第六章 状态变量法
则（4）式可写为：
Ax Bu x
(5)
状态向量及其一阶导数 x, x
A n×n常系数矩阵，称为系统矩阵
B n×1常系数矩阵，称为输入矩阵
式（3）或（5）称为线性定常连续系 统的状态方程
根据系统状态变量的选取，其输出方程可写为： y=x1 (6) 或写成矩阵方程式形式为：
x1 x2 y 1 0 0 0 Cx xn 1 x n 式中C=(1 0 … 0)称为输出向量
一、基本概念
1、系统状态：控制系统状态是描述系统 行为的最小一组变量，只要知道在t=t0 时刻的这组变量和t>=t0时刻的输入函数， 便完全可以确定在任何t>=t0时刻上的行 为，这个系统的行为称为系统状态。 系统状态完整、确定地描述了系统的动 态行为
2、状态变量：构成控制系统的变量 特点： 1)不唯一 2)在同一输入函数的作用下，所得的 系统输出函数都是相同的。
矩阵微分方程形式：
Ax Bu 其中 x
1 1 0 x 0 x1 0 x 2 , A 0 x 0 1 , x x2 , B 0 x 12 6 5 x 1 3 3
输入函数不含导数项 设n阶线性Βιβλιοθήκη 常连续系统的运动方程为：y
( n)
a1 y
( n1)
a2 y
( n 2)
an y u (1) an1 y
u为输入，y为输出，u、y及其各阶导数均为时间t的函数
选取系统状态变量为：
x1 y x2 y x2 y xn y ( n 1)
Y(s)
引入中间变量z，经拉氏反变换，其微分方程为
(4)
0 1 0 an 2
0 x1 0 0 x2 0 u 1 xn 1 0 x a1 n 1
记：
1 x 0 2 x 0 , A x n 1 x 0 x a n n 1 0 0 an 1 0 1 0 an 2 0 x1 0 0 x2 0 , x , B 1 xn 1 0 x 1 a1 n
（7）
例：写出下面系统的状态方程及输出方程
y 5 6y 12y u y
, x3 y 解：选取 x1 y, x2 y
则系统的状态方程为
为系统的状态变量
1 x2 x 2 x3 x 3 12x1 6 x2 5x3 u x
4、状态空间 以状态向量x(t)的分量 x1(t)、 x2(t)、…、 xn(t)为坐标轴构成 的n维空间，任意的状态x(t)都可以用状 态空间中的一个点来描述。
5、状态方程 对于一个连续控制系统，通过向量表 示方法，可以将描述n阶系统动态特性的 微分方程表示成一个一阶矩阵微分方程， 若向量分量是选定的状态变量，则上述 一阶矩阵微分方程称为连续系统的状态 方程。
根据上述状态变量的选取，其输出方程为
x1 y x1 1 0 0 x2 Cx x 3
（2）输入函数含导数项
设n阶线性定常连续系统的运动方程为：
an y y ( n ) a1 y ( n 1) a2 y ( n 2 ) an 1 y bn u b0u ( n ) b1u ( n 1) bn 1u
(2)
则（1）式可写成
1 x2 x 2 x3 x 3 x4 x n an x1 an 1 x 2 an 2 x 3 a1 x n u x
(3)
一阶矩阵微分方程形式：
1 0 x 2 0 x n 1 0 x x a n n 1 0 0 an 1
选择思路： 系统状态应具备在已知初始状态和 输入函数的条件下，可以完全确定系统 未来的所有运动状态。
选择原则： 在系统状态方程中，任何一个状态 变量均不包含输入函数的导数项。
3、状态向量： 若完全描述一个给定系统的状态行为 需要n个状态变量，记为 x1(t)、 x2(t)、…、 xn(t)，将这些状态 变量看成向量x(t)的分量，则向量x(t)称 为系统的状态向量。
u为输入，y为输出，u、y及其各阶导数均为时间t的函数
经过拉氏变换，得到系统方块图
U(s)
b0 s b1s bn1s bn s n a1s n1 a2 s n2 an1s an
n
n 1
Y(s)
U(s)
1 Z(s) n n1 b s b s b s b n n 1 0 1 n 1 n s a1s an1s an
对于一个离散控制系统，通过向量表示 方法，可以将描述n阶离散系统动态特性 的差分方程表示成一个一阶矩阵差分方 程，则上述一阶矩阵差分方程称为离散 系统的状态方程。
二、线性连续系统的状态空间 表达式
由系统微分方程列写状态方程及输出方 程
输入函数不含导数项 输入函数含导数项
由系统微分方程列写状态方程 及输出方程
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第6章系统的状态变量分析法
• 其中x(0_)为初始条件的列矩阵，式(6. 3.10)即为方程(6. 3. 8}的一般 解。将此结果代入输出方程有:
• 将时域求解结果式(6. 3. 10)和式(6. 3. 11)与变换域求解结果式(6. 3. 4) 相比较，不难发现(SI -A)-1就是eAt的拉普拉斯变换，也即:
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•及 •或 • 将上面两式联立可以写成:
• 在状态变量法中，也可将状态方程用矢量和矩阵的形式表示，式((6. 1. 4)改写为:
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6. 1状态变量与状态方程
• 对于图6.1.1电路，若指定电容电压为输出信号，用y(t)表示，则输出 方程的矩阵形式为:
• 结合上面的例子，下面给出系统状态变量分析法中相关的几个名词的 定义。
• 定义状态矢量x(t)和状态矢量的一阶导数x‘(t)分别为:
•
代表矩阵的转置，再定义输入矢量e(t)为:
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6. 2连续时间系统状态方程的建立
• 另外，把由系数aσ组成的n行n列的矩阵记为A，把由系数bσ组成的n 行m列的矩阵记为B，则:
• 把式(6.2.5)、式(6.2.6)和式(6.2.7)代人式(6.2.3)中，可将状态方程简 写为:
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6. 4离散时间系统状态方程的建立
• 式中x(k)为状态矢量，e(k)为输入矢量，Y(k)为输出矢量，A, B, C, D 为相应的系数矩阵:
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6. 5离散时间系统状态方程的求解
• 6. 5. 1离散时间系统状态方程的时域求解
• 一般离散时间系统的状态方程表示为: • 此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 • 设给定系统的初始条件为x(0)，将k等于0，1, 2等依次代人式(6.5.1)
• 将时域求解结果式(6. 3. 10)和式(6. 3. 11)与变换域求解结果式(6. 3. 4) 相比较，不难发现(SI -A)-1就是eAt的拉普拉斯变换，也即:
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•及 •或 • 将上面两式联立可以写成:
• 在状态变量法中，也可将状态方程用矢量和矩阵的形式表示，式((6. 1. 4)改写为:
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6. 1状态变量与状态方程
• 对于图6.1.1电路，若指定电容电压为输出信号，用y(t)表示，则输出 方程的矩阵形式为:
• 结合上面的例子，下面给出系统状态变量分析法中相关的几个名词的 定义。
• 定义状态矢量x(t)和状态矢量的一阶导数x‘(t)分别为:
•
代表矩阵的转置，再定义输入矢量e(t)为:
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6. 2连续时间系统状态方程的建立
• 另外，把由系数aσ组成的n行n列的矩阵记为A，把由系数bσ组成的n 行m列的矩阵记为B，则:
• 把式(6.2.5)、式(6.2.6)和式(6.2.7)代人式(6.2.3)中，可将状态方程简 写为:
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6. 4离散时间系统状态方程的建立
• 式中x(k)为状态矢量，e(k)为输入矢量，Y(k)为输出矢量，A, B, C, D 为相应的系数矩阵:
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6. 5离散时间系统状态方程的求解
• 6. 5. 1离散时间系统状态方程的时域求解
• 一般离散时间系统的状态方程表示为: • 此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 • 设给定系统的初始条件为x(0)，将k等于0，1, 2等依次代人式(6.5.1)
第6章状态变量分析法
间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
6
通信与信息基础教学部
状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
11
Байду номын сангаас
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
16
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
17
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M
系统的状态变量分析法
出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。来自3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状
第6章系统的状态变量分析法
∴ dv c ( t ) 1 1 1 = iL (t ) − vc (t ) + x 2 (t ) dt C R2 C R2C
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
1、状态变量和状态变量模型2、状态空间表达式的建立3、状
状态空间：以状态变量x1 ( t ), x2 ( t ),...,xn ( t )为坐标轴构成的n 维空间。在某一特定时刻 t ，状态向量 X ( t ) 是状态空间的一个 点。 状态轨迹：以 X ( t ) X ( t0 ) 为起点，随着时间的推移，X ( t ) 在状态空间绘出的一条轨迹。
第一章
控制系统的状态空间描述
1、状态变量和状态变量模型
2、状态空间表达式的建立
3、状态空间表达式的线性变换 4、传递函数矩阵 5、组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
2019/1/14
1
第一节 动态系统的状态变量 和状态变量模型
2019/1/14
2
动力学系统：能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。 [术语]： 状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。 状态变量：完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。 完全描述：如果给定t=t0时刻这组变量值，和 t>=t0时输入的 时间函数，那么，系统在t>=t0任何瞬间的行为就完全确定。 最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不 完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
2019/1/14 19
2.)根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：
diL u R i L 2 c C dt R ( i i ) L diL e ( t ) 1 C L dt 右回路 左回路
du 将 ic c dtc 代入上式，消去中间变量 ic ，并整理得：
0 x1 有： 1 x2 L
1 0 x C 1 1 u R x 2 L L
第一章
控制系统的状态空间描述
1、状态变量和状态变量模型
2、状态空间表达式的建立
3、状态空间表达式的线性变换 4、传递函数矩阵 5、组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
2019/1/14
1
第一节 动态系统的状态变量 和状态变量模型
2019/1/14
2
动力学系统：能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。 [术语]： 状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。 状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆系统在 t<to时的全部输入信息。 状态变量：完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。 完全描述：如果给定t=t0时刻这组变量值，和 t>=t0时输入的 时间函数，那么，系统在t>=t0任何瞬间的行为就完全确定。 最小个数：意味着这组变量是互相独立的。减少变量，描述不 完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。
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2.)根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：
diL u R i L 2 c C dt R ( i i ) L diL e ( t ) 1 C L dt 右回路 左回路
du 将 ic c dtc 代入上式，消去中间变量 ic ，并整理得：
0 x1 有： 1 x2 L
1 0 x C 1 1 u R x 2 L L
状态变量模型的基本概念
状态变量模型的基本概念状态变量模型是一种用于描述动态过程中各种状态的数学模型。
它是由一组状态变量和状态方程组成，通过定义状态变量之间的关系，可以推导出系统在不同时间点的状态。
在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
状态变量是用来描述系统状态的变量，它们可以是离散的或连续的。
比如，机械系统的状态变量可以是位置、速度和加速度；电路系统的状态变量可以是电荷和电流；经济系统的状态变量可以是价格和产量等。
这些状态变量的变化规律可以通过一组状态方程来描述。
状态方程是用来描述状态变量之间的关系的方程。
它可以是代数方程、微分方程或差分方程，取决于系统的性质和应用的要求。
状态方程通常包含两部分：状态变量的演化方程和外部输入的影响方程。
状态变量的演化方程描述了状态变量随时间的变化规律，而外部输入的影响方程描述了外部因素对系统状态的影响。
在状态变量模型中，系统的状态可以通过给定初始条件和外部输入来确定。
通过求解状态方程，可以得到系统在不同时间点的状态。
这种方法可以用于模拟和预测系统的行为，从而为系统设计、控制和优化提供依据。
状态变量模型的应用非常广泛。
在物理学中，状态变量模型可以用来描述天体运动、流体力学和热传导等过程。
在工程学中，状态变量模型可以用来描述机械系统、电路系统和控制系统等。
在经济学中，状态变量模型可以用来描述市场供需关系、经济增长和金融市场等。
此外，状态变量模型还可以用于生态学、生物学和社会科学等领域。
在实际应用中，状态变量模型可以通过数值方法进行求解。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法和有限元法等。
这些方法可以通过离散化状态方程，将连续的变化转化为离散的时间步骤，从而得到系统在离散时间点的状态。
总之，状态变量模型是一种描述动态过程中各种状态的数学模型。
通过定义状态变量和状态方程，可以推导出系统在不同时间点的状态。
它在物理学、工程学、经济学等领域中有广泛的应用，可以用于模拟和预测系统的行为，为系统设计、控制和优化提供依据。
状态变量
y(n) (b2 b0a2 )
(b1
b0a1
)
w1 w2
(n) (n)
b0
x(n)
上面两式分别称为此二阶网络的状态方程和输出方程，分别表 示输入与状态变量的关系和输出与状态变量的关系。
状态方程左端是n+1时刻的状态变量的值，它由输入信号、系 统参数以及n时刻的状态变量值确定。
带入2)式
Y (z) CzI A 1 BX (z) dX (z)
则
H (z) Y (z) CzI A1 B d
X (z)
A1 A* det(A)I 为NxN单位矩阵来自例 0 1 0
A
a2
a1
,
B
1
C b2 a2b0 b1 a1b0 , d b0
单输入单输出的情况：
d
x(n)
W(n 1) W(n)
y(n)
B
z 1
C
A
W(n), W(n 1) 是状态矢量，A矩阵是 W(n) 到 W(n 1) 那些支路增 益组成的矩阵
aij 表示第j个状态变量节点wj (n) 到第i个状态变量节点wi (n 1) 的支路增益
• B矩阵是输入x(n)到状态矢量 W(n 1) 的支路增益组成的系 数矩阵
用n代替n’ nn0 W(n) Ann0 W(n0 ) Al1Bx(n l) l 1 第一项与输入无关，成为零输入响应；第二项与初始状态无 关，称为零状态响应。由系统的输出方程
y(n) CW(n) dx(n)
则系统的单位抽样响应
h(n) CW(n) d (n)
状态变量和状态变量模型状态空间表达式的建立状
0 x1 有： 1 x2 L
1 0 x C 1 1 u R x 2 L L
简写为：x Ax Bu
（2）如果令状态变量为： x1 uc , x2 uc ，则：
a1n a2 n , n n维系统矩阵 , 表征各状态变量间的关 系 ann
b11 b B 21 bn1
2019/3/20
b12 b22 bn 2
b1r b2 r n r维输入矩阵 , 表征输入对每个变量的 作用 , bnr
di1 R1 R1 1 i i L1 1 L1 2 L1 u1 dt di2 R1 R1 R2 1 i i u 1 2 2 dt L L L 2 2 2 uA i1 R1 i2 R1 u2 1 L1
u2
2019/3/20
17
3）状态空间表达式为： R1 1 1 1 R i i L1 L1 u1 1 L1 L1 1 R1 R1 R2 1 0 i u i L2 2 L2 2 L2 2 i1 u1 uA R1 R1 0 1 i2 u2
简写为：x Ax Bu
12
[系统动态方程的模拟结构图]：
常用符号：
积分器
比例器
ki
加法器
注：1、积分器个数与状态变量个数一致。 2、加法器不标“＋”、“－”号，一律默认为加法 “＋”。 模拟结构图：
D
u
B
x
A
x
C
[工学]系统的状态变量分析法
前向通路的增益 : g1 H1H2H3
由于所有环路都与该条 前向通路接触
H1(s) g111
H1H2H3
1[H1H2G1 H2H3G3 H3G2 H1H2H3G1G2]
§9.4连续时间系统状态方程的建立
状态方程的建立方法
直接编写法
直观编写 网络拓扑分析编写 系统编写（借助计算机自动编写）
+
e(t-)
I1 L
uL I2
UR
ห้องสมุดไป่ตู้
I 2 (s) [uL (s) uR (s)]c2 s
uR (s) RI2 (s)
E(s)
I1(s)
uL (s)
I2 (s)
uR (s)
R(s)
c1s
Ls
c2s
R
1
c1s ls c2s
H (s) 1
k
Tk k
1 (Lc1s 2 Lc2 s 2 Rc2 s) Lc1c2 Rs 3
a
nn
x
n
b n1
b12 . b1n f1
b 22
.
b
2p
f
2
. . . .
bn2
.
b
2p
f
p
n p
y1 c11 c12 .
y .
2
c 21 .
c 22 .
. .
yq
cq1
1RL
C
1 L 0
iL (t) vC (t)
状态变量分析法
B b1 b2 D d
式(5.5.8)和式(5.5.9)分别称为图5.5.2二阶网络的状
态方程和输出方程。 如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号： x1(n),x2(n),…,xM(n) ， L 个输出信号 y1(n),y2(n),… ， yL(n) ， 则状态方程和输出方程分别为
y(n) [c1c2 ][1(n)2 (n)]T dx(n)
再用矩阵符号表示：
(5.5.6)
(5.5.7)
W (n 1) AW (n ) Bx(n) Y (n) CW (n ) Dx(n)
(5.5.8) (5.5.9)
T
a11 a12 A , a21 a22 C c1 c2 ,
状态变量分析法
1. 状态方程和输出方程 状态变量分析法有两个基本方程，即状态方程和 输出方程。状态方程把系统内部一些称为状态变量的 节点变量和输入联系起来；而输出方程则把输出信号 和那些状态变量联系起来。 一般状态变量选在基本信
号流图中单位延时支路输出节点处。
图5.5.1是二阶网络基本信号流图，有两个延时支路， 因此建立两个状态变量w1(n)和w2(n)。下面建立流图中其 它节点w′2和输出y(n)与状态变量之间的关系。
将以上w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式：
(5.5.1) (5.5.2)
(5.5.3)
1 (n 1) 0 (n 1) 2 a2
1
1 (n) 0 x(n) a1 2 (n) 1
2 (n 1) 2 2 (n 1) a21 (n ) a1 2 (n ) x(n ) 1 (n 1) 2 (n ) y (n ) b21 (n ) b1 2 (n ) b0 2 (b2 a2b0 )1 (n ) (b1 a1b0 ) 2 ( n ) b0 x( n )