首都师范大学附属中学2019-2020学年第一学期高一年级月考试卷数学及答案
2019-2020学年首师附第一学期高一年级
月考试卷（数学）
一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）
1．已知集合A={x|-2＜x ＜2}，B={-2，0，1，2}，则A∩B =
A ．{0，1}
B ．{-1，0，1}
C ．{-2，0，1，2}
D ．{-1，0，1，2}
2．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是
A ．a 1＜b 1
B ．ab ＜b 2
C ．-ab ＜-a 2
D ．-a 1＜-b
1 3．若-1≤x ＜y ≤1，则x-y 的取值范围为
A ．[-2，2]
B ．[-2，0）
C ．（0，2]
D ．（-2，2）
4．已知a+b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，-a ，-b 的大小关系是
A ．a ＞b ＞-b ＞-a
B ．a ＞-b ＞-a ＞b
C ．a ＞-b ＞b ＞-a
D ．a ＞b ＞-a ＞-b
5．“x ＞3”是“x 2-5x+6＞0”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知集合P={x|x 2≤1}，M={a}，若P ∪M=P ，则a 的取值范围是
A ．（-∞，-1]
B ．[1，+∞）
C ．[-1，1]
D ．（-∞，-1]∪[1，+∞）
7．给出下列命题： ①∃x ∈Z ，使x 3＜1； ②∃x ∈Q ，使x 2=2；
③∀x ∈N ，使x 3＞x 2； ④∀x ∈R ，使x 2+x+1＞0
其中正确的命题是
A ．①④
B ．②③
C ．①③
D ．②④
8．已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最
多有
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
9．如图所示，I 是全集，A ，B ，C 是I 的子集，则阴影部分表示的集合是
A ．（A ∩
B ）∩
C B ．（A ∩C I B ）∩C
C ．（A ∩B ）∩（C I C ）
D ．（C I B ）∪A ∩C
10．已知ab ≠0，则“a-b=1”是“a 3-b 3-ab-a 2-b 2
=0”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1+a 2=b 1+b 2=1，则下列代数式中值最大的是
A ．a 1b 1+a 2b 2
B ．a 1a 2+b 1b 2
C ．a 1b 2+a 2b 1
D ．2
1 12．用三个不等式a ＞b ，ab ＞0，a 1＜b
1中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
13．已知集合A={x|x=2m-1，m ∈Z }，B={x|x=2n ，n ∈Z }，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列说法不
正确的是
A ．x 1·x 2∈A
B ．x 2·x 3∈B
C ．x 1+x 2∈B
D ．x 1+x 2+x 3∈A
14．设集合A={x|-1≤x ＜2}，B={x|x ＜a}，若A ∩B ≠Φ，则a 的取值范围是
A ．（-∞，2）
B ．（2，+∞）
C ．（-1，+∞）
D ．（-1，2]
15．由实数x ，-x ，|x|，2x ，-3
3x 所组成的集合最多含
A ．2个元素
B ．3个元素
C ．4个元素
D ．5个元素
16．若集合A={x||x|≤1,x ∈R }，B={y|y=x 2,x ∈R }，则A ∩B=
A ．{x|-1≤x ≤1}
B ．{x|x ≥0}
C ．{x|0≤x ≤1}
D ．Φ
17．不等式(x+1)(|x|-1)＞0成立的充分不必要条件可以是
A ．x ∈（1，+∞）
B ．x ∈（2，+∞）
C ．x ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
D ．x ∈（-∞，-1）
18．设p ：函数y=3x 2+4x+m 的图像与x 轴无交点，q ：m ≥2-x 2对任意的x ∈R 恒成立，则p 是
q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
19．关于x 的方程x 2+(m-3)x+7-m=0的两根都大于3，则m 的取值范围是
A ．（-∞，1-25）∪（1+25，+∞）
B ．（-2
7，1-25] C ．（-∞，-
2
7）∪（1-25，+∞） D ．（-∞，1-25] 20．设计和S={A 0，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5}，在S 上定义运算“⊕”为：A i ⊕A j =A k ，其中k 为i+j
被4除的余数，i,j=0,1,2,3,4,5，则满足关系式(x ⊕x)⊕A 2=A 0的x （x ∈S ）的个数为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二、填空题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）
21．命题“∃x ∈R ，x 2+x+1＞0”的否定是_______________________________。
22．已知全集U=[-3，2），集合M=（-1，1），集合C U N=(0,2)，则M ∪N=_____________。
23．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种都买了的有3人，则
这两种都没买的有_______人。
24．若{(x ，y)| }⊆{(x ，y)|y=3x+c}，则c=__________。
25．若{a ，0，1}={c ，b
1，-1}，则a+b+c=__________。
26．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则
a a ||+
b b ||+ab
ab ||的可能取值所组成的集合中元素的个数为__________。
27．设x ＞5，P=4-x -5-x ，Q=2-x -3-x ，则P 与Q 的大小关系是P____Q 。
28．因式分解(x 2+2x)2-2(x 2+2x)-3=_______________________________。
29．因式分解(x-2)3+6x 2-12x=_______________________________。
30．若集合A={x|(x-1)2＜3x+7}，则A ∩Z 中有_______个元素。
31．若关于x 的不等式ax 2+bx-2＞0的解集是（-∞，-21）∪（3
1，+∞），则ab=_______________。
32．不等式x 2-|x|-6≤0的解集为_________________。
33．不等式的x 1＜2
1解集为_________________。
34．不等式1
2+x ≤1的解集为_________________。
35．已知集合A={x|1＜x ＜2}，B={x|x ＜a}，若A ⊆B ，则a 的取值范围是_________________。
36．已知集合A={x|-2＜x ＜5}，B={x|p+1＜x ＜2p-1},A ∪B=A ，则实数p 的取值范围是_______。
37．当x ∈R 时，不等式kx 2-kx+1＞0恒成立，则k 的取值范围是_________________。
38．若集合A={x|x 2+x-6=0}，B={x|x 2+x+a=0}，且B ⊆A ，则实数a 的取值范围是_________。
39．若|1-31
-x |≤2是|x-1|≤m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是___________。
40．设集合M={(x ，y)| x ∈[a-1，a+1]，m ∈[a-1，a+1]，且y=m 2-2m }中的所有点围成的平面
区域的面积为S ，则S 的最小值为___________。
三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
1．解关于x 的不等式
（1）(a-1)x ＞b （2）a(x-a)(x-
a 1)＜0
2．已知数集A={a 1，a 2，…a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2）具有性质P ：对任意的i ，j （1≤i ≤j ≤n ）,a i a j 与i
j a a 两数中至少有一个属于A 。
（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； （Ⅱ）证明a 1=1，且1121121......---++++++n
n a a a a a a =a n。
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B(含答案解析)
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷B选择题（本大题共10小题，共50.0分）设集^ = {x|x>l}, B = {X \X 2-2X -3<0}.则AHB =（）A. {x\x < —1}B. {x\x < 1}C. {x| — 1 < % < 1}D. {x|l < % < 3}已知命题p ： 3% > sinx > 1,则卡为（）A. Vx > 7, sinx< 1 B ・ Vx <sinx < 1 C ・ 3% > 7, sinx < 1 D ・ V £ sinx < 1函数几幻=疋一5的零点所在的区间是（）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D.(勺5)下列函数中，既是偶函数，又在(-QO.0)上单调递减的函数是()命题 7 G [-1,2], %2-a> 0”是真命题的一个充分不必要条件是（）A. a > 4 B ・ a < -1 C ・ a S 0 D ・ a S 1 已知函数门咒)为偶函数，且函数f(x)与8(幻的图象关于直线y =兀对称，若g(2) = 3,贝0/(-3)= ()A. —2B. 2C. —3D. 3已知函数/'(x)=x — 占，g(x) =x 2 - 2ax + 4,若任意七 G [0,1],存在x 2 £ [X2], (x x ) > 0(牝)，则实数“的取值范围为()•9 A. a > 3 B ・ a >- C ・ a > 2D ・ a >44 已知函数Z(x)=xk —2|,直线y = a 与函数f(x)的图象有三个交点A 、B 、C,它们的横坐标分 别为X], x 2f x 3 ,则%! + %2 + x 3的取值范围是()A. (3,4 + 血)B. (4,3+ V2)C. (3,4+ V2]D. R填空题(本大题共6小题，共30.0分) 计算：(扌)丄 + 8：+ (2019)0 = ______函数y = (% + 2)° — <2 + X 的泄义域是 _ .函数f(x) = -X 2 + 6% - 10在区间[0,4]的最大值是 ________1. 2. 3. 4. 5.6.7.& 9. 10. —\11. 12.13. A. y = -%2 B ・ y = 2"|x| c. y = 已知a VO, bV —「那么下列不等式成立的是()A. a>£>2 B ・-A* > - > a C ・-> a > -^ 若% < 0,则函数y = x + ?有()A.最小值4B.最大值4C.最小值-4 D ・ y = lg|%|D ・ l>^>aD.最大值-414.若关于A-的方程cos?% - sinx + a = 0在[0,兀]内有解，则实数"的取值范国是______ •15.已知函(x) =e x-x, g(X)=x2-bx+4,若对任意G (-1,1),存在巾G [1,2],使/(%!)>0(X2)，则实数b的取值范围为________ •16.已知函数/'(%) = {蔦；；'I 1若直线卩=皿与函数/'(x)的图象只有一个交点，则实数加的取值范围是 _____ .三、解答题(本大题共4小题，共40.0分)17.设集合力={咒哙<2-”<4}, B = {x\x2 - 3mx + 2m2 - m - 1 < 0}・(1)当%GZ时，求人的非空真子集的个数;(2)若3 = 0,求m的取值范I科：(3)若求〃】的取值范用・18.已知函^(/(%) = 2%2 - 4% - 5.⑴当xW[_2,2]时,求函数f(x)的最值;(2)当x G [t,t+ 1]时，求函数fU)的最小值g(t);(3)在第(2)问的基础上，求的最小值.19.某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处(如图)，一条海岸线AO{£城市O的正东方向, 另一条海岸线0B在城市0北偏东0(tan8 =扌)方向，位于城市0北偏东f 一a(cosa =春)方向15如2的P 处有一个美丽的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市。
北京市首都师范大学附属中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
【解析】
【分析】
计算得到 ，再利用和差公式计算得到答案.
【详解】 ,则 .
.
故答案为： .
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.
13.已知tan（3π+α）＝2,则 _____。
【答案】2
【解析】
【分析】
计算 ,化简得到原式 ，计算得到答案。
【详解】 。
原式 .
中，根据余弦定理求得 ，
∴ ．
(Ⅱ)由已知可得 ,
∴ ．
中，由正弦定理可得 ,
∴ 分钟．
即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛 ．
【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用,意在考查学生的建模能力,实际应用能力和计算能力.
20。f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1)以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α)x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2),则称f（x）为定义在D上的C函数。
根据 和 之间能否推出的关系，得到答案。
【详解】由 可得 ，
由 ，得到 或 , ，不能得到 ,
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件,
故选A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.
2。已知向量 , 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量 , 的夹角为（ ）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°
3。设 为第三象限角， ，则 （ ）
A. B. C。 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由同角关系求得 ，再由正弦的二倍角公式变形后求值．
【详解】∵设 为第三象限角， ,∴ ，
∴ ．
故选:D．
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京市首师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 已知集合，，则A ∩B 为( )A. B.C.D.2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A. a <b <√ab <a+b 2B. a <√ab <a+b 2<bC. a <√ab <b <a+b 2D. √ab <a <a+b 2<b3. 下列函数中，为奇函数的是( )A. y =2x +12x B. y =x ，x ∈{0,1}C. y =x ⋅sinxD. y ={1,x <00,x =0−1,x >04. 已知条件p:(x −m)(x −m −3)>0；条件若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−7)∪(1,+∞)B. (−∞,−7]∪[1,+∞)C. (−7,1)D. [−7,1]5. 把函数y =1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得函数的图象是( )A.B.C.D.6. 关于x 的方程x 2+mx +1=0有两个不相等的正实根，则实数m 的取值范围是 ( )A. m <−2B. m <0C. m <1D. m >07. 把集合{x|x 2−4x −5=0}用列举法表示为( )A. {x =−1,x =5}B. {x|x =−1或x =5}C. {x 2−4x −5=0}D. {−1,5} 8. 设集合M ={x|x ≤2√3}，a =√11+b ，其中b ∈(0,1)，则下列关系中正确的是( )A. a ⫋MB. a ∉MC. {a}∈MD. {a}⫋M9. 下列不等式：①a 2+1>2a ；√ab ≤2；③x 2+1x +1≥1，其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43)D. [−12,43]二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 若集合M ={x|x 2+x −6=0}，N ={x|ax +1=0}，且N ⊆M ，则由a 的可取值组成的集合为________．12. 已知函数f(x)={xlnx −2x,x >0,x 2+32x,x ≤0,函数g(x)=f(x)−kx +1有四个零点，则实数k 的取值范围是______．13. f(x)={cos π4x,x <0f(x −2),x ≥0，则f(2017)=______．14. 不等式ax 2+bx +c >0的解集是{x|−3<x <2}，则ab+c = ． 15. 给出下列四个结论：①函数f(x)=√2−x 2为奇函数；②函数y =2 √x 的值域是(1,+∞)； ③函数y =1x 在定义域内是减函数；④若函数f(2x )的定义域为[1,2]，则函数y =f (x2)的定义域为[4,8]． 其中正确结论的序号是________.(填上所有正确结论的序号)16. 有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有__________人17. 已知函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是________．18. 若P =√a +7−√a +6，Q =√a +10−√a +3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是________． 19. 已知集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},B ={2,3}，则A⋂(∁U B)= ________ ． 20. 若正实数a ，b 满足2a +b =1，则1a +12b 的最小值为_________．三、解答题（本大题共12小题，共60.0分）21.已知全集U=R，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}．(1)若k=1，求A∩∁U B；(2)若A∩B=⌀，求实数k的取值范围．22.已知函数y=f(x)(x>0)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，当x<1时，f(x)>0，且f(12)=1；(1)证明：y=f(x)是定义域上的减函数；(2)解不等式f(x−3)>f(1x)−2．23.(1)已知x>0，y>0，1x +2y+1=2，求2x+y的最小值．(2)已知a>0，b>0，a+b=1，比较8−1a 与1b+1ab的大小，并说明理由．24.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α0，β>0}，求不等式cx2+bx+a<0的解集．25.(1)求函数y=x2+8x−1(x>1)的最小值．(2)求函数y=x2+2021x+4042x+2的值域．26.(1)已知，求4a+1+a的最小值;(2)已知，且2a+b=1，求1a +1b的最小值．27.(1)若x，y>0，且2x+8y−xy=0，求x+y的最小值;(2)若−4<x<1，求x2−2x+22x−2的最大值．28. (1)已知x >1，y =x +1x−1，求函数的最小值；(2)已知a >0，b >0，函数f(x)=alog 2x +b 的图象经过点(4,12)，求1a +2b 的最小值．29. 求下列不等式的解集：(1)−x 2+4x +5<0； (2)2x−13x+1>0．30. (1)设x,y 是正实数，且1x +9y =1，求x +y 的最小值．(2)已知x <54，求函数y =4x −2+14x−5的最大值．31.已知关于x的不等式ax2−3x+2>0(a∈R)．(1)若ax2−3x+2>0在区间[1 , 3]上恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式ax2−3x+2>5−ax的解集．32.已知关于的一元二次方程x2−(m+1)x+(2m−1)=0．(1)若x=4是方程的一个实数根，求方程的另一个实数根；(2)若该方程有两个不相等的实数根x1,x2，且1x12+1x22=3，求实数m的值；(3)若m=0，求x3−1x3的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．根据交集的定义即可求解．【解答】解：因为集合，，所以，故选A．2.答案：B解析：【分析】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．因为0<a<b，作差得到a−√ab=√a(√a−√b)<0，得到a<√ab；b−a+b2=b−a2>0，得到b>a+b 2；由基本不等式得到a+b2>√ab，从而得到大小关系．【解答】解：因为0<a<b，所以a−√ab=√a(√a−√b)<0，故a<√ab；因为b−a+b2=b−a2>0，所以b>a+b2；由基本不等式知a+b2>√ab，综上所述，a<√ab<a+b2<b，故选B．3.答案：D解析：解：A.设f(x)=2x+12x=2x+2−x，则f(−x)=f(x)为偶函数．B.定义域关于原点不对称，∴函数为非奇非偶函数函数．C.y=xsinx为偶函数．D .满足f(0)=0，且f(−x)=−f(x)，∴函数为奇函数． 故选：D ．根据函数奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义和常见函数的奇偶性的性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：B解析： 【分析】分别解出p ，q 的不等式，根据p 是q 的必要不充分条件，即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【解答】解：条件p ：(x −m)(x −m −3)>0；解得：m +3<x ，或x <m ． 条件q ：x 2+3x −4<0.解得−4<x <1，∵p 是q 的必要不充分条件，∴1≤m ，或m +3≤−4，解得m ≥1或m ≤−7． 则实数m 的取值范围是(−∞,−7]∪[1,+∞)． 故选：B ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．把函数y =1x 的图象先经过左右平移得到y =1x−1的图象，再经过上下平移得到y =1x−1+1的图象． 【解答】解：将函数y =1x 的图象向右平移1个单位，得到y =1x−1的图象， 再把y =1x−1的图象向上平移一个单位，即得到y =1x−1+1的图象， 图象关于点(1,1)对称，当x =0时，y =0， 故选项A 的图象符合， 故选A ．6.答案：A解析：【分析】本题考查一元二次方程解的问题，属于基础题．方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则解得m的取值范围即可．【解答】解：方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则解得m<−2．故选A．7.答案：D解析：解：根据题意，解x2−4x−5=0可得x=−1或5，用列举法表示可得{−1,5}；故选：D．根据题意，解x2−4x−5=0可得x=−1或5，即可得{x|x2−4x−5=0}={−1,5}，即可得答案．本题考查集合的表示法，注意正确求解一元二次方程．8.答案：D解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，属基础题．由，所以a∉M．【解答】解：判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．，∴a∈M，故{a}⫋M．故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．利用基本不等式逐项分析判断即可．【解答】解：①a =1时，a 2+1>2a 不成立，①错误； ②a >0，b >0时，√ab≥√ab √ab =2，当且仅当a =b 时取等号，故②错误；③x 2+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1−1≥2−1=1，当且仅当x =0时，等号成立，③正确；因此正确的个数是1． 故选B ．10.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].11.答案：{0,−12,13}解析： 【分析】本题考查集合关系中参数取值问题，集合M ={x|x 2+x −6=0}，分别解出集合M 最简单的形式，然后再根据N ⊆M ，求出k 的值，属基础题． 【解答】解：∵集合M ={x|x 2+x −6=0}，∴集合M ={2,−3}， ∵N ⊆M ，N ={x|ax +1=0}，∴有N =Φ或N ={2}或N ={−3}三种情况， 当N =Φ时，可得a =0，此时N =Φ；当N ={2}时，∵N ={x|ax +1=0}，∴a =−12； 当N ={−3}时，a =13，∴a 的可能取值组成的集合为{0,−12,13}， 故答案为{0,−12,13}.12.答案：(−1,−12)解析： 【分析】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于难题．根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：∵函数f(x)={xlnx −2x,x >0,x 2+32x,x ≤0,函数g(x)=f(x)−kx +1有四个零点，∴令g(x)=0，则f (x )−kx +1=0，即f (x )=kx −1， 对于f (x )=xlnx −2x (x >0)，f ′(x )=lnx −1， 当0<x <e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 易知直线y =kx −1恒过点A(0,−1)，如图，设直线AC 与y =xlnx −2x 相切于点C(x 0,x 0lnx 0−2x 0)， 又y ′=lnx −1，所以直线AC 的方程为y −(x 0lnx 0−2x 0)=(lnx 0−1)(x −x 0)， 直线AC 经过A(0,−1)，所以x 0=1，此时k AC =ln1−1=−1，设直线AB 与y =x 2+32x (x ≤0)相切于点B(x,x 2+32x)，y ′=2x +32, 故2x +32=x 2+32x+1x−0,解得，所以k AB =2×(−1)+32=−12， 所以若要f (x )=kx −1有四个零点，结合函数图象，可得实数k 的取值范围是(−1,−12)， 故答案为(−1,−12)．13.答案：√22解析： 【分析】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，函数的周期性的应用，难度不大，属于基础题． 由已知中f(x)={cos π4x,x <0f(x −2),x ≥0，得到函数的周期，将x =2017代入可得答案．解：∵f(x)={cosπ4x,x<0f(x−2),x≥0，x≥0时，函数是周期函数，周期为2，∴f(2017)=f(2015)=f(2013)=⋯=f(1)=f(−1)=cos(−π4)=√22，故答案为：√22．14.答案：−15解析：【分析】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，可得−3，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，∴−3，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0，∴{−3+2=−ba −3×2=ca，即ba =1,ca=−6．则b+ca =ba+ca=1−6=−5，∴ab+c =−15．故答案为−15．15.答案：①④解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、函数的定义域值域、函数的单调性，根据条件逐项判断真假即可，属中档题．【解答】解：①由2−x2>0，得−√2<x<√2，则函数f(x)的定义域为(−√2,√2)，所以函数f(x)=√2−x2=√2−x2，则f(−x)=√2−x 2=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故①正确； ②y =2√x ≥20=1，即函数的值域是[1,+∞)，故②错误； ③函数y =1x 在定义域内不是单调函数，故③错误；④若函数f(2x)的定义域为[1,2]，则1≤x ≤2，则2≤2x ≤4，即函数f(x)的定义域为[2,4]， 由2≤x2≤4，得4≤x ≤8，即函数y =f (x2)的定义域为[4,8]，故④正确． 故答案为①④．16.答案：2解析：设两种都没买的有x 人，由题意知，只买电视的有6人，只买电脑的有5人，两种均买了的有2人，∵6+5+2+x =15，∴x =2．17.答案：[−23,0)解析： 【分析】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于中档题．根据题意，由函数单调性的定义分析可得{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则有{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1， 解可得：−23≤a <0， 即a 的取值范围为[−23,0)； 故答案为：[−23,0)．18.答案：P <Q解析： 【分析】本题考查了平方作差比较两个数的大小，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：因为a≥0，所以P2−Q2=(√a+7−√a+6)2−(√a+10−√a+3)2=−2√a+7×√a+6+2√a+10×√a+3=2(√a2+13a+30−√a2+13a+42)，因为a2+13a+30−(a2+13a+42)=−12<0，所以P<Q．故答案为P<Q．19.答案：｛1｝解析：【分析】本题主要考查了集合的分类，元素与集合的关系的应用，解题的关键是熟练掌握集合的分类，元素与集合的关系的计算，根据已知及集合的分类，元素与集合的关系的计算，求出C U B的值，求出的A∩(C U B)的值．【解答】解：∵集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3}，∴C U B=｛1，4，5｝，∴A⋂(∁U B)=｛1｝．故答案为｛1｝．20.答案：92解析：【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．把1a +12b看作(1a+12b)⋅1，然后把1换为2a+b，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：1a +12b=(1+1)(2a+b)=2+12+ba+ab=52+ba+ab．∵a，b是正实数，∴52+ba+ab≥52+2√ba⋅ab=92．即1a +12b的最小值为92．当且仅当{ba=ab2a+b=1，即a=b=13时“=”成立．故答案为92．21.答案：解：(1)∵k=1时，全集U=R，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−1)≥0}={x|x≥2或x≤1}．∴C U B={x|1<x<2}，∴A∩∁U B={x|1<x<2}．(2)当k≥2时，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}．A∩B=⌀，当k<2时，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}={x|x≤k，或x≥2}，∵A∩B=⌀，∴k<−1．∴实数k的取值范围是(−∞,−1)∪[2，+∞)．解析：(1)k=1时，求出B={x≥2或x≤1}，C U B={x|1<x<2}，由此能求出A∩∁U B={x|1< x<2}．(2)当k≥2时，A∩B=⌀，当k<2时，B={x|x≤k，或x≥2}，由A∩B=⌀，得k<−1.由此能求出实数k的取值范围．本题考查补集、交集的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．22.答案：解：(1)证明：设0<x1<x2，则0<x1x2<1，由题意当x<1时，f(x)>0，可得f(x 1)−f(x 2)=f(x 1x 2⋅x 2)−f(x 2)=f(x 1x 2)+f(x 2)−f(x 2)=f(x1x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以y =f(x)是(0,+∞)上的减函数；(2)由f(12)=1，则f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=1+1=2， 由f(x −3)>f(1x )−2得f(x −3)+2>f(1x )， 即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即有f(x−34)>f(1x)，由y =f(x)是(0,+∞)上的减函数， 得0<x−34<1x，解得3<x <4． 则原不等式的解集为(3,4)．解析：(1)应用单调性的定义证明，注意取值，作差，变形和运用已知条件，定符号，下结论； (2)由f(12)=1，可得f(14)=2，原不等式即为即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即有f(x−34)>f(1x )，由y =f(x)是(0,+∞)上的减函数，可得0<x−34<1x ，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的单调性的证明和应用，考查赋值法和分式不等式的解法，属于中档题和易错题．23.答案：解：(1)由x ，y >0，可得2x +y +1=(2x +y +1)(12x +1y+1)=2+y+12x+2xy+1≥4(x =y =1等号成立)，可得2x +y ≥3，即2x +y 的最小值为3； (2)8−1a ≤1b +1ab ．理由：由a >0，b >0，a +b =1≥2√ab ， 即有ab ≤14， 则1a +1b +1ab =a+b+1ab =2ab ≥8则8−1a ≤1b +1ab ．解析：(1)由题意可得12x +1y+1=1(a,y >0)，运用乘1法和基本不等式可得2x +y +1的最小值，进而得到2x +y 的最小值；(2)结论：8−1a ≤1b +1ab .运用基本不等式可得ab 的范围，再由作差法，得到1a +1b +1ab ≥8，即可得到结论．本题考查基本不等式的运用：求最值和比较大小，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．24.答案：解：∵ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β}，∴a <0，且α，β是方程ax 2+bx +c =0的两根，∴αβ=c a ，α+β=−ba ，∴c =a ·αβ，b =−a(α+β)，代入cx 2+bx +a <0，得a ·αβx 2−a(α+β)x +a <0， 即αβx 2−(α+β)x +1>0，∵αβ>0，∴x 2−(1α+1β)x +1αβ>0， ∵方程x 2−(1α+1β)x +1αβ=0的两根为1α，1β， 且1α>1β，∴不等式cx 2+bx +a <0的解集为 {x|x >1α或x <1β}．解析：本题考查一元二次不等式的解法，由于不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β,α>0,β>0}，通过韦达定理，将b c ,ac 用α，β表示，得出 1α，1β为方程x 2−(1α+1β)x +1αβ=0的两根，可解不等式．25.答案：解：(1)y =x 2+8x−1=x 2−1+9x−1=(x +1)+9x−1=(x −1)+9x−1+2．∵x >1，∴x −1>0．∴(x −1)+9x−1+2≥2√(x −1)·9x−1+2=8． 当且仅当x −1=9x−1，即x =4时等号成立，所以函数y =x 2+8x−1(x >1)的最小值为8．(2)y =x 2+2021x+4042x+2=(x+2)2+2017(x+2)+4x+2=x +2+4x+2+2017．当x >−2时，y ≥2√(x +2)·4x+2+2017=2021，当x <−2时，y =−[−(x +2)+4−(x+2)]+2017≤2013， 故y =x 2+2021x+4042x+2的值域为：y ≤2013或y ≥2021．解析：本题考查基本不等式在最值中的应用，注意基本不等式成立的条件，属于中档题．26.答案：解(1)∵a > −1，∴a +1>0.由基本不等式，得4a+1+a =4a+1+a +1−1≥ 2√4a+1·(a +1)−1=2√4−1=3．当且仅当4a+1=a +1，即a =1时，等号成立． ∴4a+1+a 的最小值为3．(2)∵a、，且2a+b=1，∴1a +1b=2a+ba+2a+bb=3+(ba+2ab)≥3+2√2．当且仅当ba =2ab，即a=1−√22，b=√2−1时等号成立．∴1a +1b的最小值为3+2√2．解析：本题主要考查了基本不等式的应用，注意等号成立的条件，属于基础题．(1)由题意得4a+1+a=4a+1+a+1−1，再利用基本不等式的性质求出最小值即可；(2)灵活利用2a+b=1，1a +1b=2a+ba+2a+bb，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．27.答案：解：(1)∵2x+8y−xy=0，∴2y +8x=1．∴x+y=(x+y)(2y +8x)=10+8yx+2xy≥10+2√8yx×2xy=18，当且仅当x=2y=12时取等号，∴x+y的最小值是18．(2)∵−4<x<1，∴x2−2x+22x−2=−12[(1−x)+11−x]≤−12×2√(1−x)×11−x=−1，当且仅当x=0时取等号，∴x2−2x+22x−2的最大值是−1．解析：本题考查基本不等式求最值，熟练掌握基本不等式的性质及其应用是解题的关键．(1)由题意得，2y +8x=1，则x+y=(x+y)(2y+8x)=10+8yx+2xy，利用基本不等式即可求解；(2)由题意，x2−2x+22x−2=−12[(1−x)+11−x]，利用基本不等式即可求解．28.答案：解：(1)因为x>1，所以x−1>0，从而y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2√(x−1)⋅1x−1+1=3，当且仅当x=2时取的最小值3；(2)∵a>0，b>0，函数的图象经过点(4,12)，∴2a+b=12，则1a+2b=2(1a+2b)(2a +b)=8+2(b a+4a b)≥8+4√b a⋅4a b=16，当且仅当b =2a =14时取最小值为16．解析：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． (1)由已知可得，y =x +1x−1=x −+1x−1+1，利用基本不等式即可求解；(2)由已知可得，2a +b =12，从而可得1a +2b =2(1a +2b )(2a +b)，利用基本不等式即可求解．29.答案：解：(1)−x 2+4x +5<0，即x 2−4x −5>0，即(x −5)(x +1)>0， 解得x <−1或x >5，故不等式的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)， (2)由2x−13x+1>0可得(2x −1)(3x +1)>0， 即(x −12)(x +13)>0， 解得x <−13或x >12，故不等式的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)解析：分别用因式分解法即可求出不等式的解集．本题考查了利用因式分解法解一元二次不等式，属于基础题．30.答案：解：(1)x +y =(x +y)(1x +9y )=10+9x y+y x ≥10+2√9x y ×yx =16，当9xy =yx 时即x =4,y =12等号成立， 所以x +y 的最小值为16． (2)因为x <54，所以5−4x >0，y =4x −2+14x−5=4x −5+14x−5+3=−[(5−4x)+15−4x ]+3≤−2√(5−4x)×15−4x +3=1， 当5−4x =15−4x 时即x =1时等号成立， 所以函数y =4x −2+14x−5的最大值为1．解析：本题考查利用基本不等式求函数的最值，关键要注意条件“一正二定三等”． (1)x +y =(x +y)(1x +9y )=10+9x y+yx 再利用基本不等式即可．(2)注意函数解析式的分母为4x −5，所以前面要配成4x −5，得到y =4x −5+14x−5+3，但4x −5<0，所以填上负号得y =−[(5−4x)+15−4x ]+3再用基本不等式求解即可．31.答案：解：(1)由化简得，令，则原问题等价于在上恒成立，则，设，当时，取得最大值，故的取值范围是．(2)不等式为，即，当时，原不等式解集为； 当时，方程的根为，.①当时，，原不等式解集为；②时，，原不等式解集为；③当时，，原不等式解集为；④当时，，原不等式解集为．解析：本题考查一元二次不等式的解与分类讨论思想，属于中档题．(1)分离变量，转化为求函数y =−2t 2+3t 的最大值，求出最大值，即可得到答案; (2)对a 分类讨论，解不等式即可．32.答案：解：(1)设另一个根为x 0，由{4+x 0=m +14x 0=2m −1，得x 0=52 (2)由Δ>0得m <1或m >5， 因为{x 1+x 2=m +1x 1x 2=2m −1, 所以1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 12x 22=(m+1)2−2(2m−1)(2m−1)2=3，解得m =0或m =1011，(3)当m =0时，x 2−x −1=0，且x ≠0， 所以x −1x =1，则x 3−1x 3=(x −1x )(x 2+1+1x 2) =(x −1x )[(x −1x )2+3]=4．解析：本题考查一元二次方程，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)利用韦达定理求解即可；(2)根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；(3)利用立方差公式求解即可得结果．第21页，共21页。
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一第一学期期末考试数学试题及答案
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一第一学期期末考试数学试题及答案一、单选题 1．“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案. 【详解】 由6πθ=可得1sin 2θ=， 由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=，所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2．已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°【答案】A【解析】根据向量的坐标表示，求得,a b 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】由题意，可得()3,1a =，()1,2b =， 设向量a ，b 的夹角为θ，则32cos 29114a b a bθ⋅===+⋅+⋅，又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒． 故选：A . 【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A ．725-B ．725C ．2425- D ．2425【答案】D【解析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值． 【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴2234cos 1sin 1()55θθ=--=---=-，∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ． 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负．4．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】B【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B. 5．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像. 【详解】依题意，3sin ,0,22cos tan sin ,.2x x x y x x x x πππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C. 故选C. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 6．如图，正方形ABCD 中,E 为DC 的中点,若AD AC AE λμ=+,则λμ-的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．3-【答案】D 【解析】【详解】因为E 是DC 的中点，所以1()2AE AC AD =+，∴2AD AC AE =-+，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-． 【考点】平面向量的几何运算7．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A ．有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．有一条对称轴6x π=C ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B【解析】由题()()2sin 2f x x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性. 8．对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f（x ）＝tanx其中存在“稳定区间”的函数有（ ）A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】 ①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos 2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足；④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力.9．延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A ．满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点 B ．满足1λμ+=的点P 有且只有一个C ．λμ+的最小值不存在D ．λμ+的最大值为3 【答案】D【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．【考点】向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用．二、多选题10．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy =B ．23y x -=C ．1y xx =-D ．()2ln 1y x =+【答案】AD【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项. 【详解】对于A 选项，2x y =为偶函数，且当0x <时，122x x y -==为减函数，符合题意.对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x =-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x=+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.三、填空题 11．函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞【解析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域. 【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为：()()3,44,⋃+∞ 【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.12．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0【解析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.13．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2【解析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案. 【详解】()tan 3tan 2παα+==.原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2. 【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14．若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____. 【答案】(]1,2【解析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案. 【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递. 故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 故答案为：(]1,2. 【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误.15．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5当且仅当4t t =且t ＞0，即t ＝2时取等号【考点】基本不等式，实际应用 16．已知函数π()sin 2f x x=，任取t ∈R ，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为 t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t有如下结论： ①函数()h t 为偶函数； ②函数()h t 的值域为2[1,1]2-；③函数()h t 的周期为2；④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k ++∈Z.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号） 【答案】③④.【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin 2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可.根据π()sin 2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当2 1.5t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()sin12h t t π=+当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos 12h t t π=+；当10t -≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()cos sin 22h t t t ππ=-；当102t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1sin 2h t t π=-；当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时()1cos 2h t t π=-；当12t ≤≤时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin2f t tπ=，此时()sincos22h t t t ππ=-作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为22[1,122-+，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈，故只有③④正确.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.四、解答题17．已知不共线向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20. （1）求a •b ；（2）是否存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线？ （3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），求实数k 的值. 【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案. （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a bλ+=-，计算得到答案.（3）计算（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，展开计算得到答案. 【详解】（1）向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20，所以42-a 4a •b -32=b 4×9﹣4a •b -3×4＝20，解得a •b =1； （2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a bλ+=-，故,12m m λ==-，12λ=-. 即存在λ12=-，使得λa b +与-a 2b 共线；（3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），则（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，即k 2+a （2﹣k 2）a •b -2k 2=b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2. 【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18．已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f（3π）=（1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1-【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案.【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）a ∈R ），且f （3π）=∴f（3π）12=（12a -=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosxcosx ﹣sinx ）=2x﹣sinxcosx 12122cos x +=-sin 2x =cos （2x 6π+），令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ，（3）∵x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]，∴当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）取得最小值为﹣13-.2【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19．如图所示，近日我渔船编队在岛A周围海域作业，在岛A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B相距31海里的C处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D处，此时观测站测得,B D间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A？【答案】（Ⅰ43；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A.【解析】(Ⅰ) 在BDC中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD∠，ABD△中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间. 【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴sin BDC ∠=．(Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯= ⎪⎝⎭．ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABDAD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠，∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ． 【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20．f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数.（1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x =＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x =<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x =＜不是C 函数，得到答案. （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明. 【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0，即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2）， ∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数，说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2）， ∴()()210f x x x =＜不是C 函数；（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n mT--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2，那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ）， 这与f （m ）＜f （n ）矛盾； （ii ）若f （m ）＞f （n ）， 记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n mT--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数， 又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数. 【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期中数学试题(B)(解析版)
2019-2020学年第一学期期中考试高一数学（B卷）一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
（共10小题，每小题5分，共50分.）1.已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x-1）（x-3）＜0}，则A∩B=（）A. {x|x＞1}B. {x|2＜x＜3}C. {x|1＜x＜3}D. {x|x＞2或x＜3}【答案】B【解析】【分析】求出集合B，进而可求A∩B.【详解】解：由已知得B={x|1＜x＜3}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.2.已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为（）A. ∀c＞0，方程x2-x+c=0无解B. ∀c≤0，方程x2-x+c=0有解C. ∃c＞0，方程x2-x+c=0无解D. ∃c≤0，方程x2-x+c=0有解【答案】A【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题，可得结果.【详解】命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为∀c＞0，方程x2-x+c=0无解,故选：A.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.3.已知定义在R 上的函数f （x ）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f （x ）一定存在零点的区间是（ ） A. （-∞，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）【答案】C 【解析】 【分析】由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.【详解】由表可知(1)(2)0,(2)(3)0,(3)(4)0f f f f f f ><>， 由零点存在性定理可知f （x ）一定存在零点的区间是（2，3）， 故选：C.【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题. 4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ） A. y =x 2B. y =3xC. y =x +1D. y【答案】B 【解析】 【分析】运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断.【详解】对A. y =x 2在（0,+∞）上单调递增，故排除；对B. y =3x，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减； 对C. y =x +1，其为非奇非偶函数，故排除；对D. y ，其为非奇非偶函数，故排除， 故选：B .【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题. 5.若a ＞b ，则下列四个不等式中必成立的是（ ） A. ac ＞bc B. a c ＞b cC. a 2＞b 2D.21ac +＞21b c + 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立. 【详解】A.当0c时，不等式不成立；B.当0c <时，不等式不成立；C.当1,2a b ==-时，不等式不成立；D.因为210c +>，故不等式必成立， 故选：D .【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题.6.函数f (x 的最大值为 （ ）A. 2 5B. 1 2C.2D. 1【答案】B 【解析】本小题主要考查均值定理．11()112f x x ==≤+=，即1x =时取等号．故选B ． 7.5a ≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值，由x 的范围求得2x 的范围，可得a 的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．【详解】因为“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”等价于a 大于等于2x 的最大值， 而[]x 1,2∀∈，有[]21,4x ∈，所以4a ≥，由5a ≥，可得4a ≥成立，即[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立； 反之，[]1,2x ∀∈，20x a -≤成立，可得4a ≥，不能推出5a ≥．5a ∴≥是命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 8.已知奇函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且()3f m =，则(4)f m -的值为（ ） A. 3 B. 0C. -3D.13【答案】C 【解析】 【分析】由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-，再结合()y f x =为奇函数，求得(4)f m -的值.【详解】解：由函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，可得()(4)f m f m =-， 再结合()y f x =为奇函数，可得()(4)(4)3f m f m f m =-=--=， 求得(4)3f m -=-， 故选：C .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题. 9.已知函数()2f x ax x =-,若对任意[)12,2,x x ∈+∞,且12x x ≠,不等式()()12120f x f x x x ->-恒成立,则实数a 的取值范围是A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 对不等式()()1212f x f x x x --进行化简，转化为a （x 1+x 2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a ＞121x x +恒成立，从而将恒成立问题转变成求121x x +的最大值，即可求出a 的取值范围．【详解】不妨设x 2＞x 1≥2，不等式()()1212f x f x x x --=22112212ax x ax x x x --+-=()()()12121212a x x x x x x x x -+---=a （x 1+x 2）﹣1，∵对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1≠x 2，不等式()()1212f x f x x x --＞0恒成立，∴x 2＞x 1≥2时，a （x 1+x 2）﹣1＞0，即a ＞121x x +恒成立∵x 2＞x 1≥2 ∴121x x +＜14∴a≥14，即a 的取值范围为[14，+∞）； 故选：D ．【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为()0F x <的形式，即求()max 0F x < ，或是()0F x >的形式，即求()min 0F x < ，求参数取值.10.给定条件：①∃x 0∈R ，f （-x 0）=-f （x 0）；②∀x ∈R ，f （1-x ）=-f （1+x ）.下列三个函数：y =x 3，y =|x -1|，y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y =x 3；根据00110x x --+-=的解的情况，可判断y =|x -1|；最后验证y =221,143,1x x x x x ⎧-<⎨-+≥⎩满足①②.【详解】解：令()(1)g x f x =+，则()(1)(1)()g x f x f x g x -=-=+=， 所以()g x 为偶函数，关于(0,0)对称，将()(1)g x f x =+的图象向右平移一个单位可得()f x 的图象，故()f x 图象关于(1,0)对称，故可排除3y x =；若存在一个0x 使得0011x x --=--，即00110x x --+-=，该方程无解，故|1|y x =-不满足②，排除；对于221,143,1x x y x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，当1x =时，2(1)(1)10,(1)(143)0f f -=--=-=--+=，其满足①， 画出图象如下：由图象可知，满足②. 故选：B .【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于(1,0)对称是关键，属于中档题.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）11.计算210.00013427--2327()8【答案】134【解析】 【分析】化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.【详解】原式()()23123443339130.13109244-⎡⎤⎛⎫=-+=-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：134. 【点睛】本题考查有理指数幂运算性质，是基础的计算题. 12.函数y 21x -11x -的定义域为____________. 【答案】[12，1）∪（1，+∞） 【解析】【分析】令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出x 的范围.【详解】解：要使函数有意义需要21010x x -≥⎧⎨-≠⎩解得12x ≥且1x ≠，故答案为：[12，1）∪（1，+∞）. 【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.13.若函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，则a 的值为____________. 【答案】-1或1 【解析】 【分析】对a 分类讨论，利用函数f （x ）=x 2-2x +1在区间[a ，a +2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a 的值.【详解】解：由题意，当0a ≥时，(2)4f a +=，即22)2(2)4(1a a +-++=，2(1)4,1a a ∴+=∴=；当0a <时，()4f a =，即2214a a -+=，2(1)4,1a a ∴-=∴=-；综上知，a 的值为1或−1. 故答案为：1或−1.【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.14.如果关于x 方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________. 【答案】（-∞，-12） 【解析】 【分析】方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题. 15.能说明“若()()f x g x 对任意的[0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上的最小值大于()g x 在[0,2]上的最大值”为假命题的一对函数可以是()f x =____，()g x =_______． 【答案】 (1). ()f x x = (2). ()1g x x =- 【解析】 【分析】由不等式恒成立可设()f x x =，()1g x x =-，结合单调性求出其在[]0,2上的最大值，即可得到符合题意．【详解】“若()()f x g x >对任意的[02]x ∈，都成立， 则()f x 在[]0,2上的最小值大于()g x 在[]0,2上的最大值”， 可设()f x x =，()1g x x =-，显然()()f x g x >恒成立，且()f x 在[]0,2的最小值为0，()g x 在[]0,2的最大值为1， 显然不成立，故答案为()f x x =，()1g x x =-．【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，熟练掌握初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．16.已知函数22,(),x x x af x x x a ⎧-+≤=⎨>⎩.（1）当a =1时，函数()f x 的值域是___________；（2）若函数()f x 的图像与直线y a =只有一个公共点，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】 (1). R (2). []0,1 【解析】 【分析】（1）根据分段函数单调性求值域，（2）先根据分段函数解析式关系确定讨论点，再结合图象确定满足条件的参数范围.【详解】（1）当a =1时，22,1(),1x x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩当1x >时，()1f x x =>当1x ≤时，22()2(1)11f x x x x =-+=--+≤ 所以函数()f x 的值域是(1,)(,1]R +∞-∞=（2）因为当x a >时，()f x x a =>，所以只需函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+≥，即01x ≤≤时，所以当01a ≤≤时，函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =只有一个公共点，当22x x x -+<，即1x >或0x <时，所以当1a >或0a <，即2a x x >-+，从而函数2()2,()f x x x x a =-+≤的图像与直线y a =无公共点， 因此实数a 的取值范围是[]0,1 故答案：(1). R (2). []0,1【点睛】本题考查分段函数值域以及根据函数图象交点个数求参数，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.三、解答题（共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17.设关于x 的不等式2x a -<的解集为A ，不等式2112x x -<+的解集为B ． （1）求集合A ，B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|22A x a x a =-<<+，{|23}B x x =-<<（2）[0]1，【解析】【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式得解；（2）由题得22a -≥-且23a +≤，解不等式得解.【详解】（1）||2x a -<22x a ∴-<-<{|22}A x a x a ∴=-<<+ ∵2112x x -<+ ∴302x x -<+ ∴(2)(3)0x x +-<∴23x -<<{|23}B x x ∴=-<<（2）∵A B ⊆22a ∴-≥-且23a +≤，01a ∴≤≤即a 取值范围为[0]1，【点睛】本题主要考查绝对值不等式和分式不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()()223f x x bx b =-+∈R .⑴若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值.⑵当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =最大值.【答案】⑴b ＝2；⑵见解析.【解析】【分析】（1）把点的坐标代入f （x ）计算；（2）对f（x）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值．【详解】解：（1）把（4，3）代入f（x）得16﹣8b+3＝3，∴b＝2．（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝b．①若b≤﹣1，则f（x）在[﹣1，2]上是增函数，∴f min（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝1，解得b＝﹣32．∴f max（x）＝f（2）＝7﹣4b＝13．②若b≥2，则f（x）在[﹣1，2]上是减函数，∴f min（x）＝f（2）＝7﹣4b＝1，解得b＝32（舍）．③若﹣1＜b＜2，则f（x）在[﹣1，b]上是减函数，在（b，2]上增函数．∴f min（x）＝f（b）＝﹣b2+3＝1，解得b＝2或b＝﹣2（舍）．∴f max（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝4+22．综上，当b≤﹣1时，f（x）的最大值为13，当﹣1＜b＜2时，f（x）最大值为4+22．【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．19.如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在函数y=-120（1+k2）x2+kx（k＞0）表示的图像上，其中k是与发射方向有关的参数，炮的射程是指炮弹落地点到原点的距离．．．．．．．．．．．．．．．．．.（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.【答案】（1）10千米（2）当横坐标不超过6千米时，炮弹可以击中目标；详见解析【解析】【分析】（1）求炮的最大射程即求y=-120（1+k2）x2+kx（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解；（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解.【详解】（1）在y =-120（1+k 2）x 2+kx （k ＞0）中， 令y =0，得-120（1+k 2）x 2+kx =0， x 1=0（舍），x 2=2201k k +=201k k+≤202=10（当且仅当k =1时取“=”） ， ∴炮的最大射程是10千米；（2）设飞行物的横坐标为m ，由函数式得：-120（1+k 2）m 2+km =3.2（k ＞0） ⇒m 2k 2-20mk +（m 2+64）=0，∴△=400m 2-4m 2×（m 2+64）≥0，∴m ≤6，此时k =2202m m+＞0， ∴当m 不超过6千米时，炮弹可以击中目标.【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.20.如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”. （1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论） （2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围； （3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x A x x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B . 【答案】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0） 【解析】 【分析】 （1）直接利用信息判断结果； （2）利用信息的应用求出参数的取值范围； （3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果. 【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”；（2）∵f（-x）=-x-x2+a，-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函数”，∴f（-x）=-f（x）无实数解，即x2+a=0无实数解，∴a＞0，∴a的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x≠0，若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；∴0∈A，经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.坚持希望一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
北京市首师大附中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1. “sin x =12”是“x =π6”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2. 已知√2|a ⃗ |=|b ⃗ |≠0，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角大小为( )A. π2B. π3C. π4D. π63. 已知sinθ=45，sin θcos θ<0，则sin 2θ= ( )A. −2425B. −1225C. −45D. 24254. 下列既是偶函数，又在区间[−3,−1]上单调递增的是( )A. f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0B. f(x)=ln |x|C. f(x)=−x 4D. f(x)=−1x5. 已知偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数．若a =f(log 215)，b =f(log 123)，c =f(2−0.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <b <aD. c <a <b6. 函数y =tanx (π4≤x ≤3π4且x ≠π2)的值域是( )A. [−1,1]B. (−∞,−1]∪[1,+∞)C. (−∞,1]D. [−1,+∞)7. 在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A. 1 B. 2C. 32D. 48. 设函数f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)的最小正周期为π，且f(−x)=f(x)，则( )A. f(x)在(0,π2)单调递减 B. f(x)在(π4,3π4)单调递减 C. f(x)在(0,π2)单调递增D. f(x)在(π4,3π4)单调递增9. 函数y =sinx 1−x的部分图像大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN =13NM ，若AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +u AC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,u ∈R)，则λ+u 的值为( ) A. 14B. 13C. 1D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 函数f(x)=11−x +lg(x +1)的定义域是________12. 在△ABC 中，已知sinA =23，cosB =12，则 cos C 的值为______ ． 13. 已知tanα=2，则cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)= ______ ．14. 已知y =log a (2−ax)的图象在区间[0,1]上是单调递减的，则2a 的取值范围是_________． 15. 下列不等式：①lg(x 2+14)>lg x(x >0)； ②sin x +1sin x ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)；③x 2+1≥2|x|(x ∈R)； ④1x 2+1<1(x ∈R)．其中一定成立的是________(填序号)．16. 若函数f(x)=(2−a)x 2+(a −1)x +3是偶函数，则函数f(2x +1)的值域为______________三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）17. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值；(2)若△ABC 为直角三角形，求实数m 的值．18. 已知(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间(2)若关于x 的方程f(x)−k =0在区间上有解，求k 的取值范围19. 在某海域A 处正东方向相距80海里的B 处有一艘客轮遇险，在原地等待救援．信息中心立即把消息告知在其南偏西30∘，相距40海里的C 处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B 处救援．(1)若救援船的航行速度为60海里/小时，求救援船到达客轮遇险位置的时间；(2)求tanθ的值．20.设f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，当x∈(−1,1)时，f(x)=x2.求x∈(1,3)时，f(x)的表达式．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的公式是解决本题的关键． 解：当x =π6时，sinx =sin π6=12， 当x =5π6时，满足sinx =12，则x =π6不成立， 即“sin x =12”是“x =π6”的必要不充分条件． 故选B ．2.答案：C解析：本题考查了平面向量的数量积运算与两向量夹角的计算，是基础题． 通过向量的数量积运算与平面向量夹角的范围，即可求出夹角θ的大小． 解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，∵a ⃗ ⊥(a ⃗ −b⃗ )，即a ⃗ ·(a ⃗ −b ⃗ )=0， ，∴cosθ=|a ⃗ ||b⃗ |=√22， 由于θ∈[0,π]， ∴θ=π4．故选C ．3.答案：A解析：本题考查了二倍角公式及应用，先求余弦值，再代入公式，属于基础题． 解：∵sinθ=45，sinθcosθ<0， ∴cosθ=−√1−sin 2θ=−35， ∴sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故选A ．4.答案：C解析：本题考查函数奇偶性以及单调性的判定，属于基础题． 利用函数的性质即可求解．解：f(x)={√x,x ≥0,√−x,x <0为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减；f(x)=ln |x|为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递减； f(x)=−x 4为偶函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； f(x)=−1x 为奇函数，且在区间[−3,−1]上单调递增； 故选C ．5.答案：A解析：解：∵偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数， ∴函数f(x)在[0,+∞)上是减函数， a =f(log 215)=f(−log 25)=f(log 25)，b =f(log 123)=f(−log 23)=f(log 23)，∵0<2−0.8<1<log 23<2<log 25， ∴f(2−0.8)>f(log 23)>f(log 25)， 即c >b >a ， 故选：A ．根据函数奇偶性和单调性的性质，以及对数和指数幂的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．6.答案：B解析：本题考查正切函数的单调性及运用：求值域，考查运算能力，属于基础题． 由正切函数的单调性可知，函数y =tanx 在上都是增函数，即可得到值域．解：函数y =tanx 在上都是增函数， 当时，y =1，当时，y =−1，则有y ≥1或y ≤−1． 则值域为(−∞,−1]∪[1,+∞)． 故选B ．7.答案：A解析：本题考查向量的加减运算，考查了平面向量的基本定理及其应用，考查运算能力，属于中档题． 解：在平行四边形ABCD 中，点E 满足DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， (λ−μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得λ+μ=1． 故选A ．8.答案：A解析：本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象和性质，属于中档题． 根据周期算出ω，然后根据f(−x)=f(x)求出ϕ． 解：由于f(x)=√2sin(ωx +ϕ+π4) (ω>0,|ϕ|<π2)， 由于该函数的最小正周期为π=2πω，得出ω=2，又根据f(−x)=f(x)，以及|ϕ|<π2，得出ϕ=π4． 因此，f(x)=√2sin(2x +π2)，若x ∈(0,π2)，则2x +π2∈(π2,3π2)，从而f(x)在(0,π2)单调递减， 若x ∈(π4,3π4)，则2x +π2∈(π,2π)， 此时函数f(x)不是单调的， 故B,C,D 都错， 故选A ．9.答案：B解析：本题考查函数图象及函数定义域，分析函数的定义域及特殊点的函数值即可求解.属基础题．解： 因为函数y =sinx 1−x的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，所以排除A ，D ， 又当x =0时，y =0， 所以排除C ． 故选B ．10.答案：A解析：因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由于三点B,M,C 共线，所以4λ+4μ=1，从而λ+μ的值为14，故选A ．11.答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：本题主要考查函数的定义域，以及对数函数的性质，根据题意列出关于x 的式子，解出即可得到结果．解：要使函数有意义，需满足：{1−x ≠0x +1>0，解得x >−1且x ≠1，∴函数的定义域为：(−1,1)∪(1,+∞)． 故答案为(−1,1)∪(1,+∞)．12.答案：2√3−√56解析：解：∵△ABC 中，sinA =23，cosB =12， ∴B =60°，假设A 为钝角，sinA =23>sin120°=√32，则A >120°，这与三角形的内角和为180°相矛盾，∴A 为锐角 ∴cosA =√53，sinB =√32， 当cosA =√53时，cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−√53×12+23×√32=2√3−√56，故答案为：2√3−√56利用同角三角函数的基本关系求出cos A ，sin B ，再由cosC =−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB 求出结果．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．13.答案：−1解析：解：由cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=cos 2α−sin 2α−cosαsinαsin 2α+cos 2α=1−tan 2α−tanαtan 2α+1，∵tanα=2，∴cos2α+sin(π2+α)cos(3π2−α)=1−4−24+1=−1．故答案为：−1．利用诱导公式和二倍角公式化简，构造tanα，可得答案．本题主要考察了同角三角函数关系式和诱导公式和二倍角公式化简应用，属于基本知识的考查．14.答案：(2,4)解析：【分析】本题考查对数函数，指数函数及复合函数的单调性，属于基础题．根据题意令u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数，可知y =log a u 是增函数，即可得到a >1，结合2−a >0以及指数函数的性质，即可求解2a 的取值范围． 【解答】解：因为y =log a (2−ax)在[0,1]上单调递减， u =2−ax(a >0)在[0,1]上是减函数， 所以y =log a u 是增函数， 所以a >1，又2−a >0， 所以1<a <2， 2<2a <4． 故答案为(2,4)15.答案：③解析：本题考查了基本不等式的性质，考查了灵活解决问题的能力，属于基础题．解：对于①，lg(x 2+14)>lgx(x >0)等价于x 2+14>x ，即(x −12)2>0，故得x ≠12，而题设x >0，当x =12时不成立；对于②，sinx +1sinx ≥2(x ≠kπ,k ∈Z)当且仅当sin 2x =1时取等号，此时x =kπ2，与题设x ≠kπ2,k ∈Z 矛盾，所以不成立；对于③，x 2+1≥2|x|(x ∈R)等价于|x|+1|x|≥2，当且仅当x =±1时取等号，故成立； 对于④，1x 2+1<1(x ∈R)等价于x 2+1<1，即x 2<0，无解，故不成立． 故答案为③．16.答案：解析：本题考查函数单调性、奇偶性及函数值域，属于基础题.根据函数f(x)是偶函数，求出a 的值，在利用换元法即可求出函数值域．解：∵f(x)=(a −2)x 2+(a −1)x +3是偶函数，∴f(−x)=f(x)，则(a −2)x 2−(a −1)x +3=(a −2)x 2+(a −1)x +3，即a −1=0，解得a =1，所以f (x )=x 2+3，所以f (2x +1)=(2x +1)2+3=22x +2×2x +4，令2x =t(t >0)，则f(t)=t 2+2t +4，对称轴为t =−1，所以f(t)在(0,+∞)为增函数，最小值4， 故值域为故答案为．17.答案：解：(1)因为向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−2),OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)． 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,m +1)，所以3(m +1)−m =0．所以m =−32．(2)由(1)可知，AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −1,m +3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −4,m +2)．因为△ABC 为直角三角形，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 或AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −1)+m +3=0，解得m =0； 当AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有3(m −4)+m +2=0，解得m =52； 当AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 时，有(m −1)(m −4)+(m +3)(m +2)=0，解得m ∈⌀．所以实数m 的值为0或52．解析：(1)通过AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平行的充要条件，列出关系式即可求实数m 的值；(2)利用三角形的直角的可能性，通过向量的数量积为0，求实数m 的值．本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直与平行关系的应用，考查计算能力．18.答案：解：(1)由题意，．故f(x)的最小正周期为， 由，解得．故f(x)的单调递增区间为； (2)由(1)可知，， ，，， 此时． 又因为方程f(x)−k =0有解，故k ∈[0,3]．故实数k 的取值范围为[0,3]．解析：本题考查三角函数的恒等变形以及正弦，余弦函数的图象与性质，属于中档题.熟练掌握三角函数的两角和与差公式，二倍角公式是解题的关键．(1)通过三角函数的恒等变形，得出，可求出f(x)的最小正周期和单调递增区间； ，，，则可求得k 的取值范围． 19.答案：解：(1)在图中的△ABC 中，AB =80，AC =40，∠BAC =120°，由余弦定理可知：BC 2=AB 2+AC 2−2AB ·AC ·cos120°，即BC 2=802+402−2⋅80⋅40⋅(−12)=11200，故BC =40√7，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为40√760=2√73小时． (2)在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin∠ACB =BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB =AB BC sin∠BAC =√217， 显然∠ACB 为锐角，故cos∠ACB=2√77，tan∠ACB=√32，而θ=∠ACB+30°.故tanθ=tan(∠ACB+30∘)=tan∠ACB+tan30∘1−tan30∘tan∠ACB =5√33．解析：本题主要考查解三角函数的应用问题．(1)直接利用余弦定理求出BC的值即可;(2)根据正弦定理以及同角三角函数关系求出∠BAC的正弦以及余弦，而θ=∠ACB+30°，再根据两角和与差的三角函数关系求值即可．20.答案：本题主要考查利用函数的周期推导函数的解析式．解：当x∈(1,3)时，x−2∈(−1,1)，又因为函数f(x)是定义在R上且以2为周期的函数，所以当x∈(1,3)时，f(x)=f(x−2)=(x−2)2．解析：本题考查了函数的基本性质(周期)的运用．属于基础题．。
北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年第一学期高一数学期中考试
2019-2020学年第一学期高一年级上学期数学期中综合练习（满分：120分）一、单项选择题:认真审题，仔细想一想，然后选出唯一正确答案。
（每题3分，共30分） 1．设集合A ={a,a 2,0}，B ={2,4}，若A ∩B ={2}，则实数a 的值为（ ）A ． 2B ． ±2C ． √2D ． ±√22．若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1+a 2=b 1+b 2=1，则下列代数式中值最大的是A ．a 1b 1+a 2b 2B ．a 1a 2+b 1b 2C ．a 1b 2+a 2b 1D ．213．下列函数中，是偶函数的是（ ）A ． f(x)=1x B ． f(x)=lgx C ． f(x)=e x −e −x D ． f(x)=|x| 4．已知p:|x-m|＜1，q ：x 2-8x+12＜0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为：A ．（3，5）B ．[3，5]C ．（-∞，3）∪（5，+∞）D ．（-∞，3]∪（5，+∞） 5．已知f(x +1)=√x ，则函数f(x)的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．关于x 的方程x 2+(m-3)x+7-m=0的两根都大于3，则m 的取值范围是A ．（-∞，1-25）∪（1+25，+∞）B ．（-27，1-25]C ．（-∞，-27）∪（1-25，+∞） D ．（-∞，1-25]7．用列举法可以将集合A={a|a 使方程ax 2+2x+1=0有唯一实数解}表示为 （ ）A ．A={1}B ．A={0}C ．A={0，1}D ．A={0}或{1}8．已知集合M={m|m=a+b 2，a ，b ∈Q }，则下列四个元素中属于M 的元素的个数是①1+2π；②2611+；③221+；④32-+32+（ ）A ．4B ．3C ．2D ．19．下列不等式正确的是 （ ）A ．x 2+23x ≥23 B ．a 2+b 2≥4ab C ．ab ≥2ba + D ．a+a4≥410．“x ＞3”是“x 2-5x+6＞0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题（每题3分，共30分）1．已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x >a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________。
北京市首都师范大学附属中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题共10小题每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.“6πθ=”是“1sin 2θ=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据6πθ=和1sin 2θ=之间能否推出的关系，得到答案.【详解】由6πθ=可得1sin 2θ=，由1sin 2θ=，得到26k πθπ=+或526k πθπ=+，k ∈Z ，不能得到6πθ=， 所以“6πθ=”是“1sin 2θ=”的充分不必要条件， 故选A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.2.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a ，b 的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =，()1,2b =，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos 91a b a bθ⋅===+⋅ 又因为0180θ︒≤≤︒，所以45θ=︒． 故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，则sin 2θ=（ ） A. 725-B.725C. 2425-D.2425【答案】D 【解析】 【分析】由同角关系求得cos θ，再由正弦的二倍角公式变形后求值．【详解】∵设θ为第三象限角，3sin 5θ=-，∴4cos 5θ===-， ∴3424sin 22sin cos 2()()5525θθθ==⨯-⨯-=． 故选：D ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查正弦的二倍角公式．在用同角间的三角函数关系求值时一定要确定角的范围，从而确定函数值的正负． 4.下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A. 2xy =B. 23y x-=C. 1y x x=- D.()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间(),0-∞上的单调性，由此判断正确选项.【详解】对于A 选项，2x y =为偶函数，且当0x <时，122xxy -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意.对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. 对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.5.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是 ( )A. c a b <<B. c b a <<C. b c a <<D.a b c <<【答案】B 【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B.6.函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.【详解】依题意，3 sin,0,22cos tansin,.2x x xy x xx xπππππ⎧≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩或.由此判断出正确的选项为C.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.如图，正方形ABCD中,E为DC的中点,若AD AC AEλμ=+,则λμ-的值为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 3-【答案】D【解析】【详解】因为E是DC的中点，所以1()2AE AC AD=+，∴2AD AC AE=-+，∴1,2λμ=-=，123λμ-=--=-．考点：平面向量的几何运算8.已知函数()()sinf x xωϕ=+（0>ω，0ϕπ<<）的最小正周期是π，将函数()f x的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点()0,1P ，则函数()()sin f x x ωϕ=+（ ）A. 有一个对称中心,012π⎛⎫⎪⎝⎭B. 有一条对称轴6x π=C. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. 在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】B 【解析】由题()()2sin 2f x x ωϕ==+，，平移后得到的函数是sin(2)3y x πϕ=++，其图象过点(0,1)P ,sin()13πϕ∴+=，因为0ϕπ<<，6πϕ∴=，()sin(2)6f x x π=+,故选B.点睛：本题考查的是sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象及性质.解决本题的关键有两点:一是图象向左平移变换时要弄清是加还是减，是x 加减，还是2x 加减，另一方面是根据图象过点()0,1P 确定ϕ的值时，要结合五点及0ϕπ<<确定其取值，得到函数的解析式，再判断其对称性和单调性.9.对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数：①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ①②③ B. ②③C. ③④D. ①④【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos 2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力. 10.延长正方形CD AB 的边CD 至E ，使得D CD E =．若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若λμAP =AB +AE ，下列判断正确的是（ ）A. 满足2λμ+=的点P 必为C B 的中点B. 满足1λμ+=的点P 有且只有一个C. λμ+的最小值不存在D. λμ+的最大值为3 【答案】D 【解析】试题分析：设正方形的边长为1，建立如图所示直角坐标系，则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-，则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =，由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-，所以{a b λμμ=-=，当P 在线段AB 上时，01,0a b ≤≤=，此时0,a μλ==，此时a λμ+=，所以01λμ≤+≤；当P 在线段BC 上时，，此时,1b a b μλμ==+=+，此时12b λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段CD 上时，，此时1,1a a μλμ==+=+，此时2a λμ+=+，所以13λμ≤+≤；当P 在线段DA 上时，0,01,a b =≤≤，此时,b a b μλμ==+=，此时2b λμ+=，所以02λμ≤+≤；由以上讨论可知，当2λμ+=时，P 可为BC 的中点，也可以是点D ，所以A 错；使1λμ+=的点有两个，分别为点B 与AD 中点，所以B 错，当P 运动到点A 时，λμ+有最小值0，故C 错，当P 运动到点C 时，λμ+有最大值3，所以D 正确，故选D ．考点：向量的坐标运算．【名师点睛】本题考查平面向量线性运算，属中档题．平面向量是高考的必考内容，向量坐标化是联系图形与代数运算的渠道，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，通过加、减、数乘的运算法则，实现了数形的紧密结合，同时将参数的取值范围问题转化为求目标函数的取值范围问题，在解题过程中，还常利用向量相等则坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解，体现方程思想的应用． 二、填空题共6小题每小题5分共30分 11.函数()()21log 3f x x =-的定义域为_________.【答案】()()3,44,⋃+∞ 【解析】 【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数()f x 的定义域.【详解】依题意有3031x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()()3,44,x ∈⋃+∞.故答案为()()3,44,⋃+∞【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题. 12.在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 【答案】0 【解析】 【分析】计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力. 13.已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.【答案】2 【解析】 【分析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案.【详解】()tan 3tan 2παα+==. 原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---.故答案为：2.【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力.14.若函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递减，则a 的取值范围为_____.【答案】(]1,2 【解析】 【分析】确定函数2y ax =-单调递减，再根据复合函数单调性和定义域得到答案.【详解】0a >，故函数2y ax =-单调递减，函数y ＝log a （2﹣ax ）在区间（0，1）上单调递.故1a >，且满足20a -≥，故12a <≤. 故答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数，忽略掉定义域的情况是容易发生的错误. 15.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：mg /L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2204tC t =+，则经过_______h 后池水中药品的浓度达到最大. 【答案】2 【解析】C ＝2202020444t t t t =≤++＝5 当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用 16.已知函数π()sin2f x x =，任取t R ∈，记函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值为,t M 最小值为t m 记()t t h t M m =-. 则关于函数()h t 有如下结论： ①函数()h t 为偶函数；②函数()h t值域为[12-； ③函数()h t 的周期为2； ④函数()h t 的单调增区间为13[2,2],22k k k Z ++∈. 其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）【答案】③④. 【解析】试题分析：因为44(4)t t h t M m +++=-，其中44t t M m ++、分别是指函数()f x 在区间[4,5]t t ++上的最大值、最小值，注意到函数π()sin 2f x x =是最小正周期为242ππ=的函数，所以()f x 在区间[4,5]t t ++的图像与在[,1]t t +的图像完全相同，所以44,t t t t M M m m ++==，所以(4)()t t h t M m h t +=-=，所以函数()h t 的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究[2,2]t ∈-的性质即可. 根据π()sin2f x x =的图像（如下图（1））与性质可知当 1.51t -≤<-时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为()sin2f t t π=，此时()cos12h t t π=+当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为1-，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()1sin 2h t t π=-；当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin2f t t π=，最大值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，此时()sin cos 22h t t t ππ=-； 当112t ≤<时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为()sin 2f t t π=，最大值为1，此时()1cos2h t t π=-；当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos22f t t t ππ+=+=，最大值为1，此时； 当时，()f x 在区间[,1]t t +的最小值为(1)sin[(1)]cos 22f t t t ππ+=+=，最大值为()sin 2f t t π=，此时13[2,2],22k k k Z ++∈ 作出()h t 的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为，故只有③④正确.考点：1.三角函数的图像与性质；2.分段函数. 三、解答题共4小题共40分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.已知不共线向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20.（1）求a •b ；（2）是否存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线？（3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），求实数k 的值.【答案】（1）1；（2）存在，12λ=-；（3）1k =-或2k = 【解析】【分析】（1）利用向量运算法则展开计算得到答案.（2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=-，计算得到答案. （3）计算（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，展开计算得到答案.【详解】（1）向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，（2-a 3b ）•（2a b +）＝20，所以42-a 4a •b -32=b 4×9﹣4a •b -3×4＝20，解得a •b =1；（2）假设存在实数λ，使λa b +与-a 2b 共线，则()2a b m a b λ+=-，故,12m m λ==-，12λ=-. 即存在λ12=-，使得λa b +与-a 2b 共线； （3）若（k a +2b ）⊥（-a kb ），则（k a +2b ）•（-a kb ）＝0，即k 2+a （2﹣k 2）a •b -2k 2=b 0，所以9k +（2﹣k 2）×1﹣2k •4＝0，整理得k 2﹣k ﹣2＝0，解得k ＝﹣1或k ＝2.【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.18.已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）（a ∈R ），且f （3π）=（1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间；（3）求f （x ）在区间[0，2π]上的最小值及对应的x 的值.【答案】（1）a =2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值1- 【解析】【分析】 （1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()cos 262f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，计算2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案.【详解】（1）∵f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）（a ∈R ），且f （3π）=∴f （3π）12=（122a -）=解得a =（2）由（1）可得f （x ）＝cosx cosx ﹣sinx ）=2x ﹣sinxcosx 1213322cos x +-=⨯-sin 2x 3-=cos （2x 6π+）3-， 令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ， 可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ， （3）∵x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]， ∴当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）3-取得最小值为﹣13-. 【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.19.如图所示，近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西20°方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得,B D 间的距离为21海里．(Ⅰ)求sin BDC ∠的值；(Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛A ？【答案】（Ⅰ）37； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A . 【解析】【分析】(Ⅰ) 在BDC 中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式计算sin ABD ∠，ABD △中，由正弦定理可得AD 长度，最后得到时间.【详解】(Ⅰ)由已知可得140202CD =⨯=， BDC 中，根据余弦定理求得2222120311cos 221207BDC +-∠==-⨯⨯，∴sin BDC ∠=． (Ⅱ)由已知可得204060BAD ∠=︒+︒=︒，∴116072721)4(sin ABD sin BDC ⎛⎫∠=∠-︒=--⨯= ⎪⎝⎭． ABD △中，由正弦定理可得sin 21sin 15sin sin BD ABD ABD AD BAD BAD ⨯∠⨯∠===∠∠， ∴156022.540t =⨯=分钟． 即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛A ．【点睛】本题考查了正余弦定理的实际应用，意在考查学生的建模能力，实际应用能力和计算能力.20.f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数.（1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由；（2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.【答案】（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案.（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明.【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0， 即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2），∴f 1（x ）＝x 2是C 函数； ()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2），∴()()210f x x x=＜不是C 函数； （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）. （i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n m T--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ），这与f （m ）＜f （n ）矛盾；（ii ）若f （m ）＞f （n ），记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n m T--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数，又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.。
北京首都师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题及答案
北京首都师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列各式：①{}10,1,2∈；②{}0,1,2∅⊆；③{}{}10,1,2∈；④{}{}0,1,22,0,1=，其中错误的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．命题“2x ∃<,220x x -<”的否定是（）A ．2x ∃≤,220x x -≥B ．2x ∀≥,02x <<C ．2x ∃<,220x x -≥D ．2x ∀<,0x ≤或2x ≥3．将下列多项式因式分解，结果中不含因式()2x +的是（）A ．224x x +B ．2312x -C ．26x x +-D ．()()228216x x -+-+4．若集合{}{3},21,Z A xx B x x n n =<==+∈∣∣，则A B = （）A ．()1,1-B ．()3,3-C ．{}1,1-D ．{}3,1,1,3--5．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P SB ．()M P SC ．()M P SD ．()M P S6．已知p ：111x <+，q ：()10x x +<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．下列结论成立的是（）A ．若ac bc <，则a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则11a b<D ．若110a b<<，则0b a <<8．设集合11,Z ,,Z 3663k k M x x k N x x k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||，则（）A ．M N=B ．MN C ．N MD ．M N ⋂=∅9．若,,A B C 为三个集合，A B B C ⋃=⋂，则一定有（）A ．A C⊆B ．C A⊆C ．A C¹D ．A ≠∅10．设()C M 表示非空集合M 中元素的个数，已知非空集合,A B .定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧⊗=⎨-<⎩，若{}1,2A =，()(){}2220B x x ax x ax =+++=且1A B ⊗=，则实数a 的所有取值为（）A ．0B ．0，-C ．0，D ．-，0，二、填空题11．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为.12．若“25x m >-”是“|x |<1”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是13．设a ，b ∈R ，集合{}2,0,1{,,0}a a b -=，则a b +的值是.14．已知集合{}|3A x a x =≤≤，{}|0B x x =<，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是．15．当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合11,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{}2B x x a ==|.若A 与B 构成“全食”，则a 的取值范围是；若A 与B 构成“偏食”，则a的取值范围是.三、解答题16．已知全集R U =，集合{R |211}A x x =∈-≤，集合{R |12}B x x =∈-<≤．(1)求集合A B ⋂及()U A B ⋃ð；(2)若集合{|2,0}=∈≤<>C x R a x a a ，且C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +-+=有两个实数根1x ，2x .(1)求实数m 的取值范围；(2)若12126x x x x +=-，求m 的值.18．已知全集R U =，812x A xx ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭，{}22240B x x mx m =-+-<，{}14C x x =-<<，在①U x A ∈ð；②x A C ∈ ；③x A C ∈⋃；这三个条件中任选一个补充到下列问题中并作答.问题：设p ：______，q ：x B ∈，是否存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件？若实数m 存在，求m 的取值范围；若实数m 不存在，说明理由.19．已知集合{}1,2,,A n =⋅⋅⋅（3n ≥），A 表示集合A 中的元素个数，当集合A 的子集i A 满足2i A =时，称i A 为集合A 的二元子集，若对集合A 的任意m 个不同的二元子集1A ，2A ，…，m A ，均存在对应的集合B 满足：①B A ⊆；②B m =；③1i B A ≤ （1i m ≤≤），则称集合A 具有性质J .(1)当3n =时，若集合A 具有性质J ，请直接写出集合A 的所有二元子集以及m 的一个取值；(2)当6n =，4m =时，判断集合A 是否具有性质J ？并说明理由.参考答案：题号12345678910答案ADCCCDDBAD1．A【分析】根据集合与集合的关系，元素与集合的关系即可求解.【详解】由元素与集合的关系可知{}10,1,2∈正确，{}{}10,1,2∈不正确，由集合之间的关系知{}0,1,2∅⊆正确，由集合中元素的无序性知{}{}0,1,22,0,1=正确，故错误的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，集合的子集，集合的相等，属于容易题.2．D【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结果.【详解】命题“2x ∃<,220x x -<”是存在量词命题,又22002x x x -<⇒<<,所以其否定为全称量词命题,即为“2x ∀<,0x ≤或2x ≥”.故选:D.3．C【分析】利用提取公因式法判断A ，利用公式法判断B ，利用十字相乘法判断C 、D.【详解】对于A.原式()22x x =+，不符合题意；对于B.原式()()()234322x x x =-=+-，不符合题意；对于C.原式()()23x x =-+，符合题意；对于D.原式()()22242x x =-+=+，不符合题意.故选：C.4．C【分析】解绝对值不等式得A ，根据交集的定义计算即可.【详解】解3x <得33x -<<，即()3,3A =-，B 为奇数集，故{}1,1A B =- .故选：C 5．C【分析】根据Venn 图表示的集合运算作答．【详解】阴影部分在集合,M P 的公共部分，但不在集合S 内，表示为()⋂⋂M P S ，故选：C ．6．D【分析】分别求出,p q ，再分析出,p q 的推导关系.【详解】()11110010111x x x x x x -<⇒-<⇒<⇒+>+++，所以:0p x >或1x <-，而:10q x -<<，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，故选：D 7．D【分析】根据不等式的性质或举出反例对各选项逐一判断即可.【详解】选项A ：当0c >时，若ac bc <，则a b <，当0c <时，若ac bc <，则a b >，故A 说法错误；选项B ：若1a =，2b =-满足a b >，此时22a b <，故B 说法错误；选项C ：当0a b >>或0a b >>时，11a b<，当0a b >>时，11a b >，故C 说法错误；选项D ：当110a b<<时，0ab >，所以不等式同乘ab 可得0b a <<，故D 说法正确；故选：D 8．B【分析】根据集合,M N 的表达式，可求出集合M 是16的奇数倍，N 是16的整数倍，即可得出,M N 的关系.【详解】由()11,Z 21,Z 366k M x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合M 表示的是16的奇数倍；由()11,Z 2,Z 636k N x x k x x k k ⎧⎫⎧⎫==+∈==+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭||可知，集合N 表示的是16的整数倍；即可知M 是N 的真子集，即M N .故选：B 9．A【分析】由已知等式可推导得到A B C ⊆⊆，由此可依次判断各个选项得到结果.【详解】A B B C ⋃=⋂ ，A B B ∴⊆ ，B B C ⊆ ，A B ∴⊆，B C ⊆，即A B C ⊆⊆；对于A ，A B C ⊆⊆ ，A C ∴⊆，A 正确；对于B ，当且仅当A B C ==时，C A ⊆，B 错误；对于C ，当A B C ==时，满足A B C ⊆⊆，C 错误；对于D ，当A =∅时，满足A B C ⊆⊆，D 错误.故选：A.10．D【分析】由题意可得集合B 中的元素个数为1个或3个，分集合B 中的元素个数为1和集合B 中的元素个数为3两种情况，再结合一元次方程根的个数求解即可.【详解】解：由()()2220x ax x ax +++=可得20x ax +=或220x ax ++=，又因为{}1,2A =，1A B ⊗=，所以集合B 中的元素个数为1个或3个，当集合B 中的元素个数为1时，则20x ax +=有两相等的实数根，且220x ax ++=无解，所以22080a a ⎧=⎨-<⎩，解得0a =；当集合B 中的元素个数为3时，则20x ax +=有两不相等的实数根，且220x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax +=的根的解，所以20Δ80a a ≠⎧⎨=-=⎩，解得a =a =-综上所述，0a =或a =a =-故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据题意得出集合B 中的元素个数为1个或3个.11．(){}3,7-【分析】首先根据方程组求出其解，然后运用列举法表示出对应的解集即可（以有序数对(),a b 的形式表示元素）.【详解】因为322327x y x y +=⎧⎨-=⎩，所以37x y =⎧⎨=-⎩，所以列举法表示解集为：(){}3,7-.故答案为(){}3,7-.【点睛】本题考查二元一次方程组解集的列举法表示，难度较易.二元一次方程组的解用列举法表示时，可将元素表示成有序数的形式：(),x y .12．(],2-∞【分析】根据题意得到(1,1)-(25,+)m -∞，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可.【详解】||<1,1<<1x x ∴- >25x m - 是||1x <的必要不充分条件,(1,1)∴-(25,+)m -∞,251,2m m ∴-≤-∴≤,∴实数m 的取值范围是(,2]-∞,故答案为：(,2]-∞.13．0【分析】由集合相等的含义，分类讨论元素对应关系即可.【详解】由集合元素互异性：0a ≠，又{}2,0,1{,,0}a a b -=，则21a a b ⎧=⎨=-⎩或21a ba ⎧=⎨=-⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，故0a b +=故答案为：014．0a ≥【分析】分别讨论A =∅和A ≠∅两种情况求解.【详解】因为A B =∅ ，若3a >，则A =∅，满足题意；若3a ≤，则应满足0a ≥，所以03a ≤≤，综上，0a ≥.故答案为：0a ≥.15．{|0a a <或}1a =14⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】分情况解集合B ，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.【详解】由{}2B x x a ==|可知，当0a <时，B =∅，此时B A ⊆；当0a =时，{}0B =，此时A B =∅ ，当0a >时，{B =；又11,,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，若A 与B 构成“全食”，则B A ⊆，当0a <时，满足题意；当0a =时，不合题意；当0a >时，要使B A ⊆，则{}1,1B =-1=，解得1a =；综上，A 与B 构成“全食”时，a 的取值范围是{|0a a <或}1a =；若A 与B 构成“偏食”时，显然0a ≤时，不满足题意，当0a >时，由A B ≠∅ ，所以11,22B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭12=，解得14a =，此时a 的取值范围是14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：{|0a a <或}1a =；14⎧⎫⎨⎬⎩⎭16．(1)(1,1]A B ⋂=-，(1,)U A B ⋃=-+∞ð；(2)(0,1]【分析】（1）解一元一次不等式求集合A ，再应用集合的交并补运算求A B ⋂及()U A B ⋃ð.（2）由集合的包含关系可得2a ≤2，结合已知即可得a 的取值范围．【详解】（1）由211x -≤得：1x ≤，所以(,1]A ∞=-，则(1,)U A =+∞ð，由(1,2]B =-，所以(1,1]A B ⋂=-，(1,)U A B ⋃=-+∞ð．（2）因为C B ⊆且0a >，所以2a ≤2，解得1a ≤．所以a 的取值范围是(0,1]．17．(1)34m ≤(2)1m =-【分析】（1）根据根的判别式列不等式，然后解不等式即可；（2）根据韦达定理得到1223x x m +=-+，212x x m =，然后代入求解即可.【详解】（1）因为有两个实根，所以()222341290m m m ∆=--=-+≥，解得34m ≤.（2）由题意得()122323x x m m +=--=-+，212x x m =，所以2236m m -+=-，整理得()()310m m -+=，解得3m =或-1，因为34m ≤，所以1m =-.18．答案见解析【分析】分别求解集合,A B ，并求解三个条件的集合，再根据必要不充分条件，转化为集合的包含关系，即可列式求解.【详解】不等式8831100222x x x x x x +++>⇔->⇔<---，即()()320x x +-<，解得：32x -<<，即=−3<<2，()()22240220x mx m x m x m -+-<⇔---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得：22m x m -<<+，即{}22B x m x m =-<<+，若选①，{3U A x x =≤-ð或2}x ≥，:p {3U x A x x ∈=≤-ð或2}x ≥，{}:22q x B x m x m ∈=-<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则BU A ð,即23m +≤-或22m -≥，解得：5m ≤-或4≥m ；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的范围为5m ≤-或4≥m ；若选②，{}12A C x x ⋂=-<<，:p {}12x A C x x ∈⋂=-<<，{}:22q x B x m x m ∈=-<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B()A C ,则2122m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解集为∅；所以不存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件；若选③，{}34A C x x ⋃=-<<，:p {}34x A C x x ∈⋃=-<<，{}:22q x B x m x m ∈=-<<+，若p 是q 的必要不充分条件，则B()A C ,则2324m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得：12m -≤≤；所以存在实数m ，使得p 是q 的必要不充分条件，m 的取值范围为12m -≤≤；19．(1)答案见解析(2)不具有，理由见解析【分析】（1）根据集合A 具有性质J 的定义即可得出答案；（2）当6n =，4m =时，利用反证法即可得出结论.【详解】（1）当3n =时，{}1,2,3A =，集合A 的所有二元子集为{}{}{}1,2,1,3,2,3，则满足题意得集合B 可以是{}1或{}2或{}3，此时1m =，或者也可以是{}1,2或{}1,3或{}2,3，此时2m =；（2）当6n =，4m =时，{}1,2,3,4,5,6A =，假设存在集合B ，即对任意的()1234,,,,4,114i A A A A B B A i =⋂≤≤≤，则取{}{}{}{}12341,2,3,4,5,6,2,3A A A A ====，（4A 任意构造，符合题意即可），此时由于4B =，若121,1A B A B ≤≤ ，则B 中必有元素5,6，此时32A B = ，与题设矛盾，假设不成立，所以集合A 是不具有性质J .【点睛】关键点点睛：此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键.。
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题及答案解析版
2019-2020学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期期中考试数学试题及答案解析版一、单选题1．设集合{}2,,0A a a =，{}2,4B =，若{}2A B ⋂=，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2± C D ．【答案】D【解析】由A ，B ，以及两集合的交集，确定出a 的值即可． 【详解】∵集合{}2,,0A a a =，{}2,4B =，{}2A B ⋂=， ∴a=2或a 2=2，即a=2或当a=2时，A={2，4，0}，B={2，4}，此时A∩B={2，4}，不合题意； 当时，，2，0}，满足题意， 当a=时，A={，2，0}，满足题意故选：D ． 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了元素的三要素，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=且，则下列代数式中值最大的是A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．12【答案】A【解析】【详解】因为121212120,0,1a a b b a a b b <<<<+=+=22121212121()()222a ab b a a b b +++<+= 112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--> 11221221()a b a b a b a b +>+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++<+112212a b a b +>，综上可得1122a b a b +最大，故选A.3．下列函数中，是偶函数的是（ ） A ．()1f x x = B ．()lg f x x = C ．()x x f x e e -=- D ．()f x x =【答案】D【解析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【详解】 对于A ，()1f x x-=-=- ()f x ，所以为奇函数，不满足题意； 对于B ，()lg f x x =的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；对于C ，()()xx f x e e f x --=-=-，为奇函数，不满足题意；对于D ，()()f x x f x -==，为偶函数，满足题意. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．4．已知p :1x m -<,q :28120x x -+<,且q 是p 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,5 B ．[]3,5 C ．()(),35,-∞+∞ D ．(](),35,-∞+∞【答案】B【解析】首先求两个命题表示的集合,A B ，由题意可知A B ，然后根据集合的包含关系求m 的取值范围.【详解】:p 111x m x m -<⇒-<-<解得：11m x m -<<+ ，{}11A x m x m ∴=-<<+，2:8120q x x -+< ，解得：26x <<，{}26B x x ∴=<<，q 是p 的必要不充分条件,∴A B∴ 1216m m -≥⎧⎨+≤⎩，解得35m ≤≤故选：B 【点睛】本题考查解不等式和根据命题的必要不充分条件求参数的取值范围，意在考查基本方法和计算，属于基础题型.5．已知()1f x +=()f x 的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用平移变换即可得到函数()f x 的大致图像. 【详解】 ∵()1f x x +=∴函数()f x 的图象是由()1f x +向右平移一个单位得到， 故选：A 【点睛】本题考查了函数的图象变换知识，属于基础题. 6．关于x 的方程()2370x m x m +-+-=的两根都大于3,则m 的取值范围是（ ） A ．((),1251,25,-∞-++∞B ．7,152⎛-- ⎝C ．()7,125,2⎛⎫-∞--+∞⎪⎝⎭ D ．(,125-∞-【答案】B【解析】由根的分布，列不等式求m 的取值范围. 【详解】设方程的两个实数根分别是12,x x ，且13x >，23x >设()()237f x x m x m =+-+-()033230m f ∆≥⎧⎪-⎪∴->⎨⎪>⎪⎩，即()()()2347033293370m m m m m ⎧--⨯-≥⎪-⎪->⎨⎪+-+->⎪⎩，解得：11372m m m m ⎧⎪≥+≤-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩解得：712m -<≤-故选：B 【点睛】本题考查根据根的分布求参数m 的取值范围，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型.7．用列举法可以将集合{A a a =使方程221=0ax x ++有唯一实数解}表示为（ ） A ．{}1A =B ．{}0A =C ．{}0,1A =D ．{}0A =或{}1【答案】C【解析】根据题意求当方程2210ax x ++=有唯一实数解时，求a 的取值范围，分0a =和0a ≠两种情况求a 的取值. 【详解】由题意可知集合A 的元素表示能使方程2210ax x ++=有唯一实数解的a 的值， 当0a =时，210x +=，解得12x =-，成立； 当0a ≠时，方程2210ax x ++=有唯一实数解，则440a ∆=-=， 解得：1a =，{}0,1∴=A .故选：C 【点睛】本题考查根据方程的实数根的个数求参数的取值，属于简单题型.8．已知集合{},M m m a a b Q==+∈,则下列四个元素中属于M 的元素的个数是（ ）①1+;A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】①②③都可以写成m a =+验证,a b 是否是有理数，④.【详解】 ①当1a +=+时，可得1,a b π==，这与,a b Q ∈矛盾，3==3a ∴+=，可得3,1a b == ，都是有理数，所以正确，2122==-，12a ∴+=-，可得11,2a b ==-，都是有理数，所以正确，④2426=+=而(22222a a b +=++，,a b Q ∈，(2a ∴+是无理数，不是集合M 中的元素，只有②③是集合M 的元素. 故选：C 【点睛】本题考查元素与集合的关系，意在考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型. 9．下列不等式正确的是（ ）A ．223x x+≥．224a b ab +≥ C 2a b+ D ．44a a+≥ 【答案】A【解析】根据基本不等式的条件，公式依次判断选项，得到正确答案. 【详解】A.2230,0x x >>，223x x +≥=且仅当223x x =时，即2x =B.当1,1a b ==时，224a b ab +<，故不成立；C.当0,0a b >>2a b+≤，故不成立； D.当0a <时，44a a +≥不成立，只有当0a >时，44a a+≥成立，故不成立. 故选：A 【点睛】本题考查基本不等式的判断，属于基础概念题型.10．“3x>”是“2560-+>”的（）x xA．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先解不等式2560-+>，再根据集合的包含关x x系判断充分必要条件.【详解】2560-+>x x解得：3x>或2x<“3x>或2x>”⇒“3x<”，但反过来不成立，∴“3x>”是“2560-+>”的充分不必要条件.x x故选：A【点睛】本题考查命题以集合形式时，判断充分不必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.二、填空题11．已知集合{|1}=>，若A BB x x aA x x=>，{|}⊆，则实数a的取值范围是______.【答案】(,1]-∞【解析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A B⊆可得实数a的取值范围.【详解】如图，在数轴表示,A B ，因为A B ⊆，故1a ≤，填(],1-∞.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取. 12．关于x的方程()()()221k x x x x x -=--的解集中只含有一个元素,k =______. 【答案】-1，3，0【解析】由方程可知1x ≠且0x ≠，得到220x x k +-=，解得1k =-，再分别将1x =和0x =代入220x x k +-=，得到k ，验证是否解集中只有一个元素，得到k . 【详解】()22211x k x k xx x x x x --==---1x ≠ ，化简为2k xx x-=， 0x ≠，变形为22220x k x x x k =-⇒+-= ①440k ∆=+=，解得：1k =- ，验证当1k =-时，2210x x ++= ， 解得：1x =- 成立.∴1k =-.当1x =时，代入①21210k +⨯-=，解得：3k =代入原式，2321x x x x x -=--，1x ≠且0x ≠ ，化简得：2230x x +-= ， 解得：1x =或3x =- ，1x ≠，∴方程只有一个解，成立，3k ∴= ，当0x =时，代入①20200k +⨯-=，解得0k = ，带代原式221x x x x x -=--，1x ≠且0x ≠ ，解得：2x =- ，成立，0k ∴=故答案为：-1,3,0 【点睛】本题考查根据分式方程的解集个数求参数，意在考查基本计算，属于基础题型，本题是一道易错题，易错的原因就是忽略将1x =和0x =代入220x x k +-=，验证k 的值. 13．已知()f x ＝21,1{1,1x x x x -≤-+>，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．【答案】－1 0或2【解析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时()1f x =-. 【详解】()()21110f -=--=，故()()101f f f ⎡⎤-==-⎣⎦，因为()1f x =-，故2111x x ≤⎧⎨-=-⎩或者111x x >⎧⎨-+=-⎩，解得0x =或2x =.综上，填1-，0或2. 【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值. 14．若关于x的不等式220ax bx ++>的解集是11{}23x x -<<，则a b +=_________. 【答案】－14【解析】由不等式220ax bx ++>的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出,a b 的值，从而可得结果. 【详解】不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭， 所以对应方程220ax bx ++=的实数根为12-和13，且0a <，由根与系数的关系得112311223b aa⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12,2a b =-=-，14a b ∴+=-，故答案为14-.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.15．关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数. 【答案】①②③【解析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③． 【详解】①，由24110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()f x =的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x ，即f （x ，当0＜x ≤1可得f （x（﹣1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x ）＝[0，1）． 可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x ）＝﹣||x x的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x ）＝||x x＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f（x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题． 16．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两 种都没买的有 人. 【答案】【解析】【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).【考点】元素与集合的关系. 17．已知函数3,? 0(){1,? 0x a x f x x x +>=+≤在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[1,)+∞【解析】因为()f x 是分段函数且为增函数，故3010a +≤+，故可得实数a 的取值范围． 【详解】因为()f x 为R 上的增函数，故3010a +≤+，所以1a ≥，填[)1,+∞． 【点睛】如果一个分段函数在R 为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视． 18．设5x >,P =,Q =-则P 与Q 的大小关系是P ______Q . 【答案】>【解析】计算P Q -=-，利用分子有理化化简并判断,P Q 的大小关系. 【详解】P Q -=-=-=2=- ，5x > ，>>，0>> ， 0∴<<，∴<，∴ 20->. 故答案为：> 【点睛】本题考查比较两个数的大小，意在考查化简，变形能力，属于计算题型.19．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________． 【答案】{0,1}或{－1,1}，【解析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-． 若2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b =，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．20．已知a ,b 是正实数,且2a b +=,则41a b +的最小值为______.【答案】92【解析】 ()411412a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式求最值. 【详解】()4114114522b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭40,0,4b a a b a b >>∴+≥=， 4192a b ∴+≥ ， 当4b aa b = ，即2a b =时等号成立.故答案为：92【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的变形，属于基础题型.三、解答题21．已知集合2{|0}A x x x =-<，2{|20}B x x x m =--<. （1）求A R；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】(1) (,0][1,)-∞⋃+∞ (2) (,1]-∞-【解析】（1）求出不等式20x x -<的解后可得R C A ． （2）因为A B φ⋂=，故220x x m --≥对任意的01x <<恒成立，参变分离后可得实数m 的取值范围． 【详解】（1）由20x x -<得01x <<，故(0,1)A =，所以(,0][1,)R C A =-∞⋃+∞． （2）由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立， 即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立．22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-，所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． 【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．22．已知函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且满足()()()f xy f x f y =+，1()12f =，如果对于0x y <<，都有()()f x f y >． （1）求()1f 的值；（2）解不等式()(3)2f x f x -+-≥-.【答案】（1）()10f = （2）{|10}x x -≤<．【解析】（1）根据()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，即可得出()1f 的值；（2）由0x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，根据()f x 的单调性，结合函数的定义域，列出不等式解出x 的范围即可. 【详解】（1）令1x y ==，则()()()111f f f =+，()10f =.（2）解法一：由x y <<，都有()()f x f y >知()f x 为()0,+∞上的减函数，且030x x ->⎧⎨->⎩，即0x <.∵()()()f xy f x f y =+，(),0,x y ∈+∞且112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()()32f x f x -+-≥-可化为()()1322f x f x f ⎛⎫-+-≥- ⎪⎝⎭，即()()113022f x f f x f ⎛⎫⎛⎫-++-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()()331112222x x x x f f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-+≥⇔-⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则03122x x x <⎧⎪⎨--⋅≤⎪⎩，解得10x -≤<. ∴不等式()()32f x f x -+-≥-的解集为{|10}x x -≤<． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出. 23．已知a ,b 为正实数,.≥【解析】2，根据条件判断其正负，得到大小关系.【详解】+=+()a b==-()a b-=2=0,0a b>>，>>，20≥，∴≥，≥【点睛】本题考查比较两个数的大小，意在考查计算化简，计算能力，属于基础题型.24．已知一元二次不等式20ax bx c++>的解集为{}x xαβ<<,且0αβ<<,求不等式20cx bx a++<的解集.【答案】1{x x α>或1}x β<【解析】首先根据条件可知0a <，b a αβ+=-，caαβ=，0c <，并知20cxbx a ++=的两个实数根分别是1α和1β，再比较根的大小，求不等式的解集. 【详解】因为不等式20ax bx c ++>(0a ≠)的解为x αβ<<,其中0βα>>,所以有ba αβ+=-,ca αβ=且0a <,0c <.设方程20cx bx a ++=的两根为m ,n ,且m n <.则11b m nc αβαβαβ++=-==+,111a mn c αβαβ===⋅所以可得1n α=,1m β=且11αβ>又因为0c <,∴不等式20cx bx a ++<的解集1{x x α>或1}x β<.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，意在考查一元二次方程和不等式的关系，以及解集形式和系数的关系，属于基础题型.25．(1)已知0x >,求函数254x x y x++=的最小值; (2)已知103x <<,求函数()13y x x =-的最大值. 【答案】（1）9（2）112【解析】（1）函数变形为25445x x y x x x++==++，再利用基本不等式求最值；（2）法一，2113612y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，利用二次函数求最大值，法二：函数变形为()()1133133y x x x x =-=⨯-，利用基本不等式求最值. 【详解】 (1)25445x x y x x x++==++，0x，44x x ∴+≥= ，等号成立的条件是4x x=，即2x =时，459x x∴++≥， 254x x y x++∴=的最小值是9.(2)法一：2113612y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当16x =时，函数取得最大值112， 法二：()()()23131111331333212x x y x x x x +-⎛⎫=-=⨯-≤≤=⎪⎝⎭，当且仅当313x x =-，即16x =时等号成立， ∴函数的最大值是112. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查基本公式和计算能力，属于简单题型. 26．已知0,0,21a b a b >>+=，求11a b+的最小值. 【答案】3+【解析】变换得到2121a b a ba b a b++++=化简利用均值不等式计算得到答案. 【详解】223112a b a b a b b a a b a b +++=+++=3≥+3=+ 当2b a a b =即1,a b ==时等号成立.min113a b ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，其中变换得到2121a b a b a b a b++++=是解题的关键. 27．(1)已知54x <,求14245y x x =-+-的最大值;(2)已知102x <<,求()1122y x x =-的最大值. 【答案】（1）1（2）116【解析】（1）函数变形为114533544554y x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪--⎝⎭，再利用基本不等式求最值；（2）函数变形为()()111221224y x x x x =-=⨯-，利用基本不等式求最大值，法二，利用二次函数求最大值. 【详解】(1)114533544554y x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪--⎝⎭，54x <，540x ∴-> 154254x x∴-+≥- ，当15454x x -=-时，等号成立，∴114533543214554y x x x x ⎛⎫=-++=--+≤-= ⎪--⎝⎭， ∴ 14245y x x =-+-的最大值是1.(2)法一：()()()2212111112212244216x x y x x x x +-⎛⎫=-=⨯-≤⨯= ⎪⎝⎭, 当212x x =-时，等号成立， 即14x =时，函数()1122y x x =-的最大值是116. 法二:222111111122161641616y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--++=--+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当14x =时，函数取得最大值116. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查基本公式和计算能力，属于简单题型.28．(1)已知0x >,0y >,且满足811x y +=.求2x y +的最小值. (2)若把(1)中的“811x y +=”改为“21x y +=”,其他条件不变,求81x y+的最小值. 【答案】（1）18（2）18【解析】（1）()8122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开变形，利用基本不等求最小值； （2）()81812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开变形，利用基本不等式求最小值. 【详解】(1)()811616228210102418y xy x x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++≥+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 当16y xx y =时，即4x y = ，等号成立，2x y ∴+的最小值是18.(2)()8181161628210102418y xy x x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++≥+⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 当16y xx y =时，即4x y = ，等号成立，∴81x y +的最小值是18.【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意. 29．求下列不等式的解集.(1)213422x x -<---;(2)()()22312x x +≥-.(3)52321x x ->+【答案】（1）{11x x -<<-（2）243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（3）152x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ 【解析】（1）变形为2250x x +-<，解不等式； （2）变形为231080x x --≤，解不等式；（3）变形为5253002121x x x x -+->⇒<++，等价于()()5210x x ++<解不等式. 【详解】（1）不等式变形为：2250x x +-<方程2250x x +-=的两个实数根是11x =-21x =-，11x ∴-<<-，∴不等式的解集是{11x x -<<-.（2）不等式变形为：231080x x --≤()()4320x x -+≤ ，解得243x -≤≤ ，∴不等式的解集是243x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （3）5252633002121x x x x x ----->⇒>++55002121x x x x --+>⇒<++ ，即()()5210x x ++< ， 解得：152x -<<- ，∴不等式的解集是152x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，意在考查计算能力，本题第三问是分式不等式，再求解时，需注意步骤是移项，通分，再转化为一元二次不等式求解. 30．若x ,y 为正实数,且280x y xy +-=,求x y +的最小值. 【答案】18【解析】首先已知条件变形为821x y +=，再化简()82x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求最小值.【详解】822801x y xy x y+-=⇒+= ()8282828210102418y xy x x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(当82y xx y =时取“=”) 所以x y +的最小值是18. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意. 31．已知2210ax ax ++≥恒成立. (1)求a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式220x x a a --+<. 【答案】（1）[]0,1（2）详见解析【解析】（1）当0a =时，验证成立，当0a ≠时，只需满足20440a a a >⎧⎨-≤⎩成立； （2）原不等式可化为()()10x a x a --⎡⎤⎣⎦->，对应方程两根为1x a =，21x a =-，在分 102a ≤<，112a <≤，12a =三种情况讨论不等式的解集. 【详解】（1）当0a =时,10≥恒成立，当0a ≠时,要使不等式2210ax ax ++≥对一切x ∈R 恒成立,则20440a a a >⎧⎨-≤⎩,解得01a <≤综上,a 的取值范围是[]0,1(2)原不等式可化为()()10x a x a --⎡⎤⎣⎦->,当102a ≤<时,不等式的解为:x a <,或1x a >-当12a =时,不等式的解为:12x ≠，当112a <≤时,不等式的解为:1x a <-,或x a >综上,当102a ≤<时,不等式的解集为:{x x a <或1}x a >-;当12a =时,不等式的解集为:12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭;当112a <≤时,不等式的解集为:{1x x a <-或}x a >.【点睛】本题考查含参不等式的解法和根据函数恒成立求参数的取值范围，意在考查函数与方程的思想，属于基础题型. 32．已知1x ,2x 是一元二次方程()2620a x ax a -++=的两个实数根.(1)是否存在实数a ,使11224x x x x -+=+成立?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由;(2)求使()()1211x x ++为负整数的实数a 的整数值. 【答案】（1）存在，24a = （2）7a =,8,9或12. 【解析】（1）由条件可知1226a x x a -+=-,126ax x a =-，代入方程12124x x x x =++，得到a ，并验证∆；（2）代入根与系数的关系求()()1211x x ++为负整数时，求a . 【详解】（1）方程()2620a x ax a -++=有两个实数根,则判别式()2446240a a a a ==-=≥,得:0a ≥因为二次项系数60a -≠,即6a ≠1226ax x a -+=-,126a x x a =-由11224x x x x -+=+,得:12124x x x x =++，代入得:2466a aa a -=+-- 4242a a a =--，24a =,故当24a =时,有11224x x x x -+=+成立(2)()()121212261111666a a x x x x x x a a a -++=+++=++=----要使上式为负整数,则有61a -=,2,3或6所以7a =,8,9或12. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系求参数的取值，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.。