河南省郑州市2020届高三数学(理)第二次质量预测试题
河南省郑州市2020届高三数学第二次质量预测试题 理 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写 在本试卷上无效． 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本 大题共 12 小题 ，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 A = {x｜a +l≤x≤3a 5} , B = {x|3是 A.(-,9] B.(-,9) C.[2,9] D.(2,9)
2.已知复数z=2+ii3(其中i是虚数单位，满足i2=-1)，则 z 的共轭复数是 A. 1-2i B. 1 +2i C. -1-2i D. -1+2i
3.郑州市2019年各月的平均气温(C)数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是 A. 20 B. 21 C. 20. 5 D. 23
4. 圆(x + 2)2 + (y-12)2 = 4 关于直线 x - y +8=0对称的圆的方程为 A. (x+3)2 + (y+2)2 =4 B. (x+4)2+(y-6)2=4 C.(x-4)2+(y-6)2=4 D. (x+6)2+(y+4)2=4 5. 在边长为 30 米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为 A. 30 米 B. 20 米 C. 152米 D. 15 米
6. 若(2,), 2cos2= sin(4-)，则 sin2 的值为 A.78 B. 78 C. 18 D. 18 7. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是4 , 则输入的 x 的取值范围是 A. (2, 十) B. (2, 4] C. (4, 10] D. (4,+ ) 8. 为了研究国民收人在国民之间的分配，避免贫富过 分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线， 如图所示．劳伦茨曲线为直线 OL 时，表示收人完全平等· 劳伦茨曲线为折线 OKL 时，表示收入完全不平等．记区域 A 为不平等区域，a 表示其面积,s 为△OK L 的面积．将
Gini= aS
，称为基尼系数 对于下列说法：
①Gini 越小，则国民分配越公平； ②设劳伦茨曲线对应的函数为y=f(x),则对x(0,1),
均有f(x)x>1;
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x2(x[0,1]) , 则Gini =14; ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y=x3(x[0,1]),则Gini =12 . 其中不正确的是： A. ①④ B. ②③ C. ①③④ D. ①② ④ 9. 2019 年 10 月 1 日是中华人民共和国成立70周年国庆日，将2, 0 , 1 , 9 , 10 按照任意次序排成一行，拼成一个6 位数，则产生的不同的 6 位数的个数为 A. 96 B. 84 C. 120 D. 360 10. 已知等差数列{an} 的 公 差 d0 , 且 a1 , a3, a 13成等比数列，若 a 1 = 1, Sn 为数列{an }的前n项
和，则2Sn+6an+3的最小值为
A. 4 B. 3 C. 23 - 2 D.2 11. 《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马". 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角 形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A.6 B. 2 C.6 D.24
12.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F作直线y=-bax和垂线，垂足为M,且交双曲线的左支于N点，若2FNFMuuuruuuur ，则该双曲线的离心率为 A.3 B.2 C.5 D.7
二、填空题：本大题共4小题，每小题5 分，共20 分． 13. 二项式(x+2x)6的展开式中的常数项为 ．
14. 已知函数f(x)＝2x， g ( x ) =x•cosx-sinx, 当x [ 4，4]且xO 时，方程f ( x ) = g
( x) 根的个数是 . 15. 已知四边形 ABCD 中，AD //BC, BAD= 90°. AD=l ,BC=2 ,M是AB 边上的动点，则｜｜｜
MCMDuuuuruuuur
｜ 的最小值为 ． 16.设函数32,ln,xxxeyxxem 的图象上存在两点 P，Q, 使得△POQ 是以 O 为直角顶 点的直角三角形（其中 0 为坐标原点），且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 m 的取值 范围是 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考 题，每个试题考生 都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17. (12 分） 巳知数列{an}为公差不为零的等差数列，S7=77,且满足a112=a1•a61. (I) 求数列{ an} 的通项公式 ；
( II ) 若 数 列 { bn.}满足111 (*)nnnanNbb , 且113b ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
18. (1 2 分） 由团中央学校部、全国学联秘书处、中国青年报社共同举办的 2018 年度全国“最美中学生“寻访活动结果出炉啦， 此项活动于 2018 年 6 月启 动，面向 全 国中学在校学生，通过投票方式寻访一批在热爱祖国、勤奋学习、热心助人、见义勇为等方面表现突出、自觉树立和践行社会主义核心价值观的“最美中学生”。现随 机抽取了 30 名学生的票数，绘成如图所示的茎叶图，若规定票数在 65 票以上（包括 65 票）定义为风华组．票数在 65 票以下（不包括 65 票）的学生定义为青春组． (I) 在这 30 名 学 生 中 ，青春组学生中有男生 7 人，风华组学生中有女生 12 人，试问 有没有 90%的把握认为票数分在青春组或风华组与性别有关； ( II ) 如果用分层抽样的方法从青春组和风华组中抽取 5 人，再从 这 5 人中随机抽取 2 人 ，那么至 少有 1 人 在青春组的概率是多少？ （III）用样本估计总体，把频率作为概率，若从该地区所有的中学（人数很多）中随机选取
4 人，用表示所选 4 人中青春组的人数，试写出的 分 布列，并求出 的 数 学期 望．
19. (1 2 分） 如图，四边形 ABCD 是矩形，沿对角线 AC 将△ACD 折起，使得点 D 在平面ABC 内的射影恰好落在边AB 上． 4 ( I ) 求证：平面 ABD平面 BCD; （II )当ABAD= 2 时，求二 面角 D- AC- B 的余弦值 i:Q A二 C
20. (12 分） 在平面直角坐标系 xOy 内，动点 A 到定点F ( 3, 0) 的距离与 A 到定直线x = 4 距离之比为32．
( I ) 求动点 A 的轨迹C 的方程； ( II )设点 M , N 是轨迹 C 上两个动点直 线 OM, ON 与轨迹 C 的另一交点分别为 P , Q, 且直线
OM,ON 的斜率之积等于—14 ，问四边形 MNPQ 的面积 S 是否为定值？ 请说明理由．
21. (12 分） 已知函数ln1(),()(0)xxfxgxxax
( I ) 当a = l 时 ，求曲线 y = ()fxx在 x = l 处的切线方程；
(II )讨论函数 F (x ) =1()()fxgx在 ( 0, 十oo ) 上的单调性． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按 所做的第一题记分． 22. [ 选修 4- 4: 坐标系与参数方程] (10 分） 在极坐标系中，圆C 的 方程 为 = 2asin (a > 0). 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正
半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的 参数方 程为31,43xtyt ( t 为参数）． (I) 求 圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程， (II )若直线 l 与圆 C 交于A , B 两点，且|AB| ≥3 . 求实数 a 的取值范围．
23. [ 选修 4- 5: 不等式选讲] (10 分） 已知函数 f ( x) = lx + I l a |x 1 |. ( I )当 a = - 2 时，解不等式 f (x ) >5; ( II )若 f (x )≤a |x + 3|, 求 a 的 最小值． 郑州市2020年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学 评分参考 一、选择题 BCCCA ABBBD CC 二、填空题 13.160； 14.8； 15.3； 16.[1,).e 三、解答题
17.(1)设等差数列{}na的公差为d，则1211172177,(60)(10),adaadad……………………3分
解得15,23.2,naand ………………5分 (2)由1111111,(2,).nnnnnnaannbbbb
N
当2n时，1211122111111111111()()()LLnnnnnnn
aaa
bbbbbbbbb
=(1)(25)3(2).nnnn …………………………8分
对113b也适合， ………………………9分 1111(2)()().22nnnnnNbbnn
…………………10分
2111111131135(1)().2324222124(1)(2)nnnTnnnnnnL 12分 18. (I)作出22列联表：
青春组 风华组 合计 男生 7 6 13 女生 5 12 17 合计 12 18 30 ………………………3分
由列联表数据代入公式得22()1.83()()()()nadbcKabcdacbd，…………………5分 因为1.83<2.706， 故没有90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. ………………………… 6分
(Ⅱ) 用A表示“至少有1人在青春组”，则23257()110CpAC. …………… 8分
(III)由题知，抽取的30名学生中有12名学生是青春组学生，抽取1名学生是青春组学生的概率为122305，那么从所有的中学生中抽取1名学生是甲组学生的概率是25，又因为所取总体数量较多，抽取4名学生可以看出4次独立重复实验，于是服从二项分布2(4,)5B. ………………………10分 显然的取值为0，1，2，3, 4 . 且4422()()(1),0,1,2,3,455kkkPkCk. 所以得分布列为：
2020届全国新课标2高考数学(理科)预测试题(含解析)word可编辑
2020年新课标2高考数学(理科)预测卷一、选择题1.已知集合{}|2A x x =-＞，{}|1B x x =≥，则A B ⋃=（ ）A.{}|2x x >-B.{}|21x x -<≤C.{}|2x x ≤-D.{}|1x x ≥ 2.已知(1i)(2i)z =+-,则2z =( )A.2i +B.3i +C.5D.103.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用如图所示的条形统计图表示,根据条形统计图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )A.0.6hB.0.9hC.1.0hD.1.5h4.已知(0,π)α∈,2sin2cos21αα=-,则cos α=( ) 5 B.5 25 D.255.若,x y 满足约束条件32602400x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为( )A.43-B.207C.6D.86.若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( ) 35 5D.27.某工厂安排6人负责周一至周六的中午午休值班工作.每天1人.每人位班1天.若甲、乙两人需安排在相邻两天值班.且那不排在周三. 则不同的安排方式有( )A.192种B. 144种C. 96种D.72种8.一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，该几何体的表面积为( )A. 23223+4 D. 69.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，则下列结论一定正确的是( )A. ()()2f x f x +=B.函数()y f x =的图象关于点()2 ,0对称C.函数()1y f x =+是奇函数D. ()()21f x f x -=- 10.已知函数()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 ，把()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后 ，得到函数的图象，则函数()()y f x g x =+ ()y g x =的最大值为( ) 2331+62+ 11.在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中,已知点P 是正方形''AA D D 内部(不含边界)的一个动点,若直线AP 与平面''AA B B 所成角的正弦值和异面直线AP 与'DC 所成角的余弦值相等,则线段DP 长度的最小值是( )A.6B.22C.6D.4312.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()2()f x f x +=,且当[]0,1x ∈时，()f x x =,则函数3()log y f x x =-的零点个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 6二、填空题13.若向量(2,),(4,2)m x n ==-u r r ,且()m m n ⊥-u r u r r ,则实数x =__________. 14.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是___________.15.已知点(1,1)P -和抛物线21:4C y x =,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点.若0PA PB ⋅=u u u r u u u r ,则k =_______. 16.已知ABC △的内角,,A B C 对的边分别为,,,sin 22sin ,3a b c A B C b ==,则cos C 的最小值等于___________.三、解答题17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为*234(N ),2,,4n S n S S S ∈-成等差数列,且2341216a a a ++=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2(2)log n a n b n =-+,求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18.在三棱锥S ABC -中,底面是边长为23!未找到引用源。
河南省郑州市2024届高三下学期二模试题 物理含答案
2024学年郑州市高三（下）第二次模拟考试物理（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共5小题，每小题6分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
1.1676年丹麦天文学家罗默通过木星卫星的掩食第一次测定了光速。
如图甲，木卫1转到木星的背面时，会被木星遮住来自太阳的光线，形成掩食现象。
已知木卫1绕木星做匀速圆周运动的周期为T ，木星的半径为R ，木星的质量为m ，木星绕太阳公转周期为0T ，木卫1绕木星转动周期远小于木星公转周期。
如图乙，太阳光可视为平行光，太阳光与木星地面相切线与木卫1所在轨道的交点为P 、Q 点，α∠=POQ ，引力常量为G ，下列说法正确的是()A.木卫1绕木星运动的线速度为2πcos 2αRT B.木卫1一次“掩食”过程的时间约为02παT C.木卫1绕木星运动的向心加速度为22πsin 2α⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭R T D.由题给信息可以推算出太阳的质量2.如图所示，理想变压器的原、副线圈匝数比n 1：n 2=2：1，原线圈电路中接入正弦交流电压()100V u t π=，电流表为理想交流电表。
已知R 1=8Ω，R 2=R 3，开关S 闭合前、后电流表示数之比为3：4。
下列说法正确的是（）A.定值电阻R 2=1ΩB.开关断开时，副线圈磁通量变化率的最大值为1102Wb/sC.开关S 闭合时，原线圈的输入功率最大D.开关断开时，电路中消耗的总功率为1512.5W3.有一透明材料制成的空心球体，内径是R ，外径是2R ，球心为O ，其过球心的某截面（纸面内）如图所示，BO 为过球心的水平直线。
一束单色光（纸面内）从外球面上A 点沿水平方向射入，入射光线与BO 间的距离为d 。
河南省郑州市2023届高三三模理科数学试题
河南省郑州市2023届高三三模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题17．已知等差数列{}na 的公差不为零，其前n 项和为n S ，且2a 是1a 和5a 的等比中项，()*221N n n a a n =+Î．(1)求数列{}na 的通项公式；(2)若12n a n b +=，令n n n c a b =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．18．某校为了深入学习宣传贯彻党的二十大精神，引导广大师生深入学习党的二十大报告，认真领悟党的二十大提出的新思想、新论断，作出的新部署、新要求，把思想统一到党的二十大精神上来，把力量凝聚到落实党的二十大作出的各项重大部署上来．经研究，学校决定组织开展“学习二十大奋进新征程”的二十大知识竞答活动．本次党的二十大知识竞答活动，组织方设计了两套活动方案：方案一：参赛选手先选择一道多选题作答，之后都选择单选题作答；方案二：参赛选手全部选择单选题作答．其中每道单选题答对得2分，答错不得分；多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项不得分．为了提高广大师生的参与度，受时间和场地的限制，组织方要求参与竞答的师生最多答3道题．在答题过程中如果参赛选手得到4分或4分以上则立即停止答题，举办方给该参赛选手发放奖品．据统计参与竞答活动的师生有500人，统计如表所示：(1)证明：1BB AC ^；(2)若1BB BC ^，直线1AB 与平面BCC 1BB C --的大小为60°，求二面角20．已知椭圆(2210x y a b +=>>则1(1,0,0)B，1(1,0,0) -C，(1,3,0)B，(D-。
郑州市2020届高三第一次质量预测数学试题
2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科） 参考答案一、选择题1-12 BDACB CBCDB DA二、填空题13. 10;x y -+= 14.4; 15.;530 16.{}.66,2,0-- 三、解答题17.解析：(I)222(sinsin )()sin .R A B a c C -=- ∴2222(sinsin )()sin 2,R R A B a c C R ×-=-× 即：222.a c b ac +-= ……3分 ∴2221cos .22a cb B ac +-== 因为0,B p <<所以3B p Ð=……6分 (II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b c BC =, sin 3C =, 由b c >，故C Ð为锐角，cos 3C =……9分1sin sin()sin()323236A B C C p +=+=+=×+×=……12分 18. 解析：（I ）如图所示：连接OM ， 在ABC D中：2,AB BC AC ===，则90,ABC BO Ð=°AC .……2分 在MAC D 中：M A M C A C ===，O 为AC AC ^，且O M ……4分 在MOB D 中：BO OM MB ==222OM MB += 根据勾股定理逆定理得到OB OM ^ ,AC OM 相交于O ，故OB ^平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系 − 如图所示． 因为M A M B M C AC ====,2AB BC ==则(0,A B C M ……8分 由23BN BC =uuu r uuu r所以，(,,0)33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则(,0)(,,)0,3333(,,)0AN n x y z x y AM n x y z ì×=×=+=ïíï×=×==îuuu r r uuuu r r令y =，得(1)m =--u r ……10分因为BO ^平面AMC，所以OB =uuu r为平面AMC 的法向量，所以(1)m =--u r与OB =uuu r所成角的余弦为cos ,m OB <u ruuuu r所以二面角的正弦值为2|sin ,|79m OB <=u ruuuu r .……12分 19．（I ）由题意知1b =，2c a =.……1分 又因为222a b c =+解得，a =……3分 所以椭圆方程为2212y x +=. ……4分 （Ⅱ） 设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ì=-ïïíï+=ïî得()2291812160t ty y +--=，且>0D . 则12212212,918616,918y y y t y t t ì+=ïï+¼¼íï=-ï+î分又因为()111,CA x y =-uuu r ，()221,CB x y =-uuu r ， ()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y æöæö×=--+=--+=+-++ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r ()22216412161091839189t t t t t -=+-×+=++，……10分 所以C A C B ^uuu r uuu r .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分20. 解析：(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分 (II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4. 方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E x =´+´+´== 方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为46417149()15818181E x =´+´=. 比较可得42()()4E E x x <<，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为3h ，3h 可取2,5.3h2 5 p3p31p - 3333()25(1)53E p p p h =+-=-；方案四：设化验次数为4h ，4h 可取1,5 4h1 5 p4p 41p -4444()5(1)54E p p p h =+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p h h <Û-<-Û<.故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分 21解析：(I)()ln x e f x x x x=--，定义域(0,)+¥， 221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---¢=--=， 由1x e x x ³+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+¥减，max ()(1)1f x f e ==-……4分 (II)1()()e 1x f x x bx x++-³ e e ln e 1x x x x x x bx x xÛ-+-++-³ ln e 10x x x x bx Û-++--³e ln 1x x x x b x --+Û³min e ln 1(,x x x x b x--+Û³……6分 令e ln 1()x x x x x x j --+=，2ln ()x x e x x xj +¢= 令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+¥单调递增，0,()x h x ®®-¥，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=Û=-=……9分 由于x y xe =在(0,)+¥单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x = ()x j 在0(0,)x 减，在0(,)x +¥增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x j --++-+=== 所以2b £.……12分 22.解析：(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a a a =ìïí=ïî解得24a =，……2分 所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143r q q +=.……5分 (Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()(00,2A B p r q r q r r +>>，，，，， 则22221122222211(cos sin )1,4311(cos (sin ()1,4232r q r q p p r q r q ì+=ïïíï+++=ïî 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43q q r q q r ì=+ïïíï=+ïî……8分 2212111174312r r +=+=,即22117||||12OA OB +=……10分 23. 解：(I)由()f x m ³，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ³(－＋，……3分 即3(2)0x x +£，解得20x -££.所以不等式()f x m ³的解集为{|20}x x -££．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|， ……8分()0()f n g n m ³Û³-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=- 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ³， 所以2 1.m -<-£-故m 的取值范围为[1,2). ……10分 12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ì+£-ïïï=--<£íï-->ïïî。
2020年高考数学(理)之高频考点解密18 圆与方程(解析版)
解密18 圆与方程考点1 圆的方程题组一 直接求圆的方程调研1 一个圆经过以下三个点12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为A ．22211344x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．2251344x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D ．22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】设圆心坐标为()0,b ，半径为r ，则圆的方程为()222x y b r +-=，将12A ⎫⎪⎭，(3,0)B -，(0,2)C -三点代入，得()222222110292b rb r b r ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得54b =，216916r =． ∴圆的标准方程为22251344x y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．【名师点睛】本题主要考查圆的标准方程，重点找出圆心及半径是关键，难度不大.根据题意设出圆心，利用圆心到三点的距离相等建立等式，从而求得标准方程. 题组二 利用圆的几何性质求圆的方程调研2 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++= D ．()()22114x y +++=【答案】C【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上， 又圆心()1,1-到直线40x y --==设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=的左上方，=0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=． 故选C ．调研3 在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直线x −2y −1=0上的圆的标准方程为________________． 【答案】(x −5)2+(y −2)2=17【解析】根据题意，圆经过点A(1，3)，B(4，6)，则圆心在线段AB 的垂直平分线上， 又由点A(1，3)，B(4，6)，则线段AB 的垂直平分线方程为2x +2y −14=0， 则有{x −2y −1=02x +2y −14=0 ，解得{x =5y =2，即圆心为(5，2)，圆的半径r 2=(5−1)2+(2−3)2=17， 故圆的方程为(x −5)2+(y −2)2=17．☆技巧点拨☆求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． 2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．附：（1）圆的标准方程：当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2=r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2=r 2．（2）圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．考点2 直线与圆的位置关系题组一 与圆有关的对称问题调研1 若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______． 【答案】4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称，所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上，所以2260a b -++=，即3a b -=，，当点(a,b )与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a,b )≥4.故答案为4.☆技巧点拨☆1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称：（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系调研2 圆C 1:x 2+(y −1)2=1与圆C 2：(x +4)2+(y −1)2=4的公切线的条数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A【解析】∵|C 1C 2|=√(0+4)2+(1−1)2=4，r 1=1，r 2=2，r 1+r 2=1+2=3，∴|C 1C 2|＞r 1+r 2， 所以圆C 1与圆C 2相离，有4条公切线． 故选A ．调研3 直线y =x +3被圆(x +1)2+y 2=4所截的弦长为 A ．1 B ．2 C ．√2D ．2√2【解析】直线方程可化为x −y +3=0，圆心到直线的距离为d =√12+12=√2，由垂径定理可得半弦长为√22−(√2)2=√2， 所以截直线所得弦长为2√2， 故选D ．调研4 两圆x 2+y 2+4x −4y =0和x 2+y 2+2x −8=0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为 A ．4 B ．35√5 C ．125√5D ．65√5【答案】C【解析】∵两圆为x 2+y 2+4x ﹣4y =0 ①，x 2+y 2+2x ﹣8=0 ②，①﹣②可得x ﹣2y +4=0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程是x ﹣2y+4=0，∵x 2+y 2+4x ﹣4y =0的圆心坐标为（﹣2，2），半径为2√2， ∴圆心到公共弦的距离为d =√12+22=25√5， ∴公共弦长=2√(2√2)2−(25√5)2=125√5．故选C ．调研5 已知直线l ：4y x =-+与圆C ：22(2)(1)1x y -+-=相交于P ，Q 两点，则⋅u u u r u u u rCP CQ ＝_______． 【答案】0【解析】根据题意，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝1，圆心为（2，1），半径r ＝1，圆心C 到直线l 的距离d ==，则|PQ |＝2=PCQ ＝90°，故CP CQ ⋅=u u u r u u u r 0.故答案为0.调研6 若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ．(－3，3) B ．[－3，3] C ．(－33，33) D ．[－33，33]【解析】解法1：如图，BC =1，AC =2，∴∠BAC =30°，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法2：设直线l 的方程为y =k (x －4)，则由题意知，|2k －0－4k |1＋k 2≤1，∴－33≤k ≤33．故选D ．解法3：过A (4，0)的直线l 可设为x =my ＋4，代入(x －2)2＋y 2=1中得：(m 2＋1)y 2＋4my ＋3=0， 由Δ=16m 2－12(m 2＋1)=4m 2－12≥0得m ≤－3或m ≥3．∴l 的斜率k =1m ∈[－33，0)∪(0，33]，特别地，当k =0时，显然有公共点，∴k ∈[－33，33]．故选D ． 调研7 已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅u u u u r u u u r＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 【解析】（1）由题意可得，直线l 的斜率存在，设过点A （0，1）的直线方程为y =kx +1，即：kx -y +1=0． 由已知可得圆C 的圆心C 的坐标为（2，3），半径R =1．1=，解得：12k k==故当4433k <<时，过点A （0，1）的直线与圆C ：()()22231x y -+-=相交于M ，N 两点． （2）设M ()11,x y ，N ()22,x y ，由题意可得，经过点M 、N 、A 的直线方程为y =kx +1，代入圆C 的方程()()22231x y -+-=， 可得()()2214170kxk x +-++=，∴()121222417,11k x x x x k k++==++，∴()()()2212121212212411111k k y y kx kx k x x k x x k++=++=+++=+， 由2121221248·121k k OM ON x x y y k++=+==+u u u u r u u u r ，解得 k =1， 故直线l 的方程为 y =x +1，即 x -y +1=0．圆心C 在直线l 上，MN 的长即为圆的直径，所以|MN |=2.☆技巧点拨☆解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．题组三 与圆有关的综合问题调研8 已知直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，则实数a 的值为 A或 BCD【答案】B【解析】∵直线20x y a -+=与圆O ：222x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且AOB △为等腰直角三角形，O ∴到直线AB 的距离为11,a =∴=故选B ．调研9 若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆2260x y x +-=截得的弦长为则双曲线的离心率为AB ．2CD 【答案】C【解析】因为圆的方程为22(3)9x y -+=2=，可设一条渐近线方程为0bx ay -=322c b a e =⇒=⇒=⇒== 故选C ．调研10 已知点M 是抛物线y 2=2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为 A ．10 B ．4√3 C ．8 D ．2√15【答案】D【解析】设圆心M (a 22， a)，而r 2=(a 22)2+(82)2，∴圆M 的方程为(x −a 22)2+(y −a )2=a 44+16，当y =0时，得x 2−a 2x +a 2−16=0，x 1+x 2=a 2，x 1x 2=a 2−16，∴|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 4−4a 2+64=√(a 2−2)2+60≥√60=2√15． 故选D ．调研11 已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则a =________________． 【答案】−2【解析】因为点P 在圆()2215x y -+=上，所以过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切的切线为()()21125,260x y x y --+=+-=，又该切线方程与直线10x ay -+=平行，得2, 2.a a -==-调研12 已知点()()2,0,0,2,A B -若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM △面积的最小值为________________． 【答案】2【解析】将圆22220x y x y +-+=化简成标准方程，得()()22112x y -++=，其圆心坐标为()1,1-，半径为r =()()2,0,0,2A B -，所以AB =，要求ABM △的面积最小，即要使圆上的动点M 到直线AB 的距离d 最小，而圆心()1,1-到直线距离为，所以min d ==，故ABM S △的最小值22⨯=． 调研13 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为圆M:x 2+y 2−4x =0的圆心，直线l 与抛物线C 的准线和y 轴分别交于点P ，Q ，且P ，Q 的纵坐标分别为3t −1t ，2t(t ∈R ，t ≠0)． （1）求抛物线C 的方程； （2）求证：直线l 恒与圆M 相切．【解析】（1）圆心为(2，0)，半径为2，设抛物线C 的方程为y 2=2px(p ＞0)，因为焦点为圆M ：x 2+y 2−4x =0的圆心，所以p =4，因此抛物线C 的方程为y 2=8x ． （2）由题意可知，P (−2，3t −1t )，Q(0，2t)， 则直线PQ 方程为y −2t =2t−(3t−1t)2x ，即(t 2−1)x +2ty −4t 2=0，圆心M(2，0)到直线PQ 的距离2(2)22=2， 因此直线l 恒与圆M 相切．调研14 已知以点C （t ∈R ，且0t ≠）为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．（1）求证：OAB △的面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于点M ，N ，若OM ON =，求圆C 的方程． 【答案】（1）见解析；（2）()()22215x y -+-=．【解析】（1 设圆C 令0x =，得10y =，2y =；令0y =，得10x =，22x t =， ，即OAB △的面积为定值4． （2）因为OM ON =，CM CN =，所以OC 垂直平分线段MN ． 因为2MN k =-，所以12OC k =，所以212t t =，解得2t =或2t =-．当2t =时，圆心C 的坐标为()2,1，OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =<，圆C 与直线24y x =-+相交于两点，符合题意；当2t =-时，圆心C 的坐标为()2,1--， OC =此时点C 到直线24y x =-+的距离d =>，圆C 与直线24y x =-+不相交， 所以2t =-不符合题意，舍去．综上，可得所求圆C 的方程为()()22215x y -+-=．调研15 已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及POM △的面积. 【解析】（1）圆C 的方程可化为()22416x y +-=， 所以圆心为()0,4C ，半径为4，设(),M x y ，则()(),4,2,2CM x y MP x y =-=--u u u u r u u u r，由题意知0CM MP ⋅=u u u u r u u u r ，故()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=，由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是()()22132x y -+-=.（2）由（1）可知M 的轨迹是以点()1,3N为半径的圆. 由于OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上， 又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥， 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-， 所以l 的方程为1833y x =-+.又OM OP ==O 到lPM =， 所以POM △的面积为165.1．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）直线3y kx =+被圆()22-+x ()234-=y截得的弦长为AB．C．3D．3±【答案】D【解析】因为直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为()2,3到直线的距离1d ==1==，解得3k =±，故选D ．2．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A【解析】由2228130x y x y +--+=配方得22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心为(1,4)，因为圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为11=，解得43a =-，故选A ．3．（河南省郑州市2019-2020学年高三上学期第一次质量预测数学）直线340x y m ++=与圆222410x y x y +-++=相切，则m = A ．-5或15 B ．5或-15 C ．-21或1D ．-1或21【答案】A【解析】由圆22410x y x y +-++=，即22(1)(2)4x y -++=, 得圆心为(1,2)-，半径为2.直线340x y m ++=与圆22410x y x y +-++=相切，则圆心到直线的距离等于半径，即2d ==，解得：15m =或5-. 故选A.4．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，1l 与圆C ：224x y +=相切，2l 与C 相交于A ，B 两点，则AB =ABC ．3D．【答案】D【解析】根据题意，1l 与圆C ：224x y +=相切，则圆心C 到直线1l 的距离为2， 又由两条平行直线1l ，2l 之间的距离为1，则圆心C 到直线2l 的距离211d =-=，则2AB ==. 故选D ．5．（河北省承德市隆化县存瑞中学2019-2020学年高三上学期第二次质检数学）已知圆22:2+-=M x y ay()00>a截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆()()22:111N x y -+-=的位置关系是A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】圆()()2221:0,,M x y a a M a r a M +-=⇒=⇒到直线0x y +=的距离d =⇒ ()221220,2,2a a M r +=⇒=⇒=，又()2121,1,1N r MN r r MN =⇒=-<<12r r +⇒两圆相交. 故选B.6．（重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学）已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为 A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-= D ．2240x y x +-=【答案】D【解析】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，∵圆C 与直线3440x y ++=2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=．故选D ．7．（四川省棠湖中学2019届高三上学期第二次月考）已知两点A(a ，0)，B(−a ，0)(a >0)，若曲线x 2+y 2−2√3x −2y +3=0上存在点P ，使得∠APB =90°，则正实数a 的取值范围为 A ．(0，3] B ．[1，2] C ．[2，3] D ．[1，3]【答案】D【解析】因为∠APB =90°，所以点P 在圆x 2+y 2=a 2上，又点P 还在圆(x −√3)2+(y −1)2=1上，故|a −1|≤2≤a +1，解不等式可得1≤a ≤3， 故正实数a 的取值范围为[1，3]， 故选D ．8．（安徽首合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于A ．B ．CD ．【答案】B【解析】设圆心坐标为P （a ,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a =1， 所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长为，∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长的最小值为 故选B ．9．（安徽省黄山市2019届高三第一次质检）直线2x −y −√3=0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x +1)2+y 2=36的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】令x =0代入2x −y −√3=0可得P(0，−√3)，圆心坐标为(−1，0)，则P 与圆心的距离为√1+3=2，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2．故选A ．10．（河北省石家庄二中2019-2020学年高三年级上学期第三次联考）已知两点()1,0A -，()10B ,以及圆C ：222(3)(4)(0)x y r r -+-=>，若圆C 上存在点P ，满足0AP PB ⋅=u u u v u u u v，则r 的取值范围是A ．[]3,6 B ．[]3,5 C ．[]4,5D ．[]4,6【答案】D【解析】Q 0AP PB ⋅=u u u v u u u v，∴点P 在以()1,0A -，()1,0B 两点为直径的圆上， 该圆方程为221x y +=，又点P 在圆C 上，∴两圆有公共点，又两圆的圆心距5d ==，∴151r r -≤≤+，解得46r ≤≤.故选D.11．（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末质检）若直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为 A ．(−1，1]∪{−√2} B ．{−√2，√2} C ．[−1，1)∪{√2} D ．(1，√2]【答案】C【解析】y =√1−x 2表示半圆，如图所示，∵直线y =x +m 与曲线y =√1−x 2有且只有一个公共点， ①d =√12()2=1，解得m =√2，m =−√2（舍去）；②代入（-1，0）可得0=−1+m ，m =1，代入（1，0）可得0=1+m ，m =−1． 综上，结合图象可得−1≤m <1或m =√2，故选C ．12．（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学）若直线x ﹣my +m ＝0与圆（x ﹣1）2+y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（0，2） C ．（﹣1，0）D ．（﹣2，0）【答案】D【解析】将圆与直线联立()22110x y x my m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，整理得()()22212120m y m m y m m +-+++=，Q 图象有两个交点，∴方程有两个不同的实数根，即>0∆，由()()()22224142180=+-++=->mm m m m m ∆，得0m <.Q 圆()2211x y -+=都在x 轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，∴交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限，2122201m my y m +∴=<+，解得20m -<<，故选D.13．（四川省泸州市泸县第五中学2019-2020学年高三上学期期末考试数学）已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 【答案】22(2)10x y -+=.【解析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上，结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)=22(2)10x y -+=.14．（山东省济南市2019届高三上学期期末考试）过圆C:x 2+y 2−2x −3=0内一点P(2，1)作直线l ，则直线l 被圆C 所截得的最短弦长为________________． 【答案】2√2【解析】圆方程可化为（x ﹣1）2+y 2＝4，∴圆心C （1，0），半径r ＝2，|CP |=√1+1=√2，当截得的弦长最短时，CP ⊥l ，即P 为弦的中点，∴最短弦长为2√4−2=2√2．15．（甘肃省白银市会宁县第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）若圆C ：22(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则nm=______________． 【答案】8 【解析】21111,,0(11),4,8.2-=∴=++=∴=∴=QQ nm n n m m16．（广东省茂名市2019届高三第一次综合测试）已知O(0，0)，A(−2，2)，点M 是圆(x −3)2+(y −1)2=2上的动点，则ΔOAM 面积的最大值为________________． 【答案】6【解析】如图，由题设，得圆心C(3，1)，半径r =√2，OA =√22+22=2√2，直线OA 的方程为x +y =0，则ΔOAM 边OA 上的高ℎ就是点M 到直线OA 的距离，圆心C(3，1)到直线OA 的距离为d =√2=2√2，可得圆(x −3)2+(y −1)2=2上的点M 到直线OA 的距离的最大值为ℎmax =d +r =3√2，故ΔOAM 面积的最大值S =12OA ⋅ℎmax =12×2√2×3√2=6．17．（甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为________________． 【答案】12【解析】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM 的面积最小，则MF 最小， 即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时1,MF BF BM ===，此时四边形AFBM 面积112222△==⨯=BMF S S ， 故答案为12．18．（河北省石家庄市辛集市中学2019-2020学年高三第三次月考数学）已知圆C ：()()22344x y -+-=，直线l 过定点()1,0A ．（1）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求△CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程． 【解析】（1）①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意. ②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为()1y k x =-，即0kx y k --=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径22=，解得34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=.（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为0kx y k --=， 则圆心到直线l 1的距离d =又∵△CPQ的面积12S d =⨯==∴当d S 取得最大值2.∴d =，∴ k ＝1 或k ＝7.故所求直线l 1的方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .19．（江西省临川二中、临川二中实验学校2019-2020学年高三上学期第三次月考数学）已知椭圆22:+x E a21221(0),、=>>y a b F F b为其左、右焦点，12B B 、为其上、下顶点，四边形1122F B F B 的面积为2.点P 为椭圆E 上任意一点，以P 为圆心的圆（记为圆P ）总经过坐标原点O . （1）求椭圆E 的长轴12A A 的最小值，并确定此时椭圆E 的方程；（2）对于（1）中确定的椭圆E ，若给定圆()221:13F x y ++=，则圆P 和圆1F 的公共弦MN 的长是否为定值？如果是，求MN 的值；如果不是，请说明理由. 【解析】（1）依题意四边形1122F B F B 的面积为2,22,bc bc ∴=因为长轴122A A a ==≥=当且仅当1b c ==时取“=”，此时a =故长轴12A A的最小值为此时椭圆E 的方程为22 1.2x y +=（2）设点()00,P x y 为椭圆E 上任意一点，则222200001122x x y y +=⇒=-. 圆P 的方程为：()()22220000x x y y x y -+-=+ 2200220x y x x y y ⇒+--=，圆1F 的方程为：()2213x y ++=⇒22220x y x ++-=，两式作差得公共弦的方程为：()00110x x y y ++-=， 所以弦心距====d，则弦长2MN ==， 所以圆1F 和动圆P 的公共弦长为定值2.20．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2020届高三上学期期中数学）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r求实数t 的取值范围.【解析】圆M 的标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M （6，7），半径为5.（1）由圆心N 在直线x =6上，可设()06,N y . 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<， 于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. （2）因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y =2x +m ，即2x -y +m =0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（） 所以()252555m +=+，解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. （3）设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r，所以……①，因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-=…….②， 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤≤+因此，实数t 的取值范围是22⎡-+⎣.21．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 为△ABC 的内切圆，其中(,),(2,1),(1,3)A m n B C --. （1）求圆O 的方程及A 点坐标；（2）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q 使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数 )？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由(2,1),(1,3)B C --知直线BC 的方程为4350x y +-=， 由于圆O 与线段BC 相切，所以半径|5|15r -==，即圆O 的方程为221x y +=. 由题意221x y +=与线段AC 相切，所以线段AC 的方程为1x =-，即1m =-. 又221x y +=与线段AB 也相切，所以线段AB 的方程为1y =-，即1n =-. 故(1,1)A --.（2）设()00,,(,)Q x y P x y，则||PA =||PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQ λλ=为常数)，=，对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即()()22222200(1)(1)x y x x y y λλ+++=-+-， 整理得：()()()()()2222222200001222220xy x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =， 由于P 在圆O 上，所以221x y +=.故()22220022()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=，当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A重合，舍去. 当λ=11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭， 综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫--⎪⎝⎭，此时λ= 22．（河南省郑州市2019届高三第一次质量预测）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线C交于A ，B 两点，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M ，N ，R 为准线上一点．（1）若AR//FN ，求|MR||MN|的值；（2）若点R 为线段MN 的中点，设以线段AB 为直径的圆为圆E ，判断点R 与圆E 的位置关系． 【解析】（1）F(1，0)，设直线l 方程为x =my +1，由{y 2=4x ，x =my +1， 得y 2−4my −4=0，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1，2=4m±√16m 2+162=2m ±2√m 2+1，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4．由题知M(−1，y 1)，N(−1，y 2)，设R(−1，y R )，把各个点坐标代入方程，分别求出以下点坐标：A(2m 2+1−2m√m 2+1，2m −2√m 2+1)，F(1，0)，N(−1，2m +2√m 2+1)， 利用平行关系，可得AR =λFN ，代入点坐标，可得|MR||MN|=12． （2）若R 是MN 的中点，则R(−1，2m)，RA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅RB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+1，y 1−2m)⋅(x 2+1，y 2−2m) =(my 1+2，y 1−2m)⋅(my 2+2，y 2−2m) =(my 1+2)⋅(my 2+2)+(y 1−2m )⋅(y 2−2m )=(m 2+1)y 1y 2+4m 2+4=0．因此，R 在以AB 为直径的圆上．1．（2018新课标全国Ⅲ理科）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】Q 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =．Q 点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△．故答案为A ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可．2．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， ∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， 又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．3．（2017新课标全国Ⅲ理科）若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 4．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即()2223,a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===， 故选A ．5．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，则()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．6．（2016新课标全国Ⅲ理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB|=，|DE|=C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6D ．8【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =，圆的半径为r ，,AB DE 交x 轴于,M F 点，则||AM =，即A点纵坐标为A 点横坐标为4p，即4||OM p=，由勾股定理知2222||||||DF OF DO r +==，2222||||AM OM AO r +==，即22224()()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B ．7．（2016新课标全国Ⅲ理科）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=A ．43-B ．34- CD ．2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得1d ==，解得43a =-，故选A ．【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d >r ，则直线与圆相离；若d =r ，则直线与圆相切；若d <r ，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x (或y )的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ=0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切； 如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交． 提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．8．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________________．【答案】3【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==，而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=o ，点(,0)A a 到直线by x a=的距离||AP =．在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以3c e a ===． 9．（2016新课标全国Ⅲ理科）已知直线l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =||CD =________________． 【答案】4【解析】因为||AB =，且圆的半径为r =，所以圆心(0,0)到直线30mx y m ++=的距3=，3=，解得3m =-，代入直线l 的方程，得3y x =+所以直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．10．（2018新课标全国Ⅱ理科）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【答案】（1）1y x =-；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 【解析】（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 216160k ∆=+>，故122224kx k x ++=． 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=．由题设知22448k k+=，解得1k =-（舍去）或1k =， 因此l 的方程为1y x =-．（2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．11．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程．【答案】（1）证明见解析；（2）直线l 的方程为20x y --=，圆M 的方程为()()223110x y -+-=；或直线l 的方程为240x y +-=，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=． 【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，:2l x my =+． 由22,2x my y x=+⎧⎨=⎩ 可得2240y my --=，则124y y =-． 又221212,22y y x x ==，故()2121244y y x x ==． 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为1212414y y x x -⋅==-， 所以OA OB ⊥，故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得()21212122,424y y m x x m y y m +=+=++=+．故圆心M 的坐标为()22,m m +，圆M 的半径r =由于圆M 过点()4,2P -，因此0AP BP ⋅=u u u r u u u r，故()()()()121244220x x y y --+++=， 即()()1212121242200x x x x y y y y -+++++=， 由（1）可得12124,4y y x x =-=． 所以2210m m --=，解得1m =或12m =-． 当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为()3,1，圆M M 的方程为()()223110x y -+-=．当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．12．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -. 故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.。
河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题理
河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题理注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}2||≤∈=xNxA，{}21xyyB-==，则BA I的子集个数为A.2B.4C.8D.16答案：B2.复数i iz+=1在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D3.郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案：A4. 定义在R 上的函数2)31()(||-=-m x x f 为偶函數，)21(log 2f a =，))21((31f b =，)(m f c =，则A.b a c <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b << 答案：C5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.516 B.518 C.10D.532 答案：B6. 已知向量a 与b 夹角为3π，且1||=a ，3|2|=-b a ，则=||b A.3 B.2 C.1 D.23 答案：C7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于А.5B.4C.3D.2 答案：B8. 函数x x f x x cos 1212)(⋅-+的图象大致是答案：C9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种 A.60B.90C.120D.150 答案：D10. 已知抛物线x y 22=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N两点，若MF PF 3=，则||MN = A.316 B.38 C.2 D.338 答案：B11. 已知三棱锥ABC P -内接于球O ，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，且边长为3，球O 的表面积为π16，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为 A.715 B.515 C.215 D.1015 答案：D12. ⎩⎨⎧>-<+=1),1(log 1|,12|)(2x x x x x f ,241545)(23++-=m x x x g ，若m x g f y -=))((有9个零点，则m的取值范围是 A.)1,0( B.)3,0(C.)35,1(D.)3,35(答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线122+-=x xe y x 在点)1,0(处的切线方程为___________.答案：10;x y -+=14. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若01≠a ，123a a =，则=510S S ___________. 答案：4;15. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点为A ，以A 为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若23=（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为___________.答案：;53016. 已知数列{}n a 满足：对任意*N n ∈均有221-+=+p pa a n n （p 为常数，0≠p 且1≠p ），若{}30,11,6,2,6,18,,,5432---∈a a a a ，则1a 的所有可能取值的集合是___________.答案：{}.66,2,0-- 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （12分）已知∆ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设C c a B A R sin )()sin (sin 222-=-.（1）求角B ；（Ⅱ）若b =12，c =8，求sin A 的值 【解析】(I)222(sin sin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sin sin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.ac b ac +-= ……3分∴2221cos .22a c b B ac +-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b cB C =, sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，cos 3C =……9分1sin sin()sin()32A B C C π=+=+==……12分 18. （12分）已知三棱锥M-ABC 中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O 为AC 的中点，点N 在校BC 上，NOMBC A且BC BN 32=. （1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N-AM-C 的正弦值.NOAC【解析】（I ）如图所示：连接OM ， 在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒=，OB AC ⊥.2分在MAC ∆中：22MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且6.OM = ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB ===，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥ ,AC OM 相交于O ， 故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为22MA MB MC AC ====2AB BC ==则(0,2,0),2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC =u u u r u u u r 所以，222,33N设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =u r，则252252,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩u u u r r u u u u r r 令3y =(3,3,1)m =--u r……10分因为BO ⊥平面AMC，所以OB =uuu r为平面AMC 的法向量，所以(1)m =--u r与OB =uuu r所成角的余弦为cos ,m OB <>==u r u u u u r所以二面角的正弦值为2|sin ,|79m OB <>===u r u u u u r .……12分 19. （12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率为22，且过点)0,1(C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点)0,1(-的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||CM AB =.【解析】（I ）由题意知1b =，2c a =.……1分 又因为222a b c =+解得，a =……3分所以椭圆方程为2212y x +=. ……4分 （Ⅱ） 设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆. 则12212212,918616,918y y y t y tt ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =-u u u r ，()221,CB x y =-u u u r，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以CA CB ⊥u u u r u u u r.因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分 20.（12）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0<p <1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越"优". （1）若322=p ，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率； （2）①若322=p ，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p 的取值范围.【解析】(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分 (II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下，可求得方案二的期望为2()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为4()15818181E ξ=⨯+⨯=. 比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<. 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分 21. （12分）已知函数xe x x xf x--=ln )(.（1）求)(x f 的最大值；（2）若1)1()(≥-++bx e xx x f x 恒成立，求实数b 的取值范围. 【解析】(I)()ln xe f x x x x=--，定义域(0,)+∞， 221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x ---'=--=， 由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1x f x x bx x++-≥e e ln e 1x xx x x x bx x x ⇔-+-++-≥ ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x x b x --+⇔≥min e ln 1(),x x x x b x --+⇔≥……6分 令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e x x x ϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分 由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分 （二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P )23,1(，其参数方程⎩⎨⎧==ααsin 3cos y a x （α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：22||1||1OB OA +为定值，并求出这个定值.【解析】(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分(Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，， 则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分 2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23. [选修4-5不等式选讲]（10分）已知函数m x x x f ++--=|12||1|)(.（1）求不等式m x f >)(的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得0)(≥n f ，求m 的取值范围.【解析】(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分 (Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=- 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2). ……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。
河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题理[含答案]
河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题 理注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}2||≤∈=x N x A ，{}21x y y B -==，则B A 的子集个数为A.2B.4C.8D.16 答案：B 2. 复数iiz +=1在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D3. 郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案：A4. 定义在R 上的函数2)31()(||-=-m x x f 为偶函數，)21(log 2f a =，))21((31f b =，)(m f c =，则A.b a c <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b << 答案：C5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.516B.518C.10D.532 答案：B6. 已知向量与夹角为3π，且1||=，3|2|=-，则=|| A.3 B.2C.1D.23 答案：C7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于А.5B.4C.3D.2 答案：B8. 函数x x f x x cos 1212)(⋅-+的图象大致是答案：C9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种 A.60B.90C.120D.150 答案：D10. 已知抛物线x y 22=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N两点，若3=，则||MN = A.316 B.38 C.2 D.338 答案：B11. 已知三棱锥ABC P -内接于球O ，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，且边长为3，球O 的表面积为π16，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为 A.715 B.515C.215 D.1015 答案：D12. ⎩⎨⎧>-<+=1),1(log 1|,12|)(2x x x x x f ,241545)(23++-=m x x x g ，若m x g f y -=))((有9个零点，则m的取值范围是 A.)1,0( B.)3,0(C.)35,1(D.)3,35(答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线122+-=x xe y x 在点)1,0(处的切线方程为___________.答案：10;x y -+=14. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若01≠a ，123a a =，则=510S S ___________. 答案：4;15. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点为A ，以A 为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若ON OM 23=（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为___________.答案：;530 16. 已知数列{}n a 满足：对任意*N n ∈均有221-+=+p pa a n n （p 为常数，0≠p 且1≠p ），若{}30,11,6,2,6,18,,,5432---∈a a a a ，则1a 的所有可能取值的集合是___________.答案：{}.66,2,0-- 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （12分）已知∆ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设C AC c a B A R sin )()sin (sin 222-=-.（1）求角B ；（Ⅱ）若b =12，c =8，求sin A 的值 【解析】(I)222(sin sin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sin sin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.ac b ac +-= ……3分∴2221cos .22a c b B ac +-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b cB C =, sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，cos C =……9分1sin sin()sin()32A B C C π=+=+==……12分18. （12分）已知三棱锥M-ABC 中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O 为AC 的中点，点N 在校BC 上，且BC BN 32=. （1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N-AM-C 的正弦值.A【解析】（I ）如图所示：连接OM ，在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒=，OB AC ⊥.2分在MAC ∆中：22MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且6.OM = ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB ===，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥ ,AC OM 相交于O ， 故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为22MA MB MC AC ====2AB BC ==则(0,2,0),2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC =所以，222(,33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =，则252252(,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩令3y =(53,3,1)m =--……10分因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB =为平面AMC 的法向量， 所以(53,3,1)m =--与(2,0,0)OB =所成角的余弦为5653cos ,79279m OB <>==所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1()7979m OB -<>=-==分 19. （12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率为22，且过点)0,1(C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点)0,1(-的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||CM AB =.【解析】（I ）由题意知1b =，2c a =.……1分 又因为222a b c =+解得，a =分所以椭圆方程为2212y x +=. ……4分 （Ⅱ） 设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆. 则12212212,918616,918y y y t y tt ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =-，()221,CB x y =-，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以CA CB ⊥.因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分 20.（12）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0<p <1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越"优". （1）若322=p ，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率； （2）①若322=p ，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p 的取值范围.【解析】(I)该混合样本达标的概率是289=，……2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分 (II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下，可求得方案二的期望为2()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为4()15818181E ξ=⨯+⨯=. 比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<. 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分 21. （12分）已知函数xe x x xf x--=ln )(.（1）求)(x f 的最大值；（2）若1)1()(≥-++bx e xx x f x 恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(I)()ln xe f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=， 由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1xf x x bx x++-≥e e ln e 1x xx x x x bx x x ⇔-+-++-≥ ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1xx x xb x --+⇔≥min e ln 1(),x x x x b x--+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e xx x ϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分 由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分 （二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P )23,1(，其参数方程⎩⎨⎧==ααsin 3cos y a x （α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：22||1||1OB OA +为定值，并求出这个定值.【解析】(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分 所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分 (Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，， 则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分 23. [选修4-5不等式选讲]（10分）已知函数m x x x f ++--=|12||1|)(.（1）求不等式m x f >)(的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得0)(≥n f ，求m 的取值范围.【解析】(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分 即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1| ……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=- 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2). ……10分 12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。
河南省郑州市2019届高三第二次质量预测数学(理)试卷
2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷2019.3第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。
【1】若复数ii b ++2为纯虚数，则实数b 等于（ ） （A ）3 （B ）21-（C ）31 （D ）1- 【2】已知全集R =U ，)}1ln(|{2x y x A -==，}4|{2-==x y y B ，则=)(B C A R （ ）（A ）)01(，- （B ）)10[， （C ）)10(， （D ）]01(，-【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知1220182019)(20172018++⋅⋅⋅++=x x x x f ，程序框图设计的是求)(0x f 的值，在M 处应填的执行语句是（ ）（A ）i n -=2018 （B ）i n -=2019 （C ）1+=i n （D ）2+=i n【4】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)42(，-N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）（附：X ⁓),(2σμN ，则68.0)(=+≤<-σμσμX P ，9545.0)22(=+≤<-σμσμX P 。
）（A ）906 （B ）2718 （C ）1359 （D ）3413 【5】将函数x x f sin 2)(=的图象向左平移6π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到)(x g 的图象，下面四个结论正确的是（ ）（A ）函数)(x g 在]2,[ππ上的最大值为1（B ）将函数)(x g 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称 （C ）点)0,3(π是函数)(x g 图象的一个对称中心（D ）函数)(x g 在区间]32,0[π上为增函数 【6】设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤112y x y x y ，则目标函数y x z +=3)31(的最大值为（ ） （A ）11)31( （B ）3)31( （C ）3 （D ）4【7】在ABC ∆Rt 中， 90=∠C ，2=CB ，4=CA ，P 在边AC 的中线BD 上，则BP CP ⋅的最小值为（ ）（A ）21- （B ）0 （C ）4 （D ）1-【8】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为（ ）（A ）2545π （B ）25135π （C ）π5180 （D ）π590 【9】高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。
(刷题1+1)2020高考数学讲练试题 基础巩固练(四)理(含2020高考+模拟题)
（刷题1+1）2020高考数学讲练试题 基础巩固练（四）理（含2020高考+模拟题）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2020·河北武邑中学二次调研)设i 是虚数单位，若复数z ＝i 1＋i ，则z －＝( )A.12－12i B ．1＋12iC ．1－12iD.12＋12i 答案 A解析 由z ＝i1＋i＝i 1－i 1＋i 1－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，得z －＝12－12i.故选A.2．(2020·浙江百校联考)已知集合A ＝{x |2x≥1}，B ＝{x |y ＝ln (1－x )}，则A ∩B 等于( )A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ＜1}C ．{x |0≤x ＜1}D ．{x |0＜x ＜1}答案 C解析 集合A ＝{x |2x≥1}＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x <1}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ＜1}，故选C. 3．(2020·石家庄二模)某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中正确的是( )A ．支出最高值与支出最低值的比是8∶1B ．4至6月份的平均收入为50万元C ．利润最高的月份是2月份D ．2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同 答案 D解析 由题图可知，支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，其比是6∶1，故A 错误；由题图可知，4至6月份的平均收入为13×(50＋30＋40)＝40万元，故B 错误；由题图可知，利润最高的月份为3月份和10月份，故C 错误；由题图可知2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同，故D 正确．故选D.4．(2020·赤峰市高三二模)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 8＝17S 4，则a 5＝( )A ．8B ．－8C ．±16 D．16 答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q . 当q ＝1时，S 8＝8a 1,17S 4＝17×4a 1＝68a 1， 因为a 1≠0，所以S 8＝8a 1，S 8≠17S 4；当q ≠1时，S 8＝a 11－q 81－q ＝1－q81－q，17S 4＝17a 11－q41－q＝171－q 41－q，故1－q 81－q ＝171－q 41－q，解得q ＝－1或q ＝－2或q ＝2，因为等比数列{a n }为正项等比数列，故q ＝2，所以a 5＝a 1·24＝16，故选D.5．(2020·佛山二模)已知(1＋x )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x2n (n ∈N *，n <10)的展开式中没有常数项，则n的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 B解析 ∵已知(1＋x )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2n (n ∈N *，n <10)的展开式中没有常数项，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2n的展开式中没有负一次项和常数项．∵⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x2n 的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r n x n －3r，故n －3r ≠0，且n －3r ≠－1，即n ≠3r ，且n ≠3r －1，∴n ≠3,6,9，且n ≠2,5,8，故n 的最大值为7，故选B.6．(2020·咸阳二模)已知G 是△ABC 的重心，若GC →＝xAB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C.13 D ．－13答案 C解析 由题意，画图，如图所示．由重心的定义，可知 AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)．∴GC →＝AC →－AG →＝AC →－ 13(AB →＋AC →)＝－13AB →＋ 23AC →.∴x ＋y ＝－13＋23＝13.故选C. 7．(2020·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体＝Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm 3)是( )A ．158B ．162C ．182D ．324 答案 B 解析 如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27，因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B.8．(2020·佛山一中二模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，x 2－ax ，x <0(a ∈R )为偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．f (a )>f (2a )>f (0) B ．f (a )>f (0)>f (2a ) C ．f (2a )>f (a )>f (0) D ．f (2a )>f (0)>f (a ) 答案 C解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，即1＋a ＝2，所以a ＝1，易知当x ≥0时，f (x )是增函数，又知2a >a >0，所以f (2a )>f (a )>f (0)，故选C.9．(2020·大庆三模)第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且tan θ＝2，若在大正方形内随机取一点，则该点取自小正方形区域的概率为( )A.14B.15C.25D.35 答案 B解析 设大正方形为ABCD ，小正方形为EFGH ，如图，则tan θ＝AFBF＝2，设小正方形的边长为a ，则AFAF －a＝2，即AF ＝2a ，∴大正方形的边长为5a ，则小正方形与大正方形的面积比为a 25a 2＝15.故选B.10．(2020·广州二模)若曲线y ＝x 3－2x 2＋2在点A 处的切线方程为y ＝4x －6，且点A 在直线mx ＋ny －1＝0(其中m ＞0，n ＞0)上，则1m ＋2n的最小值为( )A ．4 2B ．3＋2 2C ．6＋4 2D ．8 2 答案 C解析 设A (s ，t )，y ＝x 3－2x 2＋2的导数为y ′＝3x 2－4x ，可得切线的斜率为3s 2－4s ， 由切线方程为y ＝4x －6，可得3s 2－4s ＝4，t ＝4s －6， 解得s ＝2，t ＝2或s ＝－23，t ＝－263，由点A 在直线mx ＋ny －1＝0(其中m ＞0，n ＞0)上， 可得2m ＋2n ＝1成立⎝ ⎛⎭⎪⎫s ＝－23，t ＝－263，舍去， 则1m ＋2n＝(2m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫3＋n m＋2m n ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2n m ·2m n ＝6＋42， 当且仅当n ＝2m 时，取得最小值6＋42，故选C.11．(2020·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 5 答案 A解析 设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c,0)．由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，如图，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c2.由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2得⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，故ca＝2，即e ＝ 2.故选A.12．(2020·深圳二模)如图，在四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝BD＝3，AD ＝BC＝5，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为( )A. 6B.62C.52D.54答案 B解析 将四面体ABCD 补成长、宽、高分别为3，2，1的长方体(如图)． 由于EF ⊥α，故截面为平行四边形MNKL ，可得KL ＋KN ＝5，设异面直线BC 与AD 所成的角为θ，则sin θ＝sin ∠HFB ＝sin ∠LKN ， 解得sin θ＝265，∴S 四边形MNKL ＝NK ·KL ·sin∠NKL ≤265⎝ ⎛⎭⎪⎫NK ＋KL 22＝62， 当且仅当NK ＝KL 时取等号．故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2020·合肥一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，则z ＝2x －y 的取值范围为________． 答案 (－1,6) 解析 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －y ＋1>0，x ＋y －3<0，作出可行域如图，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为－1； 当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为6. 所以z ＝2x －y 的取值范围为(－1,6)．14．(2020·肇庆二模)已知数列{a n }为等比数列，a 1＝2，a 3＝4，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 28＝________.答案 1020解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 1＝2，a 3＝4， ∴q 2＝a 3a 1＝2， ∴a 2n ＝(a 1qn －1)2＝4×(q 2)n －1＝4×2n －1＝2n ＋1，∴a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 28＝41－281－2＝1020.15．(2020·长春质检)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为________．答案3解析 因为在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－bc ，根据余弦定理，可知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3，sin A ＝32.又bc ＝4，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×32＝ 3.16．(2020·宣城二模)关于x 的方程kx －ln x x ＝2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个实根，则实数k 的最小值是________．答案2e ＋1e2解析 由kx －ln x x ＝2得kx －2＝ln xx，设g (x )＝ln x x，则g ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln xx2， 则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，g ′(x )≥0，即函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上为增函数，且g (e)＝ln e e ＝1e ，直线y ＝kx －2过定点(0，－2)， 设过点(0，－2)与g (x )相切的切线为l ， 若方程kx －ln x x ＝2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有两个实根，则直线y ＝kx －2在切线l 与过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，1e 的直线之间，由图象知当直线过点A 时直线的斜率最小， 此时k 的最小值为k ＝1e －－2e －0＝1e ＋2e ＝2e ＋1e2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2020·郑州第二次质量预测)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n >0，前n 项和为S n ，若a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·2an ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)在数列{a n }中，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， ① ∵a n ＝S n ＋S n －1， ②且a n >0，∴①÷②得S n －S n －1＝1(n ≥2)，∴数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，公差为1的等差数列， ∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1，也满足上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)，知a n ＝2n －1，∴c n ＝(2n －1)×22n －1， 则T n ＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1，4T n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1，两式相减，得－3T n ＝2＋2(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)22n ＋1＝2＋2×81－22n －21－4－(2n －1)22n ＋1＝－103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53－2n 22n ＋1，∴T n ＝6n －522n ＋1＋109.18．(本小题满分12分)(2020·山东德州一模)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB >CD ，E ，F 为AB 的三等分点，且EF ＝CD ，将△AED 和△BFC 分别沿DE ，CF 折起到A ，B 两点重合，记为点P .(1)证明：平面PCF ⊥平面PEF ；(2)若PF ＝FC ，求PD 与平面PFC 所成角的正弦值． 解 (1)证明：因为AB ∥CD ，EF ＝CD ， 所以四边形CDEF 为平行四边形， 所以∠AED ＝∠AFC ；又因为△AED ≌△BFC ，所以∠AED ＝∠BFC ， 从而∠AFC ＝∠BFC ＝90°， 所以PE ⊥ED ，PF ⊥FC . 因为CF ∥DE ，所以PE ⊥FC ，又因为PE ∩PF ＝P ，PE ⊂平面PEF ，PF ⊂平面PEF ，所以FC ⊥平面PEF .又因为FC ⊂平面PFC ， 所以平面PEF ⊥平面PFC .(2)在平面PEF 内作PO ⊥EF ，垂足为O ，取CD 的中点为M . 由(1)可知，FC ⊥平面PEF ，故FC ⊥PO ，可得PO ⊥平面CDEF ， 所以PO ⊥OM ，PO ⊥OF ，又因为PF ＝PE ，所以OE ＝OF ，所以OM ∥FC ， 所以OF ⊥OM ，所以OP ，OF ，OM 两两垂直；以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设PF ＝FC ＝2，而△PEF 为等边三角形，所以P (0,0，3)，F (1,0,0)，C (1,2,0)，D (－1,2,0)，所以PF →＝(1,0，－3)，PC →＝(1,2，－3)，PD →＝(－1,2，－3)； 设n ＝(x ，y ，z )为平面PFC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PF →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧x －3z ＝0，x ＋2y －3z ＝0，可取n ＝(3，0,1)．设PD 与平面PFC 所成的角为θ， 则sin θ＝|n ·PD →||n ||PD →|＝64，所以PD 与平面PFC 所成角的正弦值为64. 19．(本小题满分12分)(2020·南昌一模)市面上有某品牌A 型和B 型两种节能灯，假定A 型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年，新店面需安装该品牌节能灯5支(同种型号)即可正常营业，经了解，A 型20瓦和B 型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装，已知A 型和B 型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换．(用频率估计概率)(1)若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，求一年内5支节能灯在使用期间恰好更换2支灯的概率；(2)若该商家全部使用A 型节能灯或B 型节能灯，则为保证正常营业，应购买哪一种节能灯更合算？解 (1)由频率分布直方图可知，B 型节能灯使用寿命超过3600小时的频率为0.0010×200＝0.2，用频率估计概率，得B 型节能灯使用寿命超过3600小时的概率为15.所以一年内一支B 型节能灯在使用期间需更换的概率为45.所以一年内5支节能灯在使用期间恰好更换2支灯的概率为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫452×⎝ ⎛⎭⎪⎫153＝32625.(2)共需要安装5支节能灯，若选择A 型节能灯，一年共需花费5×120＋3600×5×20×0.75×10－3＝870元；若选择B 型节能灯，由于B 型节能灯一年内需更换的支数服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，45， 故一年内需更换灯的支数的期望为5×45＝4支．故一年共需花费⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋45×5×25＋3600×5×55×0.75×10－3＝967.5元．因为967.5>870，所以该商家应选择A 型节能灯．20．(本小题满分12分)(2020·重庆六区一模)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1，其左、右焦点为F 1(－2，0)及F 2(2,0)，过点F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点，且|AF 1|，|F 1F 2|，|AF 2|构成等差数列．(1)求椭圆C 的方程；(2)记△GF 1D 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2，试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？请说明理由．解 (1)∵|AF 1|，|F 1F 2|，|AF 2|构成等差数列， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝2|F 1F 2|＝8，∴a ＝4. 又∵c ＝2，∴b 2＝12，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，将其代入x 216＋y 212＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－16k23＋4k 2.∴点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－8k 23＋4k2， ∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2，6k 3＋4k 2. ∵DG ⊥AB ，∴6k3＋4k 2－8k 23＋4k2－x D×k ＝－1，解得x D ＝－2k23＋4k2，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 23＋4k 2，0， ∵Rt △GDF 1和Rt △ODE 相似，∴若S 1＝S 2， 则|GD |＝|OD |，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 23＋4k 2－－2k 23＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 3＋4k 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k 23＋4k 2， 整理得8k 2＋9＝0，∵方程8k 2＋9＝0无解， ∴不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.21．(本小题满分12分)(2020·新乡模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2a ln x ，若函数f (x )在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2.(1)求实数a 的取值范围；(2)证明：f (x 1)＋f (x 2)＋ln 2＋32>0.解 (1)因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)上有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2， 所以f ′(x )＝2x －2＋2ax＝0在(0，＋∞)上有两个根x 1，x 2，且x 1<x 2，即x 2－x ＋a ＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的根x 1，x 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a >0，a >0，解得0<a <14.(2)证明：由题意可知x 1，x 2(0<x 1<x 2)是方程x 2－x ＋a ＝0的两个不等的实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a ，其中0<a <14.故f (x 1)＋f (x 2)＝x 21－2x 1＋2a ln x 1＋x 22－2x 2＋2a ln x 2 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋2a ln (x 1x 2) ＝2a ln a －2a －1，令g (a )＝2a ln a －2a －1，其中0<a <14，故g ′(a )＝2ln a <0，所以g (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减， 则g (a )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－ln 2－32， 即f (x 1)＋f (x 2)＋ln 2＋32>0.(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2020·辽宁抚顺一模)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t ＋2(t 为参数)．(1)求曲线C 1的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设D 为曲线C 1上在第二象限内的点，且在点D 处的切线与直线l 平行，求点D 的直角坐标．解 (1)由已知，得ρ2＝2ρsin θ，得x 2＋y 2＝2y ， 即x 2＋(y －1)2＝1，所以C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋2＝0.(2)由(1)知曲线C 1是以C (0,1)为圆心、半径为1的圆， 设点D (cos α，1＋sin α)，因为点D 在第二象限， 所以直线CD 的斜率k CD ＝tan α＝－33，得 α＝5π6，得点D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2020·辽宁抚顺一模)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥5；(2)若∀x ∈R ，f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|， 当x ≤－1时，f (x )＝－x －1－x ＋1＝－2x ≥5， 解得x ≤－52；当－1<x <1时，f (x )＝x ＋1－x ＋1＝2≥5， 解集为∅；当x ≥1时，f (x )＝x ＋1＋x －1＝2x ≥5，解得x ≥52；综上，当a ＝1时，不等式f (x )≥5的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. (2)显然有a ≠0，由绝对值的三角不等式，得f (x )＝|x ＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋a －x ＋1a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋1a ＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a ≥2，所以|m－1|≤2，解得－1≤m≤3，即m∈[－1,3]．。
2020届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（理）试题（解析版）
2020届河南省郑州市高三第一次质量预测数学（理）试题一、单选题1.设集合A=（xeZ||x|<2},B={y\y=l-x1},则AcB的子集个数为（）A. 4B.8C.16D.32【答案】C【解析】分析：求出集合A,B,得到AC8,可求AnB的子集个数详解：A={xeZ|国<2}={xg Z|-2<x<2}={-2,-1,0.1,2},B={y|y=l_J}={y|y〈l},An B={-2,-1,0,1},AoB的子集个数为24=16.故选C.点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.2.复数z=——在复平面内对应的点位于（）iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】化简复数为z=。
+初的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限.【详解】。
I.z=b=l-2Z，该复数对应的点为（1,一2）,在第四象限.故选D.【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（）A.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份B.年接待游客量逐年增加C.月接待游客量逐月增加D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】C【解析】根据折线图依次判断各个选项，可通过反例得到。
错误.【详解】由折线图可知，每年游客量最多的月份为：7,8月份，可知A正确；年接待游客量呈现逐年递增的趋势，可知B正确；以2018年8月和9月为例，可得到月接待游客量并非逐月增加，可知C错误；每年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月的变化较小，数量更加稳定，可知。
正确.本题正确选项：C【点睛】本题考查根据统计中的折线图判断数据特征的问题，属于基础题.4.定义在R上的函数=偶函期«=/(log2|),Z,=/((l)3),c=f(m),贝ijA.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c【答案】C【解析】由偶函数得到m=0,明确函数的单调性，综合利用奇偶性与单调性比较大小即可.【详解】/■⑴=(<)E—2为偶函数，.•.m=0,即/(x)=(|)W-2,且其在［0,+8)上单调递减，11又0<(一)3<1,111c=/(m)=f(0)罚=/((-)3)〉a=/(log2-)=/(1)故选：C【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查转化思想，属于中档题.5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方 形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面 积是16A,—5B.18C. 1032D,—5【答案】B【解析】边长为3的正方形的面积S 正您=9,设阴影部分的面积为S 网，由几何概型得S 阴 800了」=房而，由此能估计阴影部分的面积.'正方形【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其 包含在内,则边长为3的正方形的面积S 正",=9,设阴影部分的面积为S 耕..•该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分,..S 阴 800S 正方形2000… 800 ° 800 八 18解得S 阴=-----x ‘中方形=------x 9 =——2000 正方形 2000 51 Q..•估计阴影部分的面积是；.故选：B.【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.6.已知向量q与》夹角为;，且\a\=\,|2a-Z?|=V3,贝\\\b\=A.也B.y/2C.1D.亟2【答案】C【解析】对\2a-b\=yf3两边平方，结合数量积的定义与法则即可得到结果.【详解】I,向量a与Z?夹角为：，且|«|=1 >|2a—Z?|=^3,p*一外=3，即4a2-4a-b+b2=3••.4一2种+祥=3,所以\b\=l,故选：C【点睛】本题考查利用数量积求模，考查数量积定义与运算法则，考查运算能力.7.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题，松长三尺，竹长一尺,松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a,。