1抛物线的几何性质 人教版高中数学第三册课件
高中数学解析几何抛物线性质与定义(精)
抛物线
抛物线也是圆锥曲线中的一种, 即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。 抛物 线是指平面内到一个定点和一条定直线 l 距离相等的点的轨迹。
1、 抛物线的定义
平面内到一个 定点 F 和不 过 F 的一 条定直线 l 距离相等的点的轨迹 (或集合
称之 为 抛物线。 F 称为 " 抛物线 的焦点 ", l 称为 " 抛物线的准线 " 。
如图:设定点 F 到定直线 l 距离 FN 为 p , M
为 x 轴,建 立坐标系,设动点 M 的坐标为 (x,y 若 M 到直线 l 的距离 与到定点 F
的距离相等, 则有:
222
2
p x y p x +=+⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-
整理可得抛物 线的标准形式为:px y 22= 对应的焦点坐 标为(
, 2
p 对应的准线方 程为 2
p x -
=
对应的顶点坐 标为(0, 0 离心率 e=1
抛物线的形式 一共有以下四种:
2、 抛物线的性质
设抛物线的标准方程 y 2=2px (p >0 ,则
(1 . 范围:则抛物线上的点 (x , y 的横坐标 x 的取值范围是 x ≥0., 在轴右侧抛物线向右上方 和右下方无限延伸。
(2 . 对称性:这个抛物线关于轴对称, 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 . 抛物线和它的轴 的交点叫做抛物线的顶点 .
(3 .顶点:抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点,这个抛物线的顶点是坐标原点。
(4 .离心率;抛物线上的点与焦点的距离和它的准线的距离的比叫做抛物线的离心率,
其值为 1.
(5 . 在抛物线 y 2=2px (p >0中,通过焦点而垂直于 x 轴的直线与抛物线两交点的坐 标分别为 , 2
(
, , 2(
p p p p -,连结这两点的线段叫做抛物线的通径,它的长为 2p .
(6 . 平行于抛物线轴的直线与抛物线只有一个交点 . 但它不是双曲线的切线 . (7
焦点弦长公式:过焦点弦长 12122
人教版中职数学拓展模块《抛物线》课件 (一)
人教版中职数学拓展模块《抛物线》课件
(一)
人教版中职数学拓展模块《抛物线》是一门非常重要的数学课程，而其中的课件更是不可或缺的学习工具。本文将从以下几个方面分别阐述这份课件的重要性：课件背景介绍、内容要点概述、课件教学优势和全面推广的必要性。
一、课件背景介绍
《抛物线》作为中职数学拓展模块的重要组成部分，更好地帮助学生在数学知识方面有所提高。该课件以多个维度为核心，包括：抛物线的定义、性质、图形和方程式等，帮助学生理解和应用数学知识，扎实的数学理论背景是其诞生的重要背景。
二、内容要点概述
这份课件通过文字、图像、视频等多种形式，让学生更加清晰地理解抛物线。具体内容包括抛物线的标准式、顶点式、几何意义和物理意义等。许多课件中的重要知识点，如方程式、对称轴、准线和拐点等等，对学生来说都至关重要。
三、课件教学优势
这份课件使用了图像的形式，更加直观明了，有助于学生的理解。除此之外，该课件在许多数学示例的对比与分析上有所突出。例如，教师用一张抛物线图表和直线图表对比，来清晰地展现出二者之间性质的不同，从而更加深入地印证抛物线的定义和性质。
四、全面推广的必要性
我们深刻地认识到，作为数学学习的重要组成部分，《抛物线》教学课件的必要性不言而喻。这样的课件不仅能够帮助老师更好地组织教学，还能使学生更好地理解知识。因此，我们应该将它推广到更多的学校和教育机构，以期更好地促进学生的知识水平提升。
总而言之，《抛物线》课件在中职数学拓展模块中，扮演了非常重要的角色。通过阐述课件背景、内容要点概述、课件教学优势和全面推广的必要性，我们深刻地认识到该课件在中职数学教育中的重要性。我们应该更加注重此课件的教育推广，并给予学生提供更多支持。
高三第一轮复习 抛物线的定义及几何性质
第42讲 抛物线
第100课时 抛物线的定义及几何性质
【提纲挈领】（请阅读下面文字，并在关键词下面记着重号）
主干知识归纳
1．抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．
2．抛物线的标准方程与几何性质
(1）图形与方程
图形
标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
（2）性质
性质 顶点 O(0,0)
对称轴 y＝0 x＝0
焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2
离心率 e＝1
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
(3)抛物线与过焦点的直线的有关性质：
（1）2124pxx；（2）212yyp；
（3）12322||2()2sinppABxxpx；
（4）以AB为直径的原与准线L相切；
（5）/090ACB；
（6）//090AFB；
（7）A、O、/B三点共线；（8）B、O、/A三点共线；
（9）112||||AFBFP；（10）22sinABOpS等等。
方法规律总结
1. 抛物线的定义是抛物线问题的本质，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
高中数学 第二章2.4.2 抛物线的简单几何性质讲解与例
1 2.4.2 抛物线的简单几何性质
问题导学
一、抛物线几何性质的应用
活动与探究1
已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴正半轴上．若抛物线上一动点P到A2，32，F两点距离之和的最小值为4，且A为抛物线内一点，求抛物线方程．
迁移与应用
1．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M的纵坐标为－42，该点到准线的距离为6，则抛物线方程为________________．
2．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p＝__________．
注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．
二、抛物线的焦点弦
活动与探究2
已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
迁移与应用
1．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则∠A1FB1等于( )．
A．45° B．90° C．60° D．120°
2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，求1|AF|＋1|BF|的值．
已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB称为焦点弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin 2α(α为AB的倾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等．
三、直线与抛物线的位置关系
活动与探究3
已知抛物线y2＝6x的弦AB经过点P(4,2)，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦AB的长．
迁移与应用
1．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值为( )．
抛物线教学课件
1
抛物线教学课件
抛物线教学课件
抛物线教学课件
【教学内容解析】
《抛物线及其标准方程》是普通高中课程标准实验教科书（人教版）数学选修2-1第二章第四节第一课时的内容，是学习抛物线这种圆锥曲线的起始课，是在学习了椭圆与双曲线之后的又一重要内容，根据抛物线定义推出的标准方程，也为下一节用代数方法研究抛物线的几何性质和几何性质的应用提供了必要的工具和基础．因此，它是圆锥曲线这章的重要的组成部分．
《抛物线及其标准方程》的重点是抛物线的定义和抛物线标准方程．难点是抛物线标准方程的推导．
抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换．抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系．因此，抛物线标准方程的推导是培养学生数形结合思想的好素材．
【教学目标设置】
1．知识与技能
通过“几何特征”的分析，让学生由观察与思考后理解抛物线的定义；
通过类比椭圆和双曲线的标准方程的推导过程，让学生探究出抛2
物线的标准方程；
在研究方程与抛物线定义的过程中，让学生能够根据已知条件写出抛物线的标准方程，根据所给的抛物线方程写出焦点坐标、准线方程．
2．过程与方法
掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解解析法，培养学生解决数学问题时的观察、类比、分析、计算能力．
3．情感态度与价值观
通过本节课的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，进一步体会数形结合的思想．
【学生学情分析】
1．学生已有认知基础
学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线有了初步的认识．通过曲线与方程的学习已经对解析法有了一定的了解．
2．达成目标所需要的认知基础
学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，需要具备较好的归纳、猜想和推理能力．
3．难点及突破策略
高二数学 8.6抛物线的几何性质(第一课时)大纲人教版必修
第 1 页 共 1 页 高二数学 8.6抛物线的几何性质(第一课时)大纲人教版必修
8、6 抛物线的简单几何性质课时安排2课时从容说课 本节主要研究抛物线的几何性质及其应用，与椭圆、双曲线一样，也是通过对抛物线标准方程的讨论，研究其几何性质、抛物线的几何性质没有椭圆、双曲线多，因此可让学生自己讨论总结而得到、在抛物线的几何性质中，对于其范围学生很容易能求出，但要给学生强调：虽然图象也可延伸，但没有渐近线（与双曲线不同）；其次，抛物线只有一个顶点，没有对称中心、也就是说，单纯地去理解其几何性质，不是本节难点，关键是让学生能灵活运用几何性质解决问题、对于抛物线上点的坐标，可结合其标准方程的特点设出（如果y2=2px,可设为（2pt2,2pt））,在讨论直线与抛物线位置关系时要注意：与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，但此时不叫相切，而是相交、 ●课 题
8、6、1 抛物线的简单几何性质
（一）●教学目标
（一）教学知识点
1、抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率、2、抛物线的通径及画法、
（二）能力训练要求
第 1 页 共 1 页 1、使学生掌握抛物线的几何性质、2、掌握抛物线的画法、
（三）德育渗透目标通过利用几何性质解决各种问题的教学，培养学生具备“运动变化”和“动中求静”的辩证法的思想和观点、●教学重点
1、抛物线的几何性质、2、抛物线几何性质的应用、●教学难点抛物线几何性质的应用、●教学方法启发引导式●教具准备投影片三张第一张：抛物线的几何性质（记作
8、6、1 A）第二张：例题（记作
8、6、1 B）第三张：练习题（记作
8、6、1 C）●教学过程Ⅰ、课题导入［师］前面我们已经学过椭圆与双曲线的几何性质，它们都是通过标准方程的形式研究的、现在需要大家想想抛物线的标准方程、［生］共四种形式，分别是y2=2px(p＞0),y2=-2px(p＞0),x2=2py(p＞0),x2=-2py(p＞0)、Ⅱ、讲授新课［师］下面我们根据第一种抛物线的标准方程，也就是y2=2px(p＞0)来研究其几何性质：
高中数学-圆锥曲线-抛物线
高中数学- 圆锥曲线
【知识图解】
【方法点拨】
解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，圆锥曲线 双曲线 椭圆
抛物线 几何性质
定义
几何性质 标准方程
定义
几何性质 标准方程 圆锥曲线应用 定义 标准方程 因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.
3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程
第1课 椭圆A
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;
2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.
【基础练习】
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆2213xy上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是43
人教版数学选修21第二章抛物线抛物线的几何性质讲义
第1页/共15页 案例(二)——精析精练
课堂 合作 探究
重点难点突破
知识点 抛物线的几何性质
(1)范围:因为0p，将方程022ppxy变为pyx22，知0x，由此可知，抛
物线022ppxy上的点在y轴上或在y轴的右侧(不可能在y轴的左侧)，当x增大时，y也随之增大，开口向右并且向右上方和右下方无限伸展。
(2)对称性
将抛物线022ppxy中的y用—y代替，方程不变，说明抛物线022ppxy关于x轴对称(结合图形也可看出)。抛物线的对称轴也叫做拋物线的轴。
(3)顶点
在方程022ppxy中，令0y，得0x，(0，0)点是抛物线pxy2与它的对称轴(即x轴)的交点，我们把抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。由此可见，抛物线022ppxy的顶点是坐标原点(0，0)。
(4)离心率和开口方向
①抛物线的离心率：拋物线上的点到焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，仍用e表示。由抛物线的定义易知抛物线的离心第2页/共15页 率1e。利用1e可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，将距离只用点的横坐标(或纵坐标)来表示，使问题得以简化。
②抛物线的开口方向:拋物线022ppxy开口向右；022ppxy开口向左；022ppyx开口向上；022ppyx开口向下。
③抛物线的开口大小：在抛物线022ppxy中，对于同一个x值，p越大，y也越大，也就是说抛物线的开口也越大。
④给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、燕点坐标、准线方程、对称轴；反过来，要能根据抛物线的几何性质，求出抛物线的方程。看到抛物线的标准方程，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向。
⑤四种形式的抛物线的几何性质对比如下:
高中数学抛物线知识点
高中数学抛物线知识点
抛物线是高中数学的一个重要考点。抛物线是指平面内到一个定点f和一条定直线l距离相等的点的轨迹。
1抛物线的概念
1.抛物线定义：平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同。
2.抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质(如下表)：其中为抛物线上任一点。
3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有解。
说明：
（1）求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 （2）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
（3）解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何*质。
5.抛物线的焦点弦的性质：
关于抛物线的几个重要结论：
(1)弦长公式同椭圆.
(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有p(x0，y0)在抛物线内部p(x0，y0)在抛物线外部
(3)抛物线y2=2px上的点p(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+
(4)抛物线y2=2px外一点p(x0，y0)的切点弦方程是
(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点m(x0，y0)，则
(6)自抛物线外一点p作两条切线，切点为a,b，若焦点为f,又若切线pa⊥pb，则ab必过抛物线焦点f.
2抛物线的解题技巧
1.利用抛物线的几何性质解题的方法：
根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关*.
高一数学复习考点知识专题讲解23---抛物线的简单几何性质
1 / 16 高一数学复习考点知识专题讲解
抛物线的简单几何性质 学习目标 1.掌握抛物线的几何性质.2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．
知识点一 抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2
准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
知识点二 直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组 y＝kx＋b，y2＝2px解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；2 / 16 若Δ<0，直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
1．抛物线关于顶点对称．( × )
2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( √ )
3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( √ )
4．抛物线x2＝4y，y2＝4x的x，y的范围是不同的，但是其焦点到准线的距离是相同的，离心率也相同．( √ )
5．“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．( √ )
一、抛物线的几何性质的应用
例1 (1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是( )
A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2
答案 B
解析 因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.