1.8.3平方差公式与完全平方公式.ppt
平方差公式与完全平方公式PPT教学课件
宋陵文官石像
宋陵武将石像
宋朝设置“中书门下”
元世祖忽必烈
忽必烈建立元朝后，废除三省， 实行一省制，只设中书省。中书省的长 官为左、右丞相和平章政事，是元代的 宰相。六部也归入中书省。
丞相制度的废除
朱元璋
朱元璋明孝陵神道石兽 （位于南京）
南京皇城午朝门
南京皇城午朝门，即午门，是传达圣旨的地方，也是 对大臣施“廷杖”的地方。原有城楼已毁。
自秦始置丞相，不旋踵而亡。汉唐宋因之，虽有贤相，然其间 所用者，多有小人，专权乱政。今我朝罢丞相，设五府、六部、都察 院、通政司、大理寺等衙门，分理天下庶务，彼此颉颃，不敢相压。 事皆朝廷总之，所以稳当。以后子孙做皇帝时，并不许立丞相。
——《皇明祖训》
明朝中央集权表
明朝之中央机构分布图
明朝的内阁与清朝的军机处
总面积=a2+
ab+ab+b2.
法二 求
a
b
图1—6
公式: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2.
动脑筋 完全平方公式 的证明
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2 ; (a−b)2= a2 −2ab+b2.
你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?
推证 (a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ ab+b2 =a2+2ab+ b2 ;
=( 4a2 – 12ab + 9b2 )
例2、利用乘法公式计算：
(1) ( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
解：( x+3 ) ( x- 3 ) (x2-9 )
8.3完全平方公式与平方差公式(第2课时--平方差公式)
平方差公式
(a b)(a b) a b
2
2
两数和与这两数差的积等 于这两数的平方差.
课后作业
一、必做：课本71页,习题8.3第2、4、5、6题 二、选做：
你能用右图中 图形面积割补的方 法，说明平方差公 式吗？
a
b b
a
与平方差 与平方差 写成“a2-b2” 公式中a 公式中b 的形式 对应的项 对应的项
2
3n
3x
2m
2 3x
2
2
(3n)² -(2m)²
2.下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
(1) ( x 6)(x 6) x 6
2
错
2
( x 6)(x 6) x 6 x 36
2 2
(a b)(a b) (a) (b)
相反为b
合理加括号
注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是 两个多项式．
合作学习
例2 利用乘法公式计算：
2
(1)1999 2001 (2)(x 3)(x 3)(x 9)
解 (1)1999 2001 (2000 1) 2000 1
2
两数和
两数差
两数平方差
平方差公式：
两数和与这两数差的积等 于这两数的平方差.
3.在边长为 a 的大正方形中，割去一个边长为b 的小正方形.小明想将剩下的黄色部分分割后拼成一 个长方形，他能拼成功吗?
a
a
2
b
a-b
a b
2
a
a-b (a b)(a b)
b
b
a-b
=
平方差公式：
相同为a
适当交换
完全平方公式与平方差公式-----完全平方公式课件数学沪科版七年级下册
=2002-2×200×3+32
=10000+400+4
=40 000-1 200+9
=10 404.
=38 809.
例5
计算：(x + y + z)2.
解：原式 = [x + (y + z)]2
= x2 + 2x(y + z) + (y + z)2
= x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2
=16x²+20xy+20xy+25y²
=16x²+40xy+25y².
−
1
)(
2
− )
1
= ²
4
−
1
2
1
2
1
= ²
4
− + ².
−
²
+
例2.若x2+(m-3)x+16是完全平方式,则m的值为( C )
A.11或-7
B.13或-7
C.11或-5
D.13或-5
解析：x2+(m-3)x+16可以写成x2+(m-3)x+4²或x2+(m-3)x+(-4)²的情势.
(a - b)² = a² - 2 a b + b²
=9a²-12ab+4b².
例1 用完全平方公式计算:
(1)(2x-3)2;
解：(1)(2x-3)(2x-3)
=4x²-6x-6x+9
=4x²-12x+9.
(2)(4x+5y)2;
完全平方公式-完整版PPT课件
知识要点 添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）
典例精析
例5 运用乘法公式计算: 1 2y-3-2y3 ; 2 abc2 解: (原1)式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= 2-2y-32 = 2-4y2-12y9 = 2-4y212y-9 2原式 = [abc]2 = ab22abcc2
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十四章 整式的乘法与因式分解
142 乘法公式
1422 完全平方公式
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释（重点） 2灵活应用完全平方公式进行计算（难点）
导入新课
情境引入
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米形成四块实验田，以种植不同的新品种如图 用不 同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较
课堂小结
法则
完全平方 注 意 公式
常用 结论
a±b2= a2 ±2abb2
1项数、符号、字母及其指数
2不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2b2=ab2-2ab=a-b22ab;
4ab=ab2-a-b2
解：15－a2＝25－10a＋a2； 2－3m－4n2＝9m2＋24mn＋16n2； 3－3a＋b2＝9a2－6ab＋b2
二 添括号法则 去括号 abc = abc; a- bc = a - b – c 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： a b c=a b c; a–b–c=a– b c
沪科版数学七年级下册完全平方公式与平方差公式课件(3)
(3)公式中的a和b可以代表数， 也可以是代数式。
平方差公式
计算下列各题:
(1) (x+3)(x−3) ；==xx22−−932; ; (2) (1+2a)(1−2a) ；==112−−(42aa2)2; ; (3) (x+4y)(x−4y) ；==xx22−−(41y6)y22;;
平方差公式
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多项式乘法 用一个多项式的每一项
法则是:
乘另一个多项式的每一项
再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)=mn+mb+an+ab
:如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是以前学习的一种特殊多项
式的乘法—— 两个相同字母的
错 (x+y)2 =x2+2xy+y2 错 (x-y)2 =x2-2xy+y2
(3) (x-y)2 =x2+2xy+y2 错 (x-y)2 =x2-2xy+y2
(4) (x+y)2 =x2 +xy+y2 错 (x+y)2 =x2+2xy+y2
例1 运用完全平方公式计算： (1)(2x+y)2
解 (2x + y)2=(2x)2+2•2x •y + y2 (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 =4x2 + 4xy +y2
(a-b)2 =
人教版《完全平方公式》PPT完美课件
14.2.2 完全平方公式
第2课时
初中数学
知识回顾
平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2.
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2 ，(a-b)2=a2-2ab+b2. 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号
2.计算：
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
a+(b+c)=_______；
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (1) (x+2y-3)(x-2y+3)；
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
例1 运用乘法公式计算：
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)． 解：(2) (x－y－m＋n)(x－y＋m－n)
3.当x2-xy=18，xy-y2=-15时，求x2-2xy+y2的值. 解：x2-2xy+y2=x2-xy-xy+y2=(x2-xy)-(xy-y2). 因为x2-xy=18，xy-y2=-15， 所以x2-2xy+y2 =18-(-15)
=18+15 =33.
=x2-(2y-3)2
=(a+b) +2(a+b)c+c 2 a+(b+c)=_______；
有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用Байду номын сангаас式.
2
[x+(2y-1)]2
完全平方公式公开课ppt课件
如将表达式$(x+5)^2$展开，得到 $x^2 + 10x + 25$，比原式更为简 洁，方便后续的代数运算。
解决实际问题
总结词
应用示例
完全平方公式不仅在数学领域有广泛 应用，还能够帮助解决实际生活中的 问题。
如利用完全平方公式解决物理中的自 由落体问题，通过建立数学模型，求 出物体落地时的速度和位移。
批判性思维
03
在学习和应用完全平方公式的过程中，学生可以通过分析和评
价不同的方法和思路，培养批判性思维。
06
总结与展望
本节课的总结
完全平方公式的定义和形式
本节课介绍了完全平方公式的定义和形式，包括平方差公式和完 全平方公式，并通过实例进行了演示和讲解。
完全平方公式的应用
重点讲解了完全平方公式在代数、几何等领域的应用，包括因式分 解、求根公式、一元二次方程的解法等。
条件二
需要满足二次项系数为1的条件。在完全平方公式 中，二次项系数必须为1，否则无法应用完全平方 公式进行简化。
04
完全平方公式的应用实例
代数表达式化简
总结词
完全平方公式在代数表达式化简 中具有重要作用，能够简化复杂 的代数式，提高计算效率和准确
性。
详细描述
通过完全平方公式，可以将复杂的 二次项和一次项组合转化为简单的 平方形式，从而简化代数表达式的 结构，方便计算和推导。
完全平方数的个位数特征
个位数是0、1、4、5、6、9的数不一定是完全平方数， 但个位数是2、3、7、8的数一定是完全平方数。
完全平方公式的形式
完全平方公式：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
平方差公式与完全平方差公式
平方差公式与完全平方公式平方差公式：22))((b a b a b a -=-+说明：相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。
所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。
熟悉公式：(5+6x)(5-6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b(5+6x)(-5+6x)中 是公式中的a ， 是公式中的b(x-2y)(x+2y)中 是公式中的a ， 是公式中的b(-m+n)(-m-n)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a+b+c ）（a+b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b（a-b+c ）(a-b-c)中 是公式中的a ， 是公式中的b将下列各式转化成平方差形式（1） 36－x 2 （2）a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)2例1：计算下列各题1.（a+3）(a-3)2..( 2a+3b)(2a-3b)3. (1+2c)(1-2c)4. (-x+2)(-x-2)5. (a+2b)(a-2b)6. (2x+12)(2x-12)例2：计算下列各题：1、 1998×20022、1.01×0.99 3.（20-19）×（19-89）例3：：计算下列各题1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x-12)(x 2+ 14)(x+ 12)例4：计算下列各题1、（-2x-y ）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y) 4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)例5；计算下列各题1.（a+2b+c ）(a+2b-c)2.(a+b-3)(a-b+3)3.(m-n+p)(m-n-p)完全平方公式完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=± 注意不要漏掉2ab 项熟悉公式1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2=5.将下列各式转化成完全平方式形式(1)a 2－4a ＋4 (2)a 2－12ab ＋36b 2 (3)25x 2＋10xy ＋y 2(4)16a 4＋8a 2＋1 (5) (m ＋n)2－4(m ＋n)＋4 (6) 16a 4－8a 2＋1（7）249114x x --例1：计算下列各题1、2)(y x +2、2)23(y x -3、2)21(b a +4、2)12(--t5、2)313(c ab +- 6、2)2332(y x + 7、2)121(-x 8、(0.02x+0.1y)2 例2：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 （3）982 （4）2032例3：（1）若22)2(4+=++x k x x ，求k 值。
平方差公式与完全平方公式(二)精选教学PPT课件
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式平方差公式是先平方再减a²-b²= (a+b)(a-b)。
完全平方公式是先加减最后是平方(a±b)²=a²±2ab+b²。
平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差。
公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
该公式需要注意：1.公式的左边是个两项式的积，有一项是完全相同的。
2.右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
3.公式中的a，b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式。
完全平方公式指两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
为了区别，会叫做两数和的完全平方公式，或叫做两数差的完全平方公式。
这个公式的结构特征：1.左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍；2.左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）。
公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式。
该公式需要注意：1.左边是一个二项式的完全平方。
2.右边是二项平方的和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b可是数，单项式，多项式。
3.不论是(a+b)2还是(a-b)2，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。
4.不要漏下一次项。
5.切勿混淆公式。
6.运算结果中符号不要错误。
7.变式应用难，不易于掌握。
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即墨市28中学 姜进柱
师友提问： （1） 什么是平方差公式？ （2） 什么是完全平方公式？ （3）怎样叙述这两个公式？
平方差公式：
用语言叙述平 方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两数和与这两数差的积，等于 它们的平方差。
完全平方公式：
用语言叙述平 方差公式
(a ± b)2=a2±2ab+b2
两数和（或差）的平方，等于
它们的平方和，加（或减去）它们 的积的2倍．
1、计算：
(2x y)(2x y) (x 2)(x 2)
2、简单计算： (1) 498 502
x 62
y 52
(2) 102 2
化简：
（1）(a b)2 (a b)(a b) 2b2
(5a 3)2 (5a 3)2
已知，4x2 ax 36是完全平方式，
则a _______。
（2）(a b c)(a b c)
(3)已知，x2 ax 16是完全平方式， 则a _______。
(4)已知，a b 5, ab 6,求a2 b2的值。
1、利用公式进行计算：
(1) (a 2b)(2b a)
(2) (2a 3b)2 (3) (2a 1)2 (2a 1)2
பைடு நூலகம்
(1) 4x2 ax 16是完全平方式， 则a ______。
(2) x y 5, x2 y2 13,求xy.
1.你有哪些收获 ？
2.你有哪些要注意
的问题？
3.你（你的学友） 表现怎样？
2x 52
( y x)(x y) (x 3)2 (x 1)( x 1) (a b c)(a b c)
(4) (2x y)2 (x y)( x y)
2、在横线上添上适当的代数式 ，使等式成立
(1)a2 b2 (a b)2 __2_a_b_ (2)a2 b2 (a b)2 __2_a_b_ (3)(a b)2 (a b)2 __4_a_b___