2019年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)-解析版
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
2019年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)-含详细解析卷
2019年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足1-z=2+i，则|z|=（）A. B. C. D.2.已知集合A={x|x＜-1或x＞10}，B={x|-2＜x＜3，x∈Z}，则（∁R A）∩B=（）A. B. C. 1， D. 0，1，3.已知函数g（x）=f（2x）-x2为奇函数，且f（2）=1，则f（-2）=（）A. B. C. 1 D. 24.已知圆C：（x-3）2+（y-3）2=72，若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m=（）A. 2或10B. 4或8C. 4或6D. 2或45.已知向量=（1，3），=（2，m），且与的夹角为45°，则m=（）A. B. 1 C. 或1 D. 或46.正项等比数列{a n}中，a1a5+2a3a7+a5a9=16，且a5与a9的等差中项为4，则{a n}的公比是（）A. 1B. 2C.D.7.某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是（）A. B. C. D.8.某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是（）A.B.C. 4D.9.我们知道欧拉数e=27182818284…，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算．当输入i=50时，下列各式中用于计算e的近似值的是（）A. B. C. D.10.在平面四边形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB=2，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，且使得A'C=2，则三棱锥A′-BCD的外接球表面积等于（）A. B. C. D.11.设F为双曲线E：-=1（a，b＞0）的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2+y2=c2（c2=a2+b2）与E在第一象限的交点是P，且|PF|=-1，则双曲线E的方程是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，且f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，x1+2x0=（）A. 3B. 2C. 1D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则z=x-2y的最大值是______．14.某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第______名．15.设S n是数列{a n}的前n项和，满足a n2+1=2a n S n，且a n＞0，则a100=______．16.已知函数f（x）=cosωx+sin（ωx+）（ω＞0）在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b cos C=a cos C+c cos A．（1）求C；（2）若AB边上的中线CD长为1，求△ABC面积的最大值．18.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB=60°，平面PAB⊥平面ABCD，点E为BC中点，F为AP上一点，且满足PF=FA，AP=PB=AB=．（1）求证：PC∥平面DEF；（2）求点E到平面ADP的距离．19.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为008，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，若点P在C上，点E在l上，且△PEF是边长为8的正三角形．（1）求C的方程；（2）过点（1，0）的直线n与C相交于A，B两点，若=-23，求△FAB的面积．21.已知函数f（x）=，x∈（1，+∞）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）＞在（1，+∞）上恒成立，求整数k的最大值．22.在极坐标系中，直线l：ρcosθ=，P为直线l上一点，且点P在极轴上方．以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），且△OPQ面积为．（1）求Q点的极坐标；（2）求△OPQ外接圆的极坐标方程，并判断直线l与△OPQ外接圆的位置关系．23.已知函数f（x）=|x+1|-2|x-1|+a．（1）当a=0时，解不等式f（x）≥0；（2）若二次函数y=-x2+8x-14的图象在函数y=f（x）的图象下方，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：复数z满足1-z=2+i，可得-z=1+i，所以|z|==．故选：D．直接利用复数的模的计算方法求解即可．本题考查复数的模的求法，是基本知识的考查．2.【答案】D【解析】解：B={-1，0，1，2}，∁R A={x|-1≤x≤10}；∴（∁R A）∩B={-1，0，1，2}．故选：D．可解出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算．3.【答案】C【解析】解：∵g（x）为奇函数，且f（2）=1；∴g（-1）=-g（1）；∴f（-2）-1=-f（2）+1=-1+1；∴f（-2）=1．故选：C．根据g（x）为奇函数可得出g（-2）=-g（2），再根据f（2）=1即可得出f（-2）-1=-1+1，从而求出f（-2）=1．考查奇函数的定义，已知函数求值的方法．4.【答案】A【解析】解：根据题意，圆C：（x-3）2+（y-3）2=72，其圆心C（3，3），半径r=3，若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为，则有d==，变形可得|6-m|=2，解可得：m=2或10，故选：A．根据题意，分析圆C的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离为，则有d==，解可得m的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线垂直的判定，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵cos＜，＞=，∴cos45°==，解得m=1或m=-4．故选：C．根据向量夹角公式计算可得．本题考查了数量表示两个向量，属基础题．6.【答案】D【解析】解：正项等比数列{a n}中，a1a5+2a3a7+a5a9=16，可得a32+2a3a7+a72=（a3+a7）2=16，即a3+a7=4，a5与a9的等差中项为4，即a5+a9=8，设公比为q，则q2（a3+a7）=4q2=8，则q=（负的舍去），故选：D．设等比数列的公比为q，q＞0，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，∴基本事件总数n==10，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数m==3，∴他第2次，第3次两次均命中的概率是p=．故选：A．基本事件总数n==10，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数m==3，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD，如图所示；则该四棱锥的高为2，底面积为1×2=2，所以该四棱锥的体积是V=×2×2=．故选：B．根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．9.【答案】C【解析】解：当n=49时，n＞50不成立，则n=50，此时m=49，k=51，此时e=（）50，当n=50时，n＞50不成立，则n=51，此时m=50，k=52，此时e=（）51，当n=51时，n＞50成立，程序终止，输出e=（）51，故e的近似值为（）51，故选：C．根据条件得到临界值，当n=49时，e的取值，然后验证当n=50，51时是否满足，从而确定此时对应的m和k的值即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法，结合临界值n=49，寻找对应规律是解决本题的关键．10.【答案】B【解析】解：如图，平面四边形ABCD中，连结AC，BD，交于点O，∵AD=AB=2，CD=CB=2，且AD⊥AB，∴BD=2，则A′O=，OC=，又A′C=2，∴A′O2+OC2=A′C2，则A′C⊥A′O，进一步得到A′C⊥平面A′BD，分别以A′B，A′C，A′D为过一个顶点的三条棱补形为正方体，则其外接球的半径为，∴其外接球的表面积为S=．故选：B．由题意画出图形，求解三角形可得A′B，A′C，A′D两两互相垂直且相等，补形为正方体求解．本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】D【解析】解：双曲线E：-=1的渐近线方程为y=±x，由过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，且四边形OAFB为菱形，则对角线互相平分，∴c=2a，=，∴结合选项可知，只有D满足，由，解得x=a，y=a，∵PF|=-1，∴（a-2a）2+（a）2=（-1）2，解得a=1，则b=，故双曲线方程为x2-=1故选：D．根据题意可得c=2a，=，结合选项可知，只有D满足，因为本题属于选择题，可以不用继续计算了，另外可以求出点P的坐标，根据点与点的距离公式求a的值，可可得双曲线的方程．本题考查了双曲线的简单性质和菱形的性质，点与点的距离公式，考查了运算求解能力，属于中档题12.【答案】C【解析】解：f′（x）=3x2-2x+a．∵函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，∴-2x0+a=0，即a=-+2x0．∵f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，∴-+ax1-a=-+ax0-a，化为：+x1x0+-（x1+x0）+a=0，把a=-+2x0代入上述方程可得：+x1x0+-（x1+x0）-+2x0=0，化为：+x1x0-2+x0-x1=0，因式分解：（x1-x0）（x1+2x0-1）=0，x1-x0≠0．∴x1+2x0=1．故选：C．f′（x）=3x2-2x+a．由函数f（x）=x3-x2+ax-a存在极值点x0，可得-2x0+a=0，即a=-+2x0．由f（x1）=f（x0），其中x1≠x0，化为：+x1x0+-（x1+x0）+a=0，把a=-+2x0代入上述方程即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】1【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的平面区域，如图示：由，解得：A（1，0），由z=x-2y得：y=x-z，显然，直线过A（1，0）时，z最大，z的最大值是1，故答案为：1．先画出满足条件的平面区域，通过解方程求出B点的坐标，根据z=x-2y变形为y=x-z，通过图象显然，直线过B时，z最大，求出即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14.【答案】2【解析】解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的，乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件，此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙，若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件．若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件．故三人成绩从高到底为乙，甲，丙，则甲排第2位，故答案为：2分别讨论三人中一人说的不对，另外2人正确，然后进行验证是否满足条件即可．本题主要考查合情推理的应用，利用三人中恰有一人说得不对，分别进行讨论是解决本题的关键．15.【答案】【解析】解：S n是数列{a n}的前n项和，满足a n2+1=2a n S n，则：且，整理得：当n=1时，S1=a1=1，所以：数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．则：，由于：a n＞0，所以：，故：．故答案为：．利用已知条件求出数列的通项公式，进一步求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】[，）【解析】解：函数f（x）=cosωx+sin（ωx+）=cosωx+sinωx=sin（ωx+），（ω＞0）；由x∈[0，π]，得ωx+∈[，ωπ+]；又f（x）在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则2π≤ωπ+＜，解得≤ω＜，所以ω的取值范围是[，）．故答案为：[，）．化函数f（x）为正弦型函数，由x∈[0，π]求得ωx+的取值范围，根据正弦函数的图象与性质，结合题意求出ω的取值范围．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有b cos C=a cos C+c cos A．∴sin B cos C=sin A cos C+sin C cos A，∴sin B cos C=sin（A+C）=sin B，∵sin B＞0，∴解得：cos C=∵0＜C＜π，∴C=．（2）∵根据余弦定理可得：c2=a2+b2-ab，①在△ACD与△CBD中，由余弦定理可得：2a2+2b2=c2+4，②，∴联立①②，可得：a2+b2=4-ab≥2ab，可得：ab≤，当且仅当a=ba时等号成立，∴S△ABC=ab sin≤ab==．【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinBcosC=sinB，结合sinB＞0，可求cosC=结合范围0＜C＜π，可求C=．（2）根据余弦定理可得：c2=a2+b2-ab，在△ACD与△CBD中，由余弦定理可得：2a2+2b2=c2+4，②，联立①②，利用基本不等式可求ab≤，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，属于基础题．18.【答案】证明：（1）如图，连结AC，交DE于点C，连结GF，∵底面ABCD为菱形，且E为BC中点，∴，∵F为AP上一点，且满足PF=FA，∴GF∥PC，又GF⊂平面DEF，PC⊄平面DEF，∴PC∥平面DEF．解：（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，∵AP=PB，∴PO⊥AB，∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO⊂平面PAB，∴PO⊥平面ABD，∵AP=PB=AB=，且底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=2，且DO⊥AB，△ =，∴三棱锥E-ADP的体积为：=，△△ADP中，AD=PD=2，AP=，∴S△ADP==，设点E到平面ADP的距离为h，∵三棱锥E-ADP的体积：V=△ ，∴h==，∴点E到平面ADP的距离为．【解析】（1）连结AC，交DE于点C，连结GF，推导出GF∥PC，由此能证明PC∥平面DEF．（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，则PO⊥AB，从而PO⊥平面ABD，三棱锥E-ADP的体积=，设点E到平面ADP的距离为h，则三棱锥E-ADP的体积：V=，由此能求出点E到平面ADP的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）根据题意读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332，将有效编号从小到大排列，得：332，512，547，647，687，770，805，858，876，∴中位数为：．（2）由题意知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和，∴样本中所有编号之和为：S10=10×=4130．（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意知，=8×4=32，=16，=2×1=2，∴样本平均数为：==7.2，样本方差为：=．=．．= 3.56，∴用样本估计900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．【解析】（1）根据题意读出的编号，将有效编号从小到大排列，由此能求出中位数．（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，由上能求出样本编号之和即．（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意知，=8×4=32，=16，=2×1=2，由此能用样本估计900名考生选做题得分的平均数，方差．本题考查中位数、平均数、言状工样本编号、概率的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（1）由题知，|PF|=|PE|，则PE⊥l．设准线l与x轴交于点D，则PE∥DF．又△PEF是边长为8的等边三角形，∠PEF=60°，∴∠EFD=60°，|DF|=|EF|•cos∠EFD=8×=4，即p=4．∴抛物线C的方程为y2=8x；（2）设过点（1，0）的直线n的方程为x=ty+1，联立，得y2-8ty-8=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8t，y1y2=-8．x1x2=（ty1+1）（ty2+1）=t2y1y2+t（y1+y2）+1=1．x1+x2=t（y1+y2）+2=8t2+2．由=-23，得（x1-2，y1）•（x2-2，y2）=（x1-2）（x2-2）+y1y2=x1x2-2（x1+x2）+4+y1y2=1-2（8t2+2）+4-8=-23，解得t=±1．不妨取t=1，则直线方程为x-y-1=0．|AB|==．而F到直线x-y-1=0的距离d=．∴△FAB的面积为．【解析】（1）根据等边三角形的性质，即可求出p的值，则抛物线方程可求；（2）设过点（1，0）的直线n的方程为x=ty+1，联立直线方程与抛物线方程，得y2-8ty-8=0．利用根与系数的关系结合=-23求得t，进一步求出|AB|与F 到直线的距离，代入三角形面积公式求解．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=-，令φ（x）=+ln x，则φ′（x）=，x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，φ（x）递减，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）递增，∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）递减，综上，f（x）在（0，1），（1，+∞）递减；（2）f（x）＞（x＞1）恒成立，令h（x）=＞k恒成立，即h（x）的最小值大于k，h′（x）=，（x＞1），令g（x）=x-2-ln x（x＞1），则g′（x）=＞0，故g（x）在（1，+∞）递增，又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-2ln2＞0，g（x）=0存在唯一的实数根a，且满足a∈（3，4），a-2-ln a=0，故x＞a时，g（x）＞0，h′（x）＞0，h（x）递增，1＜x＜a时，g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）递减，故h（x）min=h（a）===a∈（3，4），故正整数k的最大值是3．【解析】（1）对函数f（x）求导数，可判f′（x）＜0，进而可得单调性；（2）问题转化为h（x）k恒成立，通过构造函数可得h（x）min∈（3，4），进而可得k 值．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）直线l：ρcosθ=，以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），设P（，θ），由且△OPQ面积为．则：，由于△OPQ为正三角形，所以：OQ的极角为且|PO|=|OQ|=2，所以：Q（2，）．（2）由于△OPQ为正三角形，得到其外接圆的直径，设M（ρ，θ）为△OPQ外接圆上任意一点．在Rt△OMR中，cos（）=，所以：M（ρ，θ）满足．故：△OPQ的外接圆方程，直线l：x=，：△OPQ的外接圆直角坐标方程为．圆心到直线的距离d=，即为半径，故直线与圆相外切．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）当a=0时，不等式f（x）≥0化为：|x+1|-2|x-1|≥0，移项得|x+1|≥2|x-1|，平方分解因式得（3x-1）（x-3）≤0，解得≤x≤3．解集为{x|≤x≤3}．（2）化简得f（x）=，，＜，＞，根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，当x＞1时，f（x）=-x+3+a，由y=-x2+8x-14得y′=-2x+8，设二次函数与直线y=-x+3+a的切点为（x0，y0），则-2x0+8=-1，解得x0=，所以y0=，代入f（x）=-x+3+a，解得a=，所以a的取值范围是a＞．【解析】（1）a=0时，将不等式移项平方分解因式可解得；（2）根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
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18．（ 12 分）在四棱锥 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且∠ DAB ＝60°，平面 PAB⊥平
面 ABCD ，点 E 为 BC 中点，F 为 AP 上一点， 且满足 PF ＝ FA，AP＝PB ＝ AB＝ ．
（ 1）求证： PC∥平面 DEF ； （ 2）求点 E 到平面 ADP 的距离．
(二 )选考题：共 10 分.请考生在第 22、 23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题 计分， 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 .[选修 4-4：坐标系与参数方 程 ]（ 10 分） 22．（ 10 分）在极坐标系中， 直线 l：ρcosθ＝ ，P 为直线 l 上一点， 且点 P 在极轴上方． 以
）
A．
B．
C．
D．
8．（ 5 分）某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是（
）
A．
B．
C． 4
D．
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9．（ 5 分）我们知道欧拉数 e＝27182818284 …，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程
序框图计算．当输入 i ＝ 50 时，下列各式中用于计算 e 的近似值的是（
则 q＝ （负的舍去） ，
故选： D ．
7．（ 5 分）某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中， 2 次未命中，则他第 2 次，第 3 次两次均命
广东省湛江市2019届高三数学测试试题(二)文(含解析)
湛江市2019年普通高考测试（二）文科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的四则运算法则先求出复数z，再计算它的模长．【详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；∵2z，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，即，解得a＝3，b＝4，∴z＝3+4i，∴|z|．故选：D．【点睛】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题．2.已知集合，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简集合B，求出A∩B，从而可确定它的子集个数.【详解】∵，∴∴所以该集合的子集个数为22＝4．故选：C．【点睛】本题考查了集合运算问题与子集个数问题，是基础题目．3.现有甲班三名学生，乙班两名学生，从这名学生中选名学生参加某项活动，则选取的名学生来自于不同班级的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】解：从这名学生中选名学生参加某项活动，基本事件总数n10，抽到2名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m4，∴抽到2名学生来自于不同班级的概率是P．故选：D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.平行四边形中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据向量的数量积求出，然后把，用，表示，代入结合已知即可求解【详解】解：平行四边形ABCD中，，∴2，∵，∴，，则（）•（）＝3故选：B．【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查计算能力与转化能力．5.有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性.这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：附：据此表，可得（）A. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足B. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过C. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足D. 认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过【答案】A【解析】【分析】由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论.【详解】由表中数据，计算K20.3367＜0.455，∴认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足；故选：A【点睛】本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路．6.在中，内角所对的边分别为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A，进而利用二倍角余弦公式得到结果.【详解】∵．∴sin A cos B＝4sin C cos A﹣sin B cos A即sin A cos B+sin B cos A＝4cos A sin C∴sin C＝4cos A sin C∵0＜C＜π，sin C≠0．∴1＝4cos A，即cos A，那么．故选：C【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．7.设分别为离心率的双曲线的左、右焦点，为双曲线的右顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于两点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由离心率可知，联立方程求出两点的坐标，进而可得结果.【详解】∵离心率，∴不妨设圆与y x相交且点M的坐标为（，）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣，﹣），联立，得M（a，2a），N（﹣a，﹣2a），又A（a，0），∴，∴，∴故选：A．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，b的关系．8.已知实数是给定的常数，函数的图像不可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令m=0,排除D,对函数求导，确定其极值点的正负即可判断【详解】当m=0,C符合题意，当m≠0>0,设的两根为则<0,则两个极值点异号，则D不合题意，故选:D【点睛】本题考查函数图像的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题9.在三棱锥中面分别为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法求角即可.【详解】∵∴，以B为原点，BC，BA，BP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∴，设，则，∵，∴，解得∴∴，∴异面直线与所成角的余弦值为故选：B【点睛】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．10.把函数的图像向左平移个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图像，并且的图像如图所示，则的表达式可以为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件先求出φ和ω，结合函数图象变换关系进行求解即可．【详解】∵g（0）＝2sinφ＝1，即sinφ，∴φ或φ（舍去）则g（x）＝2sin（ωx），又当k=1,即g（x）＝2sin（x），把函数g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的，得到y＝2sin（4x），再把纵坐标缩短到到原来的，得到y＝sin（4x），再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，即g（x）＝sin[（x-）]＝故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出ω和φ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键．11.设椭圆的右焦点为，经过原点的直线与椭圆相交于点，若，椭圆的离心率为，则的面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义及离心率，可得a，c的值，利用余弦定理可得，进而利用面积公式得到结果.【详解】设椭圆的左焦点为,由椭圆的对称性可知，∴，∴，又，∴，由余弦定理可得，，故∴=故选：C【点睛】本题考查了椭圆的定义与几何性质，考查了余弦定理及面积公式，属于中档题．12.函数对于任意实数，都有与成立，并且当时，.则方程的根的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意明确函数的周期性，数形结合即可得到方程的根的个数.【详解】对任意实数x都有f（x+2）＝f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x），由于f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）∴f（x+2）＝f（x）∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，且值域为．方程的根的个数即函数图象与直线的交点个数，当时，，当时，函数图象与直线无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个故选：A【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的图象，方程根与函数零点的关系，难度中档．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______．【答案】【解析】【分析】求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可【详解】则又故切线方程为y=x+1故答案为y=x+1【点睛】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题14.若实数满足不等式组，且的最小为，则实数______．【答案】【解析】【分析】画出可行域，由z的几何意义确定其最小值，列m的方程求解即可详解】画出可行域如图阴影部分所示：当过A时取得最小值，联立得A,则，解m=故答案为【点睛】本题考查线性规划，z的几何意义，数形结合思想，确定取得最小值的最优解是关键，是中档题15.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为，当时，符合条件的共有_____个．【答案】【解析】【分析】由题设a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,得3m=5n+1，对m讨论求解即可【详解】由题设a=3m+2=5n+3,m,n∈N*,则3m=5n+1当m=5k,n不存在；当m=5k+1，n不存在当m=5k+2,n=3k+1，满足题意当m=5k+3,n不存；当m=5k+4,n不存在；故2≤a=15k+8≤2019,解则k=0,1,2…134,共135个故答案为：135【点睛】本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．16.圆锥的底面半径为，母线长为.正四棱柱的上底面的顶点均在圆锥的侧面上，棱柱下底面在圆锥的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为_____．【答案】【解析】【分析】设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，利用相似性表示h＝，从而得到，利用导数知识求最值即可.【详解】设正四棱柱的底面边长为x，设棱柱的高h，根据相似性可得：，解得：h＝x，（其中0＜x＜2）．∴此正四棱柱体积为：令，解得：易得：在上递增，在上递减，所以此正四棱柱体积的最大值为【点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.为数列的前项和，已知.（1）求的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】 （1）当时，，检验成立即可求解；（2）由=裂项相消求和即可【详解】（1）当时，当时，满足上式，（2）由可得【点睛】本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题 18.四棱锥中，底面是菱形，.（1）求证：；（2）若是的中点，求点到平面的距离.【答案】（1）见证明；（2）【解析】【分析】(1)要证转证平面，即证；(2) 由（1）可知，平面.可得平面平面设点到平面的距离为，则由于，得点到平面的距离为.【详解】（1）证明：由于四边形是菱形，，所以是正三角形.设的中点为，连接，如图所示，则又，所以.又相交于，所以平面又平面，所以.（2）由（1）可知，平面.可得解：由（1）可知，平面.又，所以平面.又平面，所以平面平面设点到平面的距离为，则由于，得点到平面的距离为.由于平面，所以两点到平面的距离均为.所以点到直线的距离就是.设的中心为，则平面.，在中，在中，，所以.由，得点到直线距离为，即，得所以点到平面的距离为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，点到平面的距离，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题.19.某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取个家庭，得到数据如下：参考公式：回归直线的方程是：，其中，.（1）据题中数据，求月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程（保留一位小数）； （2）从这个家庭中随机抽取个，求月支出都少于万元的概率. 【答案】（1）（2）【解析】 【分析】 (1)由题意得到，，进而得到从而得到月支出（千元）关于月收入（千元）的线性回归方程；(2) 从个家庭中抽取个，共包含15种情况，其中月支出都少于万元的基本事件共10 种，从而得到结果. 【详解】解：（1）,故月支出关于月收入的线性回归方程是：（2）若从个家庭中抽取个，则基本事件为，共种，月支出都少于万元的基本事件为，共种，则月支出都少于万元的概率.【点睛】本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查古典概型概率公式，考查计算能力，属于中档题．20.已知定点，横坐标不小于的动点在轴上的射影为，若.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点不在直线上，并且直线与曲线相交于两个不同点.问是否存在常数使得当的值变化时，直线斜率之和是一个定值.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】(1)利用抛物线定义，即可得到动点的轨迹的方程；(2) 设，则，利用韦达定理即可得到结果.【详解】（1）设点在直线上的射影是，则由于的横坐标不小于，所以，又所以即点到的距离与到直线的距离相等，所以的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线.即的方程是（2）由于在曲线上，可设，则的斜率的斜率所以又曲线与直线相交于两点，所以，于是联立方程，得，所以.∴=1-，此式随着m的变化，值也在变化，所以不存在k值满足题意.【点睛】此题考查了定义法求轨迹方程，综合考查了直线与圆锥曲线方程联立，解决更为复杂的存在探究问题，难度中档．21.函数，其中常数.（1）求的最小值；（2）若，讨论的零点的个数.【答案】（1）-1（2）见解析【解析】【分析】(1) 导数为，研究单调性即可得到的最小值；(2)在其定义域上的导数是，对a分类讨论，数形结合即可明确的零点的个数.【详解】解：（1）在定义域上的导数为.所以当时，；当时，.所以的单调递减区间是，单调增区间是.所以的最小值是.（2）在其定义域上的导数是①当时，由（1）可得在上是增函数，此时由，可得函数有唯一的零点.②当时，并且对于负数，有又因为，所以，即所以在区间上存在负数，使得，则在上是增函数；在区间上是减函数.则.所以在上，有且仅有个零点；在区间上，并且是增函数.所以存在正数，使得在上，是减函数；在上，是增函数.于是有所以在上，恰有唯一的零点.所以当时，在上恰有三个不同的零点.综上所述，当时，有唯一的零点；当时，有三个不同的零点.【点睛】本题考查了函数的最值与函数零点的个数判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于中档题．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，点，直线（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用极坐标与普通的互化求解即可；（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），与椭圆联立，利用t的几何意义求解即可【详解】（1）又曲线的直角坐标方程为：（2）将直线的参数方程化为标准形式为：（为参数），代入曲线方程，得.恒成立【点睛】本题考查极坐标与普通方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，考查计算能力，计算的值注意判断的正负是关键，是中档题23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若对于任意恒成立，求实数的最小值，并求当取最小值时的范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值化简解不等式即可；（2）恒成立，即恒成立，即，由绝对值三角不等式求即可求解详解】（1）当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得；当时，不等式化为，解得，可得.综上可得，原不等式的解集为.（2）若恒成立，则恒成立，又最小值为.此时解得.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题。
2019年广东省湛江市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞10}，B＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣1，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（）A．y＝x3﹣x B．y＝e|x|C．y＝|lnx|D．y＝sin x3．（5分）已知复数z满足＝﹣2+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i4．（5分）某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知直线l：4x﹣3y+6＝0和抛物线C：y2＝4x，P为C上的一点，且P到直线l 的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个6．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+sin（2x+），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后得到的函数为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．（5分）我们知道欧拉数e＝27182818284…，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算．当输入i＝50时，下列各式中用于计算e的近似值的是（）A．（）52B．（）51C．（）50D．（）499．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，＝，＝，且AD与BE相交于点O，则•＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（）A．16B．32C．64D．12811．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），周长为6，则b的最小值是（）A．2B．C．3D．12．（5分）设函数f（x）＝（a∈R），若曲线y＝cos x+2上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[ln3﹣6，0]B．[ln3﹣6，ln2﹣2]C．[2ln2﹣12，0]D．[2ln2﹣12，ln2﹣2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知sinα﹣3cosα＝0，则sin2α＝．14．（5分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第名．15．（5分）若双曲线E：﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为E右支上一点，|PF1|＝|F1F2|，∠PF1F2＝30°，△PF1F2的面积为2，则a＝．16．（5分）已知空间直角坐标系中的四个点A（4，1，1），B（4，﹣2，﹣1），C（﹣2，﹣2，﹣1），D（﹣2，1，﹣1）．经过A，B，C，D四点的球记作球M．从球M内部任取一点P，则点P落在三棱锥A﹣BCD内部的概率是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4．（1）求a n和b n；（2）求数列{nb n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，平面P AB⊥平面ABCD，点E为BC中点，点F满足＝，AP＝PB＝AB＝．（1）求证：PC∥平面DEF；（2）求二面角F﹣DE﹣B的余弦值．19．（12分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为008，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）过点Q（，），椭圆上的动点P 与其短轴两端点连线斜率乘积为﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当•＝2时，求△ABF2的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝（kx﹣1）e x﹣k（x﹣1）．（1）若f（x）在x＝x0处的切线斜率与k无关求x0；（2）若∃x∈R，使得f（x）＜0成立，求整数k的最大值．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，直线l：ρcosθ＝，P为直线l上一点，且点P在极轴上方．以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），且△OPQ面积为．（1）求Q点的极坐标；（2）求△OPQ外接圆的极坐标方程，并判断直线l与△OPQ外接圆的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|+a．（1）当a＝0时，解不等式f（x）≥0；（2）若二次函数y＝﹣x2+8x﹣14的图象在函数y＝f（x）的图象下方，求a的取值范围．2019年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞10}，B＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}，则（∁R A）∩B＝（）A．{﹣1，2}B．{﹣2，2}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：B＝{﹣1，0，1，2}，∁R A＝{x|﹣1≤x≤10}；∴（∁R A）∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．（5分）下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（）A．y＝x3﹣x B．y＝e|x|C．y＝|lnx|D．y＝sin x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x3﹣x，有f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数，对于B，y＝e|x|，有f（﹣x）＝f（x），为偶函数，对于C，y＝|lnx|，其定义域为（0，+∞），不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；对于D，y＝sin x，为正弦函数，是奇函数；故选：C．3．（5分）已知复数z满足＝﹣2+i（i为虚数单位），则z＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【解答】解：由＝﹣2+i，得1+z＝（1﹣z）（﹣2+i）＝﹣2+i+2z﹣zi，∴z＝．故选：A．4．（5分）某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．基本事件总数n＝＝20，他第1次、第2次两次均未命中包含的基本事件个数m＝＝4，∴他第1次、第2次两次均未命中的概率是p＝＝．故选：D．5．（5分）已知直线l：4x﹣3y+6＝0和抛物线C：y2＝4x，P为C上的一点，且P到直线l 的距离与P到C的焦点距离相等，那么这样的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点坐标（1，0），（1，0）到直线4x﹣3y+6＝0的距离为：＝2，与抛物线的焦点坐标到准线的距离相等，所以由题意可知：如图：直线PF与抛物线一定有两个交点．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝sin2x+sin（2x+），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后得到的函数为偶函数，则φ的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sin2x+sin（2x+）＝sin2x+sin2x+cos2x＝sin（2x+），将其图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度之后，得到y＝sin（2x+2φ+）的图象．∵得到的函数为偶函数，则2φ+＝kπ+，k∈Z，故φ的最小值为，故选：B．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图知，该几何体是一正方体，截去一个三棱柱和一个三棱锥，如图粗线部分所示；结合图中数据，计算该几何体的体积是V＝23﹣×2×1×2﹣××2×1×2＝．故选：D．8．（5分）我们知道欧拉数e＝27182818284…，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算．当输入i＝50时，下列各式中用于计算e的近似值的是（）A．（）52B．（）51C．（）50D．（）49【解答】解：当n＝49时，n＞50不成立，则n＝50，此时m＝49，k＝51，此时e＝（）50，当n＝50时，n＞50不成立，则n＝51，此时m＝50，k＝52，此时e＝（）51，当n＝51时，n＞50成立，程序终止，输出e＝（）51，故e的近似值为（）51，故选：B．9．（5分）在正三角形ABC中，AB＝2，＝，＝，且AD与BE相交于点O，则•＝（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由题意，画图如下：设＝，．∵＝．∴可得方程组：，解得：．∴，．∴＝＝＝．故选：B．10．（5分）（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于（）A．16B．32C．64D．128【解答】解：∵（2x﹣3y）n（n∈N*）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，∴•2n﹣1•（﹣3）＝﹣•22•（﹣3）n﹣2，检验可得，n＝4，则（3x﹣2y）n展开式中各项的二项式系数之和等于2n＝16，故选：A．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．，若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），周长为6，则b的最小值是（）A．2B．C．3D．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），则S△ABC＝ac sin B＝（a2+c2﹣b2），∴sin B＝＝cos B，∴tan B＝，∵0＜B＜π∴B＝，∵a+b+c＝6，∴a+c＝6﹣b∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac≥（a+c）2﹣32＝（a+c）2＝（6﹣b）2，当且仅当a＝c时取等号，∴b2+4b﹣12≥0，即（b﹣2）（b+6）≥0，解得b≥2，故b的最小值为2，故选：A．12．（5分）设函数f（x）＝（a∈R），若曲线y＝cos x+2上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））＝y0，则a的取值范围是（）A．[ln3﹣6，0]B．[ln3﹣6，ln2﹣2]C．[2ln2﹣12，0]D．[2ln2﹣12，ln2﹣2]【解答】解：由题意，根据曲线y＝cos x+2∈[1，3]上存在点（x0，y0），使得f（f（y0））＝y0，即y0∈[1，3]，下面证明f（y0）＝y0，假设f（y0）＝C＞y0，则f（f（y0））＝f（C）＞f（y0））＝C＞y0，不足满f（f（y0））＝y0，同理f（y0）＝C＜y0，不足满f（f（y0））＝y0，∴f（y0）＝y0，那么函数f（x）＝∈[1，3]，即函数f（x）＝x在x∈[1，3]有解；∴lnx+x﹣a＝x2即lnx+x﹣x2＝a；x∈[1，3]令h（x）＝lnx+x﹣x2，则h′（x）＝+1﹣2x，令h′（x）＝0，可得x＝1或x＝（舍）当x∈（0，1]时，h′（x）＞0，h（x）在x∈（0，1]单调递增；当x∈[1，3]时，h′（x）＜0，h（x）在x∈[1，3]单调递减；∴ln3﹣6≤h（x）≤0；即ln3﹣6≤a≤0；故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知sinα﹣3cosα＝0，则sin2α＝．【解答】解：由sinα﹣3cosα＝0，得tanα＝3，则sin2α＝＝．故答案为：．14．（5分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天．甲说：“你们的成绩都没有我高．”乙说：“我的成绩一定比丙高．”丙说：“你们的成绩都比我高．”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第2名．【解答】解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的，乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件，此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙，若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件．若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件．故三人成绩从高到底为乙，甲，丙，则甲排第2位，故答案为：215．（5分）若双曲线E：﹣＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为E右支上一点，|PF1|＝|F1F2|，∠PF1F2＝30°，△PF1F2的面积为2，则a＝+1﹣．【解答】解：∵|PF1|＝|F1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°，△PF1F2的面积为2，可得解得c＝，P（﹣2，），代入双曲线方程可得：，（0＜a＜），解得a＝．故答案为：．16．（5分）已知空间直角坐标系中的四个点A（4，1，1），B（4，﹣2，﹣1），C（﹣2，﹣2，﹣1），D（﹣2，1，﹣1）．经过A，B，C，D四点的球记作球M．从球M内部任取一点P，则点P落在三棱锥A﹣BCD内部的概率是．【解答】解：依题意：BCD三点在平行于xoy坐标面的平面上，且满足[[（4+2）2+（﹣2﹣1）1+（﹣1+1）2]＝[（4+2）2+（﹣2+2）2+（﹣1+1）2]+[（﹣2+2）2+（﹣2﹣1）2+（﹣1+1）2]，即BD2＝BC2+CD2，∴△BCD是以C为直角顶点的直角三角形，∴BD中点E（1，，﹣1）到△BCD三顶点的距离相等，又BCD三点在竖坐标皆为﹣1，故三点在平行于xoy坐标面的平面内，所以球心在过E且垂直于xoy坐标面的直线上，设球心F坐标为（1，﹣，z），则DF ＝AF，即＝，得z＝0，所以球的半径r＝，所以，球的体积V＝＝＝，三棱锥A﹣BCD是以直角三角形BCD为底，高为2的三棱锥，其体积V1＝＝＝6，点P落在三棱锥A﹣BCD内部的概率是：P＝＝＝．故填：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在等差数列{a n}和等比数列{b n}中，a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4．（1）求a n和b n；（2）求数列{nb n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵a2＝0，b2＝1，且a3＝b3，a4＝b4．∴a1+d＝0，b1q＝1，a1+2d＝b1q2，a1+3d＝b1q3，联立解得：a1＝﹣2，d＝2，b1＝，q＝2，∴a n＝﹣2+2（n﹣1）＝2n﹣4，b n＝2n﹣2．（2）数列{nb n}的前n项和S n＝+2+3×2+4×22+……+n•2n﹣2，∴2S n＝1+2×2+3×22+……+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，∴﹣S n＝+1+2+22+……+2n﹣2﹣n•2n﹣1＝﹣n•2n﹣1，化为：S n＝（n﹣1）•2n﹣1+．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，平面P AB⊥平面ABCD，点E为BC中点，点F满足＝，AP＝PB＝AB＝．（1）求证：PC∥平面DEF；（2）求二面角F﹣DE﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结AC，交DE于点G，连结GF，底面ABCD为菱形，且E为BC中点，∴＝＝，∵F为AP上一点，且满足＝，∴GF∥PC，又GF⊂平面DEF，PC⊄平面DEF，∴PC∥平面DEF．解：（2）取AB的中点为O，连结DO，PO，∵底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，∴DO⊥AB，∵平面P AB⊥平面ABCD，∴DO⊥平面P AB，∵AP＝PB＝AB，∴PO⊥AB，以OP，OB，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则F（，﹣，0），B（0，1，0），D（0，0，），E（0，），∴＝（0，），＝（，﹣），设平面DEF的一个法向量＝（x，y，z），则，取z＝，得＝（5，1，），平面DEB的一个法向量＝（1，0，0），设二面角F﹣DE﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴二面角F﹣DE﹣B的余弦值为．19．（12分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分10分的选做题，学生可以从A，B两道题目中任选一题作答．某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001～900．（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字5为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端．写出样本编号的中位数；05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 7407 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 5151 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 4826 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42 32 17 55 85 74 94 44 67 16 9414 65 52 68 75 87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50 15 29 39 39 43（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为008，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择A题目或B题目，将成绩分为两层，且样本中A 题目的成绩有8个，平均数为7，方差为4；样本中B题目的成绩有2个，平均数为8，方差为1．用样本估计900名考生选做题得分的平均数与方差．【解答】解：（1）根据题意读出的编号依次是：512，916（超界），935（超界），805，770，951（超界），512（重复），687，858，554，876，647，547，332，将有效编号从小到大排列，得：332，512，547，647，687，770，805，858，876，∴中位数为：．（2）由题意知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以8为首项，以90为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前10项之和，∴样本中所有编号之和为：S10＝10×＝4130．（3）记样本中8个A题目成绩分别为x1，x2，…，x8，2个B题目成绩分别为y1，y2，由题意知，＝8×4＝32，＝16，＝2×1＝2，∴样本平均数为：＝＝7.2，样本方差为：＝＝＝ 3.56，∴用样本估计900名考生选做题得分的平均数为7.2，方差为3.56．20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）过点Q（，），椭圆上的动点P 与其短轴两端点连线斜率乘积为﹣．（1）求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当•＝2时，求△ABF2的面积．【解答】解：（1）设B1（0，b），B2（0，﹣b），P（x，y），则+＝1（a＞b＞0），由•＝•＝＝﹣＝﹣，∴a2＝2b2，①又Q在E上+＝1，②，由①②解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆E的方程为+y2＝1．（2）设直线l的方程为x＝my﹣1，代入到+y2＝1可得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，③设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2＝，y1y2＝﹣，④∴•＝（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）＝（my1﹣2，y1）（my2﹣2，y2）＝（m2+1）y1y2﹣2m（y1+y2）+4，⑤，把④代入⑤得•＝＝2，解得m＝±1，由对称性，不妨取m＝1，则③变为3y2﹣2y﹣1＝0，解得y1＝﹣，y2＝1则△ABF2的面积S＝×2（y1﹣y2）＝1+＝．21．（12分）已知函数f（x）＝（kx﹣1）e x﹣k（x﹣1）．（1）若f（x）在x＝x0处的切线斜率与k无关求x0；（2）若∃x∈R，使得f（x）＜0成立，求整数k的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）＝（kx﹣1）e x﹣k（x﹣1），∴f′（x）＝（kx+k﹣1）e x﹣k＝k[（x+1）e x﹣1]﹣e x，由已知得，，令g（x）＝（x+1）e x﹣1，则g′（x）＝（x+2）e x，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∵x＜﹣2，∴x+1＜﹣1，则（x+1）e x﹣1＜0，因此g（x）＜0；当x∈（﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，又g（0）＝0，∴g（x）有唯一零点，故x0＝0；（2）f（x）＜0，即（kx﹣1）e x﹣k（x﹣1）＜0，∴k（xe x﹣x+1）＜e x，当x≥0时，∵e x﹣1≥0，∴x（e x﹣1）+1＞0，当x＜0时，∵e x﹣1＜0，∴x（e x﹣1）+1＞0，∴x（e x﹣1）+1＞0，则k（xe x﹣x+1）＜e x⇔k＜．设h（x）＝，则k＜h（x）max．又h′（x）＝，令φ（x）＝2﹣e x﹣x，则φ′（x）＝﹣e x﹣1＜0，φ（x）在R上单调递减，又φ（0）＞0，φ（1）＜0，∴∃x0∈（0，1），使得φ（x0）＝0，即，当x∈（﹣∞，x0）时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）max＝＝＝．令t＝x0﹣2（﹣2＜t＜﹣1），则y＝t+∈（），则h（x）max∈（1，2），故整数k的最大值为1．(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在极坐标系中，直线l：ρcosθ＝，P为直线l上一点，且点P在极轴上方．以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），且△OPQ面积为．（1）求Q点的极坐标；（2）求△OPQ外接圆的极坐标方程，并判断直线l与△OPQ外接圆的位置关系．【解答】解：（1）直线l：ρcosθ＝，以OP为一边作正三角形OPQ（逆时针方向），设P（，θ），由且△OPQ面积为．则：，由于△OPQ为正三角形，所以：OQ的极角为且|PO|＝|OQ|＝2，所以：Q（2，）．（2）由于△OPQ为正三角形，得到其外接圆的直径，设M（ρ，θ）为△OPQ外接圆上任意一点．在Rt△OMR中，cos（）＝，所以：M（ρ，θ）满足．故：△OPQ的外接圆方程，直线l：x＝，：△OPQ的外接圆直角坐标方程为．圆心到直线的距离d＝，即为半径，故直线与圆相外切．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣1|+a．（1）当a＝0时，解不等式f（x）≥0；（2）若二次函数y＝﹣x2+8x﹣14的图象在函数y＝f（x）的图象下方，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，不等式f（x）≥0化为：|x+1|﹣2|x﹣1|≥0，移项得|x+1|≥2|x﹣1|，平方分解因式得（3x﹣1）（x﹣3）≤0，解得≤x≤3．解集为{x|≤x≤3}．（2）化简得f（x）＝，根据题意，只需要考虑x＞1时，两函数的图象位置关系，当x＞1时，f（x）＝﹣x+3+a，由y＝﹣x2+8x﹣14得y′＝﹣2x+8，设二次函数与直线y＝﹣x+3+a的切点为（x0，y0），则﹣2x0+8＝﹣1，解得x0＝，所以y0＝，代入f（x）＝﹣x+3+a，解得a＝，所以a的取值范围是a＞．。
2020年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设集合，B ={x|x ≥2}，则A ∩B =( )A. [2,4)B. {2,4}C. {3}D. {2,3}2. 若复数z =i1+i (i 为虚数单位)，则z ⋅z =( )A. 12iB. −14C. 14D. 123. 设a =0.512，b =0.812，c =log 20.5则( )A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <a <c4. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受人们喜爱．如图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是( )A. 37B. 47C. 57D. 675. 已知等差数列{a n }中，且a 4+a 12=10，则前15项和S 15=( )A. 15B. 20C. 21D. 756. 已知函数f(x)={(110)x ,x ≤10−lg(x +2),x >10，若f(8−m 2)<f(2m)，则实数m 的取值范围是( )A. (−4,2)B. (−4,1)C. (−2,4)D. (−∞,−4)∪(2,+∞)7. 已知向量a ⃗ =(2,1),a ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=15，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为( ) A. 10 B. −10 C. 2√5 D. −2√58. 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则“a ⊂α，b ⊥β，α//β”是“a ⊥b ”的( )A. 必要不充分条件B. 充要条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(x +1)=−f(x −1)，若f(−1)>1，f(5)=a 2−2a −4，则实数a 的取值范围是( )A. (−1,3)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)10. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AB =2，AA 1=√2，则异面直线AB 1和BC 1所成角的正弦值为( )A. 1B. √77C. 12D. √3211. 已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M ，且满足|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则此双曲线的离心率是( )A. √2B. √52C. √5D. √6212. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0)，y =f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离等于π2，则f(x)的单调递增区间是( )A. [kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z B. [kπ+5π12,kπ+11π12],k ∈ ZC. [kπ−π3,kπ+π6],k ∈ ZD. [kπ+π6,kπ+2π3],k ∈ Z二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若一组样本数据1，2，a ，9的平均数为4，则该组数据的中位数______ ． 14. 设实数x ，y 满足{x +y ≥2,2x −y ≤4,y ≤4,则x −2y 的最大值等于________． 15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=2a n +1，b n =a n +1，n ∈N ∗，则{b n }的通项公式b n =________．16. 已知抛物线C ：x =ay 2的准线为l ：x =−1，则其焦点为________；设直线lˈ：y =3x +4，过抛物线C 上一点P 作l 和lˈ的垂线，垂足分别为M ，N ，则|PM|+|PN|的最小值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，已知，D是BC边上的一点，AD=5,AC=7,DC=3(1)求△ADC的面积；(2)求边AB的长．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧面ABB1A1为正方形，BC=B1C，∠CBB1=45°，D是AB的中点，(1)求证：AC1//平面B1CD；(2)若AB⊥B1C，AB=2，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积．19.研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离x(单位：千米)和学生花费在上学路上的时间y(单位：分钟)有如下的统计资料：如果统计资料表明y 与x 有线性相关关系，试求：(1)判断y 与x 是否有很强的线性相关性？(相关系数r 的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01)(2)求线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(精确到0.01)；(3)将ŷ<27分钟的时间数据y i ̂称为美丽数据，现从这6个时间数据y i ̂中任取2个，求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率．参考数据：∑y i 6i=1=175.4，∑x i 6i=1y i =764.36，∑(x i −x )6i=1(y i −y )=80.30,∑(x i −x )26i=1=14.30，∑(6i=1y i −y)2=471.65，√∑(6i=1x i −x)2(y i −y)2=82.13．参考公式：r =i −x )6i=1i −y )√∑(x i −x )2i=1(y i −y)2，b ̂=i −x )6i=1i −y )∑(x −x )26．20. 设A 是圆O ：x 2+y 2=16上的任意一点，l 是过点A 且与x 轴垂直的直线，B 是直线l 与x 轴的交点，点Q 在直线l 上，且满足4|BQ|=3|BA|.当点A 在圆O 上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)已知直线y =kx −2(k ≠0)与曲线C 交于M ，N 两点，点M 关于y 轴的对称点为M′，设P(0,−2)，证明：直线M′N 过定点，并求△PM′N 面积的最大值．21.已知函数．(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处切线的方程；x2−4x的极值；(2)讨论函数g(x)=f(x)+32(3)若f(x)≤m(x2−1)对任意的x∈[1,+∞)成立，求实数m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√2t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正y=t2半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=4，M为曲线C2上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|⋅|OP|=16.(Ⅰ)求点P的轨迹C3的直角坐标方程；(Ⅱ)设C1与C3的交点为A，B，求△AOB的面积．23.已知f(x)=|x−1|+|x+2|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥5；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)>a2−2a对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的交集运算，属于基础题． 直接根据交集的运算得出答案即可． 解：因为，B ={x|x ≥2}， 所以A ∩B ={2,3}． 故选D ．2.答案：D解析：解：∵z =i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i ， ∴z ⋅z −=|z|2=(√(12)2+(−12)2)2=12． 故选：D ．利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由z ⋅z −=|z|2求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：B解析：本题主要考查了指数与指数幂的运算，对数与对数运算，比较大小的应用，解题的关键是熟练掌握指数与指数幂的运算，对数与对数运算．根据已知及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，比较大小的判断，可知a ，b ，c 的大小关系． 解：∵a =√0.5>0，b =√0.8>0，c =log 20.5<0， 且√0.8>√0.5， ∴c <a <b ． 故选B ．4.答案：D解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据题意，计算窗花的面积的面积，利用几何概率的计算公式求解即可．属于一般题．解：窗花的面积为122−4×1=140，其中小正方形的面积为5×4=20，所以所求概率P=140−20140=67．故选D．5.答案：D解析：本题考查了等差数列的通项公式及其性质、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．等差数列{a n}的性质可得：a1+a15=a4+a12=10，再利用求和公式即可得出．解：由等差数列{a n}的性质可得：a1+a15=a4+a12=10，∴前15项和S15=15(a1+a15)2=15×102=75．故选：D．6.答案：A解析：本题主要考查分段函数的应用，考查对数函数等的性质，根据函数单调性的性质求解即可.属基础题．解：∴函数f(x)在R上单调递减，由f(8−m2)<f(2m)，得：8−m2>2m，解得：−4<m<2．故选A．7.答案：D解析：本题考查平面向量的投影，根据平面向量的投影公式直接计算即可，属基础题．解：因为向量a⃗=(2,1), a⃗⃗⃗ ⋅(a⃗−b⃗ )=15，所以| a⃗⃗⃗ |2−a⃗·b⃗ =15，解得a⃗·b⃗ =−10则b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ·b⃗|a⃗|=√5=−2√5，故选D．8.答案：C解析：根据空间直线和平面的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据空间直线和平面的位置关系是解决本题的关键．解：若α//β，则当b⊥β时，b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b成立，即充分性成立，若a⊥b，则a⊂α，b⊥β，α//β不一定成立，即必要性不成立，则“a⊂α，b⊥β，α//β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：C9.答案：A解析：本题考查函数的周期性和奇偶性，涉及不等式的解法，属基础题．由f(x+1)=−f(x−1)，可得f(x+ 4)=−f(x+2)=f(x)，即函数f(x)的周期为4，由f(x)是奇函数，f(−1)=−f(1)，可知f(5)= f(1)<−1，解不等式a2−2a−4<−1，即可得答案．解：由f(x+1)=−f(x−1)，可得f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)=f(1)=a2−2a−4，又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(−1)>1，∴f(1)<−1．∴a2−2a−4<−1，解得−1<a<3．∴实数a的取值范围是(−1,3)．故选：A ．10.答案：A解析：本题考查异面直线所成角的正弦值的求法，是中档题．作BD//AB 1交A 1B 1的延长线于D ，连接DC 1，则∠DBC 1就是异面直线AB 1和BC 1所成的角(或其补角)，由此能求出异面直线AB 1和BC 1所成的角的正弦值． 解：如图，作BD//AB 1交A 1B 1的延长线于D ，连接DC 1，则∠DBC 1就是异面直线AB 1和BC 1所成的角(或其补角)， 由已知得：BD =AB 1=√22+(√2)2=√6， BC 1=√BC 2+CC 12=√22+(√2)2=√6，C 1D =√B 1C 12+B 1D 2−2B 1C 1·B 1Dcos∠C 1B 1D =2√3，则BD 2+BC 12=C 1D 2，故∠DBC 1=90°，所以异面直线AB 1和BC 1所成的角为直角，正弦值为1． 故选：A ．11.答案：D解析：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用，考查运算能力，属于中档题．由点到直线的距离公式可得|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，则|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3b ，cos∠F 1OM =−a c，由此利用余弦定理可得a ，b 的关系，进而得到a ，c 的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．解：由F 2(c,0)到渐近线y =b a x 的距离为d =√a 2+b 2=b即有|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=b ，则|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3b ，在△MF 1O 中，|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=a ，|OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=c ，cos∠F 1OM =−cos∠F 2OM =−a c ，由余弦定理可知a 2+c 2−9b 22ac =−ac ， 又c 2=a 2+b 2，化简可得a 2=2b 2，即有c 2=a 2+b 2=32a 2，即有e =c a =√62． 故选：D ．12.答案：C解析：解：函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)，因为y =f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离等于π2，函数的周期T =π，所以ω=2，所以f(x)=2sin(2x +π6)，因为2kπ−π2≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，解得x ∈[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z即函数的单调增区间为：[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z故选：C ．化简函数f(x)=√3sinωx +cosωx 为f(x)=2sin(ωx +π6)，y =f(x)的图象与x 轴两个相邻交点的距离等于π2，求出函数的周期，推出ω，得到函数解析式，利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间．本题是基础题，考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，正弦函数的单调增区间的求法，常考题型．13.答案：3解析：先根据平均数的定义求出a的值，然后根据中位数的定义求解．本题考查了平均数与中位数的定义，属于基础题．解：由题意可知，(1+2+a+9)÷4=4，a=4，这组数据从小到大排列1，2，4，9，∴中位数是2+42=3．故答案为：3．14.答案：2解析：本题主要考查简单线性规划.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：设z=x−2y得y=12x−z2，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):平移直线y=12x−z2，由图象可知当直线y=12x−z2过点B(2,0)时，直线y=12x−z2的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x−2y，得z=2．∴目标函数z=x−2y的最大值是2．故答案为2．15.答案：2n解析：本题考查数列的递推关系式、等比数列的判定以及等比数列的通项公式，题目比较基础．由已知求得a n+1+1=2(a n+1)，即b n+1=2b n，可得{b n}为等比数列，首项b1=a1+1=2，公比为2，故b n =2n ，问题得解．解：因为a n+1=2a n +1，所以a n+1+1=2(a n +1)，即b n+1=2b n ， 所以b n+1b n =2，所以{b n }为等比数列，首项b 1=a 1+1=2，公比为2，所以b n =2n ．故答案为2n ．16.答案：(1,0)；7√1010解析：本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，属于中档题．先由准线方程得出焦点坐标，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线3x −y +4=0的垂线，此时|PM|+|PN|最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得|PM|+|PN|的最小值．解：抛物线C ：x =ay 2的准线为l ：x =−1，则其焦点为(1,0)，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，过焦点F 作直线3x −y +4=0的垂线，此时|PM|+|PN|最小，∵F(1,0)，则|PM|+|PN|=√32+(−1)2=7√1010，故答案为(1,0)；7√1010． 17.答案：解：(1)在ΔADC 中，由余弦定理，得=52+32−722×5×3=−12， ∵∠ADC 为三角形的内角，∴∠ADC =120∘，∴sin∠ADC=√32，=12×5×3×√32=15√34．(2)在ΔABD中，∠ADB=60∘，由正弦定理得：ABsin∠ADB =ADsinB，∴AB=512×√32=5√3．解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，属于中档题．(1)先由余弦定理求出∠ADC，利用三角形面积公式SΔADC=12AD⋅DC⋅sin∠ADC即可求出结果．(2)利用正弦定理即可求出结果．18.答案：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接OD，∵四边形BB1C1C为平行四边形，∴O为BC1的中点，又D为AB的中点，∴OD//AC1，∵OD⊂平面B1CD，AC1⊄平面B1CD，∴AC1//平面B1CD；(2)解：由侧面ABB1A1为正方形，知AB⊥BB1，又AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，BB1、B1C在平面BB1C1C内，∴AB⊥平面BB1C1C，∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，在△BB1C中，BC=B1C，∠CBB1=45°，∴B1C⊥BC，∵B1C⊂平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，∴B 1C ⊥平面ABC ，即B 1C 为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高，∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥BC ，由AB =BB 1=2，侧面ABB 1A 1为正方形，得BC =B 1C =√2，∴S △ABC =12×2×√2=√2，∴三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积V =√2×√2=2．解析：本题考查平面与平面平行的判定，训练了多面体体积的求法，是基础题．(1)连接BC 1，交B 1C 于点O ，连接OD ，由已知可得OD//AC 1，再由线面平行的判定可得AC 1//平面B 1CD ；(2)证明AB ⊥平面BB 1C 1C ，可得平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，再证明B 1C ⊥平面ABC ，即B 1C 为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的高，然后由已知结合棱柱体积公式求三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积．19.答案：解：(1)由题知，x =16∑x i 6i=1=3.9,y =16∑y i 6i=1=29.23， ∴r =i −x )6i=1i −y )√∑(x i −x )2i=1(y i −y )2=80.3082.13≈0.98，∴y 与x 有很强的线性相关性．(2)依题意得x =16∑x i 6i=1=3.9,y =16∑y i 6i=1=29.23，∑(x i −x )6i=1(y i −y )=80.30,∑(x i −x )26i=1=14.30， ∴b ̂=i −x )6i=1i −y )∑(x −x )26=80.3014.30≈5.62， 又∵a ̂=y −b̂x =29.23−5.62×3.9≈7.31， 故线性回归方程为ŷ=5.62x +7.31． (3)由(2)可知，当x =3.1时，y 3̂=24.732<27，当x =4.3时，y 4̂=31.476>27，∴满足ŷ<27分钟的美丽数据共有3个， 设3个美丽数据为a 、b 、c ，另3个不是美丽数据为A 、B 、C ，则从6个数据中任取2个共有15种情况，即aA ，aB ，aC ，bA ，bB ，bC ，cA ，cB ，cC ，AB ，AC ，BC ，ab ，ac ，bc ，其中，抽取到的数据全部为美丽数据的有3种情况，即ab ，ac ，bc ，，∴从这6个数据y i ̂中任取2个，抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为P =15．解析：本题主要考查回归方程相关问题，属于基础题．(1)求出相关系数，然后根据题意和0.75比较确定y 与x 是否有很强的线性相关性即可．(2)根据公式求出回归方程即可．(3)列举出所有的基本事件，然后求出概率即可．20.答案：解：(1)设Q(x,y)，A(x 0,y 0)，∵4|BQ|=3|BA|，Q 在直线l 上，∴x 0=x ，|y 0|=43|y|.①∵点A 在圆x 2+y 2=16上运动，∴x 02+y 02=16.② 将①式代入②式即得曲线C 的方程为x 216+y 29=1．证明：(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则M′(−x 1,y 1)，联立{x 216+y 29=1y =kx −2，得(16k 2+9)x 2−64kx −80=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=64k16k 2+9，x 1x 2=−8016k 2+9．∵直线M′N 的斜率k M′N =y 2−y1x 2+x 1，∴直线M′N 的方程为y −y 1=y 2−y1x 2+x 1(x +x 1). 令x =0，得y =y 2x 1+y 1x 2x 2+x 1=(kx 2−2)x 1+(kx 1−2)x 2x 2+x 1 =2kx 1x 2x 2+x 1−2=−92，∴直线M′N 过定点D(0,−92).△PM′N 面积S △PM ‘N =12|PD|⋅|x 1+x 2|=54×|64k 16k 2+9|=8016|k |+9|k |≤2√16k ×|k |=103， 当且仅当16|k|=9|k |，即k =±34时取等号，∴△PM′N 面积的最大值为103．解析：本题考查曲线方程的求法，考查直线过定点的证明，考查三角形的面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是较难题．(1)点A在圆x2+y2=16上运动，引起点Q的运动，我们可以由4|BQ|=3|BA|，得到点A和点Q 坐标之间的关系式，并由点A的坐标满足圆的方程得到点Q坐标所满足的方程；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M′(−x1,y1)，联立{x216+y29=1y=kx−2，得(16k2+9)x2−64kx−80=0，利用直线的斜率，求直线M′N的方程，即可求得直线M′N所过定点，并求出△PM′N面积的最大值．21.答案：解：(1)因为，所以，所以f′(1)=1．又f(1)=0，所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处切线的方程为y−0=1×(x−1)，即x−y−1=0．(2)因为，所以g′(x)=lnx+1+3x−4=lnx+3(x−1).令，得x=1，.因为0<x<1时，g′(x)<0，x>1时，g′(x)>0，所以函数g(x)在x=1处取得极小值，极小值为g(1)=−52．不存在极大值．(3)据题意，得xlnx≤m(x2−1)对任意的x∈[1,+∞)成立，即lnx≤m(x−1x)对任意的x∈[1,+∞)成立．令ℎ(x)=lnx−m(x−1x)(x≥1)，所以ℎ′(x)=1x −m(1+1x2)=−mx2+x−mx2，当m≤0时，ℎ′(x)>0，此时ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增.又ℎ(1)=0，所以当x>1时，ℎ(x)>0，这与ℎ(x)≤0对任意的x∈[1,+∞)恒成立矛盾；当m>0时，二次方程−mx2+x−m=0的判别式Δ=1−4m2．若Δ≤0，解得m≥12，此时ℎ′(x)≤0，ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减．又ℎ(1)=0，所以当x≥1时，ℎ(x)≤0，满足题设；若Δ>0，解得0<m<12，此时关于x 的方程−mx 2+x −m =0的两实数根是x 1=1−√1−4m 22m ，x 2=1+√1−4m 22m ，其中x 1<1，x 2>1．又分析知，函数ℎ(x )在区间(x 1,x 2)上单调递增，ℎ(1)=0，所以当x ∈(1,x 2)时，ℎ(x )>0，不符合题设．综上，所求实数m 的取值范围是[12,+∞)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值以及利用导数研究曲线上某点切线方程的知识点．(1)对原函数求导，得到f′(x )=lnx +1，再利用点斜式方程即可得解；(2)由题意得0<x <1时，g′(x)<0，x >1时，g′(x)>0 ，函数g(x)在x =1处取得极小值，极小值为g(1)=−52；(3)原问题转化为对任意的x ∈[1,+∞)成立，构造函数，讨论m 的范围，利用导数研究函数的最值，即可得解． 22.答案：解：(Ⅰ)根据题意，设M(ρ0,θ0)，P(ρ,θ)，则|OM|=ρ0，|OP|=ρ，易知ρ≠0．由题意，得{ρρ0=16ρ0sinθ0=4θ=θ0，解得ρ=4sinθ．故轨迹C 3的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4(y ≠0)．(Ⅱ)将曲线C 1的参数方程{x =√2t y =t 2(t 为参数)，转化为普通方程为y =x 22． 联立{x 2+(y −2)2=4(y ≠0)y =x 22，可得A(2,2)，B(−2,2)．所以|AB|=4，所以S △AOB =12×2×|AB|=4．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)将参数方程化为直角坐标方程，联立方程求解交点坐标，从而可得出面积．23.答案：解：(Ⅰ)当x<−2时，f(x)=−(x−1)−(x+2)=−2x−1，由f(x)≥5解得x≤−3；当−2≤x<1时，f(x)=−(x−1)+(x+2)=3≥5不成立；当x≥1时，f(x)=(x−1)+x+2=2x+1≥5解得x≥2，综上有f(x)≥5的解集是(−∞,−3]∪[2,+∞)；(2)因为|x−1|+|x+2|≥|(x−1)−(x+2)|=3，所以f(x)的最小值为3，要使得关于x的不等式f(x)>a2−2a对任意的x∈R恒成立，只需a2−2a<3解得−1<a<3，故a的取值范围是(−1,3)．解析：(Ⅰ)利用绝对值的意义，分类讨论，即可解不等式f(x)≥5；(Ⅱ)因为|x−1|+|x+2|≥|(x−1)−(x+2)|=3，所以f(x)的最小值为3，要使得关于x的不等式f(x)>a2−a对任意的x∈R恒成立，只需a2−2a<3解得a的取值范围．本题考查不等式的解法，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
广东省湛江市2019届高三调研测试题数学(文科)---精校解析Word版
湛江市2019届高三调研测试题数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由与，求出两集合的交集即可.【详解】∵，，∴，故选C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取名学生进行调查，则抽取的高中生人数为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由扇形图先得学生总人数，根据分层抽样的定义建立比例关系，解方程即可得到结论．【详解】由扇形图可得学生总人数为人，设抽取的高中生人数为，则，解得，故选B.【点睛】本题主要了考查分层抽样的概念及应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，属于基础题.3.满足（是虚数单位）的复数A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的基本运算即可得到结论．【详解】∵，∴，即，故选A.【点睛】本题主要考查复数的计算，掌握其运算法则即可，比较基础4.双曲线的焦点到渐近线的距离为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即能求出结果．【详解】双曲线中，焦点坐标为，渐近线方程为，∴双曲线的焦点到渐近线的距离，故选C.【点睛】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.5.已知非零向量m、n满足n m，且m m n，则m、n的夹角为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算向量夹角，结合其范围，即可得到．【详解】∵，∴，即，又∵，∴，解得，结合，所以，故选C.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题.6.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数被除余,被除余，被除余，求的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出的结果为（）A. 53B. 54C. 158D. 263【答案】A【解析】按程序框图知的初值为，代入循环结构，第一次循环，第二次循环，推出循环，的输出值为，故选A.7.曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：利用点斜式方程可知为y=2x+1视频8.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正视图知，该正三棱锥的底边长为，高为，则侧视图是一个底边长为，高为的三角形，其面积为，故选D．9.使函数是偶函数，且在上是减函数的的一个值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,由于为偶函数，则，，，当时，，，当时，，为减函数，符合题意，所以选B.10.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】A【解析】【分析】对每一选项进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【详解】对于A，根据线面平行性质定理即可得A选项正确；对于B，当，时，若，，则，但题目中无条件，故B不一定成立；对于C，若，，，则与相交或平行，故C错误；对于D，若，，则与平行或异面，则D错误，故选A.【点睛】本题考查的知识点空间直线与平面垂直的判定定理，性质定理，定义及几何特征，其中熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答本题的关键．11.已设函数，则满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分类讨论：①当时；②当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可.【详解】当时，的可变形为，，∴．当时，的可变形为，∴，则满足的的取值范围是，故选D.【点睛】本题主要考查了关于分段函数的不等式，解题的关键为转化特定的不等式类型求解，属于基础题.12.点、、、在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体的特征，先确定外接圆的圆心即小圆圆心，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【详解】根据题意知，是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1，小圆的圆心为，由于底面积不变，高最大时体积最大，所以与面垂直时体积最大，最大值为，∴，设球心为，半径为，则在直角中，，即，∴，则这个球的表面积为：，故选B.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体的体积的最大值，是解答的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.若是奇函数，则．【答案】【解析】本题考查函数的奇偶性定义。
湛江市2019届高三调研考试数学试题(文科含答案)
试卷类型：A湛江市2019年普通高考调研测试数 学（文 科）本试卷共4页。
21小题。
满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将答题卡试卷类型（A ）填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式h S V ⋅⋅=31其中S 是锥体的底面面积，h 是锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,2,3}A =，集合{1,2,3,4,5,6}B =，则=B A A ．{1,2,3} B ．{1,2,3,4,5,6}C ．ΦD ．以上都不对2．某学校共有师生4200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为140的样本，已知从学生中抽取的人数为130，那么该学校的教师人数是 A ．200B ．300C ．400D ．1003．若q p ,是两个简单命题，且“p 或q ”是假命题，则必有 A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 假q 真4．在等差数列}{n a 中，有12543=++a a a ，则此数列的前7项之和为 A ．14B ．26C ． 28D ．165．一个几何体的三视图中主视图和左视图是边长为2的等边三角形， 俯视图为圆，则该几何体的体积是 A ．π3 B ．π334 C ．π34 D ．π336．如果直线013=++y ax 与直线0322=-+y x 互相垂直，主视图左视图俯视图那么a 的值等于 A ．3B ．31-C ．3-D ．31 7．已知ABC ∆中，︒=∠45A ，6=AB ，2=BC ，则=∠CA ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒60或︒1208．以双曲线16322=-y x 的右焦点为焦点的抛物线标准方程为 A ．x y 122= B ．y x 122=C ． x y 62=D ． y x 62=9．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是 A ．10>i B ．10<i C ．20>iD ．20<i10．已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立， 则实数m 的取值范围是A ．4m ≥或2m -≤B ．2m ≥或4m -≤C ．24m -<<D ．42m -<<二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11～13题）11．若复数i z -=1（其中，i 为虚数单位），则=||z ．12．已知函数21(1)()(1)x x f x x x +⎧=⎨>⎩≤，则))1((f f = ．13．已知实数,x y 满足031y y x x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≤，则目标函数2z y x =-的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．2=AD ，52=AC ，则=AB ．15．（坐标系与参数方程选做题）参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 33cos 33y x（θ为参数）表示的图形上的点到直线 x y =的B最短距离为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)已知函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=. （1）求)8(πf 的值；（2）求函数)(x f 的最小正周期和最小值．17．(本小题满分12分)某校高三年级为了分析某次数学测验（百分制）的成绩， 从总数1200人中抽出200人的数学成绩列出如右的频率分布 表，但在图中标有a 、b 处的数据模糊不清. （1）求a 、b 的值；（2）从1200名学生中任取一人，试估计其及格的概率； （60分及60分以上为及格） （3）试估计这次测验的平均分．18．(本小题满分14分)如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1AA 中点.（1）求证：//1C A 平面BDE ；（2）求证：平面⊥BD C 1平面BDE .19．(本小题满分14分)在数列}{n a 中，41,4111==+n n a a a 已知，*)(log 3241N n a b n n ∈=+. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证：数列}{n b 是等差数列；（3）设数列n n n n b a c c ⋅=满足}{，求{}n c 的前n 项和n S .A BCDEA 1B 1D 1C 120．(本小题满分14分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点)0,3(，且离心率36=e .（1）求椭圆的方程；（2）若直线m kx y +=与该椭圆有两个交点N M ,，当线段MN 的中点在直线1=x 上时，求k 的取值范围.21．(本小题满分14分)已知函数x axxx f ln 1)(+-=（a 为常数）. （1）求)(x f '；（2）当a =1时，求)(x f 在∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最大值和最小值()71828.2≈e ；（3）求证： 1ln 1n n n >-.1(>n ，且)*N n ∈湛江市2019年普通高考调研测试数 学（文 科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9 ．A 10．D二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分） 11．2 12．4 13．6 14．10 15．)12(3-三 、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．解：（1）x x x f 2sin 12cos )(++=1)42sin(2++=πx ，…………………………6分∴121)44sin(2)8(+=++=πππf .……………………………………………8分（2）由（1）可知1)42sin(2)(++=πx x f ，∴函数)(x f 的最小正周期ππ==22T . …………………………………………10分 函数)(x f 的最小值为21-.…………………………………………………………12分 17．解：（1）()05.031.05.0125.0015.01=+++-=a ……………………………2分1005.0200=⨯=b . ………………………………………………………………4分（2）及格的概率P 81.0200162=≈.………………………………………………8分 （3）这次数学测验的平均分x 7.7020062901007025501030310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………12分 18．（1）证明：连结AC 交BD 于O ，连结EO .…2分在C AA 1∆中 ，E 、O 均为中点.∴C A EO 1// ，又 ⊂EO 平面BDE .……4分 ∴//1C A 平面BDE .…………………………6分（2）证明：依题意：AC BD ⊥，1AA BD ⊥ ∴⊥BD 平面C AA 1∴⊥BD C A 1 ……………………………………………………………………8分 同理⊥1BC C A 1∴⊥C A 1平面1BDC ，又C A EO 1//A BCDEA 1B 1D 1 C 1 O∴⊥EO 平面1BDC . …………………………………………………………12分 又 ⊂EO 平面BDE∴平面⊥BD C 1平面BDE .………………………………………………………14分 19．解：（1）411=+n n a a ∴数列}{n a 是首项为41，公比为41的等比数列， ∴*)()41(N n a nn ∈=.…………………………………………………………………2分（2）2log 341-=n n a b ………………………………………………………………3分∴232)41(log 341-=-=n b nn .………………………………………………………4分∴11=b ，公差3=d∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列. ………………………………5分 （3）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==∴*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=. ……………………………………………………6分∴,)41()23()41)53()41(7)41(4411132nn n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=-于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S……………………………10分两式相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S .)41()23(211+⨯+-=n n …………………………………………12分∴*)()41(3812321N n n S n n ∈⨯+-=+. ……………………………………………14分20．解：（1）依题意：132=a∴3=a . …………………………………………1分 由36==a c e ，得2=c . ……………………………………………………2分 ∴1222=-=c a b .…………………………………………………………………3分∴所求椭圆方程为1322=+y x . ……………………………………………………4分 （2）设N M ,坐标分别为),(11y x ，),(22y x将m kx y +=代入椭圆方程，整理得：0)1(36)13(222=-+++m k m xx k ……………………………………………6分 ∴0)1)(13(12362222>-+-=∆m k m k （*） ……………………………………8分136221+-=+k kmx x要令),1(n P 为N M ,中点，则 221=+x x ，∴21362=+-k km0≠k ∴kk m 3132+-= ………………………………………………………………9分代入（*）得：0]19)13()[13(129)13(3622222222>-++-+⋅kk k k k k ………………………………10分 099)13(3)13(22222>-+⋅-+kk k k 03139)13(2242>+--+k k k k 03139339224224>+--+kk k k k k 0162>-k ……………………………………………………………………12分 ∴66>k 或66-<k . ………………………………………………………13分 ∴k 的取值范围是),66()66,(∞+--∞ .……………………………………14分 21．解：（1） 21)(ax ax x f -='.…………………………………………………2分 （2）当1=a 时，21)(x x x f -='，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1，而⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈1,1e x 时，0)(<'x f ；(]e x ,1∈时，0)(>'x f ，∴1=x 是)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e,1 上唯一的极小值点， ………………………………4分∴ []0)1()(min ==f x f . …………………………………………………5分又01)2(112)(1>--=----=-⎪⎭⎫ ⎝⎛ee e e e e ef e f ， ………………………6分 ∴)(1e f e f >⎪⎭⎫ ⎝⎛， ∴[]21)(max -=⎪⎭⎫⎝⎛=e e f x f .……………………………7分 综上，当1=a 时，)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1 上的最大值和最小值分别为2-e 和0. ………………………8分（3）若1=a 时，由（2）知x xxx f ln 1)(+-=在[)+∞,1上为增函数，……………………………………10分 当1>n 时，令1-=n nx ，则1>x ，故0)1()(=>f x f ，……………………12分即01ln 11ln 1111>-+-=-+---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n n n n n n f ， ∴1ln1n n n>-. ………………………………………………………………14分。
广东省湛江市2019届高三上学期第一次调研考试数学(文)试题(含精品解析)
广东省湛江市2019届高三上学期第一次调研考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A ={1，2，5}，B ={x |x ≤2}，则A ∩B =（ ）A. B. C. D. {1}{5}{1,2}{2,5}2.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为（ ）A. 10B. 40C. 30D. 203.满足=i （i 是虚数单位）的复数z =（ ）z ‒i z A.B. C. D. 12‒12i 12+12i ‒12+12i ‒12‒12i 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）x 24‒y 2=1A. 1 B. C. 2 D. 325.已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（ ）⃗a ⃗b ⃗b ⃗a ⃗a ⃗a ⃗b ⃗a ⃗b A.B. C. D. π3π22π35π66.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n 被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n 的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n 的结果为（ ）A. 53B. 54C. 158D. 2637.曲线y =在点（-1，-1）处的切线方程为（ ）x x +2A. B. C. D. y =2x +1y =2x ‒1y =‒2x ‒3y =‒2x ‒28.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为（ ）A. 63B. 123C. 62D. 1229.使函数是偶函数，且在上是减函数的θf(x)=3sin(2x +θ)+cos(2x +θ)[0，π4]的一个值是（ ）A. B. C. D.π6π32π35π610.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. ，，B. ，，α∩β=n m ⊂αm//β⇒m//n α⊥βα∩β=m m ⊥n⇒n ⊥βC. ，，D. ，，m ⊥n m ⊂αn ⊂β⇒α⊥βm//αn ⊂α⇒m//n11.设函数f （x ）=，则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是（ ）{21‒x ,x ≤11‒log 2x,x >1A. B. C. D. [‒1,2][0,2][1,+∞)[0,+∞)12.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB =BC =AC =，若四面体ABCD 体积的3最大值为，则这个球的表面积为（ ）3A. B. C. D. 16916π8π289π1625π16二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若f （x ）=是奇函数，则a =______．12x ‒1+a 14.设x 、y 满足不等式组，则z =2x +y 的最大值为______．{x ‒y ‒1≥0x +y ‒4≤0y ≥115.圆心在直线y=-4x上，且与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2）的圆的标准方程为______．216.若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C，则cos C的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}满足a n=2a n-1+1（n∈N*，n≥2），且a1=1，b n=a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nb n}的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PD，PA⊥AB，N是棱AD的中点．（1）求证：平面PAB⊥平面PAD；（2）设AB=AD=AP=2，求点N到平面PAC的距离．19.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，按照一定比例淘汰后，颁发一二三等奖．现有某考场的两科考试成绩数据统计如下图所示，其中数学科目成绩为二等奖的考生有12人．（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的学生中各抽取5人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图，求样本的平均数及方差并进行比较分析；（Ⅲ）已知本考场的所有考生中，恰有3人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取2人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．20.已知椭圆G ：=1（a ＞b ＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为x 2a 2+y 2b 26321的直线l 与椭圆G 交与A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3，2）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）求△PAB 的面积．21.设函数．f(x)=x ‒2x ‒a(lnx ‒1x 2)(a ＞0)（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）记函数f （x ）的最小值为g （a ），证明：g （a ）＜1．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是（α是参数）．以原点{x =3cosαy =sinαO 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρsin(θ+π4)=42（1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的直角坐标．23.设函数f （x ）=|2x -7|+1（Ⅰ）求不等式f （x ）≤x 的解集；（Ⅱ）若存在x 使不等式f （x ）-2|x -1|≤a 成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={1，2，5}，B={x|x≤2}，则A∩B=（1，2}．故选：C．直接求解交集即可．本题考查集合的交集的求法，基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：200×=40．故选：B．利用分层抽样的性质直接求解．本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由=i，得z-i=zi，∴z=，故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．4.【答案】A【解析】解：双曲线中，焦点坐标为（，0），渐近线方程为：y=，∴双曲线的焦点到渐近线的距离：d==1．故选：A．分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．5.【答案】C【解析】解：由已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，则有2+||•4||•cosθ=0，即cosθ=-，又因为θ∈[0，π]，所以θ=，故选：C．由题意可得可得•（2+）=2+=0，设与的夹角为θ，求得cosθ=-，结合θ的范围，求得θ的值．本题主要考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化．本体属于基础题，注意运算的准确性．6.【答案】A【解析】解：【方法一】正整数n被3除余2，得n=3k+2，k∈N；被5除余3，得n=5l+3，l∈N；被7除余4，得n=7m+4，m∈N；求得n的最小值是53．【方法二】按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为按程序框图知n的初值为263，代入循环结构得n=263-105-105=53，即输出n值为53．故选：A．【方法一】根据正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求出n的最小值．【方法二】按此歌诀得算法的程序框图，按程序框图知n的初值，代入循环结构求得n的值．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了古代数学的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：∵y=，∴y′=，所以k=y′|x=-1=2，得切线的斜率为2，所以k=2；所以曲线y=f（x）在点（-1，-1）处的切线方程为：y+1=2×（x+1），即y=2x+1．故选：A．欲求在点（-1，-1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=-1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由正视图知，该正三棱锥的底边长为6，高为4，则侧视图是一个底边长为，高为4的三角形，其面积为．故选：A．根据正三棱锥的正视图得出底边长和高，得出侧视图三角形的底和高，求出面积即可本题考查立体几何中正三棱锥的三视图，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：∵函数=2sin（2x+θ+）是偶函数，∴θ+=kπ+，即θ=kπ+，k∈Z①，故可取θ=，此时，f（x）=2sin（2x+）=cos2x，且在上，2x∈[0，]，f（x）是减函数，故选：B．利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性、单调性，求得θ的一个值．本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的奇偶性、单调性，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：在A中，α∩β=n，m⊂α，m∥β，则由线面平行的性质定理得m∥n，故A正确；在B中，α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与β相交、平行或m⊂β，故B错误；在C中，m⊥n，m⊂α，n⊂β，由α与β相交或平行，故C错误；在D中，m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故D错误．故选：A．在A中，由线面平行的性质定理得m∥n；在B中，则n与β相交、平行或m⊂β；在C中，由α与β相交或平行；在D中，m与n平行或异面．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】D【解析】解：当x≤1时，21-x≤2的可变形为1-x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x＞1时，1-log2x≤2的可变形为x≥，∴x≥1，故答案为[0，+∞）．故选：D．分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．12.【答案】C【解析】解：根据题意知，△ABC是一个等边三角形，其面积为，外接圆的半径为1．小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为S△ABC×DQ=，∴DQ=4，设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+（4-R）2，∴R=则这个球的表面积为：S=4π（）2=故选：C．根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．13.【答案】1 2【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x），∴=∴=，解得a=．故答案为：．根据奇函数的性质，f（x）=-f（-x），代入f（x）的解析式，得到等式即可求出a的值．本题主要考查奇函数的性质，根据f（x）=-f（-x）列出式子即可解得a的值，本题比较基础．14.【答案】7【解析】解：x、y满足不等式组表示的区域如图：由z=2x+y得到y=-2x+z，所以当直线经过图中A（3，1）时，直线在y轴上的解决最大，所以最大值为2×3+1=7；故答案为：7．画出不等式组表示的平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答的关键．15.【答案】（x-1）2+（y+4）2=8【解析】解：∵圆心在直线y=-4x上，设圆心C为（a，-4a），圆与直线x+y-1=0相切于点P（3，-2），则k PC==1，∴a=1．即圆心为（1，-4）．r=|CP|==2，∴圆的标准方程为（x-1）2+（y+4）2=8．故答案为：（x-1）2+（y+4）2=8．由圆心在直线y=-4x 上，可设圆心C 为（a ，-4a ），圆与直线x+y-1=0相切于点P （3，-2），利用过圆心和P 的直线与x+y-1=0垂直，求出a ，两点之间的距离公式PC=r ，可得圆的标准方程．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，以及直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题．16.【答案】6‒24【解析】解：由正弦定理得a+b=2c ，得c=（a+b ），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC ＜1，故cosC 的最小值是．故答案为：．根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）∵a n =2a n -1+1（n ∈N *，n ≥2），化为：a n +1=2（a n -1+1），∴=2，b 1=a 1+1=2．b nb n ‒1∴数列{b n }是以2为首项，公比为2的等比数列，∴b n =2n ，∴a n =2n -1．（Ⅱ）nb n =n •2n ，∴T n =2+2×22+3×23+……+n •2n ，2T n =22+2×23+……+（n -1）•2n +n •2n +1，∴-T n =2+22+……+2n -n •2n +1=-n •2n +1，2×(2n ‒1)2‒1∴T n =2+（n -1）•2n +1．【解析】（Ⅰ）由a n =2a n-1+1（n ∈N *，n≥2），化为：a n +1=2（a n-1+1），利用等比数列的通项公式即可得出b n ，进而得出a n ．（Ⅱ）nb n =n•2n ，利用错位相减法即可得出．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】证明：（1）∵在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD 是矩形，∴AB ⊥AD ，∵PA ⊥AB ，PA ∩AD =A ，∴AB ⊥平面PAD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．解：（2）∵AB =AD =AP =2，N 是棱AD 的中点．∴PN ⊥AD ，∵AB ⊥平面PAD ，PN ⊂平面PAD ．∴PN ⊥AB ，∵AB ∩AD =A ，∴PN ⊥平面ABCD ，以N 为原点，NA 为x 轴，过N 作AB 的平行线为y 轴，NP 为z 轴，建立空间直角坐标系，N （0，0，0），P （0，0，），A （1，0，0），C （-1，2，0），3=（1，0，-），=（-1，2，-），=（0，0，-），⃗PA 3⃗PC 3⃗PN 3设平面PAC 的法向量=（x ，y ，z ），⃗n 则，取z =1，得=（，，1），{⃗n ⋅⃗PA=x ‒3z =0⃗n ⋅⃗PC=‒x +2y ‒3z =0⃗n 33∴点N 到平面PAC 的距离：d ===，|⃗PN ⋅⃗n||⃗n|37217∴点N 到平面PAC 的距离为217【解析】（1）推导出AB ⊥AD ，PA ⊥AB ，从而AB ⊥平面PAD ，由此能证明平面PAB ⊥平面PAD ．（2）以N 为原点，NA 为x 轴，过N 作AB 的平行线为y 轴，NP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点N 到平面PAC 的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有12人，可得，-------（1分）121‒0.4‒0.26‒0.1=50所以语文成绩为一等奖的考生50×（1-0.38×2-0.16）=4人．----------（3分）（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，‒x 1‒x 2s 21，s 22‒x 1=81+84+93+90+925=88，‒x 2=79+89+84+86+875=85，s 21=72+42+52+22+425=22，-----------（7分）s 22=62+42+22+12+125=11.6因为88＞85，11.6＜22，所以数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．-----------（8分）（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人----（9分）设两科成绩都是一等奖的3人分别为A 1，A 2，A 3，只有数学一科为一等奖的2人分别是B 1，B 2，只有语文一科为一等奖的1人是C ，则随机抽取两人的基本事件空间为：Ω={A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 1C ，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2C ，A 3B 1，A 3B 2，A 3C ，B 1B 2，B 1C ，B 2C }，共有15个，-----------（10分）而两人两科成绩均为一等奖的基本事件Ω1={A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3}共3个，-----------（11分）所以两人的两科成绩均为一等奖的概率．-----------（12分）P =315=15【解析】（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有12人，能求出语文成绩为一等奖的考生数．（Ⅱ）求出数学和语文两科的平均数和方差，从而得到数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（Ⅲ）两科均为一等奖共有3人，仅数学一等奖有2人，仅语文一等奖有1人，设两科成绩都是一等奖的3人分别为A 1，A 2，A 3，只有数学一科为一等奖的2人分别是B 1，B 2，只有语文一科为一等奖的1人是C ，利用列举法能求出两人的两科成绩均为一等奖的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查平均数、方差、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知得，c =，，22c a=63解得a =，又b 2=a 2-c 2=4，23所以椭圆G的方程为．x 212+y 24=1（Ⅱ）设直线l 的方程为y =x +m ，由得4x 2+6mx +3m 2-12=0．①{y =x +m x 212+y 24=1设A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2）（x 1＜x 2），AB 的中点为E （x 0，y 0），则x 0==-，x 1+x 223m 4y 0=x 0+m =，m4因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ，所以PE 的斜率k =，2‒m 4‒3+3m 4=‒1解得m =2．此时方程①为4x 2+12x =0．解得x 1=-3，x 2=0，所以y 1=-1，y 2=2，所以|AB |=3，此时，点P （-3，2）．2到直线AB ：y =x +2距离d =，|‒3‒2+2|2=322所以△PAB 的面积s =|AB |d =．1292【解析】（Ⅰ）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a 的值，再根据b 2=a 2-c 2求出b 的值，即可求出椭圆G 的方程；（Ⅱ）设出直线l 的方程和点A ，B 的坐标，联立方程，消去y ，根据等腰△PAB ，求出直线l 方程和点A ，B 的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB 的面积．此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．21.【答案】解：（Ⅰ）显然f （x ）的定义域为（0，+∞）．，f '(x)=1+2x2‒a(1x +2x3)=x 2+2x 2‒a ⋅x 2+2x 3=(x 2+2)(x ‒a)x 3∴x 2+2＞0，x ＞0，若x ∈（0，a ），x -a ＜0，此时f '（x ）＜0，f （x ）在（0，a ）上单调递减；若x ∈（a ，+∞），x -a ＞0，此时f '（x ）＞0，f （x ）在（a ，+∞）上单调递增；综上所述：f （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，f(x )min =f(a)=a ‒2a ‒a(lna ‒1a2)=a ‒alna ‒1a即：．要证g （a ）＜1，即证明，即证明，g(a)=a ‒alna ‒1aa ‒alna ‒1a ＜11‒lna ‒1a2＜1a 令，则只需证明，ℎ(a)=lna +1a +1a2‒1ℎ(a)=lna +1a +1a 2‒1＞0∵，且a ＞0，ℎ'(a)=1a‒1a2‒2a3=a 2‒a ‒2a 3=(a ‒2)(a +1)a 3故当a ∈（0，2），a -2＜0，此时h '（a ）＜0，h （a ）在（0，2）上单调递减；当a ∈（2，+∞），a -2＞0，此时h '（a ）＞0，h （a ）在（2，+∞）上单调递增，∴，ℎ(a )min =ℎ(2)=ln2+12+14‒1=ln2‒14＞0∴．∴g （a ）＜1．ℎ(a)=lna +1a +1a 2‒1＞0【解析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可；（Ⅱ）首先求得g （a ）的解析式，然后利用导函数结合分析法证明题中的不等式即可．本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．22.【答案】解：（1）由曲线C 1：，可得，两式两边平方相加{x =3cosαy =sinα{x3=cosαy =sinα得：，(x3)2+y 2=1即曲线C 1的普通方程为：．x 23+y 2=1由曲线C 2：得：，ρsin(θ+π4)=4222ρ(sinθ+cosθ)=42即ρsinθ+ρcosθ=8，所以x +y -8=0，即曲线C 2的直角坐标方程为：x +y -8=0．（2）由（1）知椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上的点到直线x +y -P(3cosα，sinα)8=0的距离为，d =|3cosα+sinα‒8|2=|2sin(α+π3)‒8|2∴当时，d 的最小值为，此时点P 的坐标为．sin(α+π3)=132(32，12)【解析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程．（2）求得椭圆上的点到直线x+y-8=0的距离为，可得d 的最小值，以及此时的α的值，从而求得点P 的坐标．本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．23.【答案】解：（Ⅰ）由f （x ）≤x 得|2x -7|+1≤x ，∴或，{2x ‒7≥02x ‒7+1≤x {2x ‒7<0‒2x +7+1≤x 解得：或，72≤x ≤683≤x ＜72∴不等式f （x ）≤x 的解集为；{x|83≤x ≤6}（Ⅱ）令g （x ）=f （x ）-2|x -1|=|2x -7|-2|x -1|+1，则g （x ）=，{6，x ≤1‒4x +10，1＜x ≤72‒4，x ＞72∴g （x ）min =-4，∵存在x使不等式f（x）-2|x-1|≤a成立，∴g（x）min≤a，∴a≥-4．【解析】（Ⅰ）结合不等式分类讨论即可求得不等式的解集；（Ⅱ）零点分段求得函数g（x）的最小值，结合题意即可求得实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的数学思想等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。
2019年广东省高考数学一模试卷(文科)-含详细解析
2019年广东省高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＜2}，B={x|1＜2x＜16}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.复数z=（i为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.3.双曲线9x2-16y2=1的焦点坐标为（）A. B. C. D.4.若sin（）=，则cos2α=（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于x的不等式f（x）＜-1的解集为（）A. B. C. D.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.7.执行如图的程序框图，依次输入x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23，则输出的S值及其统计意义分别是（）A. ，即5个数据的方差为4B. ，即5个数据的标准差为4C. ，即5个数据的方差为20D. ，即5个数据的标准差为208.△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C+cos A=1，则cos B的取值范围为（）A. B. C. D.9.已知A，B，C三点不共线，且点O满足16-12-3=，则（）A. B.C. D.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足==≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A. B. C. D.11.已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，直线y=x+1与曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，则S△OAB=（）A. B. C. D.12.函数f（x）=（kx-2）ln x，g（x）=2ln x-x，若f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则k的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=，则f（f（2））=______．14.设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______．15.在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为______．16.已知函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y=m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|=|QR|=，则ω+m=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，求数列{}的前n项和T n．18.在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4，AC=2，∠EAD=30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求该五面体的体积．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，调查小组先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数y的差，若差值的绝对值都不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．（1）从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；（2）若选取的是后面4组数据，求y关于x的线性回归方程=x+，并判断此方程是否是“恰当回归方程”；（3）为了使等候的乘客不超过35人，试用（2）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少（精确到整数）分钟．附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），……，（x n，y n），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：==，=．20.已知点（1，），（，）都在椭圆C：=1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，1）的直线l与椭圆C交于不同两点P，Q（异于顶点），记椭圆与y轴的两个交点分别为A1，A2，若直线A1P与A2Q交于点S，证明：点S恒在直线y=4上．21.已知函数f（x）=e x-2ax（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x+2y-2=0垂直，求该切线方程；（2）当a＞0时，证明f（x）≥-4a2+4a22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（θ为参数）已知点Q（4，0），点P是曲线C l上任意一点，点M为PQ的中点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y=kx与曲线C2交于A，B两点，若=3，求k的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）-5＜0的解集为（m，n），且n-m=，求a的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|x-1＜2}=（-∞，3），B={x|1＜2x＜16}=（0，4）∴A∩B=（0，3）．故选：D．由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵z==，∴z=的虚部为．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线9x2-16y2=1的标准方程为：，可得a=，b=，c==，所以双曲线的焦点坐标为（0，±）．故选：B．直接利用双曲线的方程求解a，b，c得到焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】B【解析】解：sin（）=-cosα=，则cos2α=2cos2α-1=-，故选：B．利用诱导公式求得cosα的值，再利用二倍角公式求得cos2α的值．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4；∴f（-1）=-1；∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；∴由f（x）＜-1得，f（x）＜f（-1）；∴x＞-1；∴不等式f（x）＜-1的解集为（-1，+∞）．故选：D．根据条件可得出f（-1）=-1，根据f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由f（x）＜-1得出f（x）＜f（-1），从而得到x＞-1，即得出原不等式的解集．考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，∴组合体的体积是：=3π，故选：A．几何体是一个简单组合体，左侧是一个半圆柱，底面的半径是1，高为：4，右侧是一个半圆柱，底面半径为1，高是2，根据体积公式得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，本题是一个基础题，题目的运算量比较小，若出现是一个送分题目．7.【答案】A【解析】解：根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，∵=（17+19+20+21+23）=20，∴由方差的公式S=[（17-20）2+（19-20）2+（20-20）2+（21-20）2+（23-20）2]=4．故选：A．根据程序框图，输出的S是x1=17，x2=19，x3=20，x4=21，x5=23这5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．本题通过程序框图考查了均值和方差，解决问题的关键是通过程序框图能得出这是一个求数据方差的问题，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：∵cosC+cosA=1，∴由余弦定理可得：•+•=1，化简可得：b2=ac，由余弦定理可得；cosB==≥=，∴≤cosB＜1，即：cosB∈[，1）．故选：D．由余弦定理化简已知等式可得b2=ac，由余弦定理，基本不等式可求cosB≥，结合余弦函数的性质即可得解．本题考查了余弦定理、基本不等式以及余弦函数的性质的综合应用，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由题意，可知：对于A：==，整理上式，可得：16-12-3=，这与题干中条件相符合，故选：A．本题可将四个选项中的式子进行转化成与题干中式子相近，再比较，相同的那项即为答案．本题主要考查向量加减、数乘的运算，属基础题．10.【答案】B【解析】解：设BC=a，由点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，所以BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，故选：B．先阅读题意，理解“黄金分割”，再结合几何概型中的面积型可得：BQ=，CP=，所以PQ=BQ+CP-BC=（）a，S△APQ：S△ABC=PQ：BC=（-2）a：a=-2，则在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为=，得解．本题考查了阅读能力及几何概型中的面积型，属中档题．11.【答案】C【解析】解：抛物线C：x2=4y的焦点（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：x2-2x-4=0，由韦达定理可知：x1+x2=2，y1+y2=3由抛物线的性质可知：|AB|=p+y1+y2=2+3=5，点O到直线y=x+1的距离d，d=．∴则△OAB的面积S，S=•|AB|•d=．故选：C．根据抛物线的方程求得焦点坐标，根据直线的倾斜角求得直线方程，代入抛物线方程，利用韦达定理求得x1+x2，由抛物线的性质可知|AB|=p+y1+y2，利用点到直线的距离公式求得O到直线y=x+1的距离d，根据三角形的面积公式S=•|AB|•d，即可求得则△OAB的面积．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当x＞1时，lnx＞0，由f（x）＜g（x）得（kx-2）lnx＜2lnx-x，即kx-2＜2-，即kx＜4-，设h（x）=4-，则h′（x）=-=-，由h′（x）＞0得-（lnx-1）＞0得lnx＜1，得1＜x＜e，此时h（x）为增函数，由h′（x）＜0得-（lnx-1）＜0得lnx＞1，得x＞e，此时h（x）为减函数，即当x=e时，h（x）取得极大值h（e）=4-=4-e，作出函数h（x）的图象，如图，当x→1时，h（x）→-∞，h（3）=4-，h（4）=4-=4-，即A（3，4-），B（4，4-），当直线y=kx过A，B点时对应的斜率k A==-，k B==1-，要使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数，则对应的整数为x=2，和x=3，即直线y=kx的斜率k满足k B＜k≤k B，即1-＜k≤-，即实数k的取值范围是（1-，-]，故选：B．将不等式f（x）＜g（x）转化为kx＜4-，设h（x）=4-，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合确定使f（x）＜g（x）在（1，+∞）上的解集中恰有两个整数为2，3，然后求出对应点的坐标和对应直线y=kx的斜率，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用转化法转化为两个函数图象交点问题，可以数形结合求出对应两点的坐标和斜率是解决本题的关键．13.【答案】2【解析】解：f（2）=ln2，∴f（f（2））=f（ln2）=e ln2=2．故答案为：2．利用分段函数的定义、对数的恒等式即可得出．本题考查了分段函数的定义、对数的恒等式，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：画出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图所示，由，解得点A（3，1），结合图形知，直线2x+y-z=0过点A时，z=2x+y取得最大值为2×3+1=7．故答案为：7．画出约束条件表示的平面区域，结合图形找出最优解，求出z的最大值．本题考查了线性规划的简单应用问题，是基础题．15.【答案】【解析】解：如图，由AP，AB，AC两两垂直，且AP=AB=AC=，得，∴，设三棱锥P-ABC的内切球的半径为r，利用等体积可得：，解得r=．∴三棱锥P-ABC的内切球的表面积为S=．故答案为：．由题意画出图形，利用等体积法求出多面体内切球的半径，则球的表面积可求．本题考查多面体内切球表面积的求法，训练了利用等积法求多面体内切球的半径，是中档题．16.【答案】3【解析】解：函数f（x）=sin（ωx+）+（ω＞0），由2|PQ|=|QR|=，解得|PQ|=，∴T=|PQ|+|QR|=π，∴ω==2，设P（x0，m），则Q（-x0，m），R（T+x0，m），∴|PQ|=-2x0，|QR|=+2x0，∴2（-2x0）=+2x0，解得x0==，∴m=sin（2×）+=+=1，∴ω+m=2+1=3．故答案为：3．根据题意求出函数f（x）的最小正周期T，得出ω的值，再求出m的值，即可求出ω+m的值．本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n=1-a n（n∈N*）①．当n=1时，解得：，当n≥2时，S n-1=1-a n-1．②①-②得：2a n=a n-1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n=log2a n=-n．所以：b n+1=-（n+1），则：，故：=．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）证明：因为AD=2，DC=4，AC=2，所以AD2+DC2=AC2，所以AD⊥CD，又四边形CDEF为矩形，所以CD⊥DE，所以CD⊥面ADE，所以EF⊥面ADE，由线面平行的性质定理得：AB∥EF，所以AB⊥面ADE（2）几何体补形为三棱柱，DE=2，AD=2，AB=2，∠EAD=30°．可得E到底面ABCD 的距离为：2sin60°=，该五面体的体积为棱柱的体积减去三棱锥F-BCH的体积，可得=4=．【解析】（1）证明AD⊥CD，CD⊥DE，推出CD⊥面ADE，然后证明AB⊥平面ADE；（2）转化几何体的体积为棱柱的体积，减去三棱锥的体积，即可求该五面体的体积．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：（1）设“从这6组数据中随机选取4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件A，记这六组数据分别为1，2，3，4，5，6，剩下的两组数据的基本事件有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，其中相邻的有12，23，34，45，56，共5种，所以．（2）后面4组数据是：因为，，，，所以，，所以．当x=10时，，当x=11时，，所以求出的线性回归方程是“恰当回归方程”．（3）由1.4x+9.6≤35，得，故间隔时间最多可设置为18分钟．【解析】（1）由题意结合古典概型计算公式确定概率值即可；（2）首先求得回归方程，然后确定其是否为“恰当回归方程”即可；（3）结合（2）中求得的结论得到不等式，求解不等式即可确定间隔时间．本题主要考查古典概型计算公式，线性回归方程及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2，故椭圆C的方程为+=1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设过点M（0，1）的直线l方程为y=kx+1，（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y可得（k2+2）x2+2kx-3=0，∴x1+x2=-，x1x2=-，∵A1（0，2），A2（0，-2），∴直线A1P的方程为y=x+2=•x+2=（k-）x+2，则直线A2Q的方程为y=x-2=（k+）-2，由，消x可得=，整理可得y===+4=+4=4，直线A1P与A2Q交于点S，则点S恒在直线y=4上【解析】（1）由题意可得，解得a2=4，b2=2得椭圆方程，（2）先设出直线l的方程，再分别求出直线A1P的方程，直线A2Q的方程，联立，消x整理可得y=，根据韦达定理化简整理可得直线y=4 本题考查了椭圆方程的求法，直线和椭圆的位置关系，直线方程的求法，考查了运算求解能力，属于中档题21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-2a，f′（0）=1-2a=2，解得：a=-，∴f（x）=e x+x，则f（0）=1．∴切线方程为y=2x+1；（2）证明：f′（x）=e x-2a，由f′（x）=e x-2a=0，解得x=ln2a．∴当x∈（-∞，ln2a）时，f′（x）＜0，当x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（-∞，ln2a）上单调递减，在（ln2a，+∞）上单调递增．∴f（x）min=f（ln2a）=e ln2a-2a ln2a=2a-2a ln2a．令g（a）=2a-2a ln2a+4a2-4a=2a2-2a-2a ln2a（a＞0）．要证g（a）≥0，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，则h′（a）=1-=，当a∈（0，1）时，h′（a）＜0，当a∈（1，+∞）时，h′（a）＞0，∴h（a）≥h（1）=0，即a-1-ln2a≥0．∴f（x）≥-4a2+4a．【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0），得到关于a的方程，求得a，得到函数解析式，求得f（0），再由直线方程点斜式得答案；（2）把证明f（x）≥-4a2+4a转化为证f（x）的最小值大于等于-4a2+4a，即证a-1-ln2a≥0，令h（a）=a-1-ln2a，求其最小值大于等于0即可．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，是中档题．22.【答案】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2=4，设M （x ，y ）则P （2x -4，2y ）在曲线C 1上，所以（2x -4）2+（2y ）2=4，即（x -2）2+y 2=1，即x 2+y 2-4x +3=0，C 2轨迹的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ+3=0． （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，CM 2=CA 2-（ AB ）2=1-AB 2，① 在直角三角形CMO 中，CM 2=OC 2-OM 2=4-（ AB ）2=4-AB 2，②由①②得AB = ，∴OM =，CM =，k ===．【解析】（1）消去θ得曲线C 1的普通方程为：x 2+y 2=4；设出M 的坐标后利用中点公式得到P 的坐标后代入C 1德轨迹C 2的直角坐标方程，再化成极坐标方程； （2）如图：取AB 的中点M ，连CM ，CA ，在两个直角三角形中，根据勾股定理解得CM ，OM 后可得斜率．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f （x ）= ， ， ＜ ＜ ，，∴x =1时，f （x ）的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时，f （x ）-5＜0的解集为（a -3，1-），∴1--a +3=4- =，∴a =2符合，当2a +2≤5即0＜a ≤时，f （x ）的解集为（ --1，1-），∴1- ++1=2≠． 综上可得a =2． 【解析】（1）去绝对值变成分段函数可求得最小；（2）结合分段函数的图象，按照两种情况讨论可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
广东省湛江一中等“四校”2019届高三上学期第一次联考数学(文)试卷
俯视图侧视图正视图12222“四校”2019学年度高三第一次联考文科数学试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．集合(){}|20M x N x x =∈+≤的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．复数21i i--（i 为虚数单位）等于（ ） A ．2－2i B ．2＋i C ．i D ．13．若“:p x a >” 是 “:1q x >或3x <-” 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ．3a ≤- 4．已知向量()3,4a =-，()1,b m =，若()a ab ⊥-，m =（ ） A ．112 B ．7 C ．－7 D ．112- 5．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S =（ ）A ．11B ．5C ．-8D ．-11 6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．π220+B ．π320+C ．π224+D ．π324+7．一个四面体共一个顶点的三条棱两两相互垂直，其长分别为3,6,1，且四面体的四个顶点在一个球面上．则这个球的表面积为（ ）．A ．16πB ．32πC ．36π D.64π 8．执行如图所示的程序框图，那么输出的S 为（ ）A ．3B ．34 C ．21D ．-2 9．设实数,x y 满足4001x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值与最小值的和为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．710．过抛物线2:12C y x =的焦点作直线l 交C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，若126x x +=，则AB =（ ）A ．16B ．12C ．10D ．811．已知函数2()1f x mx mx =--，对一切实数,()0x f x <恒成立，则m 的范围为（ ） A ．(4,0)- B. (]4,0- C ．(),4(0,)-∞-⋃+∞ D ．()[),40,-∞-⋃+∞12．已知(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，C 为圆心，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ） A ．3 BC．．2 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题．每小题5分，满分20分）13．三张卡片上分别写有数字1、2、3，将它们排成一行，恰好排成顺序为“321”的概率为 ．.14．已知α为锐角，且3cos()25πα+=-，则sin2α= ． 15．定义在R 上的奇函数()f x 满足3()()2f x f x -=+，(2014)2f =，则(1)f -=16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且212a =，11n n n a S S ++=，则n S = ．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．( 本题满分12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为)(,,c b c b a <.满足A a C b B c cos 2cos cos =+. （1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的周长为20，面积为310，求b ，c . 18．(本小题满分12分)空气污染，又称为大气污染，是指因为人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，表现出充足的浓度，达到充足的时间，并所以危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越注重环境保护问题.当空气污染指数（单位：3/g m μ）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别是为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染.2019年8月某日某省x 个监测点数据统计如下：（1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出,x y 的值，并完成频率分布直方图；（2）在空气污染指数分别为50~100和150~200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选择2个监测点，事件A “两个都为良”发生的概率是多少？19．(本小题满分12分)如图，在底面为梯形的四棱锥S A B C D -中，已知//AD BC ，60ASC ︒∠=，AD DC ==2SA SC SD ===．DCBAS（Ⅰ）求证：AC SD ⊥； （Ⅱ）求三棱锥B SAD -的体积．20.(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 上的点到两个焦点的距离之和为32，短轴长为21，直线与椭圆C 交于M 、N 两点。