[考研类试卷]考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷7.doc
[考研类试卷]考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷7 一、填空题
1
2
二、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3 (1)若f(x)=，试证f'(0)=0；(2)若f(x)在(一∞，+∞)上连续，且
f(x)=∫0x f(t)dt，试证f(x)≡0(一∞＜x＜+∞)．
4
5 已知I(α)=求积分∫-32I(α)dα．
6 设函数f(x)连续，且∫0x tf(2x一t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．
7 设在区间[e，e2]上，数p，q满足条件px+q≥ln x，求使得积分
取得最小值时p，q的值．
8 设f(x)在[0，+∞)上连续，且收敛，其中常数A＞0．证明：
9 求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成图形的面积最小．
10 设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a 为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．
11 设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y'(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为
S1，区间[0，x]上以y=y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．
12 设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：(1)∫a a+T f(x)dx=∫0T f(x)dx(a为任意实数)；(2)∫0x f(t)dt以T为周期∫0T f(x)dx=0；(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0T f(x)dx=0．
13 计算不定积分
14 求定积分的值．
15 设常数0＜a＜1，求
16 设a，b均为常数，a＞一2且a≠0，求a，b为何值时，有
17 直线y=x将椭圆x2+3y2=6y分为两块，设小块面积为A，大块面积为B，求的值．
18 设f(x)=求曲线y=f(x)与直线所围成的平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．
19 设f(x)=∫0x g(t)dt．(1)证明y=f(x)为奇函数，并求曲线的水平渐近线；(2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴所围成图形的面积．
20 设函数f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(x)dx=f(0)．证明：在(0，1)内存在一点c，使f'(c)=0．
21 设f(x)，g(x)在[a，b]上连续．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得
f(ξ)∫ξb g(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．
22 f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在一点ξ∈[0，1]，使得
f’(ξ)=2∫01f(x)dx．
23 设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加．证明：(a+b)∫a b f(x)dx＜2∫a b xf(x)dx．
24 设函数f’(x)在[a，b]上连续，且f(a)=0．证明：
25 设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任意a∈[0，1]，有∫0a g(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．
26 设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，
∫a b f(x)dx=0．证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=f(ξ)； (2)在(a，b)内至少存在一点η，且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．
27 设f(x)在[a，b]上连续，且g(x)＞0．证明：存在一点ξ∈[a，b]，使
∫a b f(x)g(x)dx=f(ξ)∫a b g(x)dx．
28 设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，且f(0)=0． (1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明：存在η∈[-a，a]，使a3f"(η)=3∫-
a f(x)dx．
a
29 f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=xe1-x f(x)dx(k＞1)．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)．
30 设a＜b，证明：[∫a b f(x)g(x)dx]2≤∫a b f2(x)dx∫a b g2(x)dx．
31 设出售某种商品，已知某边际收益是R’(x)=(10一x)e-x,边际成本是C’(x)=(x2—4x+6)e-x，且固定成本是2．求使这种商品的总利润达到最大值的产量和相应的最大总利润．。
考研数学三(选择题)高频考点模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学三（选择题）高频考点模拟试卷20(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设函数f(x)=在(一∞，+∞)内连续，且=0，则常数a，b满足( )A．a<0，b<0。
B．a>0，b>0。
C．a≤0，b>0。
D．a≥0，b<0。
正确答案：D解析：因f(x)连续，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。
再由=0．可知x→∞时，a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b则当x→0时f(x)是x 的A．等价无穷小B．二阶无穷小C．三阶无穷小D．四阶无穷小．正确答案：C解析：由题设[*]可知[*] 又有当x→0时[*]从而[*] 由于[*]故可知[*]即当x→0时f(x)是x的三阶无穷小．应选C．知识模块：函数、极限、连续3．设则x=0是f(x)的( )．A．连续点B．第一类间断点C．第二类间断点D．不能判断连续性的点正确答案：B解析：当x＞0时，当x=0时，当x＜0时，f(x)=x．因为f(0+0)=1，f(0—0)=0，所以x=0为f(x)的第一类间断点，选(B)．知识模块：函数、极限、连续4．曲线y＝【】A．没有渐近线．B．仅有水平渐近线．C．仅有铅直渐近线．D．既有水平渐近线也有铅直渐近线．正确答案：D 涉及知识点：微积分5．设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜X}=α，则X等于( )A．B．C．D．正确答案：C解析：标准正态分布上α分位数的定义及条件P{X＞uα}=α与P{|X|＜x}=α，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图2—3及图2—4所示图形．如图2—4所示，根据标准正态分布的上α分位数的定义，可知，故选项C正确．知识模块：概率论与数理统计6．两曲线y=与y=ax2+b在点(2，)处相切，则( )A．B．C．D．正确答案：A解析：因两曲线相切于点(2，)，故相交于该点．将x=2，y=代入y=ax2+b 中得=4a+b，又因为相切于该点，故切线斜率相等，即导数相等，所以=2ax，将x=2代入得知识模块：一元函数微分学7．设β，α1，α2线性相关，β，α2，α3线性无关，则( )．A．α1，α2，α3线性相关B．α1，α2，α3线性无关C．α1可用β，α2，α3线性表示D．β可用α1,α2线性表示正确答案：C 涉及知识点：一元函数积分学8．微分方程y’’－4y＝x＋2的通解为( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：微分方程y’’－4y＝0的特征方程为λ2－4＝0，特征值为－2，2，则方程y’’－4y＝0的通解为C1e－2x＋C2e2x，显然方程y’’－4y＝x＋2有特解，选(D)．知识模块：微积分9．设f(x)=，则( )A．f(x)在[1，+∞)单调增加．B．f(x)在[1，+∞)单调减少．C．f(x)在[1，+∞)为常数．D．f(x)在[1，+∞)为常数0．正确答案：C解析：按选项要求，先求f’(x)．又f(x)在[1，+∞)连续，则f(x)=常数=f(1)=故选C．知识模块：一元函数微分学10．设级数都发散，则( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：选(D)．因为0≤｜un｜≤｜un｜，0≤｜vn｜≤｜un｜＋｜vn｜，根据正项级数的比较审敛法知，知识模块：微积分11．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是A．α1-α2，α2-α3,α3-α1．B．α1+α2，α2+α3,α3+α1．C．α1-2α2，α2-2α3,α3-2α1．D．α1+2α2，α2+2α3,α3+2α1．正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学12．设f(x)在(－∞，＋∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则( )．A．x0为f(x)的驻点B．－x0为－f(－x)的极小值点C．－x0为－f(x)的极小值点D．对一切的x有f(x)≤f(x0)正确答案：B解析：因为y＝f(－x)的图像与y＝f(x)的图像关于y轴对称，所以－x0为f(－x)的极大值点，从而－x0为－f(－x)的极小值点，选(B)．知识模块：微积分13．累次积分可以写成( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图4—3所示．该圆的直角坐标方程为故用直角坐标表示区域D为可见A、B、C均不正确，故选D．知识模块：多元函数微积分学14．设n维行向量α=()，矩阵A=E一αTα，B=E+2αTα，则AB=A．0．B．E．C．一E．D．E+αTα．正确答案：B解析：AB=(E一αTα)(E+2αTα)=E+2αTα一αTα一2αTααTα=E+αTα一2αT(ααT)α．注意ααT=，故AB=E．应选B．知识模块：线性代数15．函数z=f(x，y)=在(0，0)点( )A．连续，但偏导数不存在B．偏导数存在，但不可微C．可微D．偏导数存在且连续正确答案：B解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手．由于=0，所以fˊx (0，0)=0，同理fˊy(0，0)=0．令α=△z－fˊx(0，0)△x－fˊy(0，0)△y=当(△x，△y)沿y=x趋于(0，0)点时≠0，即α不是ρ的高阶无穷小，因此f(x，y)在(0，0)点不可微，故选(B)．知识模块：多元函数微分学16．设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则( )．A．β4不能由β1，β2，β3线性表示B．β4能由β1，β2，β3线性表示，但表示法不唯一C．β4能由β1，β2，β3线性表示，且表示法唯一D．β4能否由β1，β2，β3线性表示不能确定正确答案：C解析：因为α1，α2，α3线性无关，而α1，α2，α3，α4线性相关，所以口。
考研数学三(填空题)专项练习试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷10(题后含答案及解析)题型有：1.1．=__________正确答案：解析：知识模块：微积分2．设A=，则(A+3E)一1(A2一9E)=________．正确答案：解析：(A+3E)一1(A2一9E)=(A+3E)一1(A+3E)(A一3E)=A一3E= 知识模块：线性代数3．交换积分次序：=________.正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学4．设=_____________________。
正确答案：解析：对已知函数进行恒等变形，即则有所以知识模块：一元函数微分学5．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要条件为________．正确答案：a≠1 涉及知识点：微积分6．曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为________.正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学7．=__________。
正确答案：+C解析：令x=tant，则dx=Sec2tdt，故知识模块：一元函数积分学8．设随机变量X的概率密度为f(x)=(一∞＜x＜+∞)，则随机变量X的二阶原点矩为________．正确答案：解析：根据题意，即求E(X2)．首先对所给概率密度作变换：对于x(一∞＜x＜+∞)，有知识模块：概率论与数理统计9．正确答案：(x2一1)+C，其中C为任意常数解析：知识模块：微积分10．抛物线y2=ax(a＞0)与x=1所围图形面积为则a=______．正确答案：1解析：y2=ax与x=1所围图形面积知识模块：微积分11．曲线直线x=2及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学12．设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是来自X的样本，则未知参数θ的最大似然估计值为_________．正确答案：解析：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计值为知识模块：概率论与数理统计13．设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX=______．正确答案：解析：令则X=X1+X2+…+Xm．事件“Xi=0”表示n次中没有抽到第i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，因此有知识模块：概率论与数理统计14．已知一2是的特征值，则x=__________．正确答案：x=-4解析：因为一2是矩阵A的特征值，所以由知识模块：线性代数15．已知r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）=m，r（α1，α2，…，αs，γ）=m+1，则r（α1，α2，…，αs，β，γ）=________。
(完整版)多元函数微分学测试题及答案
第8章 测试题1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（ ）条件．A ．充分B ．充分必要C ．必要D ．非充分非必要2.函数(,)z f x y =的偏导数z x∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（ ）条件．A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0） 是（ ）A 不是(,)f x y 连续点B 不是(,)f x y 的极值点C 是(,)f x y 的极大值点D 是(,)f x y 的极小值点4. 函数22224422,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）A 连续但不可微B 连续且偏导数存在C 偏导数存在但不可微D 既不连续，偏导数又不存在5.二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x yf x y x y 在点(0,0)处( A). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在C ．不可微,偏导数存在D ．不可微,偏导数不存在6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂∂22y z( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22y vv f∂∂⋅∂∂；(C)22222)(y v v fy v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂； (D)2222y v v f y v v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.7.二元函数33)(3y x y x z --+=的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 8.已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续，且223(,)(0,0)(,)lim 1()x y f x y xy x y →-=+，则下述四个选项中正确的是（ ）.A ．点(0,0)是(,)f x y 的极大值点B ．点(0,0)是(,)f x y 的极小值点C ．点(0,0)不是(,)f x y 的极值点D ．根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点10.设函数(,)z z x y =由方程z y z x e -+=所确定，求2z y x ∂∂∂ 11.设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求 z z x y x y ∂∂-∂∂ 12.设222x y z u e ++=，而2sin z x y =，求u x ∂∂11.设(,,)z f x y x y xy =+-，其中f 具有二阶连续偏导数，求 2,z dz x y ∂∂∂.13.求二元函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值14.22在椭圆x +4y =4上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短.第8章测试题答案1.A2.A3.D4.C5.A6.C7.D8.C 8. ()()3(1)z y z y e e ---9. 2122z z x y x y f f x y y x∂∂-=-∂∂ 10.2222(12sin )x y z u xe z y x++∂=+∂11.123123231113223233 ()(),()()dz f f yf dx f f xf dyzf f x y f f x y f xyf x y=+++-+∂=+++-+-+∂∂12.极小值11(0,)f ee-=-13. r h==14. 83(,)55。
考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷51(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷51(题后含答案及解析) 题型有：1.1．求的极值点、拐点、凹凸区间与渐近线．正确答案：(I)先求驻点与不可导点．由解得驻点当x ＜x时y’＞0，y=y(x)为增函数；当x1＜x＜1时y’＜0，y=y(x)为减函数；当x=1时函数无定义，y=y(x)不可导；当1＜x＜x2时y’＜0，y=y(x)为减函数；当x＞x2时y’＞0，y=y(x)为增函数．于是x=x1为极大值点，x=x2为极小值点，x=1为不可导点．(Ⅱ)再考虑凹凸区间与拐点．由令y”=0，解得在x=1处y”不存在．当时y”＜0，y=y(x)图形为凸；当时y”＞0，y=y(x)图形为凹；当x＞1时y”(x)＞0，y=y(x)图形为凹，于是y=y(x)图形的拐点为(Ⅲ)最后考察渐近线．由于因此x=1为曲线y=y(x)的垂直渐近线．又因此无水平渐近线．由可知曲线y=y(x)有斜渐近线y=x+1．涉及知识点：一元函数微分学2．设总成本关于产量x的函数为需求量x关于价格p的函数为求边际成本，边际收益，边际利润以及收益对价格的弹性．正确答案：由边际成本的定义知，边际成本MC=C’(x)=3+x．又因总收益函数于是边际收益从而边际利润由于函数的反函数是因而总收益函数由此可得收益对价格的弹性涉及知识点：一元函数微分学3．设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξ+(ξ一1)f(ξ)=0．正确答案：令φ(x)=．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ(ξ)=0．而φ(x)=．解析：知识模块：微积分4．设二元函数f(x，y)=｜x－y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续．证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是φ(0，0)=0．正确答案：(必要性)设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f’x(0，0)，f’y(0，0)存在．因为所以φ(0，0)=0．(充分性)若φ(0，0)=0，则f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0．因为即f(x，y)在点(0，0)处可微．涉及知识点：多元函数微分学5．求下列幂级数的收敛域及其和函数：正确答案：(Ⅰ)由于均发散，所以其收敛域为(一1，1)．为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数．设当x=0时，上面的运算不能进行，然而从原级数可直接得出S(0)=a0=1．综合得幂级数的和函数容易看出=1．这就说明S(x)在x=0处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质．(Ⅱ)利用同样的方法容易求得级数n(n+1)xn的收敛域为(一1，1)．令S(x)=n(n+1)xn—1应先进行两次逐项积分．即涉及知识点：微积分6．若行列式的第j列的每个元素都加1，则行列式的值增加Aij．正确答案：对修改后的行列式第j列为(a1j+1，…，aij+1，…，anj+1)T=(a1j，…，aij，…，anj)T+(1，…，1，…，1)T，对它分解(性质⑤)，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第j列元素都是1，增加量就是它的值，等于Aij．涉及知识点：线性代数7．设曲线y=ax2+bx+c过原点，且当0≤x≤1时，y≥0，并与x轴所围成的图形的面积为，试确定a、b、c的值。
[考研类试卷]考研数学(数学三)模拟试卷205.doc
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10设(xo，yo)是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是________．
11
12设y＝y(x)可导，y(0)＝2，令△y＝y(x＋△x)－y(x)，且 其中a是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=__________．
13设 其中ai≠aj(i≠j，i，j＝1，2，…，n)，则线性方程组ATx＝B的解是________．
18已知抛物线y＝px2＋qx(其中p＜0，q＞0)在第一象限内与直线x＋y＝5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S． (I)问p和q何值时，S达到最大值?(Ⅱ)求出此最大值．
19
20设A为n阶实对称矩阵，秩﹙A﹚＝n，Aij是A＝(aij)n×m中元素aij(i，j＝1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2，…，xn)＝ (I)记X＝(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A－1；(II)二次型g(X)＝XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．
（C）若方程组AX=b无解，则方程组AX=0一定有非零解
（D）若方程组AX＝b有无穷多个解，则方程组AX＝0一定有非零解
6设A是n阶矩阵，下列不是命题“0是矩阵A的特征值”的充分必要条件的是( )．
（A）A的行向量组线性相关
（B）方程组AX＝0有非零解
（C）对任何非零向量b，方程组AX＝b都没有唯一解
（D）存在自然数k，使得Ak＝O
7设随机变量X，Y独立同分布且X的分布函数F(x)，则Z＝max｛X，Y｝的分布函数为( )．
（A）F2(x)
（B）F(x)F(y)
（C）1－[1－F(x)]2
（D）[1－F(x)][1－F(y)]
考研数学三(一元函数积分学与多元函数微分学)模拟试卷1(题后含
考研数学三（一元函数积分学与多元函数微分学）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x，y)＝则f(x，y)在(0，0)处( )．A．连续但不可偏导B．可偏导但不连续C．可微D．一阶连续可偏导正确答案：C解析：因为f(x，y)＝0＝f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续。
因为＝0，所以f’x(0，0)＝0，根据对称性，f’y(0，0)＝0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；由＝0，得f(x，y)在(0，0)处可微；当(x，y)≠(0，0)时，f’x(x，y)＝2xsin，则f’x(x，y)＝因为f’x(x，y)＝(2xsin)不存在，所以f’x(x，y)在点(0，0)处不连续，同理f’y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选C．知识模块：多元函数微分学2．设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)＝，又F(0)＝1，F(x)＞0，求f(x)．正确答案：两边积分得F2(x)＝，解得F2(x)＝＋C，由F(0)＝1，F(x)＞0，得F(x)＝，于是f(x)＝．涉及知识点：一元函数积分学3．设f’(lnx)＝求f(x)．正确答案：令lnx＝t，则f’(t)＝，当t≤0时，f(t)＝t＋C1，；当t＞0时，f(t)＝et＋C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1＝1＋C2，故f(x)＝．涉及知识点：一元函数积分学4．求dx．正确答案：令f(x)＝，当0≤x≤1时，，当1＜x≤2时，＝x2，则dx＝xdx ＋x2dx＝．涉及知识点：一元函数积分学5．设f(x)连续，tf(x－t)dt＝1－cosx，求f(x)dx．正确答案：由tf(x－t)dt(x－u)f(u)(－du)＝(x－u)f(u)du＝xf(u)du－uf(u)du，得xf(u)du－uf(u)du＝1－cosx，两边求导得f(u)du＝sinx，令x＝得f(x)dx＝1．涉及知识点：一元函数积分学6．设f(x)在[0，＋∞)上连续、非负，且以T为周期，证明：正确答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n＋1)T，因为f(x)≥0，所以f(t)dt≤f(t)dt≤f(x)dt，即nf(t)dt≤f(t)dt≤(n＋1)f(t)dt，由，得，注意到当x→＋∞时，n→∞，且由夹逼定理得．涉及知识点：一元函数积分学7．设f(x)在[0，1]上连续，f(0)＝0，f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(x)dx＝ξf(ξ)．正确答案：令φ(x)＝，因为f(x)在[0，1]上连续，所以φ(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，又φ(0)＝0，φ(1)＝f(x)dx＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝，所以f(x)dx＝ξf(ξ)．涉及知识点：一元函数积分学设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)＝2．8．证明：对0＜x＜a，存在0＜Θ＜1，使得f(t)dt＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]；正确答案：令F(x)＝f(t)dt＋f(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜Θ＜1，使得F(x)＝F(x)－F(0)＝F’(Θx)x，即f(t)dt ＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]．涉及知识点：一元函数积分学9．求Θ．正确答案：令Θ＝A，由f(t)dt＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]，得于是Θ＝．涉及知识点：一元函数积分学10．设an＝tannxdx(n≥2)，证明：正确答案：an＋an＋2＝(1＋tan2x)tannxdx＝tannxd(tanx)＝tann＋1x，同理an ＋an－2＝．因为tannx，tann＋2x在[0，]上连续，tannx≥tann＋2x，且tannx，tann＋2x不恒等，所以tannxdx＞tann+2xdx，即an＞an＋2，于是＝an＋an+2＜2an＞，同理可证an＜．涉及知识点：一元函数积分学11．设f(x)有界，且f’(x)连续，对任意的x∈(－∞，＋∞)有｜f(x)＋f’(x)｜≤1．证明：｜f(x)｜≤1．正确答案：令φ(x)＝exf(x)，则φ’(x)＝ex[f(x)＋f’(x)]，由｜f(x)＋f’(x)｜≤1得｜φ’(x)｜≤ex，又由f(x)有界得φ(－∞)＝0，则φ(x)＝φ(x)－φ(－∞)＝φ’(x)dx，两边取绝对值得ex｜f(x)｜≤｜φ’(x)｜dx≤exdx＝ex,/sup>，所以｜f(x)｜≤1．涉及知识点：一元函数积分学12．设f(x)在(－∞，＋∞)上有定义，且对任意的x，y∈(－∞，＋∞)有｜f(x)－f(y)｜≤｜x－y｜．证明：｜f(x)dx－(b－a)f(a)｜≤(b－a)2．正确答案：因为(b－a)f(a)＝f(a)dx，所以｜f(x)dx－(b－a)f(a)｜＝｜[f(x)－f(a)]dx｜≤f(x)－f(a)｜dx≤(x－a)dx＝(x－a)2(b－a)2．涉及知识点：一元函数积分学13．设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：．正确答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)－m≥0，f(x)－M≤0，从而≤0，于是f(x)＋≤M＋m，两边积分得f(x)dx＋Mmdx≤M＋m，因为f(x)dx＋Mmdx ≥2，所以2≤M＋m，于是(f(x)dx)(dx)≤．涉及知识点：一元函数积分学14．设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：xf(x)dx≥f(x)dx．正确答案：方法一令φ(x)＝(x－)[f(x)－f()]，因为f(x)在[a，b]上单调增加，所以φ(x)dx≥0，而φ(x)dx＝(x－)[f(x)－f()]dx＝(x－)f(x)dx－f()(x－)dx＝(x －)f(x)dx＝xf(x)dx－f(x)dx，故xf(x)dx≥f(x)dx．方法二令φ(x)＝tf(t)dt－f(t)dt，显然φ(a)＝0．φ’(x)＝xf(x)－f(t)dt－f(x)＝[(x－a)f(x)－f(t)dt]＝[f(x)dt－f(t)dt]＝[f(x)－f(t)]dt≥0，由得φ(b)≥φ(a)＝0，所以xf(x)dx≥f(x)dx．涉及知识点：一元函数积分学填空题15．设z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则＝_____________．正确答案：f’＋xf”＋xy－1g’1＋yxy－1lnxg’1＋yx2y－1lnxg”11＋2y2xy －1g”12＋2xy＋1lnxg”21＋4xyg”22．解析：由z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，得＝f(x＋y)＋xf’(x＋y)＋yxy－1 g’1(xy，x2＋y2)＋2xg’2(xy，x2＋y2)，＝f’＋xf”＋xy－1g’1＋yxy－1lnxg’1＋yx2y－1lnxg”11＋2y2xy－1g”12＋2xy＋1lnxg”21＋4xyg”22．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在，但不等于也不等于0正确答案：B解析：当取y=kx时，与k有关，故极限不存在．知识模块：多元函数微分学2．设u=arcsin ( )A．B．C．D．正确答案：A解析：将x视为常数，属基本计算．知识模块：多元函数微分学3．极限( )A．等于0B．不存在C．等于D．存在且不等于0及正确答案：B解析：取y=x，则=0；取y=x2，则，故原极限不存在．知识模块：多元函数微分学4．设u=f(r)，而r=，f(r)具有二阶连续导数，则=( )A．B．D．正确答案：B解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．知识模块：多元函数微分学5．考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有( )A．B．C．D．正确答案：A解析：本题考查图1．4-1中因果关系的认知：知识模块：多元函数微分学6．设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2x)= ( )A．B．C．D．正确答案：B解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得uˊ1+2uˊ2=1，两边再对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12+2uˊˊ21+4uˊˊ22=0，①等式uˊ1(x，2x)=x2两边对x求导得uˊˊ11+2uˊˊ12=2x，②将②式及uˊˊ12=uˊˊ21，uˊˊ11=u ˊˊ22代入①式中得uˊˊ11(x，2x)=x．知识模块：多元函数微分学7．利用变量代换u=x，v=，可将方程化成新方程( )A．B．D．正确答案：A解析：由复合函数微分法，于是知识模块：多元函数微分学8．若函数u=，其中f是可微函数，且=G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( ) A．x+yB．x－yC．x2－y2D．(x+y)2正确答案：B解析：设t=，则u=xyf(t)，知识模块：多元函数微分学9．已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则( ) A．a=2，b=－2B．a=3，b=2C．a=2，b=2D．a=－2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(x+2y)]dy可知，=axy3+cos(x+2y)，=3x2y2+bcos(x+2y)，以上两式分别对y，x求偏导得=3axy2－2sin(x+2y)，=6xy2－bsin(x+2y)，由于连续，所以，即3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(x+2y)，故得a=2，b=2．知识模块：多元函数微分学10．设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A．最大值点和最小值点必定都在D的内部B．最大值点和最小值点必定都在D的边界上C．最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D．最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上正确答案：B解析：令，由于B2－AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．知识模块：多元函数微分学11．设函数z=(1+ey)cosx－yey，则函数z=f(x，y) ( )A．无极值点B．有有限个极值点C．有无穷多个极大值点D．有无穷多个极小值点正确答案：C解析：本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度，事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆．由得驻点为(k π，coskπ－1)，k=0，±1，±2，…，又zˊˊxx－(1+ey)cosx，zˊˊxy=－eysinx，zˊˊyy=ey(cosx－2－y)．①当k=0，±2，±4，…时，驻点为(kπ，0)，从而A=zˊˊxx(kπ，0)=－2，B=zˊˊxy(kπ，0)=0，C=zˊˊyy(kπ，0)=－1，于是B2－AC=－2＜0，而A=－2＜0，即驻点(kπ，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值；②当k=±1，±3，…时，驻点为(kπ，－2)，此时A=z ˊˊxx(kπ，－2)=1+e－2，B=zˊˊxy(kπ，－2)=0，C=zˊˊyy(kπ，－2)=－e －2，于是B2－AC=(1+e－2)e－2＞0，即驻点(kπ，－2)为非极值点；综上所述，选(C)．知识模块：多元函数微分学填空题12．设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx+bzˊx=_________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f ˊ1(cdx－adz)+fˊ2(cdy－bdz)=0，即dz=，故azˊx+bzˊy==c．知识模块：多元函数微分学13．设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=ez所确定，则=________．正确答案：解析：方程两端对x求偏导数cosx+0－移项并解出即得．知识模块：多元函数微分学14．函数f(x，y，z)=－2x2在条件x2－y2－2z2=2下的极大值是_________．正确答案：－4解析：由拉格朗日乘数法即得．知识模块：多元函数微分学15．函数的定义域为_________．正确答案：≤｜z｜，且z≠0解析：由－1≤≤1即得．知识模块：多元函数微分学16．设z=esinxy，则dz=_________．正确答案：esinxycosxy(ydx+xdy)解析：zˊx=esinxycosxy.y，zˊy=esinxycosxy.x，则dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷7(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1.1．求极限．正确答案：解析：不存在，求极限时要考虑单侧极限．知识模块：微积分2．求正确答案：涉及知识点：微积分3．证明方程在(0，+∞)内有且仅有两个根．正确答案：涉及知识点：微积分4．设函数f(x)，g(x)在[a，+∞)上二阶可导，且满足条件f(a)=g(a)，f’(a)=g’(a)，f”(x)＞g”(x)(x＞a)．证明：当x＞a时，f(x)＞g(x)．正确答案：令φ(x)=f(x)一g(x)，显然φ(a)=φ’(a)=0，φ”(x)＞0(x＞a)．由得φ’(x)＞0(x＞a)；再由得φ(x)＞0(x＞a)，即f(x)＞g(x)．涉及知识点：一元函数微分学5．证明不等式：xarctanx≥(1+x2)．正确答案：令f(x)=xarctanx一(1+x2)，f(0)=0．令f’(x)=+arctanx一=arctanx=0，得x=0，因为f”(x)=＞0，所以x=0为f(x)的极小值点，也为最小值点，而f(0)=0，故对一切的x，有f(x)≥0，即xarctanx≥(1+x2)．涉及知识点：一元函数微分学6．设函数z=(1+ey)cosx一yey，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点．正确答案：(I)先计算(Ⅱ)求出所有的驻点．由解得(x，y)=(2nπ，0) 或(x，y)=((2n+1)π，一2)，其中n=0，±1，±2，…(Ⅲ)判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点．在(2nπ，0)处，由于则(2n π，0)是极大值点．在((2n+1)π，一2)处，由于则((2n+1)π，一2)不是极值点．因此函数z有无穷多极大值点(2nπ，0)(n=0，±1，±2，…)，而无极小值点．涉及知识点：多元函数微积分学7．证明：当x＞0时，ln(1＋．正确答案：令φ(t)＝ln(x＋t)，由拉格朗日中值定理得ln(1＋)＝ln(x＋1)－lnx ＝φ(1)－φ(0)＝φ’(ξ)＝(0＜ξ＜1)，涉及知识点：微积分8．设f(x，y)=x2+(y-1)正确答案：因为f(x，1)=x2，故涉及知识点：多元函数微积分学9．设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)=0．正确答案：令F(x)=∫0xf(t)sintdt，因为F(0)=F(π)=0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)=0，即f(x1)sinx1=0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)=0．设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x一x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x—x1)f(x)dx≠0．而∫0πsin(x一x1)f(x)dx=cosxi∫0πf(x)sinxdx一sinxi∫0πf(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点，不妨设f(x1)=f(x2)=0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔中值定理，存在π∈(x1，x2)(0，π)，使得f’(ξ)=0．涉及知识点：一元函数积分学10．计算累次积分：正确答案：由累次积分限知：0≤x≤1时1≤y≤x+1；1≤x≤2时x≤y≤x+1；2≤x≤3时x≤y≤3，于是积分区域D如图4．32所示，因此D可表示为D={(x，y)｜1≤y≤3，y-1≤x≤y}，从而解析：本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对y积分，必须先确定积分区域D，然后再交换积分顺序．知识模块：多元函数微积分学11．设A是n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．正确答案：因为A*=AT，按定义有Aij=aij(，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代数余子式．由于A≠0，不妨设a11≠0，那么｜A｜=a11A11+a12A12+…a1nA1n= 于是A=(α1，α2，…，αn)的n个列向量线性无关．那么对任一n维列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β线性相关．因此β必可由α1，α2，…，αn线性表出．涉及知识点：n维向量12．证明方程组有解的必要条件是行列式并举例说明该条件是不充分的．正确答案：如果方程组Ax=b有解，则r(A)=；因为A是(n+1)×n阶矩阵，必有r(A)≤n，所以≤n．那么，必有n+1阶行列式例如，方程组=0，但该方程组无解．涉及知识点：线性方程组13．计算｜x2+y2一2y｜dxdy．其中D：x2+y2≤4．正确答案：9π涉及知识点：微积分假设随机变量X与Y同分布，X的概率密度为14．已知事件A={X＞a}和B={Y＞a}独立，且P(A+B)=3／4，求常数a；正确答案：因X与Y同分布，故其概率密度相同，因而与概率密度有关的量也应相等，于是P(A)=P(X＞a)=P(y＞a)=P(B)．又A和B独立，故P(AB)=P(A)P(B)，于是P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=2P(A)-P(A)2=3／4，①解之得P(A)=1／2(或P(A)=3／2＞1，舍去)，则因f(x)为分段函数，需确定a的取值范围，从而确定被积函数f(x)．结论是a∈(0，2)，这是因为若a≤0，则则由式①得到P(A+B)=1．这与P(A+B)=3／4矛盾．若a＞2，则这也与P(A+B)=3／4矛盾．综上所述，得到a∈(0，2)．于是由式②得到涉及知识点：概率论与数理统计15．求1／X2的数学期望．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计。
考研数学三(多元函数微分学)-试卷2.doc
考研数学三（多元函数微分学）-试卷2(总分：70.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________2. 2.00）A.等于0B.不存在C.D.3.设 2.00）A.B.C.D.4. 2.00）A.等于0B.不存在C.D.存在且不等于05.设u=f(r)，而f(r) 2.00）A.B.C.D.6.考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；②f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x 0，y 0 )处可微；④f(x，y)在点(x 0，y 0 )处的两个偏导数存在．若用“P推出性质Q，则有 2.00）A.B.C.D.7.设函数u=u(x，y)满足u(x，2x)=x，uˊ1(x，2x)=x 2，u有二阶连续偏导数，则uˊˊ11(x，2.00）A.B.C.D.8.利用变量代换u=x， 2.00）A.B.C.D.9.若函数f 2.00）A.x+yB.x－yC.x 2－y 2D.(x+y) 210.已知du(x，y)=[axy 3 +cos(x+2y)]dx+[3x 2 y 2 +bcos(x+2y)]dy，则 ( )（分数：2.00）A.a=2，b=－2B.a=3，b=2C.a=2，b=2D.a=－2，b=211.设u(x，y)在平面有界闭区域D 2.00）A.最大值点和最小值点必定都在D的内部B.最大值点和最小值点必定都在D的边界上C.最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D.最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上12.设函数z=(1+e y )cosx－ye y，则函数z=f(x，y) ( )（分数：2.00）A.无极值点B.有有限个极值点C.有无穷多个极大值点D.有无穷多个极小值点二、填空题(总题数：5，分数：10.00)13.设f可微，则由方程f(cx－az，cy－bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azˊx +bzˊx = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________14.设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y－z=e z所确定，则 2.00）填空项1:__________________15.函数f(x，y，z)=－2x 2在条件x 2－y 2－2z 2 =2下的极大值是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________16. 2.00）填空项1:__________________17.设z=e sinxy，则dz= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________三、解答题(总题数：18，分数：36.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(07年)如图，连续函数y＝f(χ)在区间[－3，－2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[－2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周．设F(χ)＝∫0χf(t)dt，则下列结论正确的是【】A．F(3)＝－F(－2)．B．F(3)＝F(2)．C．F(－3)＝F(2)．D．F(－3)＝－F(－2)．正确答案：C解析：根据定积分的几何意义知，则＝F(－3)．故应选C．也可用排除法：由定积分的几何意义知也可利用f(χ)是奇函数，则F(χ)＝∫0χf(t)dt为偶函数，从而F(3)＝F(－3)＝π，F(2)＝F(－2)＝则选项A、B、D均不正确，故应选C．知识模块：微积分2．(08年)如图，曲线段的方程为y＝f(χ)，函数f(χ)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0aχf′(χ)dχ等于【】A．曲边梯形ABOD的面积．B．梯形ABOD的面积．C．曲边三角形ACD的面积．D．三角形ACD面积．正确答案：C解析：∫0aχf(χ)dχ＝∫0aχdf(χ)＝χf(χ)｜0a－∫0af(χ)dχ＝af(a)－∫0af(χ)dχ其中af(a)应等于矩形ABOC的面积，∫0af(χ)dχ应等于曲边梯形ABOD的面积，则∫0aχf′(χ)dχ应等于曲边三角形ACD的面积．知识模块：微积分3．(09年)设函数y＝f(χ)在区间[－1，3]上的图形为则函数F(χ)＝∫0χf(t)dt的图形为【】A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知，当χ∈(－1，0)时F′(χ)＝f(χ))，而当χ)∈(－1，0)时f(χ))≡1＞0，即F′(χ)＞0，从而F(χ)单调增．显然A选项是错误的，因为A 选项中F(χ)在(－1，0)中单调减．解析：由题设知，当χ∈(－1，0)时F′(χ)＝f(χ))，而当χ)∈(－1，0)时f(χ))≡1＞0，即F′(χ)＞0，从而F(χ)单调增．显然A选项是错误的，因为A选项中F(χ)在(－1，0)中单调减．由于F(χ)＝∫0χ(t)dt，则F(0)＝0，显然C选项错误．由于当χ∈(2，3]时f(χ)≡0，则当χ∈(2，3]时F(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫02(t)dt＋∫2χf(t)dt＝∫02f(t)dt ＋∫2χ0dt＝F(2) 则选项B是错误的，D是正确的．知识模块：微积分4．(09年)使不等式＞lnχ成立的χ的范围是【】A．(0，1)．B．(1，)．C．(，π)D．(π，＋∞)正确答案：A解析：要使＞lnχ，只要即：只要＞0 由于＜0，t∈(0，1)，则χ∈(0，1)时，＞0，故当χ∈(0，1)时，＞lnχ．知识模块：微积分5．(11年)设I＝lnsinχdχ，J＝lncotχdχ，K＝lncosχdχ，则I，J，K的大小关系为【】A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：当χ∈(0，)时，sinχ＜cosχ＜1＜cotχ，而lnχ为单调增的函数，则lnsinχ＜lncosχ＜＜lncotχχ∈(0，) 故应选B．知识模块：微积分填空题6．(04年)设f(χ)＝则f(χ－1)dχ＝_______．正确答案：解析：令χ－1＝t，则知识模块：微积分7．(08年)设f(χ＋)＝，则f(χ)dχ＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分8．(10年)设可导函数y＝y(χ)由方程＝∫0χχsint2dt确定，则＝_______．正确答案：－1解析：由＝χ∫0χsintdt知，χ＝0时y＝0，且(1＋y′)＝∫0χsintdt ＋χsinχ将χ＝0和y＝0代入上式得1＋y′(0)＝0 y′(0)＝－1 知识模块：微积分9．(10年)设位于曲线y＝(e≤χ＜＋∞)下方，χ轴上方的无界区域为G，则G绕X轴旋转一周所得空间区域的体积为_______．正确答案：解析：知识模块：微积分10．(11年)曲线y＝，直线χ＝2及χ轴所围的平面图形绕z轴旋转所成的旋转体的体积为_______．正确答案：解析：V＝π∫12y2dχ＝π∫12(χ2－1)dχ＝知识模块：微积分11．(12年)由曲线y＝和直线y＝χ及y＝4χ在第一象限中围成的平面图形的面积为_______．正确答案：4ln2解析：曲线y＝和直线y＝χ及y＝4χ在第一象限围成的平面域如图，则所围面积为知识模块：微积分12．(13年)＝_______．正确答案：ln2解析：知识模块：微积分13．(14年)设D是由曲线χy＋1＝0与直线y＋χ＝0及y＝2围成的有界区域，则D的面积为_______．正确答案：－ln2．解析：用二重积分计算面积，即知识模块：微积分14．(14年)设，则a＝_______．正确答案：解析：由题设知＝0，则a＝．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。