微分求积法求解变截面功能梯度梁的弯曲问题
4
Q , ( )
( 5)
( 2) 梁的弯曲刚度沿长度方向呈指数变化, 即 EI = E 0 I 0 F( ) , F( ) = e , 此时控制方程为 d4 W d3 W + 4 + 2 d d 3
2 2 d2 W = Qe . d2
( 7)
计算中均考虑两端简支功能梯度变截面梁, 边界条件为 W = 0, d W = 0, 1 处 2 = 0, 在 d ( 8)
2 df ( x ) 2 d g( x ) d w + 3 + f ( x ) dx g( x ) dx dx 1 d2 f ( x ) 2 df ( x ) d g( x ) 1 d2 g( x ) d 2 w q + + , 2 2 = f ( x ) dx f ( x ) g( x ) dx dx g( x ) d x 2 dx E 0 I 0 f ( x ) g( x )
4 2 2
( 3)
( ) , ( ) = ( - 1 ) + 1, f ( ) = ! ( ), ! ( ) = ( ∀- 1) + 1, 12( - 1) 2 8( - 1) ( ∀- 1) d2 W Q + , 2 2 = 4 ( ) ! ( ) ( ) d !( ) ( )
3 2 2
其中 = d l / d 0 , ∀= E l / E 0 . 将 f ( ) 与 g( ) 代入式( 3 ) 得控制方程 - 1 4 ( - 1 ) d3 W d4 W + 2 ∀ + 4 3 + ! ( ) ( ) d d
第 22 卷 第 1 期 2010 年 3 月
甘 肃科 学 学报 Journal of G an su Sciences
V ol. 22 N o. 1 M ar. 2010
微分求积法求解变截面功能 梯度梁的弯曲问题
张靖华, 龚 云, 李世荣
730050) ( 兰州理工大学 理学院 , 甘肃 兰州
摘 要: 应用微分求积法( DQM) 分析变截面功能梯度梁的弯曲. 基于 Euler 梁理论 , 同时考虑横 截面尺寸和材料参数沿长度梯度变化, 建立基本方程. 采用 DQM 对变系数高阶微分方程进行数值 求解 . 首先 , 退化为等截面均匀材料梁得到数值结果 , 并与解析解比较 , 说明了 DQM 的有效性和精 确性 . 其次 , 分别考虑横截面尺寸和材料物性参数沿轴向连续变化, 给出功能梯度梁的挠度的数值 解, 并分析几何参数 、 物理参数沿轴线变化时梁挠度的变化规律 . 关键词: 功能梯度材料 ; 微分求积法; 变截面梁; 数值解 O343 文献标志码: A 文章编号: 1004 0366( 2010) 01 0014 04 中图分类号:
[ 2] [ 3] [ 1]
荷载作用下 Euler 悬臂梁的弯 曲. 文 献 [ 4] 采用打 靶法求解两端固定功 能梯度 Euler 梁的热 过屈曲 及自由振动. 赵凤群等
[ 5]
采用打靶法分析由二氧化
锆和 T i 6Al4V 2 种材料组成的 FGM 杆的热后屈 曲行为 . 徐腾飞等 [ 6] 使用 F robenius 法 求解了变截 面 Euler 梁的振动频率与振型 . 文献[ 7] 还将 DQM 法用于 分析非 柱形曲 梁的横 向振 动. M alelkzadeh
对悬臂梁满应力截面进行 采用无网格法求解了线性
收稿日期 : 2009 09 03 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 10872083) , 兰州理工大学科研发展基金 ( BS10200902)
第 22 卷
[ 8]
张靖华等 : 微分求积法求解变截面功能梯度梁的弯曲问题
15
等 采用 DQM 和 FEM 混合法求解双参数弹性地 基上梁自由振动和屈曲问题 , 并考虑了横向剪切变 形的影响. 文献 [ 9] 用 DQM 法成功地 分析了置 于 非线性弹性地基上的复合材料梁大振幅振动 , 证明 了 DQM 求解非线性 振动有效 性. 以 下采用 DQ M 法分析变截面功能梯度梁的弯曲, 考察 DQM 对变 系数的四阶微分方程 2 点边值问题求解的有效性 , 分析几何参数和物理参数连续 变化时功能梯 度变 截面梁的弯曲特性 . dw+ 4 dx
4
( 4)
当 ∀= 1 时 , 梁的弹性模量 E 为定值 , 横截面连续变化, 此时控制方程为 d W + 8( - 1) d W + 12( - 1) d W = 2 d4 ( ) d3 ( ) d2 当 = 1, 梁的横截面为定值, 弹性模量连续变化, 此时控制方程为 d4 W + d4 2( ∀- 1) d3 W Q = , ! ( ) d3 !( ) ( 6)
3
( 2)
引入无量纲量 = x , W = w , Q = ql 得无量纲形式的控制方程 l E 0I 0 l 4 2 df ( ) 2 dg ( ) d 3 W dW+ + 4 3 + f( ) d g( ) d d d 1 df( )+ 2 d f ( ) dg ( ) + 1 d g( ) d2 W Q 2 = , f( ) d f ( ) g( ) d d g( ) d 2 d2 f ( ) g( ) 具体数值计算时 , 考虑如下 2 种情况功能梯度变截面梁 : ( 1) 圆截面梁 , 假设梁的直径和弹性模量均沿长度方向线性变化, 即 g( ) =
k= 1, j ! i k ! i, j N
∀
N
(xi - xk) /
k= 1 j ! i, k ! j
∀
N
( xj - xk),
A (ii 1) =
k= 1 k ! i, j ! i
1 , i , j = 1, 2, (xi - xk)
N
,N
二阶及二阶以上权系数满足
N
A =
k= 1
k ij
A A
1 ik
2
数值方法
采用微分求积法对 变系 数高 阶 微分 方程 进行 数值 求解 . 设区 间 [ 0, 1 ] 上有 N 个 互不 重 合的 结点 0= 1 < 2 < 3 < < N = 1, 采用非均匀结点划分公式
i
#( i - 1) = 1 1 - cos , i = 1, 2, 2 N- 1
,N
( 9)
2 2
( ) , D = Q/ ,D= Qe
-
4
( ) ; 对式( 6) 离散
时为 D = Q/ ! ( ) , B = 2( ∀ - 1) / ! ( ) , C = 0 ; 式( 7)
2
.
3
结果讨论
为了说明 DQM 法计算 结果 的可靠 性和收 敛
性, 首先给出将功能梯度变截面简支梁退化为均质 梁, 给定无量纲载荷 Q = 1, 取结点数为不同值时梁 的挠度数值解与解析解的比较见图 1. 图 1 可以看 出随结点数增加 , 数值结果的误差逐渐缩小, 当结点 数为 13 时 , 二者 已 经 非 常 接 近, 平 均 误 差 为 0. 47% . 所以后续计算时均取 13 个结点. 梁的弹性模量为常数, 横截面直径线性变化 , 取不同值时 梁挠 度的 变 化规 律见 图 2, 其 中给 定 Q= 1 . 从图 2 可 以看出当弹性模量为常数 , 横截面 尺寸连续变化时梁的最大挠度发生在中点偏右的位 置, 并且随着 取值的增大逐渐减少 , 随 大挠度所在位置也逐渐趋于梁的中点. 的增大最
4 3
1
控制方程
考虑变截面梁, 长为 l , 材料特性沿长度连续变
化 , 作用横向载荷 q, 梁的弯曲平衡方程为
2 d2 EI d w = q, 2 dx 2 dx
( 1)
假设梁的弹性 模量与横截面尺寸均沿 轴线连续变 化 , 可设为 E = E 0 f ( x ) 、 I = I 0 g( x ) , 将其带入式 ( 1 ) 得问题的基本控制方程
16 离散后全部结点位移表示为 [ X ] T = { W 1, W 2, 根据微分求积法基本理论 [ 7~ 9]
N
甘 肃 科 学 学 报
2010 年
第1期
, WN }T
W (i k) =
( k)
j = 1, j ! i
A (ij k) W j ,
( k)
式中 W 为 W 对 的 k 阶导数, A ij 为 k 阶导数的 权系数. 其中一阶导数的权系数为 A (ij 1) =
Bending of Functionally Graded Beam with Variable Cross Sections by Differential Quadrature Method
ZH ANG Jing hua, GONG Yun, L I Shi rong
( School of Sciences , L anz hou Univer sity of Science and T echnology , L anz hou 730050, China)
( k- 1) kj
=
=
k= 1
A (ikk- 1) A 1 kj .
为了考察材料参数沿轴向梯度变化时对梁变形 的影响 , 梁的横截面尺寸为常数 , 弹性模量沿轴向线 性变化时挠度见图 3 . 从图 3 可以看出当横截面尺 寸为常数, 材料参数 ∀取不同值时梁的最大挠度没 有发生在梁的中点 , 而在中点偏右的位置 . 并且梁的 挠度随着 ∀取值的增大逐渐减小.
将控制方程( 5 ) ~ ( 7) 及边界条件 j = 1, j ! i N N
A (ij 4) W j + B
j = 1, j ! i
A (ij3) W j + C
j = 1, j ! i
A (ij2) W j = ( 10) ( 11) ( 12)
Q , ( )
( 5)
( 2) 梁的弯曲刚度沿长度方向呈指数变化, 即 EI = E 0 I 0 F( ) , F( ) = e , 此时控制方程为 d4 W d3 W + 4 + 2 d d 3
2 2 d2 W = Qe . d2
( 7)
计算中均考虑两端简支功能梯度变截面梁, 边界条件为 W = 0, d W = 0, 1 处 2 = 0, 在 d ( 8)
2 df ( x ) 2 d g( x ) d w + 3 + f ( x ) dx g( x ) dx dx 1 d2 f ( x ) 2 df ( x ) d g( x ) 1 d2 g( x ) d 2 w q + + , 2 2 = f ( x ) dx f ( x ) g( x ) dx dx g( x ) d x 2 dx E 0 I 0 f ( x ) g( x )
4 2 2
( 3)
( ) , ( ) = ( - 1 ) + 1, f ( ) = ! ( ), ! ( ) = ( ∀- 1) + 1, 12( - 1) 2 8( - 1) ( ∀- 1) d2 W Q + , 2 2 = 4 ( ) ! ( ) ( ) d !( ) ( )
3 2 2
其中 = d l / d 0 , ∀= E l / E 0 . 将 f ( ) 与 g( ) 代入式( 3 ) 得控制方程 - 1 4 ( - 1 ) d3 W d4 W + 2 ∀ + 4 3 + ! ( ) ( ) d d
第 22 卷 第 1 期 2010 年 3 月
甘 肃科 学 学报 Journal of G an su Sciences
V ol. 22 N o. 1 M ar. 2010
微分求积法求解变截面功能 梯度梁的弯曲问题
张靖华, 龚 云, 李世荣
730050) ( 兰州理工大学 理学院 , 甘肃 兰州
摘 要: 应用微分求积法( DQM) 分析变截面功能梯度梁的弯曲. 基于 Euler 梁理论 , 同时考虑横 截面尺寸和材料参数沿长度梯度变化, 建立基本方程. 采用 DQM 对变系数高阶微分方程进行数值 求解 . 首先 , 退化为等截面均匀材料梁得到数值结果 , 并与解析解比较 , 说明了 DQM 的有效性和精 确性 . 其次 , 分别考虑横截面尺寸和材料物性参数沿轴向连续变化, 给出功能梯度梁的挠度的数值 解, 并分析几何参数 、 物理参数沿轴线变化时梁挠度的变化规律 . 关键词: 功能梯度材料 ; 微分求积法; 变截面梁; 数值解 O343 文献标志码: A 文章编号: 1004 0366( 2010) 01 0014 04 中图分类号:
[ 2] [ 3] [ 1]
荷载作用下 Euler 悬臂梁的弯 曲. 文 献 [ 4] 采用打 靶法求解两端固定功 能梯度 Euler 梁的热 过屈曲 及自由振动. 赵凤群等
[ 5]
采用打靶法分析由二氧化
锆和 T i 6Al4V 2 种材料组成的 FGM 杆的热后屈 曲行为 . 徐腾飞等 [ 6] 使用 F robenius 法 求解了变截 面 Euler 梁的振动频率与振型 . 文献[ 7] 还将 DQM 法用于 分析非 柱形曲 梁的横 向振 动. M alelkzadeh
对悬臂梁满应力截面进行 采用无网格法求解了线性
收稿日期 : 2009 09 03 基金项目 : 国家自然科学基金项目 ( 10872083) , 兰州理工大学科研发展基金 ( BS10200902)
第 22 卷
[ 8]
张靖华等 : 微分求积法求解变截面功能梯度梁的弯曲问题
15
等 采用 DQM 和 FEM 混合法求解双参数弹性地 基上梁自由振动和屈曲问题 , 并考虑了横向剪切变 形的影响. 文献 [ 9] 用 DQM 法成功地 分析了置 于 非线性弹性地基上的复合材料梁大振幅振动 , 证明 了 DQM 求解非线性 振动有效 性. 以 下采用 DQ M 法分析变截面功能梯度梁的弯曲, 考察 DQM 对变 系数的四阶微分方程 2 点边值问题求解的有效性 , 分析几何参数和物理参数连续 变化时功能梯 度变 截面梁的弯曲特性 . dw+ 4 dx
4
( 4)
当 ∀= 1 时 , 梁的弹性模量 E 为定值 , 横截面连续变化, 此时控制方程为 d W + 8( - 1) d W + 12( - 1) d W = 2 d4 ( ) d3 ( ) d2 当 = 1, 梁的横截面为定值, 弹性模量连续变化, 此时控制方程为 d4 W + d4 2( ∀- 1) d3 W Q = , ! ( ) d3 !( ) ( 6)
3
( 2)
引入无量纲量 = x , W = w , Q = ql 得无量纲形式的控制方程 l E 0I 0 l 4 2 df ( ) 2 dg ( ) d 3 W dW+ + 4 3 + f( ) d g( ) d d d 1 df( )+ 2 d f ( ) dg ( ) + 1 d g( ) d2 W Q 2 = , f( ) d f ( ) g( ) d d g( ) d 2 d2 f ( ) g( ) 具体数值计算时 , 考虑如下 2 种情况功能梯度变截面梁 : ( 1) 圆截面梁 , 假设梁的直径和弹性模量均沿长度方向线性变化, 即 g( ) =
k= 1, j ! i k ! i, j N
∀
N
(xi - xk) /
k= 1 j ! i, k ! j
∀
N
( xj - xk),
A (ii 1) =
k= 1 k ! i, j ! i
1 , i , j = 1, 2, (xi - xk)
N
,N
二阶及二阶以上权系数满足
N
A =
k= 1
k ij
A A
1 ik
2
数值方法
采用微分求积法对 变系 数高 阶 微分 方程 进行 数值 求解 . 设区 间 [ 0, 1 ] 上有 N 个 互不 重 合的 结点 0= 1 < 2 < 3 < < N = 1, 采用非均匀结点划分公式
i
#( i - 1) = 1 1 - cos , i = 1, 2, 2 N- 1
,N
( 9)
2 2
( ) , D = Q/ ,D= Qe
-
4
( ) ; 对式( 6) 离散
时为 D = Q/ ! ( ) , B = 2( ∀ - 1) / ! ( ) , C = 0 ; 式( 7)
2
.
3
结果讨论
为了说明 DQM 法计算 结果 的可靠 性和收 敛
性, 首先给出将功能梯度变截面简支梁退化为均质 梁, 给定无量纲载荷 Q = 1, 取结点数为不同值时梁 的挠度数值解与解析解的比较见图 1. 图 1 可以看 出随结点数增加 , 数值结果的误差逐渐缩小, 当结点 数为 13 时 , 二者 已 经 非 常 接 近, 平 均 误 差 为 0. 47% . 所以后续计算时均取 13 个结点. 梁的弹性模量为常数, 横截面直径线性变化 , 取不同值时 梁挠 度的 变 化规 律见 图 2, 其 中给 定 Q= 1 . 从图 2 可 以看出当弹性模量为常数 , 横截面 尺寸连续变化时梁的最大挠度发生在中点偏右的位 置, 并且随着 取值的增大逐渐减少 , 随 大挠度所在位置也逐渐趋于梁的中点. 的增大最
4 3
1
控制方程
考虑变截面梁, 长为 l , 材料特性沿长度连续变
化 , 作用横向载荷 q, 梁的弯曲平衡方程为
2 d2 EI d w = q, 2 dx 2 dx
( 1)
假设梁的弹性 模量与横截面尺寸均沿 轴线连续变 化 , 可设为 E = E 0 f ( x ) 、 I = I 0 g( x ) , 将其带入式 ( 1 ) 得问题的基本控制方程
16 离散后全部结点位移表示为 [ X ] T = { W 1, W 2, 根据微分求积法基本理论 [ 7~ 9]
N
甘 肃 科 学 学 报
2010 年
第1期
, WN }T
W (i k) =
( k)
j = 1, j ! i
A (ij k) W j ,
( k)
式中 W 为 W 对 的 k 阶导数, A ij 为 k 阶导数的 权系数. 其中一阶导数的权系数为 A (ij 1) =
Bending of Functionally Graded Beam with Variable Cross Sections by Differential Quadrature Method
ZH ANG Jing hua, GONG Yun, L I Shi rong
( School of Sciences , L anz hou Univer sity of Science and T echnology , L anz hou 730050, China)
( k- 1) kj
=
=
k= 1
A (ikk- 1) A 1 kj .
为了考察材料参数沿轴向梯度变化时对梁变形 的影响 , 梁的横截面尺寸为常数 , 弹性模量沿轴向线 性变化时挠度见图 3 . 从图 3 可以看出当横截面尺 寸为常数, 材料参数 ∀取不同值时梁的最大挠度没 有发生在梁的中点 , 而在中点偏右的位置 . 并且梁的 挠度随着 ∀取值的增大逐渐减小.
将控制方程( 5 ) ~ ( 7) 及边界条件 j = 1, j ! i N N
A (ij 4) W j + B
j = 1, j ! i
A (ij3) W j + C
j = 1, j ! i
A (ij2) W j = ( 10) ( 11) ( 12)
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材料力学07弯曲变形_1积分法
x F
M (x) EI z
dx
C
二次积分得挠曲线方程
w
M( EI
x)
z
dxdx
Cx
D
式中，C、D 为积分常数
说明：1）若弯矩方程 M(x) 为分段函数，积分则应分段进行 2）积分常数由梁的位移边界条件以及位移连续条件确定
[例1] 试列出下列各梁的位移边界条件 w
B
A
x
l
w 0 x0
x23
F 6EI
x2
a3
Fb 6EIl
b2 l2
x2
Fb l2 b2 3
wmax
w1
x1
l2 b2 3
9 3EIl
对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程
F EI
lx
1 2
x2
C
再积分一次，得挠曲线方程
w
F EI
l 2
x2
1 6
x3
Cx
D
F EI
lx
1 2
x2
C
w
F EI
l 2
x2
1 6
x3
Cx
D
3）确定积分常数 该梁的位移边界条件为
第七章 弯曲变形
第一节 引言
一、梁对称弯曲时的变形
w
对称弯曲时，梁的轴线弯成一 条光滑连续的平面曲线
该曲线称为梁的挠曲线 建立图示坐标系， 有挠曲线方程
用积分法求梁的变形
3
M ( x) EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
o
M
M
x
o
x
d2y 0 2 dx
y y
M
d2y 0 2 dx
M
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
x0
x0
L b 3
1 L 2
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
b0
3 L 0.577 L 3
例题 5.4
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
1 2
1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
y
A
C
B
x
C
B
tan
d dx
d dx
M ( x) EI Z dx C1
M ( x ) 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 dx dx C1 x C2 EI Z
通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
B
2M ( x ) d d Fx dx C C EI Fxdx EI C z 11 z 1 dx dx 2 EI Z
x
y
边界条件
2 3 Fx C xC Fx EI dx z 2 EI z 1 x C2 26 C1
M ( x) EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
o
M
M
x
o
x
d2y 0 2 dx
y y
M
d2y 0 2 dx
M
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
x0
x0
L b 3
1 L 2
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
b0
3 L 0.577 L 3
例题 5.4
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
1 2
1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
y
A
C
B
x
C
B
tan
d dx
d dx
M ( x) EI Z dx C1
M ( x ) 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 dx dx C1 x C2 EI Z
通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
B
2M ( x ) d d Fx dx C C EI Fxdx EI C z 11 z 1 dx dx 2 EI Z
x
y
边界条件
2 3 Fx C xC Fx EI dx z 2 EI z 1 x C2 26 C1
积分法计算梁的变形
工程力学
积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1 EIw (x) ( M (x)dx)dx C1x C2
积分法计算梁的变形
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确
C1
C2
Fb 6L
(L2
b2 );
D1 D2 0
确定挠曲线和转角方程
w1
F b x1 6LEI
L2 b2 x12
w2
Fb 6LEI
L b
(x2
a)3
x23
(L2
b2
)x2
1
w1
Fb 6LEI
(L2 b2 ) 6x12
2
w2
Fb 2LEI
L b
(x2
a)2
x22
1 3
(L2
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大 值、转角的最大值。
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
w
x
L
F
x
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x)
写出微分方程并积分 EIw FL Fx
EIw
FLx
1 2
Fx
2
C1
EIw
FLx2 2
Fx3 6
C1x
C2
EIw
q
确定积分常数
x =0 , w=0 ; x=L , w=0 .
C1
ql3 24,C2 0A NhomakorabeaB
L
最大挠度及最大转角
确定挠曲线和转角方程 w qx (l3 2lx2 x3 )
积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1 EIw (x) ( M (x)dx)dx C1x C2
积分法计算梁的变形
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确
C1
C2
Fb 6L
(L2
b2 );
D1 D2 0
确定挠曲线和转角方程
w1
F b x1 6LEI
L2 b2 x12
w2
Fb 6LEI
L b
(x2
a)3
x23
(L2
b2
)x2
1
w1
Fb 6LEI
(L2 b2 ) 6x12
2
w2
Fb 2LEI
L b
(x2
a)2
x22
1 3
(L2
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大 值、转角的最大值。
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
w
x
L
F
x
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x)
写出微分方程并积分 EIw FL Fx
EIw
FLx
1 2
Fx
2
C1
EIw
FLx2 2
Fx3 6
C1x
C2
EIw
q
确定积分常数
x =0 , w=0 ; x=L , w=0 .
C1
ql3 24,C2 0A NhomakorabeaB
L
最大挠度及最大转角
确定挠曲线和转角方程 w qx (l3 2lx2 x3 )
功能梯度夹层板弯曲问题的微分求积法
摘 要： 本文基于一阶剪切变性板理论， 运用能量变分得到问题的控制方程以及 自 然边界条件， 并运用二维问题的微分求
积 法 对 其 进 行 了求 解 。 可 以看 出对 于 线性 弯 曲 问题 ， 分 求积 法 的 收敛 性 很 好 。 微
关键 词： Ｇ ； Ｆ Ｍ 微分求积法：线性弯 曲：夹层板 中图分类号 ：３ ３ ０４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ４ ９ 一２ ０ ）— ０ ０ ０ １ ７ — ７２ （０８８ ０ ７ — ３ ６
的， 它广泛应用于航空航天 、 核工业等工程 中， 是一种热机性 能很好 的新型复合材料 。 由多种不 同材料介质沿空间按不 其
载荷 ｑ并假设材料性质 Ｐ 诸如弹性模量 Ｅ 密度、 ， （ 、 热膨胀系
数 等量 ） 只沿板的厚 度方向变化， 且服从 以下规律 ：
Ｐｚ ＝ 一 ） （） （ ＋ Ｅ ｚ ＝ （／ ＋ ／ ）＋ （） ｚｈ １２
Ａｂ ｔ ｃ ： Ｌ ｎ ａ ｂ ｎ ｉ ｇ ｆ ｈ ｃ ｍ ｏ ｉ ｅ ｕ ｃ ｉ ｎ ｌ ｙ ｒ ｄ ｄ ｌ ｔ ｓ ｓ ｎ ｂ ｔ ｇ ｔ ｄ ｉ ｔ ｅ ｒ ｓ ｎ ｓｒ ｔ ａ ｉ ｅ ｒ ｅ ｄ ｎ ｏ ｔ ｅ ｏ ｐ ｓ ｔ ｆ ｎ ｔ ｏ ａ １ ｇ ａ ｅ ｐ ａ ｅ ｉ ｉ ｖ ｓ ｉ ａ ｅ ｎ ｈ ｐ ｅ ｅ ｔ
Ｋｅ ｗｏ ｄ ： Ｆ Ｍ：Ｄ Ｍ； Ｌ ｎ ａ ｅ ｄ ｎ ｙ ｒｓ Ｇ Ｑ ｉ ｅ ｒ Ｂ ｎ ｉ ｇ； Ｃ ｍ ｏ ｉ ｅ Ｐ ａ ｅ ｏ ｐ ｓ ｔ ｌｔ ｓ
０引言
度 也为 ｈ ， １ 中间厚度为 ｈ 属于功 能梯 度过渡层， ， 作用有分布
功 能梯度材料 （ Ｍ是 日 Ｆ ） Ｇ 本科 学家于 １８ ９４年 首先提 出
微分求积法求解功能梯度材料梁的弯曲问题
收稿 日期 ：２ １ －９０ ０００ —３
作者简介 ： 付俊￣（ ８一男， １ １ ， 河南洛阳人， 助教， ９ ） 硕士， 主要从事功能梯度材料结构力 学的研 究． 基金项 目：洛阳理工学院青年基金（ ０Ｑ ０） ２ 梯度 材料 梁的弯 曲问题
一
ｏｏ●ＯＯ．一 均匀复 合 材 （ 二 方 向 由～ 侧 向另一 侧 呈连 续梯 度 变化 ，从而使 材料 性质 和 功能 也呈 梯 度变 化 的 一种新 型非） ●ＯＯ．
ｌ ■ 料 。Ｆ ＧＭ在宏 观尺 度上 各 组份 材料 的体 积含 量在 空 间位置 上是 连续 变化 的 ，其ｏ●Ｏ－Ｏ■一 突变 ，因 而 物理 性 能没有 ● ｏ■ ●■ｏ．．。●● ］ ．Ｑ■ 可 以较 好地避 免或 降低 应 力集 中现 象 。 同时 ，Ｆ ＧＭ具有很 好 的可 设计 性 ，可 以通 过优 化方法 有针对 性 地 ●ｏ■ 改变各 组份材 料体 积含 量 的空 问分 布规 律 ，从而 达 到优化 结构 内部 应 力分布 的 ●●●譬ＧＭ￣， 目的 。Ｆ ●ｎ 够充分 发 挥
●●●暑
●－ ●●■
本 科 学 家 提 出 以来 ， 由于 其 可 设 计 性
强 ， 以及 可 以达 到 传 统 复 合 材 料 无 法
比拟 的优 良的热 机 性 能 ，而 受 到 国 内 外学 者 的普 遍 关 注 ， 已成 为 力 学 界 的 前 沿 课 题 。 马 连 生 等… 于 经 典 板 理 基 论 ，利 用 打靶 法 求解 了Ｆ ＧＭ 圆板 在 热 机载 荷 作 用 下 的轴 对 称 非 线 性 弯 曲 问 题 ；刘 进 等 于 一阶剪 切 变形 理 论 ， ｌ 基 利用 微 分 容积 法 求解 Ｆ ＧＭ矩 形 薄 、 厚
Ｆ Ｍ 梁 的细 长 比 的增 大 ，梁 中 心 挠度 迅 速 减 小 。 Ｇ
作者简介 ： 付俊￣（ ８一男， １ １ ， 河南洛阳人， 助教， ９ ） 硕士， 主要从事功能梯度材料结构力 学的研 究． 基金项 目：洛阳理工学院青年基金（ ０Ｑ ０） ２ 梯度 材料 梁的弯 曲问题
一
ｏｏ●ＯＯ．一 均匀复 合 材 （ 二 方 向 由～ 侧 向另一 侧 呈连 续梯 度 变化 ，从而使 材料 性质 和 功能 也呈 梯 度变 化 的 一种新 型非） ●ＯＯ．
ｌ ■ 料 。Ｆ ＧＭ在宏 观尺 度上 各 组份 材料 的体 积含 量在 空 间位置 上是 连续 变化 的 ，其ｏ●Ｏ－Ｏ■一 突变 ，因 而 物理 性 能没有 ● ｏ■ ●■ｏ．．。●● ］ ．Ｑ■ 可 以较 好地避 免或 降低 应 力集 中现 象 。 同时 ，Ｆ ＧＭ具有很 好 的可 设计 性 ，可 以通 过优 化方法 有针对 性 地 ●ｏ■ 改变各 组份材 料体 积含 量 的空 问分 布规 律 ，从而 达 到优化 结构 内部 应 力分布 的 ●●●譬ＧＭ￣， 目的 。Ｆ ●ｎ 够充分 发 挥
●●●暑
●－ ●●■
本 科 学 家 提 出 以来 ， 由于 其 可 设 计 性
强 ， 以及 可 以达 到 传 统 复 合 材 料 无 法
比拟 的优 良的热 机 性 能 ，而 受 到 国 内 外学 者 的普 遍 关 注 ， 已成 为 力 学 界 的 前 沿 课 题 。 马 连 生 等… 于 经 典 板 理 基 论 ，利 用 打靶 法 求解 了Ｆ ＧＭ 圆板 在 热 机载 荷 作 用 下 的轴 对 称 非 线 性 弯 曲 问 题 ；刘 进 等 于 一阶剪 切 变形 理 论 ， ｌ 基 利用 微 分 容积 法 求解 Ｆ ＧＭ矩 形 薄 、 厚
Ｆ Ｍ 梁 的细 长 比 的增 大 ，梁 中 心 挠度 迅 速 减 小 。 Ｇ
材料力学梁的弯曲变形第2节 确定梁位移的积分法
边界条件： x 0 时
Fx (2l x)
yA 0 ，A 0
C0 D0
2EI y Fx2 (3l x)
6EI
B
yB
Fl2 2EI
1.91103 rad 0.109o
yB
Fl3 3EI
3.06104 m
0.306mm
因弯曲变形而引起圆轴直径误差 d 2yB 0.612 mm
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分：
积分一次得转角方程：
y
M (x) EI
dx
C
积分二次得挠度方程：
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
转角方程
y
M (x) EI
dx
C
挠度方程
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
力偶 M e 120 N m 作用，试求 (1)转角方程和位移方
程；(2)梁的最大挠度。
解：(1)转角方程和
位移方程
x
FA
FB
Me l
梁的弯矩方程为
M (x) Me x
l
将上式一次积分得转角
y'
Me
x2 C
(1)
2EIl
转角方程
y' Me x2 C (1)
(2) 梁的最大挠度 最大挠度点的条件
微分求积法求解梁的位移方程
微分求积法求解梁的位移方程吴明明【摘要】分析了功能梯度梁的变形问题,在简单介绍微分求积法基本原理的基础上,进行了数值计算给出了精确解,并将获得的结果与现有解进行了比较,验证了计算方法的有效性.研究了不同边界条件和节点个数对功能梯度梁弯曲的影响.【期刊名称】《山西建筑》【年(卷),期】2019(045)011【总页数】2页(P47-48)【关键词】功能梯度梁;微分求积法;弯曲;边界条件【作者】吴明明【作者单位】河北工程大学土木工程学院,河北邯郸 056038【正文语种】中文【中图分类】TU311.40 引言功能梯度材料[1](FGM)是一类复合材料，其从一个表面到另一个表面具有连续的材料特性变化，因此消除了在层压复合材料中界面处的应力集中。
通常，FGM由陶瓷和金属的混合物制成，陶瓷可以在热环境中抵抗高温，而金属可以降低在陶瓷表面上发生的拉应力。
FGM广泛用于机械，航空航天，核能和土木工程。
微分求积法[2](Differential Quadrature Method，简称DQM)被认为是一种需求的离散点少而数值精度又较高的数值方法，它的基本思想是把解函数在给定离散点上的导数值用计算域内全部离散点处函数值的加权和近似地表示。
以高阶剪切梁为例，介绍了DQM法在结构中的应用[3]，并着重讨论了DQM所得的数值解与精确解的一致性，体现了该方法实用性。
通过微分求积法进行数值求解。
分析了不同的边界条件及节点数对梁弯曲的规律。
1 基本理论如图1有长度L、宽度b和高度h的矩形横截面功能梯度梁。
坐标x，y和z分别指向梁的长度、宽度和高度方向，如图1所示。
根据线弹性假设，该功能梯度梁的位移场为：(1)其中，u为梁中面上某点的轴向位移;wb,ws分别为梁中面上某点的横向位移的弯曲和剪切分量; f(z)为形状函数，可确定横向剪切应变和剪切应力沿梁厚度的分布形式。
非零应变由下式给出：(2)2 控制方程根据虚功原理来推导控制方程。
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
第十七讲弯曲变形积分法
Mechanic of Materials
3、车床的主轴：
目录
§6.1 工程中的弯曲变形问题
在工程设计中还有另外一 类问题，所考虑的不是限制构 件的弹性位移，而是希望在构 件不发生强度失效的前提下， 尽量产生较大的弹性位移。例 如，各种车辆中用于减振的钣 簧，都是采用厚度不大的板条 叠合而成，采用这种结构，钣 簧既可以承受很大的力而不发 生破坏，同时又能承受较大的 弹性变形，吸收车辆受到振动 和冲击时产生的动能，收到抗 振和抗冲击的效果。
3）积分求转角、挠度方程
积分一次：
dw 1 EI EI Flx Fx 2 C dx 2
再积分一次：
6）确定最大转角和最大挠度
当x l时
1 1 3 2 EI w Flx Fx Cx D 2 6
§ 7-2 Mechanic of Materials
用积分法计算弯曲变形
~
A
~
A
A
1、梁段
A
A
~
A
A
2、中间铰 A AA A
§6.3 用积分法求弯曲变形
四、积分法求解步骤：
Mechanic of Materials
1、写出弯矩方程。当弯矩不能用一个函数式表 达时，需写出分段弯矩方程。
2、将弯矩方程积分或分段积分，并写出式子。 3、写出梁变形的边界条件、连续性，求积分常 量。 4、写出挠曲线方程和转角方程。
A
B
x
B
x
l
wB
4）由位移边界条件确定积分常数 ' 当x=0, A wA 0 , wA 0 C 0，D 0 5）转角方程和挠度方程
EI Flx 1 2 1 1 Fx EI w Flx 2 Fx 3 2 2 6
材料力学 积分法求梁的变形
一、挠曲线近似微分方程
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件