河南省洛阳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷Word版含答案
河南省洛阳市2019-2020学年上学期期末考试
高二数学（文）试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4 页。
共 150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分）
注意事项：
1，答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题＞0sin ),,0(:x x p π∈∀的否定为
A. 0sin ),,0(≤∈∀x x π
B. 0＜sin ),,0(x x π∈∀
C. 0sin ),,0(00≤∈∃x x π
D. 0＜sin ),,0(00x x π∈∃
2.已知拋物线准线方程2-=x ，则其标准方程为
A. y x 82=
B. y x 82-=
C. x y 82=
D. x y 82=
3.已知数列{a n }为等比数列，16,252==a a ,则公比为
A. 4
B.3
C.2
D. 1
4.在 △ABC 中所对的边分别为 a ，b ，c ，若 C A B C A sin sin 3sin sin sin 222=-+，
则 B =
A. 6π
B. 3
π C. 32π D. 65π 5. 已知数列{a n }的前项和n n S n 32-=, 则它的第4项等于
A. 8
B.4
C.2
D. 1
6.巳知双曲线C: 122
22=-b
y a x (a>0.b>0)的一条渐近线方程为x y 22=，则该曲线的离心率为
A. 21
B. 2
3 C. 22 D. 26 7.曲线x x x y cos sin sin +=在4
π=x 处的切线的斜率为 A. 21- B . 2
1 C. 22- D. 2
2 8.设数列{a n }为等差数列，则“32＜a a "是数列{a n }为递增数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分条件
D.既不充分也不必要条件
9.在△ABC 中，10
103cos ,21tan ==B A ，若△ABC 的最长边长为1，则其最短边长为 A. 554 B. 553 C. 552 D. 55
10.已知2)-y ＞lg(3x )4lg(+++y x ,若 λ＜y x -恒成立，则λ的取值范围是
A. (-∞,10)
B. (-∞,10]
C.[lO ，-∞）
D. (10，-∞） 11.已知拋物线C: x y 82=与点（-2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于 A ，B 两
点，若0
90=∠AMB ，则k 的值为 A. 2
1 B. 2
2 C. 2 D.2 12.已知函数)(x f 的定义域为R ，导函数为)('x f ，且满足对)('＞)(x f x f 对R x ∈∀恒成立，e 为然对数的底数，则
A. )2017(＜)2018(20182017f e f e
B. )2017()2018(20182017f e f e
= C. )2017(＞)2018(20182017e f e
D. )2017()2018(20182017
f e f e 与的大小不能确定 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4个小题,每小题5分，共20分。
13.已知中心在坐标原点的椭圆C 的左焦点为(-1,0)，离心率为椭圆C 的标准方程为 。
14.已知 )2('3)(3xf x x f +=，则)2('f = .
15.已知命题p:函数1)2()(+-=x k x f 在(-∞，+∞)上单调递增，命题q:不等式022≤+-k x x 的解集为φ,若p>q 是真命题,则实数k 的取值范围是 .
16.已知函数bx x x f +=2)(的图象在点A(l, )1(f ）处的切线与直线0232=++y x 垂直,若数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2017S = . 三、解答题：本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分）
在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b,c ，且b B a 3sin 2=.
(1)求A 的大小;
(2)若4,3=+=c b a ,求△ABC 的面积.
18.(本小题满分12分）
已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为n S ，648=S ,又2a 是1a 与5a 的等比中项.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若＞62n n a S +,求n 的最小值.
19.(本小题满分12分)
已知函数x
e b ax x x
f ⋅++=)()(2（e 为自然对数的底数......)71828.2=e ，曲线)(x f y =在0=x 处的切线方程为12+-=x y .
(1)求实数a ，b 的值.
(2)求函数)(x f 在区间[-2,3]上的最大值.
20.(本小题满分12分）
(1)已知焦点在x 轴上的双曲线的离心率为2,虚轴长为3，求该双曲线的标准方程；
(2)已知抛物线px y 22
=的焦点为F （1,0),直线2+=my x 与抛物线交于A ，B 两点，若△FAB 的面积为4，求m 的值.
21.(本小题满分12分）
已知函数x x g x
x m x f ln 2)(),1()(=-=.
(1)当1=m 时.证明方程)()(x g x f =在（1，+∞>上无实根；
(2)若),1(e x ∈时，不等式2＜)()(x g x f -成立，求实数m 的取值范围。
22.(本小题满分12分)
已知椭圆的焦点坐标为F 1(-1,0),F 2(1，0),且短轴的一个端点B 满足221=⋅BF .
(1)求椭圆的方程；
(2)如果过F 2的直线与椭圆交于不间的两点M,N ，那么的内切圆半径足否存在最大值?若存在，求出最大值及此时直线的方程，若不存在说明理由。
洛阳市2019-2020学年上学期期末考试高二数学答案(文科)
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河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
洛阳市2019——2020学年第二学期期中考试高二数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卷上.2.考试结束，将答题卷交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. iB. i -C. 1D. 1-【★答案★】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i +⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确．．的是( ) A. 假设三内角都不大于60° B. 假设三内角都大于60° C. 假设三内角至多有一个大于60° D. 假设三内角至多有两个大于60°【★答案★】B 【解析】 【分析】“至少有一个”的否定变换为“一个都没有”，即可求出结论. 【详解】“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时， 反设是假设三内角都大于60︒. 故选：B.【点睛】本题考查反证法的概念，注意逻辑用语的否定，属于基础题.3.对下列三种图像，正确的表述为（）A. 它们都是流程图B. 它们都是结构图C. （1）、（2）是流程图，（3）是结构图D. （1）是流程图，（2）、（3）是结构图【★答案★】C【解析】试题分析：根据流程图和结构图的定义分别判断三种图形是流程图还是结构图．解：（1）表示的是借书和还书的流程，所以（1）是流程图．（2）表示学习指数函数的一个流程，所以（2）是流程图．（3）表示的是数学知识的分布结构，所以（3）是结构图．故选C．点评：本题主要考查结构图和流程图的识别和判断，属于基础题型．4.有线性相关关系的变量,x y有观测数据(,)(1,2, (15)i ix y i=，已知它们之间的线性回归方程是ˆ511y x=+，若15118 iix ==∑，则151iiy ==∑（）A. 17B. 86C. 101D. 255【★答案★】D【解析】【分析】先计算181.215x==，代入回归直线方程，可得5 1.21117y=⨯+=，从而可求得结果.【详解】因为15118 iix ==∑，所以18 1.215x==，代入回归直线方程可求得5 1.21117y=⨯+=，所以1511715255 iiy==⨯=∑，故选D.【点睛】该题考查的是有关回归直线的问题，涉及到的知识点有回归直线一定会过样本中心点，利用相关公式求得结果，属于简单题目.5. 分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【★答案★】A 【解析】试题分析：本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得★答案★． 解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件； ∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件 故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． 6.有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线∥平面，则∥”的结论显然是错误的，这是因为（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误【★答案★】A 【解析】演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导，得出具体陈述或个别结论的过程，演绎推理一般有三段论形式，本题中直线平行于平面，则平行于平面内所有直线是大前提，它是错误的. 考点：演绎推理.7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.观察下列各式，1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则99a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121 D. 123【★答案★】B 【解析】 【分析】根据题目所给等式，归纳出正确结论.【详解】根据题目所给等式可知：667771118,111829a b a b +=+=+=+=，88182947a b +=+=，99294776a b +=+=.故选：B【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.若5P a a =++，23Q a a =+++（0a ≥），则P ，Q 的大小关系是（ ）A. P Q <B. P Q =C. P Q >D. P ，Q 的大小由a 的取值确定 【★答案★】A 【解析】∵()()()22222525[252232556P Q a a a a a a a a a a -=+++-++++=+-++（）且22556a a a a +<++ ，∴22P Q <，又,0P Q >，∴P Q <，故选C.10.阅读如图所示的程序框图，若输入2020m =，则输出S 为输出（ ）A. 22020B. 21009C. 21010D. 21011【★答案★】D 【解析】 【分析】运行程序，根据循环结构程序框图计算出输出的结果.【详解】运行程序，2020m =，0,1S i ==，1S =，判断是，3,13i S ==+，判断是，……，2019,0132019i S ==++++，判断是，2021,132021i S ==+++，判断否，输出212021132021*********S +=+++=⨯=. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，属于基础题.11.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A.928B.1928C.2764D.3764【★答案★】C 【解析】 【分析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得★答案★.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764. 故选:C【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.12.已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ）A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 两条射线D. 一条射线【★答案★】B 【解析】 【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解.【详解】因为复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于22， 而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为32，根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设复数1z i =+，则22||z z-=___________. 【★答案★】5 【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到★答案★. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=.故★答案★为：5.【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，通过类比的方法，可求得在空间中，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为___________. 【★答案★】14 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式类比到空间点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，进而可求得点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离.【详解】在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022Ax By C d A B++=+，类比到空间中，则点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为000222Ax By Cz Dd A B C+++=++，因此，点()2,4,1到平面2310x y z +++=的距离为22222431114123d +⨯+⨯+==++.故★答案★为：14.【点睛】本题考查类比推理，考查点到平面的距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 15.设11()()()()11n ni i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 【★答案★】8 【解析】 【分析】化简得到()()()nni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到★答案★.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()0(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故★答案★为：8. 【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 16.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②用2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好；③根据22⨯列联表中的数据计算得出的2K 的值越大，两类变量相关的可能性就越大； ④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样．其中真命题的序号是_______． 【★答案★】②③④ 【解析】 【分析】根据“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义等统计学知识，逐项判断，即可作出正确的判断．【详解】对①，根据线性相关系数r 的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故①错误；对②，根据用相关指数2R 刻画回归的效果时， 2R 的值越大说明模型的拟合效果就越好，故②正确；对③，2×2列联表中的数据计算得出的2K 越大，“X 与Y 有关系”可信程度越大，相关性就越大，故③正确；对④，根据比较模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果就越好，故④正确；对⑤，新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故⑤错误. 综上所述，正确的是②③④. 故★答案★为：②③④【点睛】本题解题关键是掌握统计学的基本概念和“残差”的意义､线性相关系数和相关指数的意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围. 【★答案★】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞ 【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得★答案★.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到★答案★.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-.（2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-， 直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<， 即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-， ∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【★答案★】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12yx+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+-()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>， 从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12yx+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+， 与条件2x y +>矛盾，所以假设不成立，即12x y +<与12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19. 为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． 甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计（2）判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表仅供参考：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【★答案★】（1）表格解析；（2）有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关．【解析】试题分析：解题思路：（1）根据茎叶图中的数据，按不同区间进行填表即可；（2）利用公式求值，结合临界值表进行判断.规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出；利用列联表判定两个变量间的相关性，要正确列出或补充完整列联表，利用公式求值，结合临界值表进行判断.试题解析:（1）甲班乙班合计优秀 6 14 20不优秀14 6 20合计20 20 40（2）=因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 考点：1.茎叶图；2.独立性检验. 20.数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a a N n +=+∈ （1）求234,,a a a ，猜想数列{}n a 的通项公式; （2）证明：数列1{}na 是等差数列. 【★答案★】（1）234331,,452a a a ===，32n a n =+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据*1131,()3nn na a n a a +==∈+N ，分别令1,2,3n =，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式； （2）由*13()3n n na a n a +=+∈N ，得到11113n n a a +=+，利用等差数列的定义，即可得到证明. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，11a =，*13()3nn na a n a +=+∈N ， 令1n =，可得1213333314a a a ===++； 令2n =，可得2323335a a a ==+； 令3n =，可得343331362a a a ===+； 所以234331,,452a a a ===， 猜想：数列{}n a 的通项公式32n a n =+.（2）由*13()3n nn a a n a +=+∈N ，可得1131133n n n n a a a a ++==+，即11113n n a a +-=（常数）， 又由11a =，所以111a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以13为公差的是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及利用等差数列的定义的应用，考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点()1,2A 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，斜率为2直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值．【★答案★】（1）22142y x +=（2）详见解析【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义和几何性质，建立方程，即可求椭圆C 的方程； （2）设直线BD 的方程为2y x m =+，代入椭圆方程，设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 、AD 的斜率分别为：,AB AD k k ，则12122211AB AD y y x x k k +=--+--，由此导出结果.【详解】（1）由题意，可得e =c a =22，代入A （1，2）得22211a b+=， 又222a b c =+，解得2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程22142y x +=． （2）证明：设直线BD 的方程为y =2x +m ，又A 、B 、D 三点不重合，∴0m ≠， 设D （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得4x 2+22mx +m 2-4=0 所以△=-8m 2+64＞0，所以22-＜m ＜22．x 1+x 2=-22m ，21244m x x -⋅=设直线AB 、AD 的斜率分别为：k AB 、k AD ， 则k AD +k AB =121212121222222111y y x x m x x x x x x --+-+=+⋅----+=2222222222042142m m m m --+⋅=-=-++ 所以k AD +k AB =0，即直线AB ，AD 的斜率之和为定值．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解．直线与椭圆的位置关系，直线斜率坐标公式，属于中档题目. 22.已知函数()ln 1f x x ax =-+．（1）若曲线()y f x =在点()1,(1)A f 处的切线l 与直线4330x y +-=垂直，求实数a 的值；（2）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：()111ln(1)231n n N n *+>++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈+ 【★答案★】（1）14a =（2） 1.a ≥（3）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点()1,(1)A f 处的切线方程，注意这个点的切点；（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立min ()a f x ⇔≤；（3）证明不等式，注意应用前几问的结论. 试题解析：（1）函数的定义域为()10,,()f x a x+∞'=-， 所以()11f a '=-，又切线l 与直线4330x y +-=垂直， 所以切线l 斜率为34，从而314a -=，解得14a = ,（2）若0a ≤，则()10,f x a x->'=则()f x 在()0,∞+上是增函数 而()()11,0f a f x =-≤不成立，故0.a >若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()10f x a x '=->； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()10.f x a x -<'=所以()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，在1,a⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数,所以()f x 的最大值为1ln .f a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭要使()0f x ≤恒成立，只需ln 0a -≤，解得 1.a ≥（3）由（2）知，当1a =时，有()0f x ≤在()0,∞+上恒成立， 且()f x 在(]0,1上是增函数，()10f =所以ln 1x x <-在(]0,1x ∈上恒成立 .令1n x n =+，则1ln1,111n n n n n <-=-+++ 令1,2,3......,n n =则有11211ln,ln ,......,ln .223311n n n <-<-<-++ 以上各式两边分别相加， 得12111lnln ......ln .......231231n n n ⎛⎫+++<-+++ ⎪++⎝⎭ 即1111ln......,1231n n ⎛⎫<-+++ ⎪++⎝⎭故()111ln 1 (231)n n +>++++ 考点：（1）求切线方程；（2）函数在闭区间上恒成立的问题；（3）不等式证明.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
河南省洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文及答案
已知 F(2,0)为椭圆 C:
x2 a2
y2 b2
1(a
>
0, b
>
0) 的右顶点，动点
M 在椭圆
C 的长轴上，
过点 M 且不与 x 轴重合的直线交椭圆 C 于 A，B 两点.当点 M 与坐标原点 0 重合时，直线
PA
,PB 的斜率乘积为
1
.
4
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若 AM 2MB ，求△OAB 面积的最大值.
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x2 a2
y2 b2
1(a
>
0, b
>
0) 的的离心率为
2
，其左，右焦点分别为 F1，
2
F2,点 P 是坐标平面内一点，且| OP |
7 2
, PF1
PF2
3 4
，其中
O
为坐标原点.
河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期期末考试+数学(文)答案
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河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
河南省洛阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={1,2,3}，B ={1,3,4}，则A ∪B =( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {1,3}D. {1,2}2. 函数f (x )=e x +x −2的零点所在的一个区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)3. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =log 12x B. y =2−|x | C. y =x 2−1 D. y =x −14. 已知直线x +a 2y +6=0与直线(a −2)x +3ay +2a =0平行，则a 的值为( )A. 0或3或−1B. 0或3C. 3或−1D. 0或−15. 已知a =0.65.1，b =5.10.6，c =log 0.65.1，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. a <c <b6. 已知四面体ABCD 的所有顶点都在球O 的球面上，球O 的半径为2，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB =√2，则四面体ABCD 体积的最大值为( )A. 7√26B. 73C. 2√2D. 27. 给出函数f(x)={(12)x ,(x ≥4)f(x +1),(x <4)，则f(log 23)等于( )A. 124B. 111C. −238D. 1198. 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列为真命题的是( )A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若n//m ，n ⊥α，则m ⊥αC. 若m//α，n//β，m ⊥n ，则α⊥βD. 若m//α，n ⊥β，m//n ，则α//β9. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n ，则{a n }的通项公式是( )A. a n =2n−1B. a n =2nC. a n =2n −1D. a n =2n−1+110. 若点P(x 0,y 0)是圆x 2+y 2=4内任意一点，当点P 在圆内运动时，直线x 0x +y 0y =4与圆的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相交或相切D. 相离11.三棱锥P−ABC中，AB=BC=√15，AC=6，PC⊥平面ABC，PC=2，则该三棱锥的外接球表面积为()A. 253π B. 252π C. 833π D. 832π12.若圆x2+y2−6x−4y−5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax+by−a=0的距离为2√2，则直线ℓ倾斜角的取值范围是：()A. [π12,π4] B. [π12,5π12] C. [π6,π3] D. [0,π2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线x3−y2=1在y轴上的截距是___________．14.若函数f(x)=log12(x2−2ax+3)在(−∞,1]上为增函数，则实数a的取值范围____．15.圆C：(x−1)2+y 2=1关于直线l：x=0对称的圆的标准方程为______ ．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，与A1B成45°角的棱有__________条．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.某工程队在南海海域进行填海造地工程，欲在边长为1千米的正三角形岛礁ABC的外围选择一点D(D在平面ABC内)，建设一条军用飞机跑道AD，在点D测得B、C两点的视角∠BDC=60°，如图所示，记∠CBD=θ，如何设计θ，使得飞机跑道AD最长？18.已知某城市2015年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为1%(不考虑其他因素)．(1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；(2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)？19.在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA=√10，PD=3，PD⊥CD，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD；(2)求二面角C−PE−D的正切值．20.已知定义在R上的函数f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数．(1)求a的值，并判断f(x)的单调性(不用给证明)；(2)t为实数，且f(x−t)+f(x2−t2)≥0对一切实数x都成立，求t的值．21.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点(1)证明：AC//平面DMN；(2)若DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，求三棱锥B−ACE的体积．22.已知动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1．2(I)求动点P的轨迹方程；(II)若点A(−2,−2)，B(−2,6)，C(−4,2)，是否存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36.若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的并集运算，比较基础．根据交集的定义求解即可．解：集合A={1,2,3}，B={1,3,4}，则A∪B={1,2，3，4}．故选A．2.答案：C解析：f(−2)=e−2−2−2<0，f(−1)=e−1−1−2<0，f(0)=e0+0−2<0，f(1)=e+1−2>0，所以函数的零点所在区间为(0,1)．3.答案：B解析：本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性及单调区间，属于基础题．利用偶函数的定义，再利用函数的单调性得结论．解：A.函数y=log12x的定义域(0,+∞)不关于原点对称，故函数y=log12x为非奇非偶函数；B.函数y=2−|x|为偶函数，当x>0时，函数y=2−x在(0,+∞)单调递减；C.函数y=x2−1为偶函数，在(0,+∞)单调递增；D.函数y=x−1为奇函数，在(0,+∞)单调递减．综上所述，只有B符合题意．故选B．4.答案：D解析：本题主要考查了两直线平行充要条件的应用，属于基础题.解决此题的关键是根据两直线平行的条件建立关于a的方程求解，注意排除重合的情况．解：∵直线x+a2y+6=0与直线(a−2)x+3ay+2a=0平行，∴1×3a−a2(a−2)=0，即a(a2−2a−3)=0，解得a=0或a=−1或a=3，经验证当a=3时，两直线重合，故选D．5.答案：B解析：解：∵a=0.65.1∈(0,1)，b=5.10.6>1，c=log0.65.1<0，∴c<a<b．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，∴a2+b2=14，∴14≥2ab，∴ab≤7∴四面体ABCD体积V=√23×12ab≤7√26，∴四面体ABCD体积的最大值为7√26，故选：A．设AC=a，AD=b，则a2+b2+2=16，利用基本不等式，可得ab≤7，利用体积公式，即可求出四面体ABCD体积的最大值．本题考查四面体ABCD体积的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.答案：A解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．推导出f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3=(12) log23+3，由此能求出结果．解：∵函数f(x)={(12)x (x ≥4)f(x +1)(x <4)∴f(log 23)=f(log 23+1)=f(log 23+2)=f(log 23+3)=(12)log 23+3=13×18=124．故选A ．8.答案：B解析：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，空间中的位置关系，熟练掌握空间中线面关系的定义、判定、性质及几何特征是解答本题的关键.根据空间直线与平面，直线与直线判定定理及性质定理，以及几何特征，我们逐一对题目中的四个命题进行判断，即可得到答案． 解：对于A ，m//α，n//α，m ，n 有异面和相交的可能，A 错误，对于B ，根据定理可知，两平行直线中的一条与一平面垂直，另一条也与该平面垂直，B 正确， 对于C ，m//α，n//β，m ⊥n ，两平面有平行的可能，C 错误， 对于Ｄ，m//α，n ⊥β，m//n ，两平面有相交的可能，Ｄ错误， 故选Ｂ，9.答案：A解析：本题考查等比数列的通项公式的求解． 解：因为a n+1=2a n ，所以a n+1a n=2，所以{a n }是以a 1=1为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2n−1．故选A ．10.答案：D解析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为P 为圆内一点，所以P 到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d ，根据求出的不等式即可得到d 大于半径r ，得到直线与圆的位置关系是相离． 解：圆心到直线的距离d =√x 0+y 0，由于点P(x 0,y 0)在圆内，所以x 02+y 02<4，所以d =√x 0+y>√4=2，即圆心到直线的距离大于半径，故直线与圆相离． 故选D ．11.答案：D解析：解：∵AB =BC =√15，AC =6， ∴cosC =√15，∴sinC =√6√15， ∴△ABC 的外接圆的半径=√152⋅√6√15=5√64，设三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为d ，则R 2=d 2+(5√64)2=(2−d)2+(5√64)2， ∴该三棱锥的外接球半径为R 2=838，表面积为：4πR 2=4π×838=832π，故选：D ．根据已知条件得出△ABC 的外接圆的半径，利用勾股定理得出外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．本题综合考查了空间几何体的性质，考查三棱锥的外接球表面积，正确求出三棱锥的外接球半径是关键，属于中档题．12.答案：B解析：解：圆x 2+y 2−6x −4y −5=0的圆心C(3,2)，r =12√36+16+20=3√2，∵圆x 2+y 2−6x −4y −5=0上至少有三个不同的点到直线ℓ：ax +by −a =0的距离为2√2， ∴圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于等于√2， 即d =|3a+2b−a|√a 2+b 2≤√2，b =0时，不符合，∴b ≠0， ∴d =√a 2+b 2=|2ab +2√a 2b2+1|≤√2，∴(ab )2+4⋅ab +1≤0.∴−2−√3≤ab ≤−2+√3.即2−√3≤k ≤2+√3，∴倾斜角的范围为[π12,5π12]. 故选：B ．由题意得到圆心C(3,2)到直线ℓ：ax +by −a =0的距离小于√2，由此能求出倾斜角的范围． 本题考查直线的倾斜角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.答案：−2解析：本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题． 解：直线x3−y2=1，令x =0，解得y =−2， ∴在y 轴上的截距是−2， 故答案为−2．14.答案：[1,2)解析：本题主要考查复合函数的单调性，解本题的关键是掌握复合函数的单调性“同增异减”，还要注意函数的单调区间必在函数的定义域内，不要忘了对数的真数要大于0，属于中档题．令u =x 2−2ax +3，则由题意可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0，可得{a ≥11−2a +3≥0，解得a 的范围． 解：令u =x 2−2ax +3，则y =log 12u 在(0,+∞)上单调递减． 由f(x)=log 12(x 2−2ax +3)在(−∞,1]上 为增函数，可得u =x 2−2ax +3在(−∞,1]上为减函数且函数值大于0， 可得{a ≥11−2a +3>0，解得1≤a <2，故答案为[1,2)．15.答案：(x +1)2+y 2=1解析：解：∵圆 C ：(x −1)2+y 2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1， ∴已知圆关于直线l ：x =0对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，因此，所求圆的标准方程为(x+1)2+y2=1．故答案为(x+1)2+y2=1：.求出圆C:(x−1)2+y2=1的圆心为原点(1,0)，半径为1，可得对称的圆半径为1，圆心为(−1,0)，由此结合圆的标准方程即可得到所求圆的方程．本题给出圆C：(x−1)2+y2=1，求它关于定直线对称的圆的方程，着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．16.答案：8解析：此题考查异面直线所成的角，利用异面直线所成角的概念，通过找平行线求解．解：在正方体中，与A1B所成角为45°的面对角线有A1B1，AB，C1D1，CD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．故答案为8．17.答案：解：在△BCD中，BC=1，∠BDC=60°，∠CBD=θ，由正弦定理知BCsin60°=BDsin(120°−θ)，所以BD=sin(120°−θ)sin60°=cosθ+√33sinθ，…(4分)在△ABD中，AB=1，∠ABD=60°+θ，由余弦定理知AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos(60°+θ)，…(8分)AD2=12+(cosθ+√33sinθ)2−2×1×(cosθ+√33sinθ)(12cosθ−√32sinθ)=1+43sin2θ+4√3 3sinθcosθ=53+43sin(2θ−30°)…(14分)当2θ−30°=90°，θ=60°时，跑道AD最长．…(16分)解析：首先利用正弦定理在△BCD中表示出BD，然后在△ABD中，利用余弦定理求出AD即可．本题考查了解三角形的实际应用；关键是利用两个定理得到三角形的边角关系，进一步解三角形．18.答案：解：(1)y=200(1+1%)x．(2)令y=210，即200(1+1%)x=210，解得x=log1.011.05≈5．答：约经过5年该城市人口总数达到210万．解析：(1)利用指数型增长模型得出函数关系式；(2)令y=210，计算x即可．本题考查了指数型函数增长模型的应用，属于基础题．19.答案：证明：(1)在菱形ABCD中，∵∠BAD=60°，E为AB的中点，∴DE⊥CD，又∵PD⊥CD，且DE∩PD=D，DE⊂平面PDE，PD⊂平面PDE，∴CD⊥平面PDE，∵PE⊂平面PDE，∴PE⊥CD．解：(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH．由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∴∠CHD是二面角C−PE−D的平面角．由PE⊥CD，AB//CD，可得PE⊥AB，∵E为AB中点，PA=√10，∴PE=3．又PD=3，DE=√3，在△PDE中，由余弦定理得cos∠DEP=√36，∴sin∠DEP=√336，∴DH=DE⋅sin∠PED=√3×√336=√112．在Rt△CHD中，可得tan∠CHD=CDDH =4√1111．所以，二面角C−PE−D的正切值为4√1111．解析：本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出DE⊥CD，PD⊥CD，从而CD⊥平面PDE，由此能求出PE⊥CD；(2)过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH.由CD⊥平面PDE，得CH⊥PE，∠CHD是二面角C−PE−D 的平面角，由此能求出二面角C−PE−D的正切值．20.答案：解：(1)∵f(x)=2x−a⋅2−x为奇函数，∴f(0)=0，则1−a=0，解得a=1，即f(x)=2x−2−x=2x−(12)x，∵函数y=2x、y=−(12)x在定义域上是增函数，∴f(x)=2x−(12)x在R上单调递增；(2))∵f(x)是奇函数，且在R上是增函数，∴f(x−t)+f(x2−t2)≥0化为：f(x2−t2)≥−f(x−t)=f(−x+t)，∴x2−t2≥−x+t，则x2+x−t2−t≥0对一切实数x恒成立，∴△=12−4×1×(−t2−t)≤0，则(2t+1)2≤0，解得t=−12，∴t的值是−12．解析：(1)根据奇函数的性质：f(0)=0，列出方程求出a，利用指数函数的单调性判断f(x)的单调性；(2)由奇函数f(x)的单调性转化不等式，由二次函数的恒成立列出不等式求出t的值．本题考查函数单调性与奇偶性综合应用，以及二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．21.答案：证明：(1)∵在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1⊥平面ABCD，M、N分别是棱A1D1、D1C1的中点，∴MN//A1C1//AC，∵AC⊄平面DMN，MN⊂平面DMN，∴AC//平面DMN．解：(2)∵DM的中点为E，AB=6，AA1=4，∠BAD=60°，∴E到平面ABC的距离为d=12AA1=2，S△ABC=12×6×6×sin120°=9√3，∴三棱锥B−ACE的体积：V B−ACE=V E−ABC=13×S△ABC×d=13×9√3×2=6√3．解析：(1)推导出MN//A1C1//AC，由此能证明AC//平面DMN．(2)三棱锥B−ACE的体积V B−ACE=V E−ABC，由此能求出三棱锥B−ACE的体积．本题考查线面平行的证明，考查的三棱柱的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.答案：解：(I)设P(x,y)，则∵动点P与两个顶点M(1,0)，N(4,0)的距离的比为1，2∴2√(x−1)2+y2=√(x−4)2+y2，∴x2+y2=4，即动点P的轨迹方程是x2+y2=4；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x+4)2+(y−2)2=36，∴3x2+3y2+16x−12y+32=0，∵x2+y2=4，∴4x−3y+11=0，>2，圆心到直线4x−3y+11=0的距离d=115∴直线与圆相离，∴不存在点P，使得|PA|2+|PB|2+|PC|2=36．解析：(I)利用直接法，求动点P的轨迹方程；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36，可得3x2+3y2+16x−12y+32=0，得出公共弦的方程，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．。
洛阳市2019-2020学年上学期期末考试高二数学答案(理科)
洛阳市!"#$ !"!"学年第一学期期末考试高二数学试卷 理 参考答案一 选择题#*(),,--,"""")+#")*.,-.""""##+#!).*二 填空题#&!!*!##""""""#'! )""""#(!##槡!""""#)!槡'&&三 解答题#/!解)5":)"0+#;)"0-#:是;的充分条件#"6"+5-!..!分!#"当&$##$!#即$$#&时#+&'")!#"#&$##(!..&分由+5-得$!!&$##!$!#'!#解得#&#$!&*槡(!!..(分!!"当&$##&!#即$&#&时#+&?#不符合题意#舍去!..)分!&"当&$###!#即$##&时#+&'")&$###"#!(!../分由+5-得$!&$##!!$!#'!#解得*#!!$##&!..$分综上#实数$的取值范围是%*#!##&"6!#&#&*槡(!&!..#"分#0!解)!#"设等比数列'$'(的首项为$##公比为;#由题意知;7##则(&&$#!#*;&"#*;&*)()&$#!#*;)"#*;&*+,'!#..!分从而##;&&*/#即;&&*0#..'分所以;&*!#$#&*!#所以$'&!*!"'#..)分('&!*!"@%#*!*!"'&#*!*!"&*!&%#*!*!"'&!..0分!!"由!#"知#('###('#!&*!&%#*!*!"'##&*!&%#*!*!"'#!&&*!&%!*!*!"'##*!*!"'#!&&*!&%!#!@!*!"'*'@!*!"'&&*'&%#*!*!"'&&!('#..##分所以('###('#('#!成等差数列!..#!分高二数学!理"答案"第#页"!共'页""!!"!"%#"#$!解)!#"在/+-,中#7!&/!##'$!*/$789%+,-!在/+.,中#%!&/!##'$!*/$789%+,.!..!分5"%+,-#%+,.& #"6"789%+,-#789%+,.&"#6"%!#7!&!/!##!$!#"6"/!&#!!%!#7!"*#'$!!..'分5"$!#!%7&'/!#"6"$!#!%7&!%!#!7!*$!#即%!#7!*$!&%7#6"789%-+.&%!#7!*$!!%7&#!!5""#%-+.# #"6"%-+.& &!..)分!!"由$&'#%-+.& &及正弦定理得%9:2-&79:2.&'9:2&&槡0&"%&槡0&&9:2-#7&槡0&&9:2.&槡0&&9:2!! &*-"#..0分6"%#7&槡0&&9:2-#槡0&&9:2!! &*-"&槡0&&!&!9:2-#槡&!789-"&09:2!-# )"..#"分5""#-#! ")#-# )#( )##!#9:2!-# )"!##%#70!'#0&#..##分故/+-.的周长的取值范围是!0##!&!..#!分!"!!#"依题意#可设>的方程为"&/1*!!/7""!由1!&0""&/1*'!得1!*0/1##)&"#..!分则/&)'/!*)'$"#/$#或/#*#!..&分设+!"##1#"#-!"!#1!"#则,!"##*1#"#"6"1##1!&0/#1#1!&#)#..'分直线-,的方程为1*1!&1!#1#"!*"#(!"*"!"#即1*1!&01!*1#(!"*1!!0"!..(分令1&"#得"&1#1!&!#所以直线-,经过点0!!#""!..)分!!"由!#"知#"##"!&!/1#*!"#!/1!*!"&/!1##1!"*'&0/!*'#"#"!&1!#0(1!!0&'..0分5"-.0+&!"#*!#1#"#-.0-&!"!*!#1!"#高二数学!理"答案"第!页"!共'页""!!"!"%#"6"-.0+(-.0-&!"#*!"!"!*!"#1#1!&"#"!*!!"##"!"#'##)&&!*#)/!#..#"分故&!*#)/!&"#解得/&A 槡!!..##分所以>的方程为"#槡!1#!&"或"*槡!1#!&"!..#!分!#!!#"取+-的中点,#连接52#.,#5,#易证四边形52.,为平行四边形#从而528.,!..#分5"底面+-.3侧面++#-#-#底面+-.4侧面++#-#-&+-#.,3+-#.,9底面+-.#6".,3侧面++#-#-#..!分6"523侧面++#-#-!..&分又+-#9侧面++#-#-#"6"+-#352!..'分又侧面++#-#-为菱形#所以+-#3+#-#所以+-#3平面+#52!..(分因为+#29平面+#52#所以+-#3+#2!..)分!!"由!#"知#5235+##5235+#5+35+##以5为原点#建立如图所示的空间直角坐标系5*"1B !5"侧面++#-#-是边长为!的菱形#且%++#-#&)"3#6"5!"#"#""#+!"###""#-#!"#*##""#-!*槡&#"#""#.!*槡&!##!#槡&"#2!"#"#槡&"#-.52&!"#"#槡&"!../分设-.+4& -.+.! $""#得4!*槡&! ##*#! #槡& "#6"-.54&!*槡&! ##*#!#槡& "#"6"-.52--.54&& !..0分5"-.52--.54&)-.52)-)-.54)-789%452&槡&-&' !#!#*#! "!#& 槡!-槡!!#6"槡&-&' !#!#*#! "!#& 槡!-槡!!&&#解得 &#!或 &*#!舍去"#..$分6"4!*槡&'#&'#槡&!"#-#-.-&!*槡&###""#-#-.4&!*槡&'#/'#槡&!"!设平面-#-4的法向量''&!"#1#B "#由-#-.--''&"-#-.4-''&*+,"得*槡&"#1&"*槡&'"#/'1#槡&!B &*+,"#取''&!##槡&#*&"!..#"分而侧面++#-#-的一个法向量&/&!"#"##"!高二数学!理"答案"第&页"!共'页""!!"!"%#"则789#&/#''$&&/-'')/-)-)'-)&*槡&&#&!..##分又二面角4*--#*+的平面角为锐角#6"二面角4*--#*+的余弦值为槡&&#&..#!分!!!解)!#"当4与坐标原点5重合时#+#-关于原点对称#设+!""#1""#-!*""#*1""!5"2!!#""为椭圆的右顶点#"6"$&!!..#分又直线2+#2-的斜率乘积为*#'#"6"C 2+-C 2-&1"!""!*'&*#'!..!分又""!$!#1"!%!&##6"1"!&%!!#*""!$!"&%!'!'*""!"#即1"!""!*'&*%!'..&分6"%!&#!..'分6"椭圆的标准方程为"!'#1!&#!..(分!!"设4!/#""#直线+-的方程为"&D 1#/!D 7""#/0!*!#!"!由"!'#1!&#"&D 1#*+,/得!D !#'"1!#!/D 1#/!*'&"!..)分则 &'/!D !*'!D !#'"!/!*'"&#)!D !#'*/!"$"#设+!"##1#"#-!"!#1!"#则1##1!&*!/D D !#'#1#1!&/!*'D !#'!../分5"-.+4&!-.4-#"6"!/*"##*1#"&!!"!*/#1!"#"6"1#&*!1!#..0分6"/!&'D !##)$D !#'#1!&!/D D !#'..$分5"/+5-的面积(&#!)/)-)1#*1!)&&!)/1!)#6"(!&$'!/1!"!&$'-'D !##)$D !#'-#)D !!$D !#'"!'#D !"&$-#)D !!$D !#'"!#..#"分6"(&#!)D )$D !#'&#!$)D )#')D )!##当且仅当D !&'$#D &A !&时上式取等号!6"/5+-面积的最大值为#!..#!分高二数学!理"答案"第'页"!共'页""!!"!"%#"。
江西省宜春市第二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含详解
D.若一组数据2，4， ，8 平均数是5，则该组数据的方差也是5
2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为
A.1B.2
C.3D.4
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， ，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线 不一定过样本中心
3.设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，
∠ = ，则C的离心率为
A. B. C. D.
4.下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）
A. B. C. D.
5.设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
河南省洛阳市强基联盟2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题含解析
数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册第一章~第二章第3节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l (0,2)，则直线l 的方程为（）A.2y =+B.2y =-C.2y =-D.2y =+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意，直线l ，且经过点(0,2)，根据直线的点斜式方程，可得20)y x -=-，即2y =+.故选：D.2.已知O 是坐标原点，空间向量()1,1,2OA = ，()1,3,4OB =- ，()2,4,4OC = ，若线段AB 的中点为D ，则=CD （）A.9B.8C.3D.【答案】C 【解析】【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算.【详解】由题意(1,1,2),(1,3,4),(2,4,4)A B C -，则()0,2,3D ，所以()2,2,1CD =---，所以3CD =，故选：C.3.已知直线l 经过点()3,2--，()1,2，则下列不在直线l 上的点是（）A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()2,1【答案】D 【解析】【分析】由已知的两点求出直线l 的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解.【详解】由直线的两点式方程，得直线l 的方程为()()()()232213y x ----=----，即10x y -+=，将各个选项中的坐标代入直线方程，可知点()2,1--，()1,0-，()0,1都在直线l 上，点()2,1不在直线l 上．故选：D ．4.在空间直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为()6,1,4A -，()3,0,2B ，()1,4,5C -，则点D 的坐标为（）A.()2,3,7 B.()4,5,3- C.()10,5,1- D.()4,5,3--【答案】A 【解析】【分析】根据平行四边形对角线的交点为中点可得答案.【详解】设(),,D x y z ，因为AC 与BD 的中点相同，所以613140452,,222222x y z -+-++++===，解得2,3,7x y z ===，所以()2,3,7D .故选：A.5.已知点A ，B 分别是直线1:220l x y +-=与直线24210:l x y ++=上的点，则AB 的最小值为（）A.0B.C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】由两平行直线间的距离定义和公式可求.【详解】由题意可知直线12//l l ，所以当1AB l ⊥，且2AB l ⊥时，AB 有最小值，其最小值为平行直线1l 与2l 的距离，直线1l 的方程可化为24240:l x y +-=，所以min 5||2AB ==故选：C.6.已知点()1,3A -，()3,1B ，过点()0,1C -的直线l 与线段AB 相交，则l 的斜率的取值范围为（）A.13,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.24,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.13,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.(]2,4,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先求得直线AC 和直线BC 的斜率，再利用数形结合法求解.【详解】解：如图所示：()()311124,10303AC BC k k ----==-==---，由图象知：当l 的斜率不存在时，直线与线段AB 相交，故l 的斜率的取值范围为(]2,4,3∞∞⎡⎫--⋃+⎪⎢⎣⎭.故选：D.7.在四面体ABCD 中，点E 满足DE DC λ=，F 为BE 的中点，且111236AF AB AC AD =++ ，则实数λ=（）A.14B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解.【详解】由F 为BE 的中点，得1122AF AB AE =+，又111236AF AB AC AD =++ ，所以2133AE AC AD =+ ，由DE DC λ= ，得()AE AD AC AD λ-=- ，即()1AE AC AD λλ=+- ，所以2.3λ=故选：D8.已知点(),a b 在线段()3410026x y x +-=-≤≤上，则222a b +-的取值范围是（）A.[]2,18 B.[]2,38 C.[]0,38 D.0,2⎡⎤⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离.【详解】由()3410026x y x +-=-≤≤的图象如下，又(),a b 是上图线段上的一点，且22a b +为原点到该线段上点距离的平方，上述线段端点分别为(2,4),(6,2)--，到原点距离的平方分别为20,40，由图知：原点到线段的距离22|10|234d =+，则24d =，综上，22[4,40]a b +∈，故222[2,38]a b +-∈.故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知i j k、、是空间中三个向量，则下列说法错误的是（）A.对于空间中的任意一个向量m，总存在实数x y z ，，，使得m xi y j zk=++ B.若{}i j k 、、是空间的一个基底，则{}2i j j k k i - -3、+、也是空间的一个基底C.若i j ⊥ ，k j ⊥ ，则//i kD.若i j k 、、所在直线两两共面，则i j k 、、共面【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量基本定理分别判断.【详解】由空间向量基本定理.可知只有当i j k 、、不共面时.i j k 、、才能作为基底，才能得到m xi y j zk =++，故A 错误：若{}i j k 、、是空间的一个基底，则i j k 、、不共面.2i j j k k i - -3、+、也不共面，所以{}2i j j k k i --3、+、也是空间的一个基底，故B 正确；若i j ⊥ ，k j ⊥ ，则i k、不一定平行，故C 错误；若i j k 、、所在直线两两共面，则i j k 、、不一定共面，故D 错误.故选：ACD.10.已知直线123l l l ，，的倾斜角分别为123θθθ，，，斜率分别是123k k k ，，，若123θθθ<<，则123k k k ，，的大小关系可能是（）A.123k k k <<B.321k k k <<C.312k k k <<D.231k k k <<【答案】ACD 【解析】【分析】由tan k x =在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋ê ë分别单调递增，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0k >；π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0k <，分类讨论分析即得解.【详解】由tan k x =在ππ0,,,π22轹骣麋ê麋麋ê ë分别单调递增，且π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0k >；π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0k <，若123π02θθθ<<<<，或123ππ2θθθ<<<<，则123k k k <<，故A 正确；若123π0π2θθθ<<<<<，则312k k k <<，故C 正确；若123π0π2θθθ<<<<<，则231k k k <<，故D 正确，无论哪种条件下，B 都不成立.故选：ACD.11.已知直线l 经过点(3,4)P -，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线l 的方程为（）A.10x y ++=B.430x y +=C.70x y --=D.43240x y --=【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，利用直线的斜截式方程，结合待定系数法求解即得.【详解】依题意，直线l 的截距存在且不为零，设直线l 的方程为1x ya b+=，又直线l 过点(3,4)P -，于是3a +41b -=，又l 与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则||||a b =，当a b =时，341a a-+=，解得1a =-，此时直线l 的方程为10x y ++=；当a b =-时，341a a-+=-，解得7a =，此时直线l 的方程为70x y --=.所以直线l 的方程为10x y ++=或70x y --=.故选：AC12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，124AB BB BC M N ===，，分别为棱111,A D AA 的中点，则下列结论正确的是（）A.MN //平面1ABCB.1B D ⊥平面CMNC.异面直线CN 和AB 所成角的余弦值为33D.若P 为线段11A C 上的动点，则点P 到平面CMN 的距离不是定值【答案】AD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()()()11110,4,0,2,0,0,2,4,0,0,4,4,0,0,4,2,0,4,2,4,4A C D A B C D ，()()1,4,4,0,4,2M N 对于A ，因为()()11,0,22,0,42NM BC NM ===，，所以1//BC MN ，又1BC ⊂平面1ABC ，MN ⊄平面1ABC ，所以MN //平面1ABC ，故A 正确；对于B ：()()()12,4,41,4,42,4,2B D CM CN =-=-=- ，，，设平面CMN 的法向量为(),,m x y z = ，则0.0.m CM m CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即440.2420.x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩令1z =，则32.2x y =-=-，所以平面CMN 的一个法向量为32,,12m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，因为1B D 与32,,12m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 不平行，所以1B D ⊥平面CMN 不成立，故B 错误；对于C ：()()2,4,20,4,0CN AB =-=-，，设异面直线CN 和AB 所成的角为θ，则166cos cos ,341644CN AB CN AB CN ABθ⋅-===++⨯⋅，故C 错误；对于D ，设()[]()1112,4,00,1A P A C λλλλ==-∈，所以()1122,44,4CP CA A P λλ=+=--，又平面CMN 的一个法向量为32,,12m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 所以点P 到平面CMN 的距离292m CP d m⋅==不是定值.故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()(3,2,,2,3,a m b =-=- ，若a b ⊥，则m =______.【答案】-【解析】【分析】由空间向量垂直的条件求解.【详解】由a b ⊥，得()()32230.-⨯-+⨯+=解得m =-故答案为：-14.若直线()310m x y -++=与直线()2230x m y --+=垂直，则实数m =______.【答案】83##223【解析】【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为直线()310m x y -++=与直线()2230x m y --+=垂直，所以()()2320m m ---=，解得83m =，故答案为：83.15.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题———“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A （2，4），军营所在位置为B （6，2），河岸线所在直线的方程为x +y -3=0，则将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程的最小值为______.【答案】【解析】【分析】求出点B 关于直线30x y +-=的对称点B '，数形结合分析得，“将军饮马”的总路程的最小值为AB '.【详解】由题可知A ，B 在30x y +-=的同侧，设点B 关于直线30x y +-=的对称点为(),B a b '，则()6230222116a b b a ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=-⎪-⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，即()1,3B '-，所以“将军饮马”的总路程的最小值为AB '=故答案为：16.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，26AB BC ==，PC PD ⊥，PC PD =，点O 是CD 的中点，则线段PB 上的动点E 到直线AO 的距离的最小值为______.【答案】【解析】【分析】利用空间线面位置关系、空间向量、向量法求空间中点到直线距离的公式、二次函数分析运算即可得解.【详解】解：如上图，取AB 的中点为O '.连接PO 、OO '、AE .∵PC PD =，点O 是CD 的中点，∴PO CD ⊥.又∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面ABCD CD =，PO ⊂平面PCD ，∴PO ⊥平面ABCD .又∵OO '⊂平面ABCD ∴PO OO '⊥.又∵底面ABCD 是矩形，O 、O '是CD 、AB 中点，∴OO CD '⊥.∴以点O 为原点，OO '、OC 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，由PC PD ⊥，PC PD =，26CD AB BC ===，得3PO OC OD ===，3AD BC ==.∴()3,3,0A -，()3,3,0B ，()0,0,3P ，则()3,3,0AO =- ，()3,3,3BP =-- ，设BE BP λ= ()01λ≤≤，则()33,33,3E λλλ--，()3,63,3AE λλλ=-- ，AE =，∵AO == ，∴向量AO的单位方向向量AO v AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()()36330AE v λλλ⎛⋅=-⨯-+-⨯⨯= ⎝，因此点E到直线AO 的距离d ==，当23λ=时，d ，∴线段PB 上的动点E 到直线AO..【点睛】向量法求点到直线距离的步骤：1.根据图形求出直线（或向量）的单位方向向量v .2.在直线上任取一点M （可选择特殊便于计算的点），计算点M 与直线外的点N 的方向向量点MN.3.点N 到直线的距离d =四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知三条直线134110l x y -+=：，2230l x y +-=：和()()3231230l m x m y m --+-+=：.（1）若13//l l ，求实数m 的值；（2）若三条直线相交于一点，求实数m 的值.【答案】（1）3（2）23【解析】【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可；（2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可.【小问1详解】因为134110l x y -+=：，()()3231230l m x m y m --+-+=：且13//l l .所以()()31423m m ⎡⎤⨯-+=-⨯-⎣⎦.解得3m =.经检验，3m =时，13//l l .【小问2详解】由34110230x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩即1l 与2l 的交点为()1,2-，因为三条直线相交于一点，所以点()1,2-在3l 上，所以()()()23112230m m m ---+-+=.解得23m =.18.已知ABC 的三个顶点分别为()2,3A ，()0,5B ，()6,1C -.（1）求边AB 上的高CD 所在直线的方程；（2）求边AB 上的中线CE 所在直线的方程.【答案】（1）7y x =+（2）32577y x =+【解析】【分析】（1）先求得直线AB 的斜率，利用点斜式求得边AB 上的高CD 所在直线的方程.（2）先求得E 点坐标，再根据两点式求得边AB 上的中线CE 所在直线的方程.【小问1详解】53102AB k -==--，所以直线CD 的斜率为1，所以直线CD 的方程为()116,7y x y x -=⨯+=+【小问2详解】线段AB 的中点()1,4E ，所以直线CE 所在直线方程为()163325,16,4116777y x y x y x -+=-=+=+-+.19.如图，在四面体ABCD 中，3AB =，2AC AD ==，23BAD CAD π∠=∠=，2BAC π∠=，点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =.（1）用AB ，AC ，AD 表示AN ，DM ；（2）求异面直线AN ，DM 所成角的余弦值.【答案】（1）2133AN AB AC =+ ，12DM AB AD =-（2）370【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法求向量数量积及夹角.【小问1详解】因为点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =，所以12AM AB = ，13BN BC = ，所以()11213333AN AB BN AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，12DM DA AM AB AD =+=- ；【小问2详解】因为3AB =，2AC AD ==，23BAD CAD π∠=∠=，2BAC π∠=，所以32cos 02AB AC π⋅=⨯⨯= ，232cos 33AB AD π⋅=⨯⨯=- ，222cos 23AC AD π⋅=⨯⨯=-所以2103AN ==，2DM == ，211332AN DM AB AC AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111733633AB AB AD AB AC AC AD =-⋅+⋅-⋅= ，所以173cos ,37032AN DM AN DM AN DM ⋅==⋅ ，即异面直线AN ，DM所成角的余弦值为370.20.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BA BC ⊥，12BA BC BB ===，D ，E ，F 分别为1AA ，11B C ，AB 的中点.（1）证明：//EF 平面11ACC A ；（2）求直线CE 与平面DEF 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）11【解析】【分析】（1）取AC 的中点G ，连接FG ，1GC ，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.【小问1详解】证明：取AC 的中点G ，连接FG ，1GC ，因为F ，G 分别为AB ，AC 的中点，所以//FG BC ，12FG BC =，又E 为11B C 的中点，11//BC B C ，11BC B C =，所以1//FG EC ，1FG EC =，所以四边形1EFGC 是平行四边形，所以1//EF GC ，又EF ⊄平面11ACC A ，1GC ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A .【小问2详解】解：在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥，又BA BC ⊥，故以B 为原点，BA ，BC ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0C ，()2,0,1D ，()0,1,2E ，()1,0,0F ，所以()1,1,2FE =- ，()1,0,1FD = ，()0,1,2CE =- ，设平面DEF 的法向量为(),,m x y z = ，则200m FE x y z m FD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1x =得3y =，1z =-，所以平面DEF 的一个法向量为()1,3,1m =- ，设直线CE 与平面DEF 所成的角为θ，则sin cos ,11m CE m CE m CEθ⋅=== ，即直线CE 与平面DEF所成的角的正弦值为11.21.已知直线:20l ax y a -+-=恒过点P ，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，O 为坐标原点.（1）求点P 的坐标；（2）当点O 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程；（3）当PA PB ⋅取得最小值时，求AOB 的面积.【答案】（1）()1,2（2）250x y +-=（3）12或92【解析】【分析】（1）把直线l 的方程可化为(1)(2)0a x y ---=，联立方程组，即可求解；（2）当OP l ⊥时，点O 到直线l 的距离最大，结合1OP l k k ⋅=-，求得12l k =-，即可求得直线l 的方程；（3）分别求得2(,0)a A a-和(0,2)B a -，得到12()PA PB a a ⋅=+，结合基本不等式，得到1a =±，分类讨论，即可求得AOB 的面积.【小问1详解】解：直线l 的方程可化为(1)(2)0a x y ---=，令1020x y -=⎧⎨-=⎩，解得1,2x y ==，即点P 的坐标为()1,2.【小问2详解】解：当OP l ⊥时，点O 到直线l 的距离最大，此时直线OP 的斜率OP k 与直线l 的斜率l k 满足1OP l k k ⋅=-，因为2OP k =，所以12l k =-，即12a =-，所以直线l 的方程为15220x y +--=，即250x y +-=.【小问3详解】解：令0y =，可得2a x a -=，所以2(,0)a A a-；令0x =，可得2y a =-，所以(0,2)B a -，且0,2a a ≠≠，可得PA PB ====，所以12()24PA PB a a ⋅=+≥⨯当且仅当1a =±时，等号成立，当1a =时，直线l 的方程为10x y -+=，此时(1,0),(0,1)A B -，可得AOB 的面积为1122S OA OB ==；当1a =-时，直线l 的方程为30x y +-=，此时(3,0),(0,3)A B ，可得AOB 的面积为1922S OA OB ==，综上可得，AOB 的面积为12或9.222.如图，在三棱台111ABC A B C -中，ABC 是等边三角形，11124,2AB A B CC ===，侧棱1CC ⊥平面ABC ，点D 是棱AB 的中点，点E 是棱1BB 上的动点（不含端点B ）.（1）证明:平面11AA B B ⊥平面1DCC ；（2）求平面ABE 与平面ACE 的夹角的余弦值的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）17【解析】【分析】（1）先分别证明1CC AB ⊥、CD AB ⊥，由此即可证明AB ⊥平面1DCC ，从而由面面垂直的判定定理即可得证.（2）建立适当的空间直角坐标系，设(]()10,1BE BB λλ=∈ ，分别求出求平面ABE 与平面ACE 的法向量12,n n （含有参数λ），由公式即可表示出121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==⋅ （它可以看成是关于λ的函数），从而将问题转换为了求函数的最小值，从而即可求解.【小问1详解】因为ABC 是等边三角形，点D 是棱AB 的中点，所以CD AB ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1CC AB ⊥，又1= CC CD C ，1,CC CD ⊂平面1DCC ，所以AB ⊥平面1DCC ，又AB ⊂平面11AA B B ，所以平面11AA B B ⊥平面1DCC .【小问2详解】在平面ABC 中，过点C 作//CF AB ,由（1）可知1CC AB ⊥，CD AB ⊥，所以1CC CF ⊥，CD CF ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1CC CD ⊥，以C 为坐标原点，1,,CD CF CC 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示：因为ABC 是等边三角形，11124,2AB A B CC ===，所以()23,2,0A -，()3,2,0B ，()10,0,2C ，因为1112C B CB = ，所以)13,1,2.B 设(]()10,1BE BB λλ=∈ ，所以()13,,2BE BB λλλλ==- ，所以()33,2,2.E λλλ-设平面ABE 的法向量为()1111,,n x y z = ，又()()0,4,0,3,4,2,AB AE λλλ==- 所以1100AB n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()1111403420y x y z λλλ=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩，令12x =，得110,3y z ==，所以平面ABE 的一个法向量为(12,0,3,n = 设平面ACE 的法向量为()2222,,n x y z = ，又()3,2,0,AC =- 所以2200AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()2222323203420y x y z λλλ⎧-+=⎪⎨-+-+=⎪⎩，令21x =，得)2323,,y z λλ-==所以平面ACE 的一个法向量为)2323,n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ABE 与平面ACE 的夹角为θ，所以121212cos cos ,n n n n n n θ⋅===⋅ 设()32625t λλλ-=+=-，因为(]0,1λ∈，所以(],1t ∈-∞-，所以[)11,0t ∈-，所以cos 77θ==⋅设[)11,0u t=∈-，则由复合函数单调性可知()7f u =在[)1,0u ∈-时单调递增，所以当11165u t λ=-==-时，即1λ=时，cosθ取到最小值()211177f -=⨯=.。
河南省洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 理及答案
洛阳市2019—2020学年第一学期期末考试高二数学试卷(理）本试卷分第I 卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟.第I 卷(选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2.考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知不等式: 的解集为[2,3]，则 02≤++b ax x =+b a A. - 1 B. 1C. -2D. 22.已知等差数列{}的前项和为，若,则 n a n n S 18975=++a a a =13S A. 39B. 78C. 117D. 1563.若b<a<0,给出下列不等式:①；②;③；④ab 1<1b a +0>b |a |+b1-b >a 1-a .其中正确的不等式是22lgb >ga l A.①④ B.②③ C.①③ D.②④4.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北45°(即∠BAC = 45°)的方向上，行驶600Wni 后到达B 处.测得此山顶在北偏东15°(即∠ABC =75°）的方向上，仰角∠DBC =30°，则此山的高度CD = A. m 3800B.m3600C. m 3400D.m32005.设为非零向量，则“”是“存在正数，使得，的 n m ,0>n m ⋅λn m λ=A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设分别是椭圆C ：的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段21F ,F 0)>b >(12222a by a x =+1PF 的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为x 02145F =∠PF A.B.C.D.12-12+212-212+7.若变量,满足约束条件，则的取值范围是y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x x y 1+A. [0，1]B.[，1] C.[l ，2] D. [,2] 21218.已知双曲线的渐近线被圆C: 截得的弦长为0)>b 0,>(12222a by a x =-01222=-+x y x 8,双曲线的右焦点为C 的圆心，则该双曲线的方程为A. B. 1162022=-y x 1201622=-y x C. D.1241222=-y x 1122422=-y x 9.已知直三棱柱中，= 120°,AB = 2，BC = CC 1 = 1,则异面111C B A ABC -0120=∠ABC 直线AB 1与SC 1所成角的正弦值为 A.B. C . D.215105153610.已知F 是椭圆M: 的右焦点，A ，B 是椭圆M 上关于原点O 对称的两点，若171622=+y x ,则△FAB 的内切圆面积为0=⋅FB FA A. B. C. D.π5π4π2π11.已知数列{}满足,是数列{}的前项和，则 n a )(2,111*+∈==N n a a a n n n n S n a n A. B.201920202=a 202020202=a C.D.3210102020-=a )12(310102020-=a12.正方体的棱长为1，平面内的一动点P 满足到点A ’的距1111D C B A ABCD -''''D C B A 离与到线段的距离相等，则线段PA 长度的最小值为 ''D C A.B. C. D.2556272第II 卷（非选择题，共90分)二、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共20分.13.若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是R x ∈∃0052020≤+++m mx x m.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，则角B 的值ac c b a 3222=-+为 .15.太极图被称为“中华第一图从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”。
2019-2020学年河南省洛阳市高二上学期期末数学(文)试题
2019-2020学年河南省洛阳市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}22530A x x x =--≥，{}2B x x =<，则A B =I （ ）A ．1< 22x x ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭B ．{}23x x <-≥或C ．122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭D ．122x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭答案D分别化简集合,A B ,再求其交集即可. 解：{}{225303A x x x x =--≥=≥Q 或1}2x ≤-,{}{}222B x x x x =<=-<<,122A B x x ⎧⎫∴⋂=-<≤-⎨⎬⎩⎭故选:D.本题考查集合的运算,考查解不等式,属于简单题. 2．在下列四个命题中：①“若3b =，则29b =”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“1c <”是“220x x c ++=有实根”的充分不必要条件； ④“若A B A ⋃=，则A B ⊆”的逆否命题. 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4答案A一一分析每个命题的真假性即可. 解：①原命题的逆命题为“若29b =,则3b =”,是个假命题;②原命题的否命题为“不全等的三角形,它们的面积不相等”,是个假命题;③若220x x c ++=有实根,则4401c c ∆=-≥⇒≤, 所以“1c <”是“220x x c ++=有实根”的充分不必要条件, 故其是个真命题;④若A B A ⋃=,则B A ⊆,故原命题为假命题,则其逆否命题也为假命题; 故选:A.本题考查了命题的真假性判断,结合了集合的相关性质,属于基础题.3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且274212a a a ++=，9S =（ ） A ．3 B ．27C ．54D ．36答案B利用等差中项的性质化简等式可得53a =,从而可以求出9S . 解：274212a a a ++=Q ,5412a ∴=,即53a =,195959()9292722a a a S a +⋅∴====, 故选:B.本题考查了等差中项的应用,属于简单题.4．双曲线的实半轴长为4，焦距为10，则此双曲线的标准方程为（ ）A ．2218416x y -=B ．221169x y -= C ．221169y x -=或221169x y -= D ．2211684x y -=或2211684y x -=答案C根据题意解出4,5a c ==,所以3b =,以此即可得到双曲线的方程. 解：由双曲线的实半轴长为4,焦距为10, 可得4,5a c ==,所以3b =,又双曲线的焦点可能在x 轴上,也有可能在y 轴上,所以双曲线的方程为:221169x y -=或221169y x -=, 故选:C.本题考查求双曲线的标椎方程,属于简单题.解此类题要注意焦点所在坐标轴,不要错写或者漏写方程.5．在ABC V 中，已知60A =︒，a =2b =，则B =（ ） A ．30° B ．60︒C ．30°或150︒D ．60︒或120︒答案A根据正弦定理即可求出sin B ,再利用大边对大角的性质即可确定B 的值. 解：在ABC V 中,由正弦定理sin sin a bA B=21sin sin 2B B=⇒=, 所以30B =o 或150o , 又a b >,所以A B >, 所以30B =o , 故选:A.本题考查正弦定理解三角形,属于基础题.注意出现多解问题时,要检验是否所有答案都满足题意.6．已知函数()231f x x x =++，则()()11lim2x f x f x∆→+∆-=∆（ ）A ．5B ．52 C ．5-D ．52-答案B 化简()()011lim 2x f x f x∆→+∆-∆()112f '=,因此,利用求导公式求出(1)f '即可得解. 解：()231f x x x =++,则()23f x x '=+,(1)5f '=,所以()() 011 lim2xf x fx∆→+∆-∆()()()11115lim1222xf x ffx∆→+∆-'=⋅=⋅=∆,故选:B.本题考查导数的计算,考查瞬时变化率,属于基础题..7．已知x，y满足约束条件102240xx yx yì-?ïï-?íï+-?ïî，若1yzx-=，则z的取值范围为（）A．3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[)3,2,2⎛⎤-∞+∞⎥⎝⎦U C．1,210⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．31,210⎡⎤--⎢⎥⎣⎦答案A画出可行域,利用目标函数的几何意义,结合图像求解.解：画出满足约束条件的可行域如下图所示:则1yzx-=代表可行域内的点(,)x y与点(0,1)P连线的斜率,结合图像可知,当(,)x y落在A时,斜率最大,联立1040xx y-=⎧⎨+-=⎩,解得(1,3)A,此时max2z=,当(,)x y落在B时,斜率最小,联立10220xx y-=⎧⎨--=⎩,解得1(1,)2B-,此时min32z=-,因此,z的取值范围为3[,2]2-,故选:A.本题主要考查线性规划,考查数形结合思想的运用.此类线性规划问题中,目标函数常代表的几何意义一般有截距,斜率,距离等.8．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分不必要条件答案A解：试题分析：α⊥β， b ⊥m又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，故选A. 【考点】充分条件、必要条件.9．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1b ca c a b+≥++，则角A 的取值范围是（ ） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦C ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案B将题设不等式化简得到222b c a bc +-≥,结合余弦定理即可推出A 的范围. 解： 因为1b ca c a b+≥++, 所以222b c a bc +-≥,所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=,所以在ABC V 中,(0,]3A π∈,故选:A.本题主要考查余弦定理的应用,难度不大.10．已知F 是椭圆22:1167x y M +=的右焦点，,A B 是椭圆M 上关于原点O 对称的两点，若·0FA FB =u u u v u u u v，则FAB ∆的内切圆的面积为（ ） A ．5π B ．4πC ．2πD ．π答案D画图分析焦点三角形的面积再利用等面积法求解即可. 解：如图,设左焦点为1F ,连接11,AF BF ,因为0FA FB =u u u r u u u r g ,故FA FB ⊥u u u r u u u r,故四边形1F AFB 为矩形.故1FAB F FB S S ∆∆==7tan4π7=,又12AB F F =,故FAB ∆的内切圆半径r 满足 ()()1168722FAB S AB AF BF r r ∆=++=⨯+=,解得1r =.FAB ∆的内切圆的面积为π.故选：D本题主要考查了椭圆焦点三角形的面积公式与等面积法求内切圆半径等.属于中等题型.11．已知等比数列{}n a 的各项都为正数，当3n ≥时，242410nn a a -=，设数列{}lg n a 的前n 项和为n S ，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则2020T 等于（ ）A ．20202021B ．20192020C ．20191010D ．40402021答案D根据等比中项的性质化简242410nn a a -=,得到10n n a =,从而可以算出{}lg n a 的通项公式,进而求出其前n 项和,再结合裂项相消法即可得出结论. 解：在各项都为正数的等比数列{}n a 中,当3n ≥时,242410nn a a -=,则有10n n a =,由于数列{}n a 为等比数列,所以110,10a q ==,所以*10()n n a n N =∈,则lg lg10nn a n ==,所以其前n 项和(1)2n n n S +=, 所以12112()(1)1n S n n n n ==-++, 所以2020111112(1)22320202021T =-+-++-L 140402(1)20212021=-=, 故选:D.本题考查等差､等比数列的综合运用,需要学生熟练掌握其性质并灵活应用,属于中档题.12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x ¢，当0x ≥时，恒有()()03x f x f x '--≤.则不等式()()()331212<0x f x x f x -++的解集为（ ） A ．{}31x x -<<- B ．113x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭C ．113x x x ⎧⎫<->-⎨⎬⎩⎭或 D ．122x x ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭答案B构造函数3()()g x x f x =,则可推出()g x 的奇偶性与单调性,再利用其单调性解不等式即可. 解：令3()()g x x f x =,则可得232()3()()3[()()]3xg x x f x x f x x f x f x '''=+=+,又当0x ≥时,恒有()()()()033x xf x f x f x f x ''--=+≤, 即0x ≥时,()0g x '≤,所以g (x )在[0,+∞)上单调递减,又f (﹣x )=﹣f (x ),则g (﹣x )=﹣x 3f (﹣x )=g (x ), 所以g (x )为偶函数,所以g (x )在(﹣∞,0)上单调递增,又由()()()331212<0x f x x f x -++可得,g (x )<g (1+2x ), 故12x x >+,即22(12)x x >+,解得113x -<<-,故选:B.本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用,能正确构造函数是解决本题的关键,属于中档题.二、填空题 13．若“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题，则实数m 的取值范围为________.答案)+?根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可. 解： 因为“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题, 所以其否定:“,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m <”是真命题,又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,tan 3x ∈,所以m >故答案为:)+∞.本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等.14．在ABC V 中，已知()()()sin sin sin a c A C a b B -+=-，则角C =________. 答案3π 利用正弦定理化简题设等式,再结合余弦定理即可求解. 解：由正弦定理化简()()()sin sin sin a c A C a b B -+=-, 可得()()()a c a c b a b -+=-, 即222a b c ab +-=,所以2221cos 22a cb C ab +-==,因为C 为三角形内角, 所以3C π=,故答案为:3π.本题考查了正,余弦定理在解三角形中的综合运用,需要学生熟悉各类公式并合理应用.15．已知函数()xe f x a x=-有两个零点，则实数a 的取值范围是________.答案(),e +∞对()f x 求导,然后结合导数分析其单调性得出最值,再由函数()f x 有两个零点,可知其最小值小于0,代入求解即可. 解：由()x e f x a x =-,得()2(1)x e x f x x -'=, 令()01f x x '>⇒>,令()01f x x '<⇒<,所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞单调递增, 所以min ()(1)f x f e a ==-,又因为函数()xe f x a x=-有两个零点,所以min ()0f x e a =-<,即a e >,故答案为:(),e +∞.本题考查利用导数研究函数零点问题,难度不大.解决此类问题一般都是先利用导数研究函数的单调性,最值等,再结合具体情况求解.16．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，A 在第一象限，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ，且MAB △的面积是NAB △的面积的3倍，则直线l 的斜率为________. 答案3利用已知条件画出图形,然后过B 作BD AM ⊥于点D ,再结合抛物线的定义和三角形的面积比找到线段比例关系,从而求解. 解：如图所示:过B 作BD AM ⊥于点D ,则BN MD =,根据抛物线的定义可知:,AM AF BN BF ==, 又MAB △的面积是NAB △的面积的3倍, 则有3,2AM BN AD BN ==,所以4AB AF BF AM BN BN =+=+=,所以22tan 3BDAB AD DAB AD-∠===所以直线l 3故答案为3本题主要考查直线与抛物线的综合运用,结合了直线斜率等相关知识,难度不大.三、解答题17．已知全集U =R ，非空集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，2{|2}B x a x a =<<+,记:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.答案111[,)(233-U 讨论集合A 中二次不等式的两根的大小关系进行分类求解,再根据集合间的关系对区间端点进行列式求解即可.解：解：:,:p x A q x B ∈∈Q ,p 是q 的必要条件,A B ∴⊆.(1)当312a +>,即13a >时,{|231}A x x a =<<+.由A B ⊆得22312a a a ≤⎧⎨+≤+⎩,解得1332a <≤. (2)当312a +=,即13a =时,A =∅,不符合题意,舍去. (3)当312a +<,即13a <时,{|312}A x a x =+<<. 由A B ⊆得23122a a a ≤+⎧⎨≤+⎩,解得1123a -≤<.综上,实数a 的取值范围是1113[,)(,2332--U .本题主要考查了分类讨论的思想以及集合间的基本关系,属于中等题型.18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 20cos C c b A a ++=. （1）求A 的值；（2）若ABC V 外接圆半径为3，b c +=ABC V 的面积.答案（1）23A π=（2(1)由正弦定理,结合两角和的正弦函数公式化简已知等式,再由sin B ≠0,可求得cos A 12=-,结合范围A ∈(0,π),可求A 的值; (2)由正弦定理可得a 的值,由余弦定理可得bc 的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.解：(1)由cos 20cos C c b A a ++=及正弦定理得cos sin 2sin 0cos sin C C B A A++=, sin cos cos sin 2cos sin 0A C A C A B ∴++=,从而()sin 2cos sin 0A C A B ++=,即sin 2cos sin 0B A B +=,又ABC V 中,sin 0B >,1cos 2A ∴=-, ()0,A π∈Q ,23A π∴=;(2)由(1)知23A π=,sin A ∴=. ABC QV 外接圆半径为3,由正弦定理得2sin 232a R A ==⨯⨯=, 由余弦定理2222cos abc bc A =+-,得()222a b c bc bc =+-+,b c +=Q 1bc =∴,ABC ∴V 的面积11sin 122S bc A ==⨯=.本题属于解三角形的综合运用,结合了三角恒等变换的相关知识,属于中档题.19．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知36S =-，642S =.(1)求n a ，n S ；(2)证明1n S +，n S ，2n S +是成等差数列.答案（1）()2n n a =-，()2[12]3nn S =---（2）证明见解析 (1)利用基本量法求解首项与公比,进而求得n a ,n S .(2)根据(1)中所得的n S 证明+122n n n S S S +=+即可.解：解：(1)由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,则1q ≠,则313616(1)61(1)421a q S q a q S q ⎧-==-⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩, 从而317q +=-,即38q =-,所以2q =-,12a =-,所以()2n n a =-, ()()()()2[12]2[12]123n n n S -⨯--==-----. (2)由(1)知,()()121222[12][12]33n n n n S S +++++=------()()+122[222]3n n +=----- ()()2[22242]3n n =-+⨯--⨯-()4[12]23n n S =---=, 所以1n S +,n S ,2n S +成等差数列．本题主要考查了基本量法求等比数列通项公式的方法以及数列求和等.属于中等题型.20．已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调区间.答案（1）20x y +-=（2）当0a ≤时增区间()0,+∞，当0a >时增区间(),a +∞，减区间()0,a试题分析：（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，求得切点为()1,1A ，2()1f x x =-'，求得斜率为()11f '=-，故切线方程为1(1)y x -=--；（2）函数的定义域为()0,+∞，()1a x a f x x x-=-='，当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，函数单调递增，当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.试题解析：（1）∵2a =，∴()2ln f x x x =-，∴(1)12ln11f =-=，即(1,1)A2()1f x x=-'，(1)121f ='-=-， 由导数的几何意义可知所求切线的斜率(1)1k f '==-，所以所求切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=.（2）()1a x a f x x x-=-='， 当0a ≤时，∵0x >，∴()0f x '>恒成立，∴()f x 在定义域(0,)+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，∵0x >，∴()0f x '>，得x a >；()0f x '<得0x a <<；∴()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.【考点】导数与切线、单调区间．21．已知椭圆()222210,0:x y a b a C b +=>>的离心率为2，其左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且2OP =u u u r 1234PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，其中O 为坐标原点. （1）求椭圆C 的方程； （2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的垂直平分线在x 轴上截距的最大值.答案（1）2212x y +=（2 (1)设()P m n ,,根据题意列出对应等式,解方程后即可求得a 和b 的值,得到椭圆方程;(2)设出直线l 的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理求出中点坐标公式,当直线的斜率存在时,利用直线的点斜式方程,求得AB 的垂直平分线方程,令y =0,求得x ,再利用基本不等式即可得解.解：(1)由题知22212c e a ==,222a c ∴=, 设()P m n ,,又()1,0F c -,()2,0F c22274OP m n ∴=+=u u u r , ()()222123,,4PF PF c m n c m n m c n ⋅=---⋅--=-+=u u u r u u u u r ,21c ∴=,从而22a =,21b =,故椭圆C 的方程为2212x y +=; (2)设直线l 的方程为13y kx =-,()11,A x y ,()22,B x y , 联立方程:221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,消去y 得:()2241621039k x kx +--=, 显然>0∆,又()1224321k x x k +=+,()12216921x x k =-+, ()()()2121222242233321321k y y k x x k k -∴+=+-=-=++, 则AB 的中点坐标为()()2221,321321k k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭, 当AB 的斜率k 为零时,AB 的垂直平分线为y 轴,横截距为0;当0k ≠时,AB 垂直平分线的方程为:()()22112321321k y x k k k ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪++⎝⎭, 令0y =,()211133212k x k k k==⋅++当k 0<时,()20321k x k =<+, 当0k >时,12k k +≥那么11132x k k=⋅≤+, 当且仅当12k k =,即k =,所以当2k =时,弦AB 的垂直平分线在x 轴上的截距有最大值,. 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的综合应用,属于中档题.在直线与圆锥曲线的综合题中,常用基本不等式,二次函数或对勾函数的性质等求最值.22．已知函数()ln 21f x x x =++，()2g x x x =+.（1）求函数()()y f x g x =-的极值；（2）若对任意0x >，都有()()0f x mg x -≤成立，求整数m 的最小值. 答案（1）极大值为1（2）2(1)设()()()x f x g x ϕ=-,然后对()x ϕ求导,再结合导数分析其单调性得出极值情况即可;(2)设()()()h x f x mg x =-,则0x >时都有()0≤h x 成立,因此分情况求出()h x 的最大值即可得解.解：(1)令()()()22ln 21ln 1x f x g x x x x x x x x ϕ=-=++--=-++()0x > 则()()()221112121x x x x x x x x xϕ-+--++'=-+==()0x > 令()0x ϕ'>,解得01x <<;令()0x ϕ'<,解得1x >,所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减,故()x ϕ的极大值为()11ϕ=,∴当1x =时,()()y f x g x =-的极大值为1,无极小值;(2)设()()()()2ln 21h x f x mg x x x m x x =-=++-+, 则()()()()2221211122mx m x x mx h x mx m x x x-+-+-+-'=-+-==, ①当0m ≤时,0x Q >,10mx -<,210x +>,()0h x '∴>,故()h x 在()0,∞+上单调递增,而()1320h m =->,不满足题意,舍去;②当0m >时,令()0h x '=,解得1x =所以()max 2112111ln 1ln h x h m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==++-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 令()()1ln 0t m m m m=->,显然()t m 在()0,∞+上单调递减, ()110t =>Q ,()12ln 202t =-<. 故当2m ≥时,()0t m <满足题意,故整数m 的最小值为2.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,极值和最值,属于中档题.在解决含参问题时,常有两种解题思路,一是分离参数,二是分类讨论.。