3 5 4 5
2 3 1 7
6 8 2 8
3 2 9 3
10 8 5 23
解:设xij ( i =1,2,3；j =1,2,3,4)为i个产粮地 运往第j个需求地的运量，这样得到下列运输问题的数 学模型：
Min z = 3x11+ 2x12+ 6x13+ 3x14+ 5x21+ 3x22+ 8x23+ 2x24 + 4x31+ x32+ 2x33+ 9x34 x11 x12 x13 x14 10 x11 x21 x31 5 x x x 7 12 22 32 x x x x 8 21 22 23 24 x13 x23 x33 8 x x x x 5 31 32 33 34 x14 x24 x34 3
下表中填有数字的格为基变量，它们对应的约束 方程组的系数列向量线型无关：
B1
4
B2
12
运筹学 第三章 运输问题
判别的方法是计算空格（非基变量）的检 验数，若所有的检验数都大于等于0，为最优 解。
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 16
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 16
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4
运筹学07-运输问题
X
0
A3 X
X
1
6
0
销量 0
0
0
0
B1 B2 B3 B4 产量
A1 3
6
A2
2
3
A3
1
6
销量
• 首先是一个可行解 • 其次个数正好等于6 • 可以证明，这是一个基可行解，
B1 B2 B3 B4 产量
A1 3
6
2
9
A2
2
3
3
4
A3 销量
1
6
2
5
Z (0) 3*2 6*9 2*3 3*4 1* 2 6*5 110
• 也就是从运价表的西北角位置（即x11处） 开始，依次安排m个产地和n个销地之间 的运输业务，从而得到一个初始调运方 案，我们称这种方法为西北角法（或左 上角法）．
说明
• 西北角法所遵循的规则纯粹是一种人为 的规定，没有任何理论依据和实际背 景．
• 但它容易操作，特别适合在计算机上编 程计算，因而仍不失为一种制定初始调 运方案的好方法，受到广大实际工作者 青睐．
• 在剩下最后一个空格时，只能填数（必 要时可取0）并画圈，以保证画圈的数为 m+n-1．
• 在某一行（或列）填最后一个数时，如 果行和列都同时饱和，则规定只划去该 行（或列)下次再遇到该列时，应写0并 画圈．
B1 B2 B3 B4 产量
A1 2
1
X
X
0
A2 X
0
5
X
0
A3 X
X
8
销量 0
0
2
6
1
7
8
A2
0
5
6