2021届上海市延安中学高三上学期9月月考数学试题Word版含解析
2021届上海市延安中学高三上学期9月月考 数学试题 一、单选题 1．已知a是实数，那么“1a”是“11a”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据原命题和逆命题的真假可判断两者之间的条件关系. 【详解】 若1a，则11a，故命题“若1a，则11a”为真命题， 故“1a”是“11a”的充分条件， 取1a，则11a，但1a，故命题“若11a，则1a”为假命题， 所以“1a”是“11a”的不必要条件， 所以“1a”是“11a”的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】 充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p则q”是真命题，“若q则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件；若“若p则q”是真命题，“若q则p”是真命题，则p是q的充分必要条件；若“若p则q”是假命题，“若q则p”是真命题，则p是q的必要不
充分条件；若“若p则q”是假命题，“若q则p”是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件. 2．若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（ ） A．2:3 B．4:9 C．8:27 D．22:33 【答案】B 【解析】由体积之比可得半径之比，从而得到表面积之比. 【详解】 因为两个球的体积之比为8:27，故两个球的半径之比为2:3，故它们的表面积之比为4:9. 故选：B. 【点睛】 本题考查球的表面积、体积，注意不同球的表面积之比是半径之比的平方，体积之比是半径之比的立方. 3．设单位向量1e和2e既不平行也不垂直，对非零向量1112axeye，2122bxeye，有结论：① 若12210xyxy，则ab；② 若12120xxyy，则ab；关于以上两个结论，正确的判断是（ ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立 【答案】C 【解析】根据12210xyxy可得21yayb，从而可得ab，而根据12120xxyy推不出0ab，故可得正确的选项. 【详解】 因为1112axeye，2122bxeye， 所以2121122yaxyeyye，1211212ybxyeyye，故211212120yaybxyexye， 所以21yayb，若21,yy同时为零，则11axe，21bxe， 因为非零向量a，b都是非零向量，故a，b共线，
若21,yy至少有一个不为零，不妨设20y，则12yaby，故a，b共线，故①成立. 又21221112abxeyexeye 2112122112122112xxyyxyxyeexyxyee，
取11221,2,2,1xyxy，则1230abee即,ab不垂直，故②不成立. 故选：C. 【点睛】 本题考查向量垂直与平行的判断，前者考虑数量积是否为零，后者可用向量共线定理来判断，解题中注意对参数的取值合理分类讨论，此类问题属于基础题. 4．由9个正数组成的矩阵111213212223313233aaaaaaaaa中，每行中三个数成等差数列，且111213aaa、212223aaa、313233aaa成等比数列，给出下列判断：① 第2列中，12a、22a、32a必成等
比数列；② 第1列中的11a、21a、31a不一定成等比数列；③ 12322123aaaa；④ 若9个数之和等于9，则221a；其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】利用等差数列和等比数列的性质化简和式结合基本不等式后可得正确的选项. 【详解】 因为每行中三个数成等差数列， 故111213123aaaa，212223223aaaa，313233323aaaa， 因为111213aaa、212223aaa、313233aaa成等比数列， 所以123a、223a、323a成等比数列即12a、22a、32a成等比数列， 所以第2列中，12a、22a、32a必成等比数列，故①正确. 因为12a、22a、32a成等比数列，故2123222aaa ， 故1232123222212322aaaaaaa，故③正确. 由2122111213313232339aaaaaaaaa可得 1232223aaa，而1232222aaa，故2233a即221a，故④正确.
取矩阵为1231475811，满足每行中三个数成等差数列，且111213aaa、212223aaa、313233aaa成等比数列，但11a、21a、31a不成等比数列，故②不成立.
故选：C. 【点睛】 等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．
二、填空题 5．已知全集{1,2,3}U，{1,3}A，则集合UCA____________
【答案】{2} 【解析】按补集的定义计算即可. 【详解】 2UCA，
故答案为：{2}. 【点睛】 本题考查补集的计算，属于容易题.
6．若2log13x，则x_________. 【答案】7 【解析】先将3化成以2为底的对数即233log2，再根据对数值相等得18x，解之得解. 【详解】 因为2223log(1)3logo28lgx，所以18x，解得7x， 故填:7. 【点睛】 本题考查对数的运算法则，在解决对数的方程或不等式的问题时，把所求解的式子转化成同底数的对数方程或不等式是一个比较重要的求解方法，属于基础题. 7．1、1、3、3、5这五个数的中位数是____________ 【答案】3 【解析】根据中位数的定义可直接得到这五个数的中位数. 【详解】 共5个数，它们是由小到大排列的，故中位数为第三个数即3. 故答案为：3. 【点睛】 本题考查中位数的计算，计算时要先按大小排好次序，如果样本数据的个数为奇数，则中位数为中间的那个数，如果样本数据的个数为偶数，则中位数为中间两数的平均数. 8．若函数()yfx的反函数为1()fx，且11()3xfx，则(1)f的值为________ 【答案】1 【解析】根据反函数的解析式,求得函数()yfx的解析式,代入即可求得1f的值. 【详解】 因为函数()yfx的反函数为1()fx,且11()3xfx 令13xy 则13yx 所以31logyx 即函数31logfxx(0x) 所以311log11f 故答案为: 1 【点睛】 本题考查了反函数的求法,求函数值,属于基础题. 9．若数列na的前n项和113nnSa,则通项na______ 【答案】13()2n 【解析】根据1(2)nnnaSSn求出na与1na的关系，即可得出结果. 【详解】 因为113nnSa， 所以111133(2)nnnnnaSSana， 即1(2)21nnnaa， 故数列na是以12为公比的等比数列， 又111113Saa，所以132a， 所以13()2nna. 故答案为13()2n 【点睛】 本题主要考查根据递推关系求等比数列的通项公式，熟记等比数列的定义与等比数列的通项公式即可，属于常考题型.
10．三阶行列式135403121中，元素3的代数余子式的值为____________ 【答案】7 【解析】根据代数余子式的定义求值即可. 【详解】
3代数余子式为12431143711，
故答案为：7. 【点睛】 本题考查代数余子式的计算，解题中注意代数余子式与余子式的差异，此类问题属于基础题. 11．过定点(2,1)P，且倾斜角是直线210xy的倾斜角的两倍的直线方程为__________ 【答案】4350xy 【解析】利用二倍角的正切公式可得所求直线的斜率，从而得到所求的直线方程. 【详解】 设直线210xy的倾斜角为，则1tan2，
故22tan14tan211tan314， 故所求直线的方程为：4123yx即4350xy. 故答案为：4350xy. 【点睛】 本题考查直线方程的求法、直线的斜率和倾斜角的关系，此类问题属于基础题. 12．若无穷等比数列{}na的各项和为2，则首项1a的取值范围为______. 【答案】(0,2)(2,4). 【解析】首先根据无穷等比数列{}na的各项和为2，可以确定其公比满足01q，利用等比
数列各项和的公式得到121aq，得到122aq，分01q和10q两种情况求得1a的取值范围，得到结果. 【详解】 因为无穷等比数列{}na的各项和为2，
所以其公比q满足01q，且121aq， 所以122aq， 当01q时，1(0,2)a， 当10q时，1(2,4)a， 所以首项1a的取值范围为(0,2)(2,4)， 故答案是：(0,2)(2,4). 【点睛】 该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目. 13．已知关于z的方程250zzm的两根为1z、2z，满足12||3zz，则实数m的值为____________ 【答案】4或172 【解析】就判别式的正负分类讨论后可求m的值. 【详解】 254m，
2021届高三上学期月考数学试卷(附答案)
2021 届高三月考试卷（四）数 学一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集为R ，集合{|||3}A x x =<，{|15}B x x =-< ，则()(R A B =⋂ð)A ．(3,0)-B ．(3-，1]-C ．(3,1)--D ．(3,3)-2．已知i ii3-=+b a （其中a ，∈b R ，i 是虚数单位），则a b +的值为()A ．2-B ．2C ．4D ．4-3．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()b a a +⊥，则a 与b 的夹角为()A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π4．若2cos 46απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为()A ．49B ．94-C ．98D ．98-5．如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，则既有上珠又有下珠的概率为()A ．57B ．47C ．73D ．726．过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且BF AF 2=，则直线l 的斜率可能为()A ．3B ．2C ．22D ．57．函数()xxx f ln 5sin =的部分图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．已知直线:(4)l y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则点M 到直线3460x y --=的距离的最大值为()A ．3B ．4C ．5D ．6二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．下列命题正确的是()A ．已知R ∈x ，则“|1|1x -<”是“0>x ”的充分不必要条件B ．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为ˆ0.3yx m =-，若样本中心点为(, 2.8)m -，则4m =C ．若随机变量~(100,)X B p ，且()20E X =，则1(1)52D X +=D ．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减，f （1）0=，则不等式2(log )0f x >的解集为 ⎝⎛-21，)210．已知函数22()sin cos cos f x x x x x =+-，R ∈x ，则()A ．2()2f x - B ．()f x 在区间(0,)π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．π=32x 为()f x 图象的一条对称轴11．已知符号函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=010001sgn x x x x ，，，，下列说法正确的是()A ．函数()x y sgn =是奇函数B ．对任意的1x >，()1ln sgn =xC ．函数x e y =·()x -sgn 的值域为(,1)-∞D ．对任意的R ∈x ，x x =·()x sgn 12．如图，矩形ABCD ，M 为BC 的中点，将△ABM 沿直线AM 翻折成△1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是()A ．N 存在某个位置，使得1CN AB ⊥B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM B D⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=020log 3x x x x f x ，，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛91f f ．14．若1(3n x x的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为．15．被人们常常津津乐道的兔子数列是指这样的一个事例：一对幼兔正常情况下一年后可长成成兔，再过一年后可正常繁殖出一对新幼兔，新幼兔又如上成长，若不考虑其他意外因素，按此规律繁殖，则每年的兔子总对数可构成一奇妙的数列，兔子数列具有许多有趣的数学性质，该数列在西方又被称为斐波拉契数列，它最初记载于意大利数学家斐波拉契在1202年所著的《算盘全书》.现有一兔子数列{}n F ：121==F F ，21--+=n n n F F F （2>n ），若将数列{}n F 的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项和为．16．如图，已知双曲线222:12x y C a a -=+的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是C 上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，△1AMF 的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若4=MN ，则双曲线C 的离心率为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2cos 3(cos cos )a A b C c B =+．（1）求角A ；（2）若23b =BC 边上的高为3，求c ．18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，___．给出下列三个条件：条件①：数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；条件②：点(n S ，1)n a +在直线1y x =+上；条件③：1121222n n n n a a a na -+++⋯+=．试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21231log log n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD=，E-中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA AB 为线段PB的中点．（1）证明：点F在线段BC上移动时，△AEF为直角三角形；（2）若F为线段BC的中点，求二面角A EF D--的余弦值．20．（本小题满分12分）城市的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：T （小时）(0，4](4，5](5，6](6，7](7，8](8，24]频数（车次）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的22⨯列联表：男女合计不超过6小时306小时以上20合计100完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？（2）()i X 表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X 的概率分布列及期望()X ；()ii 现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于()E X 的车辆数，求(2)P ξ 的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k 0.400.250.150.100.050.0250k 0.7801.3232.0722.7063.8415.024已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为()122-，且椭圆的离心率为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(1,0)作直线l 交C 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP MQ为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．已知函数21()1()ax f x x e a a R +=+-∈，1()x g x e x -=-．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对(0,1)a ∀∈，是否存在实数λ，[1m a ∀∈-，]a ，[1n a ∃∈-，]a ，使()[]()02<λ-m g n f 成立，若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由．2021 届高三月考试卷（四）数学参考答案一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案BCCDACCB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.题号9101112答案ABACABDBD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．4114．540-15．134716．422四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1） 2cos cos cos )a A b C c B =+，∴由正弦定理可得：2sin cos cos sin cos )A A B C C B =+，即2sin cos )A A B C A =+=，sin 0A ≠ ，3cos 2A ∴=，∴由(0,)A π∈，可得6A π=．（2）11sin 22ABC BC S bc A a h ∆== ，且b =3BC h =，1sin 2A =，∴1113222c a ⨯⨯=⨯⨯，解得a =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2222c =+-⨯，即29180c c -+=，∴解得3c =或6．18．解：选条件①：（1） 数列1{}n S a +为等比数列，2211131()()()S a S a S a ∴+=++，即2121123(2)2(2)a a a a a a +=++．设等比数列{}n a 的公比为q ，22(2)2(2)q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍)，1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111(log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++ ，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++．选条件②：（1） 点(n S ，1)n a +在直线1y x =+，11n n a S +∴=+，又11(2,)n n a S n n N -=+∈ ，两式相减有：12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列．1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111(log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++ ，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++．选条件③：（1）1121222n n n n a a a na -+++⋯+= ，12121222(1)(2)n n n n a a a n a n ---∴++⋯+=- ．由两式相减可得：122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=，又11a =，2112a S =+=，也适合上式，故数列{}n a 为首项是1，公比是2的等比数列．1112n n n a a q --∴==；（2）由（1）知：12n n a -=，212311111(log log (2)22n n n b a a n n n n ++∴===-++ ，111111111111311323[()()()()()]()2132435111221242(1)(2)n n T n n n n n n n n +∴=-+-+-+⋯+-+-=--=--++++++19．（1）证明：因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，所以BC AB ⊥，又PA AB A = ，所以BC ⊥平面PAB ，AE ⊂ 平面PAB ，BC AE ∴⊥，因为PB BC B = ，所以AE ⊥平面PBC ，因为FE ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以点F 在线段BC 上移动时，△AEF 为直角三角形．（2）解：由题意，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令2PA =，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(1E ，0，1)，(2F ，1，0)，(0D ，2，0)，(2AF = ，1，0)，(1EF = ，1，1)-，(2DF =，1-，0)，设平面AEF 的法向量为(m x = ，y ，)z ，则0m AF m EF ==，可得：20x y +=，0x y z +-=，取(1m =，2-，1)-．同理可得平面DEF 的法向量(1n =，2，3)，所以cos m <，||||m n n m n >==由图可知：二面角A EF D --．20．解：（1）22⨯列联表如下：男女合计不超过6小时1030406小时以上204060合计3070100根据上表数据代入公式可得22100(20301040)500.794 2.7063070604063K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关．（2）()i 由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30，1(5)10P X ==，1(8)10P X ==，1(11)5P X ==，1(15)5P X ==，7(19)20P X ==，1(30)20P X ==．所以X 的分布列为：X 5811151930()P X 1101101515720120∴111171()581115193014.651010552020E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．()ii 由题意得1713(14.65)520205P X >=++=，3~(3,)5B ξ∴，∴2233323922781(2)(2)(3)((()3555255125125P PP C ξξξ==+==+=⨯⨯+= ．21．解：（1）11212a a c c c e b a ⎧⎧=-=-⎪⎪⇔=⎨⎨==⎪⎪=⎩⎩，∴所求椭圆C 的方程为：2212x y +=（2）当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为：22(1)221(2)1x y x ky x ky ⎧+==+⎨=+⎩，把（2）代入（1）整理得：22(2)210k y ky ++-=（3）∴1221222212k y y k y y k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，（8分）假设存在定点(,0)M m ，使得MP MQ为定值11221212(,)(,)()()MP MQ x m y x m y x m x m y y =--=--+()()()()()()2212122111111m y y m k y y k m ky m ky -++-++=-+-+=()()()()()()()()()22222222222124523212132121221mk m k m m k k m m k m k k k -++-++-=-++--=-++--++-=当且仅当540m -=，即54m =时，716MP MQ =- （为定值）．这时5(,0)4M再验证当直线l 的倾斜角0α=时的情形，此时取(P ，5(,0)4Q MP =- ，5557,0)())44416MQ MP MQ ===-∴存在定点5(,0)4M 使得对于经过(1,0)点的任意一条直线l 均有716MP MQ =- （恒为定值）．22．解：（1）21()1ax f x x e a +=+-的定义域是R ，1()(2)ax f x x ax e +'=+，①0a =时，0x >，()0f x '>，0x <，()0f x '<，故函数()f x 在(,0)-∞递减，在(0,)+∞递增，②0a >时，2(,x a∈-∞-，()0f x '>，2(x a∈-，0)，()0f x '<，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，故()f x 在2(,)a -∞-递增，在2(a-，0)递减，在(0,)+∞递增，③0a <时，(,0)x ∈-∞，()0f x '<，2(0,x a ∈-，()0f x '>，2(x a ∈-，)+∞，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞递减，在2(0,a -递增，在2(a-，)+∞递减；（2）由1()x g x e x -=-，得1()1x g x e -'=-，当1x >时，()0g x '>，1x <时，()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞递减，在(1,)+∞递增，故()min g x g =（1）0=，故当[1m a ∈-，]a 时，()min g m g =（a ）10a e a -=->，当(0,1)a ∈时，21a a->-，由（1）知，当[1n a ∈-，]a 时，()(0)10min f n f a ==->，故22[()](1)minf n a =-，若对任意[1m a ∈-，]a ，存在[1n a ∈-，]a ，使2[()]()0f ng m λ-<成立，即2[()]()min f n g m λ<，21(1)()a a ea λ-∴-<-，故21(1)a a e aλ-->-，设21(1)()x x h x e x--=-，[0x ∈，1)，则1112(1)(31)()()x x x x e xe x h x e x -------'=-，令11()31x x r x e xe x --=---，[0x ∈，1)，则1()(2)(1x r x x e -'=--，当(0,1)x ∈时，12x e x ->-，故1(2)1x x e --<，故()0r x '<，()r x 在[0，1]递减，故()r x r >（1）0=，即()0r x >，又[0x ∈，1)时，10x -<，故当[0x ∈，1)时，()0h x '<，()h x 递减，故(0,1)x ∈时，()(0)h x h e <=，即(0,1)a ∈时，21(1)a a e e a--<-，故e λ ，故e λ 时，对任意(0,1)a ∈，任意[1m a ∈-，]a ，存在[1n a ∈-，]a ，使2[()]()0f n g m λ-<成立．。
2021届高三上学期第一次月考(9月)数学试题 Word版含解析
枣庄三中2020-2021学年高三年级第一次质量检测数学试题一､单选题1. 下列函数与函数y x =相等的是（ ） A. 2()y x = B. 2y x =C. 33()y x =D. 2x y x=【★答案★】C 【解析】 【分析】本题先求函数2()y x =的定义域为[0,)+∞，函数2y x =的值域为[0,)+∞，函数2x y x=的定义域为{}0x x ≠，并判断与函数y x =不同，排除ABD ，再判断33()y x =与y x =的定义域、值域、对应关系都相同，最后得到★答案★.【详解】解：因为函数2()y x =的定义域为[0,)+∞，而函数y x =的定义域为R ，故A 选项错误； 因为函数2y x =的值域为[0,)+∞，而函数y x =的值域为R ，故B 选项错误；因为函数2x y x=的定义域为{}0x x ≠，而函数y x =的定义域为R ，故D 选项错误；因为33()y x =与y x =的定义域、值域、对应关系都相同，故C 选项正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的定义、判断函数是否为同一函数，是基础题.2. 函数2241log x y x-=+的定义域为（ ）A. (]0,2 B. 110,,222⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦C. ()2,2-D. []22-,【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．【详解】解：要使函数有意义，则2240010x x log x ⎧-⎪>⎨⎪+≠⎩，得22012x x x ⎧⎪-⎪>⎨⎪⎪≠⎩， 即102x <<或122x <， 即函数的定义域为110,,222⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键．属于基础题． 3. 若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β（ ） A.17 B.16C.57D.56【★答案★】A 【解析】 【分析】由两角差的正切公式计算．【详解】由题意11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααββ-+-=+-===+++⨯． 故选：A ．【点睛】本题考查两角差的正切公式，属于基础题．4. 函数()sin y A x ωϕ=+（0A >，0>ω，πϕ<）的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B. ()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D. ()1π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【★答案★】A 【解析】 【分析】由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．【详解】根据函数sin()(0y A x A ωϕ=+>，0>ω，||)ϕπ<的部分图象， 可得2A =，12236πππω=+，2ω∴=． 再根据五点法作图，可得232ππϕ⨯+=，6πϕ∴=-，故()2sin(2)6f x x π=-，故选：A【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5. 为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将sin 2y x =的图象( ) A. 向左平移512π个单位长度 B. 向右平移512π个单位长度 C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度 【★答案★】A 【解析】 【分析】先将sin 2y x =转化为cos 22y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数图象变换的知识，得出正确选项. 【详解】sin 2cos 22y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，5223122x x πππ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，所以cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移512π个单位长度，得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选：A【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查诱导公式，属于基础题.6. 定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，()2y f x =-为偶函数，若()11f =，则()()()201920202021f f f ++=（ ）A. 2-B. 0C. 2D. 3【★答案★】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，对称性求出函数的周期是8，结合周期性，对称性进行转化求解即可． 【详解】解：()2y f x =-为偶函数，()()22f x f x ∴+=-，即函数()f x 的图象关于2x =对称， ()f x 是奇函数，()()()222f x f x f x ∴+=-=--，且()00f =，∴()()4f x f x +=-，∴()()()84f x f x f x +=-+=， ∴函数的周期是8，∴()()()()201925283311f f f f =⨯+===，()()()()202025284400f f f f =⨯+==-=， ()()()()202125285511f f f f =⨯+==-=-，∴()()()2019202020211010f f f ++=+-=，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性和对称性求出函数的周期性，以及利用周期性进行转化是解决本题的关键，属于中档题． 7. 已知函数()xxf x e e -=-，()0.32a f =，()0.20.3b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<【★答案★】A 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.200.31<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为()xxf x e e -=-，定义域为R ，x y e =在定义域上单调递增，x y e -=在定义域上单调递减，所以()xxf x e e -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.200.31<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.20.320.3log 2f f f >>即c b a << 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.8. 已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A. 11 B. 9 C. 7D. 5【★答案★】B 【解析】 【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值． 【详解】∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选B ．【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.二､多选题9. 下列函数，最小正周期为π的偶函数有（ ）A. tan y x =B. |sin |y x =C. 2cos y x =D.sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【★答案★】BD 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和最小正周期，由此选出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数tan y x =为奇函数，不符合题意. 对于B 选项，函数sin y x =是最小正周期为π的偶函数，符合题意. 对于C 选项，函数2cos y x =的最小正周期为2π，不符合题意. 对于D 选项，函数πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，是最小正周期为π的偶函数，符合题意. 故选：BD【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题.10. 已知函数()(),22x x x xe e e ef xg x ---+==，则()f x 和()g x 满足（ ） A. ()()()(),f x f x g x g x -=--= B. ()()()()23,23f f g g -<-< C. ()()()22f x f x g x =⋅ D. ()()221f x g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦【★答案★】ABC 【解析】 【分析】直接代入计算即可判断A ；判断()f x 的单调性，可得()()23f f -<成立,计算()()2,3g g -的值可判断B ；分别计算()2f x 以及()()2f x g x 可判断C ；直接计算可判断D.【详解】解:选项A:()()()(),222x x x x x xe e e e e ef x f xg x g x -----+-==-=--==.故A 正确;选项B:()f x 为增函数，则()()23f f -<成立，()()()22332,3222e e e e g g g --++-==>-，故B 正确;选项C: ()()()2222222222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-⋅=⨯⋅=⨯=，故C 正确;选项D:()()()()()()()22.1x xf xg x f x g x f x g x e e --=+-=⋅-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,故D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题. 11. 若104a =，1025b =，则（ ） A. 2a b += B. 1b a -=C. 28lg 2ab >D. lg 6b a ->【★答案★】ACD 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，利用对数运算，对每个选项进行逐一求解，即可选择. 【详解】由104a =，1025b =，得lg 4a =，lg 25b =，则lg 4lg 25lg1002a b ∴+=+==，25lg 25lg 4lg 4b a ∴-=-=， 25lg101lg lg 64=>> lg6b a ∴->24lg 2lg 54lg 2lg 48lg 2ab ∴=>=，故正确的有：ACD 故选：ACD .【点睛】本题考查指数式和对数式的转化，以及对数的运算，属综合基础题.12. 已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A. 当0k >时，有3个零点 B. 当k 0<时，有2个零点 C. 当0k >时，有4个零点 D. 当k 0<时，有1个零点【★答案★】CD 【解析】 分析】分别画出当0k>与k0<时()21,0log,0kx xf xx x+≤⎧=⎨>⎩的图像,再分析()10f f x+=⎡⎤⎣⎦,即()1f f x=-⎡⎤⎣⎦的根的情况即可.【详解】当0k>时,()21,0log,0kx xf xx x+≤⎧=⎨>⎩的图像为此时()10f f x+=⎡⎤⎣⎦即()1f f x=-⎡⎤⎣⎦有()()()121,0,2f x f x∈-∞=两种情况.又()()1,0f x=-∞有两根()212f x=也有两根,故()10f f x+=⎡⎤⎣⎦有4个零点.当k0<时,()21,0log,0kx xf xx x+≤⎧=⎨>⎩的图像为此时()10f f x+=⎡⎤⎣⎦即()1f f x=-⎡⎤⎣⎦只有()12f x=一种情况,此时()12f x=仅有一个零点. 故当0k>时,有4个零点.当k0<时,有1个零点故选CD【点睛】本题主要考查函数的图像与零点的分布问题,需要画出图像进行两次分析即可.属于中等题型.三､填空题13. △ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【★答案★】233. 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得3cos 2A =，进一步求得833bc =，利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =， 所以A 为锐角，且3cos 2A =，从而求得833bc =， 所以ABC ∆的面积为1183123sin 22323S bc A ==⋅⋅=，故★答案★是233. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 14. 已知()()22132a a --+>-，则实数a 的取值范围为________.【★答案★】()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 根据幂函数2y x 的图像和性质，把不等式()()22132a a --+>-化为0132a a <+<-求出解集即可．【详解】根据幂函数2yx 是定义域()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，()()22132a a --∴+>-等价于0132a a <+<-，()()221132a a a ≠-⎧⎪⎨+<-⎪⎩，解得23<a 或4a >， ∴实数a 的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．故★答案★为：()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了幂函数2yx 的图像和性质的应用，考查了不等式的解法，属于中档题．15. 已知sin 3cos 2αα+=，则tan α=__________. 【★答案★】33【解析】 【分析】先平方，再利用1的代换化为齐次式，即可解得结果. 【详解】22sin 3cos 2sin 3cos 23sin cos 4αααααα+=∴++=2222sin 3cos 23sin cos 4sin 4cos αααααα∴++=+ 223sin cos 23sin cos 0αααα∴+-=23(3sin cos )03sin cos 0tan 3ααααα∴-=∴-=∴=故★答案★为：33【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）【★答案★】 (1). 12(2). 4011 【解析】 【分析】（1）根据衰变规律，令5730t =，代入求得012N N =； （2）令035N N =，解方程求得t 即可. 【详解】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 0.757304011t ∴=⨯= ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间故★答案★为12；4011 【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.四､解答题17. 在①3cos 5A =，25cos 5C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC 的面积S . 【★答案★】★答案★不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】若选①，首先根据同角三角函数的基本关系求出sin A ，sin C ，再根据两角和的正弦公式求出sin B ，由正弦定理求出边b ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选②，由正弦定理将角化边结合余弦定理求出边c ，最后由面积公式求出三角形的面积.若选③，由余弦定理求出边b ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，最后由面积公式求出三角形的面积.【详解】解：选① ∵3cos 5A =，25cos 5C =， ∴4sin 5A =，5sin 5C =， ∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+42535115555525=⨯+⨯=， 由正弦定理得1153sin 335254sin 205a Bb A⨯===， ∴11335599sin 32220540S ab C ==⨯⨯⨯=. 选②∵sin sin sin c C A b B =+， ∴由正弦定理得22c a b =+. ∵3a =，∴223b c =-. 又∵60B =， ∴222192332b c c c =+-⨯⨯⨯=-， ∴4c =， ∴1sin 332S ac B ==. 选③∵ 2c =，1cos 8A =， ∴ 由余弦定理得222123822b b +-=⨯，即2502b b --=，解得52b =或2b =-（舍去）. 237sin 1cos 8A A ∴=-=， ∴ABC 的面积11537157sin 2222816S bc A ==⨯⨯⨯=.故★答案★为：选①为9940；选②为33；选③为15716. 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形，属于基础题. 18. 已知函数()f x 的定义域为()0,∞+,且对一切0x >,0y >都有()()()f xy f x f y =+,当1x >时,()0f x >.(1)判断()f x 的单调性并加以证明;(2)若()42f =,解不等式()()211f x f x >-+. 【★答案★】(1)()f x 在()0,∞+上增函数,证明见解析;(2)1223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【解析】 【分析】（1）利用定义即可证明()f x 在()0,∞+上为增函数；（2）由题意可得()21f =，进而将不等式转化为()()42f x f x >-，再利用（1）解得即可. 【详解】(1)()f x 在()0,∞+上为增函数, 证明如下:任取1x ,()20,x ∈+∞且12x x <, 则()()()()()222211111111x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又因为当1x >时,()0f x >,而211x x >, 所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭,所以()()21f x f x >,所以()f x 在()0,∞+上为增函数.(2)由定义域可得0210x x >⎧⎨->⎩,解得12x >,由已知可得()()()4222f f f =+=,所以()21f =,()()()()21121242f x f x f f x -+=-+=-, 所求不等式可转化为()()42f x f x >-. 由单调性可得42x x >-,解得23x <, 综上,不等式解集为1223xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判定以及应用问题，考查抽象函数解不等式问题，属于基础题. 19. 已知函数()4tan sin cos 323f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）讨论()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性.【★答案★】（1）定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，最小正周期π；（2）函数的减区间为,412ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，增区间为,124ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的定义域即可求出函数的定义域，化简函数为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可求出周期；（2）根据正弦型函数的单调性求出单调区间，结合定义域,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即可求出. 【详解】（1）()4tan sin cos 323f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2x k ππ∴≠+，即函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 则()13134tan cos cos sin 34sin cos sin 32222f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22sin cos 23sin 3sin 231cos23x x x x x =+-=+--sin 23cos 22sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则函数的周期22T ππ==； （2）由222,232k x k k Z πππππ-<-<+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-<<+∈，即函数的增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，当0k =时，增区间为5,,1212k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， ,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴此时,124x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，由3222,232k x k k Z πππππ+<-<+∈， 得511,1212ππk πx k πk Z +<<+∈，即函数的减区间为511,,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， 当1k =-时，减区间为7,,1212k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭， ,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴此时,412x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，函数的减区间为,412ππ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，增区间为,124ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了正切函数的定义域，正弦型函数的周期，单调区间，考查了三角恒等变形，属于中档题.20. 若二次函数满足()()12f x f x x +-=且()01f =. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数λ，使函数()()()[]212,1,2g x f x x x λ=--+∈-的最小值为2？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【★答案★】（1）()21f x x x =-+；（2）=1λ±.【解析】 【分析】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由()01f =得1c =，即()21f x ax bx =++，代入()()12f x f x x +-=中，化简整理即可得到a b ，值，从而得到函数解析式.（2）由（1）可得()[]223,1,2g x x x x λ=-+∈-,讨论对称轴和区间的关系，利用函数单调性求得最值，即可得到所求λ的值.【详解】（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，由()01f =，∴1c =，∴()21f x ax bx =++，∵()()12f x f x x +-=，∴22ax a b x ++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+（2）由（1）可得()()[]22121223,1,2g x x x x x x x λλ=-+--+=-+∈-①当1λ≤-时，()g x 在[1,2]-上单增，()()min 1422g x g λ=-=+=,解得=1λ-； ②当12λ-<<时，()g x 在[1,]λ-上单减，在[,2]λ上单增，()()22min 232g x g λλλ==-+=，解得=1λ±，又12λ-<<，故=1λ.③当2λ≥时，()g x 在[1,2]-上单减,()()min 24432g x g λ==-+=，， 解得5=24λ<，不合题意. 综上，存在实数=1λ±符合题意.【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，考查已知二次函数在区间的最值求参数问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题.21. 2020年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，生产x （百辆），需另投入成本()C x 万元，且()210200,050100008019000,50x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价8万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式； （2）2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【★答案★】（1）()2106005000,050100004000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）生产30百辆时，该企业获得利润最大为4000万元. 【解析】 【分析】（1）直接由题意写出2020年的利润L （x ）（万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式； （2）分段利用配方法及基本不等式求最值，取两段函数最大值的最大者得结论．【详解】（1）由题意得，()2106005000,050100004000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当050x <<时，()()210304000L x x =--+，∴()()max 304000L x L ==；当50x ≥时，()100004000L x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∵10000200x x+≥，当且仅当100x =时，等号成立，∴()()max 1003800L x L ==∴2020年生产30百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润4000万元.【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求最值及利用基本不等式求最值，属于中档题．22. 已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>.（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值. 【★答案★】（1）304ω<≤；（2）433π【解析】(1)因为0ω>，根据题意有342{02432ππωωππω-≥-⇒<≤≤ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=． 【考点定位】考查三角函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，属中档题感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2021届陕西省延安市黄陵中学高三上学期第一次月考数学(文科)试题Word版含解析
2021届陕西省延安市黄陵中学高三上学期第一次月考数学（文科）试题一、选择题（每题5分共12题）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．命题“存在x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是（）A．任意x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1 B．任意x∉（0，+∞），ln x=x﹣1C．存在x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1 D．存在x∉（0，+∞），ln x=x﹣13．已知函数f（x）=|x﹣a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）4．函数y=1﹣的图象是（）A．B．C．D．5．设f（x）=e x+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）6．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）D．y=sinxA．y=x2B．y=2|x|C．y=log2（x2+2x﹣3）的定义域是（）7．函数f（x）=log2A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）8．设函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．3 C．D．9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y=[] B．y=[] C．y=[] D．y=[]10．已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，）C．[﹣1，）D．（0，）11．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））的切线过点（2，7），则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是．14．f（x）=2sin xsin（x+）﹣x2的零点个数为．15．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是．16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题（1）f（1）=0（2）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（3）点是函数y=f（x）的一个对称中心（4）直线x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．则正确的是．三、解答题（共4小题，满分40分）17．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=，a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的实数x只有一个，求函数f（x）的表达式．18．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．（1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）求经过点A（2，﹣2）的曲线f（x）的切线方程．19．已知函数f（x）=x2+ax+2，a∈R．（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1﹣x2的解集；（2）若函数g（x）=f（x）+x2+1在区间（1，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．20．是否存在这样的实数a，使函数f（x）=x2+（3a﹣2）x+a﹣1在区间[﹣1，3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点．若存在，求出ā的范围，若不存在，说明理由．2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共12题）1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]【考点】并集及其运算．【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，N={x|lgx≤0}=（0，1]，得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．故选：A．2．命题“存在x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是（）A．任意x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1 B．任意x∉（0，+∞），ln x=x﹣1C．存在x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1 D．存在x∉（0，+∞），ln x=x﹣1【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以“存在x∈（0，+∞），ln x=x﹣1”的否定是：任意x∈（0，+∞），ln x≠x﹣1，故选：A．3．已知函数f（x）=|x﹣a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，﹣1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据绝对值函数的单调性进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=|x﹣a|则（﹣∞，a]上为减函数，∴若函数f（x）=|x﹣a|在（﹣∞，﹣1）上是单调函数，则函数f（x）为减函数，此时满足a≥﹣1，即实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．4．函数y=1﹣的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据反比例函数的图象和性质，可得：函数y=的图象的对称中心及单调性，结合函数y=的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，可得y=1﹣的图象，可分析出函数y=1﹣的图象的对称中心和单调性，比照四个答案中函数图象的形状后，可得正确答案．【解答】解：函数y=的图象位于第二象限，并以原点为对称中心，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为增函数将函数y=的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，可得y=1﹣的图象故函数y=1﹣的图象以（﹣1，2）为对称中心，在区间（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）上均为增函数分析四个答案中的图象，只有A满足要求故选A5．设f（x）=e x+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据连续函数f（x）满足 f（1）＜0，f（2）＞0，由此可得函数f（x）的零点所在的区间．【解答】解：∵f（x）=e x+x﹣4，∴f（1）＜0，f（2）＞0，故函数f（x）的零点位于区间（1，2）内，故选C．6．下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=2|x|C．y=logD．y=sinx2【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】利用基本初等函数的性质逐一判断得出结论．【解答】解：对于A，由二次函数性质可知，函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除A；对于B，由在（﹣∞，0）上y=得函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除B；对于C，当x∈（﹣∞，0）时，y=，由复合函数的单调性可知，函数在（﹣∞，0）上单调递增，且由偶函数的定义可知函数为偶函数，故正确；对于D，由正弦函数的性质可知为奇函数，故排除D．故选C．（x2+2x﹣3）的定义域是（）7．函数f（x）=log2A．[﹣3，1] B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【考点】一元二次不等式的解法；对数函数的定义域．【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域．【解答】解：由题意得：x2+2x﹣3＞0，即（x﹣1）（x+3）＞0解得x＞1或x＜﹣3所以定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）故选D．8．设函数f（x）=，则f（f（3））=（）A．B．3 C．D．【考点】函数的值．【分析】由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出 f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．【解答】解：函数f（x）=，则f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故选D．9．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）A．y=[] B．y=[] C．y=[] D．y=[]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．进而得到解析式．代入特殊值56、57验证即可得到答案．【解答】解：根据规定10推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表，即余数分别为7，8，9时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加3．因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A；故选：B．10．已知f（x）=的值域为R，那么a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣1，）C．[﹣1，）D．（0，）【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数解析式得出x≥1，lnx≥0，由题意可得（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数，即满足：，求解即可．【解答】解：∵f（x）=，∴x≥1，lnx≥0，∵值域为R，∴（1﹣2a）x+3a必须取到所有的负数，即满足：，即为，即﹣1≤a＜，故选C．11．已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））的切线过点（2，7），则a的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，再由直线的斜率公式，计算即可得到a=1．【解答】解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为f′（x）=3ax2+1，图象在点（1，f（1））的切线斜率为3a+1，切点为（1，a+2），由切线经过（2，7），可得=3a+1，解得a=1．故选：A．12．设x∈R，定义符号函数sgnx=，则（）A．|x|=x|sgnx| B．|x|=xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】去掉绝对值符号，逐个比较即可．【解答】解：对于选项A，右边=x|sgnx|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项B，右边=xsgn|x|=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项C，右边=|x|sgnx=，而左边=|x|=，显然不正确；对于选项D，右边=xsgnx=，而左边=|x|=，显然正确；故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设函数f（x）=，则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8 ．【考点】其他不等式的解法；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】利用分段函数，结合f（x）≤2，解不等式，即可求出使得f（x）≤2成立的x的取值范围．【解答】解：x＜1时，e x﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x≥1时，≤2，∴x≤8，∴1≤x≤8，综上，使得f（x）≤2成立的x的取值范围是x≤8．故答案为：x≤8．14．f（x）=2sin xsin（x+）﹣x2的零点个数为 2 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将函数进行化简，由f（x）=0，转化为两个函数的交点个数进行求解即可．【解答】解：f（x）=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2，由f（x）=0得sin2x=x2，作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图：由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数f（x）的零点个数为2个，故答案为：215．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．【考点】复合函数的单调性．【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0．给出下列命题（1）f（1）=0（2）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（3）点是函数y=f（x）的一个对称中心（4）直线x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．则正确的是（1）（2）（3）．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（1）令x=0，求f（1）；（2）由题意可得f（0）=f（1）=f（﹣1）=f（2）=f（﹣2）=0；（3）证明f=﹣f即可；（4）由于（3）正确，故（4）不正确．【解答】解：（1）由题意，令x=0，则f（﹣1）=f（1），即﹣f（1）=f（1），则f（1）=0；（2）由题意，f（0）=0，f（1）=f（﹣1）=0，f（2）=f（1﹣1）=f（0）=0，f（﹣2）=0，则f（x）在[﹣2，2]上有5个零点；（3）由f（x﹣1）=f（x+1）可知，f（x）以2为周期，∵f=f（x），f=f（﹣x）=﹣f（x），∴f=﹣f，∴点是函数y=f（x）的一个对称中心，（4）由于（3）正确，故（4）不正确；故答案为：（1）（2）（3）．三、解答题（共4小题，满分40分）17．已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=，a≠0，f（1）=1且使f（x）=2x成立的实数x只有一个，求函数f（x）的表达式．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用f（1）=1，得a=2b+1．根据f（x）=2x只有一解，可得2ax2﹣2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，从而可求b，a的值，即可求函数f（x）的表达式．【解答】解：由f（1）=1，得a=2b+1．由f（x）=2x只有一解，即=2x，也就是2ax2﹣2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，∴4（1+b）2﹣4×2a×0=0∴b=﹣1．∴a=﹣1．故f（x）=．18．已知函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4．（1）求曲线f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）求经过点A（2，﹣2）的曲线f（x）的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数f′（x），根据导数的几何意义可知，切线的斜率为f′（2），又切点在函数f（x）上，求出切点的坐标，根据直线的点斜式方程写出函数f（x）在x=2处的切线方程；（2）设切点坐标为P（a，a3﹣4a2+5a﹣4），根据导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式写出切线方程，而点A（2，﹣2）在切线上，列出关于a的方程，求解a，即可得到曲线的切线方程．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x3﹣4x2+5x﹣4，∴f′（x）=3x2﹣8x+5，根据导数的几何意义，则曲线f（x）在x=2处的切线的斜率为f′（2）=1，又切点坐标为（2，﹣2），由点斜式可得切线方程为y﹣（﹣2）=1×（x﹣2），即x﹣y﹣4=0，∴求曲线f（x）在x=2处的切线方程为x﹣y﹣4=0；（2）设切点坐标为P（a，a3﹣4a2+5a﹣4），由（1）可知，f′（x）=3x2﹣8x+5，则切线的斜率为f′（a）=3a2﹣8a+5，由点斜式可得切线方程为y﹣（a3﹣4a2+5a﹣4）=（3a2﹣8a+5）（x﹣a），①又根据已知，切线方程过点A（2，﹣2），∴﹣2﹣（a3﹣4a2+5a﹣4）=（3a2﹣8a+5）（2﹣a），即a3﹣5a2+8a﹣4=0，∴（a﹣1）（a2﹣4a+4）=0，即（a﹣1）（a﹣2）2=0，解得a=1或a=2，将a=1和a=2代入①可得，切线方程为y+2=0或x﹣y﹣4=0，故经过点A（2，﹣2）的曲线f（x）的切线方程为y+2=0或x﹣y﹣4=0．19．已知函数f（x）=x2+ax+2，a∈R．（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1﹣x2的解集；（2）若函数g（x）=f（x）+x2+1在区间（1，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数的零点．【分析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a的值，再解不等式f（x）≥1﹣x2即可；（2）根据二次函数g（x）的图象与性质，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2+ax+2，a∈R；当不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，对应方程x2+ax+2=0有两个实数根1和2，∴﹣a=1+2，即a=﹣3；∴不等式f（x）≥1﹣x2可化为x2﹣3x+2≥1﹣x2，即2x2﹣3x+1≥0，∴（2x﹣1）（x﹣1）≥0，解得x≤或x≥1；∴该不等式的解集为{x|x≤或x≥1}；（2）∵函数g（x）=f（x）+x2+1=x2+ax+2+x2+1=2x2+ax+3，且g（x）在区间（1，2）上有两个不同的零点，∴，即；解得﹣5＜a＜﹣2，∴实数a的取值范围是﹣5＜a＜﹣2．20．是否存在这样的实数a，使函数f（x）=x2+（3a﹣2）x+a﹣1在区间[﹣1，3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点．若存在，求出ā的范围，若不存在，说明理由．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答时，先结合存在性问题的特点先假设存在a符合题意，然后将问题转化为函数零点存在性的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答，注意验证．【解答】解：若实数a满足条件，则只需f（﹣1）•f（3）≤0即可．f（﹣1）•f（3）=（1﹣3a+2+a﹣1）•（9+9a﹣6+a﹣1）=4（1﹣a）（5a+1）≤0．所以a≤﹣或a≥1．检验：（1）当f（﹣1）=0时，a=1．所以f（x）=x2+x．令f（x）=0，即x2+x=0．得x=0或x=﹣1．方程在[﹣1，3]上有两根，不合题意，故a≠1．（2）当f（3）=0时，a=﹣，此时f（x）=x2﹣x﹣．令f（x）=0，即x2﹣x﹣=0，解之得x=﹣或x=3．方程在[﹣1，3]上有两根，不合题意，故a≠﹣．综上所述：a的取值范围为a＜﹣或a＞1．。
2021年高三上学期数学综合检测九 Word版含答案
2021年高三上学期数学综合检测九 Word 版含答案1．已知集合若则__________________。
2．已知复数，若为实数，则实数m 的值为___________。
3．函数的定义域是___________。
4．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在（元）内应抽出__________人。
5．如图是一个算法的流程图，若输入的值是10，则输出的值是________________。
6．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为_______________。
7．曲线在点处的切线方程是___________。
8．已知，则_________________。
9．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是_____________________。
10．在边长为6的等边△ABC 中，点满足，则等于 ．11．若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是_________________。
12．已知圆，点在直线上，过点的直线与圆交于两点，且点为中点，则点的横坐标的取值范围为________________。
（第4题1001500xx 2500300040003500收入（元）频率/组距0.00010.00020.00040.00050.000313．若关于的方程有四个实数根，则实数的取值范围为_____________。
14．已知函数的定义域为[a ，b ]，其中a 、若函数的值域为，则满足条件的整数对个数为___________。
二、解答题：本大题共6小题，计90分.15．已知向量(4,5cos ),(3,4tan ),(0,),2a b a b πααα==-∈⊥，求：（1）； （2）的值。
2021届上海市建平中学高三上学期9月月考数学试题(解析版)
【解析】试题分析：（1）跟据二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可得 ，根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2）由 ，得 ，结合三角形内角的范围可得 或 ，讨论两种情况分别利用余弦定理可求出边的值.
试题解析：f（x）=2 sinxcosx+2cos2x﹣1= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）
【详解】
∵ ，
∴ ， ，当且仅当 ，即 时等号成立．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查用基本不等式求最值，解题时需掌握基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等．
9．已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图像过点 ，则 的值为________
【答案】3
【解析】根据反函数与原函数的关系得出原函数图象过点 ，代入计算可得．
∵ ，
∴ ， ，即 ，
， ，即 ，
，
∴当 时， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角函数图象的平移以及函数性质，属于基础题.
14．在 的展开式中任取两项，其系数的乘积是偶数的概率为________.
【答案】
【解析】二项式 的展开式共10项，分别计算奇数和偶数的个数，从中任取2项，共有 种取法，再研究其系数乘积为偶数的情形即可得结果..
可得 或相交，
反之，若 ，则平面 上存在不共线的三点到平面 的距离相等；
所以“平面 上存在不共线的三点到平面 的距离相等”是“ ”的必要不充分条件．
故选：B.
【点睛】
本题考查了空间两个平面位置关系，简单逻辑用语中充分必要条件的判断，属于基础题.
3．设数列 ，下列判断一定正确的是（ ）
A．若 ，则 为等比数列
上海市延安中学2021届高三上学期期中数学试题(教师版)
2020-2021年上海市延安中学高三上期中
一､填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. 已知全集UR，集合|02Mxx，集合|1Nxx，则MN________. 【答案】1,2
【解析】 【分析】 直接根据交集的定义进行运算求解即可. 【详解】集合|02Mxx，集合|1Nxx 所以1,2MN 故答案为：1,2 2. 函数22 log4fxx的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】 设24tx，则04t，即求2logyt在0,4上的最大值，根据对数函数的单调性可得答案. 【详解】设24tx，则04t，即求2logyt在0,4上的最大值. 由2logyt在0,4上是单调递增函数， 所以当4t,即0x时，函数有最大值2. 故答案为：2 3. 已知球的体积为36，则该球大圆的面积等于______. 【答案】9 【解析】 【分析】 由球的体积，得到球的半径，进而可得出大圆的面积. 【详解】因为球体积为36，设球的半径为r， 则34363r，解得：3r， 因为球的大圆即是过球心的截面圆， 因此大圆的面积为29Sr.
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型. 4. 函数22fxxx的反函数是__________．
【答案】14fxxx
【解析】 【分析】 根据反函数的方法求解即可. 【详解】由22fxxx有()4fx,故其反函数满足21xfx,又22fxxx,故14fxxx
.
故答案为：14fxxx 【点睛】本题主要考查了反函数的求法,注意定义域与值域即可.属于基础题型. 5. 已知等差数列{}na中，4610aa，若前5项的和55S，则其公差为______________.
2021-2022学年上海市延安中学高三数学文测试题含解析
2021-2022学年上海市延安中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，既是偶函数又在0，+∞）单调递增的函数是（）A．B．C．D．参考答案：【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． B3 B4【答案解析】B 解析：因为y=x3是奇函数，y=|x|+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|均为偶函数，所以选项A错误；又因为y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=在（0，+∞）上均为减函数，只有y=|x|+1在（0，+∞）上为增函数，所以选项C、D错误，只有选项B正确．故选B．【思路点拨】首先由函数的奇偶性排除选项A，然后根据区间（0，+∞）上y=|x|+1=x+1、y=﹣x2+1、y=2﹣|x|=的单调性易于选出正确答案．2. 某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（）A．3πB．2πC．πD．4π参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为1的正方体一部分，并画出直观图，由正方体的性质求出外接球的半径，由球的表面积公式求出该棱锥的外接球的表面积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥P﹣ABC为棱长为1的正方体一部分，直观图如图所示：则三棱锥P﹣ABC的外接球是此正方体的外接球，设外接球的半径是R，由正方体的性质可得，2R=，解得R=，所以该棱锥的外接球的表面积S=4πR2=3π，故选A．3. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是( )A． B． C． D．参考答案：C4. 已知命题p：?a∈R，且a＞0，有，命题q：?x∈R，，则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题参考答案：C【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】本题的关键是对命题p：?a∈R，且a＞0，有，命题q：?x∈R，的真假进行判定，在利用复合命题的真假判定【解答】解：对于命题p：?a∈R，且a＞0，有，利用均值不等式，显然p为真，故A错命题q：?x∈R，，而?所以q是假命题，故B错∴利用复合命题的真假判定，p∧（￢q）是真命题，故C正确（￢p）∧q是假命题，故D错误故选：C【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断5. 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点．若DC=3DF，设=，=，则=（）A．+B．+C．+D．+参考答案：【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性表示与运算性质，即可得出结论．【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，F是线段DC上的点，且DC=3DF，∴==（﹣）=（﹣），∴=﹣=+，设=， =，则=+=（+）+（﹣）=+=+．故选：B．6. 过椭圆上一点作圆的两条切线,点为切点.过的直线与轴, 轴分别交于点两点, 则的面积的最小值为A. B. C.1 D.参考答案：B7. 设数列按“第组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，32），…，则第101组中的第一个数为（）A． B． C． D．参考答案：8. 已知实数满足，则的最大值为A．B．C． D．参考答案：D由得（1,2）得（-，）得（-1,0）由题意得最大值为2*1+2=49. 对于函数,“的图象关于y轴对称”是“=是奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要参考答案：B略10. 设，则（）A、B、C、D、参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P 与M的距离小于1的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化法；概率与统计．【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率：p====．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．12. 已知三点在半径为5的球的表面上，是边长为的正三角形，则球心到平面的距离为．参考答案：3设平面ABC截球所得球的小圆半径为r，则2r==8，故r=4，则球心O到平面ABC 的距离为=3，故答案为3.13. 已知，若f（a）+f（b）=0，则的最小值是．【考点】7F：基本不等式．【分析】，f（a）+f（b）=0，可得+=0，化为a+b=2．（a，b∈（0，2）），可得==，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：，f（a）+f（b）=0，∴ +=0，∴=1，化为a+b=2，（a，b∈（0，2））则==≥=．当且仅当a=2b=时取等号．故答案为：．14. 已知分别为的三个内角的对边，，且，则．参考答案：（或30°）因为，所以由正弦定理的15. 数列{a n}的通项公式为a n=2n cos，n∈N*，其前n项和为S n，则S2016= ．参考答案：【考点】数列的求和． 【分析】由a n =2n cos，n∈N *，可得a n =a 2k =2n coskπ=2n （﹣1）k =?2n ；a n =a 2k ﹣1=2n=0．（k∈N *）．可得S 2016=a 2+a 4+…+a 2n ．【解答】解：∵a n =2n cos，n∈N *，∴a n =a 2k =2n coskπ=2n （﹣1）k =?2n ；a n =a 2k ﹣1=2n=0．（k∈N *）．∴S 2016=a 2+a 4+…+a 2n =﹣22+24﹣…+22016==．故答案为：．16. 我们把满足：x n+1=x n －的数列{x n }叫做牛顿数列．已知函数f （x ）=x 2﹣1，数列{x n }为牛顿数列，设，已知a 1=2，则a 3= ．参考答案：8【考点】数列递推式． 【分析】依题意，可求得=ln =ln =2=2a n ，即数列{a n }是以2为公比的等比数列，又a1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1，数列{x n}为牛顿数列，∴=x n﹣=（x n+），∴=ln=ln=2=2a n，又a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a3=2×22=8．故答案为：8．【点评】本题考查数列递推式，求得数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．17. 已知向量=（2，1），=（x，﹣6），若⊥，则|+|= ．参考答案：5【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用．【分析】由向量垂直的条件：数量积为0，可得x=3，再由向量模的公式，计算即可得到所求．【解答】解：向量=（2，1），=（x，﹣6），若⊥，则?=2x﹣6=0，解得x=3，即有+=（5，﹣5），则|+|==5，故答案为：5．【点评】本题考查向量的垂直的条件：数量积为0，考查向量的模的计算，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022年高三上学期9月月考数学(理)试题含答案
2021年高三上学期9月月考数学（理）试题含答案注意事项：1．答题前填涂（写）好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将选择题答案填涂在答题卡上，填空题和解答题答在指定的位置，第二卷一并交回。
第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．复数满足，则复数的实部与虚部之差为（）A． B． C．1 D．3．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A． B． C． D．44．设是将函数向左平移个单位得到的，则等于（）A. B. C. D.5．如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sin x(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A. B. C. D.6．等差数列中，如果，，则数列前9项的和为（）A．297 B．144 C．99 D．667.在正方体ABCD–A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和B1B的中点,若θ为直线CM与所成的角,则=（ ）A ．B ．C ．D ．8.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.48B.72C.12D.249．如图给出的是计算1＋＋＋…＋的值的一个程序框图，则图中执行框中的①处和判断框中的②处应填的语句分别是( )A ．n ＝n ＋2，i ＝15?B ．n ＝n ＋2，i>15?C ．n ＝n ＋1，i ＝15?D ．n ＝n ＋1，i>15?10．实数满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+0,002204y x y x y x ,则的最小值为 ( )A.16 B ．4 C.1 D ．11．已知函数12(0)()(0,1)3(0)x a x f x a a a x x ⎧≤⎪=>≠⎨⎪->⎩且是上的减函数，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ．（0，3） D ．（2，3）12．已知双曲线与抛物线有一个共同的焦点F, 点M 是双曲线与抛物线的一个交点, 若, 则此双曲线的离心率等于( )A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分。
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.设m、n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n//α，则m⊥n；②若α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m//n；④若α⊥β，m⊥β，则m//α；其中正确命题的序号是()A. ①②③④B. ①②③C. ②④D. ①③2.“a=0”是“ab=0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.小王同学为了测定在湖面上航模匀速航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC=105°和∠BAC=30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD=90°和∠ABD=45°，则航模的速度为()米/秒A. 2√3B. 4C. 2√5D. 2√64.已知为的导函数，则的图像是()A. AB. BC. CD. D二、单空题（本大题共11小题，共50.0分）5.已知集合A={y|y=x2−1,x∈R}，B={y|y=x2+1,x∈R}，则A∩B=______．6.已知函数f(x)=lgx，若f(2a)+f(2b)=f(2)(a>0，且b>0)，则2a+b的最小值是______．ab7.若球的表面积为，则该球的体积等于。
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)，当x∈[4,6]的时候，f(x)=2x+1，f(x)在区间[−2,0]上的反函数为f−1(x)，则f−1(19)=______．9.设等差数列{a n}的前n项和为S n若a11−a8=3，S11−S8=3，则使a n>0的最小正整数n的______10.已知tanα，tanβ是方程2x2+3x−7=0的两个实数根，则tan(α+β)的值为______ ．11.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为4或6“；事件B为“两颗骰子的点数之和大干8”求事件A发生时，事件B发生的概率是______ ．12.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象关于直线x=π3对称，它的最小正周期为π.则函数y=f(x)图象上离坐标原点O最近的对称中心是______ ．13.方程|x2−a|−x+2=0(a>0)有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是______ ．14.已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，S n+S n−1=n2+2(n≥2)，则S21=______．15.已知A(1,−1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB//AD，则D点坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）16.证明：(x−1x )2n的展开式中的中间一项是(−2)n1×3×5×…×(2n−1)n!．17.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1，底面△ABC的边长AB=1，侧棱长为√32，P是A1B1的中点，E、F分别是AC，BC，PC的中点．(1)求FG与BB1所成角的大小；(2)求证：平面EFG//平面ABB1A1．18.(12分)已知函数．(1)求函数的定义域；(2)判断的奇偶性。