2020-2021年度重庆中考数学第11题专题训练翻折问题(含答案)
2020-2021年度重庆中考专题训练
翻折问题（含答案）
1．如图1，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝6．如图2，在底边BC 上取一点D ，连结AD ，使得∠DAC ＝∠ACD ．如图3，将△ACD 沿着AD 所在直线折叠，使得点C 落在点E 处，连结BE ，得到四边形ABED ．则BE 的长是（ ）
A ．1
B ．6
5
C ．
3215
D ．
174
2．如图，将三角形纸片ABC 沿AD 折叠，使点C 落在BD 边上的点E 处．若DC ＝3，BE ＝2，则AB 2﹣AC 2的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．10
D ．16
3．如图所示，在锐角三角形ABC 中，AB ＝8，AC ＝5，BC ＝6，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，下列结论：①∠CBD ＝∠EBD ，②DE ⊥AB ，③三角形ADE 的周长是7，④S △BCD S △ABD
=34
，⑤
CD
AD
=3
4
．其中正确的个数有
（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，折痕为MN ，点A 的对应点是点A ′，点B 的对应点是点B ′，点B ′落在边CD 上，若CB ′=1
3CD ，且BN ＝5，则折痕MN 的长为（ ）
A ．√10
B ．3√5
C ．3√10
D ．6√2
5．如图．在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．E 是边AD 的一个动点，将△BAE 沿BE 对折至△BFE 的位置，则线段DF 的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
6．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝10，AD ＝5，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在矩形ABCD 内部时，PD 的最小值等于（ ）
A ．3
2
B ．10?5√3
C ．5√5?10
D ．2
7．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则折痕AE的长为（）
A．√125cm B．√75cm C．12cm D．13 cm
8．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，BC＝4cm，把△ACD沿AD翻折，使点C 落在E的位置，则BE的平方为（）
A．4B．8C．16D．20
9．如图，点F是长方形ABCD中BC边上一点将△ABF沿AF折叠为△AEF，点E落在边CD上，若AB＝5，BC＝4，则BF的长为（）
A．7
3B．
5
2
C．
13
6
D．
5
6
10．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，顶点C恰好落在顶点A处，已知AB＝4cm，AD ＝8cm，则AF的长为（）
A．5cm B．2√5cm C．2√3cm D．3√5cm
11．如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是边AC、BC上两点．将三角形ABC沿DE 翻折，点C正好落在线段AB上的点F处，使得AF：BF＝2：3．若BE＝16，则CE的长度为（）
A．18B．19C．20D．21
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD 沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）
A．√7B．9
14√7C．9
7
√7D．18
7
√7
13．将一张矩形纸片ABCD （如图）那样折起使顶点C 落在C ′处，测量得AB ＝4，EC ＝4√3．则sin ∠C 'ED 为（ ）
A ．2
B ．1
2
C ．
√22
D ．
√32
14．如图，矩形OABC 中，OA ＝4，AB ＝3，点D 在边BC 上，且CD ＝3DB ，点E 是边OA 上一点，连接DE ，将四边形ABDE 沿DE 折叠，若点A 的对称点A ′恰好落在边OC 上，则OE 的长为（ ）
A ．2
3
B ．3
2
C ．4
3
D ．1
B ．
15．如图，将等腰直角三角形ABC （∠ABC ＝90°）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点A 1处，BC ＝6，那么线段AE 的长度为（ ）
A ．5
B ．4
C ．4.25
D ．
154
16．如图，先有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①CQ ＝CD ； ②四边形CMPN 是菱形； ③P ，A 重合时，MN ＝2√5； ④△PQM 的面积S 的取值范围是3≤S ≤5．（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①②③④
17．如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．折叠纸片使点A 落在边BC 上的A ′处，折痕为PQ ．当点A ′在边BC 上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在边AB 、AD 上移动，则点A ′在边BC 上可移动的最大距离为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
18．如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，使点B 恰好落在AD 边的B '处，若矩形的面积为9√3，AE ＝B 'D ．∠EFB ＝60°，则线段BE 的长是（ ）
A ．3√32
B ．3
C ．√3
D ．6
19．如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处．若∠CDF ＝56°，则∠AED ＝（ ）
A ．73°
B ．62°
C ．56°
D ．34°
20．如图，将平行四边形ABCD （纸片）沿过对角线交点O 的直线EF 折叠，点A 落在点A 1
处，点B 落在点B 1处，设FB 1交CD 于点G ，A 1B 1分别交CD ，DE 于点H ，I ．则下列结论中，错误的是（ ）
A ．OE ＝OF
B ．AE ＝CF
C ．DH ＝CG
D ．EI ＝FG
21．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，连接AE 、ED ，将△ABE 沿AE 翻折，使点B 落在B '处，线段EB '交AD 于点F ，将△ECD 沿DE 翻折，使点C 的对应点C '落在线段EB '上，若点C '恰好为EB '的中点，则线段EF 的长为（ ）
A ．1
2
B ．
√22
C ．7
6
D ．
34
√2
22．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AD ＝4，点E 、F 分别是CD 和AB 的中点现将这张纸片折叠，使点B 落在EF 上的点G 处，折痕为AH ，若HG 延长线恰好经过点D ，则CD 的长为（ ）
A ．2√3
B ．2
C ．4√3
D ．4
23．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，点D 在AC 上，点E 在AB 上，将△ADE 沿直线DE 翻折，点A 的对称点A '落在BC 上，在CD ＝1，则A 'B '的长是（ ）
A ．1
B ．√2
C ．4?√10
D ．4?2√2
24．如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC '，DC ′与AB 交于点E ，连结AC '，若AD ＝AC ′＝2，BD ＝3，则点D 到BC ′的距离为（ ）
A ．3√32
B ．3√217
C ．√7
D ．√13
参考答案
1．【解答】解：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ， ∵∠DAC ＝∠ACD ， ∴∠DAC ＝∠ABC ， ∵∠C ＝∠C ， ∴△CAD ∽△CBA ， ∴
CA CB =
CD CA ，
∴46
=
CD
4，
∴CD =8
3，BD ＝BC ﹣CD ＝6?8
3=10
3， ∵∠DAM ＝∠DAC ＝∠DBA ，∠ADM ＝∠ADB ， ∴△ADM ∽△BDA ， ∴
AD BD
=
DM
DA
，即8
3
103
=
DM
83
，
∴DM =
3215，MB ＝BD ﹣DM =103?3215=65
， ∵∠ABM ＝∠C ＝∠MED ， ∴A 、B 、E 、D 四点共圆，
∴∠ADB ＝∠BEM ，∠EBM ＝∠EAD ＝∠ABD ，
∴△ABD ∽△MBE ，（不用四点共圆，可以先证明△BMA ∽△EMD ，推出△BME ∽AMD ，推出∠ADB ＝∠BEM 也可以！） ∴
AB BM
=
BD BE
，
∴BE =BM?BD AB =65×103
4
=1．
故选：A ．
2．【解答】解：∵将三角形纸片ABC 沿AD 折叠，使点C 落在BD 边上的点E 处，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，DE＝CD=1
2CE，
∵DC＝3，BE＝2
∴ED＝CD＝3
∴CE＝6，BD＝5
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，
∴AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2＝52﹣32＝16，
故选：D．
3．【解答】解：∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴△CBD≌△EBD，
∴∠CBD＝∠EBD，故①正确；
∠BED＝∠C，
∵在锐角三角形ABC中，∠C＜90°，
∴∠DEB＜90°，
∴DE不垂直于AB，故②错误；
由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，
∵AB＝8，
∴AE＝AB﹣BE＝2，
∴△AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，故③正确；
设点D到AB的距离为h，
∴S△BCD
S△ABD =
S△BDE
S△ABD
=
1
2
???BE
1
2
???AB
=
6
8
=
3
4
，故④正确；
设点B到AC的距离为m，
∴S△BCD
S△ABD =
1
2
?m?CD
1
2
?m?AD
=
CD
AD
=
3
4
，
∴CD
AD =
3
4
，故④正确，
故选：C．4．【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵CB′=1
3CD，且BN＝5，
设CB′＝x，则DC＝BC＝3x，DB′＝2x，
根据折叠可知：B′N＝BN＝5，则CN＝3x﹣5，在Rt△NCB′中，根据勾股定理，得
（3x﹣5）2+x2＝52，解得x1＝3，x2＝0（舍去），∴B′C＝3，CN＝4，DB′＝6，
∵∠C＝∠D＝∠A′B′N＝90°
∴∠DB′A′＝∠B′NC，
∴△DEB′∽△B′CN，
∴DE
B′C =
DB′
CN
=
EB′
B′N
即
DE
3
=
6
4
=
EB′
5
解得DE＝4.5，EB′＝7.5，
∴A′E＝1.5，AE＝4.5，∴ME＝4.5﹣AM，
在Rt△A′EM中，设AM＝A′M＝y，
根据勾股定理，得
y2+1.52＝（4.5﹣y）2，解得y＝2，
作MF⊥BC于点F，得矩形ABFM，∴MF＝AB＝9，FN＝5﹣2＝3，在Rt△MFN中，根据勾股定理，得
MN=√MF2+FN2=√92+32=3√10．
故选：C．
5．【解答】解：如图，连接BD，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝10，
∵将△BAE沿BE折叠后得△BFE，
∴AB＝BF＝6，AE＝EF，∠A＝∠EFB＝90°，
在△BFD中，DF≥BD﹣BF，
∴当点F在BD上时，DF的长最短，
∴DF＝BD﹣BF＝10﹣6＝4，
故选：B．
6．【解答】解：如图1：连接ED，过P作PH⊥ED于H，
∴在直角三角形HPD中，DP＞DH，
∴当点A的对称P落在线段ED上时，此时PD有最小值，
即当EP取最大值时，PD有最小值，而E在线段AB上，
∴当E与B重合时，即EP最大，从而此时PD取得最小，（如图2 ）
∵AB＝10，AD＝5，
∴BD=√AB2+AD2=√100+25=5√5，
∵AB＝PB＝10，
∴DP＝BD﹣PB＝5√5?10，
故选：C．
7．【解答】解：由题意得：
AF＝AD，EF＝DE（设为x），
∵四边形ABCD为矩形，
∴AF＝AD＝BC＝10，DC＝AB＝8；∠ABF＝90°；
由勾股定理得：
BF2＝102﹣82＝36，
∴BF＝6，CF＝10﹣6＝4；
在直角三角形EFC中，
由勾股定理得：
x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
∴AE2＝102+52＝125，
∴AE=√125（cm）．
故选：A．
8．【解答】解：由题意可知∠EDA是由∠CDA翻折得到，
∴∠EDA＝∠CDA＝45°，ED＝CD，
∴∠EDB＝90°，
∵AD是△ABC的中线，BC＝4cm，
∴BD＝CD＝2cm．
∴ED＝BD＝2cm，
在Rt△BDE中，根据勾股定理可得，BE=√BD2+DE2=√22+22=2√2cm，∴BE的平方＝8，
故选：B．
9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝5，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵将△ABF沿AF折叠为△AEF，
∴AE＝AB＝5，EF＝BF，
∴DE=√AE2?AD2=√52?42=3，
∴CE＝2，
设BF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，∵EF2＝CF2+CE2，
∴x2＝（4﹣x）2+22，
解得：x=5 2，
故选：B．
10．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8cm，
由翻折的性质可知AE＝EC，
设BE＝xcm，则AE＝EC＝8﹣xcm，
在Rt△ABE中，依据勾股定理得：42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，
∴BE＝3cm，AE＝5cm，
由翻折的性质可知：∠AEF＝∠CEF，
∵AF∥BH，
∴∠AFE＝∠FEC，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AF＝AE＝5cm，
故选：A．
11．【解答】解：作EM⊥AB于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠B＝60°，
∵EM⊥AB，
∴∠BEM＝30°，
∴BM=1
2BE＝8，ME=√3BM＝8√3，
由折叠的性质得：FE＝CE，设FE＝CE＝x，则AB＝BC＝16+x，
∵AF：BF＝2：3，
∴BF=3
5（16+x），
∴FM ＝BF ﹣BM =35（16+x ）﹣8=
85+35
x ， 在Rt △EFM 中，由勾股定理得：（8√3）2+（85
+35
x ）2＝x 2， 解得：x ＝19，或x ＝﹣16（舍去）， ∴CE ＝19； 故选：B ．
12．【解答】解：过点D 作DE ⊥A ′C 于E ，过A '作A 'F ⊥CD 于F ，如图所示： ∵AD ∥BC ，
∴∠ADB ＝∠DBC ，∠ADC +∠BCD ＝180°，∠BCD ＝180°﹣120°＝60°， ∵∠ABD ＝60°， ∴∠ADB ＝30°，
∴BD ＝2AB ＝6，AD =√3AB ＝3√3，∠BDC ＝∠ADC ﹣∠ADB ＝120°﹣30°＝90°，∠DBC ＝30°，
∴CD ＝tan ∠DBC ?BD ＝tan30°×6=
√3
3
×6＝2√3，
由折叠的性质得：∠A 'DB ＝∠ADB ＝30°，A 'D ＝AD ＝3√3， ∴∠A 'DC ＝120°﹣30°﹣30°＝60°， ∵A 'F ⊥CD ， ∴∠DA 'F ＝30°，
∴DF =12A 'D =3√32，A 'F =√3DF =9
2， ∴CF ＝CD ﹣DF ＝2√3?3√32=√3
2，
∴A 'C =√A′F 2+CF 2=(9
2)2+(√3
2)2=√21， ∵△A 'CD 的面积=12A 'C ×DE =1
2CD ×A 'F ，
∴DE =CD×A′F A′C =√3×9
221
=9√77，
即D 到直线A ′C 的距离为9√77
；
故选：C ．
13．【解答】解：∵纸片ABCD 是矩形， ∴CD ＝AB ＝4，∠C ＝90°，
∴DE =2+EC 2=√42+(4√3)2=8， 由翻折变换的性质得：∠C ′ED ＝∠CED ， ∴sin ∠C ′ED ＝sin ∠CED =CD DE =48=1
2
． 故选：B ．
14．【解答】解：连接A ′D ，AD ， ∵四边形OABC 是矩形，
∴BC ＝OA ＝4，OC ＝AB ＝3，∠C ＝∠B ＝O ＝90°， ∵CD ＝3DB ， ∴CD ＝3，BD ＝1， ∴CD ＝AB ，
∵将四边形ABDE 沿DE 折叠，若点A 的对称点A ′恰好落在边OC 上， ∴A ′D ＝AD ，A ′E ＝AE ，
在Rt △A ′CD 与Rt △DBA 中，{CD =AB A′D =AD ，
∴Rt △A ′CD ≌Rt △DBA （HL ）， ∴A ′C ＝BD ＝1， ∴A ′O ＝2，
∵A ′O 2+OE 2＝A ′E 2， ∴22+OE 2＝（4﹣OE ）2， ∴OE =3
2，
故选：B．
15．【解答】解：由折叠的性质可得AE＝A1E，∵△ABC为等腰直角三角形，BC＝6，
∴AB＝6，
∵A1为BC的中点，
∴A1B＝3，
设AE＝A1E＝x，则BE＝6﹣x，
在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6﹣x）2＝x2，
解得：x=15 4，
∴AE=15 4；
故选：D．
16．【解答】解：如图1，
∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，故②正确；
∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，
∴∠MQC＝∠D＝90°，
∵CP＝CP，
若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），
∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；
点P与点A重合时，如图2所示：
设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，AC=√AB2+BC2=√42+82=4√5，
∴CQ=1
2AC＝2√5，
∴QN=√CN2?CQ2=√5，
∴MN＝2QN＝2√5．
故③正确；
当MN过点D时，如图3所示：
此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=1
4S菱形CMPN=
1
4
×4×4＝4，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=1
4
×5×4＝
5，
∴4≤S≤5，故④错误．故选：B．
17．【解答】解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，
当点Q与D重合时，如图所示：
由折叠的性质得：A'D＝AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，∠C＝90°，
∴A'D＝AD＝5，
由勾股定理得：A′C=2?CD2=√52?32=4，
此时BA′取最小值为1．
则点A′在BC边上移动的最大距离为3﹣1＝2．
故选：B．
18．【解答】解：连接BE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB＝∠EFB′＝60°，∠B＝∠A′B′F＝90°，∠A＝∠A′＝90°，AE＝A′E，
AB＝A′B′，
∴∠EB′F＝180°﹣∠DEF﹣∠EFB′＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
Rt△A′EB′中，∠A′B′E＝∠A′B′F﹣∠EB′F＝90°﹣60°＝30°，∴B′E＝2A′E，
∵AE＝B'D＝A′E，
∴AD＝4A′E，AB＝A′B′=√B′E2?A′E2=√(2A′E)2?A′E2=√3A′E，∵矩形ABCD的面积为9√3，
∴AD?AB＝4A′E×√3A′E＝9√3，
解得：A′E=3 2，
∴AE=3
2，AB=
3√3
2，
BE=√AE2+AB2=(3
2
)2+(332)2=3，
故选：B．
19．【解答】解：根据折叠的意义得：∠ADE＝∠EDF，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∵∠CDF＝56°，
∴∠ADF＝90°﹣50°＝34°，
∴∠ADE＝17°，
∴∠AED＝73°，
故选：A．
20．【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，AD＝BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
重庆中考数学24题(专题练习答案详解)
2013年重庆中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长； （2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积； （2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF． 7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED； （2）若AB=BC，求∠CAF的度数． 8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F． （1）求证：∠DAE=∠DCE； （2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF 的中点． （1）求证：DP平分∠ADC； （2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．
重庆中考数学材料阅读24题练习题
2017年重庆中考材料阅读练习题 1、2017届南开（融侨）中学九上入学 24．能被3整除的整数具有一些特殊的性质： （1）定义一种能够被3整除的三位数abc 的“F ”运算：把abc 的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，例如abc =213时，则：213 F u r 36(333213++=36) F u r 243(3336243+=)。数字111经过 三次“F ”运算得_________，经过四次“F ”运算得___________，经过五次“F ”运算得__________，经过2016次“F ”运算得___________。 （2）对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a ，百位上的数字是b ，十位上的数字是c ，个位上的数字是d ，如果a+b+c+d 可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除。你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数abcd 为例即可）。 2、2017届南开（融侨）中学九上阶段一 23．有这样一对数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为反序数。比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504。根据以上阅读材料，回答下列问题： （1）已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，求证：原三位数与其反序数之差的绝对值等于198； （2）若一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，求满足上述条件的所有两位数。
3、2017届南开（融侨）中学九上期末 25．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有2个实数根，且其中一个实数根是另一个实数根的3倍，则称该方程为“立根方程”． （1）方程2430x x -+=_____立根方程，方程2230x x --=______立根方程；(请填“是”或“不是”) （2）请证明：当点(,)m n 在反比例函数3y x =上时，一元二次方程240mx x n ++=是立根方程； （3）若方程20ax bx c ++=是立根方程，且两点2(1,)P p p q ++、2(5,)Q p q q -++均在二次函数2y ax bx c =++上，请求方程20ax bx c ++=的两个根。 4、2017届一中九上月考三 24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得 a n b =，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得7 a n =，即7a n =． （1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被 7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字2135分解为5和213，21352203-?=， 因为203能被7整除，所以2135能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律． （2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．
中考数学压轴题100题精选(精选)
我选的中考数学压轴题 100题精选 【001】如图，已知抛物线2(1)33y a x =-+（a ≠0）经过点(2)A -，0， 抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． x y M C D P Q O A B
【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着PQ 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QBBCCP 于点E ．点PQ 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点PQ 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．． 写出t 的值． A C B P Q E D 图16
重庆中考数学24题专题
重庆中考几何 一、有关几何的基本量：线段、角度、全等、面积、四边形性质 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． （1）证明：∵HE=HG， ∴∠HEG=∠HGE， ∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG， ∴∠BEH=∠FGC， ∵G是HC的中点， ∴HG=GC， ∴HE=GC， ∵∠HBE=∠CFG=90°． ∴△EBH≌△GFC； （2）解：过点H作HI⊥EG于I， ∵G为CH的中点， ∴HG=GC， ∵EF⊥DC， HI⊥EF， ∴∠HIG=∠GFC=90°， ∠FGC=∠HGI， ∴△GIH≌△GFC， ∵△EBH≌△EIH（AAS）， ∴FC=HI=BH=1， ∴AD=4-1=3． 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD 和等边△ACE． （1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD； （2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点． 证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°， ∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE， 在△DAC和△BAE中， AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ， ∴△DAC≌△BAE（SAS）， ∴DC=BE； （2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，
重庆备战中考数学压轴题专题锐角三角函数的经典综合题
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？ （2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2 31568 8 t t =-+ + ，(05)t <<；（3）5 2t =时， PEGO S 四边形取得最大值；（4）16 5 t = 时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 （1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题． （2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可． （4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ OC OG =，由此构建方程即可解决问题． 【详解】 （1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，
重庆中考数学24题 (专题练习答案详解)
重庆中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD． 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BCE的面积； （2）求证：BD=EF+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E
（1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA 的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6． （1）求线段CD的长； （2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°． （1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积； （2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF． 7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．
2017年重庆中考数学24题特殊数字类——阅读理解专题
重庆中考数学——阅读理解专题 1．设a ，b 是整数，且0≠b ，如果存在整数c ，使得bc a =，则称b 整除a ，记作|b a . 例如：Θ818?=，∴1|8；Θ155?-=-，∴5|5--；Θ5210?=，∴2|10. （1）若|6n ，且n 为正整数，则n 的值为 ； （2）若7|21k +，且k 为整数，满足??? ??≤≥-53134k k ，求k 的值. 2.若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得n b a =，即bn a =。例如若整数a 能被整数3整除，则一定存在整数n ，使得 n a =3 ，即n a 3=。 （1）若一个多位自然数的末三位数字所表示的数与末三位数以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被13整除，那么原多位自然数一定能被13整除。例如：将数字306371分解为306和371，因为371-306=65，65是13的倍数，,所以306371能被13整除。请你证明任意一个四位数都满足上述规律。 （2）如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”，例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”，再如：656,9898,37373，171717，……，都是“摆动数”，请你证明任意一个6位摆动数都能被13整除。
3．把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如： 1011031132332222222=+→=+→=+→， 1011003113079979449077022222222222=+→=++→=+→=+→=+→， 所以32和70都是“快乐数”． （1）写出最小的两位“快乐数”；判断19是不是“快乐数”；请证明任意一个“快乐数”经过若干次运算后都不可能得到4； （2）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ． ． 5．若一个整数能表示成22b a +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22125+=.再如，2222)(22y y x y xy x M ++=++=（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”； （2）已知k y x y x S +-++=124422（x ，y 是整数，k 是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由. （3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”.
最新重庆中考数学第18题专题训练(含答案)
重庆中考18题专题训练 1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克 【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060 x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+， 去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+ 移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=- 合并得：()()1002400b a x b a -=- 所以：24x = 2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 。 解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ， = ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=6 3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（ ）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤 考点：一元一次方程的应用． 分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解． 解：设含铜量甲为a ，乙为b ，切下重量为x ．由题意，有 =， 解得x=24．切下的合金重24公斤．故选D ． 4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 吨． 解：设货物总吨数为x 吨．甲每次运a 吨，乙每次运3a 吨，丙每次运b 吨． ， =， 解得x=240．故答案为：240．
重庆中考数学压轴题训练
一．压轴题专题训练 1.问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P，且PA=2，PB= 3，PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长． 李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′B P是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所 以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7 ．问题得到解 决． 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P，且PA= 5 ，BP= 2 ，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长． 图3 图1 图2
2.阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角△A BC 中，∠ A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c．过 A 作AD ⊥BC 于D（如图），则s inB= A D ，sinc= AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ， c b 于是csinB=bsinC ，即 b sin B c sin C c a a b ．同理有， sin C sin A sin A sin B ． a b c ∴??????（*） sin A sin B sin C 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． （1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A ，运用上述结论（* ）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 用关系式求出第一步，由条件∠B； 用关系式求出第二步，由条件∠C； 用关系式求出第三步，由条件c． o （2）一货轮在 C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30 的方向上，随后货轮以28.4 o 海里/时的速度按北偏东45 的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A 在货轮的 北偏西o 70 的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔A 的距离AB （结果精确到0.1．参考数据：sin 40o =0.643，sin 65o =0.906，sin70o =0.904，sin 75o =0.966）． 3. 对于三个数a、b、c，M｜a，b，c｜表示这三个数的平均数，min { a，b，c}表示a、b、c 这三个数中最小的数，如：M{ －1，2，3} 1 2 3 34 3 ，min {－1，2，3} ＝－1； M{ －1，2，a} ＝1 2 a a 3 3 1 ，m{ －1，2，a} ＝ a(a 1(a 1), 1), 解决下列问题： (1)填空：min { sin30°，cos45°，tan30°} ＝________；若min { 2，2x＋2，4－2x} ＝2， 则x 的取值范围是________； (2)①若M{ 2，x＋1，2x} ＝min { 2，x＋1，2x} ，那么x＝________； ②根据①，你发现结论“若M {a，b，c} ＝min{ a，b，c}，那么________” (填a，b，c 大小关系)； ③运用②，填空：若M{ 2x＋y＋2，x＋2y，2x－y} ＝min { 2x＋y＋2， x＋2y，2x－y} ，则x＋y＝________； 2，y＝2－x 的图 (3)在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1) 象(不需列表，描点)，通过图象，得出min { x＋1，(x－1)2，2－x} 最大值为________．
重庆中考数学第24题专题训练
2015年重庆中考数学第24题专题讲义 1、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。 （1）若DE＝10，求线段AB的长；（2）求证：DE－HG＝EG。 24.(1)AB=45 (2) 证明在正方形ABCD中 易证RT△CDF?RT△DAE ∴∠DGE=∠DAE=RT∠ ∴∠EGC=∠EBC=RT∠ ∴∠EGC+∠EBC=180° ∴B、C、G、E四点共圆 ∠AED=∠BCG 连EC，∴∠BGC=∠BEC 因为BE=EA BC=AD ∴RT△BCE?RT△ADE ∴∠AED=∠BEC ∴∠BGC=∠AED ∴∠BGC=∠BCG ∴BG=BC 又因为BH平分∠GBC ∴BH是GC的中垂线 ∴GH=HC=GC/2=4√(5)/5/2=2√(5)/5 ∴GH=DG ∴△DGH是等腰直角三角形 即：DE－HG＝EG。 2．如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC. (1)若AB=13，CF=12，求DE的长度； (2)求证： 1 3 DCM DMF ∠=∠. G H F E D C B A M F E D C B A 第24题
4 321 M F E D C B A B 第24题图 24.解:(1)∵平行四边形,13ABCD AB = ∴13==AB CD ，又 ∵,12CF DE CF ⊥= ∴5DF ==又∵F 为DE 中点 ∴210DE DF == ……4′ (2)连接CE , ∵,CF DE F DE ⊥为中点 ∴,CD CE =∴12∠=∠ 在CDM CEB ??和中 ∵ CD CE CM CB DM BE =?? =??=? ∴CDM CEB ??? ∴34∠=∠ 又∵41222∠=∠+∠=∠ ∴322∠=∠ ∴3232DMF ∠=∠+∠=∠ ∴123DMF ∠= ∠ 即1 3 DCM DMF ∠=∠ ……10′ 3．如图，E 为正方形ABCD 的CD 边上一点，连接BE ，过点A 作AF ∥BE ，交CD 的延长线于点F ， ABE ∠ 的平分线分别交AF 、AD 于点G 、H ． （1）若?=∠30CBE ，3= AG ，求DH 的长度； （2）证明：DF AH BE +=． 24: ∵ABCD 是正方形 ∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠CDA =90° ∵∠CBE =30°且BG 平分∠ABE , ∴∠ABG =∠GBE =30° 1分 ∴∠AGB =∠GBE ∴∠ABG =∠AGB ∴AB =AG =3 2分 又∵在Rt △ABE 中，∠ABG =30° ∴AH = 3 3 AB =1 3分 又∵ABCD 是正方形 ∴AD =AB ∴DH =3—1 4分 （2）证明：将△ABH 绕着点B 顺时针旋转90° （辅助线加说明） 5分 ∵ABCD 是正方形
重庆中考数学专题复习
重庆中考数学专题复习 一、不等式与分式方程： 1.（重庆巴蜀中学初2016届三下三诊）若a为整数，关于a的不等式组a有且只有3个非正整数解，且关于x的分式方 a有负整数解，则整数a的个数为（）个. 程 A．4 B．3 C．2 D 1 2.（重庆初2016届六校发展共同体适应性考试）如果关于a的不等式组a的解集为a，且关于a的分式方程a有非负 a的个数是（） 整数解，所有符合条件的 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.（重庆八中初2016届九下强化训练三）已知关于a的分式方程a有增根，且关于a的不等式组a只有4个整数解，那a的取值范围是（） 么 A. a B. a C. a D. a 5. （重庆八中初2016届九下强化训练二）已知a为实数，关于a、a的方程组组a的解的积小于零，且关于x的分式方 a有非负解，则下列a的值全都符合条件的是（） 程 A．-2、-1、1 B．-1、1、2 C．-1、a、1 D．-1、0、2 6. （重庆市初2016级毕业暨高中招生适应性考试）如果关于a的不等式组的解集为，且关于a的分式方程有非负整 a的值是（） 数解，则符合条件的 A．， B．， C．，， D．，，， 7.（重庆实验外国语学校2015-2016学年度下期第一次诊断性考试）关于a的方程a的解为正数，且关于a的不等式组a有解，则符合题意的整数a有（）个A．4 B．5 C．6 D．7 a有正整数解，关于x的不等式组 8. (重庆巴蜀中学初2016级初三下保送生考试)若关于x的分式方程 有解，则a的 a 值可以是（） A、0 B、1 C、2 D、3 12.（2016重庆中考B卷）如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x<-2，那么符合条件的 所有整数a的积是（）A.-3 B.0 C.3 D.9 15.（2016?重庆一中三模）使得关于a的不等式组a有解，且使分式方程a有非负整数解的所有的a的和是（）A.-1 B. 2 C. -7 D. 0
重庆市2019中考数学压轴题及解析答案(华师版)
如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 1. （2018?绍兴）小敏思考解决如下问题： 原题：如图1，点P ，Q 分别在菱形ABCD 的边BC ，CD 上，∠PAQ=∠B ，求证：AP=AQ ． （1）小敏进行探索，若将点P ，Q 的位置特殊化；把∠PAQ 绕点A 旋转得到∠EAF ，使AE ⊥BC ，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，如图2．此时她证明了AE=AF ，请你证明． （2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ．请你继续完成原题的证明． （3）如果在原题中添加条件：AB=4，∠B=60°，如图1，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）． 【考点】． 【专题】几何综合题． 【分析】（1）根据菱形的性质、结合已知得到AF ⊥CD ，证明△AEB ≌△AFD ，根据全等三角形的性质证明； （2）由（1）的结论得到∠EAP=∠FAQ ，证明△AEP ≌△AFQ ，根据全等三角形的性质证明； （3）根据菱形的面积公式、结合（2）的结论解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠B+∠C=180°，∠B=∠D ，AB=AD ， ∵∠EAF=∠B ， ∴∠EAF+∠C=180°， ∴∠AEC+∠AFC=180°， ∵AE ⊥BC ， ∴AF ⊥CD ， 在△AEB 和△AFD 中， , ∴△AEB ≌△AFD ， ∴AE=AF ； （2）证明：由（1）得，∠PAQ=∠EAF=∠B ，AE=AF ， ∴∠EAP=∠FAQ ， 在△AEP 和△AFQ 中， ＝ ＝ , ∴△AEP ≌△AFQ ， ∴AP=AQ ； （3）解：已知：AB=4，∠B=60°， 求四边形APCQ 的面积， 解：连接AC 、BD 交于O ， ∵∠ABC=60°，BA=BC ， ∴△ABC 为等边三角形， ∵AE ⊥BC ， ∴BE=EC ， 同理，CF=FD ，
武汉中考数学24题专题
武汉中考数学24题专题 （一）正方形 1、已知P是正方形ABCD边BC上一点，PE⊥AP，且PE=AP，连接AE、CE，AE 交CD于点F。 （1）如图1求∠ECF的度数； （2）如图2，连接AC ，求证：AC=CE+2PC； （3 ）若正方形的边长为4，CF=3，请直接写出BP的长为。 2、P是边长为4的正方形ABCD的边BC上任一点，过B作BG⊥AP于G，过C作CE⊥AP于E， 连BE。 （1）如图1，若P是BC的中点，求CE的长； （2）如图2，当P在BC边上运动时（不与B、C重合），求 BE CE AG- 的值 （3）当PB= 时，△BCE是等腰三角形。 3．已知,如图Rt ABC ?中，∠BAC=90°，AB=AC. AC边上有点D，连接BD, 以BD为腰作等 腰直角△BDE, DE交BC于F. （1）求证：△ABD ∽△CBE. （2）连接CE,求证：BC－CE =2CD. （3）若AB=2,D为AC的中点，请直接写出线段DF的长度为。 4.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG AP ⊥于点G，在AP的延长线上取点E， 使AG GE =，连接BE，CE. （1）求证：BE BC =； （2）CBE ∠的平分线交AE于N点，连接DN，求证：2 BN DN AN +=； （3）若正方形的边长为2，当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为 . F E D C B
5．如图：M 、N 分别为边长为1的正方形ABCD 边CB 、DC 延长线上的点，且DN – BM = MN ． （1）求证：∠MAN = 45°； （2）若DP ⊥AN 交AM 于P ，求证：2PA PC PD +=； （3）若C 为DN 的中点，直接写出PC 的长为 ． （二）其他截长补短 1.如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°． （1）求证：AD ＝BD ； （2）E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA ，求证：AD +CD ＝DE ； （3）当BD ＝2时，AC 的长为______．（直接填出结果，不要求写过程） 2．如图，P 为等边△ABC 外形一点，AH 垂直平分PC 于点H ，∠BAP 的平分线交PC 于点 D ． （1）求证：DP = DB ； （2）求证：DA + DB = DC ； （3）若等边三角形的边长为2，连接BH ，当△BDH 为等边三角形时，请直接写出CP 的长 度为 ． 3．如图1，P 为正方形ABCD 边CD 上一点，E 在CB 的延长线上，BE = DP ，∠CEP 的平分线交正方形的对角线AC 于点F ． （1）求证：AE = AF ； （2）如图2，AM ⊥PE 于点M ，FN ⊥PE 于点N ，求证：AM + FN = AD ； （3）若正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，在（2）的条件下请直接写出线段FN 的 长为 ． D E A B C A B C D N M B D C N M P A
重庆2020中考专题训练之材料阅读题(pdf版,无答案)
2019年材料阅读题专题 一．方程类 1．阅读下面的内容 用换元法求解方程组的解 题目：已知方程组①的解是， 求方程组②的解． 解：方程组②可以变形为：方程组③ 设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④ 比较方程组④与方程组①可得，即 所以方程组②的解为 参考上述方法，解决下列问题： （1）若方程组的解是，则方程组的解为； （2）若方程组①的解是，求方程组②的解．
2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k ﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．
3．阅读材料： 材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得 m+n＝1，mn＝﹣1 ∴＝ 根据上述材料解决下面问题； （1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．
专题复习：重庆中考数学第16题专题训练
2012中考16题专题训练 1．（2010）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克 2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是。 3.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（）A．12公斤B．15公斤C．18公斤D．24公斤 4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共吨． 5.（2011）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵． 6.（1）一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了．
中考数学压轴题汇编之欧阳数创编
压 时间：2021.03.02 创作：欧阳数 轴 题 选 讲 中考倒数第三题 1. 如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作 CD⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线； (2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. 2、在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC的外心，连接AO 并延长交BC于D，交△ABC的外接圆于E，过点B作 ⊙O的切线交AO的延长线于Q，设OQ=，BQ=3． （1）求⊙O的半径； （2）若DE=，求四边形ACEB的周长． 3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E． （1）求证：直线BD与⊙O相切； （2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径． 4、己知：如图．△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC干点F，交⊙O于点D，DF⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD． （1）求证：∠DAC=∠DBA （2）求证：P处线段AF的中点
（3）若⊙O 的半径为5，AF=，求tan∠ABF 的值． 5、已知：如图，锐角△ABC 内接于⊙O，∠ABC＝45°；点 D 是⌒B C 上一点，过点D 的切线D E 交AC 的延长线于点 E ，且DE∥BC；连结AD 、BD 、BE ，AD 的垂线A F 与DC 的延长线交于点F ． （1）求证：△ABD∽△ADE； （2）记△DAF、△BAE 的面积分别为S△DAF、S△BAE， 求证：S△DAF＞S△BAE． 6、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点 F ． (1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)当∠B AC ＝60o时，DE 与DF 有何数量关系？请说明 理由； (3)当AB ＝5，BC ＝6时，求tan∠BAC 的值． 7、如图，已知CD 是⊙O 的直径，AC⊥CD，垂足为C ，弦 DE∥OA，直线AE 、CD 相交于点B ． (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线． (2)当AC ＝1，BE ＝2，求tan∠OAC 的值． 9、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为 C ．延长AB 交C D 于点 E ．连接AC ，作∠DAC=∠ACD，作 AF⊥ED 于点F ，交⊙O 于点G ． （1） 求证：AD 是⊙O 的切线； （2） 如果⊙O 的半径是6cm ，EC=8cm ，求GF A E B D O C A B D C E O F A O B G
中考数学24题专项训练(含答案)-(1)解读
中考数学24题专题练习 1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE （1）求证：BE=CE； （2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：B G=D G+CD． 在B G上取BH=AB=CD，连EH， 显然△ABE与△CDE全等，则∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC 又∠BEC=90°=∠BFC，对顶角∠BGE=∠CGF， 故∠FBE=∠DCE， 所以∠ABE=∠FBE 在BF上取BH=AB，连接EH， 由BH=AB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，故△ABE与△HBE全等 故∠AEB=∠HEB，AE=EH 而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°，∠AEB=∠DEC，∠BEC=90° 所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB 故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED 同理，∠DEG=45°=∠HEG EH=AE=ED，EG=EG 故△HEG与△FEG全等，所以HG=DG 即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD 2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD 延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF． （1）当CE=1时，求△BC E的面积； （2）求证：B D=E F+CE． 4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过 点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF． （1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD 交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．
2019年重庆中考数学材料阅读题专题
2019年重庆中考数学材料阅读题专题 一．方程类 1．阅读下面的内容 用换元法求解方程组的解 题目：已知方程组①的解是， 求方程组②的解． 解：方程组②可以变形为：方程组③ 设2x＝m，3y＝n，则方程组③可化为④ 比较方程组④与方程组①可得，即 所以方程组②的解为 参考上述方法，解决下列问题： （1）若方程组的解是，则方程组的解为； （2）若方程组①的解是，求方程组②的解．
2．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程x2﹣6x﹣k ﹣1＝0与x2﹣kx﹣7＝0有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下：解：设相同根为m，根据题意，得 ①﹣②，得（k﹣6）m＝k﹣6 ③ 显然，当k＝6时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根﹣1和7；当k≠6时，由③得m＝1，代入②式，得k＝﹣6，此时两个方程有一相同根x＝1． ∴当k＝﹣6时，有一相同根x＝1；当k＝6时，有两个相同根是﹣1和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程x2+kx﹣1＝0与x2+x+k﹣2＝0有相同的实根．
3．阅读材料： 材料1、若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2、已知实数m、n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．解：由题知m、n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得 m+n＝1，mn＝﹣1 ∴＝ 根据上述材料解决下面问题； （1）一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2＝，x1x2＝．（2）已知实数m、n满足2m2﹣2m﹣1＝0，2n2﹣2n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）已知实数p、q满足p2＝3p+2，2q2＝3q+1，且p≠2q，求p2+4q2的值．