初三数学最新二次函数复习PPT
初三下学期数学二次函数的图象与性质 知识点精讲 教案 教学设计 课件
初三下学期数学二次函数的图象与性质 知识点精讲
定义与定义表达式：
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二次函数的三种表达式：
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b²2；)/4ax1，x2=(-b±√b²；-4ac)/2a
二次函数的图像：
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质：
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P[-b/2a，(4ac-b²；)/4a]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
【数学中考一轮复习】 二次函数最值应用(含解析)
1 专项训练
二次函数最值应用
结合图象，分两类情形:
（1）最值在顶点位置
如图所示，P为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的顶点，则二次函数的最值（开口向上有最小值，开口向下有最大值）为顶点P的纵坐标abac442.
（2）最值不在顶点位置
如图所示，M（x1，y1），N（x2，y2）为y二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象上的两点，则当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值为y2，最小值为abac442.
具体应结合开口方向，根据M，N，P三个点的位置，通过比较yM，yP，yN，确定二次函数的最值.
如果在实际问题中，还要考虑取值的实际意义，综合进行分析，确定二次函数的最值.
类型一 面积中的最值应用
1.把一根长为120 cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个正方形.若设围成的一个正方形的边长为 x cm.
（1）要使这两个正方形的面积的和等于650 cm2，则剪出的两段铁丝长分别是多少？
（2）剪出的两段铁丝长分别是多少cm时，这两个正方形的面积和最小？最小值是多少？
2.如图所示，在足够大的空地上有一段长为100 m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m的
2 木栏.
（1）若AD＜20 m，所围成的矩形菜园的面积为450 m2，求所利用的旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值.
3.如图所示，为美化中心城区环境，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地ABCD上修建公园其中要留出宽度相等的三条小路，且两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分建成花圃.
（1）若花圃总面积为448平方米，求小路宽为多少米？
（2）已知某园林公司修建小路的造价y1（元）和修建花圃的造价y2（元）与修建面积s（平方米）之间的函数关系分别为y1＝40s和y2＝35s＋20000.若要求小路宽度不少于2米且不超过4米，求小路宽为多少米时修建小路和花圃的总造价最低？
2023年中考数学总复习专题8二次函数与矩形存在性问题(学生版)
专题8二次函数与矩形存在性问题
1.矩形的判定:
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角为直角的四边形是矩形．
2.题型分析
矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“一个角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：
因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解．
确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．下：
同时，也可以先根据A、B的坐标求出直线AB的解析式，进而得到直线AD或BC的解析式，从而确定C或D的坐标.
【例1】．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．
（1）求a，c的值；
（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；
（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【例2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
第 1 页 共 11 页 九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
【基础知识回顾】
一、二次函数与一元二次方程：
二、二次函数解析式的确定：
1、设顶点式，即：设
2、设一般式，即：设 3、设交点式，即：设 【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 以y轴为对称轴，可设 顶点在x轴上，可设 抛物线过原点
等】
三、二次函数的应用
1、实际问题中解决最值问题：
2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题
【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围
2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】
【重点考点例析】
考点一：二次函数的最值
例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线 上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （ ）
A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为
对应训练
1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（ ）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
考点二：确定二次函数关系式
例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
人教版初三数学上册 二次函数之平移 讲义
二次函数之平移
解题技巧：左加右减对x，上加下减在末尾
例1、将二次函数y=-x2+3的图象向下平移5个单位后，再向右平移1个单位，所得图象的解析式为（ ）
A、y=-(x+1)2+2 B、y=-(x-1)2+2 C、y=-(x+1)2-2 D、y=-(x-1)2-2
例2、将二次函数y=3x2-1的图象向下平移1个单位后，再向左平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）
A、y=3(x+2)2-2 B、y=3(x+2)2+2 C、y=3(x-2)2-2 D、y=3(x-2)2+2
1、将抛物线y=3x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（ ）
A、y=3(x+2)2+1 B、y=3(x+2)2-1 C、y=3(x-2)2+1 D、y=3(x-2)2-1
2、将抛物线y=(x-1)2+3先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是（ ）
A、y=(x-2)2 B、y=(x-2)2+6 C、y=x2+6 D、y=x2
3、将二次函数y=2x2+1的图象向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，所得图象的解析式为（ ）
A、y=2(x-3)2+3 B、y=2(x+3)2+3 C、y=2(x+3)2-3 D、y=2(x-3)2-3
4、将二次函数y=-2x2-4的图象向上平移5个单位后，再向右平移3个单位，所得图象的解析式为（ ）
A、y=-2(x+3)2-1 B、y=-2(x+3)2+1 C、y=-2(x-3)2+1 D、y=-2(x-3)2-1
5、将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2(x+3)2+4（ ）
人教版初三数学上册 二次函数与一次函数共存问题 讲义
二次函数与一次函数共存问题
解题技巧：了解二次函数和一次函数的系数分别控制什么
二次函数2yaxbxc
① a：
② b：
③ c：
一次函数ykxb
① k：
② b：
例1、如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（ ）
例2、在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为（ ）
1、在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）
2、函数y=ax+1与y=ax2+bx+1（a≠0）的图象可能是（ ）
3、函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
4、二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一直角坐标系中图象大致是（ ）
5、在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
6、如图所示，在同一直角坐标系内，二次函数y=ax2+(a+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图像正确的是（ ）
知识点三、abc与0的大小比较
例1、如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A、a+b+c<0
B、4a+b>0
C、c=0
D、abc>0
例2、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）
A、ac>0
B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3
C、2a-b=0
D、当x>0时，y随x的增大而减小
例3、如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则一次函数y=ax+b的图象不经过（ ）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A、a<0
B、b2-4ac<0
人教版初三数学下册 中考复习 二次函数
中考复习之二次函数
二次函数的一般式为y=ax2+bx+c(a≠0)
a控制开口方向
a>0，开口向上；a<0，开口向下。|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大
b控制顶点坐标
顶点坐标公式24(,)24bacbaa
顶点坐标的横坐标决定对称轴，顶点坐标的纵坐标决定最值
对称轴在y轴左边，a、b同号；对称轴在y轴右边，a、b异号，对称轴刚好是y轴，b=0。口诀：左同右异
c控制二次函数与y轴的交点
二次函数与y轴一定有一个交点，这个交点坐标为（0,c）
当c>0，二次函数与y轴交于正半轴
当c<0，二次函数与y轴交于负半轴
当c=0，二次函数经过原点（0,0）
二次函数x轴的交点由Δ控制
Δ>0，二次函数与x轴有2个交点
Δ=0，二次函数与x轴有1个交点
Δ_____，二次函数与x轴有交点
Δ<0，二次函数与x轴无交点
求函数与x轴的交点=>令y=0
求函数与y轴的交点=>令x=0
1、抛物线y＝x2﹣4x+4的顶点坐标为（ ）
A．（﹣4，4） B．（﹣2，0） C．（2，0） D．（﹣4，0）
2、抛物线y＝x2+x﹣1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣ D．直线x＝
3、抛物线y＝x2+1的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝1
4、抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
5、把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
6、函数y＝kx2﹣4x+2的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜2 B．k＜2 且 k≠0 C．k≤2 D．k≤2 且 k≠0
2023年华东师大版备考 中考数学二轮复习 专题14 二次函数
华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题14 二次函数
一、综合题
1．（2022九上·青田期中）如图，抛物线𝑦=−𝑥2+2𝑥+3与𝑥轴交于点𝐴，点𝐵，与𝑦轴交于点𝐶，点𝐷与点𝐶关于𝑥轴对称，点𝑃是抛物线上的一个动点.
（1）求直线𝐵𝐷的解析式；
（2）当点𝑃在第一象限时，求四边形𝐵𝑂𝐶𝑃面积的最大值，并求出此时𝑃点的坐标；
（3）在点𝑃的运动过程中，是否存在点𝑃，使△𝐵𝐷𝑃是以𝐵𝐷为直角边的直角三角形？若存在，求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由.
2．（2022九上·莲都期中）已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.
（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由.
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（y﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围.
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（14，y1），D（34，y2）都在二次函 数图象上，试比较y1与y2的大小.
3．（2022九上·定海期中）设抛物线𝑦=(𝑥−𝑚)(𝑥−𝑛)（m、n是实数）.
（1）若𝑚=2，𝑛=1，求二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值；
（2）当𝑚=−3，𝑛=1时，已知抛物线𝑦=(𝑥+3)(𝑥−1)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移a（𝑎>0）个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，求a的值；
（3）当0<𝑚<𝑛<1时，已知二次函数的图象经过(0，𝑝)，(1，𝑞)两点（p，q是实数），求证：0<𝑝𝑞<116.
4．（2022九上·南湖期中）如图，二次函数𝑦1=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与一次函数𝑦2的图象交于点𝐴(𝑎，1)，𝐵(3，4).
2021年九年级数学中考复习——函数专题：二次函数实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——函数专题：二次函数实际应用（二）
1．为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克．
（1）预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？
（2）某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时．该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？
2．一种工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．
（1）当每件售价130元时，获得的利润为多少元？
（2）每天获得利润为W元，求每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？
3．某商品的成本为20元，市场调查发现：当售价为180元时，每周可售出50件，每涨价10元每周少售出1件．现要求每周至少售出35件，且售价不低于180元．
（1）设售价为x元（x为10的整数倍），每周利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）当售价为多少时，（销售这种商品）每周的利润最大？最大利润是多少？
（3）若希望每周利润不得低于10400元，则售价x的范围为 ．
4．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．求OD的长．
第22章 二次函数复习课(第2课时)-人教版九年级数学上册课时互动训练
第22章 二次函数复习课（第2课时）
互动训练
知识点一：二次函数的实际应用
1．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2.
1题图 2题图 3题图
2．如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m时，水面的宽为_____m．
3．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过 米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
4．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（x﹣40）（500﹣10x） B．y＝（x﹣40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D．y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]
5．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（ ）
A．60元 B．70元 C．80元 D．90元
6．北中环桥是山西省省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )