最短路径问题
三、 ? 目标分析
（1）知识目标： 能利用轴对称、平移 变化解决简单的 最短路径问题。 （2）能力目标： 将实际问题中的 “地点”“河”“桥” 等抽象为数学中的 “点”“线”“线段 ”，使实际问题 数学化。 （3）情感目标： 感受数学在实际生活中的应用，提高 学生学习数学的兴趣。
教学重点： 将实际问题转化为数学问题，运用轴对称 和平移的方法找出问题中的最短路径。
一：以史创境，引趣入题
五
、
二：问题引领，层层递进
教
三：学以致用，链接中考
学
四：触类旁通，合作探究
过
五：变式训练，体验成功
程
六：小结反思，作业延伸
一：以史创境，引趣入题
一、“将军饮马”背景：相传，古希腊亚历
山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位 将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题 .
二、“将军饮马”问题：（如图）将军从
图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B地。怎样选择饮马地点，才能使路程最短？ 精通数学、
物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题。这 个问题后来被称为“将军饮马问题”。
设计 意图：
通过设问 唤起学生 的兴趣， 激发学生 探寻的欲 望，把学 生引领到 研究的航 道上来。
·
B′
点C即为饮马地点
设计 意图：
提示作图 方法，解 决问题2.
l
二：问题引领，层层递进
设计
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC 意图：
最短吗？
证明：如图，在直线 l上任取一点 C′（与 点C 不重合），
作图后的 证明是为 了让学生
连接AC′ ，BC′ ，B′ C′ ．
由轴对称的性质知，
BC =B′C BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C =AB′，
结果一样！
意图：
让学生进
一步体会
作法的正
A
B
·
确性，提 高逻辑思
·
维能力。
C′ C′ C
并在反思
l 的过程中，
体会轴对
思考2：回顾前面的探究过 程，我们是通过怎样的过程、 借助什么解决问题的？
称的桥梁 作用,感悟
B′ 转化思想,
丰富数学
活动经验.
三：学以致用，链接中考
1、“将军饮马”的应用
（河北中考） 如图，一个旅游船从大桥 AB 的P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往 河岸BC 上，再返回 P 处，请画出旅游船的最
教学难点： 确定最短路径的 作图方法及证明作法的合 理性。
四、 ? 教学方法
教法：采用以观察法、发现法、探究法 为主的教学方法进行教学，以问题为载体， 设疑与点拨，引导与启发相结合。
学法：鼓励学生采用自主探究、合作交 流的研讨式学习方式，在学生动手、动脑、 动口中发现问题，解决问题，真正体现学生 的主体地位。
直线上找到一个点，使
C
得这个点分别到点 A与点
B 的距离和最短？
B′ l
·B
二：问题引领，层层递进
问题2 怎样找出使两条线段的长度之和为最 短的那个点？
讨论： 如何作图？
作法提示：
·B
（1）作点B 关于直线l 的对
A
·
称点B′；
·
（2）连接AB ′，与直线l 相
C
交于点C．
则AC+BC 的距离最短。
二：问题引领，层层递进
问题2 怎样找出使两条线段的长度之和为最 短的那个点？
（难）点A,B 分别是直线
B·
. 同侧的两个点，如何在
直线上找到一个点，使 A
得这个点分别到点 A与点 B 的距离和最短？
？ C
l
设计 意图：
运用类比 的方法， 化难为易， 渗透转化 思想。
（易）点A,B 分别是直线 A
异侧 的两个点，如何在
A
·
AC′+BC′= AC′+B′C′ ． 在△AB′C′中，
C′
AB′＜AC′+B′C′ ，
B
·
C
体会作图 的正确性。
l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
B′
二：问题引领，层层递进
设计
思考1：证明AC +BC 最短 时，为什么要在直线 l 上任取 一点C′（与点 C 不重合）， 证明AC +BC ＜AC′+BC′？
八年级 上册
13.4 课题学习: 最短路径问题
授课教师：惠阳区秋长中学 张丽娴
说 课 流 程：
一、 ? 教材分析 二、 ? 学情分析 三、 ? 目标分析 四、 ? 教学方法 五、 ? 教学过程
六、 ? 教学评价
一、 ? 教材分析
1、内容：本节课所选用的教材为人教版义务 教育课程标准八年级上册教科书。第85至87 页利用轴对称和平移研究最短路径问题。 2、教材所处的地位和作用：
2、活动经验： 学生已经有了图形变换以及模型构建的意 识，具备了一定的主动参与、合作交流的意识和初步 的观察、分析、归纳、猜想和解决问题的能力。
3、预设困难： 作图时为什么要转化，如何转化，一些学 生在理解和操作上存在困难。
证明时 需要在直线上任取一点，证明所连线段和大于 所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到， 不会用。
最短路径问题在现实生活中经常遇到， 是中考的考点，也是数学分支——图论研究 的一个经典算法问题,对培养学生的化归思想 和应用能力有一定的意义。
二、 ? 学情分析
1、认知基础： 学生已经研究过一些简单的最短路径问题 以及有关平移的基本知识，也掌握了关于某直线对称 的点的作图，所有这些内容构成了本节课的认知基础。
？ l
二：问题引领，层层递进
设计 意图：
分析： 在河边饮马的地点有 多处，把这 些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之 和，就是从 A 地到饮马地点，再回到 B 地的路 程之和； 怎样找出使两条线段的长度之和为 最短的那个点？
B A
？l
C1 C C2
帮助学生 分析饮马 的地点有 多处，我 们是要找 出使两条 线段的长 度之和为 最短的那 个点。
二：问题引领，层层递进
问题1 这是一个实际问题，能否把它转化为 数学问题？
将A，B 两地抽象为两个点，将河 l抽象 为一条直线． 如何在l上找到一个点，使得 这个点到点 A、点B的距离的和最短？
B·
设计 意图：
让学生将实 际问题抽象 为数学问题， 即将最短路 径问题抽象 为“线段和 最小问题”。
Hale Waihona Puke A.短路径。 C C
设计 意图：
学以致用， 及时巩固 最短路径 的解题方 法。
山Q
A 大 桥
河岸 Q
P
B
R
PB
三：学以致用，链接中考 2、“将军饮马 ”的妙用：
(滨州中考)如图，直角△ ABC,AB=4 ， ∠ BAC=30 o ， ∠ BAC 的平分线交 BC于D。M、D分别是AD ，AB 上
最短路径问题介绍
最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。
在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。
通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。
最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。
图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。
在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。
最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。
在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。
最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。
该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。
除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。
例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。
Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。
一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。
在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。
利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。
第21讲 最短路径问题
第21讲 最短路径问题一、方法剖析与提炼引例：如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m 和500m ，两村庄之间的距离为d(已知d 2=400000m 2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小，则最小距离为___________m 。
【解答】1000。
【解析】如图，作点B 关于公路l 的对称点B′，连接AB′交公路于点C ，CA+CB最短距离就是AB′的长度。
根据勾股定理可以求得AB′=1000m 。
【解法】同侧的两点，通过轴对称变换成异侧，利用两点之间线段最短确定最小距离。
【解释】通过生活中的实际例子，让学生感受最短路径来源于生活，并引出求最短路径常用的方法，利用轴对称变换找对称点及两点之间线段最短（即饮马问题）。
学习时可作如下归纳：（1）在初中范围内和边的不等量有关的知识有哪些，引出两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边；（2）在此图中哪种变换方式比较适合将马路同侧的两条线段变换到异侧，并且保持线段长度不变，旨在复习轴对称、平移、旋转等变换特点；（3）在移动变换中，有没有可能将两条线段置于共线的情形，即最短路径。
例1：已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，求DN+MN 的最小值。
【解答】连结BD 交AC 于点O ，根据正方形的对称性可知，B 点即为D 的对称点。
连结BM 交AC 于点N ，则BM 的值为DN+MN 的最小值。
所以BM=10。
【解析】如图，点B 即为点D 关于AC 的对称点，连接BM ，BM 的长度即为DN+MN的最小距离。
在Rt△BCM 中，根据勾股定理可求得BM=10。
【解法】此题 DN ，MN 这两条线段中，M ，D 两点固定，只有N 一个点是移动的，故只需确定点N ，使得距离之和最短即可。
【解释】此例从最基本的图形出发，让学生易于接受，敢于探索。
学生依据正方形自身拥有的轴对称性找到对称点，将同侧两条线段利用翻折变成异侧的两条线段，利用两点之间线段最短找到最短路径。
最短路径例题
最短路径例题1. 理解最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，它主要理解的是从图中一个点到另一个点的最短距离是多少。
图中每个点称为顶点，连接顶点的边可以有权值，权值可以理解为从一个顶点到另一个顶点的距离。
最短路径问题的应用非常广泛，比如GPS定位系统、社交网络中的好友推荐、物流配送等都会用到。
2. 最短路径算法解决最短路径问题的算法有很多种，最为经典的是Dijkstra算法和Floyd算法。
Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，适用于权值不为负的有向或无向图，它可以求出从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
而Floyd算法是一种多源最短路径算法，它可以求出任意两个顶点之间的最短路径。
3. 最短路径例题解析我们来看一个具体的例题，这是一个无向图，顶点有A、B、C、D四个，边的权值如下：AB为1，AC为2，AD为5，BC为2，BD为3，CD为1。
我们需要求出从A出发到其他顶点的最短路径。
首先我们可以使用Dijkstra算法来解题。
算法的步骤主要包括初始化距离，选择最短距离的顶点，更新距离等。
1. 初始化距离，设置源顶点A到自身的距离为0，到其他顶点的距离为无穷大。
2. 选择最短距离的顶点，首次选择的就是源顶点A。
3. 更新距离，考察源顶点A的邻接顶点B、C、D，A到B、A到C的距离可以通过边直接得到，分别是1和2。
A到D有一条直接的边，距离是5，但是A可以先到B或C，再到D，这样的距离就可以比5小，所以可以更新A到D的距离。
以此类推，我们可以得到从A出发到B、C、D的最短路径分别是1、2、3。
图示和算法解析清晰地展示了最短路径算法的计算过程，并且对于理解和解决实际中的最短路径问题有很大的帮助。
4. 总结最短路径问题是一个常见且实用的问题，能够有效地解决许多实际问题。
熟悉并掌握这种算法，不仅可以提高解题能力，也可以应用到工程项目和科研任务中。
最短路径问题
A
B
4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上 两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周 长最小。
A
M
B
P
M ’
N C
本节课你有什么收获？
①学习了利用轴对称解决最短路径问题 ②感悟和体会转化的思想
补偿提高
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山 脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请画出旅游船的最短路径．
A'
M
N
M′ a b
N′
B
∴AM+MN+BN＝AA′+A′B， AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.
在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，
∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
总结归纳：
在解决最短路径问题时，我们 通常利用轴对称、平移等变换，把 较复杂的问题转化为容易解决的问 题，从而作出最短路径的选择。
新课引入
我们把研究关于“两点之间，线 段最短” “垂线段最短”等问题， 称它们为最短路径问题.最短路径问 题在现实生活中经常碰到，今天我们 就通过几个实际问题,具体体会如何 运用所学知识选择最短路径.
第十三章 轴对称
13.4课题学习 最短路径问题
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名 的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
解：
A
A'
M
a
b
N
B
如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等 于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此 时路径AM+MN+BN最短.
最短路径问题及其变形
最短路径问题及其变形
最短路径问题是指给定一个图和起点、终点，求出起点到终点的路径中具有最小权重和的路径的问题。
可以通过一些经典算法来解决，如Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。
最短路径问题的变形可以有很多种，下面介绍几个常见的变形：
1. 单源最短路径问题：给定一个图和一个起点，求出起点到图中所有其他节点的最短路径。
这个问题可以通过Dijkstra算法
或Bellman-Ford算法求解。
2. 多源最短路径问题：给定一个图和多个起点，求出每个起点到图中所有其他节点的最短路径。
这个问题可以通过多次运行Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法求解。
3. 含有负权边的最短路径问题：给定一个图，其中可能存在负权边，求出起点到终点的最短路径。
如果图中不存在负权回路，可以使用Bellman-Ford算法求解，如果存在负权回路，则无
法找到最短路径。
4. 最长路径问题：与最短路径问题相反，求出起点到终点的路径中具有最大权重和的路径。
可以通过将图中的权重取反来将最长路径问题转化为最短路径问题求解。
5. 限制路径中经过的节点或边数的最短路径问题：给定一个图和一个限制条件，如经过的节点数或经过的边数等，求出满足
限制条件的最短路径。
可以通过修改Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法，增加限制条件来求解。
以上仅为最短路径问题的一些常见变形，实际问题可能还有其他的变形。
解决这些变形问题的关键是根据具体情况修改或选择合适的算法，以及定义适当的权重和限制条件。
最短路径的十二个基本问题
两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 A B＇．
原理
分别作点 P 关于两直 线的对称点 P＇和 P＇＇， 在直线 l1 、l2 上分别求 连 P＇P＇＇，与两直线交 点 M、N，使△PMN 的 点即为 M，N． 周长最小．
两点之间线段最短． PM+MN+PN 的最小值为 线段 P＇P＇＇的长．
【十二个基本问题】
【问题 1】
作法
图形
原理
连 AB，与 l 交点即为
P．
在直线 l 上求一点 P，
使 PA+PB 值最小．
【问题 2】“将军饮马”
作法
作 B 关于 l 的对称点
B＇连 A B＇，与 l 交点
在直线 l 上求一点 P，
即为 P．
使 PA+PB 值最小．
【问题 3】
作法
图形 图形
两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 AB．
原理
将点 A 向下平移 MN 的
长度单位得 A＇，连 A＇
B，交 n 于点 N，过 N 作
直线 m ∥ n ，在 m 、n ， NM⊥ m 于 M．
上分别求点 M、N，使
MN⊥ m ，且 AM+MN+BN
的值最小．
【问题 6】
作法
图形
将点 A 向右平移 a 个
长度单位得 A＇，作 A＇
关于 l 的对称点 A＇＇，连 在直线 l 上求两点 M、N
对称点 B＇，连 A＇B＇ l2 上一定点，在 l2 上求 交l2 于 M，交 l1 于 N．
点 M，在 l1 上求点 N，
使 AM+MN+NB 的 值 最
小．
运筹学最短路径问题
运筹学最短路径问题
在运筹学中，最短路径问题是指寻找图中两个节点之间的最短路径。
最短路径可以通过一系列边连接起来，使得路径上的累计权值总和最小。
最短路径问题是运筹学中的经典问题，有广泛的应用领域，如交通网络规划、物流路径优化等。
常见的最短路径算法包括迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是用于解决单源最短路径问题的一种算法。
它从起点开始，通过不断更新节点的最短路径估计值和前驱节点，逐步扩展到其他节点，直到找到目标节点或所有节点都被处理。
弗洛伊德算法是用于解决全源最短路径问题的一种算法。
它通过动态规划的方式，对所有节点之间的最短路径进行逐步计算和更新，最终得到所有节点之间的最短路径。
除了迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法，还有其他一些算法可以用于解决最短路径问题，如贝尔曼-福特算法和A*算法等。
总之，最短路径问题在运筹学中具有重要的实际应用价值，可以通过不同的算法来求解。
这些算法在实践中可以根据具体的问题特点和需求选择合适的算法进行求解。
最短路径(将军饮马)问题(知识梳理与考点分类讲解)(人教版)(教师版) 24-25学年八年级数学上册
专题13.10最短路径（将军饮马）问题（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB 最小（同侧转化为异侧）；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小。
图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形PAQB的周长最小。
图4【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图5【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON 上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
图6【考点1】两定一动型；【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【考点3】一定两动（垂线段最短）型；【考点4】两定两动型；【考点5】一定两动（等线段）转化型；.第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】两定一动型；【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC ∆中，3,4AB AC ==，EF 垂直平分BC ，交AC 于点D ，则ABP 周长的最小值是（）A ．12B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】本题主要考查了，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P 的位置．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，根据题意知点B 关于直线EF 的对称点为点C ，故当点P 与点D 重合时，AP BP +的值最小，即可得到ABP 周长最小．解：∵EF 垂直平分BC ，∴点B ，C 关于EF 对称．∴当点P 和点D 重合时，AP BP +的值最小．此时AP BP AC +=，∵3,4AB AC ==，ABP ∴ 周长的最小值是347AP BP AB AB AC ++=+=+=，故选：C ．【变式】（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在ABC V 中，1216AB AC ==，，20BC =．将ABC V 沿射线BM 折叠，使点A 与BC 边上的点D 重合，E 为射线BM 上的一个动点，则CDE 周长的最小值．【答案】24【详解】设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF 先根据折叠的性质可得12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，再根据两点之间线段最短可得当点E 与点F 重合时，CDE 周长最小，进而求解即可．解：如图，设BM 与AC 的交点为点F ，连接AE ，DF ，由折叠的性质得：12BD AB ==，DF AF =，DE AE =，BDF BAF ∠=∠，20128CD BC BD ∴=-=-=，CDE ∴ 周长8CD DE CE AE CE =++=++，要使CDE 周长最小，只需AE CE +最小，由两点之间线段最短可知，当点E 与点F 重合时，最小值为AC ，∴CDE 周长为：681624AC +=+=．故答案为：24．【点拨】本题考查了折叠的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．【考点2】一定两动（两点之间线段最短）型；【例2】（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，45MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，当PAB 的周长取最小值时，APB ∠的度数为（）A ．45︒B ．90︒C ．100︒D ．135︒【答案】B 【分析】本题主要考查了最短路线问题、四边形的内角和定理、轴对称的性质等知识点，掌握两点之间线段最短的知识画出图形是解题的关键．如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，连接A B ''，此时PAB 的周长最小为A B ''，求出A B ''即可．解：如图：作P 点关于OM ON 、的对称点A B ''、，然后连接A B ''，∵点A '与点P 关于直线OM 对称，点B '与点P 关于ON 对称，∴A P OM B P ON A A AP B B BP ''''⊥⊥==，，，，∴A APA B BPB ''''∠=∠∠=∠，，∵A P OM B P ON ''⊥⊥，，∴180MON A PB ''∠+∠=︒，∴18045135A PB ''∠=︒-︒=︒，在A B P ''△中，由三角形的内角和定理可知：18013545A B ''∠+∠=︒-︒=︒，∴45A PA BPB ''∠+∠=︒，∴1354590APB ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【变式】（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，45AOB ∠=︒，点M N 、分别在射线OA OB 、上，5MN =，15OMN S = ，点P 是直线MN 上的一个动点，点P 关于OA 的对称点为1P ，点P 关于OB 的对称点为2P ，连接1OP 、2OP 、12PP ，当点P 在直线MN 上运动时，则12OPP 面积的最小值是．【考点3】一定两动型（垂线段最短）；【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC V 中，3AB =，4BC =，5AC =，AB BC ⊥，点P 、Q 分别是边BC 、AC 上的动点，则AP PQ +的最小值等于（）A ．4B ．245C ．5D ．275【答案】B 【分析】作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，根据对称可得：AP PQ A P PQ A Q ''+=+≥，得到当,,A P Q '三点共线时，AP PQ +最小，再根据垂线段最短，得到A Q AC '⊥时，A Q '最小，进行求解即可．解：作A 过于BC 的对称点A '，过点A '作A Q AC '⊥，交AC 于点Q ，交BC 于点P ，【变式】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，5AB =，AD 是ABC V 的角平分线，若P Q 、分别是AD 和AC 边上的动点，则PC PQ +的最小值是．AD 是BAC ∠的平分线，1QAD Q AD∴∠=∠在AQD 与1AQ D 中【考点4】两定两动型；【例4】如图，已知24AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，1OP =，C 在OA 上，D 在OB 上，E 在OP 上．当CP CD DE ++取最小值时，此时PCD ∠的度数为（）A ．36︒B ．48︒C ．60︒D ．72︒【答案】D 【分析】作点P 关于OA 的对称点P'，作点E 关于OB 的对称点'E ，连接'OP 、'PP 、'OE 、'EE 、''P E ，则由轴对称知识可知=''CP CD DE CP CD DE ++++，所以依据垂线段最短知：当''P C D E 、、、在一条直线上，且'''P E OE ⊥时，CP CD DE ++取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以'P C PC =，'E D ED =，'1OP OP ==，=''CP CD DE CP CD DE ++++，'P OE ∠''P C D E 、、、在一条直线上，且''P E ''=9048=42OP E ∠︒-︒︒，'='''=7842CP P OP P OP E ∠∠-∠︒-︒=【答案】44βα-=︒【分析】本题考查轴对称—最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．OQM OQM NQP '∴∠=∠=∠，OPQ ∠∴1(180)2PQN AOB α∠=︒-=∠+∠44βα∴-=︒，故答案为：44βα-=︒．【考点5】一定两动（等线段）转化型；【例5】（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中∠ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且AE =CF ，当BF ＋CE 取最小值时，∠AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出∠AFB 的度数即可．解：如图，作CH ⊥BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，∵AC=BC ，∴CH=AC ，∵∠HCB=90°，AD ⊥BC ，∴AD//CH ，∵∠ACB=50°，∴∠ACH=∠CAE=40°，∴△CFH ≌△AEC ，∴FH=CE ，∴FH+BF=CE+BF 最小，此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【点拨】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度．【变式】（23-24七年级下·四川宜宾·期末）在ABC V 中，80CAB ∠=︒，2AB =，3AC =，点E 是边AB 的中点，CAB ∠的角平分线交BC 于点D ．作直线AD ，在直线AD 上有一点P ，连结PC 、PE ，则PC PE -的最大值是．∵CAB ∠的角平分线交∴FAP ∠∠=∵AP AP =，∴APF APE ≌∴PF PE =，第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2020·湖北·中考真题）如图，D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值的差为．【答案】12【分析】以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，可证得△ECB ≌△DCA 从而得到BE=AD ，再根据三角形的三边关系即可得出结论．解：如图1，以CD 为边向外作等边三角形CDE ，连接BE ，∵CE=CD ，CB=CA ，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA ，∴△ECB ≌△DCA （SAS ），∴BE=AD ，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则AD 的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD 转化为BE 从而求解，是一道较好的中考题．【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在ABC V 中，90,60,4A B AB ∠=∠=︒=︒，若D 是BC 边上的动点，则2AD DC +的最小值为．在Rt DFC △中，30DCF ∠=︒，12DF DC ∴=，122()2AD DC AD DC +=+2()AD DF =+，∴当A ，D ，F 在同一直线上，即此时，60B ADB ∠=∠=︒，2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，AC 、BD 在AB 的同侧，点M 为线段AB 中点，2AC =，8BD =，8AB =，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值为（）A ．18B ．16C ．14D ．12【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，证明'' A MB 为等边三角形，即可解决问题．解：如图，作点A 关于CM 的对称点A '，点B 关于DM 的对称点B '，∵120CMD ∠=︒，∴60∠+∠=︒AMC DMB ，∴60''∠+∠=︒CMA DMB ，∴60''∠=︒A MB ，∵MA MB MA MB ''===，∴'' A MB 为等边三角形∵14CD CA A B B D CA AM BD ''''<++=++=，∴CD 的最大值为14，故选：C ．【例2】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，锐角ABC V 中，302A BC ∠=︒=，，ABC V 的面积是6，D 、E 、F 分别是三边上的动点，则DEF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．6D ．7∴AM AE AN ==，MF =∵BAC BAD DAC ∠=∠+∠∴MAN MAB BAD ∠=∠+∠∴(2MAN BAE EAC ∠=∠+∠。
最短路径12种类型例题
最短路径12种类型例题最短路径问题是图论中的一个重要问题。
它通常指从一个点到另一个点的最短距离或最短路径。
解决此类问题需要选择一个恰当的算法和数据结构。
本文将介绍12种最短路径类型的例题，并逐步解决它们。
1.单源最短路径单源最短路径指从一个源点到其他所有点的最短距离。
使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来解决。
2.最短路径树最短路径树是从一个源点到所有其他节点的最短路径构成的一棵树。
使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来解决。
3.多源最短路径多源最短路径指从所有源点到所有其他点的最短距离。
使用Floyd-Warshall算法来解决。
4.任意两点之间的最短路径任意两点之间的最短路径指从一个点出发，到达另一个点的最短距离。
使用Johnson算法来解决。
5.负权边的最短路径负权边的最短路径指当图中存在负权边时，求取从一个源点到其他所有节点的最短距离。
使用Bellman-Ford算法来解决。
6.负权环的最短路径负权环的最短路径指当图中存在负权环时，求取从一个源点到其他所有节点的最短距离。
使用Bellman-Ford算法来解决。
7.非全源点的最短路径非全源点的最短路径指从集合S中的任意一个节点到集合T中的任意一个节点的最短距离。
使用Dijkstra算法和A*算法来解决。
8.带优先级的最短路径带优先级的最短路径指在一张具有边权和点权的图中，到达终点时要满足某些特殊条件，如使路径上没有超过限定时间的边。
使用A*算法来解决。
9.带障碍的最短路径带障碍的最短路径指在一张具有障碍物的图中，找到穿过障碍物的最短路径。
使用A*算法来解决。
10.可走斜向的最短路径可走斜向的最短路径指在一个八方向图中，找到从起点到终点的最短路径。
使用A*算法来解决。
11.带环的最短路径带环的最短路径指在一个含有环的图中，找到从起点到终点的最短路径。
使用Bellman-Ford算法来解决。
12.非最短路径非最短路径是指除最短路径以外的路径。
《最短路径问题》课件
A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
即AM+NB+MN的值最小.
M′ a M
b
N′
N
∙B
新知探究 跟踪训练
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行）， 现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何 选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
解：（1）如图，过点A作AC垂直于河岸，且使得AC的 长等于河宽； （2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作 MN⊥EF于点M，则MN即为所建桥的位置. A
点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此
时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+ NB的值最小.A∙ M
a
A′
b
N
∙B
如图，连接A′，B，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线 b的交点即为所求的点N的位置，即在此处造桥MN，所 得路径AMNB是最短的.
A∙ M
《最短路径问题》
知识回顾
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找
一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与
直线l的交点.
A
C
l
B
1.两点一线型.
如图，点A，B是直线l同侧的两
B
点，在直线l上找一点C使得
A
AC+BC的值最小，这时先作点B