高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
(1)若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ∈R，则：
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( ) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标. ( ) (3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样. ( )
【解析】(1)错误.由于向量可以平移，无论向量在何位置，它的坐标不变.终 点不同的两个向量的坐标可以相同. (2)错误.向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标. (3)错误.两相等向量的坐标相等，与它们的终点无关. 答案：(1)× (2)× (3)×
2.3.2
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
2.3.3
1.平面向量的正交分解的定义 互相垂直 的向量. 把一个向量分解为两个_________ 2.平面向量的坐标表示 x__轴、 y __轴 (1)建系选基底：在平面直角坐标系中，分别取与 方向相同的两个单位向量 _________i，j作为基底.
起点O1和终点A1的坐标都发生了变化.
(2)联系： ①向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系， 只与其相对位置有关系. ②把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点，这时向量a的坐标就表示 向量a的有向线段的终点唯一确定，即终点的坐标就是向量a的坐标.
4.相等向量坐标之间的关系 由向量的坐标定义知，两向量相等等价于它们的坐标相等，若a=(x1，y1)， b=(x2，y2)，则a=b⇔x1=x2且y1=y2.
【解析】1.选C.因为a=(-2，3)，b=(2，-3).所以a+b=(-2，3) +(2，-3)=(0，0)= 0，即 a=-b. 2.选D.A正确，将 MN =(x0，y0)平移，其坐标不变，又因为起 点在原点的向量的坐标就是其终点坐标，所以使起点 M与坐标 原点 O重合，则点 N的坐标为(x0，y0).B正确， MN 的相反向量 为- MN ，其坐标为 (-x0，-y0).C正确，因为直线MN与y轴垂 直，将 MN =(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合，则点 N 落在x轴上，其坐标为(x0，0)，所以y0=0.D错误，若 MN =(x0， y0)是一个单位向量，则-1≤x0≤1.
)
2.下列说法不正确的是 ( ) A.若将 MN =(x0，y0)平移，使起点M与坐标原点O重合， 则点N的坐标为(x0，y0)
B. MN =(x0，y0)的相反向量的坐标为(-x0，-y0) C.若直线MN与y轴垂直且 MN =(x0，y0)，则必有y0=0 D.若 MN =(x0，y0)是一个单位向量，则x0小于1
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在平面直角坐标系内，已知i，j是两个互相垂直的单位向量，若a=2i-3j，则向 量用坐标表示a= . . .
(2)若向量a=(3，5)，b=(-3，2)，则a+b=
(3)若点A(3，1)，点B(4，6)，用坐标表示向量 AB =
【解析】(1)由于i，j是两个互相垂直的单位向量，则a=(2，-3). 答案：(2，-3) (2)a+b=(3，5)+(-3，2)=(0，7). 答案： (0 ，7) (3) AB =(4，6)-(3，1)=(1，5). 答案：(1，5)
【要点探究】 知识点1 平面向量的正交分解及坐标表示 1.对向量正交分解的认识 (1)向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例. (2)正交分解的两个基向量互相垂直，构成正交基底.
2.解读平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关. (2)向量确定后，向量的坐标就被确定了. (3)引入向量的坐标表示以后，向量就有两种表示方法：一种是几何法，即用 向量的长度和方向表示；另一种是坐标法，即用一对有序实数表示.有了向量 的坐标表示，就可以将几何问题转化为代数问题来解决.
知识点2 平面向量的坐标运算 1.两个向量和(差)的坐标 由于向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)等价于a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即a+b=(x1+x2，y1+y2)，同理可得a-b=(x1x2，y1-y2).这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的 和(差).
3.点的坐标与向量的坐标的区别和联系 (1)区别： ①意义 点的坐标反映点的位置，它由点的位置决定；向量的坐标反映的是向量的大 小和方向，与位置无关；
②表示形式
OA 如点A(x，y)，向量a＝ ＝(x，y)．当平面向量 OA 平行移 动到 O1A1 时，向量不变，即 O1A1＝OA ＝(x，y),但 O1A1 的
【微思考】 (1)相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一 定相同吗？ 提示：由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是 相等向量的起点、终点的坐标可以不同 . (2)以原点O为起点作向量 OA =a，点A的位置由谁确定？ 提示：由a唯一确定.
【即时练】 1.已知向量a=(-2，3)，b=(2，-3)，则下列结论正确的是( A.向量a的终点坐标为(-2，3) B.向量a的起点坐标为(-2，3) C.向量a与b互为相反向量 D.向量a与b关于原点对称
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 AB的起点A(x1，y1)，终点B(x2， (x2-x1，y2-y1) y2)，则 AB = _____________.
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算(教案)
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】1、知识与技能理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。
2、过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。
3、情感、态度与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。
【教学重点】平面向量的坐标运算。
【教学难点】理解向量坐标化的意义。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受到 斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生 斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的 力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和22e λ，使1122a e e λλ=+。
而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。
在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取两个 向量i 和j ，则i j ⊥，且{},i j 可以作为一个基底。
由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底{},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。
既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。
高中数学第2章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算
解 (1)O→P＝tO→A＋O→B＝(3＋t,3＋2t)， ∴P 点坐标为(3＋t,3＋2t)， 若 P 在 x 轴上，则 3＋2t＝0 得 t＝－32， 若 P 在 y 轴上，则 3＋t＝0 得 t＝－3， 若 P 在第二象限，则33＋＋t2<t>0，0， 得 t 无解，
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解 (1)O→P＝O→A＋tO→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t，2＋3t)， 所以 P 点坐标为(1＋3t,2＋3t)．
若 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，得 t＝－23； 若 P 在 y 轴上，则 1＋3t＝0，得 t＝－13； 若 P 在第二象限，则12＋＋33tt<>00，， 得－23<t<－13.
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(2)已知A→B＝(1,3)，且点 A(－2,5)，则点 B 的坐标为( )
A．(1,8)
B．(－1,8)
C．(3，－2) D．(－3,2)
解析 因为向量坐标等于终点坐标减去起点坐标，所以 B 点坐标为(－1,8)．
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(3)(教材改编 P100T2)若 a＝(2,1)，b＝(1,0)，则 3a＋2b
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∵A→P＝A→B＋λA→C， ∴xy－ －23＝ ＝31＋ ＋57λλ， ， ∴xy＝ ＝54＋ ＋57λλ，. (1)若 P 在一、三象限角平分线上，则 5＋5λ＝4＋7λ. ∴λ＝12.
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(2)若 P 在第三象限内，则54＋ ＋57λλ<<00， ， ∴λ<－1. ∴λ＝12时，点 P 在第一、三象限角平分线上；λ<－1 时， 点 P 在第三象限内．
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐 标公式
一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标
符号表示
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:确定出终点的坐标,即可确定向量������������的坐标. 解:设点 A(x,y), 则 x=|OA|cos 60°=2√3,y=|OA|sin 60°=6, 即 A(2√3,6),故������������=(2√3,6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
变式训练1
探究三
思维辨析
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
思维脉络
1.理解平面向量的正交 分解及坐标表示的意义. 2.理解向量加法、减法、 数乘的坐标运算法则,能
熟练进行向量的坐标运
算. 3.能借助向量的坐标,用 已知向量表示其他向量.
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解
2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示【学习目标】1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【新知自学】知识回顾：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2；使得 给定基底，分解形式惟一. λ1，λ2由a，1e ，2e 唯一确定2. 向量的夹角:已知两个非零向量a 、b，作a A O ，b B O ，则∠AOB＝ ，叫向量a 、b的夹角，当 = ，a 、b 同向；当 = ，a 、b反向（同向、反向通称平行）；当 = °，称a 与b 垂直，记作a b。
新知梳理：由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。
1．平面向量的正交分解：把向量分解为两个 的向量。
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？2．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i r +y j r………○1 我们把),(y x 叫做向量a的（直角）坐标，记作a =(x,y)………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，i r =(1,0) j r=(0,1)，0r =(0,0).3. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。
如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA u u u r =a，则点A 的位置由a唯一确定.设OA u u u r =x i r +y j r ，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.yxOA对点练习：1. 如图，向量i r 、j r是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i r 的夹角是30°，且|a|=4，以向量i r 、j r 为基底，向量a=_________2. 在平面直角坐标系下，起点是坐标原点O ，终点A 落在直线x y 上，且模长为1的向量OA u u u r的坐标是___________【合作探究】典例精析：例1：请写出图中向量OA ,OB ,BC 的坐标变式1：请在平面直角坐标系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.例2:如图所示，用基底i r 、j r 分别表示向量a 、b r 、c r 、d ur 并求出它们的坐标。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
木块产生垂直于斜面的压力F2，G＝ F1＋F2 叫做把重力 G 分解.
由平面向量的基本定理知，对平面上任意向量 a , 均可以分解为不共线的两个向量 1e1和 2 e2 ，
使 a 1e1 2 e2.
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫 做把向量正交分解.
探究一：平面向量的坐标表示
rr (5)a =-4i
r rr (3)a =-i-3 j
r
r
r
答案：(1)a (2,3) (2)a (2, 3) (3)a (1, 3)
r
r
(4)a (0, 5) (5)a (4, 0)
rrrr 例1.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a，b，c，d，
并求出它们的坐标.
A2
解：如图可知
思考：如图,在直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1),
C(3,4),D(5,7).设 O A i, O B j, 填空：
y
（1）| i | ___1__,| j | ____1__,
7
D
| OC | ___5___;
（2）若用 i, j 来表示 OC,OD ，
则：O C
_3_ _i __4_ _j_ , O D
a b , a b ,a 的坐标吗？
rr r r
rr
提示: a + b = (x1i + y1 j) + (x2i + y2 j),
由向量线性运算的结合律和分配律可得
(x1i y1 j) (x 2 i y2 j) (x1 x 2 )i (y1 y2 ) j,
rr 即 a b (x1 x2, y1 y2)，
r rr a 2i 3 j r a (2,3)
2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
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自主预习 阅读教材P94－98回答下列问题． 1．平面向量的正交分解
垂直 把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做
平面向量的正交分解．
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
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第二章
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
第二章
平面向量
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
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课前自主预习
如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是 正交分解的是( )
→ → → A.AB＝OB－OA → → → C.AD＝AB＋BD
→ → → B.BD＝AD－AB → → → D.AB＝AC＋CB
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
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3．向量与坐标的关系 → → (x，y) 设 OA ＝xi＋yi，则向量 OA 的坐标_______就是终点A的坐 → 坐标 标；反过来，终点A的_______就是向量 OA 的坐标(x，y)．因 此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序 实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
[精品课件]高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算课件
【解析】(1)2a+3b=2(-1，2)+3(2，1)
=(-2，4)+(6，3)=(4，7)．
(2)a-3b=(-1，2)-3(2，1)=(-1，2)-(6，3)
=(-7，-1)．
3 1 a 1 b 1 1，2 1 (2，1) ( 1，1) ( 2，1) ( 7，2).
(2)坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得 a=_x_i_+y_j_，则有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标. (3)坐标表示：a=(x，y). (4)特殊向量的坐标：i=__(1_，__0_) _，j=__(0_，__1_) _，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算 设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ ∈R，则有下表：
所以
AB (
3，1)，AD ( 1， 3 ).
22
22
答案：( 3，1)
22
( 1， 3) 22
【补偿训练】在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且 |a|=2，|b|=3，|c|=4，分别计算出它们的坐标.
【解题指南】题目中给出了向量a，b，c的模以及与坐标轴的夹角， 要求向量的坐标，先将向量正交分解，把它们分解为横、纵坐标的形 式，然后写出其相应的坐标.
2
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类型三 由相等向量求坐标
【典例】1.(2015·江苏高考)已知向量a=(2，1)，b=(1，-2)，若
ma+nb=(9，-8)(m，n∈R)，则m-n的值为________.
2.已知A(2，4)、B(-4，6)，若AC 3 AB，BD 4 BA，则 CD的坐标为____.
2
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高中数学第二章平面向量2.3.2_2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算课件新人
AB
1.平面向量坐标的相关概念
【思考】 (1)正交分解与平面向量基本定理有何联系? 提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时). (2)向量的坐标就是其终点的坐标吗? 提示:不一定,以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量 不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向 量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同.
【拓展延伸】
线段定比分点坐标公式如图所示,若点P是线段P1P2上不同于P1(x1,y1),P2(x2,y2)
的点,且满足 | P 1 P |
|PP2 |
=λ,即 P 1 P
=λP P 2
,则点P的坐标为(x1＋x2， y1＋y2).
1＋ 1＋
【拓展训练】 证明上述命题的正确性.
【补偿训练】 已知A(2,1),B(3,-1)及直线l:y=4x-5,直线AB与l相交于P点,求P点分 A B 的比 λ的值.
3.在平面直角坐标系xOy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4, 分别计算出它们的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法
(1)平移法:把向量的起点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (2)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
【题组训练】 1.(2020·济宁高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若 A P ＝ A B ＋ A C
(λ∈R),试求λ为何值时, (1)点P在一、三象限角平分线上. (2)点P在第三象限内.
2.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),及 O P ＝ O A ＋ tA B .是否存在t值,使四边形OABP 为平行四边形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
2.3.2平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.2 平⾯向量的正交分解及坐标表⽰2.3.3 平⾯向量的坐标运算课标要求1.理解平⾯向量的坐标的概念,会写出给定向量的坐标.2.掌握平⾯向量的坐标运算,能准确运⽤向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进⾏有关的运算. 重点:(1)平⾯向量的坐标表⽰;(2)平⾯向量的坐标运算.难点:对平⾯向量的坐标表⽰的理解.想⼀想(1)实例中的⼒和速度都是既有⼤⼩,⼜有⽅向的量,类⽐⼒和速度的分解,⼀向量能否⽤两个不共线的向量表⽰?(能,依据是平⾯向量基本定理)(2)平⾯内任⼀向量能否⽤互相垂直的两向量表⽰?(能,互相垂直的两向量可以作为⼀组基底)知识探究——⾃主梳理思考辨析1.平⾯向量的正交分解把⼀个向量分解为两个的向量,叫做把向量正交分解.2.平⾯向量的坐标表⽰在平⾯直⾓坐标系中,分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个单位向量i、j作为基底,对于平⾯内的⼀个向量a,由平⾯向量基本定理可知,有且只有⼀对实数x、y,使得a=x i+yj,我们把有序数对叫做向量a 的坐标,记作a= ,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标.显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).思考1:在平⾯直⾓坐标系中,以原点为起点的向量OA的坐标与终点A的坐标⼀致吗?(⼀致,都是(x,y))3.平⾯向量的坐标运算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).(2)λa=(λx1,λy1)(λ∈R),即实数与向量的积的坐标等于⽤这个实数乘原来向量的相应坐标.(3)若A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x2,y2),O为坐标原点,则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),AB=OB-OA =(x 2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).即⼀个向量的坐标等于表⽰此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.思考2:若AB=CD,则这两向量的坐标相等吗?两向量的具体位置相同吗?(若AB=CD,则这两向量的坐标必相等,但它们的具体位置,即起点、终点不⼀定相同,因为向量可以平⾏移动)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量的坐标表⽰【例1】已知O是坐标原点,点A在第⼀象限,|OA,∠xOA=60°,求向量OA的坐标.解:如图所⽰,利⽤三⾓函数的定义,可得sin 60°=yOA,cos 60°=xOA,所以y=|OA|2sin 60°=6,x=|OA |2cos 60°12∴,6),∴OA题后反思始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.⼀般可以借助三⾓函数的定义来确定点的坐标,此时需明确点所在的象限,点到原点的距离,点与原点的连线与x 轴正⽅向的夹⾓.跟踪训练11:如图所⽰,正⽅形ABCD 的中⼼为坐标原点O,已知A(-1,-1),分别⽤基底i ,j 表⽰OA ,OB ,OC , CD ,BC ,并求出它们的坐标.解:由题意得B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),所以OA =-i -j =(-1,-1), OB =i -j =(1,-1), OC =i +j =(1,1),|CD|=|CB|=2且CD 、CB 分别与x 轴、y 轴平⾏, 所以CD =-2i =(-2,0),BC =2j =(0,2).题型⼆平⾯向量的坐标运算【例2】设向量a 、b 的坐标分别是(-1,2)、(3,-5),求a +b ,a -b ,3a ,2a +3b 的坐标. 解:a +b =(-1,2)+(3,-5)=(-1+3,2-5)=(2,-3);a -b =(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7);3a=3(-1,2)=(-3,6);2a +3b =2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(-2+9,4-15)=(7,-11).题后反思向量的坐标运算的依据是加、减、数乘运算法则.向量的坐标运算可以类⽐实数的运算进⾏,也可以先化简再计算.【例1】已知向量a =(x 2+y 2,xy),b =(5,2),若a =b ,则x+y= .解析:因为a =b ,所以225,2.x y xy ?+=?=?解得1,2,x y =??=?或2,1,x y =??=?或1,2,x y =-??=-?或2,1.x y =-??=-? 所以x+y=3或x+y=-3.答案:±3【例2】如图,已知边长为12的等边△ABC 中,点D 是边AC 上靠近点A 的边AC 的⼀个三等分点,求点D 和BD 的坐标.解:依题意可得),B(-6,0),C(6,0).设点D 的坐标为(x,y),则CD =(x-6,y),CA因为CD =23CA ,所以(x-6,y)=23 所以64,x y -=-=?? 解得2,x y ==??所以,点D 的坐标为),所以BD达标检测——反馈矫正及时总结1.若向量AB =(1,2),BC =(3,4),则AC 等于( A )(A)(4,6) (B)(-4,-6)(C)(-2,-2) (D)(2,2)解析:本⼩题主要考查向量加法的坐标运算,由AC =AB +BC =(1,2)+(3,4)=(4,6).故选A.2.(2013年⾼考辽宁卷)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量AB 同⽅向的单位向量为( A )(A)（35,-45） (B)（45,-35） (C)（-35,45） (D)（-45,35）解析:AB =(3,-4),则与AB 同⽅向的单位向量为AB AB =15(3,-4)=（ 35,- 45）.故选A. 3.在平⾯直⾓坐标系中,|a |=2014,a 与x 轴⾮负半轴的夹⾓为π3,a 始点与原点重合,终点在第⼀象限.则向量a 的坐标是( C )) ,1007)解析:设a =(x,y),则x=2014cosπ3=1007,y=2014sin π3故a 故选C. 4.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),则x= . 解析:易得AB =(2,0),由a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等得 232,340,x x x +=??--=?∴x=-1.答案:-12.3.4 平⾯向量共线的坐标表⽰课标要求1.通过实例了解如何⽤坐标表⽰两个共线向量.2.理解⽤坐标表⽰的平⾯向量共线的条件.3.会根据平⾯向量的坐标判断向量是否共线.重点难点重点:(1)⽤坐标表⽰两向量共线.(2)根据平⾯向量的坐标判断向量共线.难点:根据平⾯向量的坐标判断向量共线.想⼀想 a ∥b 的充要条件是a =λb (b ≠0),该条件能否⽤坐标表⽰?(能)知识探究——⾃主梳理思考辨析平⾯向量共线的坐标表⽰设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,当且仅当时,a ∥b .思考:如何记忆平⾯向量共线的坐标表⽰?(坐标交叉相乘,差为零)题型探究——典例剖析举⼀反三题型⼀向量共线的判定【例1】已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断AB 与CD 是否共线?如果共线,它们的⽅向相同还是相反? 解: AB =(0,4)-(2,1)=(-2,3), CD =(5,-3)-(1,3)=(4,-6),∵(-2)3(-6)-334=0,∴AB ,CD 共线,⼜CD =-2AB ,∴AB ,CD ⽅向相反,综上,AB 与CD 共线且⽅向相反.题后反思判定两向量共线的常⽤⽅法:(1)向量共线定理,由b =λa (a ≠0)得a ∥b .(2)向量共线的坐标表⽰:对a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),由x 1y 2-x 2y 1=0得a ∥b . 跟踪训练11:下列各组向量中平⾏的是 (填序号).①a =(1,2),b =(-2,-4)②c =(1,0),d =(-3,0)③e =(2,3),f =(0,1)④g =(3,5),h =(24,40)解析:①中因为b =-2a ,所以b 与a 共线;②中因为d =-3c ,所以d 与c 共线;③因为e =(2,3),f =(0,1),231-330=2≠0,所以e 与f 不共线;④因为g =(3,5),h =(24,40),所以g =18h ,所以g 与h 共线. 答案:①②④题型⼆由向量共线求参数的值【例2】若向量a =(1,2),b =(x,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,求向量b 的坐标.名师导引:先由向量坐标的线性运算求出向量u ,v 的坐标,再利⽤两向量平⾏的坐标表⽰求出x,从⽽写出向量b 的坐标.解:法⼀ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由u ∥v ,则⼀定存在λ∈R ,使u =λv ,则有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)()212,43,x x λλ?+=-??=??解得4,31.2x λ?==??所以b =（12,1）. 法⼆ u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4),v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3),由向量平⾏的坐标表⽰,得3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=12.所以b =（12,1）. 题后反思解决由向量u ,v 共线求参数问题常有两种思路:(1)表⽰出向量u 、v 的坐标,设u =λv ,由相等向量的坐标表⽰列⽅程组求出参数.(2)表⽰出向量u 、v 的坐标,利⽤向量共线的坐标表⽰求参数值.题型三三点共线问题【例3】设向量OA =(k,12),OB =(4,5),OC =(10,k),求当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线.名师导引:由A 、B 、C 三点共线可知AB ∥AC .求出AB 、AC 的坐标.由向量共线的坐标表⽰求k 值. 解:法⼀ A 、B 、C 三点共线,即AB 、AC 共线,则存在实数λ,使得AB =λAC ,∵AB =OB -OA =(4-k,-7),AC =OC -OA =(10-k,k-12).∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),即,4(10),7(12)k k k λλ-=-??-=-?解得k=-2或k=11. 法⼆由题意知AB 、AC 共线,∵AB =OB -OA =(4-k,-7), AC =OC -OA =(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,∴k 2-9k-22=0, 解得k=-2或k=11.题后反思 (1)三点共线问题的实质是向量共线,因此解决三点共线问题的关键是将其转化为向量共线问题.(2)证明三点共线的解题思路.先由三点确定两个向量,然后证明这两向量共线,最后说明这两向量有⼀个公共点.跟踪训练31:已知OA =(3,4),OB =(7,12), OC =(9,16),求证:点A 、B 、C 共线.证明:AB =OB - OA =(4,8),AC =OC -OA=(6,12),∵4312-836=0,∴AB与AC共线.⼜∵AB与AC有公共点A,∴点A、B、C共线.备选例题【例1】如图所⽰,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.解:设P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4).∵OP,OB共线,∴4x-4y=0, ①⼜CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP,CA共线,∴-6(x-2)+2(6-y)=0, ②解①②组成的⽅程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为(3,3).【例2】已知向量a=(1,2),b=(-2,1),x=a+(t2+1)b,y=-1ka+1b,问是否存在正实数k,t,使x∥y,若存在,求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:因为a=(1,2),b=(-2,1),所以x=a+(t2+1)b=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=-1ka+1tb达标检测——反馈矫正及时总结1.下列满⾜平⾏的⼀组向量是( A)(A)a=(1,-4),b=(503,-2012)(B)a=(2,3),b=(4,-6)(C)a=(1,2),b=(-1006,2012)(D)a=(-1,4),b=(3,12)2.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则( B)(A)x=-1 (B)x=3 (C)x=92(D)x=51解析:PA=(1,-5),PB=(x-1,-10),由三点P、A、B共线知PA∥PB,所以-10+5(x-1)=0,x=3.故选B.3.已知向量a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则2a+3b= .解析:∵a∥b,∴4×3-2x=0,∴x=6.∴b=(6,3).∴2a+3b=(8,4)+(18,9)=(26,13).答案:(26,13)4.如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)共线且⽅向相反,那么k的值为. 解析:由a∥b知k(k+1)-6=0,得k=-3或k=2.当k=-3时a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,a与b共线且⽅向相反.当k=2时,a=(2,1),b=(6,3)=3a,显然a、b共线且⽅向相同,不符合题意舍去.答案:-3课堂⼩结1.已知向量a=(x1),b=(x2,y2).若a∥b,则(1)a=λb(b≠0).(2)x1y2-x2y1=0.2.向量共线的坐标表⽰有两⽅⾯应⽤(1)由两个向量的坐标表⽰判定两向量共线或联系平⾯⼏何知识证明三点共线或直线平⾏等.(2)由两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹⽅程,要注意⽅程思想的应⽤,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列⽅程(组)的依据.。
平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算 课件
它们的坐标表示为：
→ OA
＝(6,2)，
→ OB
＝(2,4)，
→ AB
＝(－
4,2)．
规律总结：向量的坐标表示实质上是向量的代数表示， 引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形紧 密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．
探索延拓创新
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋ b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
名师辨误作答
已知平行四边形的三个顶点坐标为 A(0,0)，B(0，b)， C(a，c)．求第四个顶点 D 的坐标．
[错解] 设第四个顶点的坐标为 D(x，y)，如图所示．则A→C ＝(a，c)，
B→D＝(x，y－b)， 由A→C＝B→D，得(a，c)＝(x，y－b)． ∴ac＝＝yx－b ⇒xy＝＝ab＋c ， 即 D 点坐标为：(a，b＋c)．
建模应用引路
已知点 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)若A→P＝A→B＋λA→C(λ ∈R)，试求 λ 取何值时，点 P 在第三象限内？
[分析] 要判断点 P 所在的象限，须知 P 点坐标，为此需求 O→P＝O→A＋A→P的坐标．或由A→P＝A→B＋λA→C找出坐标的关系，求出 P 点坐标．
(2)当四顶点按逆时针 ACBD 排列时， 由A→C＝(a，c)，D→B＝(－x，b－y)，及A→C＝D→B得，(a，c) ＝(－x，b－y)． ∴ac＝＝b－－xy ，∴xy＝ ＝－ b－ac ， 则此时 D 点坐标为(－a，b－c)．
(3)当四顶点按逆时针 ADCB 排列时，由A→D＝(x，y)，B→C＝ (a，c－b)，及A→D＝B→C，得(x，y)＝(a，c－b)．
规律总结：准确、熟练掌握向量的加法、减法、数乘的 坐标运算公式．牢记公式、细心计算．