高中数学 3.1空间向量的线性运算课件 新人教B版选修2-1
D1 A1 B1
C1
a
D A C B D B C
A
平行六面体：平行四边形ABCD沿向量
a
平移
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3
A
证明：显然
MN MA AD DN
① ②
M D
MN MB BC CN
由已知得
N
B C
①
+② ∴
MA MB,
DN CN
2MN AD BC
MN 1 ( AD BC ) 2
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
(a b) c a (b c) 数乘分配律
(a b) c a (b c) 数乘分配律
(a b) a＋b
(a b) a＋b
作业
空间四边形 ABCD中， AB a ， BC ＝b ， AD c ， 试用a, b, c来表示CD， AC, BD.
加法交换律 a b b a
加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律
(a b) c a (b c)
数乘分配律
(a b) a＋b
(a b) a＋b
A1 G D1 B1 C1
M
D C 1 ( 4) AB AD CC1 2 A B 解： (1) AB BC＝AC; (2) AB AD AA 1 AC AA 1 AC CC 1 AC 1
空间向量的线性运算
复习回顾：平面向量 既有大小又有方向的量。 1、定义： 2、表 示 方 法
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
3、相等向量：长度相等且方向相同的向量
B A D C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
CA OA OC
(2) 2 AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
A1 D1 B1 C1
x 1.
A
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) AC AB1 AD1 x AC1
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘: a, 为正数,负数,零 数乘: a, 为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
b a
向量加法的平行四边形法则
a b a
向量减法的三角形法则
a a
向量的数乘
( >0) (<0)
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
ab ba (a b) c a (b c)
加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律：
(a b) a＋ b
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
B
M
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在正方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(3) AC AB1 AD1
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD) 2( AD AB AA1 )
2 AC1
D1 A1 B1 C1
x 2.
A
D B
C
例3 M,N分别是四面体ABCD的棱AB,CD的中点， 求证：MN
1 ( AD BC ) 2
A A1
D1 B1
C1
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A A1 D1 B1 C1
D B
C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
a
>0) (
(<0)
空间向量的加减法 空间向量的数乘
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法:三角形法则或平行四边形 加法 法则 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 （零向量与任意向量共线） 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘: a, 为正数,负数,零 数乘: a, 为正数,负数,零 运 算 律
D G
B
M
C
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2 ＝BM MG MB MG
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D
B
C
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
A2
An1
An
A1
An1
A2
A4
An A3
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
A2
An1
An
A1
An1
A2
A4
An A3
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
高中数学选修2-1第3章3-1空间向量及其运算课件
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展
到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法交换律 a b b a 加法结合律
OG kOC,OH kOD. 由于四形ABCD是平行四形，所以 AC AB AD . 因此
EG OG OE kOC kOA=k AC
k( AB AD) k(OB OA OD OA)
OF OE OH OE EF EH 由向量共面的充要件知E ,F,G ,H 四共面.
（3）在正方体 ABCD - A中1B，1C1必D1有
. AC = A1C1
（4）若空间向量 m,n满,p足
，m = n,n = p
则 m . p
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
其中不正确命题的个数是（ C）
A.1 B.2 C.3 D.4
数学 选修2-1
2.给出以下几种说法：
①若| a |＝| b |，则a ， b 的长度相同，方
a+b=b+a （2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c)
数学 选修2-1
证明加法交换律:
C
a
B
o
a
A
因为 OA = CB = a， AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.
数学 选修2-1
证明加法结合律: O
a
A
C
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的基本定理 (2)
第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理高中数学选修2-1·精品课件引入课题平面向量中包含哪些基本定理形式？能否将平面向量的定理推广到空间向量？其形式又会有怎样的变化？知识点一：共线向量定理规定：零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a ∥b .2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使 a =λb .推论:如果l 为经过已知点A 且平行已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,满足等式OP =OA +t a ,其中 a 叫做直线l 的方向向量.探究点：三点共线如何利用共线向量定理判定三点共线？AC BOAC=λABOC−OA=λ(OB−OA) OC=(1−λ)OA+λOBA、B、C三点共线⇔OC=xOA+yOB(其中O为空间中任意一点，且x+y=1)特别有：当B为线段AC的中点时OB=12(OA+OC)例1 如图所示，已知空间四边形ABCD，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，且CF=23CB，CG=23CD.利用向量法证明四边形EFGH是梯形．[思路探索]只需证EH∥FG，且EH≠FG即证EH∥FG，且|EH|≠|FG|利用BD构建EH与FG的关系∵E、H分别是边AB、AD的中点，∴AE=12AB，AH=12AD，EH=AH−AE=12AD−12AB＝12(AD−AB)＝12BD＝12(CD−CB)＝12(32CG−32CF)＝34(CG−CF)＝34FG，∴EH∥FG，且|EH|≠|FG|,又F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形．证明：跟踪训练1.设两非零向量e1、e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)．试问：A、B、D是否共线，请说明理由．解:∵BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝5(e1+e2)，∴BD＝5AB又∵B为两向量的公共点，∴A、B、D三点共线．知识点二：共面向量共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.想一想，为什么？说明：空间任意两个向量都是共面向量，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.探究点：共面向量定理1.若 a 与b 为不共线的两个向量， p 、 a 、b 共面，p 能被 a 、b 唯一表示吗？想一想，为什么？存在唯一有序实数对(x , y ) p =x a +y b2.若存在唯一有序实数对(x , y )，使 p =x a +yb ，则 p 、 a 、b 共面吗？ab xayb p 平行四边形的对角线三个向量共面共面向量定理如果两个向量a 、b 不共线,则向量p 与a 、b共面的充要条件是:存在唯一的有序实数对(x , y )使p =x a +y b .知识点四：四点共面类似于共线向量定理可以判定三点共线，利用共面向量定理怎样判定四点共面？AP =mAB +nAC系数和等于1APCBOOP −OA =m(OB −OA)+n(OC −OA )OP =1−m −n OA +mOB +nOCP 、A 、B 、C 四点共面⇔OP =xOA +yOB +zOC (其中O 为空间中任意一点，且x +y +z =1)例2 如图所示，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连结PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连结MN，NQ，QR，RM.应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面．[思路探索]只需找到EF，EG，EH的线性关系证明：∵E、F、G、H分别是所在三角形的重心，∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有PE=23PM，PF=23PN，PG=23PQ，PH=23PR.∵MNQR为平行四边形，∴EG=PG−PE＝23PQ－23PM＝23MQ＝23(MN＋MR)＝23(PN−PM)＋23(PR−PM)＝23(32PF−32PE)＋23(32PH−32PE)＝EF+EH.∴由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.2.已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE＝k OA，OF＝k OB，OG＝k OC，OH＝k OD＝k，求证：(1)四点E、F、G、H共面；(2)平面EG∥平面AC.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD，EG=OG−OE＝k OC－k OA＝k AC＝k(AB+AD)＝k(OB−OA+OD−OA)＝OF−OE+OH−OE＝EF+EH.所以E、F、G、H共面．(2)EF＝OF−OE＝k(OB−OA)＝k AB，且由第(1)问的证明中知EG＝k AC，于是EF∥AB，EG∥AC.且EF∩EG＝E，AB∩AC＝A，所以平面EG∥平面AC.知识点五：空间向量基本定理如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}，使得p=x a+y b+z c.{a, b, c}为空间中的一个基底a, b, c叫做基向量.cabx ay bz c p(1)任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底.(2)基底不同，对于向量的分解形式不同.典例分析解：例3 若{a ，b ， c }是空间的一个基底，判断{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }能否作为该空间的一个基底．假设a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋ c )＋μ( c ＋a )，∴a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ) c .∵{a ，b ，c }为基底，∴a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a 不共面．∴{a ＋b ，b ＋ c ， c ＋a }可以作为空间一个基底．∴λ=1，μ=1，λ+μ=0，此方程组无解．是否共面3.以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．【解析】因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．【答案】②③例4空间四边形OABC 中，M ，N 是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝ c ，用向量a ，b ， c 表示向量OM ，ON ，MN .AC BO PNMac b如图，取BC 中点P ，则A 、M 、P ，O 、N 、P 分别共线，连结AP ，OP .AM ＝OA ＋AM ＝a ＋23AP＝a ＋23×12(AB ＋AC )，解：利用线性运算，结合图形，对向量进行分解＝a＋13(OB－OA)＋13(OC－OA)＝a＋13b－13a＋13c－13a＝13a＋13b＋13c.ON＝23OP＝23×12(OB＋OC)＝13b＋13c.MN＝ON－OM＝13b＋13c－13b－13c－13a＝－13a.A CBOPNMa cb4.如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.解:连结BO，则BF＝12BP＝12(BO＋OP)＝12(c－b－a)＝－12a－12b＋12c.BE＝BC＋CE＝－a＋12CP＝－a＋12(CO＋OP)＝－a－12b＋12c.AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋(PO＋OC)＝－a＋c＋12(－c＋b)＝－a＋12b＋12c.EF＝12CB＝12OA＝12a.归纳小结1.用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题. 2.在解决空间向量问题时，结合图形，以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！D1．下列命题中正确的个数是()①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线②向量a、b、c共面即它们所在的直线共面③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb A．1B．2 C．3 D．02.已知三角形ABC中，AB|AB|+AC|AC|=AD|AD|则D点位于( )A.BC边的中线上B.BC边的高线上C.BC边的中垂线上D.∠BAC的平分线上D3.已知{a，b，c}是空间向量的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()DA．a B．b C．a＋2b D．a＋2c4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝x OA＋y OB＋z OC，则(x，y，z)为()A.(14,14,14) B.(34,34,34)C.(13,13,13) D.(23,23,23)A再见。
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.1 空间向量的线性运算
3.在解决空间向量问题时，结合图形， 以图形为指导不但事半功倍，更是迅速解题的关键！
当堂训练
1．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( B ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
当堂训练
2．对于空间非零向量������������，������������ ，������������ ，下列各式一定不成立
方向 当λ>0时， λa与向量a的方向相同
λa
当λ<0时， λa与向量a的方向相反
大小 |λa|=|λ|·|������|
分配律： λ(a + ������)= λa + λ������ 运算律
结合律：λ(μa)= (λμ)a
������
λ>0 λ<0
典例分析
例1 给出以下命题： ①若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a = b ； ②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有������������ = ������1������1； ③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确的命题序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．
= ������������ˊ＋������ˊ������ˊ
平行四边形法则
= ������������ˊ.
跟踪训练
2.化简 ������������ − ������������ − ������������ − ������������ .
解：(������������ − ������������) − (������������ − ������������)
������ + ������ + ������ = ������ + (������ + ������)
【创优设计】高二数学人教B版选修2-1课件3.1.1 空间向量的线性运算
思考 3 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,它们的和 向量有什么特点? 提示:和向量为 0.
点拨空间向量的线性运算中,加法满足三角形法则和平行四边形
法则,减法满足三角形法则. (1)在△ABC 中,������������ + ������������ + ������������=0. (2)以向量 a,b 为邻边的平行四边形中,a+b 与 a-b 所表示的是两条对角 线所对应的向量,|a+b|与|a-b|为两对角线的长度. (3)三个不共面的向量和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对 角线所表示的向量.
第三章
空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量的线性运算
课程目标 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的 表示方法. 2.学会空间向量的加法、减法、数乘向 量及它们的运算律. 3.能用空间向量的线性运算解决简单的 立体几何问题.
学习脉络
1.向量的有关概念
思考 1 空间向量与平面向量的关系是怎样的? 提示:平面向量的集合是空间向量集合的子集,平面向量的概念在空间 向量中仍然成立.如相反向量的概念、 向量等式中的移项法则、 零向量的性 质在空间向量中仍然成立. 思考 2 零向量是没有方向的吗? 提示:不是,零向量的方向是任意的.
高中数学 3.1.1 空间向量的线性运算课件 新人教B版选修21
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 选修2-1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 选修2-1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
RB ·数学 选修2-1
教
学
易
教 法
3．1 空间向量及其运算
错 易
分
误
析
辨
析
教
3．1.1 空间向量的线性运算
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
RB ·数学 选修2-1
易 错 易 误 辨 析
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
教
学
易
教
空间向量的线性运算
法
错 易
分 析
【问题导思】
误 辨
析
教 学
1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？
当
方 案
空间向量运算的正交分解及基坐标表示PPT教学课件
x1 x2 y1 y2 z1z2 x12 y12 z12 x22 y22 z22
已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
则线段 AB 的中点坐标为 ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
2
2
2
练习 1
⑴已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0,2) ,
B M O
D
O
A
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且OP xOA yOB，求 x y的值.
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且OP xOA yOB，求 x y的值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB
“看得见的手”
政府是“看得见的手” 政府调控的必要性 政府调控的措施 两只手结合
为什么不能只用“看不见的 手”？
防洪堤
l 市场无法提供的物品
路灯
l 某些产品不能任由市场调节
l 市场调节的弱点
滞后性 自发性 盲目性
枪支 毒品
物品
私人物品 公共物品
如苹果
私人物品 具有排他性 购买才能消费
市场调节
及其应用． • 教学难点：对点在已知平面内的充要条件的理解与运用． • 授课类型：新授课. • 课时安排：1课时.
空间向量及其运算-共线与共面
复习问题引入 练习1、2
共面向量定 理
共线与共面分析
复习回顾:
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
高中数学人教B版选修2-1课件：3.1.1 空间向量的线性运算 (2)
走进教材
1．空间向量的概念及表示
定义 长度
在空间，把具有大小 和方向 的量叫做空间向量
向量的 大小 叫做向量的长度或 模 .
几何表示
空间向量用 有向线段 表示
表示法 代数表示
走进教材
长度为0 模为1 相同
相等
相等
相反
与有向线段 的起点无关
走进教材
»3．空间向量的加减法与运算律
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：
自主练习
D
自主练习
典例导航
题型一：空间向量及其有关概念
B
典例导航
【解析】
变式训练
B
与方向无关
不满足 平行四边形时满足
典例导航
题型二：空间向量的加减运算
解：
未知向量放在三角形中 运用加减法的三角形法则
A
D
B
C
变式训练
2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，以如图所示中一对顶点构造向量， 使它们分别等于：
空间向量 的加减法
O→B＝O→A＋A→B＝______； C→A＝O→A－O→C＝______.
加法运算律0
λ<0
方向关系 方向 相同 .
方向 相反 .
模的关系 |λ|倍
走进教材
自主练习
C
自主练习
2．在平面向量中，下列说法正确的是( D ) A．如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等 B．如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同 C．如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量
第三章 空间向量与立体几何
3.1.1 空间向量的线性运算
高中数学选修2-1·精品课件
高中数学人教B版选修2-1配套课件：3.1.1空间向量的线性运算
直线 ． (5)向量的基线：表示向量的有向线段所在的________ 平行或重合 的空间向 (6) 共线向量或平行向量：基线 _____________ 共线 ． 量，规定：零向量与任意向量________
→ → 名师点拨：在空间中，A 为向量AB的起点，B 为向量AB的 终点．
2．空间向量的加法、减法和数乘向量的运算
[思路分析]
断即可． [答案] C
这是一道概念题，关键是理解好概念逐个判
[ 解析]
①空间中所有单位向量移到同一起点，应为球面，
②a，b 方向不一定相同， → → ③在正方体中AC与A1C1方向相同，长度也相等，故正确， ④正确， ⑤任两个单位向量其模为 1，但方向可以不同故错误，故 选 C.
[方法总结]
第三章
空间向量与立体几何
向量最初被应用于物理学．很多物理量都是向量，如：
力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度．大约公元前 350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成 向量，两个力的组合作用可以用平行四边形法则来得 到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先 使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿．历史上很长一 段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，量为邻边的平行 六面体的对角线所表示的向量．
1.已知λ∈R，a为非零向量，则下列结论正确的是(
)
A．λa与a同向
C．λa可能是0 [答案] C
B．|λa|＝λ|a|
D．|λa|＝|λ|a
2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 下列各式中运算的结 → 果为向量AC1的共有( → → → ①AB＋BC＋CC1 → → → ③AB＋BB1＋B1C1 A．1 个 C．3 个 ) → → → ②AA1＋A1D1＋D1C1 → → → ④AA1＋A1B1＋B1C1 B．2 个 D．4 个
【公开课课件】选修2-1_3.1.1+3.1.2 空间向量及其线性运算
解题总结：
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x, y使得： AP x AB y AC,或对空间任意一点O有: OP OA x AB y AC
独立思考，形成结论
二个向量共线的充要条件____________ 三个向量共面的充要条件____________
四点共面的充要条件____________
结合课本86-88页探究
平面向量基本定理：
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么 对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 x，y使___a___x_e1___ye_2___.
相等向量 相反向量 单位向量
零向量
方向相同且长度相等 方向相反且长度相等 长度为 1 的向量 长度为 0 的向量
跳出平面，明确概念
跟踪：给出以下命题： ① 两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
② 若空间向量 a 和 b 满足 a b ，则 a = b ；
③ 空间中任意两个单位向量必相等； ④ 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。 其中正确命题的个数是_______.
布置作业，独立探究
书面作业： 课本第89页 第1、2、3题； 课本第97页 A组第1、2题；
练习册对应的章节
探究2
对于空间任意一点O,满足向量关系OP xOA yOB(其中x y 1) 的三点P、A、B共线。 类比猜想：设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足
高中数学3-1-2空间向量的基本定理课件新人教B版选修
• 说明：①在此定理中必须要有b≠0这个条件，②在a＝xb中， 对于确定的x和b，a＝xb表示空间与b平行的且长度为|xb|的 所有向量，③利用共线向量定理可以证明两线平行，或三 点共线．
• 2．共面向量基本定理 • ①a∥α 是指a的基线在平面 α 内或平行平面 α.②共面向量 是指这些向量的基线平行或在同一平面内，共面向量的 基线可能相交、平行或异面．
空间向量分解定理的推论：设 O、A、B、C 是不共面 的四点，则对空间任一点 P，都存在唯一的三个有序实数 → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC → ， 特别地，若 x＋y＋z x，y，z，使OP ＝1，则必有 P、A、B、C 四点共面．
• 3．空间向量基本定理 • ①用空间三个不共面的已知向量组{a，b，c}可以线性表 示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的． • ②空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一 个基底． • ③由于 0 可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两 个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都 不是0. • 要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底 中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
如图所示， 空间四边形 OABC 中， G、 H 分别是△ABC、 → ＝a，OB → ＝b，OC → ＝c，试用向量 a、 △OBC 的重心，设OA →. b、c 表示向量GH
[解析]