数论经典50题
【分析】令这个三位数为 a0b ，则由题意可知， 100a b 67(a b) ，可得 a 2b ，而调换个位和 百位之后变为： b0a 100b a 102b ，而 a b 3b ，则得到的新三位数是它的各位数字之和的
13. （2009 年西城实验小升初试题）若三个不同的质数 ab2c a 2006 .求 a b c 的值.
因数与倍数
14. （2010 年第 8 届希望杯 6 年级 2 试试题）张老师带领六（1）班的学生会种树，学生恰好可平均 分成 5 组，已知师生每人种的树一样多，共种树 527 棵，则六（1）的学生有_____人。
14. （2010 年 9 月 101 中学小升初试题） [a]表示不超过 a 的最大整数， 称为 a 的整数部分， 例如： [0]=0, [0.03]=0, [10.98]=10, 那么数列 [ 相同的数
12 22 32 42 20102 ],[ ],[ ],[ ],......[ ] 中共出现了_______个互不 2010 2010 2010 2010 2010
等首位是 2 ，个位 。
9.
六位数 20□□08 能被 99 整除，□□是
.
10. 在小于 5000 的自然数中，能被 11 整除，并且数字和为 13 的数，共有
个．
3 2010 年数论经典 50 题
质数、合数
11. （2010 年十一学校试题）与 6 互质的最小的合数是多少？
12. （2010 年“数学解题能力展示”六年级初试第 5 题）用 0～9 这 10 个数字组成若干个合数，每个数 字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是________．
21. 已知自然数 n 满足： 12! 除以 n 得到一个完全平方数，则 n 的最小值是
．
带余除法
22. 123123 123 除以 99 的余数是多少？
123个123
6 2010 年数论经典 50 题
23. （2009 年第 14 届华杯赛试题） 在大于 2009 的自然数中， 被 57 除后， 商与余数相等的数共有______ 个.
7 2010 年数论经典 50 题
26. 一个自然数除 429、791、500 所得的余数分别是 a 5 、 2a 、 a ，求这个自然数和 a 的值.
27. 一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？
28. 一个自然数被 5、6、7 除时余数都是 1，在 10000 以内，这样的数共有多少个？
15. （1984 年第 1 届迎春杯试题）甲数是 36 ，甲、乙两数的最小公倍数是 288 ，最大公约数是 4 ，乙 数应该是 ．
4 2010 年数论经典 50 题
16. 两个自然数的和是 50，它们的最大公约数是 5，则这两个数的差是
．
17. 设 a 与 b 是 两 个 不 相 等 的 自 然 数 ， 如 果 它 们 的 最 小 公 倍 数 是 72 ， 那 么 a 与 b 之 和 可 以 有 种不同的值．
102b 3b 34倍。
4.
c 组成的六个数的和是 222 (a b c) ． 【分析】 由a， 因为 2234 222 10 ， 所以 a b c 10 ． b，
29. 一个自然数被 7 ， 8 ， 9 除的余数分别是 1 ， 2 ， 3 ，并且三个商数的和是 570 ，求这个自然数．
8 2010 年数论经典 50 题
整数分拆
30. 把 14 分拆成若干个自然数的和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把 14 如何分拆？ 这个最大的乘积是多少？
超常篇
13 2010 年数论经典 50 题
15. 一间屋子里有100盏灯， 全都是灭的， 有编号为 1 100 的100名同学依次进入房间拉灯， 规则如下： 第一名同学先拉1号灯，然后隔一盏拉一盏；第2名同学先拉1号灯，然后隔两盏拉一盏；第3名同 学先拉1号灯，然后隔三盏拉一盏；……；第100名同学先拉1号灯，然后隔100盏拉一盏.问最后有 几盏灯是亮的？
位值原理
3. (2009 年第 7 届希望杯 5 年级 2 试第 4 题，5 分)一个十位数字是 0 的三位数，等于它的各位数字 之和的 67 倍，交换这个三位数的个位数字和百位数字，得到的新三位数是它的各位数字之和的 倍。
1 2010 年数论经典 50 题
4.
a ， b ， c 分别是三位数中的不同的数码，用 a ， b ， c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位
5 2010 年数论经典 50 题
19. （2010 年 8 月西城实验小升初试题） 1512a 是一个完全平方数，则 a 的最小值是多少？
20. 一个房间中有 100 盏灯，用自然数 1，2，…，100 编号，每盏灯各有一个开关．开始时，所有的 灯都不亮．有 100 个人依次进入房间，第 1 个人进入房间后，将编号为 1 的倍数的灯的开关按一 下，然后离开；第 2 个人进入房间后，将编号为 2 的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下 去，直到第 100 个人进入房间，将编号为 100 的倍数的灯的开关按一下，然后离开．问：第 100 个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？
数之和是 2234 ，那么另一个三位数是几？
数的整除
5. （2008 年西城实验数学水平测试）一个自然数的末两位数字为 17，它的数字和为 17，且能被 17 整除．请你写出满足条件的最小五位自然数：
6.
300301302303304…998999 能否被 11 整除？如果不能，那么余数是多少？
2 2010 年数论经典 50 题
16 2010 年数论经典 50 题
数论经典 50 题详解
优秀篇
1. 【分析】 每个学生转奇数次就都面向北． 这样总共需要转偶数次 （6 1 1 1 1 个奇数之和必是偶数）才能使 6 个学生都面向北．由于每回只有 5 1 2 2 2 （奇数）个学生向后转，因此必须转偶数回才能使 6 个学生都面向 北．经检验，转二回或者转四回都不能使 6 个学生都面向北，转六 3 3 3 2 回可以使 6 个学生都面向北． 具体方法如下： 规定“△ ”表示面向南， 3 3 4 4 而“▽”表示面向北，并且“△ ”与“▽”中的数字表示第几回转动（如 图 15） ． 5 4 4 4 答：最少转 6 回才能使 6 个学生都面向北． 5 5 5 5 说明：上述给出了转 6 回可以使 6 个学生都面向北的具体方法．如 图15 果把本题改为：“7 个学生都面向南站成一行，每回只能有 6 个学生向后 转，那么最少转多少回才能使 7 个学生都面向北？”有兴趣的读者不妨试一试． 2. 【分析】由于 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55,55-45=10，则将加 5 变成减 5，即可。 所以，通过添加加号与减号能够使得等式成立，为： 1+2+3+4-5+6+7+8+9+10=45。 3.
221 被 99
n个2 9个9
9 整除？
11 2010 年数论经典 50 题
9.
试将 1，2，3，4，5，6，7 分别填入图 3 的方框中，每个数字只用一次：使得这三个数中任意两 个都互质，其中一个三位数已填好，它是 714 ．
7 1 4 (这是一个三位数) (这是一个三位数) (这是一个一位数)
完全平方数
18. 如果 1，2，3 ，n 可以这样重排，使得每个数加上它的序号的和都是平方数，那么 n 就称为“迎 春数”．例如，自然数 1，2，3，4，5 可以重新排列为 3，2，1，5，4；这时每个数加上它的序号 的和都是平方数，那么 5 就是一个“迎春数”．问：在 6，7，8，9，10，11 中哪几个是“迎春数”?
12 2010 年数论经典 50 题
完全平方数
12. （2010 年 8 月西城实验小升初试题）满足 1 3n 2007 ，且使得 1 5n 是一个完全平方数，不是零 的自然数 n。 （1） 共有多少个？ （2） 最大的是多少？这时的完全平方数是多少？
13. 是否存在一个完全平方数，它的每一位上的数字完全都相同（至少是两位数）？如果存在，请写 出一个；如果不存在，请说明理由。
7.
已知一个五位回文数等于 45 与一个四位回文数的乘积 （即 abcba 45 deed ） ， 那么这个五位回文 数最大的可能值是_____.
8.
（2008 年第 6 届走美杯 4 年级决赛第 6 题，10 分） 207 ， 2007 ， 20007 ， 是 7 ，中间数字全部是 0 的数字中，能被 27 整除而不被 81 整除的最小数是
优秀篇
奇偶性
1. （1984 年第 1 届迎春杯试题）有 6 个学生都面向南站成一行，每回只能有 5 个学生向后转，则最 少要转 回就能使这 6 个学生都面向北．
2.
是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45 若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。
因数与倍数
16. 两个自然数 a 与 b ，它们的最小公倍数是 60 ．那么，这两个自然数的差有 种可能的数值．
17. 三个两两不同的正整数，和为 126，则它们两两最大公约数之和的最大值为
．
14 2010 年数论经典 50 题
余数问题
18. 一个自然数除以 8 得到的商加上这个数数以 9 的余数，其和是 13．求所有满足条件的自然数．
19. （2008 年数学解题能力展示六年级初赛试题）将 0～9 这十个数字分别填入下面算式的□内，每个 数字只能用一次；那么满足条件的正确填法共有______种． □+□□+□□□＝□□□□
初等数论练习题答案
初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12; 0(2420)=_880_2、设比n是大于1的整数，若是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_卜4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12=0(mod 37)的解是x三11 (mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100 的通解是x=900+23t, y=700+18t t Z。
.6、分母是正整数m的既约真分数的个数为—(山)_。
7、18100被172除的余数是_殛。
9、若p是素数，则同余方程L 1 l(modp)的解数为p-1 。
二、计算题疋11X 20 0 (mod lO5)o1、解同余方程：3解：因105 = 3 5 7,同余方程3x211X 20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3),同余方程3x211X 38 0 (mod 5)的解为x0, 3 (mod 5),同余方程3x211X 20 0 (mod 7啲解为x2, 6 (mod 7), 故原同余方程有4解。
作同余方程组：x (mod 3), x b2 (mod 5), x b3 (mod 7),其中®=1, b2 = 0, 3, b3 = 2, 6,由子定理得原同余方程的解为x 13, 55, 58, 100 (mod 105)o2. 判断同余方程/三42(mod 107)是否有解?*3x7 2 3 7)=(二)(一)(―-)107 107 107 1072 3 I 。
， 2 v( —) = -1, ( — ) = (-1) 2 2(ArL) = -<±) = L 107 107 3 3.-.(—) = 1 107故同余方程x 2三42(mod 107)有解。
3、求(12715C +34) 23除以ill 的最小非负余数。
解：易知 1271 = 50 (mod 111)0由 502 =58 (mod 111) , 503 三58X50三 14 (mod 111), 509=143=80 (mod111)知 502G = (509)彳x50三803X50三803x50三68x50三70 (mod 111) 从而505C=16 (mod 11 l)o故(12715C +34) 2c = (16+34) 20 =502G =70 (mod 111)三、证明题1、 已知p 是质数，(a,p) =1,证明：(1) 当 Q 为奇数时,a p l +(p-l)A =O (mod p);(2) 当a 为偶数时,衣三°(mod p)。
数论应用题总结分类及经典例题
数论应用题总结分类及经典例题
一、同余方程
1.1 线性同余方程
例题：求解方程3x ≡ 1 (mod 5)
1.2 二次剩余
例题：判断 a 是否为模 n 的二次剩余
二、整数划分
2.1 普通整数划分
例题：将整数 n 中的数字划分成若干部分，使得它们之和等于 m
2.2 强整数划分
例题：将整数 n 中的数字划分成若干部分，使得划分出来的每一部分的和都是质数
三、互质与最大公倍数
3.1 互质关系
例题：判断两个数 a 和 b 是否互质
3.2 最大公倍数
例题：求两个数 a 和 b 的最大公倍数
四、素数与因子
4.1 素数判定
例题：判断一个数是否为素数
4.2 因子计算
例题：求一个数的所有因子
五、欧拉函数与莫比乌斯函数
5.1 欧拉函数
例题：计算欧拉函数值
5.2 莫比乌斯函数
例题：计算莫比乌斯函数值
六、进制转换
6.1 十进制转其他进制
例题：将十进制数转换成其他进制
6.2 其他进制转十进制
例题：将其他进制数转换成十进制
七、数位统计
7.1 数位求和
例题：计算一个数各个数位上的数字之和
7.2 数位个数统计
例题：计算一个数的位数
以上是数论应用题的分类总结及经典例题，希望对你有帮助。
初赛数论题
1.已知α是实数，且存在正整数n0证明：存在无穷多个正整数n（2011年）qp=，其中p，q为互质的正整数，则202qnpα+=．设k为任意的正整数，构造222n p k qk n=++，qpkp+∈Q．2.求所有正整数x，y，使得23x y+与23y x+都是完全平方数．（2010年）解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，∴x2+3x= (x+1)2，∴x=y=1. ………………5分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y= (x+1)2，得3y=2x+1，由此可知y是奇数，设y=2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)．…………………20分3.设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝．(2009年）(等价于：求实数x，使[x]2＝2{x}x.)解：若a为负整数，则a2＞0，2b(a＋b)＜0，不可能，故a≥0．于是a2＝2b(a＋b)＜2(a＋1)⇒a2－2a－2＜0⇒0≤a＜1＋3⇒a＝0，1，2．a＝0时，b＝0；a＝1时，2b2＋2b－1＝0⇒b＝3－12；a＝2时，b2＋2b－2＝0⇒b＝3－1．4.⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．（2009年）解：对于任意n ∈N *，n 2≡0，1(mod 4)．设a ，b 是两个不同的自然数，①若a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4)，或a ≡b ≡2(mod 4)，均有ab ≡0(mod 4)，此时，ab ＋10≡2(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数；② 若a ≡b ≡1(mod4)，或a ≡b ≡3(mod 4)，则ab ≡1(mod 4)，此时ab ＋10≡3(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数．由此知，ab ＋10是完全平方数的必要不充分条件是ab (mod 4)且a 与b 均不能被4整除． ⑴ 由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a ＝2，b ＝3，c ＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵ 由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．5.设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则=B A .（2008年）解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解；当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-；当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x . 所以31或-=x .6.能否将下列数组中的数填入3×3的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的3个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.(2008年）（Ⅰ）2,4,6,8,12,18,24,36,48； （Ⅱ）2,4,6,8,12,18,24,36,72.解（Ⅰ)不能. ……5分 因为若每行的积都相等，则9个数的积是立方数. 但是2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3121211+++++=219·38不是立方数，故不能.（Ⅱ）可以.如右表表中每行、每列及对角线的积都是26·23.7.若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ ）.(2007年）（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种. 因为321=+= 7610=+-，故（1） 由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2） 由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）．8.设p 是质数，且p 2+71的不同正因数的个数不超过10个，求p.（2006年）解： 当p=2时，p 2+71=75=52×3，此时共有正因数(2+1)(1+1)=6个，故p=2满足要求．当p=3时，p 2+71=80=24×5，此时共有正因数(4+1)(1+1)=10个，故p=3 满足条件．当p>3时，p 2+71=p 2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数p 必为3k ±1型的奇数p-1、p+1是相邻的两个偶数，且其中必有一个是3的倍数.所以，(p —1)(p+1)是24的倍数， 从而p 2+71是24的倍数．设p 2+71=24×m ，m ≥4．若m 有不同于2、3的质因数，则，p 2+71的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0； 若m 中含有质因数3，则，p 2+71的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10；若m 中仅含有质因数2，则p 2+71的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10；所以，p>3不满足条件．综上所述，所求得的质数p 是2或3.9.将27，37，47，48，55，71，75这七个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排法有_____________种.（2012年）144种.10.三角形的周长为31，三边c b a ,,均为整数，且c b a ≤≤，则满足条件的三元数组),,(c b a 的个数为____________.（2012年）24个11.将小王和小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数,这个数为完全平方数,362 24 812 18 672 4再过31年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是.（2013年）解析：设小王现在的年龄是a ,小孙现在的年龄是b .设a 有m 个数字,b 有n 个数字,由已知得4m n +=.如果2m <,那么3n ≥,但在31年后,a 是2位数,这与题意不符.由对称性,知n 也不小于2,从而2m n ==.设按照题中要求顺序排列的平方数依次为2x 和2y ,0x y <<,则223131y x =+,即()()31101y x y x -+=⨯.由0x y <<,故31y x -=且101y x +=,于是推得(,)(35,66)x y =.因此21225x =和24356y =,从而推得小王是12岁,小孙是25岁.12.正100边形12100A A A 的每个顶点染红、黄、蓝三色之一,证明：必存在四个同色点,恰为某等腰梯形的顶点.（2013年）证明：记正100边形12100A A A 的外接圆半径为r ,把顶点分为25个点集：4342414{,,,},1,2,,25k k k k A A A A k ---= .每个点集中4点然三色,至少有两点同色,此两点为端点的劣弧弧长分别为23,,505050r r rπππ之一.弧长为23,,505050r r rπππ,且两端同色的弧共有9种,前10个点集中至少存在10段此类弧,故总有两段弧“同种”,且均在某直径一侧,所以此两段弧四个端点构成的四边为等腰梯形.13.设集合{1,2,,8}S = ,A ,B 是S 的两个非空子集,且A 中的最大数小于B 中的最小数,则这样的集合对(,)A B 的个数是.（2014年）769个14.如果正整数m 可以表示为224(,)x y x y Z -∈,那么称m 为“好数”,问1,2,3,,2014 中“好数”的个数为.（2014年）15.在平面直角坐标系xOy 中，设D 是满足0,0,[][]19x y x y x y ≥≥+++≤的点(,)x y 形成的区域（其中[]x 是不超过x 的最大整数），则区域D 中整点的个数为.（2015年） 区域D 中整点的个数为1231055++++= .16.将正十一边形的k 个顶点染成红色，其余顶点染蓝色.（1）当2k =时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；（2）k 取何值时，三个顶点同色（同红色或同蓝色）的等腰三角形个数最少？并说明理由.（2015年）解：（1）设正十一边形的顶点12311,,,,A A A A ，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形.以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以(1,2,3,,11)i A i = 为顶角顶点的等腰三角形有11152-=个，这些三角形均不是等边三角形，即当j i ≠时，以i A 为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形.故所有的等腰三角形共有51155=⨯个. …………5分 当2k =时，设其中,m n A A 染成红色，其余染成蓝色.以m A 为顶角顶点的等腰三角形有5个，以m A 为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以,m n A A 为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(510)2327+⨯-=个.注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有552728-=个. …………10分（2）若11个顶点中k 个染红色，其余11k -个染蓝色.则这些顶点间连线段（边或对角线）中，两端点染红色的有(1)2k k -条，两端染蓝色的有(11)(10)2k k --条，两端点染一红一蓝的有(11)k k -条，并且每条线段必属于且仅属于3个等腰三角形.把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有1x 个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有2x 个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有3x 个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有4x 个，则按顶点颜色计算连线段，13(1)332k k x x -+=⨯， ① 24(11)(10)332k k x x --+=⨯， ② 34223(11)x x k k +=⨯-， ③由①+②得 123433()[(1)(11)(10)]2x x x x k k k k +++=-+--， 用③代入得 21211[(1)(11)(10)(11)](333110)22x x k k k k k k k k +=-+----=-+. 当5k =或6时，12min 1()(546556)102x x +=⨯+⨯-⨯=. 即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时5k =或6. …………20分。
初等数论考试题及答案
初等数论考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个数是质数？A. 23B. 45C. 68D. 89答案：A2. 两个连续的自然数的乘积一定是：A. 偶数B. 奇数C. 质数D. 合数答案：A3. 求下列哪个数的因数个数最多？A. 12B. 18C. 24D. 30答案：C4. 一个数如果被6整除，那么它一定能被：A. 2整除B. 3整除C. 2和3同时整除D. 以上都不是答案：C5. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 28C. 496D. 8128答案：A6. 一个数的最小素因子是2，那么这个数一定是：A. 偶数B. 奇数C. 质数D. 合数答案：A7. 求下列哪个数的各位数字之和最大？A. 123B. 456C. 789D. 135答案：C8. 一个数的各位数字之和是9，那么这个数除以9的余数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数一定是：A. 3的倍数B. 9的倍数C. 27的倍数D. 不一定是3的倍数答案：A10. 一个数的各位数字之和是5的倍数，那么这个数一定是：A. 5的倍数B. 25的倍数C. 125的倍数D. 不一定是5的倍数答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这个数叫做__质数__。
2. 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做__互质数__。
3. 一个数如果除了1和它本身外，还有其他因数，那么这个数叫做__合数__。
4. 一个数如果能够被2整除，那么这个数叫做__偶数__。
5. 一个数如果能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也一定能被3整除。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：如果一个数n能被4整除，那么2n也能被4整除。
证明：设n能被4整除，则存在整数k使得n=4k。
则2n=2×4k=8k，显然8k能被4整除，因此2n也能被4整除。
2. 证明：如果一个数n能被9整除，那么它的各位数字之和也能被9整除。
六年级奥数题50道及答案
六年级奥数题50道及答案 姓名：__________班级：__________得分：__________ 一、数论问题 1. 一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首、尾两个数字，中间的四个数字是1997，那么这个六
位数是多少？
2. 已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个自然数。
3. 有一个数，除以7余2，除以8余4，除以9余3，这个数最小是多少？
4. 1到200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？
5. 三个连续自然数的积是1716，这三个自然数分别是多少？
二、行程问题 6. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米。当乙车行
至全程的7/20时，甲车距中点还有24千米，A、B两地相距多少千米？
7. 小明和小亮在一个圆形湖边跑步，小明每分钟跑100米，小亮每分钟跑80米。两人同时从同一地点反向出
发，4分钟后相遇。如果两人同时从同一地点同向出发，多少分钟后小明第一次追上小亮？
8. 一艘轮船在静水中的速度是每小时15千米，它逆水航行88千米用了8小时。问这艘轮船返回原地需要多少小
时？
9. 甲、乙两人从相距40千米的A、B两地相向而行，甲每小时行4千米，乙每小时行5千米。甲出发2小时后乙
才出发，乙出发后几小时两人相遇？
10. 一列火车通过一座长1260米的大桥（车头上桥直至车尾离桥）用了60秒，火车穿越长2010米的隧道用了90
秒。问：这列火车的车速和车身长各是多少？
三、工程问题 11. 一项工程，甲、乙合作12天可以完成。现在甲单独做2天后，乙又独做3天，一共完成了全工程的1/5。
甲、乙独做这项工程各需要多少天？
12. 一件工作，甲单独做12小时完成，现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。乙单独做这件工作需要
多少小时？
13. 有一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做30天完成。甲、乙两队合作8天后，余下的由丙队做，又
十个数论经典题目 内部资料
十个数论经典题目1.一根红色的长线，将它对折，再对折，……，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线（m>n）。
若红色短线的数量与白色短线的数量之和是100的倍数，问红色短线至少有多少条？2.一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度线将它分成n等份（m>n）。
（1）设X是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：X＋1是m和n的公约数；（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根。
试确定m和n的值。
3.一个两位数，当它分别乘以1、2、3、4、5、6、7、8、9时，所得9个乘积，每个乘积的各位数字的和都相等．则满足条件的两位数是__________．4.一个数与它的反序数的乘积是155827，则这个数与它的反序数之和是_________．5.已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同的四位数，且2a b c+=．求所有满足条件的（a，b，c）．6.试确定积1232011+++⋅⋅⋅+的末两位的数字(21)(21)(21)(21)7.将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过2012的“好数”的个数为，这些“好数”的最大公约数是。
8.华罗庚爷爷出生于1910年11月12日。
将这些数字排成一个整数，并且分解成19101112＝1163×16424，请问这两个数1163和16424中有质数吗？并说明理由。
9.13个不同的自然数的和是996，且这些数的各位数码之和都彼此相等，求这13个数。
小升初专练-数论问题-奇偶性问题通用版(含答案)
小升初专练-数论问题-奇偶性问题【知识点归纳】主要用到的知识点：1．奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；偶数±奇数=奇数．2．奇数个奇数的和（或差）为奇数，偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）为偶数．3．奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数．4．若干个数相乘，其中有一个因数是偶数，则积为偶数；如果所有的因数都是奇数，则积为奇数．5．偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1．【常考题型】例1：一个偶数，各个数位上的数字之和是24，这个数最小是（）．分析：根据自然数的组成规律可和，一个自然数位数越少，其值就越小，由于这个偶数的各位数之和为24，24÷2=12，24÷3=8，所以这个自然数位数最少可为3位数．由于三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可为8，或7、8、9．而要求这个数最小可为几，一个数高位上的数越小，其值就越小，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798．解：由于这个偶数的各位数之各为24，24÷2=12，24÷3=8，所以这个自然数位数最少可为3位数．三个数位数字的平均数为8，则其则这三个数可全为8，或7、8、9．要求这个数最小可为几，所以其百位可为7，由于是偶数，个数为8，由此可知，这个数为798．故答案为：798．点评：了解自然数的组成规律及数位知识是完成本题的关键．一．选择题1．×2的乘积一定不是（ ）A．奇数B．偶数C．合数2．M是一个奇数，N是一个偶数，下面（ ）的值一定是奇数．A．4M+3N B．3M+2N C．2M+7N D．2（M+N）3．x与y均为非零自然数，其中x既不是质数也不是合数，y是奇数，那么x与y的和一定是（ ）A．偶数B．质数C．奇数D．无法确定4．2004个连续自然数的和是（ ）A．奇数B．偶数C．可能是奇数，也可能是偶数5．3□□×24的积（ ）A．是奇数B．是偶数C．可能是奇数，可能是偶数6．下面的4个数中，只有一个数是连续自然数的乘积，它是（ ）A．285B．169C．342D．214二．填空题7．1+3+5+…+97+99的和是 数；147×289×303×210×43的积是 数。
30道数论题
【解析】大概试一下可算出 44*44=1936,43*43=1839,45*45=2025，只有 1936 符合题意，所 以可推测出 1936 年时巴拿赫 44 岁，则他出生的年份是 1936-44=1892 年，他去世时的年龄 是 1945-1892=53 岁。因此本题答案为 1892,53.
3.
9.
甲、乙两数的积是 700，甲、乙两数的最大约数是 5，最小公倍数是
。
【解析】根据性质，两个数乘积等于最小公倍数和最大公因数的乘积，因此最小公倍数是 700÷5=140.
10. 一个九位数，最高位上的数既是奇数又是合数，百万位上是最小的质数，万位上是最小 的合数，其余各位上的数都是零，这个数是（ 位的数是（ ） 。 ） 。把这个数改写成用“万”作单
【解析】6÷7=0.85714285714285......，小数点后面每 6 个一循环，50÷6=8 余 2，因此后面 50 个数字的和是（8+5+7+1+4+2）×8+8+5=229.因此答案是 229. 13. 一个两位数，其十位与个位上的数字交换后，所得的两位数比原来大 36，则满足条件 的两位数有（ ） 。
）
【解析】可以假设全班有 4 份人，75%及格，那么及格的人数有 3 份。全班平均分 82 分， 那么全班总分 82×4=328 分，及格的人平均分 91 分，总分 91×3=273 分，那么不及格的 1 份人的总分是 328-273=55 分，因此本题答案 55.
21. 某小孩玩投放石子游戏，从 A 出发走 1 米放 1 枚石子，第二次走 4 米又放 3 枚石子， 第 三次走 7 米再放 5 枚石子，再走 10 米放 7 枚石子......，照此规律最后走到 B 处放下 35 枚石子，问从 A 到 B 的路程是 米。