圆锥曲线定义的向量形式
圆锥曲线_利用向量转化几何条件
4
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
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3.已 知 椭 圆C
:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a
>b> Nhomakorabea0)
，双 曲 线 x2 a2
−
y2 b2
=
1(a
>
0, b
>
0)
的两条渐近
线l1, l2 ，过 椭 圆C 的 右 焦 点F 作 直 线l ，使 得l⊥l2 ，又l 与l2 交 于P 点，设l 与 椭 圆C的
2
圆 锥 曲 线-利 用 向 量 转 化 几 何 条 件
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三、证 明 三 点 共 线 转 化 为 向 量
1.（利 用−→a
=
−→ λb
,转 化 为 比 值 关 系）已 知 曲 线C
:
(5
−
m)x2
+
(m
−
2)y2
=
8(m
∈
R)
（1）若 曲 线C 是 焦 点 在x 轴 上 的 椭 圆，求m 的 取 值 范 围；
直 径 的 圆 恒 过 点M ？若 存 在 求 出 点M 的 坐 标，若 不 存 在 说 明 理 由。
1
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2.已
知F1,
F2分
别
是
椭
圆
x2 4
+
y2
=
1
的 左 右 焦 点。
（1）若P
是
第
一
象
限
高中数学圆锥曲线与向量的交汇(解析版)
圆锥曲线与向量的交汇一、考情分析平面向量与圆锥曲线的交汇是高考命题的一个显著特征,这类试题的常规形式是用向量形式给出某些条件或结论,其难点往往不在向量上,对向量部分只需运用向量基础知识即可实现相应转化.平面向量作为工具可以处理圆锥曲线中的长度、角度、共线、垂直、射影等许多问题,使得这类问题成为高考命题的一个热点,且时常出现在解答题中.二、解题秘籍(一)圆锥曲线中常见的向量条件及求解圆锥曲线与向量问题的策略1.设u 为直线l 的方向向量,若u =1,k ,则l 斜率为k ；若u =m .n (m ≠0),则l 斜率为n m；2.A 、B 、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则A 、B 、C 共线:①AB =λAC ;②OC=λOA +μOB 且λ+μ=1;③OC =(OA +λOB)/(1+λ)；④AB ∥AC .3.A 、B 、C 是平面内不重合的三点,若有下列条件之一,则C 为线段AB 的中点:①AC =CB ;②OC =12(OA +OB ).4.在四边形ABCD 中,若AB ∙AC =0,则AB ⊥AC ;若∣AB +AD ∣=∣AB -AD ∣,则AB ⊥AD ;若AB∙AC =AD ∙AC,则AC ⊥BD .5.圆锥曲线中涉及向量相等,通常利用横坐标或纵坐标相等进行转化,涉及向量共线问题,通项利用非零向量a=x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 共线⇔x 1y 2-x 2y 1=0转化,涉及向量的数量积,通常利用数量积的坐标运算进行转化.6.圆锥曲线中两直线垂直问题,通常转化为两直线的方向向量的数量积为零,这样做可避免讨论直线的斜率是否存在.7.圆锥曲线中涉及数量积问题,通常利用数量积的坐标运算把所给条件转化为关于横(纵)坐标的表达式.【例1】(2023届黑龙江省鸡西市鸡东县高三上学期月考)已知两点M 0,-4 ,N 0,4 ,动点P 在x 轴的投影为Q ,且PM ⋅PN=3PQ 2,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程.(2)过点F 26,0 的直线与曲线C 在y 轴右侧相交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点H ,试问ABFH是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.【解析】(1)设P x ,y ,则Q x ,0 ,PM =-x ,-4-y ,PN=-x ,4-y ,PQ =0,-y .因为PM ⋅PN=3PQ 2,所以x 2+y 2-16=3y 2,故C 的方程为x 216-y 28=1.(2)由题可知直线AB 的斜率一定存在,且不为0,不妨设直线AB 的方程为y =k x -26 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立方程组y =k (x -26)x 216-y 28=1,消去y 整理得1-2k 2 x 2+86k 2x -48k 2-16=0,则Δ=384k 4+1-2k 2 192k 2+64 >0x 1+x 2=-86k 21-2k 2>0x 1x 2=-48k 2-161-2k 2>0 ,整理得k 2>12.x 1+x 22=-46k 21-2k 2,y 1+y 22=-26k1-2k 2,则线段AB 的垂直平分线的方程为y +26k 1-2k 2=-1k x +46k 21-2k 2,令y =0,得x =-66k 21-2k 2,则H -66k 21-2k 2,0,FH =26+66k 21-2k 2=261+k 2 1-2k 2.AB =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅-86k 21-2k 2 2-4⋅-48k 2-161-2k 2=1+k 2⋅384k 41-2k 2 2+192k 2+64 1-2k 21-2k 22=81+k 21-2k 2则AB FH =826=263.故AB FH是定值,该定值为263.(二)把点共线问题转化为向量共线此类问题通常是把点A ,B ,C 共线转化为AB =λBC,或点C 在直线AB 上.【例2】(2022届新疆昌吉教育体系高三上学期诊断)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右顶点分別为A 1,A 2,右焦点为F (1,0),且椭圆C 的离心率为12,M ,N 为椭圆C 上任意两点,点P 的坐标为(4,t )(t ≠0),且满足A 1M =λ1MP ,A 2N =λ2NP.(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：M ,F ,N 三点共线.【解析】(1)椭圆C 的右焦点为F (1,0),且离心率为12,∴a =2,c =1,则b 2=a 2-c 2=3,∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知,A 1,A 2的坐标分别为(-2,0),(2,0),设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,∴A 1M =(x 1+2,y 1),A 1P =(6,t ),A 2N =(x 2-2,y 2),A 2P=(2,t ),∵A 1M =λ1MP ,A 2N =λ2NP ,∴A 1,M ,P 三点共线,A 2,N ,P 三点共线,即6y 1=t x 1+2 2y 2=t x 2-2 ,整理得3y 1y 2=x 1+2x 2-2,两边平方得9y 21y 22=x 1+2 2x 2-2 2,①又M ,N 在椭圆上,则y 21=3-34x 21y 22=3-34x 22,代入①并化简得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,又FM =(x 1-1,y 1),FN=(x 2-1,y 2),∴要证M ,F ,N 三点共线,只需证y 2x 1-1 =y 1x 2-1 ,即y 1y 2=x 1-1x 2-1,只需证x 1+23x 2-2=x 1-1x 2-1,整理得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,∴M ,F ,N 三点共线.(三)利用向量共线求双变量的关系式此类问题一般是给出形如b =λa ,d =μc的条件,确定关于λ,μ的等式,求解思路是利用两向量相等横坐标与纵坐标分别相等(注意一般情况下横坐标相等与纵坐标相等,使用一个即可,解题时哪一个简单使用哪一个),把λ,μ用其他变量(若点的横坐标或纵坐标)表示,再利用题中条件消去其他变量.【例3】(2023届甘肃省张掖市高三上学期检测)椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ,过椭圆左焦点F 1且垂直于x 轴的直线在第二象限与椭圆相交于点P ,椭圆的右焦点为F 2,已知tan ∠PF 2F 1=312,椭圆过点A 3,12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 2作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,交y 轴于M 点,若MA =λ1AF 2 ,MB =λ2BF 2,求证：λ1+λ2为定值．【解析】(1)依题可知：PF 1=b 2a ,tan ∠PF 2F 1=b 2a2c =a 2-c 22ac =312,所以12a 2-12c 2=23ac ,即6c a 2+3ca-6=0,解得c a =32又∵椭圆C 过点A 3,12 ,则3a 2+14b2=1联立a 2=b 2+c 2c a =323a 2+14b 2=1可得a =2b =1c =3,椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,F 3,0 ,由题意可知,直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为y =k x -3 ,联立y =k x -3 x 24+y 2=1,可得4k 2+1 x 2-83k 2x +12k 2-4=0,由于点F 2在椭圆C 的内部,直线l 与椭圆C 必有两个交点,由韦达定理可得x 1+x 2=83k 24k 2+1,x 1⋅x 2=12k 2-44k 2+1,∵MA =λ1AF 2 ,MB =λ2BF 2,M 0,y 0 ,得x 1,y 1-y 0 =λ13-x 1,-y 1 ,x 2,y 2-y 0 =λ23-x 2,-y 2 ,∴λ1=x 13-x 1,λ2=x 23-x 2,∴λ1+λ2=x 13-x 1+x 23-x 2=3x 1+x 2 -2x 1x 23-3x 1+x 2 +x 1x 2=24k 2-212k 2-44k 2+13+12k 2-4 -24k24k 2+1=-8．(四)利用向量加法的几何意义构造平行四边形若点A ,B ,C .D 满足AB +AD =AC,则四边形ABCD 是平行四边形,涉及圆锥曲线中的平行四边形要注意对边长度相等、斜率相等,两对角线中点为同一个点等条件的应用.【例4】(2023届四川省广安市岳池县高三上学期10月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点M 3,12,左焦点F 1-3,0 .(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D 0,3 作直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,点N 满足ON =OA+OB (O 为原点),求四边形OANB 面积的最大值.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c ,则c =3,又因为椭圆经过点M 3,12 ,所以3a 2+14b2=1,又a 2-b 2=3 2∴c 2=3,a 2=4,b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)因为ON =OA+OB ,所以四边形OANB 为平行四边形,当直线l 的斜率不存在时,显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +3,l 与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,由y =kx +3x 24+y 2=1⇒(1+4k 2)x 2+24kx +32=0.由Δ=242k 2-128(1+4k 2)>0⇒k 2>2.x 1+x 2=-24k 1+4k 2,x 1x 2=321+4k 2,∵S △OAB =12|OD ||x 1-x 2|=32|x 1-x 2|,∴S ▱OANB =2S △OAB =3|x 1-x 2|=3(x 1+x 2)2-4x 1x 2=3-24k 1+4k 2 2-4×321+4k 2=3242k 2-128(1+4k 2)(1+4k 2)2=24k 2-2(1+4k 2)2,令k 2-2=t ,则k 2=t +2(由上式知t >0),∴S ▱OANB =24t (4t +9)2=24172+16t +81t≤241144=2,当且仅当t =94,即k 2=174>2时取等号.∴当k =±172时,平行四边形OANB 的面积最大值为2.(五)把向量的数量积转化为代数式若圆锥曲线问题有用向量数量积给出的条件,通常是利用向量数量积的坐标运算进行转化.【例5】(2023届广东省荔湾区高三上学期10月调研)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F 2,0 ,O 为坐标原点,双曲线C 的两条渐近线的夹角为π3．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点F 作直线l 交C 于P ,Q 两点,在x 轴上是否存在定点M ,使MP ⋅MQ为定值？若存在,求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在,说明理由．【解析】(1)双曲线x 2a 2-y 2b2=1的渐近线为y =±ba x ,又a >b >0,0<b a <1,故其渐近线y =b a x 的倾斜角小于π4,而双曲线C 的两条渐近线的夹角为π3,则渐近线的y =b a x 的倾斜角为π6,则b a =33,即a =3b ．又a 2+b 2=2,则a =3,b =1．所以双曲线C 的方程是x 23-y 2=1．(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =ty +2,代入x 23-y 2=1,得(ty +2)2-3y 2=3,即t 2-3 y 2+4ty +1=0．设点P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,则y 1+y 2=-4t t 2-3,y 1y 2=1t 2-3．设点M m ,0 ,则MP ⋅MQ=x 1-m x 2-m +y 1y 2=ty 1+2-m ty 2+2-m +y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+t 2-m y 1+y 2 +(2-m )2=t 2+1t 2-3-4t 22-m t 2-3+(2-m )2=m 2-3 t 2-3m 2-12m +11 t 2-3令3m 2-12m +11=3m 2-3 ,得m =53,此时MP ⋅MQ =m 2-3=-29．当直线l 与x 轴重合时,则点P ,Q 为双曲线的两顶点,不妨设点P -3,0 ,Q 3,0 ．对于点M 53,0 ,MP ⋅MQ =-3-53,0 ·3-53,0 =-29．所以存在定点M 53,0 ,使MP ⋅MQ =m 2-3=-29为定值．(六)把垂直问题转化为向量的数量积为零求解圆锥曲线中的垂直问题,通常可转化为向量的数量积为零,然后利用向量数量积的坐标运算进行转化,这种转化可避免讨论直线的斜率是否存在.【例6】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ,椭圆C 上的点到F 的距离的最大值和最小值分别为2+3和2-3．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若圆O :x 2+y 2=r 2的切线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,是否存在正数r ,使得OA ⊥OB ？若存在,求出r 的值；若不存在,请说明理由．【解析】(1)由题意可得,a +c =2+3a -c =2-3 ,解得a =2,c =3,则b 2=4-3=1,所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)假设存在正数r ,使得OA ⊥OB ,即使得OA ⋅OB=0,当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x=t ,可得A t ,4-t 22 ,B t ,-4-t 22,因为OA ⋅OB =0,则有t 2-4-t 24=0,解得t =±255,又直线l 为圆O :x 2+y 2=r 2的切线,所以r =255；当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +m (m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立y =kx +m x 24+y 2=1,可得(1+4k 2)x 2+8km x +4(m 2-1)=0,则Δ=64k 2m 2-16(1+4k 2)(m 2-1)=16(4k 2-m 2+1)>0,所以4k 2-m 2+1>0,且x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4(m 2-1)1+4k 2,所以y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=kx 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2,因为OA ⋅OB =0,则y 1y 2x 1x 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2=-1,所以(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0,整理可得4k 2+4=5m 2,则m 21+k 2=45,所以|m |1+k 2=255,因为直线l 为圆O :x 2+y 2=r 2的切线,故原点(0,0)到y =kx +m 的距离为r =|m |1+k2=255,所以存在正数r =255,使得OA ⊥OB ．三、跟踪检测1.(2023届重庆市第八中学校高三上学期月考)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)一个顶点为A -2,0 ,直线l 过点Q 3,0 交双曲线右支于M ,N 两点,记△AMN ,△AOM ,△AON 的面积分别为S ,S 1,S 2.当l 与x 轴垂直时,S 1的值为152.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若l 交y 轴于点P ,PM =λMQ ,PN=μNQ ,求证：λ+μ为定值；(3)在(2)的条件下,若1625S =μS 1+mS 2,当5<λ≤8时,求实数m 的取值范围.【解析】(1)由题意得a =2,OA =2,则当l 与x 轴垂直时,不妨设M 3,y 1 ,由S 1=12OA ⋅y 1 =152,得y 1 =152,将M 3,y 1 代入方程x 24-y 2b 2=1,得94-154b2=1,解得b 2=3,所以双曲线E 的方程为x 24-y 23=1．(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,P 0,y 0 ,由PM=λMQ 与Q 3,0 ,得x 1,y 1-y 0 =λ3-x 1,-y 1 ,即x 1=3λ1+λ,y 1=y 01+λ,将M 3λ1+λ,y 01+λ代入E 的方程得：3λ1+λ 24-y 01+λ 23=1,整理得：15λ2-24λ-4y 20-12=0①,同理由PN =μNQ 可得15μ2-24μ-4y 20-12=0②．由①②知,λ,μ是方程15x 2-24x -4y 20-12=0的两个不等实根．由韦达定理知λ+μ=2415=85,所以λ+μ为定值．(3)又1625S =μS 1+mS 2,即1625⋅12⋅AQ ⋅y 1-y 2 =μ12⋅2⋅y 1 +m ⋅12⋅2⋅y 2 ,整理得：85y 1-y 2 =μy 1 +m y 2 ,又y 1y 2<0,不妨设y 2<0<y 1,则85y 1-y 2 =μy 1-my 2,整理得m =85-85-μ y 1y 2,又λ+μ=85,故m =85-λy 1y 2,而由(2)知y 1=y 01+λ,y 2=y 01+μ,故y 1y 2=1+μ1+λ,代入m =85-λ⋅1+μ1+λ=85-λ135-λ 1+λ,令1+λ=t t ∈6,9 ,得m =85-t -1 185-t t =-3+t +185t,由双勾函数y =t +185t 在6,9 上单调递增,得m =-3+t +185t ∈185,325 ,所以m 的取值范围为185,325．2.(2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考)已知椭圆中有两顶点为A -1,0 ,B 1,0 ,一个焦点为F 0,1 .(1)若直线l 过点F 且与椭圆交于C ,D 两点,当CD =322时,求直线l 的方程；(2)若直线l 过点T 0,t t ≠0 且与椭圆交于C ,D 两点,并与x 轴交于点P ,直线AD 与直线BC 交于点Q ,当点P 异A ,B 两点时,试问OP ⋅OQ是否是定值？若是,请求出此定值,若不是,请说明理由.【解析】(1)∵椭圆的焦点在y 轴上,设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0),由已知得b =1,c =1,所以a =2,椭圆的方程为y 22+x 2=1,当直线l 与x 轴垂直时与题意不符,设直线l 的方程为y =kx +1,C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,将直线l 的方程代入椭圆的方程化简得k 2+2 x 2+2kx -1=0,则x 1+x 2=-2k k 2+2,x 1⋅x 2=-1k 2+2,∴CD =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+k 2⋅-2k k 2+2 2+4⋅1k 2+2=22(k 2+1)k 2+2=322,解得k =±2.∴直线l 的方程为y =±2x +1；(2)当l ⊥x 轴时,AC ⎳BD ,不符合题意,当l 与x 轴不垂直时,设l ：y =kx +t ,则P -tk,0 ,设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 ,联立方程组y =kx +tx 2+y 22=1得2+k 2 x 2+2ktx +t 2-2=0,∴x 1+x 2=-2kt 2+k 2,x 1x 2=t 2-22+k 2,又直线AD ：y =y 2x 2+1(x +1),直线BC ：y =y 1x 1-1(x -1),由y =y 2x 2+1(x +1)y =y 1x 1-1(x -1)可得y 2x 2+1(x +1)=y 1x 1-1(x -1),即kx 2+t x 2+1(x +1)=kx 1+t x 1-1(x -1),kx 2+t x 1-1 (x +1)=kx 1+t x 2+1 (x -1),kx 1x 2-kx 2+tx 1-t x +1 =kx 1x 2+kx 1+tx 2+t x -1 ,k x 1+x 2 +t x 2-x 1 +2t x =2kx 1x 2-k x 2-x 1 +t x 1+x 2 ,k ⋅-2kt 2+k 2+t x 2-x 1 +2t x =2k ⋅t 2-22+k 2-k x 2-x 1 +t ⋅-2kt 2+k 2,4t 2+k 2+t x 2-x 1 x =-4k 2+k2-k x 2-x 1 ,即t 42+k 2+x 2-x 1 x =-k 42+k 2+x 2-x 1 ,得x =-kt,∴Q 点坐标为Q -kt,y Q ,∴OP ⋅OQ =-t k ,0 ⋅-k t ,y Q =-t k-kt +0⋅y Q =1,所以OP ⋅OQ=1为定值.3.(2023届四川省成都市郫都区高三上学期检测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32,短轴长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点P 0,1 的直线交椭圆C 于A ,B 两点,求OA ⋅OB的取值范围．【解析】(1)∵e =c a =32,2b =4,∴b =2,又a 2=b 2+c 2,即a 2=4+34a 2,解得：a =4,c =23,∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1；(2)当直线AB 的斜率不存在时,AB :x =0,不妨设A 0,2 ,B 0,-2 ,则OA ⋅OB=-4当直线AB 的斜率存在时,设AB ：y =kx +1,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由x 216+y 24=1y =kx +1得4k 2+1 x 2+8kx -12=0,Δ=64k 2+484k 2+1 >0恒成立,故x 1+x 2=-8k 4k 2+1,x 1x 2=-124k 2+1,∴OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+1 kx 2+1=k 2+1 x 1x 2+k x 1+x 2 +1=k 2+1 -124k 2+1 -8k 24k 2+1+1=-12k 2-12-8k 2+4k 2+14k 2+1=-16k 2-114k 2+1=-4-74k 2+1∈-11,-4 ,综上：OA ⋅OB ∈-11,-4 ,故OA ⋅OB的取值范围为-11,-4 ．4.(2023届江苏省南通市如皋市高三上学期9月诊断测试)已知点B 、A 分别是椭圆Γ:x 24+y 23=1的左、右顶点,过Γ的右焦点F 作直线l 交Γ于M ,N 两点,(1)设直线AM ,AN ,BM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求k 1k 2和k2k 3的值；(2)若直线AM ,AN 分别交椭圆Γ的右准线于P ,Q 两点,证明：以PQ 为直径的圆经过定点.【解析】(1)由已知F (1,0),A (2,0),B (-2,0),直线l 的斜率不存在时,方程为x =1,不妨设M 1,32 ,N 1,-32,k 1=321-2=-32,同理k 2=32,k 3=321-(-2)=12,k 1k 2=-94,k2k 3=3,直线l 斜率存在时,设直线方程为y =k (x -1),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由x 24+y 23=1y =k (x -1),得(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0,x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2,k 1=y 1x 1-2,k 2=y 2x 2-2,k 3=y 1x 1+2,k 1k 2=y 1y 2(x 1-2)(x 2-2)=k 2(x 1-1)(x 2-1)(x 1-2)(x 2-2)=k 2(x 1x 2-x 1-x 2+1)x 1x 2-2(x 1+x 2)+4=k 24k 2-123+4k 2-8k 23+4k 2+1 4k 2-123+4k 2-16k 23+4k 2+4=k 2(4k 2-12-8k 2+3+4k 2)4k 2-12-16k 2+12+16k 2=-94,k 2k 3=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=k (x 2-1)(x 1+2)k (x 1-1)(x 2-2)=x 1x 2-x 1+2x 2-2x 1x 2-2x 1-x 2+2因为2x 1x 2-5(x 1+x 2)+8=2(4k 2-12)3+4k 2-40k 23+4k 2+8=0,所以x 1x 2-x 1+2x 2-2=3(x 1x 2-2x 1-x 2+2),所以k2k 3=3,综上,k 1k 2=-94,k2k 3=3；(2)由已知a =2,b =3,c =1,右准线方程为x =a 2c=4,由(1)知直线AM 方程为y =y 1x 1-2(x -2),令x =4得y P =2y 1x 1-2=2k 1,同理y Q =2y 2x 2-2=2k 2,由椭圆的对称性知,以PQ 为直径的圆有一个圆心x 轴上方的圆,则必定也有一个与之关于x 轴对称的圆,这两个圆的交点在x 轴上,以PQ 为直径的圆经过定点,这个定点必在x 轴上,设定点为G (t ,0),则GP ⋅GQ =0,由(1)得GP ⋅GQ=(4-t ,2k 1)⋅(4-t ,2k 2)=(4-t )2+4k 1k 2=(4-t )2-9=0,t =7或t =1,所以以PQ 为直径的圆经过定点(1,0),(7,0)．5.(2023届湖南省部分校高三上学期9月月考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为62,点A 6,4 在C 上.(1)求双曲线C 的方程.(2)设过点B 1,0 的直线l 与双曲线C 交于D ,E 两点,问在x 轴上是否存在定点P ,使得PD ⋅PE为常数？若存在,求出点P 的坐标以及该常数的值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线C 的离心率为62,所以62 2=1+b 2a2,化简得a 2=2b 2.将点A 6,4 的坐标代入x 22b 2-y 2b 2=1,可得18b 2-16b2=1,解得b 2=2,所以C 的方程为x 24-y 22=1.(2)设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =k (x -1),联立方程组y =k x -1 ,x 24-y 22=1,消去y 得(1-2k 2)x 2+4k 2x -2k 2-4=0,由题可知1-2k 2≠0且Δ>0,即k 2<23且k 2≠12,所以x 1+x 2=-4k 21-2k 2,x 1x 2=-2k 2+41-2k 2.设存在符合条件的定点P t ,0 ,则PD =x 1-t ,y 1 ,PE=x 2-t ,y 2 ,所以PD ⋅PE=x 2-t x 1-t +y 1y 2=k 2+1 x 1x 2-t +k 2 x 1+x 2 +t 2+k 2.所以PD ⋅PE =k 2+1 -2k 2-4 +4k 2t +k 2 +t 2+k 2 1-2k 2 1-2k 2,化简得PD ⋅PE =k 2-2t 2+4t -5 +t 2-4-2k 2+1.因为PD ⋅PE 为常数,所以-2t 2+4t -5-2=t 2-41,解得t =134.此时该常数的值为t 2-4=10516,所以,在x 轴上存在点P 134,0 ,使得PD ⋅PE 为常数,该常数为10516.6.(2023届广东省茂名市高三上学期9月联考)如图,平面直角坐标系xOy 中,点Q 为x 轴上的一个动点,动点P 满足PO =PQ =32,又点E 满足PE =12EQ .(1)求动点E 的轨迹Γ的方程；(2)过曲线Γ上的点A x 0,y 0 (x 0y 0≠0)的直线l 与x ,y 轴的交点分别为M 和N ,且NA =2AM,过原点O 的直线与l 平行,且与曲线Γ交于B 、D 两点,求△ABD 面积的最大值.【解析】(1)由题意,设E x ,y ,P 12x ,y,由PO =PQ =32得Q x,0 ,且x 24+y 2=94,由PE =12EQ 得E 23x ,23y ,则x =23x y =23y ,得x =32x y =32y,代入x 24+y 2=94整理得x 24+y 2=1,故动点E 的轨迹Γ的方程为x 24+y 2=1.(2)如图,设A x 0,y 0 (x 0y 0≠0),又直线l 的斜率存在且k ≠0,∴设直线l 为：y -y 0=k x -x 0 ,可得：M x 0-y 0k,0 ,N 0,y 0-kx 0 ,由NA =2AM ,则x 0,kx 0 =2-y 0k ,-y 0 ,故x 0=-2y 0k,kx 0=-2y 0,联立x 204+y 20=1x 0=-2y 0k,可得：y 20=k 21+k 2,即y 0 =k 1+k 2,又BD ⎳l ,故直线BD 的方程为y =kx ,联立x 24+y 2=1y =kx,得：x 2=41+4k 2,即B 、D 的横坐标为±21+4k 2,∴BD =1+k 2x B -x D =41+k 21+4k 2,∵点A 到直线BD 的距离d =kx 0-y 0 1+k 2=3y 01+k 2=3k 1+k 2,∴S △ABD =12BD ⋅d =6k 1+4k 21+k 2=61+k 2 1+4k 2k 2=64k 2+1k2+5≤624k 2×1k2+5=2,当且仅当4k 2=1k2,即k =±22时等号成立,∴△ABD 面积的最大值为2.7.(2023届福建师范大学附属中学高三上学期月考)在平面直角坐标系xOy 中, 设点P -13,0 ,Q 13,0 ,点G 与P ,Q 两点的距离之和为43,N 为一动点, 点N 满足向量关系式：GN +GP +GQ =0 ．(1)求点N 的轨迹方程C ；(2)设C 与x 轴交于点A ,B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点(且不与A ,B 重合)．设直线AM ,x 轴与直线x =4分别交于点R ,S ,取E (1,0),连接ER ,证明：ER 为∠MES 的角平分线．【解析】(1)设点N (x ,y ),G (x ,y ),则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为43>|PQ |=23,可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆,其轨迹方程为94x 2+3y 2=1,由GN +GP +GQ =0 ,可得x =x 3，y =y 3,代入点G 的轨迹方程,可得：94x 3 2+3y 32=1,所以点N 的轨迹方程C ：x 24+y 23=1；(2)设点M (x 0，y 0),则ME :y =y 0x 0-1(x -1),即y 0x -(x 0-1)y -y 0=0,MA :y =y 0x 0+2(x +2),令x =4,得y =6y 0x 0+2,∴R 4，6y 0x 0+2,则点R 到直线ME 的距离为：d =4y 0-6y 0(x 0-1)x 0+2-y 0y 20+(x 0-1)2=|3y 0(4-x 0)|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2=(12-3x 0)|y 0|(x 0+2)y 20+(x 0-1)2,要证ER 为∠MES 的角平分线,只需证d =|RS |,又|RS |=|y R |=6|y 0|x 0+2,∵y 0≠0,所以d =|RS |,当且仅当4-x 0y 20+(x 0-1)2=2,即(4-x 0)2=4[y 20+(x 0-1)2]时,又(x 0，y 0)在C 上,则x 204+y 203=1,即4y 20=12-3x 20,代入上式可得16-8x 0+x 20=12-3x 20+4x 20-8x 0+4恒成立,∴ER 为∠MES 的角平分线．8.(2023届山西省山西大学附属中学校高三上学期9月诊断)如图,椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1((a >b >0),|A 1B 1|=7,F 1是椭圆C 的左焦点,A 1是椭圆C 的左顶点,B 1是椭圆C 的上顶点,且A 1F 1 =F 1O,点P (n ,0)(n ≠0)是长轴上的任一定点,过P 点的任一直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在定点Q (x 0,0),使得QA ⋅QB为定值,若存在,试求出定点Q 的坐标,并求出此定值；若不存在,请说明理由.【解析】(1)由已知知a 2+b 2=7a -c =c a 2=b 2+c 2 ,解得a =2b =3c =1,所以椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)假设存在Q (x 0,0)满足题意,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),QA =(x 1-x 0,y 1),QB=(x 2-x 0,y 2),①当直线l 与x 轴不垂直时,设l ：y =k (x -n ),代入x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2-8k 2nx +4k 2n 2-12=0∴x 1+x 2=8k 2n 4k 2+3,x 1x 2=4k 2n 2-124k 2+3QA ⋅QB=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+y 1y 2=(x 1-x 0)(x 2-x 0)+k 2(x 1-n )(x 2-n )=(k 2+1)x 1x 2-(k 2n +x 5)(x 1+x 2)-x 20+k 2n 2=k 2+1 4k 2n 2-124k 2+3-k 2n +x 0 8k 2n 4k 2+3-x 20+k 2v 2=7n 2-8nx 0+4x 20-12 k 2+3x 20-124k 2+3 (*)(*)式是与k 无关的常数,则3(7n 2-8nx 0+4x 20-12)=4(3x 20-12)解得x 0=12n +7n 8,此时QA ⋅QB =x 20-4=12n +7n 82-4为定值；②当直线l 与x 垂直时,l :x =n ,A n ,31-n 24 ,B n ,-31-n 24,QA ⋅QB =(n -x 0)2-31-n 24 =x 20-4=12n +7n 82-4也成立,所以存在定点Q 12n +7n 8,0 ,使得QA ⋅QB =12n +7n 82-4为定值．9.(2023届北京市第四中学高三上学期开学测试)已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆C 过点1,32,离心率为32,点A 为其右顶点.过点B 1,0 作直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点,直线AE 、AF 与直线x =3分别交于点M 、N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求EM ⋅FN的取值范围.【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由题意,得1a 2+34b 2=1c a =32a 2=b 2+c 2,解得a 2=4,b 2=1,即椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)得A (2,0),设l :x =ty +1,E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),联立x =ty +1x 2+4y 2-4=0,得(ty +1)2+4y 2-4=0,即(t 2+4)y 2+2ty -3=0,则y 1+y 2=-2t t 2+4,y 1y 2=-3t 2+4,直线AE ,AF 的方程分别为y =y 1x 1-2(x -2),y =y 2x 2-2(x -2),令x =3,则M 3,y 1x 1-2 ,N 3,y 2x 2-2,则EM =3-x 1,y 13-x 1 x 1-2 =2-ty 1,y 12-ty 1 ty 1-1,FN =3-x 2,y 23-x 2 x 2-2 =2-ty 2,y 22-ty 2 ty 2-1,所以EM ⋅FN =2-ty 1 2-ty 1 +y 1y 22-ty 1 2-ty 2 ty 1-1 ty 2-1 =t 2y 1y 2-2t y 1+y 2 +4 1+y 1y 2t 2y 1y 2-t y 1+y 2 +1=-3t 2t 2+4+4t 2t 2+4+4 1+-3t 2+4-3t 2t 2+4+2t 2t 2+4+1 =5t 2+164(t 2+4)=5(t 2+4)-44(t 2+4)=54-1t 2+4因为t 2+4≥4,所以0<1t 2+4≤14,1≤54-1t 2+4<54,即EM ⋅FN 的取值范围为1,54 .10.(2023届湖北省“宜荆荆恩”高三上学期考试)已知双曲线C 与双曲线x 212-y 23=1有相同的渐近线,且过点A (22,-1).(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知D (2,0),E ,F 是双曲线C 上不同于D 的两点,且DE ⋅DF=0,DG ⊥EF 于G ,证明：存在定点H ,使|GH |为定值.【解析】(1)因为双曲线C 与已知双曲线有相同的渐近线,设双曲线C 的标准方程为x 2-4y 2=λ代入点A 坐标,解得λ=4所以双曲线C 的标准方程为x 24-y 2=1(2)(i )当直线EF 斜率存在时,设EF :y =kx +m ,设E x 1,y 1 F x 2,y 2 ,联立y =kx +m 与双曲线x 24-y 2=1,化简得4k 2-1 x 2+8km x +4m 2+1 =0,Δ=(8km )2-44m 2+4 4k 2-1 >0,即4k 2-m 2-1<0,则有x 1+x 2=-8km4k 2-1x 1x 2=4m 2+44k 2-1,又y 1y 2=kx 1+m kx 2+m =k 2x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2,因为DE ⋅DF=x 1-2 x 2-2 +y 1y 2=0,所以k 2+1 ⋅x 1x 2+km -2 ⋅x 1+x 2 +m 2+4=0,所以k 2+1 ⋅4m 2+44k 2-1+km -2 ⋅-8km 4k 2-1+m 2+4=0,化简,得3m 2+16km +20k 2=0,即3m +10k m +2k =0,所以m 1=-2k ,m 2=-103k ,且均满足4k 2-m 2-1<0,当m 1=-2k 时,直线l 的方程为y =k x -2 ,直线过定点2,0 ,与已知矛盾,当m 2=-103k 时,直线l 的方程为y =k x -103,过定点103,0 (ii )当直线EF 斜率不存在时,由对称性不妨设直线DE ：y =x -2,与双曲线C 方程联立解得x E =x F =103,此时EF 也过点M 103,0 ,综上,直线EF 过定点M 103,0 .由于DG ⊥EF ,所以点G 在以DM 为直径的圆上,H 为该圆圆心,GH 为该圆半径,所以存在定点H 83,0,使GH 为定值23.11.(2023届四川省达州市开江县高三上学期考试)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，F 1、F 2为椭圆C 的左、右焦点,过点F 1的任意直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,且△ABF 2的周长为8,椭圆C 的离心率为12.(1)椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的任一点,PM 、PN 为过焦点F 1、F 2的弦,且PF 1 =λ1F 1M ，PF 2 =λ2F 2N,求λ1+λ2的值.【解析】(1)由题意可知, △ABF 2的周长为AF 1+AF 2+BF 1+BF 2=4a =8.所以a =2,又c a =12,所以c =1,则b =3,所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)不妨令P x 0，y 0 ，M x 1，y 1 ，N x 2，y 2 .所以x 204+y 203=1,即3x 20+4y 20=12.当y 0≠0时,不妨设直线PM 为x =m 1y -1,其中m 1=x 0+1y 0.直线PN 为x =m 2y +1,其中m 2=x 0-1y 0.联立方程3x 2+4y 2=12x =m 1y -1 ,得3m 21+4 y 2-6m 1y -9=0.所以y 0y 1=-93m 21+4,即1y 1=3m 21+4 y 0-9.同理可得：1y 2=3m 22+4 y 0-9.又PF 1 =λ1F 1M ，PF 2 =λ2F 2M .所以λ1y 1+y 0=0λ2y 2+y 0=0.则λ1+λ2=-y 01y 1+1y 2=y 2093m 21+m 22 +8 =y 203m 21+m 22 +8y 209=13m 1y 0 2+m 2y 0 2+8y 209=13x 0+1 2+x 0-1 2+8y 209=293x 20+4y 20 +23=103,综上所述,λ1+λ2=103.12.(2022届上海市普陀区高三一模)已知点M x ,y 与定点F 1,0 的距离是点M 到直线x -2=0距离的22倍,设点M 的轨迹为曲线Γ,直线l :x +my +1=0m ∈R 与Γ交于A 、B 两点,点C 是线段AB 的中点,P 、Q 是Γ上关于原点O 对称的两点,且PO =λOCλ>0 .(1)求曲线Γ的方程；(2)当λ=3时,求直线l 的方程；(3)当四边形PAQB 的面积S =6时,求λ的值.【解析】(1)由题意可得x -12+y 2x -2=22,化简可得x 22+y 2=1,因此,曲线Γ的方程为x 22+y 2=1.(2)设点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ,联立x +my +1=0x 22+y 2=1,可得m 2+2 y 2+2my -1=0,Δ=4m 2+4m 2+2 =8m 2+1 >0,由韦达定理可得y 1+y 2=-2m m 2+2,y 1y 2=-1m 2+2,则y 1+y 22=-m m 2+2,x 1+x 22=-m ⋅y 1+y 22-1=-2m 2+2,所以点C 的坐标为-2m 2+2,-mm 2+2,因为PO =3OC =-23m 2+2,-3m m 2+2,可得点P 23m 2+2,3m m 2+2 ,将点P 的坐标代入曲线Γ的方程得6+3m 2m 2+22=3m 2+2=1,解得m =±1,因此,直线l 的方程为x ±y +1=0.(3)由(2)可得PO =λOC =-2λm 2+2,-λm m 2+2 ,则点P 2λm 2+2,λmm 2+2,则点Q -2λm 2+2,-λmm 2+2,因为点P 在曲线Γ上,则2λ2+λ2m 2m 2+22=1,可得λ2=m 2+2,因为λ>0,则λ=m 2+2≥2,点P 到直线l 的距离为d 1=2λ+λm 2m 2+2+1m 2+1=λ+1m 2+1,点Q 到直线l 的距离为d 2=-2λ+λm 2m 2+2+1m 2+1=λ-1m 2+1,AB =1+m 2⋅y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+m 2⋅-2m m 2+2 2+4m 2+2=22m 2+1 m 2+2,所以,S =12AB ⋅d 1+d 2 =12×22m 2+1 m 2+2×2λm 2+1=22⋅λ2-1λ=6,因为λ>0,解得λ=2.13.(2022届内蒙古赤峰市高三上学期11月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦点恰为椭圆D :x 24+y 23=1长轴的端点,且C 的短轴长为2(1)求椭圆C 的方程．(2)若直线l 与直线y =2x -1平行,且l 与C 交于A ,B 两点,M 1,0 ,求MA ⋅MB的最小值．【解析】(1)由椭圆D :x 24+y 23=1,可得其长轴的端点分别为(-2,0),(2,0),根据题意,可得a 2-b 2=42b =2 ,解得a 2=5,b 2=1,故C 的方程为x 25+y 2=1．(2)设直线l 的方程为y =2x +m m ≠-1 ,联立方程组x 25+y 2=1y =2x +m,整理得21x 2+20mx +5m 2-5=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 1+x 2=-20m 21,x 1x 2=5m 2-521,且Δ=400m 2-845m 2-5 =2021-m 2 >0,解得m 2<21且m ≠-1所以MA ⋅MB=x 1-1 x 2-1 +y 1y 2=x 1x 2-x 1+x 2 +1+2x 1+m 2x 2+m=5x 1x 2+(2m -1)x 1+x 2 +m 2+1=25m 2-25-40m 2+20m +21m 2+2121=6m 2+20m -421因为6m 2+20m -4=6m +53 2-623,其中m 2<21且m ≠-1,所以当m =-53时,6m 2+20m -4取得最小值,且最小值为-623,故MA ⋅MB 的最小值为-6263．14.(2022届辽宁省大连市高三上学期期中)在平面直角坐标系xOy 中,点D ,E 的坐标分别为-2,0 ,2,0 ,P 是动点,且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,与y 轴交于点M ,若存在m 使得OA +3OB =4OM,求m 的取值范围.【解析】(1)设P x ,y ,则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ,所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ,由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ,x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0,即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0,且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1, 又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1,则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1,∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0,∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m 2+1-m 2>0,14<m 2<1,解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 15.(2022届河北省邢台市“五岳联盟”部分重点学校高三上学期12月联考)已知点F 1,F 2是已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点,点P 在椭圆上,当∠PF 1F 2=π3时,△PF 1F 2面积达到最大,且最大值为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 2的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,且两点与左右顶点不重合,若F 1M =F 1A +F 1B,求四边形AMBF 1面积的取值范围.【解析】(1)由题可知,当点P 在短轴端点时,△PF 1F 2的面积最大,且为正三角形,∴bc =3,b =3c ,又a 2=b 2+c 2,由bc =3b =3c a 2=b 2+c 2,解得a =2b =3c =1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,AB :x =my +1,则由x =my +1x 24+y 23=1,可得3(my +1)2+4y 2=12,即3m 2+4 y 2+6my -9=0,Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 >0,又因为F 1M =F 1A +F 1B,所以四边形AMBF 1是平行四边形,设平面四边形AMBF 1的面积为S ,则S =2S △ABF 1=2×12F 1F 2 ×y 1-y 2 =2×12F 1F 2 ×y 1+y 22-4y 1y 2=2×144m 2+13m 2+4=24×m 2+13m 2+4.设t =m 2+1,则m 2=t 2-1(t ≥1),所以S =24×t 3t 2+1=24×13t +1t 因为t ≥1,而对勾函数y =3t +1t 在[1,+∞)上单调递增,所以3t +1t≥4,所以S ∈(0,6].所以四边形AMBF 1面积的取值范围为(0,6].16.(2022届四川省成都市高三上学期期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ,右焦点为F ,过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A ,B ,且以AO 为直径的圆过点B ,其中O 为坐标原点.(1)求椭圆的离心率e ；(2)若b =1,过点F 作与直线AB 平行的直线l ,l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点.①求k OP ⋅k OQ 的值；②点M 满足2OM =OP ,直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ,求NMNQ的值.【解析】(1)依题意,如图,△ABO ,∠ABO =π2,OA =a ,∠BAO =π6,OB =a 2,则B -a 4,3a4,而点B 在椭圆C 上,于是得：a 216a 2+3a 216b 2=1,整理得a 2=5b 2,即a =5b ,c =a 2-b 2=2b ,所以椭圆的离心率e =c a =255.(2)①由(1)及b =1得,a =5,椭圆C 的方程为x 25+y 2=1,而直线l 与直线AB 平行,则直线l 的方程为x =3y +2,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,由x =3y +2x 2+5y 2=5消去x 得：8y 2+43y -1=0,显然�>0于是得y 1+y 2=-32,y 1y 2=-18,x 1x 2=(3y 1+2)(3y 2+2)=3y 1y 2+23(y 1+y 2)+4=58,所以k OP ⋅k OQ =y 1y 2x 1x 2=-15.②因2OM =OP ,由①得M x 12,y 12 ,设N x 3,y3 ,NM NQ=λ(0<λ<1),则NM =λNQ ,NM =x 12-x 3,y 12-y 3 ,NQ =x 2-x 3,y 2-y 3 ,x 12-x 3=λx 2-x 3 y 12-y 3=λy 2-y 3 ,即x 1-2λx 2=2(1-λ)x 3y 1-2λy 2=2(1-λ)y 3 ,解得x 3=12(1-λ)x 1-2λx 2 y 3=12(1-λ)y 1-2λy 2,而P ,Q ,N 都在椭圆上,即x 21+5y 21=5,x 22+5y 22=5,x 23+5y 23=5,x 1-2λx 2 24(1-λ)2+5⋅y 1-2λy 2 24(1-λ)2=5,整理得：x 21+5y 21+4λ2x 22+5y 22 -4λx 1x 2+5y 1y 2 =20(1-λ)2,由①可知x 1x 2+5y 1y 2=0,则有1+4λ2=4(1-λ)2,解得λ=38,所以NM NQ 的值是38.17.(2022届广东省江门市高三上学期10月月考)设i ,j分别是平面直角坐标系中x ,y 轴正方向上的单位向量,若向量a =(x +2)i +yj ,b =(x -2)i +yj ,且a+b =8,其中x ,y ∈R .(1)求动点M (x ,y )的轨迹E 的方程；(2)过点(3,0)作直线l 与轨迹E 交于A ,B 两点,设OP =OA+OB ,是否存在直线l ,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,试说明理由.【解析】(1)由题意得a=(x +2,y ),b =(x -2,y ),∴a+b =8,∴(x +2)2+y 2+(x -2)2+y 2=8,设F 1(-2,0),F 2(2,0),则动点M 满足MF 1 +MF 2 =8>F 1F 2 =4,由椭圆的定义可知动点M 的轨迹是以F 1(-2,0),F 2(2,0)为焦点的椭圆,设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),则2a =8,2c =4,∴a =4,c =2,b 2=42-22=12,故轨迹E 的方程为x 216+y 212=1(2)存在满足条件的直线l .设直线l 的方程为x =ky +3,由方程组x =ky +3x 216+y 212=1,消去x ,整理得：(3k 2+4)y 2+18ky -21=0则Δ=(18k )2+84(3k 2+4)>0恒成立,即直线l 与椭圆E 恒有两个不同的交点,设交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=-18k 3k 2+4①,y 1⋅y 2=-213k 2+4②由OP =OA +OB 得OP -OA=OB ,即AP =OB ,∴四边形OAPB 为平行四边形若存在直线l 使四边形OAPB 为矩形,则OA ⊥OB ,OA⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0即(ky 1+3)(ky 2+3)+y 1y 2=(k 2+1)y 1y 2+3k (y 1+y 2)+9=0③将①､②代入③式得：-18k (k 2+1)3k 2+4-54k 23k 2+4+9=0,解得k =±54,所以直线l 的方程为x =±54y +3,此时四边形OAPB 为矩形.18.过双曲线Γ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1的动直线l 与Γ的左支交于A ,B 两点,设Γ的右焦点为F 2.(1)若△ABF 2是边长为4的正三角形,求此时Γ的标准方程；(2)若存在直线l ,使得AF 2⊥BF 2,求Γ的离心率的取值范围.【解析】(1)依题意,结合双曲线的对称性得AF 1 =2,AF 2 =4,F 1F 2 =23,所以2a =|AF 2|-|AF 1|=2,a =1,2c =F 1F 2 =23,c =3,b 2=c 2-a 2=2,此时Γ的标准方程为x 2-y 22=1.(2)依题意知直线l 的斜率不为0,设l 的方程为x =my -c ,联立x =my -c x 2a 2-y 2b2=1,消去x ,得(b 2m 2-a 2)y 2-2b 2cm y +b 4=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=2b 2cm b 2m 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2m 2-a 2, 由AF 2⊥BF 2得AF 2 ⋅BF 2=0,故(x 1-c )(x 2-c )+y 1y 2=0,即(my 1-2c )(my 2-2c )+y 1y 2=0,整理得m 2+1 y 1y 2-2cm y 1+y 2 +4c 2=0,即(m 2+1)b 4-4m 2c 2b 2+4c 2(b 2m 2-a 2)=0,则(m 2+1)b 4=4a 2c 2,所以m 2+1=4a 2c 2b4≥1,故4a 2c 2≥(c 2-a 2)2,所以c 4+a 4-6a 2c 2≤0,两边除以a 4,得e 4-6e 2+1≤0,解得3-22≤e 2≤3+22,又因为e >1,所以1≤e 2≤1+2 2,故1≤e ≤1+2,又A ,B 在左支且l 过F 1,所以y 1y 2<0,即b 4b 2m 2-a 2<0,故m 2<a 2b2,所以m 2+1=4a 2c 2b 4<a2b2+1,所以4a 2c 2<a 2b 2+b 4=b 2a 2+b 2 =b 2c 2,即4a 2<b 2=c 2-a 2,则5a 2<c 2,故e 2>5,即e >5,综上：5<e ≤1+2,即e ∈5,1+2 .。
圆锥曲线方程知识点总结
2011年圆锥曲线方程知识点总结1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如 (08宣武一模) 已知P 为抛物线221x y =上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是)217,6(，则PM PA +的最小值是 _____ （答：219）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。
高考数学圆锥曲线专题复习
圆锥曲线一、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中,如果某曲线C 看作适合某种条件的点的集合或轨迹 上的点与一个二元方程fx,y=0的实数解建立了如下的关系：1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.点与曲线的关系 若曲线C 的方程是fx,y=0,则点P 0x 0,y 0在曲线C 上⇔fx 0,y=0；点P 0x 0,y 0不在曲线C 上⇔fx 0,y 0≠0两条曲线的交点 若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1x,y=0,f 2x,y=0,则 f 1x 0,y 0=0 点P 0x 0,y 0是C 1,C 2的交点⇔f 2x 0,y 0 =0方程组有n 个不同的实数解,两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解,曲线就没有 交点.2.圆圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝,其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程： 1标准方程圆心在ca,b,半径为r 的圆方程是x-a 2+y-b 2=r 2圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 22一般方程当D 2+E 2-4F ＞0时,一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为-2D ,-2E,半径是24F-E D 22+.配方,将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为x+2D 2+y+2E 2=44F -E D 22+当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点-2D ,-2E; 当D 2+E 2-4F ＜0时,方程不表示任何图形.点与圆的位置关系 已知圆心Ca,b,半径为r,点M 的坐标为x 0,y 0,则 ｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内,｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上,｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内,其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +. 3直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点②直线和圆的位置关系的判定 i 判别式法ii 利用圆心Ca,b 到直线Ax+By+C=0的距离d=22C Bb Aa BA +++与半径r 的大小关系来判定.3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识4.圆锥曲线的统一定义平面内的动点Px,y到一个定点Fc,0的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数ee＞0,则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点Fc,0称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.当0＜e＜1时,轨迹为椭圆,当e=1时,轨迹为抛物线当e＞1时,轨迹为双曲线5.坐标变换坐标变换在解析几何中,把坐标系的变换如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴.坐标轴的平移公式设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y,在新坐标系x ′O′y′中的坐标是x′,y′.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy 中的坐标是h,k,则x=x′+h x′=x-h1 或2y=y′+k y′=y-k公式1或2叫做平移或移轴公式.中心或顶点在h,k的圆锥曲线方程见下表.方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-(xa+22k)-(yb=1 ±c+h,k x=±ca2+hx=hy=k 22h)-(xb+22k)-(ya=1h,±c+k y=±ca2+kx=hy=k双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 ±c+h,k=±ca2+kx=hy=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 h,±c+h y=±ca2+kx=hy=k抛物线y-k2=2px-h2p+h,k x=-2p+h y=ky-k2=-2px-h -2p+h,k x=2p+h y=kx-h2=2py-k h,2p+k y=-2p+k x=hx-h2=-2py-k h,-2p+k y=2p+k x=h二、知识点、能力点提示一曲线和方程,由已知条件列出曲线的方程,曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系,然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形,是否满足已知条件,只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外,要求会判断曲线间有无交点,会求曲线的交点坐标.三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. 1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程；. 2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. 3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. 4了解圆锥曲线的初步应用;四．对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3题1个选择题, 1个填空题, 1个解答题, 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题常作为数学高考中的压轴题,综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力,重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视;求圆锥曲线的方程复习要点求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点,主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力,解决好这类问题,除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外,命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题,解决这类问题常用定义法和待定系数法.一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx 2+ny 2=1m ＞0,n ＞0.定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小. 例题【例1】 双曲线2224b y x =1b ∈N 的两个焦点F 1、F 2,P 为双曲线上一点,|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列,则b 2=_________.解：设F 1－c ,0、F 2c ,0、Px ,y ,则 |PF 1|2+|PF 2|2=2|PO |2+|F 1O |2＜252+c 2, 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,又∵|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1|－|PF 2|2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义,有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317,又∵c 2=4+b 2＜317,∴b 2＜35,∴b 2=1.【例2】 已知圆C 1的方程为()()3201222=-+-y x ,椭圆C 2的方程为12222=+b y a x ()a b >>0,C 2的离心率为22,如果C 1与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程;解：由,2,22,22222b c a a c e ====得设椭圆方程为.122222=+b y b x设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A 又,12,12222222221221=+=+b y b x b y b x两式相减,得.022222122221=-+-b y y b x x 又.1.2.421212121-=--=+=+x x yy y y x x 得即3+-=x y 将得代入,1232222=++-=b y b x x y由.3204)(222122121=-+=-=x x x x x x B A 得.3203722422=-⋅b 解得 .82=b 故所有椭圆方程.181622=+y x【例3】 过点1,0的直线l 与中心在原点,焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆C 相交于A 、B 两点,直线y =21x 过线段AB 的中点,同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称,试求直线l 与椭圆C 的方程. 解法一：由e =22=a c ,得21222=-a b a ,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,Ax 1,y 1,Bx 2,y 2在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得,x 12－x 22+2y 12－y 22=0,.)(221212121y y x x x x y y ++-=--设AB 中点为x 0,y 0,则k AB =－02y x , 又x 0,y 0在直线y =21x上,y 0=21x 0,于是－02y x =－1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1.右焦点b ,0关于l 的对称点设为x由点1,1－b 在椭圆上,得1+21－b 2=2b 2,b 2=89,1692=a .∴所求椭圆C的方程为2291698y x + =1,l的方程为y =－x +1.解法二：由e =21,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b .设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =kx －1, 将l 的方程代入C 的方程,得1+2k 2x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0, 则x 1+x 2=22214k k +,y 1+y 2=kx 1－1+kx 2－1=kx 1+x 2－2k =－2212k k +.直线l ：y =21x 过AB 的中点2,22121y y x x ++,则2222122121k k k k +⋅=+-, 解得k =0,或k =－1.若k =0,则l 的方程为y =0,焦点Fc ,0关于直线l 的对称点就是F 点本身,不能在椭圆C 上,所以k =0舍去,从而k =－1,直线l 的方程为y =－x －1,即y =－x +1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为)1()0(12222>>=+b a by ax直线l 不平行于y 轴,否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过21=中点矛盾; 故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为)()(2211y x B y x A ，，设,22222212ba k a k x x +=+知：21221=+-x x k k ,212222222=+⋅-∴a k b a k k k ,2122=--∴ka b k k ,22=e 又122)(22222222-=+-=--=-=∴e a c a a b k ,x y l -=∴1的方程为直线,222b a =此时,02243)3(22=-+-b x x 化为方程,0)13(8)1(241622>-=--=∆b b33>∴b ,)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆,2222b b a c =-=又,)0(，右焦点b F ∴,)(00y x l F ，的对称点关于直线设点,则b y x b x y b x y -=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==-11212100000，, 得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+,3343>=∴b ,1692=∴b , 892=a 所以所求的椭圆方程为：11698922=+y x 【例4】 如图,已知△P 1OP 2的面积为427,P 为线段P 1P 2的一个三等分点,求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程.解：以O 为原点,∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2222by ax -=1a ＞0,b ＞0由e 2=2222)213()(1=+=a b a c ,得23=a b .∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－23x设点P 1x 1, 23x 1,P 2x 2,－23x 2x 1＞0,x 2＞0,则由点P 分21P P 所成的比λ=21PP PP =2,得P 点坐标为22,322121x x x x -+,又点P 在双曲线222294ay ax -=1上, 所以222122219)2(9)2(a x x a x x --+=1,即x 1+2x 22－x 1－2x 22=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①即x 1x 2= 29②由①、②得a 2=4,b 2=9 故双曲线方程为9422y x -=1.【例5】 过椭圆C ：)0(12222>>=+b a b x a y 上一动点P 引圆O ：x 2 +y 2 =b 2的两条切线P A 、P B ,A 、B 为切点,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于M 、N 两点;1 已知P 点坐标为x 0,y 0 并且x 0y 0≠0,试求直线AB 方程；2 若椭圆的短轴长为8,并且1625||||2222=+ON b OM a ,求椭圆C 的方程；3 椭圆C 上是否存在点P,由P 向圆O 所引两条切线互相垂直若存在,请求出存在的条件；若不存在,请说明理由; 解：1设Ax 1,y 1,Bx 2, y 2切线P A ：211b y y x x =+,P B ：222b y y x x =+ ∵P 点在切线P A 、P B 上,∴202022101b y y x x b y y x x =+=+∴直线AB 的方程为)0(00200≠=+y x b y y x x2在直线AB 方程中,令y =0,则M 02x b ,0；令x =0,则N0,2y b∴1625)(||||22220220222222==+=+ba b x a y b a ON b OM a ①∵2b =8 ∴b =4 代入①得a 2 =25, b 2 =16 ∴椭圆C 方程：)0(1162522≠=+xy x y 注：不剔除xy ≠0,可不扣分3 假设存在点P x 0,y 0满足P A ⊥P B ,连接O A 、O B 由|P A |=|P B |知,四边形P A O B 为正方形,|OP|=2|O A | ∴220202b y x =+ ① 又∵P 点在椭圆C 上 ∴22202202b a y b x a =+ ②由①②知x2222202222220,)2(b a b a y b a b a b -=--=∵a >b >0 ∴a 2－b 2>01当a 2－2b 2>0,即a >2b 时,椭圆C 上存在点,由P 点向圆所引两切线互相垂直； 2当a 2－2b 2<0,即b <b 时,椭圆C 上不存在满足条件的P 点【例6】 已知椭圆C 的焦点是F 1－3,0、F 23,0,点F 1到相应的准线的距离为33,过F 2点且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,使得|F 2B|=3|F 2A|.1求椭圆C 的方程；2求直线l 的方程. 解：1依题意,椭圆中心为O0,0,3=c点F 1到相应准线的距离为1333,322=⨯=∴=b cb, a 2=b 2+c 2=1+3=4∴所求椭圆方程为1422=+y x2设椭圆的右准线l '与l 交于点P,作AM ⊥l ',AN⊥l ',垂足分别为M 、N. 由椭圆第二定义, 得||||||||22AM e AF e AM AF =⇒=同理|BF 2|=e|BN| 由Rt △PAM ～Rt △PBN,得||2||2||21||2AM e A F AB PA ===…9分 l ePA AM PAM ⇒=⨯===∠∴33232121||||cos 的斜率2tan =∠=PAM k .∴直线l 的方程062)3(2=---=y x x y 即【例7】 已知点B －1,0,C1,0,P 是平面上一动点,且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅1求点P 的轨迹C 对应的方程；x2已知点Am,2在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE,且AD ⊥AE,判断：直线DE 是否过定点试证明你的结论.3已知点Am,2在曲线C 上,过点A 作曲线C 的两条弦AD,AE,且AD,AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点,并求出这个定点.解：1设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入【例8】 已知曲线332)0,0(12222=>>=-e b a by ax 的离心率,直线l 过A a ,0、B0,－b 两点,原点O 到l 的距离是.23 Ⅰ求双曲线的方程；Ⅱ过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点,若23-=⋅ON OM ,求直线m 的方程. 解：Ⅰ依题意,,0,1=--=-+ab ay bx byax l 即方程 由原点O 到l 的距离为23,得2322==+c ab ba ab 又332==ac e 3,1==∴a b故所求双曲线方程为1322=-y xⅡ显然直线m 不与x 轴垂直,设m 方程为y =k x －1,则点M 、N 坐标11,y x 、22,y x 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=13122y x kx y 的解 消去y ,得066)31(22=-+-kx x k ① 依设,,0312≠-k 由根与系数关系,知136,136221221-=-=+k x x k k x x =1)()1(21212++-+x x k x x k =113613)1(62222+---+k k k k =11362+-k23-=⋅ON OM ∴11362+-k =－23,k=±21 当k=±21时,方程①有两个不等的实数根 故直线l 方程为121,121--=-=x y x y 或【例9】 已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值,且21cos PF F ∠的最小值为91-．1求动点P 的轨迹方程；2若已知)3,0(D ,M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=,求实数λ的取值范围． 解：1由已知可得： 5=c ,912)2(2222-=-+a c a a ∴ 4,92222=-==c a b a∴ 所求的椭圆方程为 14922=+y x . 2方法一：由题知点D 、M 、N 共线,设为直线m,当直线m 的斜率存在时,设为k,则直线m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 4+9k 2 x 2 +54 k +45 = 0 ① 由判别式 045)94(4)54(22≥⨯+⨯-=∆k k ,得952≥k . 再设M x 1 , y 1 , N x 2 , y 2,则一方面有))3(,()3,()3,(222211-=-==-=y x y x DN y x DM λλλλ,得另一方面有 2219454kk x x +-=+,2219445k x x += ②将21x x λ=代入②式并消去 x 2可得94)1(532422+=+k λλ,由前面知, 536402≤<k ∴ 581)1(532492≤+<λλ,解得 551<<λ.又当直线m 的斜率不存在时,不难验证：551==λλ或, 所以 551≤≤λ为所求;方法二:同上得设点M 3cos α,2sin α,N 3cos β,2sin β 则有⎩⎨⎧-=-=)3sin 2(3sin 2cos cos βλαβλα由上式消去α并整理得)(1251813sin 22λλλλβ-+-=, 由于1sin 1≤≤-β∴ 1)(1251813122≤-+-≤-λλλλ, 解得551≤≤λ为所求. 方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5,最小值为1. 进而推得λ的取值范围为551≤≤λ;求圆锥曲线的方程练习一、选择题1．已知直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP ⊥OQ ,则m 等于B.－3D.－12．中心在原点,焦点在坐标为0,±52的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标为21,则椭圆方程为二、填空题3．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ,若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点,那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.4．已知圆过点P 4,－2、Q －1,3两点,且在y 轴上截得的线段长为43,则该圆的方程为_________.三、解答题5．已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,它的一个焦点为F ,M 是椭圆上的任意点,|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2,且|M 1M 2|=3104,试求椭圆的方程.6．某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.7．已知圆C 1的方程为x －22+y －12=320,椭圆C 2的方程为2222by ax +=1a ＞b ＞0,C 2的离心率为22,如果C 1与C 2相交于A 、B 两点,且线段AB 恰为圆C 1的直径,求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.参考答案一、1.解析：将直线方程变为x =3－2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x －6y +m =0, 得3－2y 2+y 2+3－2y +m =0.整理得5y 2－20y +12+m =0,设Px 1,y 1、Qx 2,y 2 则y 1y 2=512m +,y 1+y 2=4.又∵P 、Q 在直线x =3－2y 上, ∴x 1x 2=3－2y 13－2y 2=4y 1y 2－6y 1+y 2+9 故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2－6y 1+y 2+9=m －3=0,故m =3. 答案：A2.解析：由题意,可设椭圆方程为：2222b x a y + =1,且a 2=50+b 2,即方程为222250b x b y ++=1.将直线3x －y －2=0代入,整理成关于x 的二次方程. 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75. 答案：C二、3.解析：所求椭圆的焦点为F 1－1,0,F 21,0,2a =|PF 1|+|PF 2|.欲使2a 最小,只需在直线l 上找一点P .使|PF 1|+|PF 2|最小,利用对称性可解.答案：4522y x + =14.解析：设所求圆的方程为x －a 2+y －b 2=r 2则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-+--=--+-222222222)32(||)3()1()2()4(ra rb a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒2745130122r b a r b a 或由此可写所求圆的方程.答案：x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y +4=0三、5.解：|MF |ma x =a +c ,|MF |min =a －c ,则a +ca －c =a 2－c 2=b 2, ∴b 2=4,设椭圆方程为14222=+y a x ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m② 将②代入①得：4+a 2x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0③设M 1x 1,y 1、M 2x 2,y 2,M 1M 2的中点为x 0,y 0, 则x 0=21x 1+x 2=224a m a +,y 0=－x 0+m =244a m +.代入y =x ,得222444amam a +=+,由于a 2＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2244aa +,又|M 1M 2|=31044)(221221=-+x x x x ,代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2=5,故所求椭圆方程为：4522y x + =1.6.解：以拱顶为原点,水平线为x 轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB |=20,|OM |=4,A 、B 坐标分别为－10,－4、10,－4 设抛物线方程为x 2=－2py ,将A 点坐标代入,得100=－2p ×－4,解得p =, 于是抛物线方程为x 2=－25y .由题意知E 点坐标为2,－4,E ′点横坐标也为2,将2代入得y =－,从而|EE ′|=－－－4=.故最长支柱长应为米.7.解：由e =22,可设椭圆方程为22222b y b x +=1,又设Ax 1,y 1、Bx 2,y 2,则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 又2222222212212,12by bx by bx +=+=1,两式相减,得22221222212by y bx x -+-=0,即x 1+x 2x 1－x 2+2y 1+y 2y 1－y 2=0. 化简得2121x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3, 代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0. 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3204)(221221=-+x x x x ,得3209722422=-⋅b ,解得b 2=8.故所求椭圆方程为81622y x +=1.直线与圆锥曲线复习要点直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能.1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长即应用弦长公式；涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍. 例题【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在坐标轴上,直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ,且OP ⊥OQ ,|PQ |=210,求椭圆方程.解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1m ＞0,n ＞0,Px 1,y 1,Qx 2,y 2 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1122ny mx x y 得m +nx 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4m +nn －1＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+x 1+x 2+1=0, ∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2①又2)210()(4=+-+nm mn n m 2, 将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1.【例2】 如图所示,抛物线y 2=4x 的顶点为O ,点A 的坐标为5,0,倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交不经过点O 或点A 且交抛物线于M 、N 两点,求△AMN 面积最大时直线l 的方程,并求△AMN 的最大面积.解：由题意,可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+2m －4x +m 2=0……………①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ,∴方程①的判别式Δ=2m －42－4m 2=161－m ＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为－5,0设Mx 1,y 1,Nx 2,y 2则x 1+x 2=4－2m ,x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=25+m m -1,从而S △2=41－m 5+m 2 =22－2m ·5+m 5+m ≤235522mm m ++++-3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1,△AMN 的最大面积为82.【例3】 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P 1,2;1求过P 1,2点的直线l 的斜率取值范围,使l 与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点;2若Q 1,1,试判断以Q 为中点的弦是否存在.解：1当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x =1, 与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y －2=kx －1, 代入C 的方程,并整理得2－k 2x 2+2k 2－2kx －k 2+4k －6=0………………ⅰ当2－k 2=0,即k =±2时,方程有一个根,l 与C 有一个交点 ⅱ当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=2k 2－2k 2－42－k 2－k 2+4k －6=163－2k①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时,方程有一个实根,l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时,方程有两不等实根,l 与C 有两个交点.③当Δ＜0,即k ＞23时,方程无解,l 与C 无交点.综上知：当k =±2,或k =23,或k 不存在时,l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时,l 与C 有两个交点；当k ＞23时,l 与C 没有交点.2假设以Q 为中点的弦存在,设为AB ,且Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2x 1－x 2x 1+x 2=y 1－y 2y 1+y 2又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2x 1－x 2=y 1－y 1 即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点,所以假设不正确,即以Q 为中点的弦不存在.【例4】 如图,已知某椭圆的焦点是F 1－4,0、F 24,0,过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ,且|F 1B |+|F 2B |=10,椭圆上不同的两点Ax 1,y 1,Cx 2,y 2满足条件：|F 2A |、|F 2B |数列.1求该弦椭圆的方程； 2求弦AC 中点的横坐标；3设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx 求m 的取值范围.解：1由椭圆定义及条件知,2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3.故椭圆方程为92522y x +=1.2由点B 4,y B 在椭圆上,得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54,根据椭圆定义,有|F 2A |=54425－x 1,|F 2C |=54425－x 2,由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列,得54425－x 1+54425－x 2=2×59,由此得出：x 1+x 2=8.设弦AC 的中点为Px 0,y 0,则x 0=221x x +=4.3解法一：由Ax 1,y 1,Cx 2,y 2在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x①－②得9x 12－x 22+25y 12－y 22=0, 即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0x 1≠x 2 将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ k ≠0代入上式,得9×4+25y 0－k1=0k ≠0即k =3625y 0当k =0时也成立.由点P 4,y 0在弦AC 的垂直平分线上,得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0.由点P 4,y 0在线段BB ′B ′与B 关于x 轴对称的内部, 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜516.解法二：因为弦AC 的中点为P 4,y 0,所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1x －4k ≠0③将③代入椭圆方程92522y x +=1,得9k 2+25x 2－50ky 0+4x +25ky 0+42－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解得k =3625y 0.当k =0时也成立①以下同解法一.【例5】 已知双曲线G 的中心在原点,它的渐近线与圆2210200x y x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ,使得l 和G 交于,A B 两点,和y 轴交于点C ,并且点P 在线段AB 上,又满足2PA PB PC ⋅=． 1求双曲线G 的渐近线的方程； 2求双曲线G 的方程；3椭圆S 的中心在原点,它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分,求椭圆S 的方程．解：1设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =, 则由渐近线与圆2210200x y x +-+==所以,12k =±．双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±． 2由1可设双曲线G 的方程为：224x y m -=．把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程,整理得2381640x x m ---=． 则8164, 33A B A B mx x x x ++==-∵ 2PA PB PC ⋅=,,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上, ∴ ()()()2P A B P P C x x x x x x --=-,即：()()4416B A x x +--=,整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将代入上式可解得：28m =．所以,双曲线的方程为221287x y -=． 3由题可设椭圆S的方程为：(222128x y a a+=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ,MN 的中点为()00,P x y ,则2211222222128128x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩． 两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a-+-++=由于12124y y x x -=--,1201202,2x x x y y y +=+= 所以,0024028x y a -=, 所以,垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x ya-=截在椭圆S 内的部分． 又由题,这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分,所以,211122a =．所以,256a =,椭圆S 的方程为：2212856x y +=． 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上也即化线段的关系为横坐标或纵坐标之间的关系是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题,常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具．【例6】 设抛物线过定点()1,0A -,且以直线1x =为准线．1求抛物线顶点的轨迹C 的方程；2若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ,且线段MN 恰被直线12x =-平分,设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+,试求m 的取值范围．解：1设抛物线的顶点为(),G x y ,则其焦点为()21,F x y -．由抛物线的定义可知：12AF A x ==点到直线的距离＝．所以2=．所以,抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2214y x += ()1x ≠．2因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标,由MN 所唯一确定．所以,要求m 的取值范围,还应该从直线l 与轨迹C 相交入手．显然,直线l 与坐标轴不可能平行,所以,设直线l 的方程为1:l y x b k=-+,代入椭圆方程得：由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ,所以,()22222441440b k b k k ⎛⎫+∆=--> ⎪⎝⎭,即：()222410 0k k b k -+>≠．又线段MN 恰被直线12x =-平分,所以,2212241M N bk x x k ⎛⎫+==⨯- ⎪+⎝⎭．所以,2412k bk +=-．代入可解得：() 022k k -<<≠． 下面,只需找到m 与k 的关系,即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为弦MN 的垂直平分线,故可考虑弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．在1:l y x b k=-+中,令12x =-,可解得：2011412222k y b k k k k +=+=-=-． 将点1,22P k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入y kx m =+,可得：32k m =-．所以,0m m <<≠． 从以上解题过程来看,求m 的取值范围,主要有两个关键步骤：一是寻求m 与其它参数之间的关系,二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发,我们可以得到下面的另一种解法：解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则由点,M N 为椭圆上的点,可知：22224444M M N N x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩． 两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+= 又由于01121, 2, 2M N M N M N M N y y x x y y y x x k -⎛⎫+=⨯-=-+=- ⎪-⎝⎭＝,代入上式得：02y k =-．又点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在弦MN 的垂直平分线上,所以,012y k m =-+． 所以,001324m y k y =+=． 由点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在线段BB ’上B ’、B 为直线12x =-与椭圆的交点,如图,所以,'0B B y y y <<．也即：0y <<所以,3333044m m -<<≠且 点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次项系数和判别式,有时借助图形的几何性质更为方便．涉及弦中点问题,利用韦达定理或运用平方差法时设而不求,必须以直线与圆锥曲线相交为前提,否则不宜用此法．从构造不等式的角度来说,“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN 的中点01,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆内”是等价的．【例7】 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点．又M 是其准线上一点．试证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．证明 依题意直线MA 、MB 、MF 的斜率显然存在,并分别设为1k ,2k ,3k 点A 、B 、M 的坐标分别为A 1x ,1y ,B 2x ,2y ,M 2p -,m由“AB 过点F 2p ,0”得 AB l ：2p ty x +=将上式代入抛物线px y 22=中得：0222=--p pty y可知221p y y -=⋅又依“1212px y =及2222px y =”可知 因此22221121p x my p x m y k k +-++-=+而p m p p m k -=---=)2(203故3212k k k =+即直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．【例8】 已知a =x,0,b =1,y )3()3(b a b a -⊥+1求点Px,y 的轨迹C 的方程；2若直线l ：y=kx+mkm ≠0与曲线C 交于A 、B 两端,D0,－1,且有|AD|=|BD|,试求m 的取值范围;解：1)3,3(),1(3)0,(y x y x a +=+=+∵((a a -⊥+∴((a a -⋅+=0∴0)3(3)3)(3(=-⋅+-+y y x x 得1322=-y x∴P 点的轨迹方程为1322=-y x2考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 消去y,得1－3k 2x 2－6kmx －3m 2－3=0 显然1－3k 2≠0 △=6km 2－4－3m 2－3=12m 2+1－3k 2>0设x 1,x 2为方程的两根,则221316kkmx x -=+ 故AB 中点M 的坐标为2313k km -,231k m-∴线段AB 的垂直平分线方程为：)313)(1(3122k kmx k k m y ---=--将D0,－1坐标代入,化简得：4m=3k 2－1故m 、k 满足⎪⎩⎪⎨⎧-=>-+134031222k m k m ,消去k 2得：m 2－4m>0 解得：m<0或m>4又∵4m=3k 2－1>－1 ∴m>－41 故m ),4()0,41(+∞⋃-∈.直线与圆锥曲线练习一、选择题1．斜率为1的直线l 与椭圆42x +y 2=1相交于A 、B 两点,则|AB |的最大值为B.554C.5104D.51082．抛物线y =ax 2与直线y =kx +bk ≠0交于A 、B 两点,且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有=x 1+x 2=x 1x 3+x 2x 3 +x 2+x 3=0+x 2x 3+x 3x 1=0二、填空题3．已知两点M 1,45、N －4,－45,给出下列曲线方程：①4x +2y －1=0,②x 2+y 2=3,③22x +y 2=1,④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是_________.4．正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上,C 、D 两点在抛物线y 2=x 上,则正方形ABCD 的面积为_________.5．在抛物线y 2=16x 内,通过点2,1且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________.三、解答题6．已知抛物线y 2=2pxp ＞0,过动点Ma ,0且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ,且|AB |≤2p .1求a 的取值范围.2若线段AB 的垂直平分线交x求△NAB 面积的最大值.7．已知中心在原点,顶点A 1、A 2在x e =321的双曲线过点P 6,6.1求双曲线方程.2动直线l 经过△A 1PA 2的重心G ,与双曲线交于不同的两点M 、N ,问：是否存在直线l ,使G 平分线段MN ,证明你的结论.8．已知双曲线C 的两条渐近线都过原点,且都以点A 2,0为圆心,1为半径的圆相切,双曲线的一个顶点A 1与A 点关于直线y =x 对称.1求双曲线C 的方程.2设直线l 过点A ,斜率为k ,当0＜k ＜1时,双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2,试求k 的值及此时B 点的坐标.直线与圆锥曲线参考答案一、1.解析：弦长|AB |=55422t -⋅⋅≤5104.答案：C2.解析：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==bkx y ax y 2,得ax 2－kx －b =0,可知x 1+x 2=ak ,x 1x 2=－ab ,x 3=－kb ,代入验证即可.答案：B二、3.解析：点P 在线段MN 的垂直平分线上,判断MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点.答案：②③④4.解析：设C 、D 所在直线方程为y =x +b ,代入y 2=x ,利用弦长公式可求出|CD |的长,利用|CD |的长等于两平行直线y =x +4与y =x +b 间的距离,求出b 的值,再代入求出|CD |的长.答案：18或505.解析：设所求直线与y 2=16x 相交于点A 、B ,且Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,代入抛物线方程得y 12=16x 1,y 22=16x 2,两式相减得,y 1+y 2y 1－y 2=16x 1－x 2.即⇒+=--21212116y y x x y y k AB =8. 故所求直线方程为y =8x －15. 答案：8x －y －15=0三、6.解：1设直线l 的方程为：y =x －a ,代入抛物线方程得x －a 2=2px ,即x 2－2a +px +a 2=0∴|AB |=224)(42a p a -+⋅≤2p .∴4ap +2p 2≤p 2,即4ap ≤－p 2又∵p ＞0,∴a ≤－4p .2设Ax 1,y 1、Bx 2,y 2,AB 的中点 Cx ,y , 由1知,y 1=x 1－a ,y 2=x 2－a ,x 1+x 2=2a +2p , 则有x =222,2212121ax x y y y p a x x -+=+=+=+=p .∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －p =－x －a －p ,从而N 点坐标为a +2p ,0点N 到AB 的距离为p a p a 22|2|=-+从而S △NAB =2222224)(4221p ap p p a p a +=⋅-+⋅⋅当a 有最大值－4p 时,S 有最大值为2p 2.7.解：1如图,设双曲线方程为2222b y a x -=1.由已知得321,16622222222=+==-ab a e b a ,解得a 2=9,b 2=12.所以所求双曲线方程为12922y x -=1.2P 、A 1、A 2的坐标依次为6,6、3,0、－3,0, ∴其重心G 的坐标为2,2假设存在直线l ,使G 2,2平分线段MN ,设Mx 1,y 1,Nx 2,y 2.则有34912441089121089122121212122222121==--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-x x y y y y x x y x y x ,∴k l =34∴l 的方程为y =34x －2+2,由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)2(3410891222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0.∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在. 8.解：1设双曲线的渐近线为y =kx ,由d =1|2|2+k k =1,解得k =±1.即渐近线为y =±x ,又点A 关于y =x 对称点的坐标为0,2. ∴a =2=b ,所求双曲线C 的方程为x 2－y 2=2.2设直线l ：y =kx －20＜k ＜1),依题意B 点在平行的直线l ′上,且l 与l ′间的距离为2.设直线l ′：y =kx +m ,应有21|2|2=++k m k ,化简得m 2+22k m=2. ②把l ′代入双曲线方程得k 2－1x 2+2mkx +m 2－2=0, 由Δ=4m 2k 2－4k 2－1m 2－2=0. 可得m 2+2k 2=2③②、③两式相减得k =2m ,代入③得m 2=52,解设m =510,k =552,此时x =2212=--k mk ,y =10.故B 22,10.。
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 复习课 第2课时 圆锥曲线
(4)椭圆的焦点一定在长轴上.( √ )
(5)椭圆的离心率决定椭圆的形状(即扁平程度).( √ )
(6)a,b,c,e中任两个量一定,椭圆的大小和形状一定.( √ )
(7)共渐近线的双曲线的离心率相同.( × )
(8)椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.( × )
√7
e.
分析:(1)由椭圆和双曲线有公共的焦点可得m,n的等量关系,从而求出双曲
线的渐近线方程;(2)写出直线AB的方程,由F1到直线AB的距离为
a,b,c的关系,结合a2=b2+c2求椭圆的离心率e.
2
2
2
2
2
(1)解析:由题意,得 3m -5n =2m +3n ,则 m =8n
2
3
2
2 3 2
B.y=± 2 x
√3
C.x=± y
4
√3
D.y=± x
4
+
2
=1(a>b>0)的左焦点为
2
如果 F1 到直线 AB
−
2
=1
2
3
有公共焦点,那么双
).
√15
A.x=± 2 y
2
(2)已知椭圆 2
2
和双曲线2 2
F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是两个顶点,
的距离为 ,求椭圆的离心率
3.双曲线的标准方程是什么?
提示:(1)如果双曲线的焦点在 x 轴上,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,焦点为
2
2
2
,焦距|F1F2|=2c,M(x,y)为双曲线上任一点,则 2
高三数学高考一轮复习系列教案第八章 圆锥曲线 大纲版
第八章圆锥曲线知识结构高考能力要求1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．4．了解圆锥曲线的初步应用．高考热点分析圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。
纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p 五个参数的求解．②圆锥曲线的几何性质的应用．2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．高考复习建议1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．2．计算能力的考查已引起高考命题者的重视,这一章的复习要注意突破“运算关”,要寻求合理有效的解题途径与方法．3．加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习，注重数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理的运用．4．重视圆锥曲线与平面向量、函数、方程、不等式、三角、平面几何的联系，重视数学思想方法的训练，达到优化解题思维、简化解题过程的目的．８．1 椭圆知识要点1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ．2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足： ．3．椭圆的几何性质(对12222=+by a x ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ．(4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则=1PF ，122PF a PF -== ．(6) 椭圆的参数方程为 ． 4．焦点三角形应注意以下关系： (1) 定义：r 1＋r 2＝2a(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)例题讲练【例1】 中心在原点，一个焦点为F 1(0，52)的椭圆被直线y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标为21，求此椭圆的方程．【例2】 已知点P(3, 4)是椭圆2222b y a x +＝1 (a >b >0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF 1F 2的面积．【例3】如图，射线OA 、OB 分别与x 轴、 y 轴所成的角均为︒30；已知线段PQ 的长度为2，并且保持线段的端点),(11y x P 在射线OA 上运动，点),(22y x Q 在射线OB 上运动(1) 试求动点),(21x x M 的轨迹C 的方程(2) 求轨迹C 上的动点N 到直线03=--y x 的距离的最大值和最小值．【例4】 （2005年全国卷I ）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与＝(3, －1)共线.(1) 求椭圆的离心率；(2) 设M 是椭圆上任意一点，且＝μλ+(λ、μ∈R)，证明22μλ+为定值.小结归纳 1．在解题中要充分利用椭圆的两种定义，灵活处理焦半径，熟悉和掌握a 、b 、c 、e 关系及几何意义，能够减少运算量，提高解题速度，达到事半功倍之效．2．由给定条件求椭圆方程，常用待定系数法．步骤是：定型——确定曲线形状；定位——确定焦点位置；定量——由条件求a 、b 、c ，当焦点位置不明确时，方程可能有两种形式，要防止遗漏．3．解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时，一般要从椭圆的定义入手考虑；椭圆的焦半径的取值范围是],[c a c a +-．4．“设而不求”，“点差法”等方法，是简化解题过程的常用技巧，要认真领会．5．解析几何与代数向量的结合，是近年来高考的热点，在2005年的考题中足以说明了这一点，应引起重视．基础训练题 一、选择题1． 动点M 到定点)0,4(1-F 和)0,4(2F 的距离的和为8，则动点M 的轨迹为 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．无图形 D ．两条射线2． (2005年全国高考试题III) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A ．22 B ．212- C ．2－2D ．2－13． （2004年高考湖南卷）F 1、F 2是椭圆C ：14822=+y x 的焦点，在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为（ ） A ．2个 B ．4个 C ．无数个 D ．不确定4． 椭圆171622=+y x 的左、右焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A ．32 B ．16 C ．8 D ．45． 已知点P 在椭圆(x －2)2＋2y 2＝1上，则xy的最小值为（ ）A ．36-B ．26-C ．6-D ．66-6． 我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”，设)0(12222>>=+b a by a x 是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于 （ ） A ．︒60 B ．︒75 C ．︒90 D ．︒120二、填空题 7． 椭圆400162522=+y x 的顶点坐标为 和 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ．8． 设F 是椭圆16722=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1，2， )，使得|FP 1|、|FP 2|、|FP 3|…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围是 ． 9． 设1F ，2F 是椭圆14322=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上一点，且121=-PF PF ，则得=∠21PF F ． 10．若椭圆2222)1(-+m y m x ＝1的准线平行于x 轴则m 的取值范围是 ．三、解答题11．根据下列条件求椭圆的标准方程(1) 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21．(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当∠21PF F 为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．13．(2005年高考湖南卷)已知椭圆C ：12222=+by a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为e ．直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A 、B 、M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ． (Ⅰ)证明：λ＝1－e 2；(Ⅱ)若λ＝43，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(Ⅲ)确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．提高训练题14．(2006年高考湖南卷)已知C 1：13422=+y x ，抛物线C 2：(y －m )2＝2px (p ＞0)，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求p 、m 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上；(Ⅱ)若p ＝34，且抛物线C 2的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程．15．（成都市2006届毕业班摸底测试）设向量i ＝(1, 0)，j ＝(0, 1)，＝(x ＋m )i ＋y j ，＝(x －m )i ＋y j ，且||＋||＝6，0< m < 3，x >0，y ∈R ． ( I )求动点P(x ，y )的轨迹方程；( II ) 已知点A(－1, 0)，设直线y ＝31(x －2)与点P 的轨迹交于B 、C 两点，问是否存在实数m ，使得AC AB ⋅＝31？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．8．2 双 曲 线知识要点 1．双曲线的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ．②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在．(2) 平面内动点P 到一个定点F 和一条定直线l (F 不在 上)的距离的比是常数e ，当∈e 时动点P 的轨迹是双曲线．设P 到1F 的对应准线的距离为d ，到2F 对应的准线的距离为2d ，则e d PF d PF ==22112．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12222=-b y a x ，焦点在 轴上；12222=-bx ay ，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0，=2a ．(2) 双曲线的标准方程的统一形式：)0(122<=+nm ny mx3．双曲线的几何性质(对0,0,122>>=-b a b y a x 进行讨论)(1) 范围：∈x ，∈y ．(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．(4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线开口越 ，焦准距P ＝ ．(5) 焦半径公式，设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若),(00y x P 是双曲线右支上任意一点，=1PF ，=2PF ，若),(00y x P 是双曲线左支上任意一点，=1PF ，=2PF ． (6) 具有相同渐近线x aby ±=的双曲线系方程为 (7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．(8) 12222=-b y a x 的共轭双曲线方程为 ．例题讲练【例1】 根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．(2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．【例2】 （04年高考湖北卷）直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【例3】 在双曲线1121322-=-y x 的一支上有不同的三点A(x 1，y 1)，B(x 2，6)，C(x 3，y 3)与焦点F(0，5)的距离成等差数列．(1)求y 1＋y 3；(2)求证：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求出这个定点的坐标．【例4】 （2004年高考全国卷II ）设双曲线C ：)0(1222>=-a y a x 与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点．(1) 求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2) 设直线l 与y 的交点为P ，且＝125，求a的值．小结归纳1．复习双曲线要与椭圆进行类比，尤其要注意它们之间的区别，如a 、b 、c 、e 的关系．2．双曲线的渐近线的探求是一个热点．①已知双曲线方程求渐近线方程；②求已知渐近线方程的双曲线方程．3．求双曲线的方程，经常要列方程组，因此，方程思想贯穿解析几何的始终，要注意定型（确定曲线形状）、定位（曲线的位置）、定量（曲条件求参数）．4．求双曲线的方程的常用方法： (1) 定义法．(2) 待定系数法．涉及到直线与圆锥曲线的交点问题，经常是“设而不求”．5．例2的第(1)问是数材P 132第13题的引申，因此高考第一轮复习要紧扣教材．6．对于直线与双曲线的位置关系，要注意“数形转化”“数形结合”，既可以转化为方程组的解的个数来确定，又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较，从“形”的角度来判断．基础训练题 一、选择题1． A 、B 是平面内两定点，动点P 到A 、B 两点的距离的差是常数，则P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．不能确定2． （04年高考湖南卷）如果双曲线1121322=-y x 上一点p 到右焦点的距离等于13，那么点p 到右焦线的距离是 （ ）A ．513 B ．13 C ．5D ．1353． 已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 （ ）A ．152022=-y x B ．152022±=-y x C ．120522=-y xD ．120522±=-y x4． （2005年高考湖南卷）已知双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右焦线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a ，（0为原点）则两条渐近线的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°5． 已知双曲线14922=-y x ，则过点A(3，1)且与双曲线仅有唯一的公共点的直线有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条6． (2005年江苏高考最后冲刺题) 设双曲线16x 2－9y 2＝144的右焦点为F 2，M 是双曲线上任意一点，点A 的坐标为（9，2），则|MA|＋53|MF 2|的最小值为（ ）A ．9B ．536C ．542D ．554二、填空题7． 中心在原点，坐标轴为对称轴，实轴与虚轴长之差为2，离心率为45的双曲线方程为 ．8． (2004年高考·吉林、四川)设中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆与双曲线12222=-y x 有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆方程为 ．9． （2006年高考湖南卷）过双曲线M ：1222=-b y x 的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|＝|BC|，则双曲线M 的离心率是 ．10．可以证明函数x bax y +=(b ≠0)的图象是双曲线，试问双曲线C ：xx y 33+=的离心率e 等于 ．三、解答题11．(1) 已知双曲线的渐近线方程为032=±yx ，且过点(2，－6)，求双曲线的方程；(2) 已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点为F(10，0)，离心率为e ＝2，求双曲线的方程． 12．ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．13．双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．提高训练题 14．已知动点p 与双曲线13222=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为－91．(1) 求动点p 的轨迹方程；(2) 若已知点D(0，3)，点M 、N 在动点p 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．15．(2005年武汉市高三调考)已知等轴双曲线C ：)0(222>=-a a y x 上一定点P(00,y x )及曲线C 点上两个动点A 、B ，满足0=⋅PB PA(1) M 、N 分别为PA 、PB 中点，求证：0=⋅ON OM (O 为坐标原点)；(2) 求|AB|的最小值及此时A 点坐标．抛 物 线 1．抛物线定义：离 的点的轨迹叫抛物线，焦点， 叫做抛物线的准线2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程① px y 22=，焦点为 ，准线为 ． ② px y 22-=，焦点为 ，准线为 ． ③ py x 22=，焦点为 ，准线为 ． ④ py x 22-=，焦点为 ，准线为 ． 3．抛物线的几何性质：对)0(22>=p px y 进行讨论． ① 点的范围： 、 ． ② 对称性：抛物线关于 轴对称． ③ 离心率=e ．④ 焦半径公式：设F 是抛物线的焦点，),(o o y x P 是抛物线上一点，则=PF ．⑤ 焦点弦长公式：设AB 是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)i) 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB ＝ ，21y y ．ii) 若AB 所在直线的倾斜角为θ()0≠θ则AB ＝ ．特别地，当θ2π=时，AB 为抛物线的通径，且AB ＝ ．iii) S △AOB ＝ （表示成P 与θ的关系式）．iv) ||1||1BF AF +为定值，且等于 ． 例题讲练【例1】 已知抛物线顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点),3(n A -到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n 的值．【例2】 已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B ．(1) 若316=AB ，求直线l 的方程．(2) 求AB 的最小值．【例3】 若A(3，2)，F 为抛物线x y 22=的焦点，P 为抛物线上任意一点，求PA PF +的最小值及取得最小值时的P 的坐标．【例4】 （05全国卷(Ⅲ)）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，两点在抛物线y ＝2x 2上，l 是AB 的垂直平分线．(1)当且仅当x 1＋x 2取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论？(2)当直线l 的斜率为2时，求在y 轴上的截距的取值范围．小结归纳 1．求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向，以便准确设出方程，然后用待定系数法．2．利用好抛物线定义，进行求线段和的最小值问题的转化．3．涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算．4、解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，应注意焦点弦的几何性质．基础训练题 一、选择题1． 过抛物线)0(22>=P px y 的焦点作直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B 两点，若P x x 321=+，则AB等于（ ）A ．2PB ．4PC ．6PD ．8P2． 已知动点),(y x P 满足22)2()1(5-+-y x ＝|1243|++y x ，则P 点的轨迹是 （ ）A ．两条相交直线B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆3． 已知抛物线212:x y C =与抛物线2C 关于直线x y -=对称，则2C 的准线方程是（ ）A ．81-=x B ．21=xC ．81=x D ．21-=x4． （2005年高考上海卷）过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ） A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无数条 D ．不存在5． (2003年新课程卷)抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）A ．81B ．81-C ．8D ．8-6． （04年高考湖北卷）与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是 （ ） A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0二、填空题7． 点M 与点F(4，0)的距离比它到连线l ：x ＋5＝0的距了小1，则点M 的轨迹方程为 ． 8． 某桥的桥洞是抛物线，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面高度为 米(精确到0.1米)． 9． 过点（3，3）的直线与抛物线y 2＝3x 只有一个公共点，则这样的直线的条数为 ．10．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2)200(2≤≤=y y ，在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是三、解答题11．求顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程．12．正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积．13．设A 和B 为抛物线y 2＝4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？提高训练题 14．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，试问：以AB 为直径的圆与抛物线的准线是相交、相切还是相离？若把抛物线改为椭圆12222=+b y a x 或双曲线12222=-b y a x ，结果又如何呢？15．(2004年高考上海卷)如图，直线x y 21=与抛物线4812-=x y 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线5-=y 交于Q 点． (1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB(含点A 、B)下方的动点时，求OPQ ∆面积的最大值．8．4 直线与圆锥曲线的位置关系知识要点 1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0时，有两个公共点，△＝0时，有一个公共点，△<0时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB 端点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2),直线AB 的斜率为k ，则：｜AB ｜=————————或：—————————．利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理． 当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算． 3．中点弦问题：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M(x 0，y 0)为AB 的中点，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y ax b y a x 两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--即 ．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．例题讲练 【例1】 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A 、B 两点．(1) 当a 为何值时，A 、B 两点在双曲线的同一支上？当a 为何值时，A 、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当a 为何值时，以AB 为直径的圆过原点？x【例2】 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程； (2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【例3】 在抛物线y 2＝4x 上恒有两点关于直线y ＝kx ＋3对称，求k 的取值范围．【例4】 （2006届苏州市高三调研测试）已知椭圆222y ax +＝1(a 为常数，且a >1)，向量m ＝(1, t ) (t >0)，过点A(－a , 0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B ，直线BO 交椭圆于点C （O 为坐标原点）．(1) 求t 表示△ABC 的面积S( t )；(2) 若a ＝2，t ∈[21, 1]，求S( t )的最大值．小结归纳1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；用判别式的方法时，若所得方程二次项的系数有参数，则需考虑二次项系数为零的情况．2．涉及中点弦的问题有两种常用方法：一是“设而不求”的方法，利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率的关系，它能简化计算；二是利用韦达定理及中点坐标公式．对于存在性问题，还需用判别式进一步检验．3．对称问题，要注意两点：垂直和中点．基础训练题 一、选择题1． 曲线x 2＋4y 2＋D x ＋2E y ＋F ＝0与x 轴有两个交点，且这两个交点在原点的两侧的充要条件是 （ ） A ．D ≠0，E ＝0，F ＞0 B ．E ＝0，F ＜0 C ．D 2－F ＞0 D ．F ＜0 2． 若椭圆193622=+y x 的弦被点（4，2）平分，则此弦所在直线的斜率为 （ ） A ．2 B ．－2C ．31D ．－213． 经过抛物线)0(22>=p px y 的所有焦点弦中，弦长的最小值为 （ ） A ．p B ．2p C ．4p D ．不确定4． 过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线l ，交双曲线于A 、B 两点，若∣AB ∣=4，则这样的直线l 有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5． （华师大二附中2005年模拟试卷2） 直线l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)椭圆E ：1422=+y m x ，若直线l 被椭圆E 所截弦长为d ，则下列直线中被椭圆E 截得的弦长不是d 的是 （ ） A ．kx ＋y ＋1＝0 B ．kx －y －1＝0 C ．kx ＋y －1＝0 D ．kx ＋y ＝06． 椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M 、N 两点，过两点O 与线段MN 之中点的直线的斜率为22，则xnm的值是 （ ）A ．22B ．332 C ．229D ．2732二、填空题7． 已知直线x －y ＝2与抛物线y 2－4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是 .8． 对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧==θθs i n 4c o s 2y x (0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是 ．9． 已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 所在直线与y 轴交点坐标为（0，2），则2111y y +＝ ．10．若直线mx ＋ny －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，则m 、n 的关系式为___________;以(m ，n )为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有____个.三、解答题 11．已知直线l 交椭圆162022y x +＝1于M 、N 两点，B(0，4)是椭圆的一个顶点，若△BMN 的重心恰是椭圆的右焦点，求直线l 的方程.12．已知直线y ＝(a ＋1)x －1与曲线y 2＝ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.13．（05重庆）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 的满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围． 提高训练题14．已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3． ⑴ 求椭圆的方程；⑵ 设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M 、N ，当AN AM =时，求m 的取值范围．15．（04湖南）过抛物线x 2＝4y 的对称轴上任一点P(0，m )(m ＞0)，作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点． (Ⅰ)设点P 分有向线段所成的比为λ，证明：)(λ-⊥；(Ⅱ)设直线AB 的方程是x －2y ＋12＝0，过A 、B 两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．8．5 轨迹方程知识要点1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．例题讲练【例1】一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．【例2】已知抛物线过点N(1，－1)，且准线为l：x ＝－3，求抛物线顶点M的轨迹．【例3】已知直线l与椭圆12223=+byax(a>b>0)有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴交于R、S，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS的顶点P的轨迹方程．【例4】已知点H（0，－3），点P在x轴上，点Q 在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足PMHP⋅＝0，MQPM23-=．(1) 当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C 的方程；(2) 过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上．小结归纳1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．4．参数法求轨迹关键在于如何选择好参数，建立起x ，y 的参数方程，以便消参，选择n 个参数，要建立n ＋1个方程，消参时，要注意等价性．5．求轨迹比求轨迹方程多一个步骤，求轨迹最后须说明轨迹的形状、大小、位置、方向．基础训练题 一、选择题1． 已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得| PQ |＝| PF 2 |，那么动点Q 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线的一支 D ．抛物线2． 动点P 与定点)0,1(,)0,1(B A -的连结的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1)1(±≠x C ．x 2＋y 2＝1)0(≠x D ．21x y -=3． 已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y＋2|，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定4． 设P 为椭圆12222=+by a x 上一点，过右焦点F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是（ ） A ．直线 B ．抛物线 C ．圆 D ．双曲线 5． 设P 为双曲线12222=-b y a x 上一点， 过右焦点F 2作∠F 1PF 2的内角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．直线 D ．椭圆 6． 已知点P(x ，y )在以原点为圆心，半径为1的圆上运动，则点(x ＋y ，xy )的轨迹是 （ ） A ．半圆 B ．抛物线的一部分 C ．椭圆 D ．双曲线的一支二、填空题7． 长为2a 的线段AB 的两个端点分别在x 轴、y 轴上滑动，则AB 中点的轨迹方程为 ．8． 经过定点M(1，2)，以y 轴为准线，离心率为21的椭圆左顶点的轨迹方程 ． 9． 已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=，当m 变化时抛物线焦点的轨迹方程为 ． 10．（04北京）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹是 ．三、解答题 11．以动点P 为圆心的圆与圆A ：(x ＋5)2＋y 2＝49及圆B ：(x －5)2＋y 2＝1都外切，求动点P 的轨迹.12．已知双曲线2222ny m x -＝1(m ＞0，n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q. (1) 求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程； (2) 当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.13．设直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆C ：ax 2＋y 2＝2(a ＞1)交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．(1)若k ＝1，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值； (2)若a ＝2，当k 变化时，(k ∈R)，求点P 的轨迹方程．提高训练题14．设椭圆方程为1422=+y x ，过点M(0，1)的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：(1) 动点P 的轨迹方程； (2) ||NP 的最小值与最大值.A1。
高中数学圆锥曲线知识全归纳
圆锥曲线一、椭圆及其性质第一定义平面内一动点P 与两定点F 1、F 2距离之和为常数(大于F 1F 2 )的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF 1d 1=MF 2d 2=e 焦点焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形yxF 1F 2abc O A 1A 2B 2B 1x =a 2cx =-a 2c y x F 1F 2ab c A 1A 2B 2B 1y =a2cy =-a2c标准方程x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0y 2a 2+x 2b2=1a >b >0范围-a ≤x ≤a 且-b ≤y ≤b-b ≤x ≤b 且-a ≤y ≤a顶点A 1-a ,0 ，A 2a ,0 ，B 10,-b ，B 20,bA 10,-a ，A 20,a ，B 1-b ,0 ，B 2b ,0轴长长轴长=2a ，短轴长=2b ，焦距=F 1F 2 =2c ，c 2=a 2-b 2焦点F 1-c ,0 、F 2c ,0F 10,-c 、F 20,c焦半径PF 1 =a +e x 0，PF 2 =a -e x 0PF 1 =a -e y 0，PF 2 =a +e y 0焦点弦左焦点弦|AB |=2a +e (x 1+x 2)，右焦点弦|AB |=2a -e (x 1+x 2).离心率e =c a=1-b 2a20<e <1 准线方程x =±a 2cy =±a 2c切线方程x 0x a 2+y 0y b 2=1x 0xb 2+y 0y a 2=1通径过椭圆焦点且垂直于对称轴的弦长AB =2b 2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF 1|+|PF 2|=2a ，周长为：2a +2c (2)焦点三角形面积：S △F 1PF 2=b 2×tan θ2(3)当P 在椭圆短轴上时，张角θ最大，θ≥1-2e 2cos (4)焦长公式：PF 1 =b 2a -c αcos 、MF 1 =b 2a +c αcos MP =2ab 2a 2-c 22αcos =2ab 2b 2+c 22αsin (5)离心率：e =(α+β)sin α+βsin sin yxF 1F 2θαP OMβ第一定义平面内一动点P与两定点F1、F2距离之差为常数（大于F1F2）的点轨迹第二定义平面内一动点到定点与到准线的距离比是常数的点轨迹MF1d1=MF2d2=e焦点焦点在x轴上焦点在y轴上图形yxF1F2bc虚轴实轴ayxF1F2实轴虚轴标准方程x2a2-y2b2=1a>0,b>0y2a2-x2b2=1a>0,b>0范围x≤-a或x≥a，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R 顶点A1-a,0、A2a,0A10,-a、A20,a轴长虚轴长=2b，实轴长=2a，焦距=F1F2=2c，c2=a2+b2焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦半径|PF1|=a+e x0，|PF2|=-a+e x0左支添“-”离心率e=ca=1+b2a2e>1准线方程x=±a2c y=±a2c渐近线y=±ba x y=±ab x切线方程x0xa2-y0yb2=1x0xb2-y0ya2=1通径过双曲线焦点且垂直于对称轴的弦长AB=2b2a(最短焦点弦)焦点三角形(1)由定义可知：|PF1|-|PF2|=2a(2)焦点直角三角形的个数为八个，顶角为直角与底角为直角各四个；(3)焦点三角形面积：S△F1PF2=b2÷tanθ2=c∙y(4)离心率：e=F1F2PF1-PF2=sinθsinα-sinβ=sin(α+β)sinα-sinβyxF1F2Pθαβ定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．方程y 2=2px p >0y 2=-2px p >0x 2=2py p >0x 2=-2py p >0图形yxF x =-p2yxFx =p2y xFy =-p2yxFy =p2顶点0,0对称轴x 轴y 轴焦点F p2,0 F -p 2,0 F 0,p 2 F 0,-p 2准线方程x =-p 2x =p2y =-p 2y =p 2离心率e =1范围x ≥0x ≤0y ≥0y ≤0切线方程y 0y =p x +x 0y 0y =-p x +x 0x 0x =p y +y 0x 0x =-p y +y 0通径过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦AB =2p (最短焦点弦)焦点弦AB 为过y 2=2px p >0 焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =x 1+p 2BF =x 2+p2AB =x 1+x 2+p ,(2)x 1x 2=p 24y 1y 2=-p 2(3)AF =p 1-αcos BF =p 1+αcos 1|FA |+1|FB |=2P (4)AB =2psin 2αS △AOB =p 22αsin AB 为过x 2=2py (p >0)焦点的弦，A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，倾斜角为α.则：(1)AF =p 1-αsin BF =p1+αsin (2)AB =2p 2αcos S △AOB=p 22αcos (3)AF BF=λ，则：α=λ-1λ+1sin yxFx =-p 2αABO yxFαABOy 2=2px (p >0)y 2=2px (p >0)四、圆锥曲线的通法F 1F 2POxyOxyFP MOxyF 1F 2P椭圆双曲线抛物线点差法与通法1、圆锥曲线综述：联立方程设交点，韦达定理求弦长；变量范围判别式，曲线定义不能忘；弦斜中点点差法，设而不求计算畅；向量参数恰当用，数形结合记心间.★2、直线与圆锥曲线的位置关系（1）直线的设法：1若题目明确涉及斜率，则设直线：y =kx +b ，需考虑直线斜率是否存在，分类讨论；2若题目没有涉及斜率或直线过(a ,0)则设直线：x =my +a ,可避免对斜率进行讨论（2）研究通法：联立y =kx +bF (x ,y )=0得：ax 2+bx +c =0判别式：Δ=b 2−4ac ,韦达定理：x 1+x 2=−b a ，x 1x 2=ca（3）弦长公式：AB =(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=1+k 2|x 1-x 2|=(1+k 2)⋅[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=1+1k2(y 1+y 2)2−4y 1y 2 3、硬解定理设直线y =kx +φ与曲线x 2m +y 2n=1相交于A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)由：y =kx +φnx 2+my 2=mn,可得：(n +mk 2)x 2+2kφmx +m (φ2-n )=0判别式：△=4mn (n +mk 2-φ2)韦达定理：x 1+x 2=-2kmφn +mk 2,x 1x 2=m (φ2-n )n +mk 2由：|x 1-x 2|=(x 1+x 2)2-4x 1x 2,代入韦达定理：|x 1-x 2|=△n +mk 2★4、点差法：若直线l 与曲线相交于M 、N 两点，点P (x 0,y 0)是弦MN 中点，MN 的斜率为k MN ，则：在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=−b 2a2;在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)中,有k MN ⋅y 0x 0=b 2a2；在抛物线y 2=2px (p >0)中,有k MN ⋅y 0=p .(椭圆)设M 、N 两两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，则有x 12a 2+y 12b 2=1,⋯⋯(1)x 22a 2+y 22b 2=1.⋯⋯(2) (1)−(2)，得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0.∴y 2−y 1x 2−x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=−b 2a2.又∵k MN =y 2−y 1x 2−x 1,y 1+y 2x 1+x 2=2y 2x =y x .∴k MN ⋅y x =−b 2a2.圆锥曲线的参数方程1、参数方程的概念在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标x ,y 都是某个变数t 的函数x =f (t )y =g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M (x ,y )都在这条曲线上，该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ,y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.※2、直线的参数方程(1)过定点P (x 0,y 0)、倾斜角为α(α≠π2)的直线的参数方程x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α (t 为参数)(2)参数t 的几何意义：参数t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ,y )为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即|M 0M|=|t |，|t |表示直线上任一点M 到定点M 0的距离.当点M 在M 0上方时，t >0；当点M 在M 0下方时，t <0；当点M 与M 0重合时，t =0；(3)直线方程与参数方程互化：y −y o =tan α(x −x o )⇔x =x 0+t cos αy =y 0+t sin α(t 为参数)(4)直线参数方程：x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)，当a 2+b 2=1时，参数方程为标准型参数方程，参数的几何意义才是代表距离.当a 2+b 2≠1时，将参数方程化为x =x 0+aa 2+b 2t y =y 0+ba 2+b 2t 然后在进行计算.★3、圆的参数方程（1）圆心(a ,b )，半径r 的圆(x -a )2+(y -b )2=r 2参数方程x =a +r cos θy =b +r sin θ (θ为参数)；特别：当圆心在原点时，半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为：x =r cos θy =r sin θ (θ是参数).(2)参数θ的几何意义：θ表示x 轴的正方向到圆心和圆上任意一点的半径所成的角.(3)消参的方法：利用sin 2θ+cos 2θ=1，yxF 1F 2PN OMyxM 0tαO M 1αP (x ,y )rxy可得圆方程：(x -a )2+(y -b )2=r 2★4、椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程为x =a cos φy =b sin φ (φ为参数)；椭圆y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的参数方程为x =b cos φy =a sin φ (φ为参数)；(2)参数θ的几何意义：参数θ表示椭圆上某一点的离心角.如图所示，点P 对应的离心角为θ=∠QOx (过P 作PQ ⊥x 轴，交大圆即以2a 为直径的圆于Q )，切不可认为是θ=∠POx .5、双曲线的参数方程（1）双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程x =a sec φy =b tan φ (φ为参数)；sec φ=1cos φ双曲线y 2a 2-x 2b2=1(a >b >0)的参数方程x =b cot φy =a csc φ (φ为参数)；csc φ=1sin φ（2）参数θ的几何意义：参数θ表示双曲线上某一点的离心角.※6、抛物线的参数方程（1）抛物线y 2=2px 参数方程x =2pt 2y =2pt(t 为参数，t =1tan α)；（2）参数t 的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.t =1k OP仿射变换与齐次式1、仿射变换：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间.※2、椭圆的变换：椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2变换内容x =x y=a b y x =xy =b a yx =b a x y=yx =a b x y =y圆方程x 2+y 2=a 2x 2+y 2=b 2图示yxAB OCyxABOCyxAB OCyxAB OC 点坐标A (x 0,y 0)→A '(x 0,a by 0)A (x 0,y 0)→A '(b ax 0,y 0)斜率变化k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a 2k '=a bk ，由于k A 'C '⋅k B 'C '=−1．k AC ⋅k BC =b a k A 'C '⋅b a k B 'C '=−b 2a2弦长变化则AB =1+k 2x 1-x 2 ⇒A 'B '=1+k '2x 1-x 2 =1+(a b)2k 2x 1-x 2 yxαPOQ面积变化S△ABC=b a S△A'B'C'(水平宽不变，铅锤高缩小)S△ABC=a b S△A'B'C'(水平宽扩大，铅垂高不变)3、中点弦问题，k OP⋅k AB=−b2a2，中垂线问题k OPk MP=b2a2，且x M=c2x0a2y N=-c2y0b2，拓展1：椭圆内接△ABC中，若原点O为重心，则仿射后一定得到△OB'C'为120°的等腰三角形；△A'B'C'为等边三角形；拓展2：椭圆内接平行四边形OAPB(A、P、B)在椭圆上，则仿射后一定得菱形OA'P'B' 4、面积问题：（1）若以椭圆x2a2+y2b2=1对称中心引出两条直线交椭圆于A、B两点，且k OA⋅k OB=−b2a2,则经过仿射变换后k OA'⋅k OB'=−1，所以S△AOB为定值.（2）若椭圆方程x2a2+y2b2=1上三点A，B，M，满足：①k OA⋅k OB=−b2a2②S△AOB=ab2③OM=sinαOA+cosαOBα∈0,π2，三者等价※5、平移构造齐次式：（圆锥曲线斜率和与积的问题）（1）题设：过圆锥曲线上的一个定点P作两条直线与圆锥曲线交于A、B，在直线PA和PB斜率之和或者斜率之积为定值的情况下，直线AB过定点或者AB定斜率的问题.（2）步骤：①将公共点平移到坐标原点（点平移：左加右减上减下加）找出平移单位长.②由①中的平移单位长得出平移后的圆锥曲线C ，所有直线方程统一写为：mx+ny=1③将圆锥曲线C 展开，在一次项中乘以mx+ny=1，构造出齐次式.④在齐次式中，同时除以x2,构建斜率k的一元二次方程，由韦达定理可得斜率之积（和）.圆锥曲线考点归类(一)条件方法梳理1、椭圆的角平分线定理（1）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆长轴交点为N，在长轴上一定存在一个点M，当仅当则x M⋅x N=a2时，∠AMN=∠BMN，即长轴为角平分线；（2）若点A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的点，AB与椭圆短轴交点为N，在短轴上一定存在一个点M，当仅当则y M⋅y N=b2时，∠AMN=∠BMN，即短轴为角平分线；※2、关于角平分线的结论：若直线AO的斜率为k1,直线CO的斜率为k2,EO平分∠AOC则有：k1+k2=tanα+tan(π-α)=0角平分线的一些等价代换条件：作x轴的对称点、点到两边的距离相等.3、四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0),其中k 是待定的系数;经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0,其中A ,B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0,λ是参变量．4、圆系方程(1)过直线l :Ax +By +C =0与圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C )=0,λ是待定的系数．(2)过圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程是x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0,λ是待定的系数．★(二)圆锥曲线过定点问题1、直线过定点的背景：（1）直线过定点模型：A ,B 是圆锥曲线上的两动点，M 是一定点，其中α,β分别为MA ,MB 的倾斜角，则：①、MA ⋅MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；②、k MA ⋅k MB 为定值⇔直线AB 恒过定点；③、α+β=θ(0<θ<π)⇔直线AB 恒过定点.（2）抛物线中直线过定点：A ,B 是抛物线y 2=2px (p >0)上的两动点，α,β分别为OA ,OB 的倾斜角，则：OA ⊥OB ⇔k OA ⋅k OB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(2p ,0).（3）椭圆中直线过定点模型：A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上异于右顶点D 的两动点，其中α,β分别为DA ,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：DA ⊥DB ⇔k DA ⋅k DB =-1⇔α-β =π2⇔直线AB 恒过定点(ac 2a 2+b 2,0)2、定点的求解方法：1含参形式简单的直线方程，通过将直线化为y -y 0=k (x -x 0)可求得定点坐标(x 0,y 0)2含参形式复杂的通过变换主元法求解定点坐标.变换主元法：将直线化为h (x ,y )+λf (x ,y )=0,解方程组：h (x ,y )=0f (x ,y )=0 可得定点坐标.eg :直线方程：（2m +1）x +(m -5)y +6=0,将m 看作主元，按照降幂排列：（2x +y ）m+x -5y +6=0,解方程组：2x +y =0x -5y +6=0,解得：x =-611y =1211,求得直线过定点（-611,1211）.3、关于以AB 为直径的圆过定点问题：(1)直接法：设出参数后，表示出圆的方程.圆的直径式方程：（x -x 1）(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0(2)由特殊到一般：利用赋值法，先求出几个位置的圆方程，联立圆方程解出公共交点，该交点即为圆所过的定点，再利用向量数量积为0证明点恒在圆上.★(三)圆锥曲线面积问题1、面积的求解方法：（1）S △ABC =12MN ∙d ，从公式可以看出，求面积重在求解弦长和点到线的距离.（2）S △ABC =12×水平宽×铅锤高，主要以点的坐标运算为主.（3）S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1例题1.在平面直角坐标系xOy 中，已知点O 0,0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 不共线，证明：△AOB 的面积为S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .2、面积中最值的求解(1)f (x )=αx 2+βx +φx +n型：令t =x +n ⇒x =t -n 进行代换后裂项转化为：y =at +bt (2)f (x )=x +n αx 2+βx +φ型：先在分母中配出分子式f (x )=x +n α(x +n )2+λ(x +n )+υ令t =x +n ，此时：y =t αt 2+λt +υ，分子分母同时除t ，此时y =1αt +υt+λ，再利用对勾函数或不等式分析最值.(3)f (x )=αx +βx +n型：令t =x +n ⇒x =t 2-n 进行代换后裂项，可转化为：y =at +bt五、椭圆的二级结论1.PF1+PF2=2a2.标准方程x2a2+y2b2=13.PF1d1=e<14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.5.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8.设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2 (或A1).9.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2-y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上，则在点P0处的切线方程是x0xa2+y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.12.AB是椭圆x2a2+y2b2=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=-b2a2.13.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则被PO所平分的中点弦的方程是x0xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.14.若P0(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是x2a2+y2b2=x0xa2+y0yb2.15.若PQ是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2+1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2+1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2a2A2+b2B2.17.给定椭圆C1：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2+a2y2=a2-b2a2+b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2-b2a2+b2x0,-a2-b2a2+b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为椭圆(或圆)C:x2a2+y2b2=1(a>0,.b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=-1+m1-m⋅b2a2.19.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=b2x0a2y0(常数).20.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点∠F1PF2=γ，则椭圆的焦点三角形的面积为S△F1PF2=b2tanγ2，P±ac c2-b2tan2γ2,±b2c tanγ2.21.若P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则a-ca+c=tanα2tanβ2.22.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦半径公式：|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(F1(-c,0),F2(c,0)，M(x0,y0)).23.若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当2-1≤e<1时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.24.P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2a-|AF2|≤|PA|+|PF1|≤2a+|AF2|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.25.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02≤(a2-b2)2a2+b2k2.26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是椭圆x=a cosϕy=b sinϕ(a>b>0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e2=11+sin2ϕ.29.设A,B为椭圆x2a2+y2b2=k(k>0,k≠1)上两点，其直线AB与椭圆x2a2+y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1中，定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为m 2=1-x 2a 2+y 2b 2a 2cos 2α+b 2sin 2α ,其中tan α=-bx ay ,当y =0时,α=90∘.31.设S 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的通径，定长线段L 的两端点A ,B 在椭圆上移动，记|AB |=l ，M(x 0,y 0)是AB 中点，则当l ≥ΦS 时，有(x 0)max =a 2c -l 2e c 2=a 2-b 2,e =c a;当l <ΦS 时，有(x 0)max =a 2b4b 2-l 2,(x 0)min=0.32.椭圆x 2a 2+y 2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥C 2.33.椭圆(x -x 0)2a 2+(y -y 0)2b2=1与直线Ax +By +C =0有公共点的充要条件是A 2a 2+B 2b 2≥(Ax 0+By 0+C )2.34.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=α,∠PF 1F 2=β,∠F 1F 2P =γ，则有sin αsin β+sin γ=c a =e.35.经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P 1和P 2，则|P 1A 1|⋅|P 2A 2|=b 2.36.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP ⊥OQ .(1)1|OP |2+1|OQ |2=1a 2+1b2;(2)|OP |2+|OQ |2的最小值为4a 2b 2a 2+b 2;(3)S ΔOPQ 的最小值是a 2b 2a 2+b 2.37.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦，则|AB |2=2a |MN |.38.MN 是经过椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O 的半弦OP ⊥MN ，则2a |MN |+1|OP |2=1a 2+1b2.39.设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),M (m ,o )或(o ,m )为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点，则直线A 1P 、A 2Q (A 1,A 2为对称轴上的两顶点)的交点N 在直线l ：x =a2m(或y =b 2m)上.40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .41.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.42.设椭圆方程x2a2+y2b2=1,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：y=kx的共轭直线y=k x上,而且kk =-b2 a2 .43.设A、B、C、D为椭圆x2a2+y2b2=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为α,β，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA⋅PBPC⋅PD=b2cos2β+a2sin2βb2cos2α+a2sin2α.44.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外(内)角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2+y2=a2c2y2=a2y2+b2x x±c2 a2y2+b2x±c2.45.设△ABC内接于椭圆Γ，且AB为Γ的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆Γ相切的充要条件是D为EF的中点.46.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|PF||MN|=e2.47.设A(x1,y1)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任一点，过A作一条斜率为-b2x1a2y1的直线L，又设d是原点到直线L的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2d=ab.48.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和x2a2+y2b2=λ(0<λ<1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│.49.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),则-a2-b2a<x0<a2-b2 a.50.设P点是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记∠F1PF2=θ，则(1)|PF1||PF2|=2b21+cosθ.(2)SΔPF1F2=b2tanθ2.51.设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：x=n于M，N两点,则∠MBN=90∘⇔a-ma+m=a2n-m2 b2(n+a)2.52.L是经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点P∈L，若∠EPF=α，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=b时取等号).53.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点P∈L，e是离心率，∠EPF=α，H是L与X轴的交点c是半焦距，则α是锐角且sinα≤e或α≤arcsin e(当且仅当|PH|=ab c时取等号).54.L是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点P∈L，∠EPF=α,离心率为e，半焦距为c，则α为锐角且sinα≤e2或α≤arcsin e2(当且仅当|PH|=b c a2+c2时取等号).55.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1连结起来，则b2≤|F1A|⋅|F1B|≤(2a2-b2)2a2(当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时左边不等式取等号).56.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点，∠PAB=α,∠PBA=β,∠BPA=γ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|=2ab2|cosα|a2-c2cos2α.(2)tanαtanβ=1-e2.(3)SΔPAB=2a2b2b2-a2cotγ.57.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外部的两点，且x A、x B的横坐标x A⋅x B=a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PBA=∠QBA；(2)若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则∠PAB+∠QAB=180∘.58.设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，(若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称)，且∠PBA=∠QBA，则点A、B的横坐标x A、x B满足x A⋅x B=a2；(2)若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且∠PAB+∠QAB=180∘,则点A、B的横坐标满足x A⋅x B=a2.59.设A,A 是椭圆x2a2+y2b2=1的长轴的两个端点，QQ 是与AA 垂直的弦，则直线AQ与A Q 的交点P的轨迹是双曲线x2a2-y2b2=1.60.过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD则8ab2a2+b2≤|AB|+|CD|≤2(a2+b2)a.61.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)两焦点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆(x ±a )2+y 2=b 2.62.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a -c b (c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆x ±a e 2+y 2=b e 2.63.到椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a -c b (c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆x ±a e 2 2+y 2=b e 2 2(e 为离心率).64.已知P 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个动点，A ,A 是它长轴的两个端点,且AQ ⊥AP ,A Q ⊥AP ，则Q 点的轨迹方程是x 2a 2+b 2y 2a4=1.65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66.设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的端点为A ,A ,P (x 1,y 1)是椭圆上的点过P 作斜率为-b 2x 1a 2y 1的直线l ，过A ,A 分别作垂直于长轴的直线交l 于M ,M ,则(1)|AM ||A M |=b 2.(2)四边形MAA M 面积的最小值是2ab .67.已知椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⎳x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是椭圆(x -a )2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点2ab 2a 2+b 2,0 .(2)以OA 、OB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2a 2+b 2 2+y 2=ab 2a 2+b 2 2(x ≠0).69.P (m ,n )是椭圆(x -a )2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一个定点，PA 、PB 是互相垂直的弦，则(1)直线AB 必经过一个定点2ab 2+m (a 2-b 2)a 2+b 2,n (b 2-a 2)a 2+b 2 .(2)以PA 、PB 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是x -ab 2+a 2m a 2+b 2 2+y -b 2n a 2+b 2 2=a 2[b 4+n 2(a 2-b 2)](a 2+b 2)2(x ≠m 且y ≠n ).70.如果一个椭圆短半轴长为b ，焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2，那么(1)d 1d 2=b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相切.(2)d 1d 2>b 2，且F 1、F 2在L 同侧⇔直线L 和椭圆相离，(3)d 1d 2<b 2，或F 1、F 2在L 异侧⇔直线L 和椭圆相交.71.AB 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴，N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过A 、B 的切线交于C 、D两点，则梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x2a2+4y2b2=1(y≠0).72.设点P(x0,y0)为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的内部一定点，AB是椭圆x2a2+y2b2=1过定点P(x0,y0)的任一弦，当弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(|PA|⋅|PB|)max=a2b2-(a2y02+b2x02)b2.当弦AB垂直于长轴所在直线时,(|PA|⋅|PB|)min=a2b2-(a2y02+b2x02)a2.73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线y=b a x及y=-b a x的平行线，与x 轴于M ,N ，与y 轴交于R ,Q .,O 为原点，则：(1)|OM |2+|ON |2=2a 2；(2)|OQ |2+|OR |2=2b 2.90.过平面上的P 点作直线l 1:y =b a x 及l 2:y =-b ax 的平行线，分别交x 轴于M ,N ，交y 轴于R ,Q .(1)若|OM |2+|ON |2=2a 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).(2)若|OQ |2+|OR |2=2b 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).91.点P 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记ΔOMQ 与ΔONR 的面积为S 1,S 2，则：S 1+S 2=ab 2.92.点P 为第一象限内一点，过P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ,N ，交直线y =-b ax 于Q ,R ，记△OMQ 与△ONR 的面积为S 1,S 2，已知S 1+S 2=ab 2，则P 的轨迹方程是x 2a 2+y 2b2=1(a >0,b >0).93.过椭圆焦点垂直于长轴的弦(通径)是最短的弦，长为2b 2a，过焦点最长弦为长轴．94.过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .95.与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．96.与椭圆y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为y 2a 2+λ+x 2b 2+λ=1(a >b >0，λ>-b 2)．97.焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1=|PF 1|，r 2=|PF 2|，∠F 1PF 2=θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)中：①当r 1=r 2时，即点P 为短轴端点时，θ最大；cos θ=r 21+r 22-4c 22r 1r 2=r 1+r 2 2-2r 1r 2-4c22r 1r 2=4b 22r 1r 2-1=2b 2r 1r 2-1≥2b 2r 1+r 222-1=2b 2-a 2a 2=b 2-c 2a 2当且仅当r 1=r 2时，等号成立.②S =12|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|=sin θ1+cos θb 2=b 2tan θ2，当|y 0|=b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a +c )．98.AB 为过F 的焦点弦，则1FA +1FB =2ab 299.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2.椭圆Γ在点P 处的切线为l ，Q ∈l .且满足∠AQF1=θ0<θ<π2，则点Q在以C0,±cθcot为圆心，a θsin为半径的圆上.六、双曲线的二级结论1.PF1-PF2=2a2.标准方程x2a2-y2b2=13.PF1d1=e>14.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.5.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点.9.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是x2a2+y2b2=1.10.若点P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上，则在点P0处的切线方程是x0xa2-y0yb2=1.11.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是x0xa2-y0yb2=1.12.若AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=b2a2.13.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是x0xa2-y0yb2=x02a2-y02 b2 .14.若P0(x0,y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2a2-y2b2=x0xa2-y0y b2.15.若PQ是双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上对中心张直角的弦，则1r12+1r22=1a2-1b2(r1=|OP|,r2=|OQ|).16.若双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ax+By=1(AB≠0),则(1)1a2-1 b2=A2+B2;(2)L=2a4A2+b4B2|a2A2-b2B2|.17.给定双曲线C1：b2x2-a2y2=a2b2(a>b>0),C2：b2x2-a2y2=a2+b2a2-b2ab2,则(i)对C1上任意给定的点P(x0,y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点M a2+b2a2-b2x0,-a2+b2a2-b2y0. (ii)对C2上任一点P (x0 ,y0 )在C1上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过P 点.18.设P(x0,y0)为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦PP1,PP2斜率存在，记为k1,k2,则直线P1P2通过定点M(mx0,-my0)(m≠1)的充要条件是k1⋅k2=1+m1-m⋅b2a2.19.过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且k BC=-b2x0a2y0(常数).20.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点∠F1PF2=γ，则双曲线的焦点角形的面积为S△F1PF2=b2cotγ2=b2γ2tan，P±ac c2+b2cot2γ2,±b2c cotγ2.21.若P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β，则c-ac+a=tan α2cotβ2(或c-ac+a=tanβ2cotα2).22.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>o)的焦半径公式：F1(-c,0),F2(c,0)当M(x0,y0)在右支上时，|MF1|=ex0+a,|MF2|=ex0-a.当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|=-ex0-a,|MF2|=-ex0+a.23.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1<e≤2+1时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d1与PF2的比例中项.24.P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线左支内一定点，则|AF2|-2a≤|PA|+|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P在左支时，等号成立.25.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在两点关于直线l：y=k(x-x0)对称的充要条件是x02>(a2+b2)2 a2-b2k2k≠0且k≠±a b .26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P是双曲线x=a secϕy=b tanϕ(a>0，b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2=11-tan2ϕ.29.设A,B为双曲线x2a2-y2b2=k(a>0,b>0，k>0,k≠1)上两点，其直线AB与双曲线x2a2-y2b2=1相交于P,Q,则AP=BQ.30.在双曲线x2a2-y2b2=1中，定长为2m(m>0)的弦中点轨迹方程为m2=1-x2a2-y2b2a2cosh2t+b2sinh2t,coth t=-aybx,x=0时t=0，弦两端点在两支上x2a2-y2b2-1a2sinh2t+b2cosh2t，coth t=-bxay,y=0时t=0，弦两端点在同支上31.设S为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线右支上移动，记|AB|=l，M(x0,y0)是AB中点，则当l≥ΦS时，有(x0)min=a2c+l2e c2=a2+b2,e=c a;当l<ΦS时，有(x0)min=a2b4b2+l2.32.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤C2.33.双曲线(x-x0)2a2-(y-y0)2b2=1(a>0,b>0)与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2≤(Ax0+By0+C)2.34.设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记∠F1PF2=α,∠PF1F2=β,∠F1F2P=γ，则有sinα±(sinγ-sinβ)=c a=e.35.经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的实轴的两端点A1和A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于P1和P2，则|P1A1|⋅|P2A2|=b2.36.已知双曲线x2a2-y2b2=1(b>a>0)，O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ.(1)1|OP|2+1 |OQ|2=1a2-1b2;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为4a2b2b2-a2;(3)SΔOPQ的最小值是a2b2b2-a2.37.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支)，若AB是经过双曲线中心O且平行于MN的弦，则|AB|2=2a|MN|.38.MN是经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>b>0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线中心O的半弦OP⊥。
向量与导数在圆锥曲线题目中的“安家落户”
＿ Ｉ 口或 Ｙ ＝＂ ｌ ２ Ｙ＝
平 面 下 研 究 圆锥 曲线 问题 ， 宽 了在 直 角 坐 标 平 面 下 对 圆锥 拓 曲线 问 题 的研 究 ． 问 题 “ 使 由定 变 动 ” 由繁 化 简 ” “ ． １１向量 在 圆 锥 曲线 题 目巾 设 置的 体 现 ．
在 近 年 来 的 高 考 试 题 中 ， 向量 为 背 景 的题 目“ 处 不 以 无
重 点 内容 之 一 ．随 着 平 面 向 量 与 导 数 进 入 高 中 数 学 教 材 以 后 ， 量、 向 导数 与 圆 锥 曲线 互 相 交 叉 渗透 ， 大 拓宽 了 圆 锥 曲 大 线 内容 在 高 考 命 题 中 的 “ 间 ” 使 得 这 部 分 内容 的题 型 “ 空 ， 新 颖别致” ．
双曲线上． ． 的值．本题在考查双曲线渐近线方程为 求 两 ”
Ｙ＝ 的 双 曲线 是 等 轴 双 曲线 这 一 知 识 点 的 同 时 ， 考查 了 向 也 量 的数 量 积 这一 概 念 ．又 如 ２ ０ ０ ９年高 考 浙 汀 卷 中 的一 道 题 ：
’ １ “ 知椭 圆 ＋ Nhomakorabea Ｏ
＝１ ＞ｂ＞０ 的左 焦 点 为 ， 顶 点 为 ， ） 右
巧 性 要 求 较 高 ， 利 用 导 数 法 求 解 使 得 问题 “ 刃 而 解 ”实 但 迎 ， 现 了 由复 杂 到 简 单 的 转 变 ． 面 笔 者 举 例 说 明 利 用 导 数 求 解 下
使 得 解 题 过 程化 繁 为 简 ， 算 量 也 降 到 了最 低 程 度 ． 运 一 例 ２ （０ ８年 江 西 卷 ） 点 Ｐ（ｏ ） 直 线 ＝ｍ（ ２０ 设 ｘ， 在 ｙ≠土 ｍ， ０＜ｍ ＜１ 上 ， 点 Ｐ作 双 曲 线 一 ＝ｌ的 两 条 切 线 ， ） 过
圆锥曲线知识全梳理
圆锥曲线知识全梳理【考纲知识梳理】一、曲线与方程（一）用直接法求轨迹方程 ※相关链接※1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x 、y 的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。
2．用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向量的坐标化运算。
有时需分类讨论。
※例题解析※〖例〗如图所示，设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足的点，求点P 的轨迹方程。
思路解析：设P 点坐标为(x,y)→求出A 、B 两点坐标→代入求P 点轨迹→标明x 的范围。
解答：设P 点的坐标为(x,y)，则由方程2224x y +=，得2224y x =-，∴242x y -=±，∴A 、B 两点的坐标分别为2244(,),(,)22x x x x ---，又，∴2244(0,)(0,)122x x y y -----= ，即222241,1,263x x y y --=∴+=又直线l 与椭圆交于两点，∴-2<x<2,∴点P 的轨迹方程为221,63x y +=（-2<x<2） （二）用定义法求轨迹方程 ※相关链接※1．运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义。
同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。
※例题解析※ 〖例〗如图所示，一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。
思路解析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义。
圆锥曲线中的定比分点问题——教师版
1 1
e cos
或e
1 1
1 k2
【典例剖析】 题型一 差比和定理 【例 1.1】已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 F 的直线 l 交抛物线于 M , N 两点，且
MF 2 NF ，则直线 l 的斜率为（ ）
A. 2
B. 2 2
C. 2 2
D. 2 4
【答案】B
分别为 F1, F2 ，离心率为
2 2
，
F2
与椭圆上点的连线的中最短线段的长为
代入 C
的方程得
x1
3,
x2
1 3
，故 |
AB
|
4
13 3
．
2
【练
2.1】设双曲线 C
：
x2 a2
y2
1(a
0)
与直线 l
:
x
y
1
相交于两个不同的点
A
、
B
．
（1）求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；
（2）设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，且 PA
5
PB ，求 a 的值．
12
【练
2.2】如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 E :
4 y2
19
5 2 14 2 2
3x1 4 y1 3x2 4 y2 3 x1 x2 4 y1 y2
， kAB
y1 y2 3 ，即为定值
x1 x2
4
4
题型三 求 的值或取值范围
【例
3.1】（武汉市
2017
高三二调.理.20）已知椭圆
:
x2 a2
y2 b2
1a
b 0 的左、右焦点
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圆锥曲线定义的向量形式
圆锥曲线（conic section）是一种二维曲线，是生成空间曲线的基础，它可以作为空间曲线的方程映射出来。
当一个三维曲线被一个扁平平面截断时，其顶点就会在这个平面上形成一条曲线，称为圆锥曲线。
它具有高度的对称性，它可以被定义为一系列向量（vector）的形式。
圆锥曲线可以定义为一组向量，向量形式可以用三维空间里的向量表示，即（x，y，z）。
每个向量描述了曲线的形状，它的方向和大小，其中x轴代表水平方向，y轴代表截断平面上的垂直方向，而z轴代表曲线的高度。
曲线的圆心是由向量（a，b，c）的点表示的，a和b代表水平上的圆心位置，而c代表垂直上的圆心位置。
通过指定曲线的向量来定义，可以很容易地确定曲线的方向和大小，而且它不受三维曲线的扭曲影响。
通过具体的向量分析可以很有效地解决寻找圆锥曲线的问题。
例如，如果从曲线某处已知曲线的方向，那么就可以通过计算这个点处曲线的向量来确定曲线的弧度和大小。
由于圆锥曲线的功能多样丰富，它可以应用于许多方面，比如在制图学中，可以使用圆锥曲线来在地图上表示地势，以及用圆锥曲线表示三维对象。
总之，圆锥曲线可以通过向量表示出来，它具有高度的对称性，而且可以应用于许多方面，如地图、三维曲线等。
使用向量表示可以有效地解决寻找曲线方程的问题，这种方法的优点是可以快速地定位出曲线的位置和曲率。