2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3.1.1函数及其表示方法第1课时函数的概念课件人教B版必修一
1已知 fx的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 fa 的值.
2求 fga的值应遵循由里往外的原则. 注意：用来替换表达式中 x 的数 a 必须是函数定义域内的值， 否则函数无意义.
[变式训练 2] 已知 f(x)＝1－x－x2. (1)求 f12－f－12的值； (2)求 f(t－1)； (3)若 f(a)＝1，求 a 的值．
3解方程组法或消元法：在已知式子中，含有关于两个不 同变量的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要依据两个 变量的关系，建立一个新的关于两个变量的式子，由两个式子建 立方程组，通过解方程组消去一个变量，得到目标变量的解析式.
[变式训练 4] 已知 f(x－1)＝x2－2x＋7. (1)求 f(2)的值； (2)求 f(x)和 f(x＋1)的函数关系式．
[ 变 式 训 练 3] 函数 f(x) ＝ x－12 0 ＋ x＋2 的 定 义 域 为 ( C)
A.－2，12
B．[－2，＋∞)
C.－2，12∪12，＋∞
D.12，＋∞
解析：要使函数有意义，则x－12≠0， 所以x≠12，
x＋2≥0，
x≥－2，
所以 f(x)的定义域为－2，12∪12，＋∞，故选 C.
判断某一对应是否为函数的方法,判断从集合 A 到集合 B 的 对应法则是否为函数，一定要以函数概念为准则.要注意对应法 则对于 A 中元素是否有意义，同时要注意对特殊值的分析.
[变式训练 1] 对于函数 y＝f(x)，以下说法正确的有( B )
①y 是 x 的函数；
②对于不同的 x，y 的值也不同；
1．下列对应是从集合 M 到集合 N 的函数的是( C ) A．M＝R，N＝{x∈R|x>0}，f：x→|x| B．M＝N，N＝N*，f：x→|x－1| C．M＝{x∈R|x>0}，N＝R，f：x→x2 D．M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→ x
解析：对于 A，集合 M 中 x＝0 时，|x|＝0，但集合 N 中没 有 0；对于 B，集合 M 中 x＝1 时，|x－1|＝0，但集合 N 中没有 0；对于 D，集合 M 中 x 为负数时，集合 N 中没有元素与之对应； 分析知 C 中对应是集合 M 到集合 N 的函数．
2．下列四组函数中，表示同一函数的是( B ) A．f(x)＝ x2，g(x)＝x B．f(x)＝x，g(x)＝3 x3 C．f(x)＝( x)2，g(x)＝|x| D．f(x)＝x，g(x)＝xx2
解析：根据同一函数的判断标准判断，即定义域相同，对应 法则也相同．
(4)如果函数 f(x)满足方程 aafa(xx)2＋－f11x＝ax，x∈R 且 x≠0，a 为常数且 a≠±1，则 f(x)＝_____a_2_－__1_x__________.
[解析] (1)法一 因为 f(x＋1)＝x2－x＋1＝(x＋1)2－3(x＋1) ＋3，令 x＋1＝t，所以 f(t)＝t2－3t＋3，即 f(x)＝x2－3x＋3.
2．函数的定义域与值域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，_x___称为自变量，__y__称为因变 量，__自__变__量__取值的范围(即数集 A)称为这个函数的定义域．所 有函数值组成的集合__{_y_∈__B__|y_＝__f_(x_)_，__x_∈__A_}____称为这个函数
的值域．
[答一答] 1．函数的三要素是什么？ 提示：定义域、值域、对应法则． 2．如何判断两个函数是否相同？
1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析 式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：1负 数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；2分 式中分母不能为 0；3零次幂的底数不为 0；4如果 fx由几部 分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合； 5如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实 际情况.,2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组 的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表 示.
较系数得kkb2＝＋2b，＝－1，
所以kb＝＝1－2，2
或 kb＝＝－1＋
2， 2，
所以 f(x)＝ 2x＋1－ 2或 f(x)＝－ 2x＋1＋ 2.
(4)因为 af(x)＋f1x＝ax， 用1x替换上式中的 x 得：af1x＋f(x)＝ax. 将其看成含 f(x)、f1x的方程．
由aaff1xx＋＋ff1xx＝＝aaxx，，
类型四
求函数的解析式
[例 4] (1)已知 f(x＋1)＝x2－x＋1，则 f(x)＝__x2_－__3_x_＋__3___；
(2)如果 fx－1x＝x＋1x2，则 f(x＋1)＝_____(_x_＋__1_)_2＋__4_____； (3)如果 f[f(x)]＝2x－1，则一次函数 f(x)＝ _____2_x_＋__1_－___2_或__－___2_x_＋__1_＋____2 _______；
解：(1)f(2)＝f(3－1)＝9－2×3＋7＝10. (2)方法一：f(x)＝f[(x＋1)－1] ＝(x＋1)2－2(x＋1)＋7＝x2＋6， f(x＋1)＝f[(x＋2)－1] ＝(x＋2)2－2(x＋2)＋7＝x2＋2x＋7.
方法二：f(x－1)＝x2－2x＋7＝(x－1)2＋6， ∴f(x)＝x2＋6， f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7. 方法三：设 t＝x－1(t∈R)，则 x＝t＋1(t∈R)， ∴f(t)＝(t＋1)2－2(t＋1)＋7＝t2＋6， 故 f(x)＝x2＋6. f(x＋1)＝(x＋1)2＋6＝x2＋2x＋7.
第三章
函数
3．1 函数的概念与性质
3．1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
[课程目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的要素；2.会 求一些简单函数的定义域和值域；3.掌握用换元法和代入法求函 数解析式这一常用方法．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点
提示：两个函数只有当定义域与对应关系都分别相同时， 两个函数才相同．
类型一
函数的定义
[例 1] 已知集合 M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四
个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|.其中能
构成从 M 到 N 的函数的是( D )
A．①
B．②
C．③
D．④
பைடு நூலகம்型三
求函数的定义域
[例 3] 求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋＋112－ 1－x；
(2)y＝|xx＋|－1x.
[ 解] (1) 要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
x＋1≠0， 1－x≥0，
即xx≠ ≤－ 1. 1，
∴函数的定义域为{x|x≤1，且 x≠－1}．
(2)要使函数有意义，必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x<0. ∴函数的定义域为{x|x<0}．
[解析] 对应关系若能构成从 M 到 N 的函数，需满足：对 M 中的任意一个数，通过对应关系在 N 中都有唯一的数与之对 应．
①不能构成从 M 到 N 的函数：当 x＝4 时，y＝42＝16∉N； ②不能构成从 M 到 N 的函数：当 x＝－1 时，y＝－1＋1＝ 0∉N； ③不能构成从 M 到 N 的函数：当 x＝－1 时，y＝－1－1＝ －2∉N； ④能构成从 M 到 N 的函数：当 x＝±1 时，y＝|x|＝1∈N， 当 x＝2 时，y＝|x|＝2∈N，当 x＝4 时，y＝|x|＝4∈N.
求函数值(式)
[例 2] 若 f(x)＝11－＋xx(x≠－1)，求 f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，
f[f(2)]．
[解] f(0)＝11－ ＋00＝1; f(1)＝11－ ＋11＝0； f(1－a)＝11－ ＋11－ －aa＝2－a a(a≠2)； f[f(2)]＝11－ ＋ff22＝11－ ＋1111－ ＋ － ＋2222＝2.
法二 令 t＝x＋1，则 x＝t－1，于是可得 f(t)＝(t－1)2－(t－1)＋1＝t2－3t＋3， 所以 f(x)＝x2－3x＋3.
(2)因为 fx－1x＝x＋1x2＝x2＋2＋x12 ＝x2－2＋x12＋4＝x－1x2＋4， 所以 f(x)＝x2＋4.所以 f(x＋1)＝(x＋1)2＋4.
(3)因为 f(x)为一次函数，所以设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 所以 f[f(x)]＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝2x－1，比
③f(a)表示当 x＝a 时函数 f(x)的值，是一个常量；
④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：①③正确，②是错误的，对于不同的 x，y 的值可以
相同，这符合函数的定义，④是错误的，f(x)表示的是函数，而
函数并不是都能用具体的式子表示出来．
类型二
解：(1)f12－f－12 ＝1－12－122－1－－12－－122 ＝1－12－14－1＋12－14＝－1.
(2)f(t－1)＝1－(t－1)－(t－1)2＝－t2＋t＋1. (3)f(a)＝1－a－a2， 因为 f(a)＝1，所以 1－a－a2＝1， 所以 a2＋a＝0，所以 a＝0 或 a＝－1.
① ②
①×a－②得(a2－1)f(x)＝a2x－ax. 因为 a≠±1，所以 f(x)＝aaa2x－2－11x.
1直接法代入法：知道 fx的解析式，求 fgx的解析式， 直接将 gx代入即可.
2换元法有时可用“配凑法”：已知函数 fgx的解析式 求 fx的解析式可用换元法或“配凑法”，即令 gx＝t，反解 出 x，然后代入 fgx中求出 ft，从而求出 fx.
函数的概念
[填一填]
1．函数的定义
一般地，给定两个非空实数集 A 与 B，以及对应关系 f，如 果对集合 A 中的_每__一__个__实__数__x__，在集合 B 中都有_唯__一__确__定__的_
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课件：3.1.1+第2课时+函数的概念(二)
3.1.1 函数的概念第2课时 函数的概念(二)必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能必备知识·探新知同一个函数 基础知识知识点1前提条件__________相同____________完全一致结论这两个函数是同一个函数定义域 对应关系思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．知识点2常见函数的定义域和值域a>0 a<0思考2：求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时为什么分a>0和a<0两种情况？基础自测××√2．(2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x 轴的直线x ＝a ，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D 中图象能表示y 是x 的函数．DA4．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．{y |－1≤y ≤1}B ．RC ．{y |2≤y ≤3}D ．{－1,0,1}[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．D xx <22≤x ≤3x >3y－101关键能力·攻重难题型一 函数的值域函数y ＝－x 2＋1，－1≤x <2的值域是( )A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．[0,1]D ．[1,5)[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系． B题型探究[解析] 由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，可知当x＝2时，y min＝－4＋1＝－3；当x＝0时，y max＝1，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．[归纳提升] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．B[解析] A中x≥0，所以y≥0；B中x>0，所以y>0；C中x≠0，所以y≠0；D中x∈R，所以y≥1.题型二 同一函数[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．[归纳提升] 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．D(1)若函数f (x )的定义域为(－1,2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为_______________.(2)若函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f (x )的定义域为______________.(3)若函数f (2x ＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f (x －1)的定义域为____________.(－1,5) 题型三 复合函数、抽象函数的定义域例 3 (0,6)[分析] (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x ＋1的取值范围即为f(x)的定义域．(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．[归纳提升] 函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．【对点练习】❸ (1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．[解析] (1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．函数概念理解有误设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是( ) A．0B．1C．2D．3B例 4误区警示[错解] 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．[错因分析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x 在值域中是否有相应的y值与之对应．[正解] 图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B．[方法点拨] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．学科素养2．配方法求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．例 6[分析] 这种题型，我们常利用配方法把它们化成y＝a(x＋b)2＋c的形式来求函数的值域．[解析] ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且y min＝－12；当x＝－2时，y取最大值，且y max＝3.故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．[归纳提升] 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．课堂检测·固双基素养作业·提技能。
高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示
第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。
如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。
函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。
2020_2021学年新教材高中数学3.1.3函数的表示方法ppt课件新人教A版必修第一册
B．[－1,1] C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．{2}∪[－1,1]
解析：若x∈[－1,1]，则有f(x)＝2∉[－1,1]， ∴f(2)＝2； 若x∉[－1,1]，则f(x)＝x∉[－1,1]， ∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.
15．(15分)已知函数f(x)＝
解析：注意理解两坐标轴s，t的含义，这里s是指距起点的距 离，不是路程的累加，结合题意可知C符合．故选C.
6．已知f11－ ＋xx＝x，则f(x)＝( B ) x＋1 1－x
A.x－1 B.1＋x
1＋x
2x
C.1－x D.x＋1
解析：令11－ ＋xx＝t，则x＝11－ ＋tt，故f(t)＝11－ ＋tt，即f(x)＝11－ ＋xx.
∴f(x)＝11，－0x，≤－x≤22<，x<0.
(2)函数f(x)的图象如图所示： (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
——能力提升——
14．(5分)已知函数f(x)＝
2，x∈[－1，1]， x，x∉[－1，1]，
若f[f(x)]＝2，则
x的取值范围是( D ) A．∅
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 第18课时 函数的表示方法
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1.了解图象法是直观表示函数的一种方法； 2.初步掌握函数解析式的求法； 3.了解简单的分段函数及应用.
——基础巩固——
一、选择题(每小题5分，共40分) 1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则该一次函数的解
4．函数f(x)＝|xx|的图象是( C ) 解析：由于f(x)＝|xx|＝1－，1x，>0x<，0， 所以其图象为C.
高一上数学必修一第三章《3.1函数的概念与性质》知识点梳理
高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。
【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。
一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。
【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。
以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。
医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。
高中数学新教材必修一第三章 《函数的概念与性质》全套课件
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √
5、对于不同的x , y的值也不同
×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
巩固练习
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x|
（2）|y|=x
（3） y=x 2
（4）y2 =x
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1
2x
0y 2
x
2
D
0
2x
学习新知
初中我们已知接触过函数的三种表示方法：解析法、列表法和图 象法
问题 2 某电气维修公司一个工人的工资关于天数 d 的函数 w=350d. ②定义域{1,2,3,4,5,6}
学习新知 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点。
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷 大”。满足x≥ a,x>a ,x ≤b, x<b的实数的集合分别表示 为[a, +∞)、(a, +∞)、(-∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况
时间（年）y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
请仿照前面的方法描述恩格尔系数r和时间（年）y的关系。
对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对
应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应， 那么就称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x) , x∈A
2020人教版新课程第三章3.1.1函数的概念(1)
思考2：如何根据该图确定这一天内任一时刻tｈ的空气质量指数 （ＡＱＩ）
的Ｉ 值？ 思考3：你认为这里的Ｉ是t的函数吗？
是，t的变化范围是 A3 {t | 0 t 24} ，I的范围是B3 {I | 0 I 150}
问题4
W 的变化范围是数集
B２＝｛３５０，７００，１０５０，１４００，１７５０，２１００｝．
对于数集A２中的任一个工作天数t，按照对应关系②，在数集B２ 中都有唯一确定的工资W 与它对应． 问题１和问题２中的 函数有相同的对应关系， 你认为它们是同一个函数吗？为什么？
不是。自变量的取值范围不一样。
问题３ 图３．１-１是北京市２０１６年１１月２３日的空气质量指数 （ＡｉｒＱｕａｌｉｔｙＩｎｄｅｘ，简称ＡＱＩ）变化图．
问题２ 某电气维修公司要求工人每周工作至少１天，至多不超过６ 天．如果公司确定的工资标准是每人每天３５０元，而且每周付一次工 资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资 W （单位：元）是他工作天数d的函数吗？
显然，工资W 是一周工作天数t 的函数，其对应关 系是 W＝３５０d． ② 其中，t的变化范围是数集A２＝｛１，２，３，４，５，６｝，
a＞0
a＜0
x
x→ ax2＋bx＋c
xk x
R
R
R
{x|x≠0}
R
{y |
y
4ac b2 }
4a
{y |
y
4ac b2 } 4a
{y|y≠0}
例. 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量 之间的对应关系，可以广泛地用于刻画同一类事物中的变量关系和规律。 例如，正比例函数 y kx(k 0)可以用来刻画匀速运动中的路程与时间的关系、 一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等。
河北省2020年新高一数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结(人教版)
2020年新高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。
2.函数问题的共同特征：①定义域、值域均为非空数集；②定义域和值域间有一个对应关系；③对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数与之对应。
3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号f 统一表示对应关系。
【注】函数符号()y f x =是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。
4.函数定义一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
5.函数的三要素：①定义域；②对应关系；③值域。
6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是由它的定义域和对应关系决定的。
（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范围。
如y =，则默认定义域是{}0x x ≠（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：()s t v t = ,隐含着0t ≥。
6.几个特殊函数的定义域和值域（1）正比例函数()0y kx k =≠，定义域和值域都为全体实数R。
（2）一次函数()0y kx b k =+≠，定义域和值域都为全体实数R。
（3）反比例函数()0k y k x=≠，定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠。
（4）一元二次函数()20y ax bx c a =++≠，定义域为R。
①当0a >时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；②当0a <时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
2021_2022学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.1.2第1课时函数的表示法课件新人教A
2．已知 f2x－1 ＝2x＋3，则 f(6)的值为(
)
A．15 B．7 C．31 D．17
【解析】选 C.令x2 －1＝6，则 x＝14， 则 f(6)＝2×14＋3＝31.
3．若函数 f(x)满足 f(3x＋2)＝9x＋8，则 f(x)＝________．
【解析】方法一：因为 f(3x＋2)＝9x＋8＝3(3x＋2)＋2，所以 f(x)＝3x＋2. 方法二：设 t＝3x＋2，则 x＝t－3 2 ， 所以 f(t)＝9×t－3 2 ＋8＝3t＋2. 所以 f(x)＝3x＋2. 答案：3x＋2
x2，x≤－2， M(x)＝－x＋2，－2<x<1，
x2，x≥1.
画含限制条件的函数图象的步骤 (1)画出初始函数的图象． (2)根据已知的限制条件判断在每个范围内的图象是否符合题意． (3)不在区域内的图象或不满足限制条件的图象改为虚线或不画．
素养发展·创新应用
创新拓展 待定系数法求解析式(数学运算) 【典例】一辆中型客车的营运总利润 y(单位：万元)与营运年数 x(x∈N)的变化关 系如表所示，
基础类型二 作函数的图象(直观想象) 【典例】作出下列函数的图象，并指出其值域： (1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)； (2)y＝2x (－2≤x≤1，且 x≠0). 【解析】(1)用描点法可以作出所求函数的图象如图 1 所示．由图可知 y＝x2＋x(－ 1≤x≤1)的值域为－14，2 . (2)用描点法可以作出函数的图象如图 2 所示． 由图可知 y＝2x (－2≤x≤1，且 x≠0)的值域为(－∞，－1]∪[2，＋∞).
答案：－x2＋12x－25
常见的函数的解析式 (1)一次函数：y＝kx＋b，k≠0； (2)正比例函数：y＝kx，k≠0； (3)反比例函数：y＝kx ，k≠0； (4)一元二次函数：
高中数学第3章函数3.1函数的概念与性质3.1.1第2课时函数的表示方法bb高一第一册数学
·
结
探
提
新
素
知
A．y＝－14x2＋1
B．y＝14x2－1
养
合
作 探
C．y＝4x2－16
D．y＝－4x2＋16
课 时
究
分
层
释 疑
B [把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．]
作 业
难
·
返
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情
4．(教材P93练习A第8题改编)下列给出的式子是分段函数的是 课
合 作
(3)分段函数由几个函数构成． ( )
探
究
x＋1，x≤1，
释 疑
(4)函数f(x)＝－x＋3，x>1 是分段函数．
(
难
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第十三页，共六十五页。
课 堂 小 结
)提
素
)养
课 时 分 层
)作
业
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·
·
情
课
景
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
堂
导
小
学
x
1≤x<2 2 2<x≤4
·
提
新
素
知
所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
养
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·
合 作 探 究
释
即aa2b＝＋4b，＝8，解得ab＝ ＝382，或ba＝＝－－82.，
课 时 分 层 作
疑
业
难
所以f(x)＝2x＋83或f(x)＝－2x－8.
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第二十九页，共六十五页。
新教材人教版高中数学必修第一册 第三章 知识点总结
必修第一册第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。
（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
3．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b);（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。
（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点）（5）3.2 函数的基本性质⊆: 1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D I①∀ x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。