最新北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程2.6应用一元二次方程第二课时
北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程(1)课件(共22张PPT)
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
北师大版九年级数学上册：第二章《一元二次方程》教案
第二章一元二次方程1认识一元二次方程第1课时一元二次方程的定义1．理解和掌握一元二次方程的定义，会判断一个方程是不是一元二次方程．2．了解一元二次方程的一般形式、二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数．3．能根据具体情境，列出一元二次方程．重点理解和掌握一元二次方程的相关概念．难点能根据具体情境，列出一元二次方程．一、情境导入课件出示教材第31页图2－1，提出问题：幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？教师：你能找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？让学生指出对应的三部分，引导学生分析所提问题满足的条件，列出相应的方程．二、探究新知1．教师：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？学生独立完成，找出等式．教师：观察等式102＋112＋122＝132＋142，你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？学生尝试解决，在难以找到的情况下，归结为方程去解决．2．课件出示教材第31页图2－2，提出问题：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m．那么梯子的底端滑动多少米？引导学生设未知数，列出适合条件的方程．3．教师：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8－2x)(5－2x)＝18，x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2，(x＋6)2＋72＝102.教师：这些方程有哪些共同特点？类比一元一次方程的定义，你能总结出一元二次方程的定义吗？学生小组讨论，派代表陈述观点，教师进一步讲解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次项的次数为2的整式方程叫一元二次方程．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项，a为二次项的系数，b为一次项的系数．三、举例分析例1把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．例2从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．学生独立完成，教师点评．四、练习巩固教材第32页“随堂练习”第1题．五、小结1．通过本节课的学习，你学会了什么？还有哪些困惑？2．一元二次方程的定义是什么？六、课外作业教材第32页习题2.1第1，2题．本节课通过丰富的问题情境引入一元二次方程的定义，学习中注意深刻理解定义的内涵：一元二次方程的组成；一元二次方程的成立条件等．在教学中，让学生经历提出问题到解决问题的过程，体会其中的数学思想方法．教学中有意识地提高学生对实际问题和方法的理解，鼓励学生从多角度思考问题，这有利于提高学生的思维能力和解决问题的能力．第2课时用估算法求一元二次方程的近似解1．能根据实际问题求一元二次方程的近似解．2．经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力．3．进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，体验学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识．重点经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解．难点探索一元二次方程的近似解．一、情境导入教师：在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程：(8－2x)(5－2x)＝18，即2x2－13x＋11＝0；(x＋6)2＋72＝102，即x2＋12x－15＝0.上一节课的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中x的值吗？这节课我们一起来研究一元二次方程的解．二、探究新知教师：对于前一节课第一个问题，你能设法估计四周末铺地毯部分的宽度x(m)吗？课件出示一元二次方程(8－2x)(5－2x)＝18，提出问题：(1)x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．(2)根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？(3)(4)你知道所求的宽度x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流．分析：因为x表示的是所求的宽度，学生能意识到x不可能小于0；学生大多数能够从实际情况出发，意识到当x大于4或当x大于2.5时，将分别使地毯的长或宽小于0，不符合实际情况；学生在利用计算器对表格中的数据进行计算的过程中发现，当x＝1时，代数式2x2－13x＋11的值等于0；所求的宽度为1 m.教师：在前一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程(x＋6)2＋72＝102，把这个方程化为一般形式为x2＋12x－15＝0.引导学生思考以下问题：(1)小明认为底端也滑动了1 m，他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？(4)x的整数部分是几？十分位是几？学生思考后指名回答，教师进一步讲解：在此题中，梯子滑动的距离x＞0是显而易见的，在下图中，求得BC＝6 m，而BD＜10 m，因此CD＜4 m．所以x的取值范围是0＜x＜4.学生完成下面的表格：教师：，当x的取值是1和2时，所对应代数式的值是－2和13，而且随着x的取值越大，相应代数式的值也越大．因此若想使代数式的值为0，那么x的取值应在1和2之间．从而确定x的整数部分是1.教师启发引导学生在1和2之间继续找方程的解．学生可能有以下的做法．甲同学的做法：所以1＜x＜1.5.进一步计算：所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.注意：对于这两种做法，教师要及时地给与肯定和鼓励，并可将二者加以比较．教师：在解决某些实际问题的时候，可以根据实际情况确定出方程的解的大致范围，进而估算出一元二次方程的近似根．一般采用“夹逼法”．采用“夹逼法”求近似值的一般步骤：(1)将方程变为一元二次方程的一般形式；(2)根据实际情况确定方程的解的大致范围；(3)根据方程的解的大致范围，在这个范围内取一个整数值，然后把这个值代入方程左边的代数式进行验证，看是否能使方程左边代数式的值为0，如果为0，则这个数是方程的解；如果不为0，则再找出一个使方程左边的值最接近于0但小于0的整数，这个数就是方程的解的整数部分；(4)保留整数部分不变，小数部分可参照整数部分的方法进行，以此类推可得出该方程更准确的近似根．三、练习巩固五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和．你能求出这五个整数分别是多少吗？四、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．利用“夹逼法”求近似解的一般步骤是什么？五、课外作业教材第35页习题2.2第1～3题．本节课通过日常生活中丰富有趣的问题情境让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型，体会“夹逼”数学思想在现实生活中随处可见，让学生真正经历“夹逼”数学思想解题的过程，从而更好地理解“夹逼”思想解一元二次方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．由学生探索交流，分析此种方法的优缺点，从而概括出这种方法的实质及解题步骤，这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念．学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯．本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，在此过程中，教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学．2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程1．理解配方法的意义，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．让学生在独立思考与合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．重点用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程． 难点了解并掌握用配方求解一元二次方程．一、复习导入1．如果一个数的平方等于4，则这个数是________，若一个数的平方等于7，则这个数是________．2．一个正数有几个平方根？它们具有怎样的关系？ 3．用字母表示完全平方公式．二、探究新知1．课件出示问题：(1)你能解哪些特殊的一元二次方程？(2)你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x 2＝5； 2x 2＋3＝5； x 2＋2x ＋1＝5； (x ＋6)2＋72＝102.(3)上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x(m )满足方程x 2＋12x －15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x 的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程困难在哪里？(合作交流)学生独立完成，讨论交流后发现第(3)问等号的左端不是完全平方式，不能直接化成(x ＋m)2＝n (n ≥0)的形式，教师引导学生思考如何解决这样的方程问题．2．课件出示：填上适当的数，使下列等式成立：x 2＋12x ＋________＝(x ＋6)2； x 2－6x ＋________＝(x －3)2；x 2＋8x ＋________＝(x ＋________)2； x 2－4x ＋________＝(x －________)2. 学生思考后指名回答．教师：上面等式的左边，常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x 2＋ax 的式子如何配成完全平方式？学生小组讨论交流，引导学生发现：要把形如x 2＋ax 的式子配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方，即加上⎝⎛⎭⎫a 22.三、举例分析例1 解方程：x 2＋8x －9＝0.(师生共同解决) 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x 2＋8x ＝9.两边都加上42(一次项系数8的一半的平方)，得 x 2＋8x ＋42＝9＋42， 即(x ＋4)2＝25.两边开平方，得x ＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.例2解决梯子底部滑动问题：x2＋12x－15＝0.(仿照例1，学生独立解决)解：移项，得x2＋12x＝15.两边同时加上62，得x2＋12x＋62＝15＋36，即(x＋6)2＝51.两边开平方，得x＋6＝±51.所以x1＝51－6，x2＝－51－6，但因为x表示梯子底部滑动的距离，所以x2＝－51－6 不合题意舍去．所以梯子底部滑动了(51－6)米．教师：用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？小组合作交流，引导学生归纳：我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．四、练习巩固解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1；(4)x2＋2x＋2＝8x＋4.五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．什么叫配方法？3．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是什么？(1)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(2)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x＋h)2＝k(k>0)的形式；(3)用直接开平方法解变形后的方程．六、课外作业教材第37～38页习题2.3第1～3题．本节课在教学过程中，采用了由简单到复杂，由特殊到一般的原则，采用了观察对比、合作探究等不同的学习方式，充分发挥学生的主体作用，让学生主动探究并发现结论，教师作为学生学习的引导者、合作者、促进者，要适时鼓励学生，实现师生互动．同时，我认识到教师不仅要教给学生知识，还要在教学中渗透数学中的思想方法，培养学生良好的数学素养和学习能力，让学生学会学习．第2课时用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程1．经历配方法求解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能．2．经历用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．3．能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力．重点会用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程．难点能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．一、复习导入1．用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么？ 2．填上适当的数，使下列等式成立： (1)x 2＋2x ＋________＝(x ＋________)2； (2)x 2－4x ＋________＝(x －________)2； (3)x 2＋________＋36＝(x ＋________)2； (4)x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2； (5) x 2－x ＋________＝(x －________)2.3．比较下列两个一元二次方程的联系与区别．(1)x 2＋6x ＋8＝0； (2)3x 2＋18x ＋24＝0.教师：同学们可以发现方程(2)的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，那么如何解这类方程呢？这节课我们一起来探究．二、探究新知 课件出示：解方程：3x 2＋8x －3＝0.教师：如何把这个方程转化为符合上节课解题的基本形式？学生：根据等式的性质，将方程两边同除以3就可以把这个方程化为二次项系数为1的一元二次方程．学生尝试解这个方程，教师板书规范解答过程． 解：方程两边都除以3，得x 2＋83x －1＝0.移项，得 x 2＋83x ＝1，配方，得x 2＋83x ＋⎝⎛⎭⎫432＝1＋⎝⎛⎭⎫432， 即⎝⎛⎭⎫x ＋432＝259. 两边开平方，得 x ＋43＝±53， 所以x 1＝13，x 2＝－3.三、举例分析例 一个小球从地面以15 m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10 m 高？解：根据题意得 15t －5t 2＝10.方程两边都除以－5，得 t 2－3t ＝－2， 配方，得t 2－3t ＋⎝⎛⎭⎫322＝－2＋⎝⎛⎭⎫322， ⎝⎛⎭⎫t －322＝14.两边开平方，得 t －32＝±12. 所以t 1＝2，t 2＝1.四、练习巩固1．教材第39页“随堂练习”．2．印度古算中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮．告我总数共多少，两队猴子在一起．”大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题．解：设猴子的总数是x ，由题意可得⎝⎛⎭⎫18x 2＋12＝x. 解得x 1＝16，x 2＝48.答：这群猴子可能是16只，也可能是48只． 五、小结1．用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？ 2．利用一元二次方程解决实际问题的思路是什么？六、课外作业1．教材第40页习题2.4第1，3题．2．一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p(毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系：p ＝0.01x 2＋0.05x ＋107.如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？3．用配方法探究方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ≠0)的解法．本节课作为用配方法求解一元二次方程的第二节课，主要是以习题训练为主．所以我依照书上的例题为重点展示了用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤；将书上的“做一做”转化成一个例题，让学生体会利用一元二次方程解决实际问题的意义；另外在作业中配套了一道血压方面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关．3 用公式法求解一元二次方程 第1课时 用公式法求解一元二次方程1．能正确地推导出一元二次方程的求根公式，会用公式法解一元二次方程，能利用一元二次方程解决有关的实际问题．2．理解判别式的概念，会用判别式判断方程的根的情况．3．体会一元二次方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风．重点用公式法解一元二次方程． 难点用配方法推导求根公式的过程．一、复习导入用配方法解下列方程：(1)2x 2＋3＝7x ；(2)3x 2＋2x ＋1＝0. 学生独立完成，指名板演．(1)2x 2＋3＝7x.解：将方程化成一般形式2x 2－7x ＋3＝0. 两边都除以一次项系数2，得x 2－72x ＋32＝0.配方，得x 2－72x ＋(74)2－4916＋32＝0，即(x －74)2－2516＝0.移项，得(x －74)2＝2516.两边开平方，得x －74＝±54，即x ＝74±54.所以x 1＝3，x 2＝12.(2)3x 2＋2x ＋1＝0.解：两边都除以一次项系数3，得x 2＋23x ＋13＝0.配方，得x 2＋23x ＋(13)2－19＋13＝0，即(x ＋13)2＋29＝0.移项，得(x ＋13)2＝－29.因为－29<0，所以原方程无解． 二、探究新知1．一元二次方程的求根公式课件出示：用配方法解方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 学生独立完成，并针对自己在推导过程中出现的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出一元二次方程的求根公式．解：两边都除以一次项系数a ，得x 2＋b a x ＋ca ＝0.教师：为什么可以两边都除以二次项系数a?学生：因为a ≠0.配方，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2－b 24a 2＋ca＝0，即(x ＋b 2a )2－b 2－4ac4a 2＝0.移项，得(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2.教师：现在可以两边开平方吗？ 学生：不可以，因为不能保证b 2－4ac4a 2≥0.教师：什么情况下可以两边开平方？学生讨论后回答：因为a ≠0，所以4a 2>0.要使b 2－4ac 4a2≥0，只要 b 2－4ac ≥0即可． 所以当b 2－4ac ≥0时，两边开平方，得 x ＋b2a＝±b 2－4ac4a 2. 所以x ＝－b2a ±b 2－4ac 2a ，x ＝－b±b 2－4ac2a.归纳：x ＝－b±b 2－4ac2a 称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．2．一元二次方程的判别式教师：如果b 2－4ac<0时，会出现什么问题？学生：方程无解．教师：如果b 2－4ac ＝0呢？学生：方程有两个相等的实数根．归纳：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)， 当b 2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b 2－4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b 2－4ac<0时，方程没有实数根．教师：由以上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可由b 2－4ac 来判定．我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．三、举例分析例1 解方程：(1)x 2－7x －18＝0；(2)4x 2＋1＝4x.引导学生根据以下步骤解方程：①确定a ，b ，c 的值；②判断方程是否有根；③写出方程的根．例2 判断下列方程的根的情况： (1) 2x 2＋3＝7x ；(2)x 2－7x ＝20；(3)3x 2＋2x ＋1＝0；(4)9x 2＋6x ＋1＝0； (5)16x 2＋8x ＝3；(6) 2x 2－9x ＋8＝0.学生迅速演算或口算出b 2－4ac ，从而判断出根的情况．教师：第(3)题的判断，与第一环节中的第(2)题对比，哪种方法更简捷？ 教师：上述方程如果有解，请求出方程的解． 学生独立完成，教师板书第(1)题．解方程：2x 2＋3＝7x.先将方程化成一般形式，得2x 2－7x ＋3＝0. 确定a ，b ，c 的值 a ＝2, b ＝－7, c ＝3.判断方程是否有根 ∵b 2－4ac ＝(－7)2－4×2×3＝25>0， ∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝7±252×2＝7±54.写出方程的根 即x 1＝3，x 2＝12.教师：与第一环节中的第(1)题对比，哪种解法更简捷？ 四、练习巩固教材第43页“随堂练习”第1～3题． 五、小结1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是什么？ 2．如何判断一元二次方程的根的情况？ 3．用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4．你在解方程的过程中有哪些小技巧？六、课外作业1．教材第43页习题2.5第1～4题．2．一张桌子长4 m ，宽2 m ，台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌子上时，各边下垂的长度相同，求台布的长和宽．教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．本节课教师就根据学生的实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题．本节课不能仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力，帮助学生形成积极主动的求知态度．第2课时 用公式法解决一元二次方程的实际问题1．会用公式法解决一元二次方程的实际问题．2．通过一元二次方程的建模过程，体会方程的根必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法．3．通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性．重点会用公式法解决一元二次方程的实际问题． 难点能根据具体情境列出一元二次方程，体会方程的根必须符合实际意义．一、复习导入 教师：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫． 二、探究新知课件出示：在一块长16 m 、宽12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品．在学生展示作品后，教师提出问题：(1)怎样知道你的设计是符合要求的？请说明理由？(2)以上哪些图形可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？ 引导学生重点分析图⑤，图⑥，图⑦. 教师：如何设未知数？怎样列方程？ 学生独立思考，教师板书规范解题过程． 图⑤的解答：解：设小路的宽为x m ，由题意得 (16－2x)(12－2x)＝16×12×12.整理，得x 2－14x ＋24＝0. x 2－14x ＋49＝－24＋49， (x －7)2＝25. x 1＝12，x 2＝2.教师：你认为小路的宽为12 m 和2 m 都符合实际意义吗？ 图⑥的解答：解：设扇形的半径为x m ，由题意得 πx 2＝16×12×12πx 2＝96.x＝±96π≈±5.5.x1≈5.5，x2≈－5.5( 舍去)．指名板演图⑦的解题过程，教师点评．三、练习巩固在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？出示图②和图③提出问题：你认为哪一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？解：设金边的宽为x m，由题意得(90＋2x )(40＋2x) ×72%＝90 ×40.解得x1＝5，x2＝－70(舍去)．四、小结通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？五、课外作业教材第45页习题2.6第2～4题．本节课的最大特点是提出了具有思考价值的问题，以引导为主，层层深入，以问题串的形式指导学生懂得如何获得自己所需要的知识．在探究新知时，提出了这样的问题：在一块长16 m，宽12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？当学生将自己的设计方案展示在黑板上之后，接着提出问题：你的设计一定符合要求吗？怎样知道你的设计是符合要求的？以上图形哪些可以直接说明符合题目条件的？剩下的图形怎样通过计算来说明？从课堂上学生的活动来看，学生的热情、思维与探究并进.4用因式分解法求解一元二次方程1．了解因式分解法的概念．2．会用因式分解法求解一元二次方程．3．通过因式分解法的学习，培养学生分析问题、解决问题的能力，并体会转化的思想．重点用因式分解法求解一元二次方程．难点理解因式分解法求解一元二次方程的基本思想．一、复习导入1．用配方法求解一元二次方程的关键是什么？2．用公式法求解一元二次方程应先将方程化为什么形式？3．选择合适的方法解下列方程：(1)x2－6x＝7；(2)3x2＋8x－3＝0.二、探究新知1．课件出示：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？学生独自完成，教师巡视指导，选择不同解法的学生板演． 学生A ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ，∴x 2－3x ＝0.∵a ＝1，b ＝－3，c ＝0， ∴ b 2－4ac ＝9. ∴ x 1＝0，x 2＝3.∴这个数是0或3.学生B ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ， ∴ x 2－3x ＝0. x 2－3x ＋(32)2＝(32)2，(x －32) 2＝94，∴ x －32＝32或x －32＝－32.∴ x 1＝3，x 2＝0.∴这个数是0或3.学生C ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ，∴x 2－3x ＝0. 即x(x －3)＝0.∴x ＝0或x －3＝0. ∴x 1＝0，x 2＝3.∴这个数是0或3.学生D ：设这个数为x ，根据题意，可列方程 x 2＝3x ，两边同时约去x ，得 ∴x ＝3，∴这个数是3. 教师：同学们用了多种方法解决此问题，观察以上四个同学的做法是否存在问题？你认为哪种方法更合适？为什么？学生讨论交流后回答，教师点评，明确学生C 的方法更合适，并进一步讲解： 如果a·b ＝0，那么a ＝0或b ＝0.这就是说：当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”．所以由x(x －3)＝0得到x ＝0和x －3＝0时，中间应写上“或”字．我们再来看学生C 解方程x 2＝3x 的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，把一元二次方程变成一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为因式分解法，即当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用因式分解法来解。
2-6-1 应用一元二次方程求解几何问题课件22—23学年北师大版数学九年级上册
解：设相遇时用的时间为x，
依题意可列方程为(3x)2＝(7x－10)2－102，
整理，得2x2－7x＝0.
解这个方程，得 x1＝0(不合题意，舍去)，
x2＝3.5，
∴3x＝3×3.5＝10.5，7x＝7×3.5＝24.5.
答：相遇时，甲走了24.5步，乙走了10.5步．
4．用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个
当BC＝15 m时，AB＝CD＝10 m.
即这个长方形鸡场的长与宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m；
(2)当墙长为18 m时，显然BC＝20 m时，所围成的鸡场会
在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围
成的长方形鸡场的长与宽只能是15 m，10 m；
A
D
B
C
(3)不能围成面积为160 m2的长方形鸡场．理由如下：
根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％.
随堂练习
1．直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边
长为 ( B )A．
C． 37
B．5
D．72．从正方形铁皮的一边切去一个2
38
cm宽的长方形，若余下的长方形面积是48 cm2，则原来
正方形铁皮的面积是_________．
64 cm2
在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有
一补给码头;小岛F位于BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一
艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军
舰.
已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的
途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了
北师大版九年级上册数学课件 第二章 2
新课导入
很多实际问题可以通过一元二次方程建模来解决， 前面我们已经学习了利用一元二次方程解决传播、 增长率、营销问题等，本节课我们继续学习利用一 元二次方程解决几何与数字相关问题.
新课讲解
知识点1 用一元二次方程解决几何图形问题
合作探究 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩 形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的 四分之—，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如 何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?
新课讲解
讨论 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 请你试一试．
解： 设正中央的矩形两边长分别为9x cm，7x cm.
依题意得
解得
故上下边衬的宽度为：
左右边衬的宽度为：
新课讲解
归纳
在列一元二次方程解应用题时，由于所得 的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符 合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验 看哪个根是符合实际问题的解.
新课讲解
练பைடு நூலகம்练
1 如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下 部分作为耕地，若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽应为( A ) A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
当堂小练
1.用长为14的铁丝围成一个面积是12的矩形,则这个矩形相邻的 两边长分别是3,4.
①审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、 未知数以及它们之间的关系。
②设未知数：一种方法是直接设所要求的量 为X；另一种方法是设所要求的量有关系，且具有关键性作用的未知 量为X, 而所求量能用含X的代数式表示。 ③列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程。 ④解方程。 ⑤写出答案：书写答案，同时要注意不要遗漏单位名称。
2-6-2 利用一元二次方程解决经济问题-北师大版数学九年级上册
利用一元二次方程 解决经济问题
北师版九年级上册
知识回顾
请同学们回忆并回答与利润相关的知识
利润 =（ 售价 ）- 进价
售价 = 标价×折扣
9
折要乘以
90%
或
0.9
或
9 10
，那么
x
折呢？
x
10
探究新知
例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明： 当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元 时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每 天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？
2500＋2500(1＋x)＋2500(1＋x)2＝9100,
解得 x1＝0.2＝20％，x2＝－3.2(舍去)． 故该公司 11,12 两个月营业额的月均增长率为 20％．
课堂小结 通过这节课的学习活动，你有什么收获？
课后作业 完成练习册本课时每台利润 总利润
降价前 降价后
2500 2500
2900 未知
8 未知
400 未知
400×8 5000
设每台冰箱降价 x 元
售价每降低 50 元 售价每降低 100 元 售价每降低 x 元
多售出 4 台
多售出 4×15000台
多售出
4×
x 50
台
例2 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明： 当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元 时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每 天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？
关键：寻找等量关系 步骤：其一是整体地、系统地审清问题； 其二是把握问题中的“相等关系”； 其三是正确求解方程并检验解的合理性。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程1认识一元二次方程教学课件新版北师大版
不同点： 方程①中的未知数x最高次是1次 方程②中的未知数x最高次是2次
你能结合方程①给 方程②起一个名字吗？
一元二次方程的定义
方程x2-16x+25=0的两边都是整式，只含有一个未知
数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方 程叫做一元二次方程。
①方程a≠0，b,c可以为零？
当a=0时
bx+c=0
当a≠0，b=0时
ax2+c=0
当a≠0，c=0时
ax2+bx=0
当a≠0，b=0,c=0时 ax2=0
一元二次方程的一般情势 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2
二次项
一次项系数 b
bx
一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般情势。
教学课件
数学 九年级上册 北师大版
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
认识一元二次方程
问题1 5x-15=0
这是一个什么样的方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式 方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）
问题 2 XXX休闲中心有一个长为10m，宽为6m的游泳 池，
数；
一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。
现想将游泳池的面积改造成35m2，若长宽同时减
10
解：设少减相少同x米的，长则度长，为问(减10少-x多) 少米？
x
米，宽为(6-x)米
10-x
6
6-x
(10-x)(6-x)=35
北师大版九年级数学上册教案-第二章第二节用配方法求解一元二次方程
第二节用配方法求解一元二次方程第1课时配方法(一)教学目标会用配方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程．教学重点运用配方法解简单的数字系数的一元二次方程．教学难点配方过程中，解一元二次方程的要点的理解．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标活动内容：1.如果一个数的平方等于4，则这个数是________，若一个数的平方等于7，则这个数是________．一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？2．用字母表示完全平方公式．3．用估算法求方程x2－4x＋2＝0的解？你喜欢这种方法吗？为什么？你能设法求出其精确解吗？活动内容：1.工人师傅想在一块足够大的长方形铁皮上裁出一个面积为100cm2正方形，请你帮他想一想，这个正方形的边长应为________；若它的面积为75cm2，则其边长应为________．(选1个同学口答)2．如果一个正方形的边长增加3cm后，它的面积变为64cm2，则原来的正方形的边长为________．若变化后的面积为48cm2呢？(小组合作交流)3．你会解下列一元二次方程吗？(独立练习)x2＝5；(x＋2)2＝5；x2＋12x＋36＝0.4．上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x m满足方程x2＋12x－15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里？(合作交流)活动目的：利用实际问题，让学生初步体会配方法在解一元二次方程中的应用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识．二、自主学习指向目标自学教材第36至37页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究达成目标探究点一配方活动内容1：做一做：(填空配成完全平方式，体会如何配方)填上适当的数，使下列等式成立．(选4个学生口答)x2＋12x＋________＝(x＋6)2x2－6x＋________＝(x－3)2x2＋8x＋________＝(x＋________)2x2－4x＋________＝(x－________)2问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2＋ax的式子如何配成完全平方式？(小组合作交流)【针对训练】见学生用书第25页“当堂训练”第1，2题.探究点二用直接开平方解一元二次方程【例题讲解】活动内容2：解决例题(1)解方程：x2＋8x－9＝0.(师生共同解决)解：可以把常数项移到方程的右边，得x2＋8x＝9两边都加上(一次项系数8的一半的平方)，得x2＋8x＋42＝9＋42.(x＋4)2＝25开平方，得x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.(2)解决梯子底部滑动问题：x2＋12x－15＝0(仿照例1，学生独立解决)解：移项得x2＋12x＝15，两边同时加上62得，x2＋12x＋62＝15＋36，即(x＋6)2＝51两边开平方，得x＋6＝±51所以：x1＝51－6，x2＝－51－6，但因为x表示梯子底部滑动的距离，所以x2＝－51－6不合题意舍去．答：梯子底部滑动了(51－6)米．活动内容3：及时小结、整理思路用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？(小组合作交流)【针对训练】见教材第37页随堂练习．见学生用书第25页“当堂训练”第3题．四、总结梳理内化目标用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)形式的方程，关键是把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0配方成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式．五、达标检测反思目标1．用字母表示完全平方公式是：(x＋a)2＝________(x－a)2＝________2．如果一个数的平方等于16，则这个数是________，若一个数的平方等于2，则这个数是________．3．填空，完成配方.(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；(2)x2－12x＋________＝(x－________)2；(3)x2＋5x＋________＝(x＋________)2.4. 由上题知方程x2＋10x＋25＝1就是方程(x＋5)2＝1，直接开平方得x＋5＝________，所以原方程的解是x1＝________，x2＝________．5．用配方法解下列方程：(1)x2－2x－5＝0；(2)x2－4x＋1＝0.六、布置作业教材第37页习题2.3第1，2题．见学生用书“课后作业”栏题目．第2课时配方法(二)教学目标会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．教学重点运用配方法解一元二次方程．教学难点配方过程中，解一元二次方程的要点的理解．教学设计 (设计者：×××) 教学过程设计一、创设情景 明确目标活动内容1：回顾配方法解一元二次方程的基本步骤．[例如：x 2－6x －4＝0]活动内容2：(1)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答．x 2＋2x ＋________＝(x ＋________)2x 2－4x ＋________＝(x －________)2x 2＋________＋36＝(x ＋________)2x 2＋10x ＋________＝(x ＋________)2x 2－x ＋________＝(x －________)2(2)请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别①x 2＋6x ＋8＝0②3x 2＋18x ＋24＝0探讨方程②应如何去解呢？活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程②的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本形式，联系是当方程两边同时除以3以后，这两个方程式是同解方程．学生们作了方程的变形以后，对二次项系数不为1的方程的解法有了初步的感受和思路．二、自主学习 指向目标自学教材第38至39页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究 达成目标探究点 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程活动内容1：讲解例题例 解方程3x 2＋8x －3＝0解：方程两边都除以3，得x 2＋83x －1＝0 移项，得x 2＋83x ＝1 配方，得x 2＋83x ＋(43)2＝1＋(43)2 (x ＋43)2＝259x ＋43＝±53，x 1＝13，x 2＝－3. 活动目的：通过对例题的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程．让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路，关键是将方程转化成(x ＋m )2＝n (n ≥0)形式，特别强调当一次项系数为分数时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平方，理解这样做的原理，树立解题的信心．另外，得到x ＋43＝±53后，在移项得到x ＝±53－43要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错．活动内容2：做一做：一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间t (s)满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2配方，得t 2－3t ＋(32)2＝－2＋(32)2 (t －32)2＝14t －32＝±12t 1＝2，t 2＝1.活动目的：在前边学习的基础上，通过做一做进一步提高学生分析问题，解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫．【针对训练】见学生用书第27页“当堂训练”第1，2题．教材第40页2.4第2题.四、总结梳理 内化目标1．总结二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解的步骤；2．把一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)转化成：(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式．五、达标检测 反思目标1．将方程－5x 2＝2x ＋10化为二次项系数不为1的一般形式是________．2．(1)16x 2＋8x ＋(______)＝(4x ＋______)2.(2)9x 2－7x ＋(______)＝(3x －______)2.3．用配方法把二次三项式3x 2－4x ＋6变形，结果是( )A ．3(x －23)2＋143B ．3(x ＋23)2＋143C ．3(x －23)2－143D ．(x －23)2＋1434．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点P 从点A 开始，沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，________秒后△PBQ 的面积等于8 cm 2.( )A ．2B ．4C ．2或4D ．3或65．用配方法解方程.(1)2x 2－4x －1＝0； (2)3x 2＋11x ＋10＝0.六、布置作业见教材第40页习题2.4第1，3题．见学生用书“课后作业”栏题目．。
北师大版九年级上册数学2章《用配方法求解一元二次方程》教案
2.2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程【学习目标】1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习重点】会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．【学习难点】用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．一、情景导入生成问题1．如果一个数的平方等于4，则这个数是±2．2．已知x2＝9，则x＝±3．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋36＝(x＋6)2；x2－6x＋9＝(x－3)2.二、自学互研生成能力知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法先阅读教材P36“议一议”的内容．然后完成下列问题：1．一元二次方程x2＝5的解是x1＝5，x2＝－5．2．一元二次方程2x2＋3＝5的解是x1＝1，x2＝－1．3．一元二次方程x2＋2x＋1＝5，左边配方后得(x＋1)2＝5，此方程两边开平方，得x＋1＝±5，方程的两个根为x1＝－1＋5，x2＝－1－5．用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程x2－2x－3＝0为例) 1．移项：将常数项移到右边，得：x2－2x＝3；2．配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x2－2x＋12＝3＋12，再将左边化为完全平方形式，得：(x－1)2＝4；3．开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x－1＝±2(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；4．化为一元一次方程：将原方程化为两个一元一次方程，得：x－1＝2或x－1＝－2；5．解一元一次方程，写出原方程的解：x1＝__3__，x2＝－1．归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法．知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程解答下列各题：1．填上适当的数，使等式成立．(1)x2＋4x＋4＝(x＋2)2；(2)x2－10x＋25＝(x－5)2.2．用配方法解方程：x2＋2x－1＝0.解：①移项，得x2＋2x＝1；②配方，得x2＋2x＋1＝1＋1，即(x＋1)2＝2；③开平方，得x＋1＝±2，即x＋1＝2或x＋1＝－2；④所以x1＝－1＋2；x2＝－1－2．典例讲解：解方程：x2＋8x－9＝0.解：可以把常数项移到方程的右边，得：x2＋8x＝9.两边都加42(一次项系数8的一半的平方)，得：即x2＋8x＋42＝9＋42，即(x＋4)2＝25.两边开平方，得：x＋4＝±5，即x＋4＝5，或x＋4＝－5.所以x1＝1，x2＝－9.对应练习：1．解下列方程：(1)x2－10x＋25＝7；(2)x2－14x＝8；(3)x2＋3x＝1; (4)x2＋2x＋2＝8x＋4.2．用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得的方程为(D)A．(x＋1)2＝0B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2D．(x－1)2＝23．方程(x－2)2＝9的解是(A)A．x1＝5，x2＝－1 B．x1＝－5，x2＝1C．x1＝11，x2＝－7 D．x1＝－11，x2＝7三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一探索用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法知识模块二应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：_________________________________________2．存在困惑：_____________________________________第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程【学习目标】1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣． 【学习重点】 用配方法解一般一元二次方程． 【学习难点】 用配方法解一元二次方程的一般步骤． 一、情景导入 生成问题1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( B ) A ．加上32 B ．加上94 C ．减去32 D ．减去942．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( D )A ．x ＝3＋2 2B ．x ＝3－2 2C ．x ＝－3±2 2D ．x ＝3±2 23．方程x 2－3x －4＝0的两个根是x 1＝4，x 2＝－1．二、自学互研 生成能力知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法先阅读教材P 38例2，然后完成下面的填空：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是：(以解方程2x 2－6x ＋1＝0为例)①系数化1：把二次项系数化为1，得x 2－3x ＋12＝0；②移项：将常数项移到右边，得x 2－3x＝－12；③配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，得：x 2－3x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－12＋94．再将左边化为完全平方形式，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＝74；；④开平方：当方程右边为正数时，两边开平方，得：x －32＝±72(注意：当方程右边为负数时，则原方程无解)；⑤解一次方程：得x ＝32±72，∴x 1＝32＋72，x 2＝32－72．用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么？师生共同归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程解答下列各题：1．用配方法解方程3x 2－9x －32＝0，先把方程化为x 2＋bx ＋c ＝0的形式，则下列变形正确的是( D )A ．x 2－9x －32＝0B ．x 2－3x －32＝0C ．x 2－9x －12＝0D ．x 2－3x －12＝02．方程2x 2－4x －6＝0的两个根是x 1＝3，x 2＝－1．典例讲解：1．解方程3x 2－6x ＋4＝0.解：移项，得3x 2－6x ＝－4；二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43；配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12；(x －1)2＝－13.因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，(x －1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根．2．做一做：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度？解：根据题意得15t －5t 2＝10；方程两边都除以－5，得t 2－3t ＝－2；配方，得t 2－3t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322；⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＝14；t －32＝±12；t ＝2，t 2＝1；答：当t ＝2s 或t ＝1s 时，小球达到10米的高度． 对应练习：1．解下列方程：(1)3x 2－9x ＋2＝0； (2)2x 2＋6＝7x ； (3)4x 2－8x －3＝0.2．方程3x 2－1＝2x 的两个根是x 1＝－13，x 2＝1．3．方程2x 2－4x ＋8＝0的解是无实数解．三、交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 探索用配方法解一般一元二次方程的方法知识模块二 应用配方法解一般一元二次方程四、检测反馈 达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________2．存在困惑：____________________________________________。
一元二次方程在实际问题中的应用课件
整理：
x²– 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P
1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6
– t )米.
由题可得
(8－t)(6－t)＝ × ×6×8
整理：t²– 14t + 48 = 24
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
针 对 训 练
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠
底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程1一元二次方程
(2)方程ax²+bx+c=0是一元二次方程吗?
（不一定是，当a≠0时，是一元二次方
程；当a=0时，不是一元二次方程）
小组讨论
1.对于方程(2a-4)x²-2bx+a=0,在什么条件下此方程为一元二次方程?
在什么条件下此方程为一元一次方程?
（解：当 a≠2时，此方程是一元二次方程；
(1)我们把ax²+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其
中ax²,bx,c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数
和一次项系数.
注：一次项系数b和常数项c 可取任意实数，二次项系数 a 是不等于0 的实
数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一
个新的方程.你能发现它们有什么样的共同特征？
数字中有许多有趣而奇妙的现象，很多秘密等待着我们去
探索发现！现在，我们先来做一个数字游戏：大家先计算出10、
11、12三个数字的平方和，再计算出13和14的平方和，看看两
个平方和相等吗？你还能找到五个连续整数，使前三个数的平
方和等于后两个数的平方和吗？试试看！
如果设中间的一个数为x，请根据这一问题列出方程.
2024年世界联赛要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间
都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天
安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
1.请同学们阅读课本31-32 页后观察下列方程，思考并回答问题.
①x²-75x+350=0;
(3)化成一般形式为(m+n)x²+(m-n)x+p-q=0.