电路分析基础 第8章

11
例1
图中，已知 u t 50cos t 25cos 3t 60 V，电路对基波的阻

1 抗 Z1 R j L 8 j 2 8 。求稳态电流 i t 。 C


i t
I1 t
I 3 t
第 8章
非正弦周期电流电路
1
本章导学
2
8.1
非正弦周期电流及电压
定义：随时间按非正弦规律周期变化的电流或电压。
分类：
1）偶函数： f(t)=f(-t) 2）奇函数： f(t)= -f(-t)
T ) 2 T 4）偶谐函数：f ( t ) f ( t ) 2
3）奇谐函数：f ( t ) f ( t
cos(n1t n )
——正弦量，与n有关（谐波分量）
（3）谐波分类：
A1 cos(1t 1 )
A2 cos(21t 2 )
基波分量 二次谐波
1
21
1
Ak cos(k1t k )
k
k次谐波

高 奇次谐波 次 谐 波 偶次谐波
5
（4）函数对称性与谐波的成份
2）基波分量作用： 1（正弦稳态分析）求有y1; 3）二次谐波分量作用： 2（正弦稳态分析）求有y2;
1
... ... ... ... （3）时域叠加：y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……

I I 0 I1 I 2 I n



P U 0 I 0 U1I1 cos u1 i1 U 2 I 2 cos u 2 i 2 U 0 I 0 U n I n cos(un in )
n 1
15
例1 图示电路，电压 u (t ) [10 10 2 cos t 5 2 cos 3t 30 ]V ，已 知 L 10 ，求电流 i (t ) 及其有效值，并求电路吸收的平均功率P的值。 10 I3 10 I 1 10 I 0 10 i(t )

对第三次谐波：
U3

R
u t L

U 1
R
j L
1 jC
3
U 2
R
j3L
25 60 V 2
C
解： 对基波：
U1

1 j 3C
8 Z3 8 j 3 2 8.6722.62 3 U3 2560 2.89 I3 37.4 A Z3 2 8.6722.62 2
an An cosn b A sin
n n

2 T an 2T f (t ) cos n1tdt T 2
2 T bn 2T f (t )sin n1tdt T 2
2 T a0 2T f (t )dt T 2

a0 A0 f (t ) [an cos n1t bn sin n1t ] An cos(n1t n ) 2 n1 2 n1
偶函数:无奇函数分量
bn 0
4 an T
T /2
f (t ) cos n tdt
1 0
奇函数:无偶函数分量 奇谐函数：无偶次谐波 偶谐函数：无奇次谐波
U

T
0
u 2 (t )dt
（1）按定义计算； （2）按傅立叶系数计算：
i(t ) I 0 I mn cos(n1t in )
n 1


I
I0
2
1 2 I mn 2 n 1
I0 In
2 n 1


2
u (t ) U 0 U mn cos(n1t un )
38.2ຫໍສະໝຸດ 非正弦周期函数傅立叶级数展开式
非正弦周期函数f(t)，周期为T，若满足狄里赫利条件 ，可展开成傅立叶级数 ：
a0 f (t ) [an cos n1t bn sin n1t ] 2 n1
A0 An cos(n1t n ) 2 n1 2 基波角频率 其中： 1 T (n 1, 2,3,)
I nm 2 I n
8
例1
已知电 i(t ) 5 14.14cos t 7.07 cos 2t A 。求其有效值I。
解： I
14.14 2 7.07 2 2 I 02 I12 I 2 52 ( ) ( ) 12.25 A 2 2
u t
例2 求图示锯齿波电压的有效值。
I10 U 0 20 10 A,I 20 0 R1 2 20 U 一次谐波作用 1 2 0 V
4.24 61.8 A 2 1.18 I 21 118.1 =0.832 118.1 A 2 I11

2 2 10 2 11 2
R1
M



50 0 V 2

Z1 8 j 6 10 36.87

i3 t 2.89cos 3t 37.4 A
i1 t 5cos t 36.87 A
50 0 U 5 2 I1 1 36.87 A Z1 10 36.87 2


u(t )
L

10V
L

U1

jL

U3

j3L


解： （1）当10V直流电压单独作用时
10 I0 1A 10

（3）当三次谐波作用时
U3 I3 0.05 10 41.6 A 10 j 3L

U 3 530 V , j3L j30
（2）当一次谐波作用时
I 2 260 1 j 3 A


3 i t i1 t i2 t 2
2 cos t 2 2 cos 3t 60 A
I I1 I 2 2 j 0 +1 j 3 2 330 A
I 22 22 2 2 A
2
L1
1
1H
14
8.5
非正弦周期电流电路的平均功率
i t u t

线性 网络
u t U 0 U1m cos t u1 U 2 m cos 2t u 2 U nm cos nt un
i t I 0 I1m cos t i1 I 2 m cos 2t i 2 I nm cos nt in
10
8.4
一般步骤：
非正弦周期电流电路稳态分析
（1） 将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数：
f (t ) A0 Anm cos(n1t n )
n 1

将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的正弦激励分量； （2） 求各激励分量单独作用时的响应分量：
1）直流分量作用：直流分析（C开路，L短路）求Y0;
U 1 100 V , jL j10
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例3
图示已知 u t U1m cos 103 t 1 U 3m cos 3 103 t 3 V
。今欲使
u2 t U1m cos 103 t 1 V ，求 L1 和 C1 值。
解： 应使 L1 , C1 ，对 10 rad / s 发生串联谐振
n 1
1 2 U U 0 U mn 2 n 1
2
U 0 U n
2 n 1
2
7
说明：
I nm 1）对于f(t)各次谐波有： I n 2
2）对于f(t)仅有有效值； 3）对于非正弦电量i(t)和u(t)：
I0,U0——直流分量，可用磁电式指针仪表测量；
I , U —— 有效值，可用电磁或电动式指针仪表测量； Iav , Uav——平均值，可用全波整流磁电式指针仪表测量。 或
A0 a0
2 2 An an bn
n
n arctan
bn b arctan n an an
4
讨论：
A0 f (t ) An cos(n1t n ) 2 n 1
(n 1, 2,3, )
（1） a0 A0 ——常量，与频率无关（直流分量、零频分量） （2）An
1 i2 t 1 A 直流
解：
2 i2 2
2 cos t 60 A

(3)i2 2 2 cos 3t 60 A
i1 (t ) i2 (t )
i(t )
1 i t i1 t i2 t 1 2
2 cos t A
u t 20 20cos t V ，求两个电流表的读数和 i1 t ， i2 t 。 M M I10 R1 I 20 i1 t i2 t R1
A1

A2
L2


u t
L1
R2

C
Uo 20V
I11

L1
L2
R2
C
解： 直流分量作用
i t i1 t i3 t
5cos t 36.87 2.89cos 3t 37.4 A
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例2
图示，已知 R 2 ， ， L L 4 ， ， 1 6 。 M 1 R 3 1 2 1 2 C