构造等腰三角形的常用方法

构造等腰三角形的常用
方法
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
构造等腰三角形的常用方法
几何图形中添加辅助线往往能把分散的条件集中起来，使隐蔽的条件显现，将复杂的问题简单化，在解题的过程中有时需要构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质从而使问题迎刃而解 .
本节主要来介绍下常用构造等腰三角形的方法 .
方法一作“平行线”来构造等腰三角形
1.如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于点 F，且 DF = EF .
求证：BD = CE .
证明：过点 D 作 DG∥AE，交 BC 于 G 点，则∠GDF = ∠E .
∵∠GDF = ∠CEF，∠DFG = ∠EFC，DF = EF ,
∴△DGF ≌△ECF（ASA），
∴ GD = CE .
∵ AB = AC ,
∴∠B = ∠ACB，
∵ DG∥AE，
∴∠DGB = ∠ACB，
∴∠DBG = ∠DGB，
∴ GD = BD ,
∴ BD = CE .
2.已知△ABC 为等边三角形，点 D 为 AC 上的一个动点，点 E 为 BC 延长线上一点，且 BD = DE .
（1）如图①，若点 D 在边 AC 上，猜想线段 AD 与 CE 之间的关系，并说明理由；
（2）如图②，若点 D 在 AC 的延长线上，（1）中的结论是否还成立，请说明理由 .
解：
（1）AD = CE .
理由如下：过点 D 作 DP∥BC，交 AB 于点 P .
∵△ABC 是等边三角形，
∴△APD 也是等边三角形，
∴ AP = PD = AD , ∠APD = ∠ABC = ∠ACB = ∠PDA = 60°，
∵ DB = DE ,
∴∠DBC = ∠DEC，
∵ DP∥BC，
∴∠PDB = ∠DBC .
∴∠PDB = ∠DEC .
又∵∠BPD = ∠A + ∠ADP = 120°，∠DCE = ∠A + ∠ABC = 120°，∴∠BPD = ∠DCE .
在△BPD 和△DCE 中，
∠BPD = ∠DCE，∠PDB = ∠CED，DB = DE ,
∴△BPD ≌△DCE（AAS），
∴ PD = CE，
∴ AD = CE ;
（2）（1）中的结论成立 .
理由如下：过点 D 作 DP∥BC，交 AB 的延长线于点 P .
∵△ABC 是等边三角形，
∴△APD 也是等边三角形，
∴ AP = PD = AD , ∠APD = ∠ABC = ∠ACB = ∠PDC = 60°，∵ DB = DE ,
∴∠DBC = ∠CED .
∵ DP∥BC，
∴∠PDB = ∠DBC，
∴∠PDB = ∠CED .
在△BPD 和△DCE 中，
∠P = ∠DCE，∠PDB = ∠CED，DB = DE ,
∴△BPD ≌△DCE（AAS），
∴ PD = CE ,
∴ AD = CE .
方法二利用“三线合一”构造等腰三角形
3.如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，且 AP⊥BP 于点 P , 连接 CP .若 BC = 4，点 P 到 BC 的距离为 1，求△ABC 的面积 .
解：延长 AP 交 BC 于点 E .
∵ BP 平分∠ABC，
∴∠ABP = ∠EBP .
∵ AP⊥BP，
∴∠APB = ∠BPE .
在△APB 和△EPB 中，
∠ABP = ∠EBP，BP = BP , ∠BPA = ∠BPE，
∴△APB ≌△EPB（ASA），
∴ S△ABP = S△BPE，AP = PE .
∵△APC 与△PCE 等底同高，
∴ S△APC = S△PCE，
∴ S△ABC = S△ABP + S△BPE + S△APC + S△PCE = 2 S△BPC，
∵ BC = 4，点 P 到 BC 的距离为 1，
∴ S△BPC = 1/2 × 4 × 1 = 2，
∴ S△ABC = 2 × 2 = 4 .
4.如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A = 90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，CE⊥BD，交 BD 的延长线于点 E .
求证：BD = 2 CE .
证明：延长 BA , CE 交于点 M .
∵ CE⊥BD，
∴∠BEC = ∠BEM = 90° .
∵ BD 平分∠ABC，
∴∠MBE = ∠CBE .
又∵ BE = BE ,
∴△MBE ≌△CBE（ASA），
∴ EM = EC = 1/2 MC .
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠BAC = ∠MAC = 90°，AB = AC ,∴∠ABD + ∠BDA = 90° .
∵∠BEC = 90°，
∴∠ACM + ∠CDE = 90° .
∵∠BDA = ∠CDE，
∴∠ABD = ∠ACM .
在△ABD 和△ACM 中，
∠ABD = ∠ACM，AB = AC , ∠BAD = ∠CAM，
∴△ABD ≌△ ACM（ASA），
∴ DB = MC，
∴ BD = 2 CE .
方法三利用“倍角关系”构造等腰三角形
5.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且∠ABC = 2 ∠C .求证：AB + BD = AC .
证明：在边 AC 上截取 AP = AB，连接 PD .
∵ AD 平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠PAD .
在△ABD 和△APD 中，
AB = AP，∠BAD = ∠PAD，AD = AD ,
∴△ABD ≌△APD（SAS）.
∴∠APD = ∠B，PD = BD .
∵∠B = 2 ∠C，
∴∠APD = 2 ∠C .
又∵∠APD = ∠C + ∠PDC，
∴∠PDC = ∠C，
∴ PD = PC ,
∴ AB + BD = AP + PC = AC .
方法四利用“截长补短法”构造等腰三角形
6.如图，在△ABC 中，∠BAC = 120°，AD⊥BC 于点 D，且 AB + BD = DC , 求∠C 的度数 .
方法一：截长法
如图，在 CD 上截取点 E，使 DE = BD，连接 AE .
∵ AD⊥BE，DE = BD，
∴ AB = AE .
∵ AB + BD = DC ,
∴ AE + DE = DC .
又∵ DE + CE = DC ,
∴ CE = AE = AB .
∴∠B = ∠AED = ∠C + ∠CAE = 2 ∠C .
∵∠BAC + ∠B + ∠C = ∠BAC + 3 ∠C = 180°，∠BAC = 120°，
∴∠C = 20°；
方法二：补短法
如图，延长 DB 至点 F，使得 BF = AB，则 AB + BD = BF + BD = DF = CD ,
∴ AF = AC , ∠C = ∠F = 1/2 ∠ABC .
∵∠BAC + ∠ABC + ∠C = ∠BAC + 3 ∠C = 180°，∠BAC = 120°，
∴∠C = 20° .
7.如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 是△ABC 外一点，且∠ABD = 60°，∠ACD = 60° .求证：BD + DC = AB .
证明：延长 BD 至点 E，使得 BE = AB，连接 AE , CE .
∵∠ABE = 60°，BE = AB ,
∴△ABE 为等边三角形，
∴∠AEB = 60°，AE = AB .
又∵∠ACD = 60°，
∴∠ACD = ∠ABE .
∵ AB = AC , AB = AE ,
∴ AC = AE ,
∴∠ACE = ∠AEC，
∴∠DCE = ∠DEC，
∴ DC = DE ,
∴ AB = BE = BD + DE = BD + DC ,即 BD + DC = AB .。