数理逻辑部分1章练习题参考答案2018
《离散数学》第1章练习题参考答案
2017年
一、填空题
1. 设命题公式)(rqpG，则G的成真赋值是 100 、 101 、 111 .
2. 已知命题公式rqpG)(，则G的析取范式为rqp.
3. 设BA,为两个命题公式，BA当且仅当为重言式BA，BA当且仅当
为重言式BA
.
4. 已知命题公式),,(rqpA的主合取范式为530MMM，则它的主析取范式为
76421
mmmmm
.
5. 已知命题公式),,(rqpA的成真赋值为000,001,010,100,110，则其主合取范式为
357
MMM
.
二、选择题
1. 设命题公式)(pqpG，则使G的真值为1的p，q的取值是 （ C ）
（A） 00 （B） 01 （C） 10 （D） 11
2. 与命题公式)(rqp等值的公式是
（ B ）
（A）rqp)( （B）rqp)( （C）)(rqp （D）)(rqp
3. 命题公式pqp)(是
（ A ）
（A）永真式 （B）永假式 （C）非永真式的可满足式 （D）合取范式
4. 设命题公式)(),(pqHqpG，则G与H的关系是 （ D ）
（A）GH （B）GH （C）GH （D）HG
5. 下列重言蕴涵式中，不正确的是
（ C ）
（A）QPQ （B）QPQ
（C）PQPQ)( （D）QQP)(
三、计算题
1. 将下列命题符号化
（1）李强不是不聪明，而是不用功 （2）如果天不下雨，我们就去郊游
解 （1）设p：李强聪明，q：李强用功.
原命题符号化为：qp
（2）设p：天下雨，q：我们去郊游.
原命题符号化为：qp
2.给出下列公式的真值表
（1）rqprqp)(
（2）)()()(rprqqp
解略.
3. 设命题变项qp,为1， sr,为0，试求出下列命题的真值
（1）)(rqp （2）)()(sqrp
解 （1）101)01(1)(rqp
（2）010)00()01()()(sqrp
4. 判断下列公式的类型
（1）)(rqpp （2）)()(qpqp
解 用真值表知（1）是重言式，（2）是可满足式.
5. 求命题公式rqp)(的主合取范式，并求其成假赋值.
解 用真值表可得642)(MMMrqp.
真值为0的赋值有三种：001，100，110.
6. 求命题公式rqp)(的主合取范式与主析取范式.
解 用真值表法可知
42076531
)(MMMmmmmmrqp
四、证明题
1. 用等值演算法证明qqpp)(为重言式.
证 原式qqppqqpp)()(
qqpqqpp)())((
11pqqp
2. 构造下列推理的证明
（1）前提：qpqssrqr,,,，结论：p；
（2）前提：srspqsrqp,),)((),()(，结论：qp；
(3) 前提：)(,)(,tprrqqp，结论：t.
证 （1）用归谬法证明
①p 结论的否定引入
②qp 前提引入
③q ①②假言推理
④qs 前提引入
⑤s ③④拒取
⑥ sr 前提引入
⑦r ⑤⑥析取三段论
⑧qr 前提引入
⑨q ⑦⑧假言推理
⑩qq ③⑨合取
⑩得出矛盾，因此，p是前提的有效结论.
（2）
① spq)( 前提引入
② s 前提引入
③ pq ①②析取三段论
④ )()(srqp 前提引入
⑤ r 前提引入
⑥ sr ②⑤合取
⑦ qp ④⑥拒取
⑧ )()(pqqp ③⑦合取
⑨ qp ⑧置换
（3）① rrq)( 前提引入
② rq ①化简
③ r ①化简
④ )(tp 前提引入
⑤ tp ④置换
⑥ q ②③析取三段论
⑦qp 前提引入
⑧ p ⑥⑦拒取
⑨ t ⑤⑧析取三段论
2018年高中数学人教A版选修2-1第1章常用逻辑用语检测(A)习题含解析.docx
人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修2-1 习题第一章检测 (A)(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 命题“若A? B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是()A.0B.2C.3D.4解析 :因为原命题为假,所以其逆否命题为假.因为逆命题为真,所以其否命题为真.故共有 2 个真命题 .答案 :B2 若p:x= 2,且y= 3,则p 为 ()A. x≠2 或 y≠3B.x≠2,且 y≠3C.x= 2 或 y≠3D.x≠2 或 y= 3解析 :因为“且”的否定为“或”,所以p:x≠2 或 y≠3.故选 A.答案 :A3 如果命题“p∧q”是假命题,“p”是真命题,那么()A. 命题 p 一定是真命题B.命题 q 一定是真命题C.命题 q 一定是假命题D.命题 q 可以是真命题也可以是假命题解析 :由于“非 p”是真命题 ,则 p 一定是假命题 ,故 A 错 ;由于“p 且 q”是假命题 ,p 是假命题 ,则 q 可能是真命题 ,也可能是假命题.答案 :D4“x=2kπ+ ( k∈ Z)”是“tan x= 1”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 :“tan x= 1”的充要条件为“x=k π+ (k∈Z)”,而“x= 2kπ+ (k∈Z )”是“x=k π+ (k∈Z)”的充分不必要条件,故“x= 2kπ+ (k∈Z)”是“tan x=1”成立的充分不必要条件 .答案 :A5 命题“对任意x∈R ,都有x2≥0”的否定为()A. 对任意 x∈R,都有 x2< 02B.不存在 x∈R,使得 x < 0C.存在 x0∈R ,使得≥0D.存在 x0∈R ,使得<0答案 :D6 设命题p:若a>b ,则ac>bc ,q: < 0? ab< 0,给出下列四个由p,q 构成的新命题 :(1)p∨ q;(2)p∧q;(3) p;(4) q.其中真命题的个数是 ()A.0B.1C.2D.3解析 :由已知可知 p 为假 ,q 为真 ,则(1)p∨q 为真 ;(2) p∧q 为假 ;(3)p 为真 ;(4)q 为假 ,故选 C.答案 :C7 命题“?x∈R ,x2≠x”的否定是 ()A. ? x? R,x2≠xB. ?x∈R ,x2=xC.?x0? R, ≠x0D.?x0∈R,=x 0答案 :D8 已知命题p:?x∈ R,2x2+ 2x+< 0;命题 q:?x∈R ,sin x-cos x=,则下列判断正确的是 ()A. p 是真命题B. q 是假命题C. p 是假命题D.q 是假命题解析 :因为 ? x∈R ,2x2+ 2x+≥ 0,所以 p 为假命题 ;当 x= 时 ,sin x-cos x=-,故命题 q 为真命题 .答案 :D9 下列说法错误的是()22A. 命题“若 x≠1,则 x -3x+2≠0”的逆否命题是“若 x -3x+ 2= 0,则 x= 1”21≠0,则2B.若命题 p:? x∈R ,x +x+p:?x∈R,x +x+ 1=0C.若 p∨ q 为真命题 ,则 p,q 均为真命题2D. “x> 2”是“x -3x+ 2> 0”的充分不必要条件解析 :C 中“p∨ q”为真命题 ,则 p,q 不一定均为真命题,可能一真一假 .答案 :C10“a≤0”是“函数f(x)=| (ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 :函数 f(x)的图象有以下三种情形:a= 0a> 0a< 0由图象可知f(x)在区间 (0,+ ∞)内单调递增时,a≤ 0,故选 C.答案 :C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11 命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是.答案 :圆的切线到圆心的距离等于半径12“存在α,β,使cos(α-β)= cosα-cosβ”是命题 (填“全称”或“特称”),该命题是(填“真”或“假”)命题 .答案 :特称真13 存在实数x0,y0,使得2 + 3≤ 0,用符号“?”或“? ”可表示为,其否定为.答案 :?x0 ,y0∈R ,使 2 + 3 ≤ 0?x,y∈R,都有 2x2+ 3y2> 014 已知命题甲:x≠1,且y≠2,乙:x+y≠3,则甲是乙的.(填“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”)解析 :非甲 :x=1 或 y= 2,非乙 :x+y= 3.∵非甲非乙 ,非乙非甲 ,∴乙甲 ,甲乙,∴甲是乙的既不充分也不必要条件.答案 :既不充分也不必要条件15 若α表示平面,a,b表示直线,给定下列四个命题:①②③a⊥a∥ α,a⊥ b? b⊥ α; a∥ b,a⊥ α? b⊥ α;α,a⊥ b? b∥ α;④a⊥ α,b⊥ α? a∥ b.其中正确命题的序号是.解析 :①错误 ,b 也可能在α内 ; ②正确 ,a∥b,a⊥ α? b⊥α,这是直线与平面垂直的性质;③错误 ,还有可能④正确 ,这是直线与平面垂直的性质定理.b 在α内 ;答案 :②④三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)指出下列命题的构成形式,并写出构成它的命题.(1)36 是 6 与 18 的倍数 ;(2) x= 1 不是方程x2+ 3x-4= 0 的根 .解:(1)是“p∧ q”的形式 ,其中 p:36 是 6 的倍数 ,q:36 是 18 的倍数 .(2)是“ p”的形式 ,其中 p:x=1 是方程 x2+ 3x-4=0 的根 .17(8分)指出下列各题中,p 是 q 的什么条件 :(1)p:(x-2)(x-3)= 0,q:x-2= 0;(2)p:四边形的对角线相等 ,q:四边形是平行四边形 ;(3)p:(x-1)2+ (y-2)2= 0,q:(x-1)(y-2)= 0;(4)在△ABC 中 ,p:A>B ,q:BC>AC.分析要求 p 是 q 的什么条件 ,关键在于分析出p 能否推出 q,q 能否推出p.解 :(1)∵( x-2)(x-3)= 0 x-2= 0(可能 x-3=0),而 x-2= 0? (x-2)(x-3)= 0,∴p是 q 的必要不充分条件 .(2)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形,四边形是平行四边形四边形的对角线相等,∴p 是 q 的既不充分也不必要条件.2222(3)∵(x-1) + (y-2) = 0? x= 1,且 y= 2? (x-1)(y-2)= 0,而 (x-1)(y-2)=0 (x-1) + (y-2) = 0,∴p是 q 的充分不必要条件 .(4)在△ABC 中,大边对大角 ,大角对大边 ,则A>B ? BC>AC.故 p 是 q 的充要条件 .18(9分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假:(1)全等三角形一定相似 ;(2)末位数字是零的自然数能被 5 整除 ;(3)若- + (y+ 1) 2= 0,则 x= 2 且 y=- 1.解:(1)逆命题 :若两个三角形相似 ,则它们一定全等 ,假命题 ; 否命题 :若两个三角形不全等 ,则它们一定不相似 ,假命题 ;逆否命题 : 若两个三角形不相似 ,则它们一定不全等 ,真命题 .(2)逆命题 :若一个自然数能被 5 整除 ,则它的末位数字是零,假命题 ;否命题 :若一个自然数的末位数字不是零,则它不能被 5 整除 ,假命题 ;逆否命题 : 若一个自然数不能被 5 整除 ,则它的末位数字不是零,真命题 .(3)逆命题 :若 x=2 且 y=- 1,则- + (y+1)2 =0,真命题 .否命题 :若- + (y+ 1)2≠0,则 x≠2 或 y≠-1,真命题 .逆否命题 : 若 x≠2 或 y≠-1,则- + (y+ 1)2≠0,真命题 .19(10分)写出下列命题的否定,并判断原命题与其否定的真假:(1)所有自然数的平方是正数 ;(2)任意实数 x 都是方程 5x-12= 0 的根 ;(3)?x∈R,x2-3x+ 3> 0;(4)有些合数不是偶数 .解 :(1)所有自然数的平方是正数,假命题 ;否定 :有些自然数的平方不是正数,真命题 .(2)任意实数x 都是方程 5x-12= 0 的根 ,假命题 ;否定 :?x0∈R ,5x0-12≠0,真命题 .(3)? x∈R,x2-3x+ 3> 0,真命题 ;否定 :?x0∈R ,-3x0+ 3≤ 0,假命题 .(4)有些合数不是偶数,真命题 ;否定 :所有的合数都是偶数,假命题 .20(10分)设命题p:函数f(x)= lg-的定义域为R;命题q:不等式< 1+ax 对一切正实数 x 均成立 .如果命题 p∨ q 为真命题 ,命题 p∧ q 为假命题 ,求实数 a 的取值范围 .分析 p∨ q 为真命题 ,p∧ q 为假命题 ,则说明 p 与 q 中一真一假 .先分别求出 p 和 q 为真命题对应的 a 的取值范围 ,再分 p 真 q 假,p 假 q 真这两种情况讨论 .解 :命题 p 为真命题 ? 函数 f(x)= lg-的定义域为R? ax2-x+a> 0 对任意实数x 均成立 .人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修2-1 习题因为当 a= 0 时 ,-x> 0,其解集不为R,所以 a≠0,所以-解得 a> 2.所以命题 p 为真命题 ? a> 2.命题 q 为真命题?-1<ax 对一切正实数-对x 均成立 ? a>一切正实数 x 均成立 .因为 x>0,所以>1,所以+ 1> 2,所以< 1.所以命题 q 为真命题 ? a≥ 1.根据题意 ,知命题 p 与 q 有且只有一个为真命题,当命题 p 为真命题 ,且命题 q 为假命题时 ,a 不存在; 当命题 p 为假命题 ,且命题 q 为真命题时 ,a 的取值范围是 [1,2] .综上所述 ,命题 p∨ q 为真命题 ,命题 p∧ q 为假命题时 ,实数 a 的取值范围是 [1,2] .。
2018版高考数学理北师大版全国一轮复习练习 第一章 集
基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·山东卷)设m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B.若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D.若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”.答案 D2.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件.答案 A3.设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，则“m∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析mα，m∥βα∥β，但mα，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.答案 B4.(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析显然a＝0时，f(x)＝sin x－1x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－1－x＋a＋sin x－1x＋a＝0.因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件.答案 C5.下列结论错误的是()A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”解析C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－14，不能推出m>0.所以不是真命题.答案 C6.设x∈R，则“1<x<2”是“|x－2|<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由|x－2|<1，得1<x<3，所以1<x<2⇒1<x<3；但1<x<3⇒/1<x<2.所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分不必要条件.答案 A7.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.答案 A8.(2017·汉中模拟)已知a，b都是实数，那么“a>b”是“ln a>ln b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立.答案 B二、填空题9.“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题.答案 210.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件.解析 cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件.答案 充分不必要11.已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________.解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}.∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎨⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (0，3)12.有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误.②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确.答案 ②③能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 如图作出p ，q 表示的区域，其中⊙M 及其内部为p 表示的区域，△ABC 及其内部(阴影部分)为q 表示的区域.故p 是q 的必要不充分条件.答案 A14.(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m ∈R ，“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由y ＝2x ＋m －1＝0，得m ＝1－2x ，则m <1.由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数，所以0<m <1.因此“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件.答案 B15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________.解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A B，∴m＋1＞3，即m＞2.答案(2，＋∞)16.(2017·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号).①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；②命题：“任意x∈R，sin x≤1”的否定是“存在x0∈R，sin x0>1”；③“若x＝π4，则tan x＝1”的逆命题为真命题；④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.解析①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误.对于②，命题：“任意x∈R，sin x≤1”的否定是“存在x0∈R，sin x0>1”，故②正确.对于③，“若x＝π4，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝π4”，其为假命题，故③错误.对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝1log23≠－log32，∴log32与log23不互为相反数，故④错误. 答案②。
2018版高考数学(人教A版理科)一轮复习真题演练集训第一章 集合与常用逻辑用语 1-3 Word版含答案
真题演练集训．命题“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式是( )．∀∈，∃∈*，使得<．∀∈，∀∈*，使得<．∃∈，∃∈*，使得<．∃∈，∀∈*，使得<答案：解析：根据含有量词的命题的否定的概念可知，选.．命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是( )．∀∈*，()∉*且()>．∀∈*，()∉*或()>．∃∈*，()∉*且()>．∃∈*，()∉*或()>答案：解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．．设命题：∃∈，＞，则綈为( )．∃∈，≤．∀∈，＞．∀∈，≤．∃∈，＝答案：解析：因为“∃∈，()”的否定是“∀∈，綈()”，所以命题“∃∈，＞”的否定是“∀∈，≤”．故选.．若“∀∈，≤”是真命题，则实数的最小值为．答案：解析：由题意，原命题等价于≤在区间上恒成立，即＝在上的最大值小于或等于.又＝在上的最大值为，所以≥，即的最小值为.课外拓展阅读利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围以逻辑联结词为工具，与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，根据命题的真假求参数的取值范围在模拟题中也常出现，题型为选择题或填空题．给定命题：对任意实数都有＋＋>成立；：关于的方程－＋＝有实数根．如果“∨”为真命题，“∧”为假命题，那么实数的取值范围为．(－∞，)∪当为真命题时，“对任意实数都有＋＋>成立”⇔＝或(\\(>，,Δ<，))所以≤<.当为真命题时，“关于的方程－＋＝有实数根”⇔Δ＝－≥，所以≤.因为“∨”为真命题，“∧”为假命题，所以，一真一假．若真假，则<<；若假真，则<.综上，实数的取值范围为(－∞，)∪.根据命题的真假求参数取值范围的方法步骤：()求出当命题，为真命题时，所含参数的取值范围；()判断命题，的真假性；()根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．考法总结含分式不等式的命题的否定对于含分式不等式的命题的否定，一定要注意，除了改变不等式的符号，还要加上分式无意义的情况，如果要彻底避免这类问题引发的错误，我们可以先求出命题所表示的范围，再对范围进行否定．设函数()＝的定义域为，若命题：∈与命题：∈有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．由题意，可知，两个命题一真一假，命题等价于{≤<}，命题等价于<)))).()若真假，则需满足(\\(≤<，<()或≥))⇒∈∅.()若假真，则需满足(\\(<或≥，,()≤<))⇒∈∪[)．综上所述，的取值范围为∪[)．点评对于含分式不等式的命题的否定，有两种解法，一是先写出否定形式，再求范围，二是先求范围，再对范围进行否定，但解法一容易遗漏分式无意义的情况，推荐使用解法二进行解题．。
2018高考数学(文科)习题第一章集合与常用逻辑用语提分训练13和答案
………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.已知命题p ：函数y ＝e |x －1|的图象关于直线x ＝1对称，q ：函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则下列命题中的真命题为( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∨(綈q )答案 A解析 由函数y ＝e |x －1|的图象可知图象关于直线x ＝1对称，所以命题p 正确；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝0，所以函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以命题q 正确，p ∧q 为真命题．故选A.2．已知命题p ：抛物线y ＝2x 2的准线方程是y ＝－12，命题q ：若函数f (x＋1)为偶函数，则f (x )的图象关于x ＝1对称，则下列命题是真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q 答案 D解析 抛物线y ＝2x 2，即x 2＝12y 的准线方程是y ＝－18；当函数f (x ＋1)为偶函数时，函数f (x ＋1)的图象关于直线x ＝0对称，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称(注：将函数f (x )的图象向左平移一个单位长度可得到函数f (x ＋1)的图象)，因此命题p 是假命题，q 是真命题，p ∧q ，p ∧(綈q )，(綈p )∧(綈q )都是假命题，p ∨q 是真命题．故选D.3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列的判断正确的是( ) A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真答案 C解析 函数y ＝sin2x 的最小正周期为2π2＝π，命题p 为假．函数y ＝cos x 的图象关于x ＝k π(k ∈Z )对称，命题q 为假，故选C.4．给定下列三个命题：p 1：函数y ＝a x ＋x (a >0，且a ≠1)在R 上为增函数； p 2：∃a ，b ∈R ，a 2－ab ＋b 2<0；p 3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2k π＋β(k ∈Z )． 则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∧p 3 C ．p 1∨(綈p 3) D ．(綈p 2)∧p 3答案 D解析 对于p 1：令y ＝f (x )，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2：a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3：由α＝2k π＋β(k ∈Z )可得cos α＝cos β，但由cos α＝cos β不能得α＝2k π＋β(k ∈Z )，所以p 3是真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.5．下列结论正确的个数是( )①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”； ②若綈p 是q 的必要条件，则p 是綈q 的充分条件； ③“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ”的充分不必要条件．A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 对于①，易知①是正确的；对于②，由“綈p 是q 的必要条件”知，q 可推知綈p ，则p 可推知綈q (注：互为逆否的两个命题的真假性一致)，因此p 是綈q 的充分条件，②正确；对于③，由M >N 不能得到⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ，因此③是错误的．故选C.6．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ，命题q ：∀x ∈(0,1)，log 2x <0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )答案 C解析 由指数函数的图象与性质可知，命题p 是假命题，由对数函数的图象与性质可知，命题q 是真命题，则命题“p ∧q ”为假命题，命题“p ∨(綈q )”为假命题，命题“(綈p )∧q ”为真命题，命题“p ∧(綈q )”为假命题，故选C.7．若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．B ．C ．(2,6)D ．(－6，－2)答案 A解析 由题意知，“∀x ∈R 使得x 2＋mx ＋2m －3≥0”为真命题，则Δ≤0，即m 2－4(2m －3)≤0，所以2≤m ≤6，故选A.8．已知命题p ：∀x 2>x 1,2x 2>2x 1，则綈p 是( ) A ．∀x 2>x 1,2 x 2≤2 x 1 B ．∃x 2>x 1,2 x 2≤2 x 1 C ．∀x 2>x 1,2 x 2<2 x 1 D ．∃x 2>x 1,2 x 2<2 x 1答案 B解析 全称命题的否定为特称命题，因此∀x 2>x 1,2x 2>2x 1的否定为∃x 2>x 1,2x 2≤2 x1.9．给出下列结论：①命题“若綈p ，则q ”的逆否命题是“若p ，则綈q ”；②命题“∃n ∈N *，n 2＋3n 能被10整除”的否定是“∀n ∈N *，n 2＋3n 都不能被10整除”；③命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋3<0”． 其中结论正确的是________． 答案 ②解析 由于逆否命题是把原命题否定了的结论作条件，否定了的条件作结论得到的命题，故①不正确；特称命题的否定是全称命题，故②正确；虽然全称命题的否定是特称命题，但对结论的否定错误，故③不正确．所以只有②正确，故填②.10．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}．下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确的是________．(填所有正确命题的序号)答案 ①②③④解析 命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1正确，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}也正确，∴①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．11. 已知命题p ：|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，命题q ：y ＝(2a －1)x 为减函数，若“p 且q ”为真命题，则a 的取值范围是________．点击观看解答视频答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23解析 由绝对值不等式得|x －1|＋|x ＋1|≥|(x －1)－(x ＋1)|＝2，当且仅当－1≤x ≤1时等号成立，即|x －1|＋|x ＋1|的最小值为2.若不等式|x －1|＋|x ＋1|≥3a 恒成立，则3a ≤2，即a ≤23.若函数y ＝(2a －1)x 为减函数，则0<2a －1<1，即12<a <1，由“p 且q ”为真命题知命题p 、q 均为真命题，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23，12<a <1，即12<a ≤23，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23. 12．已知命题p ：存在实数x ，使得不等式x 2＋2ax ＋a ≤0成立．若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 0<a <1解析 若命题p 是假命题，则不存在实数x ，使得不等式x 2＋2ax ＋a ≤0成立，即对于任意的实数x ，不等式x 2＋2ax ＋a >0恒成立，从而Δ＝4a 2－4a <0，得0<a <1.能力组13.下列说法中，不正确的是( )A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件 答案 C解析 由am 2<bm 2可知m 2>0，故可推出a <b ，选项A 正确；特称命题的否定是全称命题，选项B 正确；由于x >3能推出x >2，但是x >2不能推出x >3，故选项D 正确；p ∨q 是真命题⇔p ，q 中存在真命题，故选项C 错误．故选C.14．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数 答案 A解析 由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数”为真命题，故选A.15．已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是________．答案m≤－2或m>－1解析先求p∧q是真命题时m的取值范围，再求其补集．命题p是真命题时，m≤－1，命题q是真命题时，m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命题时，－2<m≤－1，故p∧q为假命题，则m的取值范围是m≤－2或m>－1.16. 已知下列命题：点击观看解答视频①命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1<3x”；②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“(綈p)∧(綈q)为真命题”；③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件；④“若xy＝0，则x＝0且y＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．答案②解析命题“∃x∈R，x2＋1>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”，故①错误；“p∨q”为假命题说明p假q假，则(綈p)∧(綈q)为真命题，故②正确；a>5⇒a>2，但a>2⇒/a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故③错误；因为“若xy＝0，则x＝0或y＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错误．。
2018版高考数学(江苏专用理科)大一轮复习配套作业第一章集合、常用逻辑用语1-3含答案
第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固题组（建议用时:20分钟)1．已知命题p：所有指数函数都是单调函数,则綈p为________．解析命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数．答案存在一个指数函数，它不是单调函数2．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为错误!；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝错误!对称．则下列结论:①p为真；②綈p为假；③p∧q为假；④p∧q为真．其中结论正确的有________(填序号）．解析p为假命题，q为假命题,∴p∧q为假．答案③3．命题“∃x0∈错误!,tan x0>sin x0”的否定是________．答案∀x∈错误!，tan x≤sin x4．若命题“∃x0∈R，使得x错误!＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵“∃x0∈R，使得x2，0＋(a－1）x0＋1＜0"是真命题，∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即（a－1）2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.答案(－∞，－1）∪（3，＋∞)5．2016年巴西里约奥运会,在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加．设命题p是“甲落地站稳"，q是“乙落地站稳”,则命题“至少有一位队员落地没有站稳"可表示为________．解析命题“至少有一位队员落地没有站稳"包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳,乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳"，故可表示为(綈p）∨（綈q)．或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳"等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q"的否定．答案(綈p）∨（綈q）6．(2017·泰州调研)已知命题p：对任意x∈R，总有｜x｜≥0;q:x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题:①p∧（綈q)；②（綈p)∧q；③（綈p)∧（綈q）；④p∧q.其中真命题有________（填序号）．解析由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p ∧（綈q)是真命题．答案①7．下列命题：①∃x0∈R，e x0≤0；②∀x∈R,2x>x2；③a＋b＝0的充要条件是错误!＝－1；④“a>1，b>1”是“ab>1"的充分条件．其中真命题有________(填序号）．解析因为y＝e x〉0，x∈R恒成立，所以①不正确．因为当x＝－5时，2－5〈(－5）2，所以②不正确．“ab＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件,③不正确．当a>1，b〉1时，显然ab>1，④正确．答案④8．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是________．解析因为命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0,所以命题綈p：∃x0∈R，ax20＋ax0＋1〈0,则a〈0或错误!解得a<0或a>4。
2018版高考数学(理)第一轮总复习习题：第一章集合与常用逻辑用语课时达标检测(一)集合含答案
课时达标检测（一）集合一、选择题1．若集合A＝｛（1，2)，（3,4）}，则集合A的真子集的个数是( ）A．16 B．8C．4 D．3解析：选D 集合A中有两个元素，则集合A的真子集的个数是22－1＝3。
选D。
2．若集合A＝｛－1,0,1｝，B＝{y｜y＝x2，x∈A}，则A∩B＝( ) A．{0｝B．{1｝C．｛0,1｝D．｛0，－1｝解析:选C 因为B＝｛y｜y＝x2，x∈A}＝｛0,1｝，所以A∩B＝｛0，1}．3．已知集合A＝{y|y＝｜x｜－1，x∈R}，B＝{x｜x≥2｝,则下列结论正确的是( ）A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B解析：选C 由题A＝｛y|y≥－1｝,因此A∩B＝｛x|x≥2}＝B.4．设集合M＝{x｜x2＝x｝,N＝{x｜lg x≤0｝,则M∪N＝( ）A．B．(0,1]C．解析:选A M＝｛x|x2＝x｝＝{0，1}，N＝｛x|lg x≤0｝＝｛x|0＜x≤1}，M∪N＝．5．已知集合A＝错误!，则集合A中的元素个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5解析：选C ∵错误!∈Z，∴2－x的取值有－3,－1，1,3，又∵x ∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1,故集合A中的元素个数为4。
6．已知全集为整数集Z.若集合A＝｛x|y＝1－x，x∈Z}，B ＝{x|x2＋2x>0，x∈Z}，则A∩(∁Z B)＝( )A．｛－2｝B．{－1｝C．D．｛－2,－1,0}解析：选D 由题可知，集合A＝{x｜x≤1，x∈Z｝，B＝{x｜x>0或x〈－2，x∈Z｝，故A∩(∁Z B）＝{－2,－1，0｝，故选D。
7．(2017·成都模拟)已知全集U＝R,集合A＝{x｜0≤x≤2}，B＝｛x|x2－1<0｝，则图中的阴影部分表示的集合为( )A．（－∞，1］∩(2，＋∞) B．（－1，0）∪C．解析：选B 因为A＝｛x|0≤x≤2｝,B＝{x｜－1〈x〈1｝，所以A∪B＝{x｜－1〈x≤2｝,A∩B＝{x|0≤x<1}．故图中阴影部分表示的集合为∁(A∪B)（A∩B)＝（－1，0)∪．8．设全集U＝R，已知集合A＝{x|｜x|≤1}，B＝｛x｜log2x≤1｝，则(∁U A）∩B＝（)A．(0,1] B．C．(1,2] D．（－∞，－1]∪解析：选C 由｜x|≤1，得－1≤x≤1,由log2x≤1，得0<x≤2，所以∁U A＝{x|x〉1或x〈－1｝,则（∁U A）∩B＝(1,2]．9．设集合A＝错误!，B＝｛b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1｝，则A∪B＝（)A．｛2，3｝B．｛－1，2，5｝C．{2,3,5｝D．｛－1，2，3,5｝解析：选D 由A∩B＝｛2,－1}，可得错误!或错误!当错误!时,错误!此时B＝｛2,3，－1｝，则A∪B＝{－1，2，3，5｝；当错误!时,错误!此时不符合题意，舍去．故A∪B＝｛－1,2,3,5｝．10．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0},若A⊆B,则实数a的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－∞，－1］C．(－∞，－2）D．(－∞,－2］解析：选B 集合A＝｛x|y＝lg（－x2＋x＋2)｝＝｛x｜－1<x<2},B＝｛x｜x〉a｝，因为A⊆B,所以a≤－1。
[精品]2018高考数学(文科)习题第一章集合与常用逻辑用语提分训练12和答案
………………………………………………………………………………………………时间：45分钟基础组1.下列命题中，真命题是( ) A ．∃x ∈R ，e x ≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件 答案 D解析 ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2有交点，如点(2,2)，此时2x ＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式的性质可知ab >1，∴D 正确，故选D.2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠bB ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 答案 D解析 若p 则q 的逆命题是若q 则p ，故选D.3．有下列命题：①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④答案 D解析 ①否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全是0”，为真．②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ，则m ≥1”． ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1.∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．4．“x 2＋(y －2)2＝0”是“x (y －2)＝0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 x 2＋(y －2)2＝0，即x ＝0且y ＝2，∴x (y －2)＝0.反之，x (y －2)＝0，即x ＝0或y ＝2，x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．5．已知p ：a ≠0，q ：ab ≠0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析ab＝0⇒/a＝0，但a＝0⇒ab＝0，即ab≠0⇒a≠0，因此，p是q的必要不充分条件，故选B.6. 已知命题p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，命题q：函数g(x)＝log a(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则綈p是q的( )点击观看解答视频A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析由p成立，得a≤1，由q成立，得a>1，所以綈p成立时a>1，则綈p是q的充要条件．故选C.7．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析先证“α⊥β⇒a⊥b”，∵α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a，再证a⊥b⇒/α⊥β，举反例，当a∥m时，由b⊥m满足a⊥b，此时二面角α－m－β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β，故选A.8．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0且b ≠0，故ab ＝0，必要性成立；但b ＝0时，a －b i 为实数，充分性不成立，故选B.9．设等比数列{a n }的公比为q ，则“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 D解析 a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，而a 1的正负性未定，故无法判断数列{a n }的单调性，因此“0<q <1”是“{a n }是递减数列”的既不充分也不必要条件．10．有三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； (2)“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题； (3)“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的个数为________． 答案 1解析 (1)真，(2)原命题假，所以其逆否命题也假，(3)易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假．11．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．答案－1解析由x2>1，得x<－1或x>1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1.12．给出下面三个命题：①函数y＝tan x在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b<1，则a>b>1”的逆命题．其中是真命题的是________．(填序号)答案③解析①是假命题，举反例：x＝2π＋π6和π4，tan⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝3 3，tanπ4＝1,2π＋π6>π4，但tan⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6<tanπ4.②是假命题，反例：y＝1x是奇函数，但不过原点．③的逆命题是“若a>b>1，则0<log a b<1”，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．能力组13.给出下列命题：点击观看解答视频①若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a1|＋|a2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝32；②α，β，γ是三个不同的平面，则“γ⊥α，γ⊥β”是“α∥β”的充分条件；③已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝79.其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 对于①，由(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5得a 1<0，a 2>0，a 3<0，a 4>0，a 5<0，取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝(1＋1)5＝25，再取x ＝0得a 0＝(1－0)5＝1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝31，即①不正确；对于②，如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，但平面ABB 1A 1与平面ADD 1A 1不平行，所以②不正确；对于③，因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，所以③正确．14．已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④綈p是綈s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件．则正确命题的序号是( )A．①④⑤B．①②④C．②③⑤D．②④⑤答案 B解析∵q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．∴q，r，s互为充要条件．又p是r的充分不必要条件，∴①s是q的充要条件正确；②p是q的充分不必要条件正确；③r是q 的必要不充分条件错误；④綈p是綈s的必要不充分条件正确；⑤r 是s的充分不必要条件错误，故选B.15．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题答案 A解析对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y, 是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．16．若A：log2a<1，B：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A是B的( )点击观看解答视频A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析解法一：由log2a<1，解得0<a<2；而方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零的充要条件是a－2<0，解得a<2.因为命题“若0<a<2，则a<2”是真命题，而命题“若a<2，则0<a<2”是假命题，所以“0<a<2”是“a<2”的充分不必要条件，所以A是B的充分不必要条件，选A.解法二：由解法一可知，满足条件A的参数a的取值集合为M＝{a|0<a<2}，满足条件B的参数a的取值集合为N＝{a|a<2}，显然M N ，所以A是B的充分不必要条件，选A.。
2018-2019学年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.3 充要条件作业2 北师大版选修1-1
1.2.3 充要条件[A.基础达标]1．x 2＋(y －2)2＝0是x (y －2)＝0的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为x 2＋(y －2)2＝0⇒x ＝0且y ＝2， 所以x (y －2)＝0成立．但由x (y －2)＝0⇒x ＝0或y ＝2，所以x 2＋(y －2)2＝0不一定成立． 故x (y －2)＝0x 2＋(y －2)2＝0.2．平面α∩平面β＝l ，直线a α，直线b β，则p ：“a 和b 是异面直线”是q ：“a 与b 均与直线l 相交且交点不同”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p ：“a 和b 是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l 平行，另一条可能与l 相交，故p 不是q 的充分条件，由a 与b 均与l 相交且交点不同，则a 与b 一定异面，故p 是q 的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4．“ω＝2”是“函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2，故选A.5．“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.a 2－2a ＜0⇔a ∈(0，2)，因为{a |0＜a ＜2}{a |a ＜2}，所以“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的必要不充分条件．6．函数f (x )＝a ＋sin x ＋3cos x 有零点的充要条件为a ∈________．解析：f (x )＝a ＋2sin(x ＋π3)，令f (x )＝0，得sin(x ＋π3)＝－a2，因为－1≤sin(x ＋π3)≤1，所以－2≤a ≤2. 答案：[－2，2]7．已知全集S ，若p ：AB ，q ：∁S B ∁S A ，则p 是q 的________条件．解析：如图，A B ⇒∁S B ∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .故p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．答案：充要8．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，所以由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜12，1＋a ≥1. 所以a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19．求不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件． 解：当a ＝0时，2x ＋1＞0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0⇔a ＞1.所以不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件是a ＞1.10．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .所以命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}．由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.所以命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}．显然集合B A ，即q p ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7. 又a ＞0，所以0＜a ≤2.所以若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有a ＞2.[B.能力提升] 1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >b ⇒/ a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2⇒/ a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．2．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．3．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒/ M＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝Na 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. 答案：既不充分也不必要4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |□x －1x＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x ＞1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．解析：设“□”中的数为a ，由甲的描述知a 为小于6的正整数，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1a ，B ＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，由乙的描述知1a ≤4，由丙的描述知1a ＞12，所以14≤a＜2，再由甲的描述知a ＝1.答案：15．已知p ：x (x －3)＜0，q ：2x －3＜m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3；q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32.令集合A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜m ＋32，在数轴上表示出集合A ，B 如图所示．由于p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即m ＋32≥3，解得m ≥3.6．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R ，且a ≠0)．证明方程f (x )＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.证明：①充分性：若存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0，则b 2－4ac ＝b 2－4a [f (x 0)－ax 20－bx 0] ＝b 2＋4abx 0＋4a 2x 20－4af (x 0)＝(b ＋2ax 0)2－4af (x 0)＞0，所以方程f (x )＝0有两个不等实数根．②必要性：若方程f (x )＝0有两个不等实数根，则b 2－4ac ＞0，设x 0＝－b2a，a ·f (x 0)＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＋c＝b 24－b 22＋ac＝4ac －b 24＜0.所以存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.。
大学数学数理逻辑练习题及答案
大学数学数理逻辑练习题及答案第一题：简述“蕴涵”与“等价”的概念及其区别，并给出一个例子进行说明。
蕴涵和等价是数理逻辑中常用的两个概念，它们主要用于描述命题之间的逻辑关系。
蕴涵是指一个命题可以推出另一个命题，也可以理解为一个命题包含了另一个命题。
记作p→q，读作p蕴涵q。
当p为真时，q必为真；当p为假时，q可以为真也可以为假。
蕴涵关系可以用真值表来表示。
等价是指两个命题具有相同的真值，即当其中一个命题为真时，另一个命题也为真；当其中一个命题为假时，另一个命题也为假。
记作p↔q，读作p等价于q。
等价关系也可以通过真值表来表示。
例子：命题p：如果今天下雨，那么地面湿润。
命题q：地面湿润的话，那么今天一定下雨。
根据上述命题可以得出以下结论：p蕴涵q：如果今天下雨，那么地面湿润。
即p→q。
q蕴涵p：如果地面湿润，那么今天下雨。
即q→p。
p等价于q：今天下雨当且仅当地面湿润。
即p↔q。
以上例子通过逻辑关系中的蕴涵和等价来描述了“下雨”和“地面湿润”之间的关系。
第二题：证明蕴涵的逆否命题成立。
蕴涵的逆否命题是由蕴涵命题转化得到的。
对于蕴涵命题p→q，其逆否命题为非q→非p。
假设p为真，q为假。
根据蕴涵命题的定义，当p为真时，q为假，则非q为真，非p也为真。
所以非q→非p成立。
假设p为真，q为真。
根据蕴涵命题的定义，当p为真时，q为真，则非q为假，非p也为假。
所以非q→非p成立。
假设p为假，q为真。
根据蕴涵命题的定义，当p为假时，q可以为真也可以为假，所以非q为假，非p也为假。
所以非q→非p成立。
假设p为假，q为假。
根据蕴涵命题的定义，当p为假时，q可以为真也可以为假，所以非q为真，非p也为真。
所以非q→非p成立。
综上所述，蕴涵的逆否命题非q→非p成立。
第三题：使用真值表判断以下复合命题的真假，并给出判断步骤：命题：(p∧q)∨(¬p∧¬q)为了判断复合命题的真假，我们可以使用真值表。
真值表的步骤如下：1. 写出各命题变量p和q的所有可能的真值组合。
2018届高三数学理一轮复习课后作业第1章 第3节 简单的
课时作业A组基础对点练1．“∀x∈R,2x－12x＜1”的否定为()A．∀x∈R,2x－12x≥1 B．∀x∈R,2x－12x≤1C．∃x0∈R,2x0－12x0＞1 D．∃x0∈R,2x0－12x0≥1解析：由全称命题的否定是特称命题可得“∀x∈R,2x－12x＜1”的否定为“∃x0∈R,2x0－12x0≥1”．答案：D2．有下列四个命题，其中真命题是() A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2＜nD．∀n∈R，n2＜n解析：对于选项A，令n＝12即可验证其不正确；对于选项C、选项D，可令n＝－1加以验证，均不正确，故选B.答案：B3．(2015·高考湖北卷)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是() A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1解析：特称命题的否定是全称命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．故选A.答案：A4．(2017·山西四校联考)已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x＜3x，命题q：∀x∈(0,1)，log2x＜0，则下列命题为真命题的是()A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )解析：命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x ，为假命题；命题q ：∀x ∈(0,1)，log 2x ＜0，为真命题，所以(綈p )∧q 为真命题．故选C. 答案：C5．(2017·福州质检)命题“∃x 0∈R ，使得f (x 0)＝x 0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，都有f (x )＝x B ．不存在x 0∈R ，使f (x 0)≠x 0 C ．∀x ∈R ，都有f (x )≠x D ．∃x 0∈R ，使f (x 0)≠x 0解析：命题“∃x 0∈R ，使得f (x 0)＝x 0”的否定只需把“∃”改为“∀”，并把结论加以否定，即∀x ∈R ，都有f (x )≠x .故选C. 答案：C6．“a ＜－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1＜0”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1＜0”等价于“(a sin x ＋1)min ＜0”，即“当a ＞0时，－a ＋1＜0，即a ＞1；当a ＜0时，a ＋1＜0，即a ＜－1”，所以“a ＜－1”是“∃x 0∈R ，a sin x 0＋1＜0”的充分不必要条件，故选B. 答案：B7．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2＞lg x 0，命题q ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x ＋1sin x ≥2，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题解析：当x ＝10时，10－2＞lg 10＝1成立，所以命题p 为真命题；因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x ＞0，sin x ＋1sin x ≥2sin x ·1sin x ＝2①，当且仅当sin x ＝1sin x ，即sin x＝1时等号成立．又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x ≠1，所以①中等号不成立，命题q 是假命题，故选C. 答案：C8．已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}，现有以下结论： ①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题； ④命题“綈p 或綈q ”是假命题． 其中正确的是( ) A ．②③ B ．①②④ C ．①③④D ．①②③④解析：∵命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1为真命题，命题q ：x 2－3x ＋2＜0的解集是{x |1＜x ＜2}也为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且綈q ”是假命题，“綈p 或q ”是真命题，“綈p 或綈q ”是假命题，故①②③④都正确． 答案：D9．给出以下四个命题：命题p 1：存在x ∈(0，＋∞)，使不等式3x ＜4x 成立； 命题p 2：不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x ＜log 3x 成立； 命题p 3：对任意的x ∈(0,1)，不等式log 2x ＜log 3x 成立； 命题p 4：对任意的x ∈(0，＋∞)，不等式log 2x ＜1x 成立． 其中的真命题有( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：p 1中取x ＝1即可满足；由对数函数的性质知，p 2为假命题，p 3为真命题；p 4中取x ＝4不等式不成立，故选A. 答案：A10．设命题p ：函数y ＝1x 在定义域上为减函数；命题q ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝3.以下说法正确的是( ) A ．p ∨q 为真 B ．p ∧q 为真 C ．p 真q 假D ．p ，q 均假解析：函数y ＝1x 分别在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，在定义域{x |x ≠0}上不具有单调性，∴命题p 是假命题；由a ＋b ＝1得b ＝1－a ，代入1a ＋1b ＝3并整理得3a 2－3a ＋1＝0，∴Δ＝9－12＜0，∴该方程无解，即不存在a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝3，∴命题q 是假命题，∴p ，q 均假，∴p ∨q 为假，p ∧q 为假．故选D. 答案：D11．命题“存在x 0＞－1，x 20＋x 0－2 018＞0”的否定是________．解析：特称命题的否定是全称命题，故命题“存在x 0＞－1，x 20＋x 0－2 018＞0”的否定是“任意x ＞－1，x 2＋x －2 018≤0”． 答案：“任意x ＞－1，x 2＋x －2 018≤0”12．若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1＜0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：由题意，命题“对任意实数x ，使x 2＋ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝a 2－4×1×1≤0， 解得－2≤a ≤2.法二：若命题“存在实数x ，使x 2＋ax ＋1＜0”是真命题，则Δ＝a 2－4×1×1＞0，解得a ＞2或a ＜－2.故原命题实数a 的取值范围是取其补集，即[－2,2]． 答案：[－2,2]13．若命题p ：存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ＜－2x 2＋1是假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若命题p ：存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ＜－2x 2＋1是假命题，则綈p ：任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，即(2＋a )x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，当a ＝－2时不成立，舍去，则有⎩⎨⎧2＋a ＞0，16－4(2＋a )(a －1)≤0，解得a ≥2.答案：[2，＋∞)14．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x＞1，若“綈q 且p ”为真，则x 的取值范围是________．解析：因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎨⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3，所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 答案：(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)B 组 能力提速练1．(2017·九江调研)下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12 B ．任意x ∈(0，π)，sin x ＞cos x C ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1＞x D ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：对于A 选项：任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故A 为假命题；对于B 选项：存在x 0＝π6，sin x 0＝12，cos x 0＝32，sin x 0＜cos x 0，故B 为假命题；对于C 选项：x 2＋1－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0恒成立，C 为真命题；对于D 选项：x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题． 答案：C2．(2017·太原模拟)已知命题p ：存在x 0∈R ，e x 0－mx 0＝0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．[0,2] C ．R D ．∅解析：若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真，命题p 为假命题，有0≤m ＜e ；命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2.最后要使p ∨(綈q )为假命题，m 的取值范围是0≤m ≤2. 答案：B3．已知命题p ：存在x ∈R ，x 2＋1＜2x ；命题q ：若mx 2－mx －1＜0恒成立，则－4＜m ≤0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．“綈q ”是真命题C ．“p 且q ”为真命题D ．“p 或q ”为真命题解析：对于命题p ，x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题．对于命题q ，若mx 2－mx －1＜0恒成立，则当m ＝0时，mx 2－mx －1＜0恒成立；当m ≠0时，由mx 2－mx －1＜0恒成立得⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，即－4＜m ＜0.因此若mx 2－mx －1＜0恒成立，则－4＜m ≤0，故命题q 是真命题．因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题，“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，选D. 答案：D4．(2017·南昌模拟)已知命题p ：“任意x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“存在x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p 且q ”是假命题，则实数a 的取值范围是______ 解析：当p 为真命题时，a ≥e ；当q 为真命题时，x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.∴“p 且q ”为真命题时，e ≤a ≤4. “p 且q ”为假命题时，a ＜e 或a ＞4. 答案：(－∞，e)∪(4，＋∞)5．已知c ＞0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x ＞1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围是________．解析：由命题p 为真知，0＜c ＜1；由命题q 为真知，2≤x ＋1x ≤52，要使此式恒成立，需1c ＜2，即c ＞12，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12；当p 假q 真时，c 的取值范围是[1，＋∞)．综上可知，c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)。