基于非局部均值去噪算法的PM模型及其Split-Bregman迭代实现

对于Ｎｏｎｌｏｃａｌ—ＰＭ模型，通过各向异性近似，引进辅助变量口一［可。，现，…，巩］Ｔ，（９）式中的％即为像素 点ｉ在图像中任意一点＿『点方向的分量，即妒（１口Ｉ）一妒（Ｉ ｕ。Ｉ＋Ｉ口：ｌ＋…＋Ｉ％Ｉ）。所以对（９）式固定“求得 关于７３的欧拉＿拉格朗日方程为：
口。一（ｖ“）。一０９７（Ｉ口Ｉ）Ｔ堡ｌ＿
（９）
这里妒７（Ｉ ｖＩ）一孝车愕｝，上式对应的半隐式迭代格式可写为：
Ｉ‘十…＋ｌ口一Ｉ‘’南 旌＋１＝（Ｖ“）一一印７（Ｊ勘·ｌ‘＋ｌቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｕｚ
‘１０’
从而由收缩算子得到辅助变量在迭代计算过程中的解析解：
万方数据
５６
青岛大学学报（自然科学版）
第２３卷
砖＋１－－－－ｓｈｒｉｎｋ（（Ｖ“）。，即７（Ｉ可－ｌ‘＋Ｉ口２ Ｉ‘＋…＋Ｉ勘。Ｉ‘））
ｉｎＯＵａｎ
ｏ）＇妒蚓Ｖｕ沪翠黜 对于ＰＭ模蛳（Ｉ Ｖｕ忙灿（１＋学），（ｐ
‰删㈤＝川·＋掣）＝胎－ｎ［。＋坦尘掣卜 将ＰＭ模型与非局部均值方法相结合得到规则项如下：
（３）
使用变分百法，ａＪ方（程ｕ）（３一）对一应．的欧ｆ拉 ｎ（一ｒ拉弓格ｊ朗＿编日方＋程 Ｔ＿的弓对：应项了为‰：）（“（ｙ）一“（ｚ））叫（ｚ，ｙ）ｄｚ（４）
【ｎ。（ｚ）一ｎ
（１２）ｊ－
其中，ｈ通常为１０×ａ（ａ为噪声方差），Ｂ。为以ｚ点为中心的窗Ｉ＝Ｉ，本实
验设置其大小为５×５邻域，ｎ为搜索窗Ｉ＝Ｉ，大小为１１×１１。 其次，考虑到非局部去噪在处理纹理图像有着不可比拟的优势，本实验
图１原始纹理图像
选取纹理图像如图１所示。
３．２实验结果与分析
图２是对上述各种非线性算子去噪模型以及引言中所提到的线性去噪模型（迭代一次相当于非局部滤
万方数据
第１期 胡 杰，等：基于非局部均值去噪算法的ＰＭ模型及其Ｓｐｌｉｔ—Ｂｒｅｇｍａｎ迭代实现
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却Ｖ ·（ｇ（１ Ｖ ＵＩ Ｖ“）
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（２）
ＶｕＩ）一错通常被称为扩散函数。 其中，ｇ（Ｉ
一 ㈨“ （ ＂ Ｏ）＝Ｕｏ（ｚ，ｙ
基于非局部均值去噪算法的ＰＭ模型
及其Ｓｐｌｉｔ—Ｂｒｅｇｍａｎ迭代实现
胡 杰，潘振宽，魏伟波
（青岛大学信息工程学院，山东青岛２６６０７１）
摘要：基于偏微分方程能量变分模型中规则项的设计，将传统的基于梯度的ＰＭ模型与
非局部均值算法相结合，对加性噪声进行去噪在最小化非局部ＰＭ模型能量函数的过程
中，分别运用原始算法和Ｓｐｌｉｔ—Ｂｒｅｇｍａｎ迭代算法进行了数值运算，结果表明，两种方法
［８］Ｇｉｌｂｏａ Ｇ，Ｏｓｈｅｒ Ｓ．Ｎｏｎｌｏｃａｌ Ｌｉｎｅａｒ Ｉｍａｇｅ Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｕｐｅｒｖｉｓｅｄ Ｓｅｇｍｅｎｔａｔｉｏｎ［Ｃ］∥ＵＣＩ。Ａ ＣＡＭ Ｒｅｐｏｒｔ，
２００６．６（２）：５９５—６３０．
［９］Ｐｅｒｏｎａ Ｐ，Ｍａｌｉｋ Ｊ．Ｓｃａｌｅ－Ｓｐａｃｅ ａｎｄ Ｅｄｇｅ Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ［Ｃ］∥ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐａｔｔｅｒｎ Ａ— ｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ，１９９０，１２（７）：６２９—６３９．
均取得到了较好的修复效果。
关键词：非局部均值；偏微分方程；非局部ＰＭ模型；Ｓｐｌｉｔ—Ｂｒｅｇｍａｎ迭代；图像修复
中图分类号：ＴＰ３９１．４１
文献标识码：Ａ
传统的平滑方法与频域滤波器注重的是去除噪声，保持图像基本的几何结构，但是纹理等细节结构却无 法得到较好的保持，Ｙａｒｏｓｌａｖｓｋｙ［１’２］在对图像出现的周期性式样的研究基础上，通过计算图像中两个像素点 邻域的相似度来确定该点对所要求的点的信息补偿程度，提出了非局部均值去噪算法。在此基础上， Ｂｕａｄｅｓ［３］提出的非局部均值的算法公式，该公式表明，像素点ｚ去噪后的值为所有与其相似的高斯邻域的 像素点灰度值的平均，该算法的实现以及优化在国内外相关领域已得到广泛的研究［４矗］。另外与滤波器对 应的一种去噪方法是偏微分方法［６］，其基本思路为：设定能量泛函，求解相应的变分问题，将问题转化为求解 与Ｅｕｌａｒ－Ｌａｇｒａｎｇｅ方程对应的方程的稳态解。基于此理论，Ｋｉｎｄｅｒｍａｎｎ－Ｏｓｈｅｒ－Ｊｏｎｅｓ［７１提出了基于非局部 均值算法能量泛函的规则项的一般形式，这些函数存在一个主要的问题就是这些函数类型不是凸的，最近， Ｇｉｌｂｏａ和Ｏｓｈｅｒ［８１在图论研究的基础上，通过改变规则项函数及权重函数，提出了一种特殊的线性规则项算 子。综上所述，原始的基于频域非局部均值滤波，以及基于变分法的非局部均值算法的线性算子，都是直接 在含噪声图像上进行处理得到源图像，这对于图像去噪这样的反问题是一种病态的行为。本文在基于非局 部梯度的基础上，将图像扩散中的经典模型应用到非局部去噪算法，设计构造了非线性各向异性扩散的 Ｎｏｎｌｏｃａｌ－ＰＭ模型［９］，将其应用到加性噪声的去除，并将Ｓｐｌｉｔ—Ｂｒｅｇｍａｎ迭代算法应用到非局部均值算法的 求解过程中，取得了不错的效果。
［１０］Ｚｈｏｕ Ｄ，Ｓｃｈｏｌｋｏｐｆ Ｂ．Ａ Ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ Ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ｆｏｒ Ｌｅａｒｎｉｎｇ ｆｒｏｍ Ｇｒａｐｈ Ｄａｔａ［Ｍ］．ＩｎＷｏｒｋｓｈｏｐ ｏｎ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｒｅ—
ｌａｔｉｏｎａｌ。２００４．
［１１］Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ Ｔ，Ｏｓｈｅｒ Ｓ．Ｔｈｅ Ｓｐｌｉｔ Ｂｒｅｇｍａｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｌ１ Ｒｅｇｕｌａｒｉｚｅｄ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ［Ｃ］∥ＵＣＬＡ ＣＡＭ Ｒｅｐｏｒｔ ０８—２９，
［７］Ｋｉｎｄｅｒｍａｎｎ Ｓ，Ｏｓｈｅｒ Ｓ，Ｊｏｎｅｓ Ｐ．Ｄｅｂｌｕｒｒｉｎｇ ａｎｄ ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ ｏｆ ｉｍａｇｅｓ ｂｙ ｎｏｎｌｏｃａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｍｕｈｉｓｃａｌｅ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２００５，４（４）：１０９１一１１１５．
１ 非局部均值的ＰＭ模型
为了将图像扩散模型的非线性算子应用到非局部均值算法，引进了非局部梯度、非局部散度及非局部曲 率的概念‘１ ０。。
基于梯度模型的图像扩散能量泛函为：
Ｅ（“）＝百Ａ Ｉ（“一／）２ｄｘｄｙ＋ｌ妒（Ｉ Ｖ“１）ｄｘｄｙ
（１）
厶Ｊ ｎ
Ｊ ０’
采用变分法得到如下扩散方程：
·收稿日期：２００９—１０—１５ 基金项目：新世纪优秀人才支持计划（ＮＣＥＴ－０５—０６０１）。 作者简介：胡 杰（１９８３一），男。硕士研究生。主要研究方向：图像处理与虚拟现实。 通讯作者：潘振宽，男。博士，教授。研究方向为图像处理，虚拟现实．
波器）去除加性噪声的效果总结。（ａ）是对图１加噪声的效果图，信噪比为４．５７４２；（ｂ）是非局部滤波器，即
迭代一次的效果图；（ｃ）是Ｎｏｎｌｏｃａｌ—ＴＶ原始算法即式在Ａ一０．１，口一２下，迭代３次的效果图；（ｄ）是Ｎｏｎｌｏ—
ｃａＩ－ＰＭ原始算法即（４）式Ａ＝０．１，咿一２，ｐ一２，迭代３次的效果图；（ｅ），（ｆ）分别是Ｓｐｌｉｔ—Ｂｒｅｇｍａｎ迭代实现 Ｎｏｎｌｏｃａｌ—ＴＶ，Ｎｏｎｌｏｃａｌ—ＰＭ的效果图。
第２３卷第１期 ２ ０ １ ０年３月
青岛大学学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩＮＧＤＡＯ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖ０１．２３ ＮＯ．１ Ｍａｒ．２ Ｏ １ ０
文章编号：１００６—１０３７（２０１０）０１—００５４—０４
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６—１０３７．２０ｌＯ．０１．０１３
２基于Ｓｐｌｉｔ－Ｂｒｅｇｍａｎ迭代的数值实现
采用Ｓｐｌｉｔ—Ｂｒｅｇｍａｎ迭代‘¨３实现对Ｎｏｎｌｏｃａｌ—ＰＭ模型能量最小化的求解。加性噪声对应的能量泛函为
式（５）。
一种有效的Ｂｒｅｇｍａｎ迭代［１２］解决方案：
』（ＵＨ－１矿１）＝ａｒｇ ｍ’耐。妒（１口１）ｄｚ＋导Ｊ．ｎ（Ｖ－－ＶｗＵ－－ｂｋ）２ ｄｚ＋砉』ｎ（”一，）２ ｄｚ，忌≥。 （５）
（１１）
这里，谚＋１（ｚ）通过收缩算子求得，在运算中避免了繁琐的非局部梯度模的计算，提高了运算效率。另外
软阈值公式和收缩算子的应用，使得那些与待求点结构相似度很小的像素点对该点的“贡献”为零，减小了误
差，更利于保持源图像的结构特点。
３实验结果与分析
３．１ 参数选择与预分析 综上所述，非局部均值算法的去噪原理是通过图像上的其他相似结构的点来补偿丢失的信息，这就需要
４９０—５３０．
［４］ Ｋｅｒｖｒａｎ，Ｂｏｕｌａｎｇｅｒ Ｊ．Ｕｎｓｕｐｅｒｖｉｓｅｄ ｐａｔｃｈ－ｂａｓｅｄ ｉｍａｇｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｉｏｎ［Ｃ］∥Ｉｎ Ｐｒｏｃ．Ｅｕｒｏｐｅａｎ Ｃｏｎｆ． Ｃｏｍｐ．Ｖｉｓｉｏｎ（ＥＣＣＶ＇０６），Ｇｒａｚ，Ａｕｓｔｒｉａ，２００６．
在计算每一个点时都要遍历整幅图像，无疑，它将带来比较大的计算开销。 研究证明［１ ３。，大量的相似结构存在于局部，这样，仅仅需要在一个搜索窗口中 遍历所有点，对其进行高斯核卷积即可，由此定义权重函数Ｗ如下：
ｆ叫（Ｆｒ（ｚ），Ｆ ｒ（ｙ））一ｅ－（１１０‘。卜Ｆ，‘ｙ’ｌＩ ２．ａ／＾’‘
＜Ｆ，（ｚ）＝．厂（ｚ）∈Ｂ；
参考文献：
Ｆ１］ Ｙａｒｏｓｌａｖｓｋｙ Ｌ Ｐ．Ｄｉｇｉｔａｌ Ｐｉｃｔｕｒｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｂｅｒｌｉｎ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，１９８５． ［２］ Ｙａｒｏｓｌａｖｓｋｙ Ｌ Ｐ，Ｅｄｅｎ Ｍ．Ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｓ ｏｆ Ｄｉｇｉｔａｌ ｏｐｔｉｃｓ［Ｍ］．Ｂｏｓｔｏｎ，Ｂｉｒｋｈ ａｕｓｅｒ，１９９６． ［３］ Ｂｕａｄｅｓ Ｂ Ｃｏｉｌ。Ｊ Ｍｏｒｅｌ Ｍ．Ｏｎ ｉｍａｇｅ Ｄｅｎｏｉｓｉｎｇ Ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｍｕｌｔｉｓｅａｌｅ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２００５，４（２）：