(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
x
j
xj
且
x
j
0
…
am1x1+am2x2+…+amnxn≤（=，≥） bm
x1 , x2, …, xn≥0
（3）其他形式： 连加形式
1-3 线性规划问题的标准形式
1、标准形式
或
2、条件
目标函数求极大值 约束条件全是等式（线性方程组） 决策变量全非负 右端常数全非负
3、标准化方法
（1）若目标函数求极小值，即
则令 z z
即求目标函数在若干约束条件下的最值。
3、规划问题数学模型的三要素
（1）决策变量：决策者为实现规划目标采取的方案、措施， 是问题中要确定的未知量。用x1，x2，…，xn表示。
（2）目标函数：问题要达到的目标要求，表示为决策变量的 函数。用 z=f(x1，x2，…，xn)表示。 （3）约束条件：决策变量取值时受到的各种可用资源的限制， 表示为含决策变量的等式或不等式。
运筹学
( Operations Research )
绪论
一、古代朴素的运筹学思想
例如：田忌赛马
二、运筹学的起源
国外 英文原名 Operations Research 简称“O.R.” 直译为：运用研究或作业研究 正式出现于1938年7月英国一份关于防空作战 系统运行的研究报告中
• 国内 –1956年成立第一个运筹学小组 –1957年从“夫运筹策帷幄之中，决胜于千里之外”中 摘取“运筹”二字，将O.R.正式翻译为“运筹学”
三、运筹学的定义
研究对象：复杂系统的组织和管理 研究工具：数学，计算机科学及其他相关科学 研究目的：对有限资源进行合理规划、使用，并提供
优化决策方案。
参考《大英百科全书》、《辞海》、《中国企业管理百科全书》等。
四、运筹学研究的基本特点
• 系统的整体优化 • 多学科的配合 • 模型方法的应用
五、运筹学研究的基本步骤
1-2 线性规划问题的数学模型
1、原型：现实世界中人们关心、研究的实际对象。 模型：将某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。 数学模型：对现实世界的一个特定对象，为达到一定目的，
根据内在规律做出必要的简化假设,并运用适当数学工具得到 的一个数学结构。
原型Байду номын сангаас
提炼
模型
数学工具 数学模型
2、规划问题
4 6
x1 0, x2 0, x3取值无限制
例4：在下述线性规划问题中，列出全部基、基解、 基可行解，并指出最优解。
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
• 分析与表述问题 • 建立数学模型 • 对问题求解 • 对模型和模型导出的解进行检验 • 建立对解的有效控制 • 方案的实施
第一章 线性规划及单纯形法
Linear Programming and Simplex Method
§1.1 一般线性规划问题的数学模型
1-1 问题的提出 例1 用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容 器，应如何裁剪可使做成的容器的容积最大？
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
P1 P2 P3 P4 P5
解：系数矩阵为
2 2
A
4
0
0 5
1 0 0
0
1
0
0 0 1
该 L.P. 共有8个基解。
若取基为 B=(P1, P2, P3),则基变量为x1, x2, x3, 非基变量为x4, x5
令x4=x5=0，代入约束方程组 解得x1=4, x2=3, x3=-2
2x1 2x2 x3 12
4 x1
16
5 x2
15
从而得到一个基解 X=(4,3,-2,0,0) T
这个基解不是基可行解！
若取基为 B=(P3, P4, P5)=I3,
则基变量为x3, x4, x5, 非基变量为x1, x2
令x1=x2=0，代入约束方程组
x3 12
x4
16
x5
15
从而得到一个基解 X=(0,0,12,16,15) T 这个基解是基可行解！ （注意：选择单位矩阵为基可以较方便的求出一个基可行解。）
同理可得其他基解.
基B
基解
是基 目标
可行 函数
x1 x2 x3 x4 x5 解？ 值
P1 P2 P3
4
3 -2 0
4、线性规划问题（Linear Programming）的数学模型
（1）条件：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条 件都是线性的。简记为“L.P.”
（2）一般形式：
max (或 min) z=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤（=，≥）b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤（=，≥） b2
（4）若决策变量xj取值无限制，则令
xj
x
j
x
j
其中
x
j，x
j
0
（“一分为二”）
（5）若约束等式的右端常数bi ≤ 0，则 等式两边同时乘以“-1”。
例3：将下列线性规划模型化为标准形式。
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9
s.t.
3x1 3x1 2
x2 x2
2 x3 3x3
x a
此为无约束的极值问题
例2 常山机器厂生产 I、II 两型产品。这两型 产品都分别要在A、B、C三种不同设备上加工。按 工艺规定，生产每件产品I需占用各设备分别为2h、 4h、0h，生产每件产品II需占用各设备分别为2h、 0h、5h。己知各设备计划期内用于生产这两种产 品的能力分别为12h、16h、15h，又知每生产一件 产品I企业能获利2元利润，每生产一件产品II企 业能获利3元利润，问该企业应安排生产两种产品 各多少件，使总的利润收入为最大。
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动态规划运筹学基础及其应用胡运权第五版共80页文档
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
80
动态规划运筹学基础及其应用胡运权
第五版
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
运筹学PPT完整版
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
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运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
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运筹学的主要内容
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数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
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❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
运筹学教程胡云权第五版决策分析
风险型决策分析
公司打算生产该护肤品5年。根据以往价格统计资料和市
场预测信息，该产品在今后5年内价格下跌的概率为0.1，保
持原价的概率为0.5，涨价的概率为0.4。通过估算，可得各
种方案在不同价格状态下的益损值如下表所示。
益损值表
单位（万元）
益损值
方案
状态（价格） 概率
跌价 0.1
原价 0.5
涨价 0.4
E(X)=∑ pixi
xi ： 随机离散变量x的第i个取值， i=1,2,3…m；
pi ： x=xi时的概率
E( A1) ? 0.3? 40 ? 0.6 ? 36 ? 0.1? (?16) ? 32 E( A2 ) ? 0.3? 36 ? 0.6 ? 30 ? 0.1? 15 ? 30.3 E( A3 ) ? 0.3? 30 ? 0.6 ? 25 ? 0.1? 20 ? 26.0
从它引出的分枝叫方 案分枝。分枝数量与
方案数量相同。
. 36 . -16
. 36
结果节点
不同行动方案在不同 自然状态下的结果注 明在结果节点的右端
. 30
. 15
. 30 . 25 . 20
风险型决策分析
（2）计算各行动方案的益损期望值，并将计算结果 标注在相应的状态节点上。
32
. 40
. 36
. -16
决策分析概述
决策环境
确定型决策 非确定型决策
风险型决策 不确定型决策
确定型决策
特征： （1）决策者的明确目标（收益大或损失小等）； （2）确定的自然状态； （3）两个以上可供选择的行动方案； （4）不同行动方案在确定状态下的益损值可以计算出来。
【例】某公司管理层需要决策是否生产一种新产品。可以确 定的是，该产品上市后一定供不应求。经数据分析，该产 品的预期单价为 900元，单件可变成本 400元，生产所需固 定成本为50000元。
运筹学讲义第一章
4x 1<164x 2 _12a 21X 1 a 22X 2 ... a 2n X n 十，-）b a m1 X 1第一章线性规划的单纯形法§.1线性规划的基本概念建立数学模型：设X i ,X 2分别是生产的件数，则有:maxz = 2x 1 3x 2x 1, x 2 0这里X 1,X 2称为决策变量。
目标函数与约束条件关于决策变量是线 性的称为线性规划线性规划的一般形式:max(min)z yxr c 2x 2 …厲人耳必+%X 2 +...+九人兰（=,a ）ba m2X 2 ・・・ a mn X n - (一, —)bm x ,,x 2,..,x n 一（专0或无约束2. 线性规划的标准形maxz 二C1X1 …Cn X n"a^x, +ai2x2+••• + 印*人=Ra21^ +a22x2+... + a2n x n= b2a m1 为* a m2 X2 * …+ a mn 人=b m捲_ 0,X2_0,...,X n_0特点：目标函数求极大；等式约束；变量非负。
^令c =(G,c2,…,q), X = (X1,X2，…,x n) , A = (a ij )m n，b=(九^,…,b m ) 则线性规划标准形的矩阵表达式为:max z = exAx = bx _0约定：b — 0,m ^ n,秩A=m.如何化标准形：（I）目标函数实现极大化，即min z=cx，令w--z，则m w丸；（II ）约束条件为不等式约束条件为“「不等式，则在约束条件的左端加上一个非负的松弛变量；约束条件为“ 一”不等式，则在约束条件的左端减去一个非负的松弛变量。
（III ）若存在无约束的变量X k，可令X k = Xk - x k，其中x k 一0,x'k- 0.故有 x^ -B 4b 。
由此，得到Ax -b 的一个解例1.将线性规划min z = -捲 2x 2x-i x 2 x 3 _ 2* X i — X ? + X 3 乏 1论Z0,x 2兰0,x 3无约束化为标准形。
运筹学基础及应用第五版 胡运权
2. 重复上述步骤，直到剩余边数为 n-1 为止。 用此法求解上述问题：
注意：
1. 一个图的最小部分树不唯一，该题中用几种解法 得到的结果都是相同的，是特殊情况；
2. 不同解法得到的最小部分树所包含的边虽然可能 不相同，但是，每个最小部分树中所有边权的总和一定都 是相同的，即都达到了最小。
§6.3 最短路问题
即n=k时结论也成立。 综上，n阶树有n-1条边。
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
V2
7
5 V1
2
2
6
V4
7
2
V3
4
3 V7
1 6
V6
4、矩阵算法 求任意两点间最短距离的方法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵
记做D(0)= dij(0)
其中dij(0)=dij
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 ∞ ∞ ∞ ∞
D（0）= V2 5 0 ∞ 2 7 ∞ ∞
D（2）= V2 5 0 7 2 5 4 8
V3 2 7 0 6 5 4 8 V4 7 2 6 0 3 2 6 V5 7 5 5 3 0 1 3 V6 6 4 4 2 1 0 4 v7 10 8 8 6 3 4 0
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短
距离矩阵 D（3）= dij（3） 其中 dij（3）= min { dir（2）+ drj（2） }
注意：
注意：
1. 一个图的最小部分树不唯一，该题中用几种解法 得到的结果都是相同的，是特殊情况；
2. 不同解法得到的最小部分树所包含的边虽然可能 不相同，但是，每个最小部分树中所有边权的总和一定都 是相同的，即都达到了最小。
§6.3 最短路问题
即n=k时结论也成立。 综上，n阶树有n-1条边。
（3）任何有n个点、n-1条边的连通图是树。
证明（反证法）： 假设n个点，n-1条边的连通图中有圈，则在该圈中去掉一
条边得到的子图仍连通，若子图仍有圈，则继续在相应圈中去 掉一条边，…，直到得到无圈的连通图，即为树。但是该树有 n个点，边数少于n-1,矛盾！
V2
7
5 V1
2
2
6
V4
7
2
V3
4
3 V7
1 6
V6
4、矩阵算法 求任意两点间最短距离的方法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵
记做D(0)= dij(0)
其中dij(0)=dij
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
V1 0 5 2 ∞ ∞ ∞ ∞
D（0）= V2 5 0 ∞ 2 7 ∞ ∞
D（2）= V2 5 0 7 2 5 4 8
V3 2 7 0 6 5 4 8 V4 7 2 6 0 3 2 6 V5 7 5 5 3 0 1 3 V6 6 4 4 2 1 0 4 v7 10 8 8 6 3 4 0
⑷ 构造任意两点间最多可经过7个中间点到达的最短
距离矩阵 D（3）= dij（3） 其中 dij（3）= min { dir（2）+ drj（2） }
注意：
清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)
m ax Z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 ( 2) st . 3 x1 4 x 2 12 x , x 0 1 2 该问题无可行解
2
( 3)
m axZ x1 x 2 6 x1 10x 2 120 st . 5 x1 10 5 x2 8
1
(3)
max Z x1 x2 6 x1 10x2 120 st . 5 x1 10 5 x 8 2
(4)
m i nZ 2 x1 3 x 2 4 x1 6 x 2 6 (1) st . 3 x1 2 x 2 4 x ,x 0 1 2 无穷多最优解 (蓝 色 线 段 上 的 点 都 是 优 最解 ） x1 6 1 , x2 , 是 其 中 一 个 最 优 解 5 5
唯一最优解， x1 10, x 2 6 Z 16
(4)
max Z 5 x1 6 x2 2 x1 x2 2 st. 2 x1 3x2 2 x ,x 0 1 2
3
该问题有无界解
1.2
将下述线性规划问题化成标准形式。
min Z 3x1 4 x2 2 x3 5 x4 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x x x 2 x 14 2 3 4 st 1 . 2 x1 3x2 x3 x4 2 x1 , x2 , x3 0, x4无约束
解：令 w Z , x4 x41 x42， 其 中 x41，x42 0, 同时引入松弛变量 x5， 剩 余 变 量 x6， 则 标 准 形 式 为 ： m axw 3 x1 4 x 2 2 x 3 5 x41 5 x42 4 x1 x 2 2 x 3 x41 x42 x x x 2x 2x x 1 2 3 41 42 5 st 2 x1 3 x 2 x 3 x41 x42 x6 x1 , x 2 , x 3 , x41 , x42 , x6 2 14 2 3x2 6 x3 3x4 9 8 x x 4 x 2 x 10 1 2 3 5 st 3x1 x6 0 （ , j 1, ,6） x j 0
胡运权运筹学第五版第一章习题讲解
1.3 答案：
●单纯形法：
Cj CB 0 0 基 x3 x4 Cj-Zj 0 x3
10
x1
Cj-Zj
8/5
1
0
2/5
1 1
0
0 5/14
1/5
-2 -3/14
5
x2
3/2
0
10
x1
Cj-Zj
1
1
0
0
0
-1/7
-5/14
2/7
-25/14
Return
课后题答案
z' -3x1 x 2 'x 2 ' '-2x 3 '0x 4 0x 5 - Mx6 - Mx7
台时 限制 6000 1000 0 4000 7000 4000
单位台 时费用 0.05 0.03 0.06 0.11 0.05
6 4 7 0.25 0.36 0.25 0.44 0.25 0.35
6 4 7 0.21 0.36 0.21 0.44 0.21 0.77
8
8 11
0.5 0.48
0.27 0.48
课后题答案
1.1（a）答案： 该问题有无穷多最优解。 取特殊值：(1.5,0) 计算目标函数最优值 得:min z=3。
1.1（a）
1.1（b）答案： 由图可知：该Lp问题没 有可行域，即可得出： 该问题无可行解
1.1(b)
Return
课后题答案
1.2（b）答案：
基解 基
x1 P2 P3 P4 P3 -4 2/5 -113 ) 10 x211 6000 7( x x x ) 9 x 12 x 121 122 123 221 322 10000 6( x111 x121 ) 8( x211 x221 ) 4000 s.t. 4( x112 x122 ) 11x322 7000 7( x113 x123 ) 4000 x111 , x112 , x113 , x121 , x122 , x123 , x211 , x221 , x322 0
第一章运筹学 PPT讲解
艇攻击时损失最少； 3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
Page 4
运筹学的主要内容
Page 5
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的特点和要求
Page 6
先修课：高等数学，基础概率、线性代数 特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用 运筹学的研究的主要步骤：
n
max Z c x j
bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（最小也可以，但我们先统一到最大）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
x2
max Z
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值
X
0
其中： C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
xn
b1
B
bm
Page 16
线性规划问题的数学模型
Page 17
3. 线性规划问题的标准形式
运筹学
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
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运筹学的主要内容
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本课程的特点和要求
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先修课：高等数学，基础概率、线性代数 特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用 运筹学的研究的主要步骤：
n
max Z c x j
bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（最小也可以，但我们先统一到最大）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
x2
max Z
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值
X
0
其中： C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
xn
b1
B
bm
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线性规划问题的数学模型
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3. 线性规划问题的标准形式
运筹学
《运筹学教程》胡云权第五版运筹学-线性规划-3excel线性规划及应用PPT课件
x3
4000
x1 3000
x2
3000
x3 3000
xi
0, i
1, 2, 3
2021/2/12
第 3第3 页33 页
3、人员分配问题
上海财经大学
《运筹学》
某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需四
级和乘务人员数如下表所示。问该公交线路至少配备 多少名司机和乘务人员？
班次 1 2 3 4 5 6
开始上班，则
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x6 60
x1
x2
70
x2
x3
60
x3 x4 50
x4
x5
20
x5 xi
x6 30 0, i 1, 2,
,6
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第 3第5 页35 页
4、运输问题
上海财经大学
《运筹学》
设有A1，A2，A3三个产地，生产某种物质，其产 量分别为7，5，7，B1，B2，B3，B4四个销地，需要该 物资，销量分别为2，3，4，6，又已知各产销地之间 的运价如下表，确定总运费最少的调运方案。
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第 2第9 页29 页
1、材料利用问题
上海财经大学
《运筹学》
现要做100 套钢架,每套用长为2.9m , 2.1m 和1.5m 的元钢各一根制成。已知原料长7.4米，问应如何下料， 使用的原材料最省？
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30
第 3第0 页30 页
1、材料利用问题
上海财经大学
《运筹学》
第18页运筹学第18页2019117上海财经大学?在工作表的顶部输入数据?确定每个决策变量所对应的单元格位置?选择单元格输入公式找到目标函数的值?选择一个单元格输入公式计算每个约束条件左边的值?选择一个单元格输入公式计算每个约束条件右边的值图中规定b12c12为可变单元格可变单元格存放决策变量的取值可变单元格数目等于决策变量个数建立数学公式步骤二第19页运筹学第19页2019117上海财经大学?在工作表的顶部输入数据?确定每个决策变量所对应的单元格位置?选择单元格输入公式找到目标函数的值?确定约束单元格输入公式计算每个约束条件左边的值?确定约束单元格输入公式计算每个约束条件右边的值在目标单元格中需要填入计算目标函数值的公式
运筹学PPT完整版
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
s.t
n j1
aij
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 28
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
maxZ 2x1 x2 3(x3 x3)0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4 7
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
线性规划问题的数学模型
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2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
s.t
n j1
aij
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
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可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
maxZ 2x1 x2 3(x3 x3)0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4 7
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
线性规划问题的数学模型
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2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints